Machine de Turing et fonction récursive - Free

Théorème : Soit N k N une fonction calculée par une machine à registre R.
Il existe une machine de Turing qui calcule
Conséquence : L'ensemble des fonctions calculables par les machines à Registres est inclus dans
l'ensemble des fonctions calculables par les machines de Turing.
F*^k
F*^MR
F*^MT
Machine de Turing et fonction récursive
En gros : On compile les machines de Turing. On obtient sur le disque dur un nombre. Savoir
manipuler les nombres
A) Appariement : Nombre de Gödel
a) Représentation de N 2 dansN
4
3
2
1
0
1
0
6
3
1
0
1
6
1
1
7
4
2
1
7
1
2
8
5
1
8
1
3
9
1
9
1
4
2
0
0 1 2 3 4 5
x , y f x , y∈N
f(x,y) le rang du couple (x,y) pour un ordre.
x , y≤x ' , y'

_\
y’
x’
y− y'
x−x ' =−1
x−x ' y− y ' =0
f x , y =
f est élémentaire
N 2 f
N
f x , y =
N g ,h N
g f x , y=x
h f x , y = y
f est une bijection
x y x y 1
x
2
x y x y 1
x
2
f , g , h sont élémentaires
g z≤ z ;h z≤z
b) Représentation de N k N
k=1 x id x
k=2 x , y f f x , y
k>2 :
x 1 , ..., x k = f ... f f f x 1, x 2 , x 3 , x 4 ... , x k ∈N
/*...
Ces fonctions se calculent en temps polynomial
Compilation des machines de Turing :
A ∞ ={a 0,
a 1...
}∞ dénombrable
a 0 représente 0
a 1 représente 1
Q ∞ ={q 0,
q 1.......
}∞ dénombrable pour les états

A ∞ ∩Q ∞ =0
S ∞ =A ∞ ∪Q ∞ ∪{¤ , R , L , N }
Codage : cd n'utilise que les nombres impaires
SCHEMA 4
cd (arbitraire) code tous les symboles d'une MT
Etat x=∃ i≤ x
x=94i
Lettrex=∃ i≤ x
x=74i
Deplacement x=x=1∨x=3∨ x=4
∗
w ∈S ∞
[w]= 0 si w=
[[cd w 1
,........ cd w k
]] si w=w 1
....... w k
w i
∈S ∞
[[a 2
q 1
a 3
a 1
]] = 88887111659994600815
transciente*/
Théorème : Les fonctions calculables par une MT sont des fonctions récursives
F*^k
F*^MR
F*^MT
Thèse de Church :
Dire qu'une fonction est calculable c'est dire qu'elle est récursive. Ne dépend pas de la technique.
Théorème : (forme normale)
Pour tout k, il existe un prédicat élémentaire C k et une fonction élémentaire V tel que pour toute
fonction récursive N k N , il existe un entier z∈N tel que
∀ x 1, .... , x k x 1 ..... x k =V y C k x 1 .... x k , y , z
∀ ∈F k R ∃ z∈N
= y z
k
(z est un nombre de Gödel de )