Chapitre 2 : Propriétés évoluées – Opérateurs ... - wwwdfr - Ensta

Chapitre 2 : Propriétés évoluées – Opérateurs composés
• Principe d’invariance par changement de contraste.
• Point de vue architectural.
• Gradients et laplacien morphologique.
• Opérateur de rehaussement de contraste
• Ouvertures et fermetures morphologiques, Top-hat.
Cours de Morphologie Mathématique
Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
40

Opérations sur les ensembles de niveau
Par définition, la dilatation (resp. l’érosion) fonctionnelle par un élément structurant plan g
peut être calculée à partir des dilatations (resp. érosions) des sections du sous-graphe
(ensembles de niveau) par le support de g.
n
{ x ∈ / f ( x ≥ i}
SG ( f ) = R )
i
i
i
SG i(h)
h SG (h)
SG(
f ) =
f ↔ SG( f )
U
i∈R
SGi ( f ) ×
{} i
SG ( h)
=
U
i∈R
SG
i
( h)
×
SG( h)
↔ h = ε ( f
g
{} i
)
SG i
( f
)
i
f
SG ( f
)
g
SGi
( h)
= ε
supp(
g )
( SG ( f ))
i
Cours de Morphologie Mathématique
Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
41

Invariance par changement de contraste
Une conséquence de la propriété précédente est l’invariance par changement de contraste :
les opérateurs morphologiques commutent avec les anamorphoses, c’est-à-dire les
transformations croissantes des niveaux de gris :
a o
f
f
Φ( ao f )
ao
f
aoΦ
( f ) = Φ( ao
f )
Cours de Morphologie Mathématique
f
Φ( f )
Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
42

Invariance par changement de contraste
Une transformation invariante par contraste (i.e. une transformation morphologique) doit respecter les relations
d’inclusion (= ordre) des ensembles de niveau. On montre que cela correspond à un déplacement de lignes de
niveau (i.e. frontière des ensembles de niveau) dans la direction de leur courbure, et proportionnellement au
module du gradient. Exprimé en termes d’équations aux dérivées partielles (EDP), cela se traduit par une équation
de la forme :
2
∂I
∂I
∂ I
I
= ∇I
G(curv ( I ), t)
x
= I xx
=
2
2
∂x
∂x
∂ I
où l’on note
2 I
∂t
∂I
∂ I xy
=
∂x∂y
I y
= I yy
=
2
∂y
∂y
2
2
⎛ I ⎞ I
xx
I
y
− 2 I
xy
I
x
I
y
+ I
yy
I
x
curv ( I ) div ⎜
∇
Avec : = ⎟ =
et avec G(x,y) continue et croissante par rapport à x.
3
I
2 2
⎝ ∇ ⎠ ( I + I ) 2
x
y
Dilatation : G(x,y) = 1;
∂I
∂t
=
∇I
Erosion : G(x,y) = -1;
∂I
∂t
=
−
∇I
La courbure de I au point z est égale à l’inverse du rayon du cercle osculateur à
la courbe isophote en z, c’est-à-dire à la courbe de niveau :
I I(z) = {(x,y) / I(x,y) = I(z)}
1
curv
( I )(
z)
Cours de Morphologie Mathématique
z
courbe isophote de
valeur I(z)
L’intérêt du formalisme EDP est de fournir un cadre rigoureux aux
transformations utilisant des éléments structurants infinitésimaux, mais
également de généraliser les filtres (espaces d’échelles) morphologiques (cf.
Chap. 3).
[Alvarez et al 92]
Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
43

Morphologie mathématique : le point de vue architectural
TRAITEMENT LINEAIRE
additionneur
32 bits
MORPHOLOGIE MATHEMATIQUE
a ∧ b
ALU
Routines
arithmétiques
Bibliothèque de fonctions
numériques
données :
• flottants
a ∨ b
¬a
portes
logiques
données :
• entiers
• booléens
La morphologie mathématique épouse les structures
les plus intimes des calculateurs numériques.
Cours de Morphologie Mathématique
Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
44

La rétine TCL
Rétine numérique : machine massivement parallèle à entrée optique
Rétine TCL (Bernard - Zavidovique - Devos 1993) : Matrice de 65x76 éléments
composés d’un photocapteur et d’une “unité de calcul” de 3 bits par pixel :
Plan
d’acquisition
V
ACQUISITION
binaire :
V s
Cours de Morphologie Mathématique
1 bit
Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
T
Comparaisonduniveaude charge
d’une photodiode au temps T par
rapport au seuil V s
t
45

