Courbe de Tate et uniformisation des courbes elliptiques p-adiques

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$Corps finis, corps de fractions rationnelles (TD4)$

La situation est analogue du côté de K ⋆ /q Z : 1 + m ≀ R ⋆ K ⋆ /q Z 0 Ĝ m (m) R ⋆ k ⋆ 0 On va non seulement montrer que Φ est un isomorphisme, mais qu’il préserve ces deux diagrammes. Notons v la valuation normalisée sur K (i.e. à valeur dans Z et surjective). Avant tout, remarquons que l’équation de Weierstrass que l’on étudie (i.e. l’équation 1) est minimale. En effet, elle est à coefficients dans R, et un petit calcul montre que c 4 = 1 − 48a 4 (q) ; comme a 4 ∈ QZ[[Q]], on en déduit que v(c 4 ) = 0 < 4. Ainsi, Ẽ q est définie par l’équation de Weierstrass y 2 + xy = x 3 , ce qui montre que E q est à réduction multiplicative déployée, et que le point singulier de Ẽ q est [0 : 0 : 1]. Étape 1 — On a Φ(1 + m) = E q,1 (K). Démonstration — Soit u ∈ 1+m, u ≠ 1. En regardant la définition de X K (u, q), on voit tout de suite que v(X K (u, q)) < 0 (ne pas oublier que v(q) > 0). Ainsi, pour réduire P = [X K (u, q) : Y K (u q ) : 1] modulo m, il faudra d’abord multiplier par une puissance strictement positive d’une uniformisante. Cela montre que la coordonnée z de ˜P est nulle, i.e. ˜P est un point à l’infini, mais le seul tel point est ˜0 ; d’où une inclusion. D’après les diagrammes précédents, l’application 1 + m → E q,1 (K) induite par Φ s’identifie à : m −→ m t ↦−→ − X K(1 + t, q) Y K (1 + t, q) (Rappelons que si F est un groupe formel, l’ensemble sous-jacent à F(m) est m.) Pour t ∈ m, on peut développer X K (1 + t, q) et Y K (1 + t, q) en série entière (utiliser l’expression qui apparaît au début de la preuve du lemme 2.2.1 et faire de même pour Y K ), de sorte qu’il existe des a n et des b n dans R tels que, pour t ∈ m : ⎛ ⎞ X K (1 + t, q) = 1 t 2 a n t n ⎠ ⎝1 + ∑ n1 ⎛ ⎞ Y K (1 + t, q) = 1 ⎝−1 t 3 + ∑ b n t n ⎠ n1 Ainsi, il s’agit de voir que l’application m → m, t ↦→ t (1 + ∑ ) n1 c nt n est surjective, où les c n sont dans R. Ceci découle directement du lemme 2.3.3. □ Étape 2 — On a Φ(R ⋆ ) ⊂ E q,0 (K). Démonstration — Soit u ∈ R ⋆ . Si u ∈ 1 + m, on peut utiliser l’étape 1 ; supposons donc u non congru à 1 modulo m. On voit alors tout de suite sur les expressions de X K (u, q) et de Y K (u, q) que v(X K (u, q)) = v(Y K (u, q)) = 0. Ainsi, Φ(u) ne peut pas être le point [0 : 0 : 1]. □ On déduit des étapes précédentes une flèche ˜Φ: k ⋆ → Ẽ qreg (k), par restriction à R et passage au quotient. Étape 3 — L’application ˜Φ est bĳective. Démonstration — Explicitions ˜Φ : en réduisant X K (u, q) et Y K (u, q) modulo m, on voit que ˜Φ(u) = [u(1 − u) : u 2 : (1 − u) 3 ] pour u ∈ k ⋆ . L’application [x : y : z] ↦→ y 2 z/x 3 est donc réciproque de ˜Φ, d’où le résultat. □ 8
Les étapes 1 et 3, l’injectivité de Φ et le lemme des cinq montrent que Φ induit une bĳection entre R ⋆ et E q,0 (K). Pour prouver la surjectivité de Φ, il suffit de voir que l’application K ⋆ /(R ⋆ q Z ) → E q (K)/E q,0 (K) est bĳective, encore d’après le lemme des cinq. Cette application est injective et le groupe K ⋆ /(R ⋆ q Z ) est d’ordre v(q). Le théorème sera donc prouvé si l’on montre que Card (E q (K)/E q,0 (K)) v(q). À vrai dire, cette inégalité découle de considérations géométriques sur la fibre spéciale du modèle de Néron de E q . Précisons les choses. Si E est une courbe elliptique sur K, on prouve qu’il existe un modèle propre et régulier de E sur R (c’est-à-dire un R-schéma propre, régulier, plat et de type fini, dont la