TP - Initiation MATLAB

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Le but de ce TP est de s’initier au programme de calcul numérique MATLAB. Les fonctionnalités
résolument matricielles de ce logiciel en font un puissant outil très utilisé de nos jours, dans différents
contextes (traitement d’images, optimisation, contrôle, . . ., par le biais de toolboxes) et notamment celui
du traitement numérique du signal. Il permet en effet la résolution rapide de problèmes numériques,
problèmes qui nécessiteraient un temps de développement plus important en C ou en Java.
Après une prise en main de l’environnement de MATLAB, le principe du TP est simple. Des séries
de questions vont être posées afin de mettre en œuvre les différentes fonctionnalités qui vous seront
nécessaires pour les TP suivants. Chaque question fait en général référence à des fonctions MATLAB à
utiliser. Il est alors nécessaire d’utiliser l’aide de MATLAB pour analyser les paramètres, les résultats
et le comportement de ces fonctions afin de répondre de manière pertinente à la question posée.
1 Prise en main de l’environnement
L’environnement de travail de MATLAB est souple d’utilisation (langage interprété) et très évolutif
car il permet soit de travailler interactivement en passant des commandes au clavier (comme pour une
calculatrice), soit de réaliser des programmes (scripts) ou des fonctions en plaçant ces commandes dans
des fichiers texte, le nom de ces fichiers constituant alors de nouvelles commandes MATLAB.
1.1 Procédure de démarrage de l’environnement
◮ Comment lancer l’environnement de travail de MATLAB
1.2 Manipulation de la ligne de commande
◮ Réaliser quelques opérations simples directement en mode interactif (ligne de commandes).
1+1 ou sqrt(4) ou sqrt(4); ou 6.0e-2*cos(pi/4)
◮ Sous MATLAB, comment utiliser l’aide intégrée, pour les différentes fonctions utilisées
help
1.3 Notion de script
Un script MATLAB est une succession de commandes stockée dans un fichier ayant pour extension
.m (par exemple, prog.m). Pour exécuter le script, il suffit de taper son nom (prog par exemple) en
ligne de commande. Si le script prog.m se trouve dans le répertoire de travail courant, alors MATLAB
sera capable de lire le fichier et d’exécuter toutes les commandes qu’il contient, les unes à la suite des
autres.
Toute ligne commençant par le caractère % sera considérée comme une ligne de commentaire (à
utiliser sans modération dans votre code).
2 Manipulation de variables / vecteurs / matrices
MATLAB est l’abréviation de Matrix Laboratory et comme son nom l’indique, toutes les entités
(ou variables) manipulées sont des matrices.
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2.1 Création de variables
Pour déclarer de telles variables, il suffit de spécifier un nom pour la variable (par exemple toto)
et de lui attribuer une valeur (par exemple l’entier 4 ou la chaîne de caractères ’chat’).
Type de variables Représentation MATLAB Exemple de déclaration
scalaire matrice 1 × 1 toto = 4
vecteur ligne à n éléments matrice 1 × n toto = [ 1 2 ]
vecteur colonne à m éléments matrice m × 1 toto = [ 1 ; 2 ]
matrice à m lignes et n colonnes matrice m × n toto = [ 1 2 3 ; 4 5 6 ]
◮ Comment voir les variables courantes ainsi que leurs propriétés
Routines à utiliser :
whos, size, length
2.1.1 Variables prédéfinies
Certaines variables existent déjà sous MATLAB et il est fortement déconseillé de les utiliser comme
des variables quelconques.
pi, eps, i, j
2.1.2 Variables complexes
◮ Comment déclarer une variable complexe
◮ Comment obtenir le conjugué d’une variable complexe
Routines à utiliser :
real, imag , abs, angle, conj, ’
2.1.3 Autres techniques de création de variables
De nombreuses routines MATLAB permettent de créer des variables avec des valeurs particulières.
