Problèmes additifs et soustractifs au cycle 3 - Circonscription de ...

Problèmes additifs et soustractifs au cycle 3
(une seule étape de résolution)
Comment améliorer l'enseignement de la résolution des problèmes relevant de
l'addition et de la soustraction
Le champ conceptuel est une unité d'étude intéressante en didactique, pour donner du sens aux
problèmes d' acquisition, étudiés en cycle 2, puis en cycle 3. Le champ présenté ici, est celui des
structures additives. Il recouvre l'ensemble des situations dont le traitement implique une addition,
une soustraction ou la combinaison des deux opérations.
A partir d'une même histoire, on peut identifier différents types de questions possibles. Selon la
question posée, le traitement des relations en jeu dans la résolution, change. Les opérations
mentales à mobiliser ne sont pas identiques.
Exemple:
J'ai un pot de 25 crayons et j'en donne 8 aux élèves. Dans mon pot il reste 17 crayons.
J'ai un nombre a de billes . Je rajoute b billes Maintenant, je dispose de c billes .
A partir d'une même situation, on peut imaginer 3 questions, selon que l'on cherche a, b ou c.
Les trois énoncés de problèmes correspondants seront traités simultanément en classe.
Le traitement cognitif des relations est très différent, d'une situation proposée à l'autre.Les
résolutions les plus simples, sont comprises par l'élève, entre 5 et 7 ans (par exemple, connaissance
de a et b et recherche de c), alors que les plus complexes, ne sont comprises par la majorité des
élèves que vers 15 ans (succession de transformations avec recherche de l'état initial par exemple).
Pour l'apprentissage, la classification et l'utilisation d'outils (représentation schématique, problèmes
référents) favorisent l’organisation de la mémoire déclarative et par conséquent une meilleure
mobilisation des connaissances.
Dans ce document, nous proposons uniquement des problèmes qui relèvent de l'une ou l'autre des
opérations, sans combinaison.
Barbara STRBA PEIMF et Claudie BOYER CPC GAP EMBRUN ST BONNET 120

Les catégories de problèmes additifs et soustractifs
(Catégorisation proposée par Gérard. Vergnaud)¹
On distingue 3 grandes catégories de problèmes:
• Réunion : dans ces problèmes, on décrit une situation dont les différents éléments sont
présents conjointement. C'est un état statique.
◦ Recherche du tout :
▪ Léo a 29 billes. Juliette a 43 billes. Combien de billes ont Léo et Juliette
ensemble
◦ Recherche d'une partie :
▪ Léo et Juliette ont 83 billes ensemble. Juliette a 47 billes. Combien Léo a-
t-elle de billes
• Comparaison : On compare deux collections.
◦ Recherche de l'un des états :
▪ Léo a 26 billes. Juliette a 17 billes de plus. Combien Juliette a-t-elle de
billes
▪
Léo 17 billes de moins que Juliette. Juliette en a 43. Combien Léo a-t-il
de billes
◦ Recherche du deuxième état :
▪ Juliette a 43 billes. Juliette a 17 billes de plus. Combien Léo a-t-elle de
billes
▪ Léo 17 billes de moins que Juliette. Léo en a 26. Combien Juliette a-t-elle
de billes
◦ Recherche de la comparaison :
▪
▪
Comparaison négative : Léo a 52 billes. Juliette en a 38. Combien de
billes Juliette a-t-elle en moins que Léo
Comparaison positive : Léo a 52 billes. Juliette en a 38. Combien de
billes Léo a-t-il en plus que Juliette
• Transformation : il s'agit d'une transformation opérée entre un état initial et un état final
◦ Recherche de l'état final:
▪ Transformation positive :A Léo avait 36 billes. Puis, Juliette lui a donné
16 billes. Combien de billes a maintenant Léo
▪ Transformation négative: B Léo avait 36 billes. Puis, il en perd 9.
Combien de billes a maintenant Léo
◦ Recherche de la transformation :
▪ Transformation positive: C Léo avait 27 billes. Puis Juliette lui a donné
des billes. Léo a maintenant 74 billes. Combien Juliette lui a-t-elle donné
de billes
▪ Transformation négative:D Léo avait 27 billes. Puis, il en perd. Léo a
maintenant 19 billes. Combien en a-t-il perdu
◦ Recherche de l'état initial :
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▪ Transformation positive: E Léo avait des billes. Juliette lui a donné 14
billes. Maintenant Léo a 56 billes. Combien Léo avait- il de billes au
départ
▪ Transformation négative :F Léo avait des billes. Puis, il en perd 14.