La rétine TCL
• Translation (éventuellement complémentation) sur le plan 1
• Calcul du ET logique sur le plan 2
Calcul de monôme conjonctif :
ex :
x 1
x 2
x 3
Plan
d’acquisition
x 4
x 5
x 6
x 7
x 8
x 9
y
=
x1
∧x2∧x
3∧x4∧x
x ∧x
∧x
∧x
6
7
8
9
5
y
Plan ET
détection de la présence d’une
configuration dans l’image binaire :
Cours de Morphologie Mathématique
2 bits
Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
Transformée en tout-ou-rien
ε ( X)
∩ε
( X
H
M
c
)
46

La rétine TCL
TCL = Traitement Combinatoire Local
c
U[ εH
( X)
∩εM
( X )]
i i
i
Union de transformées
en tout-ou-rien :
détection de la présence d’une parmi
un ensemble de configurations dans
l’image binaire :
ex :
x 1
x 2
x 3
Plan
d’acquisition
Plan ET
x
x 7
x 6
x 5
4
x
x 9
8
y
z
y j=∧~
xi
i
z=
∨yj
j
Plan OU
forme disjonctive
Cours de Morphologie Mathématique
3 bits
Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
machine booléenne universelle !
47

La rétine NSIP
Rétine Pvlsar (Paillet - Bernard - Mercier 1997) : Matrice de 128x128 éléments
composés d’un photocapteur, d’une unité de codage analogique numérique et
d’une “unité de calcul” de 5 bits par pixel :
V
ACQUISITION
numérique :
Acquisition numérique sur n bits
V s
T 1
NSIP (Near sensor Image Processing, Eklund - Aström 1993) :
Procédé de codage numérique par multiseuillage
t
Cours de Morphologie Mathématique
Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
T 7
Comparaisonduniveaude charge d’une photodiode
aux n temps T i
par rapport au seuil V s
48

La rétine NSIP
g
mémoire
numérique
t
SG(g)
processeur
élémentaire
booléen
PE PE PE PE
( f SG i
)
Les traitements binaires effectués pendant
l’acquisition correspondent aux opérations
ensemblistes effectuées sur les sections SG i
(f)
du sous-graphe de la fonction numérique f :
i
f
t
n
{ x ∈ / f ( x ≥ i}
SG ( f ) = R )
i
et
SG(
f
)
=
U
i∈R
SGi ( f ) ×
{ i}
SG( f
)
Cours de Morphologie Mathématique
Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
49

Premiers opérateurs par différence
Opérateur par différence :
Cas ensembliste
Λ( x)
= Φ(
x)
− Ψ(
x)
Cas fonctionnel
Λ ( X ) = Φ(
X ) \ Ψ(
X )
Λ( f ) = Φ(
f ) − Ψ(
f )
Φ ( x ) =
Gradient intérieur
x
g y − (x)
Ψ( x)
= ε ( x)
y
Φ ( x)
Gradient extérieur
= δ
y
g y + (x)
( x)
Ψ ( x ) =
x
f
g
f
g
Cours de Morphologie Mathématique
Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
50

Premiers opérateurs par différence
Gradient morphologique
( x)
(symétrisée)
Φ ( x)
= δ Ψ( x)
= ε ( x)
y
g m y
(x)
y
Laplacien morphologique
λ y
(x)
+
−
Φ ( x)
= g ( x)
Ψ( x)
= g ( x)
y
y
f
g
f
g
Rq : dans le cas de fonctions de R 2 dans R, en prenant pour élément structurant une boule euclidienne centrée sur
l’origine, le gradient morphologique et le laplacien morphologique tendent respectivement vers le module du
gradient et le laplacien euclidiens lorsqu’ils sont définis, quand le rayon de la boule tend vers zéro :
Cours de Morphologie Mathématique
2
2
2
2
⎛ ∂I
⎞ ⎛ ∂I
⎞
∂ I ∂ I
∇I = ⎜ ( u,
v)
⎟ + ⎜ ( u,
v)
⎟ ∆I
= ( u,
v)
+ ( u,
v)
2
2
⎝ ∂x
⎠ ⎝ ∂y
⎠ ∂x
∂y
Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
51

Gradients et laplacien : images numériques
B
X
ε B
( X )
δ B
( X )
g
m
B
( X ) = δ ( X ) − ε ( X )
B
B
g
−
B
( X ) = X − ε ( X )
B
g
+
B
( X ) = δ ( X ) − X
B
λ
B
+ −
( X ) = g ( x) − g ( x)
B
B
Cours de Morphologie Mathématique
Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
52

Gradients et laplacien : images numériques
B
Cours de Morphologie Mathématique
X g m ( X )
( )
B X
Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
λ B
53