Matrices simples
◮ Comment générer une matrice remplie de zeros remplie de uns
◮ Comment générer une matrice identité
Routines à utiliser :
zeros, ones , eye
Vecteurs à pas constant
◮ Comment générer un vecteur ligne contenant les valeurs de a à b par pas de p
◮ Comment générer un vecteur ligne contenant k valeurs également espacées entre les bornes a et
b incluses
Routines à utiliser :
: , linspace
Matrices aléatoires
◮ Comment générer un vecteur ligne de n valeurs qui suivent une loi normale
◮ Comment générer un vecteur colonne de m valeurs qui suivent une loi uniforme
Routines à utiliser :
randn , rand
Création de matrices par assemblage
◮ Comment assembler deux (ou plus) scalaires / vecteurs / matrices pour produire un nouveau
vecteur ou matrice
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2.2 Manipulation de matrices
2.2.1 Accès à une plage de valeurs (sous-matrices)
Il est important de remarquer que contrairement à certains langages de programmation tels que C,
le premier élément d’un vecteur a pour indice 1 et non 0.
◮ Comment accéder à la valeur d’indice k d’une matrice ligne d’une matrice colonne d’une
matrice à deux dimensions
◮ Comment extraire les valeurs comprises entre les indices k 1 et k 2 d’un vecteur colonne, sous la
forme d’un vecteur colonne
◮ Extrapoler pour une matrice bi-dimensionnelle
◮ Comment extraire une ligne entière d’une matrice bi-dimensionnelle
2.2.2 Matrice transposée
◮ Comment obtenir la transposée d’une matrice A
◮ Comment obtenir la transposée de la matrice conjuguée de A
2.2.3 Opérateurs arithmétiques élémentaires
Opérateur Sémantique
+ Addition
- Soustraction
* Produit matriciel
.* Produit terme à terme
/ Division
./ Division terme à terme
ˆ
Elévation à une puissance
.ˆ Elévation à une puissance terme à terme
◮ Essayer les différents opérateurs arithmétiques présentés. Observer la différence entre les deux
opérateurs de produit.
2.2.4 Autres fonctions mathématiques
Il est possible d’appliquer quantité d’autres fonctions mathématiques à des variables (scalaires,
vecteurs ou matrices terme à terme). Parmi les plus utilisées, on retrouve
sin , cos , tan , exp , sqrt , log , abs
◮ Générer un signal sinusoïdal d’amplitude a = 2, de fréquence ν = 50Hz, de durée T = 100ms
sur n = 500 échantillons.
◮ Les fonctions min et max existent sous MATLAB. Possèdent-elles le comportement que les fonctions
précédentes
◮ De même pour les fonctions sum, mean ou std.
3 Affichage graphique
Une des forces de MATLAB est de permettre la représentation graphique sous forme de courbes
ou d’images, des différents objets manipulés.
3.1 Ouverture d’une fenêtre
◮ Comment ouvrir une fenêtre prête à recevoir un graphique
◮ Comment associer un titre à cette fenêtre
Routines à utiliser :
figure , set
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3.2 Graphique 2D
3.2.1 Affichage d’une courbe
◮ Afficher la courbe correspondant au signal sinusoïdal généré.
légendes des axes.
Routines à utiliser :
plot , title , xlabel, ylabel
Positionner clairement titre et
3.2.2 Affichage de plusieurs courbes dans un même graphe
◮ Afficher plusieurs courbes superposées, chaque courbe correspondant à un signal sinusoïdal généré
avec une amplitude différente des autres. Chaque courbe possède également des attributs (couleurs et
tracés) différents.
◮ Superposer une sinusoïde déphasée d’une demi-période.
Routines à utiliser :
plot , hold
3.2.3 Affichage de plusieurs courbes
◮ Même travail que la question précédente dans des graphes séparés au sein d’une fenêtre unique.
Routines à utiliser :
plot , subplot
3.3 Image
◮ Toute matrice peut être visualisée sous la forme d’une image. Visualiser sous cette forme une
matrice que vous avez déjà manipulée.
◮ Charger une image (au format JPEG, par exemple) sous la forme d’une matrice et visualiser-la.
◮ Changer la palette utilisée pour afficher l’image.
Routines à utiliser :
imread , image , imagesc, colormap
4 Organisation du code
4.1 Structures de boucles et de contrôle
Comme de nombreux langages de programmation, MATLAB possède plusieurs instructions de
contrôles et de boucles : if, for ou while. Même s’il est donc possible d’écrire des boucles, celles-ci
sont très lentes par rapport à un traitement matriciel. Il faut donc privilégier celui-ci lorsque c’est
possible.
◮ Donner deux méthodes (l’une matricielle, l’autre pas) pour remplir un vecteur x de longueur N
tel que x(k) = k où k ∈ [1, N].
4.2 Notion de fonction
La notion de fonction permet de factoriser une portion de code pour une réutilisation plus aisée.
