1 Le calcul variationnel

1 Le calcul variationnel
1.1 Introduction.
Dès que vous avez vu les bases de l’analyse, vous avez appris à répondre à la question
suivante : comment trouver le point x pour lequel la fonction f(x) est maximum (ou
minimum) ? f est une machine qui prend un nombre en entrée et produit un nombre en
sortie. La question ci-dessus en réalité est celle de trouver un extremum local : un point
qui produit la sortie la plus grande (ou la plus petite) que tous ses voisins immédiats.
Nous savons que pour un tel point x∗,
f ′ (x∗) = 0.
Donnons nous maintenant une fonctionnelle L.Ceci est une machine qui prend une fonction
en entrée et produit un nombre en sortie. Par exemple
S(f) =
∫ b
a
[
f(x) 2 + f ′2 (x) ] dx (1.1)
est une fonctionnelle qui prend une fonction, ajoute son carré et le carré de sa dérivée et
les intègre entre deux bornes pour produire un nombre. Si on entre la fonction sin x dans
cette machine, elle produit le nombre b − a. Si on y entre la fonction exp x, elle produit
le nombre 2 exp(2b) − 2 exp(2a).
Le calcul variationnel consiste à répondre à la question suivante : quelle est la fonction
f qui produit la plus grande sortie S(f) ? La réponse que nous allons voir par la suite est
que f doit satisfaire une équation différentielle qui est relié à la forme de la fonctionnelle
S.
Donnons deux exemples avant d’aller plus loin.
Brachistochrone. L’exemple le plus important historiquement est celui du brachistochrone.
Soit un point A(0, 0) situé dans le plan vertical, relié à un point B(x 1 , y 1 )
par un toboggan dont la forme est donnée par la fonction y = f(x). On laisse un objet
glisser sans frottement du point A le long du toboggan. Comment choisir la forme du
toboggan, (la fonction f), pour que le temps d’arrivé au point B soit minimum ? Vous
voyez qu’une fois qu’on se donne un toboggan, c’est à dire une fonction, en utilisant
quelques notion de mécanique et de conservation d’énergie, on peut calculer le temps
de parcours, c’est à dire un scalaire. Essayons de mettre cela en forme. La vitesse de
l’objet à l’ordonnée y vaut √ 2gy.L’élément d’arc ds = √ dx 2 + dy 2 = √ (1 + f ′ (x) 2 dx
est parcouru en un temps dt = ds/v. Le temps total du parcours est donc
∫
√
x1
1 + f
T =
′ (x) 2
dx
2gf(x)
0
1

1 Le calcul variationnel
Et il faut trouver la fonction f qui minimise cette intégrale 1 . Ce problème avait été lancé
comme un défi par un des frères Bernoulli vers 1690 (à peine dix ans après l’invention
du calcul différentiel) à la communauté scientifiques. Tous les grands (Newton, Leibnitz,
l’autre Bernoulli, Hospital, ...) y répondirent. Euler (~1740) a trouvé une solution générale
de ce genre de problème et Lagrange (~1780) les a généralisé à la mécanique.
Mécanique analytique. Prenons une particule de masse m qui quitte le point x = 0
au temps t = 0 et arrive à un autre point x = x 1 au temps t = t 1 . Cette particule est
soumise à un potentiel V (x). Le mouvement de la particule est donné par la fonction
x(t). La fonction x(t) qui minimise
S =
∫ t1
0
[
(m/2)ẋ 2 (t) − V (x(t)) ] dt (1.2)
est la trajectoire suivie par la particule. Ceci est une nouvelle formulation de la mécanique.
Classiquement, nous résolvons l’équation différentielle F = ma où la fonction
F (x) = −dV/dx et a = d 2 x/dt 2 pour remonter à la trajectoire x(t). Ici, la démarche
est différente : de toute les trajectoires possibles qui relie (0, 0) à (t 1 , x 1 ), la particule
choisit justement celle qui minimise l’intégrale (1.2). Comme si un dieu calculait le coût
(qu’on appelle l’action S) de chaque trajectoire et choisissait la meilleure. Bien sûr, cette
formulation de la mécanique et la formulation Newtonienne sont équivalente, bien que
la formulation lagrangienne soit beaucoup plus profonde et pratique. Notez que la quantité
dans l’intégrale n’est pas l’énergie totale, mais l’énergie cinétique moins l’énergie
potentielle. On appelle cette quantité le Lagrangien.
1.2 Calcul des variations.
Formulons correctement notre problème (nous n’allons pas attaquer le cas le plus
général pour l’instant). Soit la fonctionnelle
S[f] =
∫ b
a
L[f(t), f ′ (t), t]dt (1.3)
Trouver la fonction f(t), avec les conditions f(a) = y 0 et f(b) = y 1 pour laquelle l’intégrale
est un extremum.
Traditionnellement, la fonction L qui se trouve sous l’intégrale est appelé le Lagrangien.
C’est une fonction tout ce qu’il y a de plus normal. Par exemple, L(x, y) = x 2 + y 2 .
Comme à un instant donné, f(t) et f ′ (t) sont des nombres, il est tout à fait légitime de
calculer L[f(t), f ′ (t)] qui dans ce cas, vaut f(t) 2 + f ′ (t) 2 comme l’expression que nous
avions écrit dans (1.1). En plus, nous avons le droit de prendre les dérivées partielles de
L : par exemple, dans ce cas, ∂L/∂x = 2x et ∂L/∂y = 2y. Il est usuel, si nous avions
1. A première vue, il semble qu’il manque quelque à cette formulation : l’intégrale ne contient pas de
référence à y 1 et nous n’exigeons apparemment pas que la particule finisse sa trajectoire à l’ordonné y 1.
Nous y reviendrons plus tard, quand nous aborderons les contraines.
2

1 Le calcul variationnel
y1
y0
f+εg
g
f
a
b
Figure 1.1: Une fonction f et une variation g autour de cette fonction.
noté L[f(t), f ′ (t)], de noter ces dérivées partielles par ∂L/∂f et ∂L/∂f ′ : cela veut juste
dire “dérivée partielle par rapport au premier ou deuxième argument”. Dans ce cas, nous
aurions eu par exemple ∂L/∂f ′ = 2f ′ (t). D’ailleurs, si vous remarquez, ∂L/∂f ′ est ici
une fonction de t et on peut par exemple prendre sa dérivée par rapport au temps :
d[∂L/∂f ′ ]/dt = 2f ′′ (t). Si au début, vous trouvez cette notation abrupte, remplacez f
et f ′ avant les dérivations par x et y, et remettez les à leur place une fois les opérations
terminées. Mais on prend vite l’habitude de ces notations. Notez également que l’on ne
cherche pas n’importe quelle fonction, mais les fonctions qui prennent des valeurs bien
déterminée (y 0 et y 1 ) aux bords a et b.
Avant d’aller plus loin, revenons un instant au cas d’une fonction f(x) dont ont veut
trouver l’extremum. Si nous connaissons la valeur de la fonction au point x, alors son
accroissement quand on se déplace au point x + ɛ est donnée par
df = f(x + ɛ) − f(x) = A(x)ɛ + termes d’ordres ɛ 2 + ...
La première partie de l’accroissement (celle qui est importante quand ɛ est petit) est
linéaire en ɛ : si nous avions pris un ɛ deux fois plus grand, nous aurions eu un accroissement
deux fois plus grand également. La fonction A(x) est le coefficient de proportionnalité
entre df et ɛ au point x, et nous avons plus l’habitude de la noter par f ′ (x). Le
point x est un extremum si le coefficient de proportionnalité f ′ (x) = 0, c’est à dire qu’en
se déplaçant autour du point x, l’accroissement de f (à l’ordre 1 en ɛ ) est nulle.
Nous n’avons qu’à suivre cette méthodologie pour trouver l’extremum de notre fonctionnelle
S[f] : Nous allons ajouter la fonction ɛg(t) à la fonction f(t), et calculer l’accroissement
de la fonctionnelle dS = S[f + ɛg] − S[f]. Avec un peu de chance, cette
accroissement comporte un terme linéaire en ɛ :
dS = S[f + ɛg] − S[f] = A[f, g].ɛ + termes d’ordre ɛ 2 + ...
où A[f, g] est un coefficient de proportionnalité qui dépend des fonctions f et g. Nous
disons que f est un extremum si A[f, g] = 0 quelque soit g ! Cela est analogue à trou-
3

