TD série 2 [PDF] - Université des Antilles et de la Guyane

Université des Antilles et de la Guyane
Faculté des Sciences exactes et Naturelles
Département Scientifique Interfacultaire (Campus de Schoelcher, Martinique)
DEUG MIAS 1ere Année * Mathématiques 1 * ANNÉE 2004-2005
Travaux Dirigés * Série 2
N.B.: Les exercices dont les numéros sont suivis d’une étoile sont non prioritaires.
Exercice 1 Etudier la monotonie des suites définies par:
1. ∀n ∈ N ⋆ , u n = n
n+3
2. * ∀n ∈ N ⋆ , u n = √ 2n + e −2n
3. * ∀n ∈ N ⋆ , u n = 3n
n 2 +1
Exercice 2 Soit (u n ) la suite définie par:
Montrer que (u n ) est bornée.
∀n ∈ N,
u n =
2n + (n + 1) sin n
.
2n + 1
Exercice 3 Etudier la nature (convergence, divergence) des suites suivantes:
u n = n2 + 1
n + 1 ,
v n = 1 − n2
n + 2 , w n = u n + v n , a n = (−1) n n + 1
n + 2 ,
b n = (−1) n sin n
n + 2
Exercice 4 Soit u 0 ∈ R tel que 0 < u 0 < 2. Considérons la suite (u n ) définie par:
∀n ∈ N, u n+1 = √ 2 + u n .
1. Montrer que, pour tout n ∈ N, 0 < u n < 2, et que la suite (u n ) est croissante.
2. En déduire que (u n ) est convergente. Calculer sa limite.
Exercice 5 Montrer que les suites suivantes convergent et déterminer leur limite.
1. * u n =
2. v n = Σ n k=1
cos n+sin n
n
n
2n 2 +k
3. * w n+1 = √ 1 + w n , w 0 = √ 3
1

Exercice 6 Montrer la convergence de la suite (u n ) définie par:
u n = n2 + Σ n k=0 (2k + 1)
2n 2 + Σ n k=0
(3k + 2)
Exercice 7 On considère la suite (u n ) de terme général
u n = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · · + 1 (−1)n−1 n .
1. Montrer que les suites (u 2n ) et (u 2n+1 ) sont adjacentes.
2. En déduire que la suite (u n ) est convergente.
Exercice 8 Montrer que la suite de terme général
u n = Σ n 1
k=1
k(k + 1)
est convergente et déterminer sa limite.
Exercice 9 On considère la suite (u n ) définie par: u 0 = 1, ∀n ∈ N, u n+1 = 3 √ u n .
1. Démontrer que (u n ) est bien définie et que u n > 0 pour tout n.
2. Soit (v n ) la suite définie par v n = ln u n + α. Déterminer α pour que (v n ) soit une
suite géométrique.
3. Calculer v n puis u n en fonction de n. Quelle est la limite de (u n )
Exercice 10* Montrer que la suite (u n ) de terme général
est divergente de limite +∞.
u n = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + · · · + 1 n
Exercice 11* Soit (u n ) une suite réelle, a ∈ R et m ∈ N tels que:
∀n ∈ N,
(n ≥ m ⇒ u n < a).
Montrer que si (u n ) est convergente de limite l, alors l ≤ a.
Exercice 12* Soit a et b deux réels. On considère la suite (u n ) définie par son premier
terme u 0 et la relation de récurrence
Calculer u n en fonction de u 0 , a, b et n.
∀n ∈ N, u n+1 = u n + 3nb + 2a.
Exercice 13* Soient a et b deux réels positifs non tous deux nuls. Déterminer la limite
de la suite (u n ) définie par
u n = 2n + 1
n + 2 + an − b n
a n + b . n
2