Cette factorisation se traduit par
• la création d’un fichier d’extension.m contenant ce code,
• une formalisation des entrées (paramètres) et des sorties (résultats retournés) de ce code,
• un environnement d’exécution séparé pour ce code (notion de variables locales)
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4.2.1 Déclaration d’une fonction
◮ Quelle est le formalisme MATLAB utilisé pour déclarer une fonction
◮ Créer une fonction appelée GenereSignal qui génère un signal sinusoïdal. Etablir la liste des
paramètres nécessaires et le résultat retourné.
◮ Programmer de façon vectorielle cette fonction.
◮ Commenter la fonction GenereSignal pour que l’aide de MATLAB l’affiche.
function [signal , temps_ech] = GenereSignal (ampl , frequence , duree , n_ech)
% GenereSignal Génération d’un signal sinusoïdal
% [IN] :
% Paramètres de la sinusoïde à échantillonner :
% ampl : Amplitude de la sinusoïde
% frequence : Fréquence de la sinusoïde
% Paramètres de l’échantillonnage :
% duree : Durée du signal à produire
% n_ech : Nombre d’échantillons du signal produit
% [OUT] :
% signal : Sinusoïde échantillonnée
% temps_ech : Instants d’échentillonnage
% [APPEL] :
% [signal t] = GenereSignal (2 , 50 , 0.1 , 500)
% plot(t , signal)
temps_ech = linspace (0 , duree , n_ech)
signal = ampl * sin(2*pi*frequence*temps_ech)
4.2.2 Utilisation d’une fonction
◮ Créer un script qui fait appel à la fonction GenereSignal pour produire les mêmes graphiques
qu’à l’étape précédente.
4.2.3 Application directe
◮ Ecrire une fonction GenereSignal2 qui produit un signal de longueur n = 250 correspondant à
une sinusoïde pure de fréquence ν = 0.1Hz, échantillonnée à f = 1Hz.
function [signal , temps_ech] = GenereSignal2 (ampl , frequence , freq_ech , n_ech)
% GenereSignal2 Génération d’un signal sinusoïdal
% [IN] :
% Paramètres de la sinusoïde à échantillonner :
% ampl : Amplitude de la sinusoïde
% frequence : Fréquence de la sinusoïde
% Paramètres de l’échantillonnage :
% freq_ech : Fréquence d’échantillonnage de la sinusoïde
% n_ech : Nombre d’échantillons du signal produit
% [OUT] :
% signal : Sinusoïde échantillonnée
% temps_ech : Instants d’échentillonnage
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% [APPEL] :
% [signal2 t2] = GenereSignal2 (1 , 0.1 , 1 , 250)
% plot(t2 , signal2)
[signal temps_ech] = GenereSignal (ampl , frequence , n_ech / freq_ech , n_ech)
5 Problèmes simples
1. Construire un vecteur A d’échantillons gaussiens, de taille N = 1000, de variance σ 2 = 0.8 et de
moyenne M = 2. Afficher l’histogramme des échantillons. Essayer pour N = 10000.
A = sqrt(sigma2)*randn(1,N) + M
hist(A)
2. L’estimation de la variance est donnée par la formule
̂σ
A 2 = 1 N∑
(A(n) − ̂m A ) 2 (1)
N
n=1
où ̂m A est l’estimation de la moyenne de A.
̂m A = 1 N
En utilisant la formule donnée, calculer ̂m A , l’estimation de la moyenne.
N∑
A(n) (2)
n=1
m A = sum(A) / N
ou
m A = mean(A)
En utilisant la formule donnée, calculer en une seule ligne ̂σ A 2 , l’estimation de la variance.
s2 A = sum((A-m A).*(A-m A)) / N
ou
s2 A = var(A)
3. Ecrire une fonction dont le code ne contient qu’une seule ligne, qui sous-échantillonne un vecteur
x donné d’un facteur N. Par exemple, le vecteur x = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ] devient [ 1 3
5 7 9] pour N = 2. Appliquer cette fonction au vecteur A.
x(1:N:length(x))
4. Faire de même en deux lignes, pour un sur-échantillonnage d’un vecteur. Par exemple, le vecteur
x = [ 1 2 3 4 ] devient [ 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4] pour N = 3.
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y = zeros(1,N*(length(x)-1)+1
y(1:N:length(y)) = x
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