1 Le calcul variationnel
ver l’extremum d’une fonction de plusieurs variables : le point (x ∗ , y ∗ , z ∗ , ...) est un extremum
de la fonction f(x, y, z, ...) si en ce point, quelque soit le déplacement ( par
exemple (dx, 0, 0, ...) ou (0, dy, dz, ...) ) la partie linéaire de l’accroissement est nulle. Une
fonction, comme nous l’avons vu au chapitre 1, n’est finalement qu’un point dans un
espace à dimension infini ; une fonctionnelle est comme une fonction d’une infinité de
variable. Quelque soit g dans l’expression précédente veut simplement dire quelque soit
le déplacement dans cet espace.
Il faut prendre une précaution : nous ne cherchons que des fonctions pour lesquelles
f(a) = y 0 et f(b) = y 1 . Comme f satisfait déjà à cette condition, pour que f + ɛg la
fasse également, nous ne devons considérer que des fonctions g tel que g(a) = g(b) = 0.
Les fonctions g ne sont pas donc tout à fait quelconque. Nous obtenons :
S[f + ɛg] =
∫ b
a
= S[f] + ɛ
L[f(t) + ɛg(t) , f ′ (t) + ɛg ′ (t)]dt (1.4)
∫ b
a
∫
∂L
b
∂f g(t)dt + ɛ ∂L
∂f ′ g′ (t)dt + ...
où nous avons simplement utilisé le fait que L(x + h, y + k) = L(x, y) + (∂L/∂x)h +
(∂L/∂y)k + ... On peut déjà voir la partie linéaire apparaître. Nous pouvons mettre la
deuxième intégrale un peu plus en forme en faisant une intégration par partie :
∫ b
a
[ ]
∂L
∂L b ∫ b
[ ]
∂f ′ g′ (t)dt =
∂f ′ g(t) d ∂L
−
a a dt ∂f ′ g(t)dt
La première partie est nulle, puisque la fonction g vaut justement 0 sur les bords. En
remettant ce qui reste dans l’expression (1.4), nous avons :
dS = ɛ
∫ b
a
{ ∂L
∂f − d [ ]} ∂L
dt ∂f ′ g(t)dt + ...
L’intégrale est notre facteur de proportionnalité entre dS et ɛ. Si la fonction f est un
extremum, alors l’intégrale doit être nulle quelque soit la fonction g. La seule possibilité
est donc que f satisfasse à l’équation différentielle
∂L
∂f − d dt
a
[ ] ∂L
∂f ′ = 0 (1.5)
qui est appelé l’équation d’Euler-Lagrange. Notez que cette équation est homogène dimentionnellement.
Faisons quelques exercices pour nous fixer les idées.
Identité de Beltrami.
d
dt
{
f ′ ∂L
∂f ′ − L }
Evaluons l’expression
′′ ∂L
= f
= f ′ ( d
dt
( ) ∂L
∂f
( )
′
∂L
∂f ′ − ∂L
∂f
∂f ′ + f ′ d dt
− ∂L
∂f f ′ − ∂L
∂f ′ f ′′ − ∂L
∂t
)
− ∂L
∂t
4

1 Le calcul variationnel
Si L ne dépende pas explicitement de t, alors ∂L/∂t = 0 ; par ailleurs, l’expression entre
parenthèse n’est que l’équation d’Euler-Lagrange et vaut zéro par construction. Nous en
déduisons que si le Lagrangien ne dépend pas explicitement du temps, alors
f ′ ∂L
∂f ′ − L = Cte
Ceci est appelé l’identité de Beltrami. En mécanique, ceci n’est rien d’autre que la conservation
d’énergie (exercice : le démontrer) ; elle est cependant de portée plus générale et
facilite grandement les calculs dans les problèmes où la variable indépendante n’intervient
pas explicitement, comme dans le problème du brachistochrone.
Exemple : Mécanique et loi de Newton. En mécanique analytique d’un point matériel,
le lagrangien est L = T − V , où T est l’énergie cinétique est V l’énergie potentiel. Si
on se restreint au cas unidimensionnel où une particule est soumis à un potentiel V (x),
alors pour la particule de trajectoire x(t),
L(x, ẋ) = (1/2)mẋ 2 − V (x).
Le premier terme de l’équation d’Euler-Lagrange est
∂L
∂x = −dV dx
Comme nous l’avons mentionné ci-dessus, le seul terme qui dépend de la première variable
x est V (x). Remplacer mentalement la deuxième variable ẋpar y dans l’expression
du lagrangien avant la dérivation si cela vous dérange. La dérivation par rapport à la
deuxième variable ( ẋ )donne
∂L
∂ẋ = mẋ
et la dérivation par rapport au temps de cette dernière nous donne
et l’équation d’E.L. s’écrit finalement
d
dt
[ ∂L
∂ẋ
]
= mẍ
mẍ + dV/dx = 0
Ce qui est bien sûr la même chose que l’équation de Newton F = ma.
Allons un peu plus loin. Supposons que le potentiel est constant V (x) = Cte, s’est à
dire que la particule se meut dans une région de l’espace où il n’est pas soumis à une force.
On peut également dire que cette région de l’espace possède une symétrie d’invariance
par translation : deux particules identiques placé à deux endroits différents de l’espace
réagirait exactement de même ; dit encore autrement, nous n’avons aucune méthode pour
déterminer où l’on se trouve dans l’espace. Dans ce cas, ∂L/∂x = 0, et l’équation d’E.L.
s’écrit
d
dt
[ ∂L
∂ẋ
]
= 0
5