Maintenant, Léo a 27 billes. Combien de billes avait-il au départ
▪
¹VERGNAUD Gérard, « Développement et fonctionnement cognitif dans le champ conceptuel des structures additives PUF 1990
Le problème A correspond à une conception primitive que l'élève se fait de l'addition, dès le plus
jeune âge. 65 à 70 % des élèves de CE 1 réussissent ce type de problèmes.
Les problèmes E et F (recherche de l'état initial) demandent, soit d'inverser la trans
formation, soit de formuler des hypothèses.
Séances en classe :
Les séances sont réparties sur plusieurs périodes dans l'année scolaire : les 5 périodes peuvent être
nécessaires en CE 2 et 2 ou 3 périodes en CM1
Exemple de progression en CE 2
Période 1
Période 2
Période 3
Période 4
Période 5
Problèmes de transformation avec des nombres simples (inférieurs à 20), construction
des référents
Problèmes de réunion, construction des référents
Problèmes de comparaison , construction des référents
Reprise des problèmes de transformation et de réunion dans des situations
décontextualisées
Reprise des problèmes précédents dans des situations décontextualisées avec des
nombres plus grands
Utilisation de la soustraction comme procédure standard dans les problèmes additifs
Invention de problèmes
Utilisation de la soustraction comme procédure standard dans les problèmes additifs
Invention de problèmes
Séance 1 : Évaluation diagnostique (pour le CE 2 et le CM1, documents en
annexe)
La calculette est autorisée.
Le temps donné est de 30 min.
Le code de correction est le suivant :
• Code 1 : bonne opération et résultat juste
• Code 2 : Juste autre opération possible (addition à trou)
• Code 3 : Juste avec schéma ou schéma suivi de l'opération.
• Code 4 : bonne opération résultat erroné
• Code 9 : réponse erronée
• Code 0 : sans réponse
La même évaluation sera donnée à l'identique, à la fin du module d'enseignement
Séance 2 : Schématiser une situation de transformation
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A partir de 6 problèmes, relevant des 6 catégories différentes (voir dans le tableau cidessous),
les élèves cherchent en groupes et représentent schématiquement la situation :
«Trouver le même type de schémas pour les 6 problèmes»
Les schémas sont ensuite comparés, explicités et confrontés.
Les élèves rencontrent des difficultés pour passer du dessin au schéma d'une part et pour trouver un
même type de schémas d'autre part. Ils doivent être guidés, lors de cette phase, le but de la séance
étant de construire un référent qui restera affiché dans la classe et sera noté dans le cahier mémoire
des élèves.
Problèmes donnés en CE 2
A
Lucie a 15 billes.Elle en
gagne 7. Combien Lucie a-telle
de billes maintenant
maintenant dans son portemonnaie
B
Lucie a 15 billes. Elle en
gagne à la récréation.
Maintenant Lucie a 22 billes.
Combien a-t-elle gangé de
billes
C
Lucie a des billes. Elle en
gagne 7. Maintenant Lucie a
22 billes. Combien avait elle
de billes au départ
D
Lucie a 15 billes. Elle en
perd 6 à la récréation.
Combien Lucie a-t-elle de
billes maintenant
E
Lucie a 15 billes. Elle en
perd à la récréation.
Maintenant Lucie a 9 billes.
Combien Lucie a -t-elle
perdu de billes
F
Lucie a des billes. Elle perd
6 billes à la récréation.
Maintenant Lucie a 9 billes.
Combien Lucie avait-elle de
billes avant la récréation
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Problèmes donnés en CM1 :
A
Lucie a 47€ dans son portemonnaie.
Sa grand-mère lui
donne 25€. Combien Lucie
a-t-elle maintenant dans son
porte-monnaie
B
Lucie a 47€ dans son portemonnaie.
Sa grand-mère lui
donne de l'argent.
Maintenant Lucie a 72€.
Combien sa grand-mère lui
a-telle donné
C
Lucie a de l'argent dans son
porte-monnaie. Sa grandmère
lui donne 25€.
Maintenant Lucie a 72€.
Combien Lucie avait-elle
d'argent
D
Lucie a 42€ dans son portemonnaie.
Elle enlève 25€
qu'elle met de côté dans sa
tirelire. Combien Lucie a-telle
maintenant dans son
porte-monnaie
E
Lucie a 47€ dans son portemonnaie.