fibre générique est E), et qu’il en existe un minimal (notons-le C), au sens où tout R-morphisme de C vers un autre modèle propre et régulier de E sur R qui induit un isomorphisme sur la fibre générique est en fait un isomorphisme. Il existe une classification pour la fibre spéciale de C (due à Kodaira et Néron), et un algorithme (dû à Tate) pour déterminer, à partir d’une équation de Weierstrass de E, dans quel cas de la classification on se trouve. Lorsqu’on applique l’algorithme de Tate à l’équation de E q , on trouve tout de suite que la fibre spéciale de C comporte n composantes irréductibles C i de multiplicité 1 (avec n = v(∆(q))), indexées par Z/nZ, où C i rencontre C i+1 en un seul point, transversalement. D’autre part, la structure de K-schéma en groupes de E s’étend en une structure de R-schéma en groupes sur l’ouvert de lissité de C sur R (notons E cet ouvert – c’est le modèle de Néron de E sur R). On montre que la section nulle de E (i.e. le neutre de E(R)) rencontre exactement l’un des C i , et que l’ouvert de lissité de ce C i -là est un sous-schéma en groupes de E, que l’on note E 0 . On montre enfin que E(K)/E 0 (K) s’identifie à E(R)/E 0 (R), puis à E(k)/E 0 (k), mais il est évident que dans le cas de E q , ce groupe est de cardinal n, d’après la description de la fibre spéciale de E. Remarquons enfin qu’on a bien n = v(q). On peut aussi le prouver de manière très élémentaire. Il s’agit en fait de la même preuve, mais de laquelle on a retiré tout ce qui n’était pas calculatoire. Bornons-nous à donner les étapes principales de la démonstration, car le reste présente peu d’intérêt. Fixons une uniformisante π de R, et posons : On prouve que l’on a alors U n = {(x, y) ∈ E q (K) ; |π| n = |y| > |x + y|} V n = {(x, y) ∈ E q (K) ; |π| n = |x + y| > |y|} W = {(x, y) ∈ E q (K) ; |y| = |x + y| = |q| 1/2 } E q (K) = E q,0 (K) ∪ W ∪ ⋃ 1n< 1 2 v(q) (U n ∪ V n ) et que ces réunions sont disjointes : il s’agit d’une partition de E q (K) en au plus v(q) parties. On prouve ensuite que cette partition est plus fine que celle obtenue en considérant tous les translatés de E q,0 (K), ce qui donne le résultat voulu. 3 Uniformisation p-adique Le théorème de la section précédente est l’analogue p-adique de l’assertion « pour τ ∈ H, E τ (C) s’écrit sous la forme C/Λ ». Il reste à montrer un analogue de « toute courbe elliptique sur C est isomorphe à E τ pour un certain τ » ; c’est l’uniformisation p-adique. On ne peut espérer que toute courbe elliptique sur un corps p-adique K soit isomorphe à E q pour un certain q, puisque l’on a toujours |j(E q )| > 1 (en effet, un petit calcul montre que j(E q ) = 1/q + ∑ n0 c(n)qn où c(n) ∈ Z). Cependant, nous verrons que toute courbe elliptique E sur K telle que |j(E)| > 1 est isomorphe à une courbe E q , quitte à passer à une extension quadratique de K. 3.1 Invariant j et invariant γ Soit K un corps de caractéristique différente de 2 et de 3. Fixons une clôture algébrique K de K. L’invariant j d’une courbe elliptique E sur K caractérise E à K-isomorphisme près seulement. On aimerait un autre invariant, qui, à l’intérieur d’une classe de K-isomorphisme de courbes elliptiques sur K, caractérise la classe de K-isomorphisme. C’est le rôle de l’invariant γ. Proposition-définition 3.1.1 — Soit E une courbe elliptique sur K d’invariant j différent de 0 et de 1728. Choisissons une équation de Weierstrass de E ; on utilisera les notations standard pour les quantités qui lui sont associées (∆, 9
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