1 Le calcul variationnel
ou encore la quantité p = ∂L/∂ẋ = Cte. Or, p n’est autre chose que la quantité du
mouvement p = mẋ. Donc, symétrie d’invariance par translation dans l’espace nous
impose la conservation de la quantité du mouvement. C’est un concept extrêmement
profond 2 : à chaque symétrie du Lagrangien correspond une loi de conservation. La
conservation de l’énergie est liée à la symétrie de translation dans le temps, la conservation
du moment cinétique est associé à l’invariance par rotation autour d’un axe et ainsi
de suite. En physique, une théorie n’est bien formé que si on peut la formuler sous
forme variationnelle et chercher, par la symétrie sous-jacente du lagrangien, ses lois de
conservation. Plus tard dans ce chapitre, nous verrons les formulations lagrangienne de
l’électromagnétisme et de la mécanique quantique quand nous verrons comment traiter
les champs.
Plusieurs degrés de libertés et contraintes. Parfois, souvent, le lagrangien dépend de
plusieurs fonctions. Par exemple, une particule dans l’espace habituel possède trois degrés
de libertés x 1 , x 2 , x 3 et L = L(x 1 , x 2 , x 3 , x˙
1 , x˙
2 , x˙
3 ). Si les x i sont les coordonnées cartésiennes,
nous avons L = (m/2) ∑ i x2 i − V (r). La démarche ci-dessus peut-être répétée
mot à mot pour démontrer que nous aurons une équation d’E.L. pour chaque degrés de
liberté :
∂L
− d [ ] ∂L
= 0 (1.6)
∂x i dt ∂ẋ i
L’approche lagrangienne ne dépend pas du choix de coordonnées, bien évidemment. Il
suffit donc de pouvoir écrire l’énergie cinétique et potentielle pour déduire les équations
du mouvement de façon automatique.
Exemple 1 : mouvement dans un champ central. Il est facile de passer de l’expression
de l’énergie cinétique en coordonnées cartésiennes (on pose m = 1) T = ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 aux
coordonnées sphériques, T = ṙ 2 + r 2 ˙θ2 + r 2 sin 2 θ ˙φ 2 . L’énergie potentiel est V (r), ce qui
donne le lagrangien
L = ṙ 2 + r 2 ˙θ2 + r 2 sin 2 θ ˙φ 2 − V (r)
En écrivant E.L. pour θ :
4rṙ ˙θ + 2r 2 ¨θ − 2r 2 sin θ cos θ ˙φ 2 = 0 (1.7)
Nous remarquons que nous avons une symétrie : si nous avions choisi nos axes pour que
à t = 0, θ = π/2 et ˙θ = 0 ( ce qui revient à choisir le plan xy défini par le rayon vecteur
de la particule et sa vitesse ), alors θ(t) = π/2 vérifie trivialement l’équation (1.7) : la
particule reste dans le plan xy. Le lagrangien s’écrit plus simplement donc
L = ṙ 2 + r 2 ˙φ2 − V (r)
Nous remarquons que φ n’intervient pas dans le lagrangien, le moment associé à cette
variable se conserve donc :
p φ = ∂L
∂ ˙φ = 2r2 ˙φ = cte
2. Ceci s’appelle le théorème de Noether, du nom de la mathématicienne allemande qui l’a formulé
vers 1912.
6

1 Le calcul variationnel
Ceci n’est rien d’autre que la conservation du moment cinétique, comme nous l’avions
annoncé ci-dessus. Finalement, il faut écrire l’E.L. pour r et résoudre les équations différentielles
résultantes. Le lecteur trouvera la solution de ses équations dans les livres de
mécanique.
Exemple 2 : Pendule paramétrique. Soit un pendule de masse m = 1 restreint au plan
xy (on suppose la gravité selon l’axe y) dont la longueur varie de façon périodique dans
le temps : l = l(t). Quelle est son équation de mouvement ?
Le système possède un seul degrés de liberté. Nous choisissons l’angle θ que fait le
pendule avec l’axe y comme ce degrés. L’énergie cinétique est donnée par T = (ẋ 2 +ẏ 2 )/2.
Comme x = l sin θ et y = l cos θ, T = ( ˙l 2 + l 2 ˙θ2 )/2. L’énergie potentiel est U = gy =
−gl cos θ. Pour le premier terme de l’équation E.L., nous avons
[ ]
d ∂L
dt ∂ ˙θ
= d [ ]
l 2 ˙θ
dt
= l 2 ¨θ + 2l ˙l ˙θ
Comme par ailleurs, ∂L/∂θ = −∂U/∂θ = −gl sin θ, nous trouvons l’équation du mouvement
:
¨θ + 2
(
˙l/l
)
˙θ + (g/l) sin θ = 0
Si l est constante, nous retrouvons l’équation classique d’un pendule. Si maintenant l
oscille faiblement autour d’une position moyenne l = l 0 + l 1 sin ωt, l 0 ≫ l 1 , on peut
démontrer qu’il y a phénomène de résonance si la fréquence d’excitation ω est le double
de la fréquence propre Ω = √ g/l 0 ; la phase de l’oscillateur est alors bloquée (à 0 ou π) sur
la phase de l’excitation. Ce procédé est largement utilisé dans les circuits électroniques.
Vous avez sans doute remarqué avec quelle facilité l’on obtient les équations du mouvement.
En aucun cas on ne doit chercher les forces des réactions des contraintes, comme
dans le cas de la formulation Newtonienne. Il existe une interprétation géométrique extrêmement
profonde de cette approche qui peut-être trouvé dans les livres de mécanique
analytique. Nous ne continuerons pas plus le sujet ici.
1.3 Formulation Lagrangienne et équation du mouvement
d’un champ.
Là où le calcul variationnel montre toute sa puissance est pour l’obtention d’équations
d’évolution pour un champ : la hauteur d’une corde vibrante, le champ électromagnétique,
le champ des contraintes élastique dans un solide, le champ des amplitudes en mécanique
quantique. Peut importe le champ, il suffit de pouvoir formuler un lagrangien, c’est à dire
l’énergie cinétique moins l’énergie potentielle, et le tour est joué. La différence par rapport
à ce que nous avons développé ci-dessus est minime. Jusque là, nous avions considéré des
lagrangiens fonctions de plusieurs x i , chacune de ces dernières fonction d’une variable
t. Là, nous allons considérer des lagrangien fonction de plusieurs φ i , chacune de ces
dernières fonction de plusieurs variable.
7

1 Le calcul variationnel
Exemple fondamental. Pour fixer les idées, considérons le cas de la corde vibrante
fixée à ces deux extrémités (x = 0 et x = L). A chaque instant t, la hauteur de la
corde à la position x est donnée par φ(x, t). Étant donnée la forme de la corde à l’instant
t 0 (φ(x, t 0 ) = y 0 (x) ) et t 1 (φ(x, t 1 ) = y 1 (x) ), quelle est l’évolution de la corde qui minimise
l’action ? La trajectoire de la corde est alors la surface reliant y 0 (x) à y 1 (x) dans le temps.
A un instant donnée t, l’énergie cinétique de la corde est donnée par la somme de
l’énergie cinétique de tout ses points matériel,
T =
∫ L
0
ρ (∂φ/∂t) 2 dx
et son énergie potentielle est l’énergie élastique des déformations
V =
∫ L
0
k (∂φ/∂x) 2 dx (1.8)
où ρ est la densité de la ligne et k sa constante élastique. Notant c 2 = k/ρ, l’action (le
coût d’une trajectoire φ(x, t) ) est
S[φ] =
∫ t1
∫ L
t 0
0
[
(∂φ/∂t) 2 − c 2 (∂φ/∂x) 2] dxdt
En considérant une variation ɛg(x, t) autour de la trajectoire φ(x, t), nous trouvons qu’à
l’ordre 1 en ɛ, la variation de l’action est
∫ t1
S[φ + ɛg] − S[φ] = ɛ
t 0
∫ L
0
[ ∂φ ∂g
∂t ∂t
En faisant des intégration par partie, nous trouvons
δS =
∫ t1
∫ L
t 0
0
− c2
∂φ
∂x
[ ∂ 2 ]
φ
∂t 2 − c2 ∂2 φ
∂x 2 gdxdt
∂g
∂x
]
dxdt
δS = 0 quelque soit la variation g que si le terme entre []est nul, c’est à dire
∂ 2 φ
∂t 2 − c2 ∂2 φ
∂x 2 = 0
qui est bien sûr l’équation d’onde bien connue.
Equation générale du mouvement de champ. Nous pouvons maintenant généraliser
cette approche par des calculs aussi élémentaires que ceux ci-dessus, l’étape le plus technique
étant une intégration par partie. Soit un domaine D dans un esapce à n dimensions,
où nous cherchons à trouver l’extrémum de la fonctionnelle
∫
S[u] = L(u ,1 , ..., u ,n , u, x 1 , ...x n )d n x
D
8