Elle enlève de
l'argent qu'elle met de côté
dans sa tirelire. Maintenant
Lucie n'a plus que 22€ dans
son porte-monnaie. Combien
Lucie a-t-elle mis dans sa
tirelire
F
Lucie a de l'argent dans son
porte-monnaie. Elle enlève
25€ qu'elle met de côté dans
sa tirelire. Maintenant Lucie
n'a plus que 22€ dans son
porte-monnaie. Combien
Lucie avait-elle
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Référent construit par les élèves en CM1 :
(la démarche est équivalente en CE2) Le référent comprend le problème, suivi du schéma et
de l'opération
A
Lucie a 47€ dans son portemonnaie.
Sa grand-mère lui
donne 25€. Combien Lucie
a-t-elle maintenant dans son
porte-monnaie
ajouter 25
B
Lucie a 47€ dans son portemonnaie.
Sa grand-mère lui
donne de l'argent.
Maintenant Lucie a 72€.
Combien sa grand-mère lui
a-telle donné
ajouter
C
Lucie a de l'argent dans son
porte-monnaie. Sa grandmère
lui donne 25€.
Maintenant Lucie a 72€.
Combien Lucie avait-elle
d'argent
ajouter 25
47 47 72
72
72 – 47 =
72 - 25 =
47 + 25 =
D
Lucie a 47€ dans son portemonnaie.
Elle enlève 25€
qu'elle met de côté dans sa
tirelire. Combien Lucie a-telle
maintenant dans son
porte-monnaie
enlever 25
47
E
Lucie a 47€ dans son portemonnaie.
Elle enlève de
l'argent qu'elle met de côté
dans sa tirelire. Maintenant
Lucie n'a plus que 22€ dans
son porte-monnaie. Combien
Lucie a-t-elle mis dans sa
tirelire
enlever
47 22
F
Lucie a de l'argent dans son
porte-monnaie. Elle enlève
25€ qu'elle met de côté dans
sa tirelire. Maintenant Lucie
n'a plus que 22€ dans son
porte-monnaie. Combien
Lucie avait-elle
enlever 25
22
47 - 25 =
47 - 22 =
22 + 25 =
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Séance 3 : Schématiser une situation de comparaison
La démarche est équivalente à la précédente.
Problèmes donnés en CE 2
I
Luc a 12 billes. Jules a 5
billes de plus que lui.
Combien Jules a-t-il de
billes
J
Luc a 12 billes.. Jules a 17
billes. Combien Jules a-til
de billes de plus que Luc
K
Luc a 12 billes. C'est 5 de
plus que Jules. Combien
Jules a-t-il de billes
L
Luc a 17 billes. Jules a 5
billes de moins que lui.
Combien Jules a-t-il de
billes
M
Luc a 17 billes. Jules a 12
billes. 58 kg. Combien Jules
a-t-il de billes de moins que
Luc
N
Luc a 17 billes. C'est 5 de
moins que Jules. Combien
Jules a-t-il de billes
Barbara STRBA PEIMF et Claudie BOYER CPC GAP EMBRUN ST BONNET 720

Problèmes donnés en CM1 :
I
Luc pèse 35 kg. Jules pèse
18 kg de plus que lui.
Combien Jules pèse-t-il
J
Luc pèse 35 kg. Jules pèse
53 kg. Combien Jules pèset-il
de plus que Luc
K
Luc pèse 62 kg, c'est 23 kg
de plus que Jules. Combien
Jules pèse-t-il
L
Luc pèse 82 kg. Jules pèse
24 kg de moins que lui.
Combien Jules pèse-t-il
M
Luc pèse 82 kg. Jules pèse
58 kg. Combien Jules pèset-il
de moins que Luc
N
Luc pèse 47 kg, c'est 29 kg
de moins que Jules.
Combien Jules pèse-t-il
Le référent à construire et à conserver dans la classe, se trouve en annexe.
Séance 4 Schématiser une situation de réunion
Problèmes donnés en CE2
G
Dans le jardin, il y a 17 tulipes et 13
narcisses. Combien y a-t-il de fleurs en
tout
H
Dans le jardin, il y a 30 fleurs. Parmi ces fleurs
il y a 17 tulipes. Combien y a-t-il de
narcisses
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Problèmes donnés en CM1
G
Dans la maison de Laurent, il y a 235 livres
dans la bibliothèque du salon et 456 livres
dans la bibliothèque du bureau.
Combien Laurent a-t-il de livres chez lui
H
Laurent a 691 livres chez lui rangés dans 2
bibliothèques. Dans la bibliothèque du salon il
y a 235 livres, combien y a-t-il de livres dans la
bibliothèque du bureau
Trace à conserver dans les cahiers d'élèves et à afficher en classe :
G
H
235 456
691
235
235 + 456 =
Dans la maison de Laurent, il y a 235 livres
dans la bibliothèque du salon et 456 livres
dans la bibliothèque du bureau.
