Courbe de Tate et uniformisation des courbes elliptiques p-adiques

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$Corps finis, corps de fractions rationnelles (TD4)$

où s k est la série formelle à coefficients entiers suivante, qui a bien un sens car la série converge pour la topologie Q-adique sur Z[[Q]] : s k = ∑ n k Q n 1 − Q n n1 Pour définir une flèche Q ⋆ p /qZ → E(Q p ) lorsque E est une courbe elliptique sur Q p et q ∈ Z ⋆ p , on aimerait utiliser la même formule que sur C, en considérant ℘(z) et ℘ ′ (z) comme des séries formelles en U et Q. On a alors affaire à un nouveau problème : π et i apparaissent dans les coefficients de ces séries. Pour les éliminer, effectuons le changement de variables suivant : ( x = (2iπ) 2 x ′ + 1 ) 12 L’équation de Weierstrass en x ′ et y ′ s’écrit alors où l’on a posé : y = (2iπ) 3 (2y ′ + x ′ ) y ′ 2 + x ′ y ′ = x ′ 3 + a4 (q)x ′ + a 6 (q), a 4 = −5s 3 ; a 6 = − 1 12 (5s 3 + 7s 5 ) Les séries formelles a 4 et a 6 sont à coefficients rationnels, et même entiers (exercice facile). Le discriminant ∆ C (q) de cette équation de Weierstrass se déduit facilement de celui de l’équation de Weierstrass en x et y, lui-même donné en fonction de q par la formule de Jacobi (voir [2], I.8). On obtient : ∆ C (q) = q ∏ n1 (1 − q n ) 24 Si F est un corps muni d’une valeur absolue pour laquelle il est complet (par exemple F = C ou F = Q p ), posons, pour q ∈ F ⋆ tel que |q| < 1 et u ∈ L ⋆ \q Z , où L est une extension algébrique de F munie de l’unique valeur absolue prolongeant celle de F : X F (u, q) = ∑ q n u (1 − q n u) 2 − 2s 1(q) n∈Z Y F (u, q) = ∑ n∈Z (q n u) 2 (1 − q n u) 3 + s 1(q) On vérifie tout de suite que les séries ci-dessus convergent dans F (u), d’après les hypothèses sur q et u. D’après ce qui précède, en reprenant τ ∈ H et q = e 2iπτ , l’isomorphisme entre E τ (C) et C ⋆ /q Z s’écrit donc : 2 La courbe de Tate C ⋆ /q Z −→ E τ (C) ⊂ P 2 (C) où le plongement est donné par (x ′ , y ′ ) u ↦−→ [X C (u, q) : Y C (u, q) : 1] si u ≠ 1 1 ↦−→ [0 : 1 : 0] 2.1 Définitions et énoncé du théorème Soit K un corps complet pour une valeur absolue non-archimédienne discrète. Soit K une clôture algébrique de K, que l’on munit de l’unique valeur absolue prolongeant celle de K. Soit enfin q ∈ K ⋆ tel que |q| < 1. Les séries a 4 (q) et a 6 (q) convergent dans K puisqu’elles sont à coefficients entiers. Soit E q la courbe (projective) sur K définie par : y 2 + xy = x 3 + a 4 (q)x + a 6 (q) (1) Soit ∆ la série formelle suivante (on vérifie tout de suite que ceci converge pour la topologie Q-adique) : ∆ = Q ∏ n1 (1 − Q n ) 24 ∈ Z[[Q]] Proposition 2.1.1 — Le discriminant de l’équation de Weierstrass (1) est ∆(q). 2
Attention à la signification de ∆(q) : ici ∆ est un élément de K[[Q]], et ∆(q) désigne donc la limite de la somme des termes de degré inférieur à n lorsque n tend vers l’infini. On n’a pas a priori ∆(q) = q ∏ n1 (1 − q n ) 24 . Il se trouve que cette égalité est quand même vérifiée pour |q| < 1 si la valeur absolue est non-archimédienne (cela sous-entend que le produit converge, ce qui n’est pas complètement évident a priori non plus, même s’il est facile de le démontrer directement), du fait que les coefficients des produits partiels du terme de droite sont entiers (et donc bornés). En effet, si l’on note ∆ N la série tronquée au degré N, on a, pour M assez grand (dépendant de N), et donc ∆ N (Q) − Q ∣ ∣∣∣∣ ∆ N (q) − q M∏ (1 − Q n ) 24 ∈ Q N Z[[Q]], n=1 ∣ M∏ ∣∣∣∣ (1 − q n ) 24 |q| N , n=1 ce qui donne le résultat voulu lorsqu’on fait tendre N vers l’infini. Démonstration de la proposition — Le discriminant de (1) s’exprime comme un polynôme de a 4 (q) et a 6 (q), que l’on n’explicitera pas ; notons-le P (a 4 (q), a 6 (q)). Soit D = P (a 4 (Q), a 6 (Q)) ∈ Z[[Q]]. Il reste à montrer que D(q) = ∆(q) pour q ∈ K ⋆ , |q| < 1. Pour cela, il suffit de voir que D = ∆. On sait, d’après la section précédente, que pour q ∈ C ⋆ tel que |q| < 1, D(q) = q ∏ n1 (1 − qn ) 24 . La proposition sera donc prouvée si l’on établit que ∆(q) = q ∏ n1 (1 − q n ) 24 pour q ∈ C ⋆ , |q| < 1. Le membre de droite est une fonction holomorphe de q et il s’agit de vérifier que son développement en série entière est la série formelle ∆, ce que l’on obtient facilement par des arguments standard d’analyse complexe. □ Comme ∆ ∈ Q + Q 2 Z[[Q]], la proposition implique que ∆(q) ≠ 0 pour q ∈ K ⋆ tel que |q| < 1. Ainsi, E q est une courbe elliptique sur K. On l’appelle la courbe de Tate. Nous pouvons maintenant énoncer le théorème principal de cette section. Théorème 2.1.2 —Soient K un corps de caractéristique 0, complet pour une valuation discrète (par exemple un corps p-adique ou le complété de l’extension maximale non ramifiée de Q p ), K une clôture algébrique de K, G K = Gal(K/K) et q ∈ K ⋆ tel que |q| < 1. Alors l’application Φ: K ⋆ /q Z −→ E q (K) ⊂ P 2 (K) où le plongement est donné par (x, y) u ↦−→ [X K (u, q) : Y K (u, q) : 1] si u ≠ 1 1 ↦−→ [0 : 1 : 0] est un isomorphisme de G K -modules. Corollaire 2.1.3 — Si L/K est une extension algébrique, Φ induit un isomorphisme L ⋆ /q Z → E q (L). Démonstration — La seule chose à vérifier est la surjectivité de cette application. On la prouvera directement par la suite, mais notons qu’on peut la déduire du théorème. En effet, H 1 (G K , q Z ) est nul car G K agit trivialement sur q Z et il n’y a pas de morphisme continu non nul de G K dans q Z , ce dernier groupe étant discret. □ Nous allons prouver le théorème en deux étapes ; le plus difficile est la surjectivité de Φ. 3
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