1 Le calcul variationnel
où u ,i = ∂u/∂x i . La valeur de la fonction u(x 1 , ..., x n ) sur la frontière du domaine D
étant fixé. L’équation d’Euler-Lagrange pour ce champ est donné par
n∑
i=1
( )
∂ ∂L
− ∂L
∂x i ∂u ,i ∂u = 0
Remarquez que cette expression est une simple généralisation d’EL à une dimension :
l’expression de dérivation de moment (d/dx)(∂L/∂u ′ ) est remplacée par la somme de
toutes les dérivées partielles.
Tenseur energie-impulsion. Nous pouvons pousser un peu plus loin. Nous avons vu
l’égalité de Beltrami quand nous avons une fonction d’une variable et que le lagrangien
ne dépend pas de la variable indépendante :
{
d
y ′ ∂L }
dx ∂y ′ − L = 0
ou si nous voulions l’écrire avec nos notations sophistiquées
{
}
d ∂L
y ,x − L = 0
dx ∂y ,x
ou nous avons noté y ,x = y ′ = dy/dx. Si L représente le Lagrangien de la mécnaique
analytique, le terme entre crochet rerpésente l’Hamiltonien, une quantité scalaire. Nous
pouvons généraliser ce concept au lagrangien d’un champ u(x 1 , x 2 , ...x n ) qui ne dépend
pas explicitement des variables indépendantes. En notant 3
T ij = u ,i
( ∂L
∂u ,j
)
− δ ij L
nous pouvons obtenir l’équivalent de l’identité de Beltrami pour un champ :
n∑
j=1
∂T ij
∂x j
= 0
la quantité T qui joue le rôle de l’Hamiltonian pour le champ est souvent appelé en
physique le tenseur énergie-impulsion. Le lecteur interessé pourra consulter des livres de
géométrie pour voir la signification générale de ce tenseur 4 .
3. Rappelons que δ ij = 0 si i ≠ j et 1 sinon. Ceci est appelé le symbole de Kroneker
4. Notons quand même que cela ressembe à une expression du genre divT = 0. Classiquement, la
divergence est défini pour un vecteur et est fortement associée au flux de ce vecteur à travers une surface.
Il n’est pas trop difficile de donner un sens au concept du flux d’un tenseur.
9

1 Le calcul variationnel
Exercices.
1. Pour une corde vibrante dans un champ de gravitation, nous devons ajouter le
terme V g = ∫ I ρ′ φdx à l’énergie potentielle (1.8) où ρ ′ est le produit de la densité par
l’accélaration de la gravité. Déduire l’équation du mouvement du champ dans ce cas.
Même question si la corde se trouve dans un potentiel harmonique V h = ∫ I κφ2 dx.
2. Calculer le tenseur energie-impulsion pour la corde vibrante sans potentiel extérieur.
Que représente T tt ? Que veut dire l’identité de Beltrami dans ce cas ?
Que représente alors T tx ?
3. Déduire les équations du mouvements d’un champ dans un espace à n−dimension,
où l’expression de l’énergie potentielle (interne) est donné par V = ∫ I k(∇φ)2 dr.
Ceci généralise l’équation de la corde vibrante.
4. Déduire l’équation du mouvement d’un champ dans un espace à n−dimension
anisotrope, où l’expression de l’énergie potentielle (interne) est donné par
∫
∑ ∂φ ∂φ
V = a ij dr
∂x i ∂x j
I
i,j
où pour les coefficients, nous pouvons supposer a ij = a ji (pourquoi ?). Ce genre
d’expression se rencontre fréquemment dans des problèmes comme l’élasticité des
cristaux, où les déformations dans les différentes directions ne sont pas équivalentes.
1.4 Optimisation sous contraintes.
1.4.1 Les déplacements compatibles.
Oublions pour l’instant le problème de l’extremum d’une fonctionnelle, et revenons au
problème beaucoup plus simple de l’extremum d’une fonction de plusieurs variables. Soit
la fonction f(x, y) dont nous cherchons l’extremum. Nous savons qu’au point extremum,
les termes linéaires des variations doivent être nulle
df = f(x + h, y + k) − f(x, y) =
( ∂f
∂x
)
h +
( ) ∂f
k + O(h 2 , k 2 )
∂y
et ceci quelque soit h, k : quelque soit la direction que l’on prend au point extremum, le
terme linéaire de la variation doit être nulle.
Supposons maintenant que nous ajoutons une contrainte : nous ne cherchons pas l’extremum
absolu de f, mais un point x ∗ qui satisfasse en plus à la contrainte g(x, y) = 0.
Par exemple, nous savons que le minimum de la fonction f(x, y) = x 2 + y 2 est le point
(0, 0). Mais si nous contraignons notre point à se déplacer sur la courbe y = ax+b, b ≠ 0,
le point (0, 0) n’est pas atteignable. On peut cependant chercher un point qui minimise f
avec la contrainte donnée 5 . Dans le cas simple que nous somme en train de traiter ici, on
peut résoudre une coordonnées par rapport à l’autre et ramener la fonction à une seule
5. Imaginer que vous marchez en montagne sur un chemin, et vous vous intéressez au point le plus
bas sur ce chemin et non pas en général.
10