Combien Laurent a-t-il de livres chez lui
691 – 235 =
Laurent a 691 livres chez lui rangés dans 2
bibliothèques. Dans la bibliothèque du salon il
y a 235 livres, combien y a-t-il de livres dans
la bibliothèque du bureau
Barbara STRBA PEIMF et Claudie BOYER CPC GAP EMBRUN ST BONNET 920

Une fois les catégories connues, les élèves résolvent régulièrement, un ou deux problèmes (voir la
banque de problèmes proposée ci-dessous) et repèrent dans les outils construits, les catégories
correspondantes. Ils s'aident des schémas et problèmes référents pour retrouver les opérations
correspondantes.
D'autre part, les élèves inventent des problèmes relevant d'un type donné.
Par exemple l'enseignant demande d'inventer un problème relevant de la catégorie C.
Ou bien, à partir de 15- 3 , inventer un problème.
Affichages en classe
Carnet d'élèves
Différenciation
• Mimer les problèmes, les jouer.
• Faire le schéma, représentant la situation et voir la correction posée au fond de la classe
• Constituer des groupes de besoins , proposer un tutorat, ou guider les élèves les plus
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fragiles.
Évaluation finale : donner les mêmes problèmes qu' à l'évaluation diagnostic
Exemples de problèmes additifs et soustractifs
Ci- dessous, une banque de problèmes, classés par catégorie et niveau. En fonction des besoins des
élèves, choisir des problèmes dans lesquels, les situations standards sont plus économiques que les
procédures personnelles de résolution.
Pour chaque catégorie, proposer des représentations schématiques, accompagnées d'un problème
référent, pour illustrer certaines propriétés. Ces représentations et référents seront à disposition des
élèves et serviront d'outils d'aide.
Réunion
a
b
Recherche du tout
Niveau 1 :
1 Dans un bouquet, il y 8 roses et 7 iris. Combien y a-t-il de fleurs en tout
2Combien y a-t-il d'élèves dans la classe Dans une classe, il y a 12 garçons et 14 filles.
3 Dans une ville, il y a 2 écoles. Dans la première,on compte 150 élèves, dans la deuxième 58
élèves. Combien y a-t-il d'élèves dans cette ville
4 Dans une boite, il y a 15 cubes bleus et 22 cubes rouges. Combien y a-t-il de cubes en tout
5 Sur une assiette, il y a 9 gâteaux. Combien y a-t-il de gâteaux en tout si sur une autre, il y a 15
gâteaux
Niveau 2
1 D' Orléans à Paris, il y a 120 km.
D' Orléans à Bourges, il y a 110 km.
Quelle distance sépare Paris de Bourges
2Combien de places ont été réservées en tout Au théâtre, 152 places sont réservées pour l'école
Champollion, 86 places pour l'école Molière et 123 place pour l'école Jules Ferry.
3 J'ai acheté une chemise à 25€ et un pantalon à 49€. Combien ai-je payé en tout
4 Le lycée Carnot accueille 1 125 élèves et le lycée Hugo accueille 1 549 élèves. Combien d'élèves
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sont accueillis en tout
5 Une ville compte 34 359 habitants et la ville voisine compte 13 278 habitants. Combien y a-t-il
d'habitants dans les deux communes
Niveau 3
1 Dans un club de ski, il y a 26 benjamins, 49 minimes, 37 cadets, 25 juniors et 35 seniors.
Combien y a-t-il de licenciés en tout dans le club
2Quelles est la superficie de la maison Il y a le séjour de 34,5m², la cuisine, 21,2m², la salle de
bain 6,15m², les WC 3m², la chambre 1 15m², la chambre 212,5m² et la chambre 3 13m².
Recherche d'une partie
c
a
Niveau 1
1 Dans la boite, il y 28 billes dont 12 billes rouges. Combien y a-t-il de billes bleues
2 Dans la classe, il y a 25 élèves dont 14 filles. Combien de garçons y a-t-il
3 Alice a dépensé 154€.Combien coûte la veste, si le pantalon coûte 65€.
4 Dans son album, Téo a 345 photos dont 136 en noir et blanc. Combien a-t-il de photos en
couleurs
5 Combien Paul a-t-il de timbres étrangers. Il a une collection de 524 timbres dont 354 timbres
français.