Augmentation de contraste morphologique
g
Le filtre rehausseur de contraste est défini par :
χ g
(f) = δ g
(f) si (δ g
(f)-f )( f-ε g
(f))
δ g
( f
)
f
ε g
( f
)
χ g
( f
)
erodé
dilaté
image originale
image rehaussée
Cours de Morphologie Mathématique
ε ( f ) ( f )
g
δ g
Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
f χ g
( f )
54

Ouvertures et fermetures morphologiques
Problème Min/Max : étant donné Y∈E, B∈E,
trouver le plus petit X ∈E tel que : Y = ε ( X B
)
X1
X
2
X
3
B
Y
= ε
= ε
= ε
B
B
B
( X1)
( X
2
)
( X )
3
REPONSE :
C’est le dilaté de Y par le transposé de B:
δ (
B
( Y )
= Y
⊕ B
Cours de Morphologie Mathématique
On note :
et son dual :
γ ( X ) = X o B = δ
B
l’ouverture morphologique de X par B.
(
ϕ ( X ) = X • B = ε ( δ X = X ⊕ B ⊗
B
la fermeture morphologique de X par B.
Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
( ( X )) = ( X ⊗ B) ⊕ B
(
B ε
B
B
( ( )) ( ) B
B
(
55

Propriétés algébriques des ouvertures et fermetures
CROISSANCE
B
x ≤ y ⇒
IDEMPOTENCE
dém:
donc
B
B
γ ( x)
≤ γ ( y)
B
B
ϕ ( x)
≤ ϕ ( y)
B
( γ
B
( x)
) γ
B
( x)
( ϕ ( x)
) ϕ ( x)
γ =
ϕ =
B
B
( ε ( x)
) ≤ x ε ( δ ( x)
)
δ
B
( ≤ (
B
B
δ
B ( ε
B
≤ id ≤ E
ε ( δ
B B
ε δ ε ≤ ε
donc
(
B
B
=
B
ε
B
ε
Bδ
(
B
et donc
et
ε
B
B
δ
Bε
≤ id ≤ (
(
E
ε
B
Bδ
B
≤
ε
B
ε
Bδ
(
B
B
δ ( ε
B B
= δ ( ε
B Bδ
(
B
ε
B
ε
B
EXTENSIVITE
L’ouverture est
anti-extensive :
La fermeture est
extensive :
dém:
et
γ ( x)
≤
B
x
x ≤ ϕ (x) B
Dans la propriété d’adjonction :
x ≤ ε ( y)
⇔ δ ( ( x)
≤
x = ε ( y) B
y = δ B(x)
B
donne
donne
PROPRIETE MIN/MAX
Soient x, x’, et y
tels que :
alors
x
= δ
= δ
(
B
(
B
B
δ (
B
y
( ε
B
( y)
) ≤ y
( )
x ≤ ε (
B(x)
B δ
y = ε ( x)
= ε ( x')
B
x
B (
= δ (y)
( y)
= δ ( ( ε ( x)
)
B B
( ε ( x'
)) = γ ( x'
) ≤ x'
B
et
B
B
Cours de Morphologie Mathématique
Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
56

Ouvertures et fermetures : ensembles et fonctions
B
X
C’est le lieu géométrique
des points de B z
tels que
B z
est inclus dans X
γ B
(X )
ϕ g
( f
)
f
g
γ g
( f
)
Cours de Morphologie Mathématique
Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
57

Ouvertures et fermetures : images binaires
B
• l’ouverture élimine les petites composantes, et ouvre les petits isthmes.
• la fermeture bouche les petites trous, et ferme les petits détroits.
X γ ( X )
( X )
B
ϕ B
Cours de Morphologie Mathématique
Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
58

Ouvertures et fermetures : images numériques
B
( ) X ε B
δ B
( X )
Cours de Morphologie Mathématique
X γ ( X )
( X )
B
Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
ϕ B
59

Opérateurs obtenus par différence d’ouvertures et fermetures
Opérateur par différence :
Λ( x)
= Φ(
x)
− Ψ(
x)
Φ ( x ) =
x
Top-hat
Ψ( x)
= γ ( x)
y
Φ ( x)
Top-hat conjugué
= ϕ
y
( x)
Ψ ( x ) =
x
f
g
f
g
Top-hat
g
Rolling ball
g
Cours de Morphologie Mathématique
Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
60

Top Hat : images numériques
B
X
ε ( X )
( X )
B
δ B
γ B
( X )
ϕ ( X )
τ ( X ) = X − γ ( X ) ( X ) = ϕ ( X ) − X
B
B
B
τ ~
B
B
Cours de Morphologie Mathématique
Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
61

Top Hat : images numériques
B
γ ( X )
( X )
B
ϕ B
Cours de Morphologie Mathématique
X
τ ( X )
( X )
B
Antoine MANZANERA – ENSTA/LEI
τ ~ B
62