1 Le calcul variationnel
4
g(x,y)=0
2
A
0
O
−2
−4
−4 −2 0 2 4
Figure 1.2: La fonction f(x, y) = x 2 + y 2 est représentée par ses courbes de niveau. Le
minimum absolu de cette fonction est le point O = (0, 0). Le point le “plus
bas” de la fonction qui doit également appartenir à la courbe g(x, y) = 0
est le point A.
variable (degrés de liberté) : f(x) = x 2 + (ax + b) 2 et chercher maintenant le minimum
de cette nouvelle fonction (où les contraintes ont été absorbées). En général cependant,
la fonction contrainte g(x, y) = 0 est suffisamment compliquée pour qu’on ne puisse pas
résoudre une des coordonnées par rapport aux autres.
Revenons à la définition général : la variation linéaire de la fonction autour du point
extremum (x ∗ , y ∗ ) doit être nulle quelque soit le déplacement (h, k) autour de ce point. En
présence des contraintes, nous relâchons cette exigence : il faut que la variation linéaire
autour du point (x ∗ , y ∗ ) soit nulle seulement pour les déplacement (h, k) compatible avec
les contraintes 6 . Les déplacements compatibles avec la contrainte g(x, y) = 0 sont données
par
(∂g/∂x)h + (∂g/∂y)k = 0
Ceci nous donne une équation supplémentaire à considérer avec l’équation
df = (∂f/∂x)h + (∂f/∂y)k = 0
Nous sommes arrivés à un système de deux équations à deux inconnus linéaire. En résolvant
k en fonction de h dans la première équation et en l’injectant dans la deuxième,
et en exigeant maintenant que df soit nulle quelque soit h, nous obtenons 7
(∂f/∂x)(∂g/∂y) − (∂f/∂y)(∂g/∂x) = 0 (1.9)
Ceci est une condition supplémentaire sur l’extremum de la fonction f.
6. En mécanique, cela est appelé la méthode des travaux virtuels
7. On peut également dire que pour que le système Ah + Bk = 0, Ch + Dk = 0 ait une solution non
trivial h = k = 0, il faut que le déterminant de la matrice
( ) A B
soit nulle.
C
D
11

1 Le calcul variationnel
Exemple. Trouver l’extremum de la fonction f(x, y) = x 2 + y 2 avec la contrainte
g(x, y) = −ax + y − b = 0. En écrivant la condition (1.9), nous obtenons
(2x)1 − (2y)(−a) = 0
ou autrement dit, x + ay = 0. En combinant cette équation avec la contrainte y = ax + b,
nous trouvons les coordonnées du point extremum : x ∗ = −ab/(1 + a 2 ), y ∗ = b/(1 + a 2 ).
1.4.2 Les multiplicateurs de Lagrange.
Lagrange a introduit une méthode équivalente à ce que nous venons de voir ci-dessus.
Nous voulons optimiser f(x, y) avec la contrainte g(x, y) = 0. Lagrange introduit une
variable supplémentaire, λ et considère maintenant le problème de l’optimisation (libre)
de la fonction F (x, y, λ) = f(x, y) − λg(x, y). Cela nous donne
∂F
∂x = ∂f
∂x − λ ∂g
∂x = 0 (1.10)
∂F
= ∂f
∂y ∂y − λ∂g ∂y = 0 (1.11)
∂F
∂λ
= g(x, y) = 0 (1.12)
L’équation (1.12) n’est rien d’autre que la contrainte et assure que la solution trouvée
est bien conforme. Les deux premières équations (1.10,1.11) ne sont rien d’autre que la
condition (1.9) si on y élimine λ.
Re-exemple. Minimisons la fonction f(x, y) = x 2 + y 2 avec la contrainte g(x, y) =
−ax + y − b = 0. Nous introduisons la fonction F (x, y) = x 2 + y 2 − λ(−ax + y − b). Cela
nous donne
2x + λa = 0
2y − λ = 0
Ce qui bien sûr nous donne x+ay = 0. Nous trouvons à nouveau le même point optimum ;
de plus, si on le souhaite, on peut trouver également λ ∗ = 2y ∗ = 2b/(1 + a 2 ).
Le coefficient λ est appelé un multiplicateur de Lagrange. La méthode a une signification
physique profonde : supposons que nous avons un point matériel dans le potentiel
f(x, y) astreint à rester sur la courbe g(x, y). Au point x ∗ , le point (qui est stable) est
soumis à une force non-nulle de la part du potentiel F = (∂ x f, ∂ y f). Pour qu’il puisse
rester sur la position x ∗ , il faut que la courbe g(x, y) exerce une force de réaction sur le
point qui vaut justement λ ∗ (∂ x g,∂ y g). Si on enlevait la contrainte mais qu’on soumettait
le point matériel à cette force supplémentaire, il se mettrait exactement à la même
position. 8
8. Cette dualité force-contrainte a joué un grand rôle dans le développement de la mécanique, de
sa formulation Newtonienne dans les années ~1680 à l’apparition du livre de mécanique analytique par
Lagrange en ~1780. Lagrange était fier de n’avoir pas inclus une seule figure dans son livre. En mécanique,
la méthode de Lagrange nous permet de calculer une position d’équilibre sans calculer explicitement les
forces de réactions.
12

1 Le calcul variationnel
1.4.3 Généralisation des multiplicateurs de Lagrange.
Les multiplicateurs de Lagrange se généralise de façon naturelle aux fonctions de n
variables soumis à m contrainte. Pour optimiser la fonction f(x 1 , ...x n ) soumise aux
contraintes g 1 (x 1 , ...x n ) = 0,...,g m (x 1 , ...x n ) = 0, nous considérons la nouvelle fonction F
de n + m variable
F (x 1 , ...x n ; λ 1 , ...λ m ) = f(x 1 , ...x n ) − λ 1 g 1 (x 1 , ...x n ) − ... − λ m g m (x 1 , ...x n )
Nous chercherons l’extremum (sans contrainte) de la fonction F .
Exercice. Démontrer le cas général, en suivant le chemin déjà tracé.
La méthode des multiplicateurs de Lagrange se généralise très naturellement aux fonctionnelles.
Si Nous devons trouver le minimum de la fonctionnelle S[y] = ∫ I L(y′ , y, x)dx
avec la contrainte ∫ I g(y′ , y)dx = A, il nous suffit d’introduire la fonctionnelle
∫
S ′ {
[y; λ] = L(y ′ , y, x) − λg(y ′ , y) }
I
et de chercher le minimum de cette fonctionnelle par les techniques habituelles du calcul
des variations ( expliquer pourquoi nous pouvons omettre la constante A) .
Exemple : Le problème isopérimétrique. Trouver la courbe fermé de longueur donné
qui maximise sa surface.
Supposons 9 que nous pouvons représenter la courbe par une fonction R(θ). Nous cherchons
à minimiser la fonctionnelle
avec la contrainte
S[R] =
Considérons la nouvelle fonctionnelle
S ′ [R(θ); λ] =
∫ 2π
0
∫ 2π
0
∫ 2π
0
(1/2)R 2 (θ)dθ (1.13)
R(θ)dθ = L (1.14)
{
(1/2)R 2 (θ) − λR(θ) } dθ
Le terme entre {} (que nous continuons d’appeler le Lagrangien) ne contient même pas
de dérivée de R ; l’équation d’Euler-Lagrange nous donne directement
R − λ = 0
c’est à dire R = λ = Cte. Ceci est bien un cercle. Pour trouver λ, nous utilisons la
contrainte (1.14), qui nous donne λ = L/2π. La courbe qui minimise la surface est donc
un cercle de rayon R = L/2π.
9. Ceci est une très grosse supposition. Le lecteur a intérêt a tracer quelques courbes qui ne sont
pas représentable par une fonction R(θ) pour se rendre compte de la simplification que nous assumons
derrière cette supposition.
13