Niveau 2
1 Jules est philatéliste. Il a 2 175 timbres américains et asiatiques, dont 1 320 timbres américains.
Combien a -t-il de timbres asiatiques
2 Adjoua a acheté un bouquet de roses rouges et blanches. Il y a 65 fleurs en tout dont 37 roses
rouges. Quel est le nombre de roses blanches
3 Un directeur d'école a reçu 450 cahiers. Il en donne 262 à la classe A. Combien peut-il en donner
à la classe B
4 Alix a une tablette de chocolat. Combien restera-t-il de chocolat, s'il coupe un quart de la
tablette
5 Reda a parcouru le le circuit de vélo cross en 25 min et 3 s. Il a mis 10 min et 45 s pour parcourir
le premier tronçon. Combien de temps a-t-il mis pour parcourir le deuxième tronçon
Niveau 3
1 Alice a dépensé 190,20€. Elle a acheté un pantalon à 92,50€ et une veste. Combien coûte la
veste
2 Zoé place deux objets sur la balance. Le tout pèse 2,500kg. Sachant que le premier objet pèse un
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quart de kg. Combien pèse le deuxième objet
3 Un camion est chargé de 910 kg de ciment et de briques. Quelle est la masse des briques, si le
tout pèse 5 885kg.
4 Lors de la finale de la coupe de France de football, on a enregistré 44 485 entrées dont 37 326
payantes. Combien a-t-on distribué d'entrées payantes
5 Au cours du Téléthon de 2000, on a récolté 1 964 500€ pour l'ensemble de la France. Les
Parisiens ont versé 94 130€. Combien ont versé le provinciaux
Comparaison
a
a
b
b
Recherche de l'un des états
Niveau 1
1Combien Juliette a-t-elle de billes Léo a 26 billes. Juliette a 17 billes de plus.
2 Dans un magasin, un jouet coûte48€. Il coûte 13€ de plus dans un autre magasin. combien
coûte-t-il dans le deuxième magasin
3 Dans un magasin, un pantalon coûte 87€, dans un autre magasin, la même pantalon coûte 8€ de
moins.Combien coûte le pantalon dans le deuxième magasin
4Combien mesure Noémie Zoé mesure 1m27cm et Noémie mesure 5 cm de plus.
5 A l'école élémentaire, il y a 159 élèves.Combien d'élèves y a-t-il à l école maternelle, s'il y a 65
élèves de moins
Niveau 2
1 Un avion vole à 9 500m, puis s'élève de 10200m. A quelle altitude vole-t-il maintenant
2 Un garage propose deux voitures. L'une coûte 14 500€, la deuxième 2 150€ de moins. Combien
coûte la deuxième voiture
3 La Seine mesure 777 km et la Garonne mesurel30 km de moins. Combien mesure la Garonne
4 Un segment mesure 23 cm et le deuxième 48 mm de plus. Combien mesure le deuxième
5 A l'aide d'une bande unité, trace un segment de :un quart de l'unité et un autre de un demi d'unité
en plus du premier. Combien mesure le deuxième segment
Barbara STRBA PEIMF et Claudie BOYER CPC GAP EMBRUN ST BONNET 1320

Niveau 3
1 En l'an 2 000, la ville de New York comptait 16 800 000 habitants et la ville de Mexico
25 600 000. Combien y a-t-il d'habitants en plus à Mexico
2 La planète Mars est à 222 000 000 de kilomètres du soleil. La planète Terre est à 149 600 000 de
kilomètres du soleil. De combien de kilomètres, la Terre est-elle plus proche du Soleil
3 Monsieur André fait une promenade à vélo. La première étape est de 23km250 et la deuxième
étape est de 24 100m. Quelle est l'étape la plus longue. De combien est elle la plus longue
4 Deux coureuses de 100m commentent leurs dernières performances.
Audrey dit : « J'ai mis 12,4secondes ». Sophie répond : « J'ai fait 12 secondes et 12 centièmes. »
Qui a réalisé le temps le plus court De combien de temps
5 Qui a parcouru la plus grande distance
L'escargot : 0,247m ou la fourmi : un quart de mètres.
Recherche de la comparaison
a
b
Niveau 1
1 Léo a 26 billes. Juliette a 45 billes Combien Juliette a-t-elle de billes en plus
2 Dans un magasin, un jouet coûte 24€. Il coûte 36€ dans un autre magasin. De combien est-il plus
cher dans le deuxième magasin
3 Dans un magasin, un pantalon coûte 87€, De combien le pantalon est-il moins cher dans le
deuxième magasin, s'il coûte 79€
4 Zoé mesure 1m27cm et Noémie mesure 1m32cm. De combien de centimètres, Noémie est-elle
plus grande
5Combien d'élèves de moins, y a-t-il à l école maternelle A l'école élémentaire, il y a 159 élèves.
