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Problèmes NP-complets
Pour montrer qu'un problème est NP-complet,
1) on montre que ∈NP
2) On trouve un problème NP-complet connu 0 tel que
0
≤ P K
Théorème de Cook-Levin :
SAT et CNF-SAT sont NP-complets
Théorème :
Pour k≤3 , k-SAT est NP-complet
Preuve en 3 parties :
3-SAT est NP-complet
3−SAT ≤ P K
k−SAT (exo TD)
Preuve pour 3-SAT
1) 3-SAT in NP
1 algorithme non déterministe pour CNF-SAT est aussi un algorithme pour 3-SAT (cas
particulier de CNF-SAT)
2) CNF −SAT ≤ K P 3−SAT
X={X 1 ...X n }
C={C 1 ...C m }
C j sont des clauses de longueur quelconque.
Pour construire la réduction :
X , C
instancede CNF −SAT
f
temps poly
X ' ,C '
instance de3−SAT C '∈C
On part de (X,C) on suppose toutes les variables sont utilisées et que les littéraux d'une
clause c de C c={l 1 ,...,l p } n'utilise qu'au plus une fois les variables.
l 1 =x i l 12 =x i
n
● C= ∪
k=1
C k
C k
={c∈C∣ayant k littéraux x}
1. Dans X' on met toutes les variables de X
2. k=1 c∈C 1 c={l 1 }
Si C 1
≠0 on ajoute deux variables X 1 , X 2 à X'

c=l dansC 1
' {l 1
, X 1 , X 2 }, {l 1
, X 1
, X 2 }, {l 1
, X 1
, X 2
},{l 1
, X 1
, X 2
}
Une interprétation de (X,C) satisfait c si et seulement si toute interprétation ' prolongeant
satisfait les 4 clauses
' X i =X i sur X
Si c=1 c'est à dire l 1 =1 ' {l 1 , X 1 , X 2 }=1
Idem pour les 3 autres.
Réciproquement si ' satisfait les 4 clauses, alors ' l 1 =1
..........
..........
CNF −SAT ≤ K P 3−SAT
Comme CNF-SAT est NP-complet, alors 3-SAT est NP-complet
Les preuves de NP-complétude sont - Soit invariables, le problème est manifestement une
généralisation d'un problème NP-complet
Construction gadget.
- Soit hyper astucieuse
Ex : Démineur, grille n*n
Est-ce que les chiffres sont cohérents
C'est un problème NP-complet (cf Clay institute)
HP (Hamiltonian Path) :
Instance G=(V,E) un graphe non orienté.
Q : Existe-t-il un chemin hamiltonien dans G
Théorème :
HP est NP-complet.
Preuve :
HP∈NP (exo TD)
X variables, C m 3-clauses -> (V, E)
Il existe une interprétation si et seulement si G admet un chemin hamiltonien satisfaisant C
(X,C)
On construit des gadgets
X={X 1 ...X n }
c={c 1 ...c m } c j ={l 1,j , l 2,j ,l 3,j }
Gadgets pour les variables

X i
∈ X H i
graphe s
r=2m+2
Quels sont les chemins hamiltoniens y i
− ∗ y i1
Les graphes H 1 ...H n on ajoute les sommets a et b.
...
2 n chemins hamiltonien possibles.
Gadgets pour les clauses
c j ={l 1,j ,l 2,j ,l 3,j }
c j un sommet z j
...
On a une réduction qui se calcule en temps polynomial