1 Le calcul variationnel
Exemple : distribution d’énergie dans un système isolé. Soit un système isolé ayant
N particule (N → +∞) et soit c(x) le nombre relatif de particule ayant une énergie dans
l’intervalle [x, x + dx[. Comme le système est isolé, le nombre de particules et l’énergie
totale sont conservés :
∫ ∞
0
∫ ∞
0
c(x)dx = 1 (1.15)
xc(x)dx = T (1.16)
où nous appelons T l’énergie moyenne par particule : T = E 0 /N avec E 0 l’énergie totale
du système. Le théorème H de Boltzmann nous apprend que la fonction c(x) doit être
choisi de façon à ce que la quantité
H [c] =
∫ ∞
0
c(x). log [c(x)] dx (1.17)
soit extremum. La quantité −H est souvent appelé entropie. Avec les deux contraintes
(1.15,1.16), nous devons donc chercher l’extremum de la fonctionnelle
H ′ [c; λ, µ] =
∫ ∞
0
c(x). log [c(x)] dx − λ
∫ ∞
0
c(x)dx − µ
∫ ∞
0
xc(x)dx
Le calcul est assez simple dans ce cas, puisque nous n’avons pas de dérivés dans la
fonctionnelle. En cherchant la valeur de la fonctionnelle pour H ′ [c + ɛg; λ, µ] et en nous
contentant d’ordre 1 en ɛ, nous trouvons
H ′ [c + ɛg; λ, µ] = H ′ [c; λ, µ] + ɛ
∫ ∞
0
(1 + log c − λ − µx) g(x)dx
la fonction c(x) est un extremum de la fonctionnelle H ′ si les variations linéaires sont
nulle ∀g, c’est à dire si
log c = (λ − 1) + µx
ou autrement dit c(x) = Ae −µx ; l’utilisation des deux contraintes nous donne A = −µ =
1/T . Autrement dit,
c(x) = (1/T )e −x/T
1.4.4 Formulation variationnelle des systèmes Sturm-Liouville.
Rappelons qu’un système Sturm-Liouville est une équation aux valeurs propres
α(x)y ′′ + β(x)y ′ + γ(x)y = λy
Nous avons mentionné (et insisté) que si nous trouvons un poids w(x) qui rend l’opérateur
hermitien, alors les solutions des systèmes SL minimise une certaine fonctionnelle. Nous
avons vu que si une telle fonction poids existe, alors elle doit obeïr à l’équation (αw) ′ =
βw et le système peut alors s’écrire sous la forme alternative
d (
wαy
′ ) + wγy = λwy
dx
14

1 Le calcul variationnel
Remarquer que cette forme ressemble furieusement à une équation Euler-Lagrange. On
peut faire le chemin inverse : minimiser la fonctionnelle
∫
(
S[y] = p(x)y ′2 + q(x)y 2) dx
avec la contrainte
∫
I
I
w(x)y 2 dx = 1
Comme on peut le voir, nous pouvons formellement identifier l’équation d’Euler-Lagrange
du système ci-dessus à un système SL en posant p = wα, q = −wγ. A regarder de plus
près, la formulation variationnelle d’un système SL, si on assimile la variable x au temps,
ressemble beaucoup à un oscillateur harmonique avec une masse et une constante de
ressort dépendant du temps. Ceci, comme nous l’avons mentionné, est le point de départ
de l’approximation WKB.
1.5 Les conditions aux bords “naturelles”.
Revenons à notre formulation initiale de problème d’éxtremum. Nous voulons trouver
l’extremum de la fonctionnelle
avec les conditions aux bords fixée
S[y] =
∫ b
a
L(y ′ , y, x)dx
y(a) = y 0 ; y(b) = y 1
Pour cela, nous avons écrit la variation de S en fonction d’une petite perturbation g(x)
pour obtenir
[ ] ∂L b ∫ b
{ ∂L
δS =
∂y ′ g +
a a ∂y − d }
∂L
dx ∂y ′ gdx
et nous avons cherché dans quelles conditions, δS = 0 quelque soit g(x). Nos conditions
aux bords nous ont imposées g(a) = g(b) = 0, donc le premier terme est nul ; le deuxième
terme nous donne les équations d’E-L.
Ceci dit, nous pouvons relacher nos contraintes, et ne pas
exiger que y(a) = y 0 , y(b) = y 0 . Le problème serait alors :
parmis toutes les courbes entre a et b, trouver celle qui extrémise
la fonctionnelle. Dans ce cas, l’annulation de δS exige
toujours l’annulation de l’intégrale, qui nous donnera comme
d’habitude les équation d’Euler Lagrange, et l’annulation du
terme de bord. Or, cette fois, comme les bords ne sont plus
fixe, nous n’avons plus g(a) = g(b) = 0, pour annuler les
termes de surface, nous devons exiger
Figure 1.3: Bords libres
∂L
∂y ′ ∣
∣∣∣x=a,b
= 0
15

1 Le calcul variationnel
ce qui nous fournit deux nouvelles conditions en remplacement des conditions y(a) = y 0 ,
y(b) = y 0 .
Pour illustrer ce principe, considérons un lagrangien qui contient des dérivées d’ordre
2 : L = L(y ′′ , y ′ , y, x). Dans ce cas, la variation s’écrit
[ ∂L
δS =
∂y ′ g − d
]
∂L ∂L b ∫ b
{ ∂L
g +
dx ∂y ′′ ∂y ′′ g′ +
a a ∂y − d
}
∂L
dx ∂y ′ + d2 ∂L
dx 2 ∂y ′′ gdx
Pour une poutre élastique soumis à une charge f(x) par exmeple, l’énergie s’écrit
E =
∫ L
0
{
By ′′2 − f(x)y } dx
Si la poutre est encastrée (a), nous avons les conditions y(0) =
y(L) = 0 et y ′ (0) = y ′ (L) = 0. Dans ce cas, le terme de bord est
automatiquement nulle. Par contre, si la poutre est seulement posé
(b), nous avons seulement y(0) = y(L) = 0. Pour trouver les deux
autres conditions et annuler le terme de bord, nous devons avoir
∂L/∂y ′′ = 0, c’est à dire y ′′ (0) = y ′′ (L) = 0. Nous laissons au lecteur
le soin de trouver les conditions aux limites pour le cas (c).
Dans les exemples ci-dessus, l’abscisse x était fixée sur les deux
bords, y ayant la liberté de bouger le long d’une droite verticale. Figure 1.4: poutres
Nous pouvons généraliser encore plus en relachant cette contrainte
fixées.
et permettre aux points sur les bords de se mouvoir le long d’une
courbe quelconque. Nous laissons le soin au lecteur d’obtenir les conditions aux limites
nécessaires dans ce cas. Un exemple typique est de trouver le chemin le plus court entre
deux courbes f(x, y) = 0, g(x, y) = 0 sur une surface z = z(x, y) ; ou encore, pour les
militaires, choisir le meilleur trajectoire pour lancer un missile air-air et abattre l’avion
ennemie.
(a)
(b)
(c)
1.6 Détour : éléments de géométries non-euclidiennes.
Le cinquième axiome d’Euclide est le suivant : “d’un point en dehors d’une droite, on
ne peut tracer qu’une et une seule droite parallèle au premier”. Pendant deux millénaires,
les mathémiticiens ont cru que ceci n’est pas un axiome, mais un théorème que l’on peut
démontrer à partir des quatre premier axiomes. A partir de 1830, il est devenu claire
que le cinquième mérite le titre d’axiome et qu’on peut tout a fait formuler d’autres
géométries qui acceptent d’autres axiomes. Nous allons étudier une version simplifiée de
la géométrie riemanienne. Pour cela, nous devons donner un sens précis au mot “droite” :
nous le définirons dorénavent comme le chemin le plus court entre deux points ; il est
plus habituel alors d’appeler cela une géodésique. Supposons que nous avons muni notre
espace bidimensionnel d’un système de coordonnées (x 1 , x 2 ). La distance entre deux
points infiniments voisins est définie par
ds 2 = ∑ i,j
g ij dx i dx j
16