A l'école maternelle, il y a 87 élèves.
Niveau 2
1 Un avion vole à 9 500m, puis à 10 700m. De combien de mètres, s'est il élevé
2 Un garage propose deux voitures. L'un coûte 14 500€, la deuxième 16 450€. De combien la
deuxième est – elle plus chère
3 La Loire mesure 1 020km. De combien Le Rhône est-il plus court Il mesure 812 km.
4 Un segment mesure 23 cm et un autre mesure 225 mm. Lequel est le plus long De combien .
5 A l'aide d'une bande unité, trace un segment de un quart de l'unité et un autre de un demi de
l'unité. Lequel est le plus court De combien
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Niveau 3
1Combien y a-t-il d'habitants à Londres En 2012, Paris et sa banlieue comptait 12 161 542
habitants. A Londres, il y a 287 900 habitants en plus.
2 La planète Terre est à 149 600 000 de kilomètres du soleil.A quelle distance Mercure se trouve-telle
du Soleil, sachant qu'elle est à 91 700 km plus proche du soleil
3 Monsieur André fait une promenade à vélo. La première étape est de 23km250 et la deuxième
étape est de 1 150m plus courte. Quelle est la distance de la deuxième étape
4 Deux coureuses de 100m commentent leurs dernières performances.
Audrey dit : « J'ai mis 12 ,4secondes ». Sophie répond : « J'ai fait 24 centièmes de plus que toi. »
Combien de temps a mis Sophie
5 En 2 008, Le quotidien Le Monde était vendu à 300 000 exemplaires et il se vendait 11 000
exemplaires de plus du quotidien L’Équipe. Combien d'exemplaires de l’Équipe se vendait-il
Transformation
Recherche de l'état final (transformation positive ou négative)
J'ajoute b
J'enlève b
a a
Niveau 1
1 Pierre avait 15 images. Il en achète 8. Combien en a-t-il maintenant
2 2 Sophie joue au jeu de l'oie. Elle est sur la case 17.Sur quelle case va-t-elle arriver si elle doit
reculer de 5 cases
3 La BCD de l'école comptait 679 ouvrages. La directrice en achète 58 nouveaux. Quel est le
nouveau nombre de livres
4Combien reste-t-il d’œufs à un marchand qui va marché avec 688 œufs. Il en vend 425.
5 Le réservoir de la voiture plein contient 40 litres d'essence. Au cours du voyage, je consomme 29
litres. Combien reste-t-il d'essence
Niveau 2
1 Dans le TGV Paris-Marseille, il y a 132 passagers. 74 passagers descendent à l'arrêt d'Aix.
Combien de passagers continuent le voyage
2 J'avais 2 549 timbres dans mon album. Mon oncle me donne le sien qui compte 13 412 timbres.
Combien ai-je de timbres à présent
3 Un transporteur doit livrer 1 800 caisses de coca dans deux magasins. Il en décharge 460 au
premier magasin. Combien en déchargera-t-il au deuxième magasin
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4 Une marchande de journaux reçoit 1 500 journaux le matin et 2 070 journaux en début d'aprèsmidi.
Combien a-t-elle reçu en tout
Niveau 3
1 Quelle est ma taille à présent Je mesurais 1,26m à la rentrée et j'ai grandi de 7 cm en 6 mois.
2 Lundi matin, un commerçant à 132 kg de sucre en stock.Combien lui en reste-t-il, s’il en vend
112 kg dans la semaine
3 Dans un flacon, il y a déjà 150 ml d'eau. Je rajoute 50 cl d'eau. Quelle quantité d'eau y a-t-il à
présent
4 Un chimiste prélève un produit dans un flacon. Au départ, la masse du produit dans le flacon est
de 450 mg. Il prélève 23 cg. Combien reste -t-il dans le flacon
5 Karim réalise le montage d'un film en mettant bout à bout des séquences vidéo. Il a déjà monté
10 min 22s. Il lui reste à monter 15 min et 45s. Quelle sera la durée du film à l 'arrivée
Recherche de la transformation (positive ou négative)
