Anneaux et modules

Algèbre 2 – TD7 2010-2011
Anneaux et modules
Exercice n o 1 (Modules projectifs et bande de Moebius) Soit A un anneau. Soit
P un A-module. On dit que P est projectif si pour tout morphisme surjectif de A-
modules f : M ′ → M et pour tout morphisme g : P → M, il existe un morphisme
h : P → M ′ tel que g = f ◦ h.
1. Montrer qu’un module est projectif si et seulement si il est facteur direct d’un
module libre. En particulier, les modules libres sont projectifs.
2. Montrer qu’un module projectif est sans torsion, et en particulier qu’un module
projectif de type fini sur un anneau principal est libre.
3. En utilisant le lemme de Nakayama, montrer qu’un module projectif de type
fini sur un anneau local est libre.
4. Soit A l’anneau des fonctions continues sur R qui sont 2π-périodiques, et soit E
le A-module des fonctions continues f qui vérifient ∀x ∈ R, f(x+2π) = −f(x).
Montrer que E est projectif, de type fini sur A, mais pas libre.
5. Expliquer le titre de l’exercice.
Exercice n o 2
1. Soit K un corps. Montrer que le sous-anneau de K[X, Y ] engendré par (X n Y ) n∈N ∗
n’est pas noethérien.
2. Soit A = {P ∈ Q[X]|P (0) ∈ Z}. Montrer que l’anneau A n’est pas noethérien.
Quel est son corps de fractions
Exercice n o 3 On rappelle qu’un nombre complexe x est un entier algébrique s’il
existe un polynôme P unitaire à coefficients entiers tel que P (x) = 0. On note Q la
clôture algébrique de Q dans C et Z l’ensemble des entiers algébriques. On rappelle
que Z est un anneau.
1. Montrer que le corps des fractions de Z est Q.
2. Montrer que Z n’est pas noethérien.
3. Soit I un idéal de Z qui est engendré par un nombre fini d’ééments. Montrer
que I est principal. On pourra comparer cet exemple à l’exercice 2 du TD 6.
Exercice n o 4 (Anneaux artiniens) Dans un anneau A on appelle nilradical de
A et on note Nil(A) l’intersection de tous les idéaux premiers de A. On rappelle que
le radical de Jacobson Rad(A) est l’intersection de tous les idéaux maximaux. Soit
A un anneau artinien, c’est-à-dire dans lequel toute chaîne décroissante d’idéaux
est stationnaire.
1. Supposons de plus que A est noethérien, montrer que Nil(A) = Rad(A) (on
pourra utiliser le lemme de Nakayama).
On va maintenant prouver que tout anneau artinien est aussi noethérien.
2. Montrer que si I, J et p sont des idéaux de A avec p premier et IJ ⊂ p, alors
I ⊂ p ou J ⊂ p.

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3. Montrer que A n’a qu’un nombre fini d’idéaux maximaux (si m 1 , . . . , m r , . . .
est une suite d’idéaux maximaux de A, on pourra considérer les inclusions
m 1 ⊃ m 1 m 2 ⊃ · · · ).
4. On pose I = ∩ n Rad(A)n . Soit J l’ensemble des x ∈ A tels que xI = 0. Nous
allons montrer que J = A. Pour cela supposons le contraire et soit a /∈ J
tel que si J ⊂ J ′ (a), J ′ = J (justifier l’existence de a). Montrer que
Rad(A)a ⊂ J (on pourra s’intéresser à l’idéal J + Rad(A)a et considérer le
sous-A- module de A/J engendré par a). Conclure qu’en fait J = A.
5. Soient m 1 , . . . , m r les idéaux maximaux de A. Conclure en considérant la suite
m 1 ⊃ m 1 m 2 ⊃ · · · Rad(A) ⊃ m 1 Rad(A) ⊃ m 1 m 2 Rad(A) ⊃ · · · .
Exercice n o 5 (Anneaux de Dedekind) Soit A un anneau intègre et K son
corps des fractions. Soit L/K une extension finie séparable et B l’anneau des entiers
de L sur A. Supposons de plus A noethérien et intégralement clos. On va montrer que
B l’est aussi. Pour x ∈ L, on note m x l’endomorphisme de L défini par m x (y) = xy.
On pose tr L/K (x) = tr(m x ) et χ x = det(T − m x ) ∈ K[T ].
1. Montrer que les facteurs irréductibles unitaires de P dans K[X] sont dans
A[X].
2. Si x ∈ B, montrer que son polynôme minimal sur K est dans A[X].
3. Montrer que l’application tr L/K est non nulle. On pourra utiliser le théorème
de l’élément primitif et utiliser un déterminant de Vandermonde.
4. Montrer que l’application tr L/K : L × L → K définie par (x, y) ↦→ tr L/K (xy)
est une forme bilinéaire symétrique non dégénérée.
5. Montrer l’équivalence entre x ∈ B et χ x ∈ A[T ].
6. Montrer que L possède une base sur K constituée d’éléments de B.
7. Soit M un sous-A-module de L engendré par une base d’éléments de B comme
ci-dessus. Montrer que
{x ∈ L, ∀m ∈ M, tr L/K (xm) ∈ A}
est un sous-A-module de type fini sur A.
8. Conclure.
9. Supposons maintenant que tout idéal premier de A est maximal. Montrer que
c’est aussi le cas de B. 1
10. Soit k une extension finie de Q. Montrer que l’anneau des entiers de k est un
anneau de Dedekind.
1. Un anneau noethérien, intégralement clos dont tout idéal premier est maximal est appelé
anneau de Dedekind