1 Le calcul variationnel
où g ij = g ij (x 1 , x 2 ) est appelé le tenseur métrique. Par exemple, si nous avons muni le
plan euclidien de coordonées polaires, ds 2 = dr 2 +r 2 dθ 2 et nous avons (en posant x 1 = r,
x 2 = θ), g 11 = 1, g 22 = x 2 , g 12 = g 21 = 0.
Nous allons considérer dans la suite le cas très particulier où g 11 = 1, g i≠j = 0 et
g 22 = g 2 (x), où g est une fonction quelconque 10 . Le prérimètre d’une courbe y(x) reliant
deux points est donnée par
l[y(x)] =
∫ 2
1
√
1 + g 2 (x)y ′2 dx
et il est élémentaire de montrer, d’après les précédents paragraphes, que l’équation
d’Euler-Lagrange nous donne immédiatement l’équation de la courbe :
y ′ = a/g √ g 2 − a 2
où a est une constante d’intégration. Dans le cas des coordonnées polaire par exemple où
g(x) = x, nous pouvons intégrer l’équation ci-dessus 11 et obtenir l’équation d’une droite
y = α + arccos(a/x) où a et α sont deux constante d’intégration. Pour vous convaincre
que cela est effectivement le cas, Il suffit d’intepréter x comme r et y comme θ, faire un
petit schéma et quelques manipulations d’angles .
Prenons le cas plus intéressant pour nous de g(x) = sin(x). A nouveau, l’intégration
s’effectue sans difficulté 12 et nous obtenons
y = ψ + arccos (cos α cot x)
où ψ et α sont deux constantes d’intégration. Nous voyons par exemple que pour α = π/2,
nous avons une famille de droites données par y = Cte. Prenons la géodésique y = 0 et
considérons le point P = (π/2, π/2) en dehors de cette droite. Toute les droites traversant
ce point doivent avoir le paramètre ψ = 0. Il n’est pas alors difficile de voir que toute ces
droites croisent la droite y = 0 au point cot x = 1/ cos α.
Nous venons de démontrer dans ce cas que toutes les droites traversant P croisent une
droite ne contenant pas P ; cela est très différent du cinquième axiome d’Euclide. Le cas
que nous venons de traiter correpsond à la géométrie sphérique : sur la sphére unité, la
distance entre deux points est donnée par ds 2 = dθ 2 + sin 2 θdφ 2 . Mais le point de vue
de Rieman est beaucoup plus fondamental que cela : ce qui caractérise l’espace et qui
lui donne sa substance est la donnée du tenseur métrique. Les habitants de la surface
de la sphère unité ne peuvent pas voir qu’ils sont sur une sphére. Ils peuvent par contre
visionner les géodésiques (en suivant les trajets des faisceaux de lumière ) et déterminer
la nature de leur espace en faisant des mesures par exemple de la somme des angles d’un
triangle formé par trois géodésiques. C’est exactement dans ce cadre qu’Einstein a formulé
sa théorie de gravité en 1917, où les masses confèrent de la courbure à l’espace-temps.
10. Nous noterons par habitude les coordonnées (x, y) sans leur associer l’idée de coordonnées cartesiennes
11. il suffit d’effectuer le changement de variable u = a/x
12. Il suffit de poser u = cot x
17

1 Le calcul variationnel
z
r(z)
y
L
a
F
x
(a) (b) (c)
Figure 1.5: (a) : surface minimum entre deux cercle ; (b) flambage d’une barre ; (c) pont
suspendu à une chaînette.
A ajouter.
1. Discuter la Jauge dans le Lagragian et eventuellement le theorème de Noether.
Problèmes.
1. Surface minimum. Soit deux cercles concentriques de rayon à priori différents disposés
l’un au dessus de l’autre à une hauteur h. Quelle est la forme de la surface d’aire
minimum qui relie les deux cercles (fig. 1.5a) ?
2. Energie de courbure. Comment faut-il écrire les équations d’Euler-Lagrange si le Lagrangien
contient des dérivées secondes ? Plus spécifiquement, supposer que le Lagrangien
est de la forme L = y ′′ (x) 2 + V (y). Généraliser ensuite au cas L = L(y ′′ , y ′ , y, x).
3. Brachistochrone. Nous voulons minimiser
∫
√
x1
1 + y
T =
′2
dx
y
0
En utilisant l’identité de Beltrami, démontrer que la courbe y(x) doit obéir à l’équation
−1
y(1 + y ′2 ) = C
où C est une constante. Résoudre cette équation du première ordre en démontrant d’abord
que
√ y
dx = dy
2a − y
où nous avons posé 1/C 2 = 2a ; integrer cette dernière équation en posant y = a(1−cos θ).
[Help : nous devons obtenir l’équation du cycloïde sous forme paramétrique.]
18

1 Le calcul variationnel
4. Elasticité 1-d. Soit une barre dont on repère les points (avant deformation) par la coordonnées
x. On appuie sur la barre parralèlelement à son axe ; les points de la barre se déplacent
aux coordonnées x ′ (Figure 1.6). Nous appelons déplacement u(x) = x ′ −x la fonction
qui traque cette quantité. L’énergie élastique stocké dans la barre est proportionnel
au carré du gradient de ce terme :
E =
∫ L
0
(1/2)ku ′ (x) 2 dx
où k est la constante élastique de la barre (qu’on appelle
également le module d’Young). La force a effectué le travail
W = F u(L). L’énergie totale de la barre s’écrit donc
E =
∫ L
0
{
(1/2)ku ′ (x) 2 − F u ′ (x) } dx
Démontrer alors que u(x) = ax où à est une constante à
determiner. Déterminer a en utilisant les conditions aux bords
naturelles (section 1.5). En déduite la loi d’élasticité de Hook
Figure 1.6:
F = Ku(L)
Que vaut K ? quelle est sa dépendance en L ?
5. Flambage d’une poutre. Appuyez sur une règle tenu verticalement sur une table ; au
delà d’une certaine force, la règle flambe (fig.1.5b). Ceci est un problème extrêmement
important de la résistance des matériaux et conditionne la conception des tours pour
qu’ils ne s’écroulent pas (en flambant) sous leurs propres poids. Repérons la barre par
son écart à la droite y(x). En supposant faible l’écart de la barre par rapport à la droite,
l’énergie de courbure de la barre est donné par sa courbure locale B(y ′′ (x) ) 2 . Nous
supposons l’extrémité de la courbe maintenu à y = 0, mais pouvant coulisser sur l’axe
x et soumis à une force F . Pour trouver la configuration qui minimise l’énergie, nous
devons donc trouver l’extremum de la fonctionnelle
soumis à la contrainte
S[y, a] =
∫ a
0
∫ a
0
B(y ′′ (x) ) 2 dx − F (L − a)
{
(1 + (1/2)y
′2 } dx = L
Nous avons approximé ici l’élément de ligne ds = √ 1 + y ′2 par son développement de
Taylor, en supposant les écarts à la ligne (et leurs dérivées) faible. Démontrez alors que
pour F > F c , la poutre droite n’est plus la solution optimum ; calculer F c .
19