J'ajoute J'enlève
a c a c
Niveau 1
1 J'avais 25 billes dans mon sac.Combien en ai-je gagné, si maintenant, j'en compte 38.
2 Sophie joue au jeu de l'oie. Elle était sur la case 18. Elle se trouve maintenant sur la case. 24. De
combien de cases a-t-elle avancé
3 J'avais 32 cubes dans une boite. J'en enlève. Maintenant, j'en compte 13. Combien de cubes ai-je
enlevé
4 Je pense au nombre 36. Je lui rajoute un nombre. Je trouve 57. Quel nombre ai-je rajouté
5 Ce matin, dans les rayons du supermarché, il y avait 127 tablettes de chocolat noir. Ce soir, il en
reste 48. Combien de tablettes ont été vendues
Niveau 2
1 Aurélie est en train de réaliser un puzzle de 845 pièces. Combien de pièces lui reste-t-il à placer
si elle en a déjà placées 129
2 Avant l'arrêt du train, il y avait 329 passagers. Il y en a maintenant 283. Combien de passagers
sont descendus
3 Dans mon carnet de santé, j'ai vu qu'à 3 ans, je mesurais 97 cm. De combien ai-je grandi si
maintenant je mesure 1m33cm
4 En 1992, la population de Perpignan était de 105 983 habitants. En 1968, elle était de 104 852
habitants. De combien a-t-elle diminué
5 Ce matin, le compteur de la photocopieuse indiquait 7 521. La maîtresse après avoir tiré des
photocopies relève 7 550. combien de photocopies a -elle fait
Barbara STRBA PEIMF et Claudie BOYER CPC GAP EMBRUN ST BONNET 1620

Niveau 3
1 Mes parents avait une maison de 112 m². Il l'ont agrandie. La surface est maintenant d 169m².
Quelle est la surface ajoutée
2 J'achète un caméscope. Le prix indiqué au départ était de 314,96€. Après réduction, je paie
171,90€. De combien est la réduction
3 André avait 115,55€. Il gagne de l'argent et possède à présent 224,35€. Combien a -t-il gagné
4 Ce matin, il y avait dans la caisse du supermarché 358,94€. Une heure après, il y a 1 578,45€.
Quelle somme y a-t-il en plus
5 Nous sommes aujourd'hui 6 milliards d'humains sur Terre. ON estime qu'en l'an 3 000, nous
serons 12 milliards. De combien la population se sera-t-elle accrue
Recherche de l'état initial (transformation positive ou négative)
J'ajoute b
J'enlève b
c
c
Niveau 1
1Combien de bille j'avais au départ J'ai des billes dans une boite. J'en ajoute 15. Maintenant, j'en
ai 35.
2 Je pense à un nombre. J'enlève 8. J'obtiens 15. A quel nombre je pensais au départ
3 Alice a maintenant 12 images. Elle en a acheté 8. Combien en avait-il au départ
4 Zoé joue au jeu de l'oie. Elle vient d'avancer de 5 cases et se trouve maintenant sur la case 13. De
quelle case est-elle partie
5 Marie a prêté 4 BD à sa cousine. Il lui en reste 8. Combien en avait-elle au départ
Niveau 2
1Combien y avait-il d'élèves au début de l'année Nous sommes 142 élèves à l'école
actuellement. Depuis le début de l'année 17 enfants ont déménagé.
2 Le compteur de ma voiture indique 27 609 km. J'ai parcouru 926 km pendant les vacances.
Qu'indiquait le compteur avant mon départ
3 A l'arrêt du train, 125 personnes sont descendus. Il en reste 238 à l'intérieur. Combien y avait-il
de passagers avant l'arrêt
4 Je mesure aujourd'hui 1m38cm. . J'ai grandi de 5 cm depuis la dernière mesure. Quelle était alors
ma taille
5 Je prélève un quart de produit dans un flacon. Il reste un demi de produit maintenant Combien
y en avait-il au départ
Niveau 3
1 La population d'une petite ville a augmenté de 678 habitants. Maintenant, il y a 12 653 habitants.
Quel était le nombre d'habitants avant l'arrivée de ces personnes
Barbara STRBA PEIMF et Claudie BOYER CPC GAP EMBRUN ST BONNET 1720

2 Une fusée s'est éloignée en une heure de 10 350km de la terre. Elle est actuellement à 478 793
km de la terre. A quelle distance de la terre se trouvait-elle une heure plus tôt
3 Quelle longueur de ruban avais-je au départ Je coupe 3,25 m de ruban dans un rouleau. Il reste
à présent 15,20m .
4 Léo fait des courses. Il dépense 18,25€. Il lui reste 17€ dans son porte monnaie. Combien avait-il
au départ
5 En avançant de 2,3 sur une ligne graduée, j'arrive à la graduation 5,2. Sur quelle graduation étaisje
au départ
Ensuite, les élèves peuvent résoudre des problèmes à plusieurs transformations. Pour chaque étape,
ils repèrent à quelle catégorie, ils se réfèrent.
Problèmes additifs et soustractifs
(deux ou plusieurs étapes de résolution)
Banque de problèmes
Transformations
1 Un bus arrive avec 16 personnes. Quelques personnes descendent, aucune ne monte. Le bus repart
avec 12 personnes. Au deuxième arrêt, des personnes montent. Combien de personnes sont
descendues au premier arrêt Combien de personnes y a -t-il dans le bus après le deuxième arrêt
2 Ce matin, Arthur avait 130 billes. Pendant la récréation du matin , il en perd 23. Le soir, il a 141
billes. Combien lui reste-t-il de billes à midi. A-t-il gagné ou perdu des billes à la récréation de
l'après midi
3 Un TGV quitte Marseille avec 564 passagers. A Avignon, 56 personnes descendent tandis que 186
personnes montent dans le train. Combien de passagers arrivent à Paris.
4 Un pâtissier a fabriqué 60 croissants. Le matin, il en vend le tiers et l'après midi il vend le quart
des croissants qui lui restent.
A la fin de la journée, combien de croissants n'ont pas été vendus
5 Une coopérative scolaire dispose de 1 189€. La municipalité lui verse une subvention de 150€.
L'école achète un téléviseur à 585€ et un magnétoscope à 599€. Quelle somme lui reste-t-il
Réunion avec plusieurs parties
1 La classe de Zoé visite le musée du Louvres. Au total, 27 personnes se sont rendues au musée
dont 3 Parents, la maîtresse et 13 filles. Combien y a-t-il de garçons dans la classe
2 La fleuriste compose un bouquet avec 5 marguerites, 3 roses, 6 œillets et des anémones. Il y a 20
fleurs dans ce bouquet. Combien y a-t-il d'anémones
3 En France, il y a 579 000 kilomètres de routes communales, 361 000 kilomètres de routes
départementales, 27 500 kilomètres de routes nationales et 9 5000 kilomètres d'autoroutes. Quelles
est la longueur totale de routes françaises
Barbara STRBA PEIMF et Claudie BOYER CPC GAP EMBRUN ST BONNET 1820

Problèmes à plusieurs comparaisons
1 Noah mesure 14 cm de moins que Sacha et 18 cm de plus qu' Élodie. Quelle est la différence de
taille entre Sacha et Élodie Sachant que Sacha mesure 142 cm, quelle est la taille de Noah D'
Élodie
2 J'ai 72 billes de plus que Théo dit Roxane.
J'en ai 47 de moins que toi dit Léo.
J'ai 64 billes en terre et 59 billes en verre dit Théo.
Combien de billes a chaque enfant
Problèmes de comparaison (type additif et multiplicatif)
1 La Tour Eiffel mesure 300m de haut. Elle est dix fois plus haute que le Parthénon d'Athènes.
L’Arc de Triomphe de Paris ne mesure que 50m de hauteur. La Tour Montparnasse est environ
quatre fois plus haute que l'Arc de Triomphe.
Quelle est la hauteur du Parthénon
De combien de mètres, la Tour Eiffel est-elle plus haute que le Parthénon
De combien de mètres la tour Eiffel est-elle plus haute que la tour Montparnasse
Bibliographie et Sitographie
Vergnaud Gérard (1990) La théorie des champs conceptuels Editions La pensée sauvage
Petit Serge et Camenisch Annie Projet d'écriture en mathématiques (site de l'ARPEME)
http://www.arpeme.fr/documents/58623008BA57D29967BB.pdf
http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/Petit_Camenich_bulletin_456-2.pdf
D’une analyse possible d’énoncés de problèmes mathématiques vers un apprentissage de la
langue à l’école
http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/ADa27.pdf
Fayol Michel Séminaire national : Les mathématiques à l’école primaire - M. Michel Fayol
(vidéo)
http://webtv.ac-versailles.fr/#0-281-273-130-128-276-277
Actes du séminaire national L'enseignement des mathématiques à l'école primaire , à partir de la
page 49
http://cache.media.eduscol.education.fr/file/Formation_continue_enseignants/13/0/actes_maths_pri
maire_110130.pdf
Barbara STRBA PEIMF et Claudie BOYER CPC GAP EMBRUN ST BONNET 1920

Barbara STRBA PEIMF et Claudie BOYER CPC GAP EMBRUN ST BONNET 2020