1 Le calcul variationnel
6. Flambage d’une poutre II. Nous pouvons formuler différement le problème de flambage,
en intégrant directement la contrainte dans le Lagrangien. Pour cela il suffit d’utiliser
un système de coordonnées plus adaptés que les coordonnées cartesienne. Reperons
un point le long de la poutre par sa longueur d’arc à partir de l’origine s, et par l’angle
de la tangente à la courbe en ce point avec l’axe horizontal θ(s). Ce nouveau système de
coordonnées est reliée aux coordonnées cartesiennes par la relation
dx = cos θds
dy = sin θds
La courbure de la courbe en un point est simplement donnée par dθ/ds. L’énergie s’écrit
alors simplement
∫ L
S[θ] =
{B ( θ ′) }
2 + F cos θ ds − F L
0
Que l’on peut traiter par les équation d’EL sans contrainte : la longueur d’arc s gère
automatiquement la constance de la longueur totale de la poutre. Les coordonnées semiintrinsèque
(s, θ) sont très utilisé en géométrie différentielle. Noter de plus la grande
similarité de l’action à celle de l’oscillation d’une pendule dans le champs de la gravité.
7. isopérimétrique II. Chercher la courbe sous forme paramétrique x = x(t), y = y(t)
avec la condition supplémentaire x(1) = x(0) et y(1) = y(0). Ecrire tout au moins les
équations d’Euler-Lagrange.
8. Isopérimétrique III. Quelle est la courbe de surface donnée qui minimise son périmètre ?
9. Equation de la chainette. Une chaîne y(x) est suspendu entre deux points distant
de a. La longueur totale de la chaîne est L. Trouver l’équation de la chaîne. Help :
A l’évidence, la chaîne doit minimiser l’énergie potentielle, avec une contrainte sur sa
longueur. L’energie potentielle est de la forme ∫ ρyds ; on doit donc trouver le minimum
de
∫ a/2
H ′ =
{ρy √ 1 + y ′ (x) 2 − λ √ }
1 + y ′ (x) 2 dx
−a/2
où λ est un multiplicateur de Lagrange. Obtenez également l’équation de la chaînette à
laquelle on a suspendu un pont (fig.1.5c)
10. Trajectoire complexe. Soit une fonction y(x) complexe (R → C) dont l’action est
définie par
∫
S[y] = L(y, y ′ , y ∗ , y ∗′ ; x)dx
I
Comme par exemple L = y ′ y ∗′ + kyy ∗ . Obtenir les équations d’Euler-Lagrange de cette
fonction. [Help : il faut démontrer que l’on peut considerer y et y ∗ comme deux composantes
indépendantes, et obtenir une equation d’EL pour chacune].
20

1 Le calcul variationnel
11. Equation de Schrodinger. Nous cherchons la fonction complexe ψ(x, t) qui optimise
l’action associé au Lagrangien suivant
L = iψ ∗ ∂ t ψ − a(∂ x ψ ∗ )(∂ x ψ) − V (r)ψ ∗ ψ
Trouver l’équation d’Euler Lagrange auquel obéit la fonction ψ. Dans la formulation
ci-dessus, ψ et ψ ∗ ne jouent pas le même rôle. Pouvez vous donner une version plus
symétrique de ce Lagrangien ?
12. Champs électromagnétique dans le vide. Nous définissons un champ A = (A 0 , A 1 , A 2 , A 3 )
dans un espace à 4 dimensions que l’on repère à l’aide des coordonnées x = (x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) 13 .
Comme nous sommes parfois trop habitué à la séparation en espace (3d) et en temps, nous
dissocions parfois les expressions ci-dessus en donnant des noms différents aux différents
composants : nous notons par exemple A = (φ, −A) où nous appelons φ le potentiel
et A le potentiel vecteur ; de même, nous notons x = (t, x) où le premier composant
est appelé temps et les trois autres l’espace. Les équations d’électromagnétisme ont été
formulé dans le cadre de cette séparation étrange et les différentes dérivées du champ
ont reçu des noms différents. Par exemple, on appelle champ électrique le vecteur à 3
dimensions
E = −∂ t A − ∇φ
et champ magnétique
H = ∇ × A
Revenons à notre formulation générale. Le tenseur électromagnétique est défini par
F ik = ∂A k
∂x i
− ∂A i
∂x k
Ce tenseur est bien sûr anti-symétrique F ik = −F ki .
1. Donner l’expression du tenseur F en fonction des champs E i et H k .
2. Démontrer que pour trois indices i, j, k, la definition même du tenseur F impose
∂F ij
+ ∂F jk
+ ∂F ki
= 0
∂x k ∂x i ∂x j
démontrer que les seules équations non-triviales sont celles où i ≠ j ≠ l et cela
nous donne 4 équations que nous pouvons regrouper en
∇ × E = −∂ t H
∇.H = 0
qui ne sont rien d’autre que les deux premieres équations de Maxwell.
13. Nous évitons pour l’instant les exposants et notons les coordonnées x i au lieu de x i
21

1 Le calcul variationnel
Dans l’espace-temps reliativiste, la “distance” ds entre deux points voisins est donnée par
ds 2 = dx 2 0 − (dx 2 1 + dx 2 2 + dx 2 3) =
3∑
ɛ i dx 2 i
i=0
où ɛ 0 = 1 et ɛ i≥1 = −1. Il existe une différence entre une des composantes et les trois
autres quant au signe qu’il faut utiliser pour l’élément d’arc. Cette différence apparaît
obligatoirement dans toutes les expressions des lois physiques. En particulier, toutes les
expressions quadratiques auront une forme similaire à l’expression de l’élément d’arc. Par
exemple, l’action du champs électromagnétique est donnée par l’intégrale sur un volume
du Lagrangien suivant 14 :
L = −
3∑
i,j=0
ɛ i ɛ j F 2
ij
Remarquer la similarité entre cette formulation et la formulation de la théorie de l’élasticité,
où le champs A représente le vecteur déplacement et le tenseur F ij le tenseur
déformation. Ceci n’est pas un hasard ; Maxwell lui même imaginait l’ether comme un
corps élastique et s’inspirait fortement de la théorie de l’élasticité.
1. Déduire que l’on peut mettre le Lagrangien sous forme de L = E 2 − H 2
2. Déduire les équations du champs
3∑
j=0
ɛ i ɛ j
∂F ij
∂x j
= 0
3. Mettre ces équations sous la forme plus usuelle des deux autres équations de
Maxwell :
∇ × H = ∂ t E ; ∇.E = 0
14. Le signe moins n’a pas de conséquence pour nos calculs, mais assure que la solution trouvée est un
minimum plutôt qu’un maximum de l’action.
22