Approche a-contrario pour la dÃ©tection de changements sous ...

Sommaire 

Modélisation a-contrario 

Détection de changements 

Conclusion 

Approche a-contrario pour la détection de changements 

sous-pixeliques en imagerie satellitaire 

Amandine Robin 

en collaboration avec 

Sylvie Le Hégarat-Mascle et Lionel Moisan 

20 Septembre 2007 


Approche a-contrario pour la détection de changements sous-pixeliques e

Sommaire 



Conclusion 

Sommaire 

1 Modélisation a-contrario 

Introduction 

Formalisme général 

2 Détection de changements 

Contexte de l’étude 

Modélisation du problème 

Détection a contrario 

Résultats asymptotiques 

Algorithme 

Résultats 

3 Conclusion 



Sommaire 



Conclusion 

Introduction 



Introduction 







Algorithme 

Résultats 

3 Conclusion 



Sommaire 



Conclusion 

Introduction 


Origine 

Modélisation introduite en Vision par [Desolneux, 2000], 

Inspirée de la perception humaine des lois de Gestalt 

(alignement, convexité, parallélisme, etc). 

Principe de Helmholtz 

On perçoit une structure dans un groupe d’objets lorsque leur 

configuration, selon une ou plusieurs lois de Gestalt, n’aurait pas pu 

se produire dans une situation aléatoire. 



Sommaire 



Conclusion 

Introduction 


Exemple : détection d’alignements 

FIG.: Pourquoi voit-on un alignement de points sur l’image de gauche ? 

D’après le principe de Helmholtz, 

1 On suppose a priori que les points ont été tirés uniformément et 

indépendament (modèle de Bernouilli ou de Poisson), 

2 On voit une structure (un groupe de points alignés) parcequ’un 

tel alignement n’arrive pas vraisemblablement par chance. 



Sommaire 



Conclusion 

Introduction 



Introduction 







Algorithme 

Résultats 

3 Conclusion 



Sommaire 



Conclusion 

Introduction 


Principe 

La modélisation a-contrario nécessite de définir 2 éléments 

fondamentaux : 

un modèle probabiliste qui décrit les configurations ne contenant 

typiquement aucune structure 

⇒ le modèle naïf. 

une mesure sur les structures à détecter éventuellement 

⇒ le nombre de fausses alarmes (NFA). 

Le NFA mesure le niveau d’étonnement d’observer une certaine 

configuration dans du bruit. 



Sommaire 



Conclusion 

Introduction 


Nombre de fausses alarmes 

La définition suivante a été introduite par [Grosjean et Moisan, 2006]. 

Définition 

Soit (X i ) 1≤i≤N un ensemble de variables aléatoires. Une fonction 

F(i, x) est un NFA (nombre de fausses alarmes) pour les variables 

aléatoires (X i ) si 

∀ε, E [|{i, F(i, X i ) ≤ ε}|] ≤ ε. (1) 

Si une fonction F vérifie (1), alors la famille de tests F(i, X i ) ≤ ε 

garantit un nombre moyen de fausses alarmes inférieur à ε. 

→ permet de contrôler le nombre de fausses détections associé à 

une famille de variables aléatoires. 



Sommaire 



Conclusion 





Algorithme 

Résultats 


Introduction 







Algorithme 

Résultats 

3 Conclusion 



Les objectifs 

Sommaire 



Conclusion 





Algorithme 

Résultats 

Détecter et localiser les changements d’occupation du sol qui 

apparaissent sur la surface terrestre : 

- coupes de forêts, 

- rotation des cultures, 

- infections (parasites, stress hydrique, etc) 

- inondations, éruptions volcaniques, incendies, etc. 

Remarque : La fréquence des observations nécessaires varie selon 

les phénomènes à étudier. 



Les données 

Sommaire 



Conclusion 





Algorithme 

Résultats 

Images à haute résolution 

spatiale (HR) 

(ex : 1 pixel 20 × 20 m 2 ), 

faible fréquence temporelle 

(env. 1 par mois). 

Ex : SPOT/HRV, LandSat 

Images à résolution spatiale 

basse ou moyenne (BR) 

(ex : 1 pixel pour 300 × 300 m 2 ), 

haute fréquence temporelle 

(env. 1 par jour). 

Ex : SPOT/VGT, MeRIS 



L’état de l’art 

Sommaire 



Conclusion 





Algorithme 

Résultats 

Analyse en Composantes Principales, 

Analyse du Vecteur des Changements, 

Fusion de classifications. 

Les limites : 

difficulté du choix d’un seuil a priori, 

sensibilité à la variabilité naturelle des observations d’une année 

à l’autre (décalage des saisons, ...), 

sensibilité aux conditions d’illumination, 

absence de détection de changements sous-pixelliques. 



La problématique 

Sommaire 



Conclusion 





Algorithme 

Résultats 

Comparer une séquence d’images BR à une classification de 

référence HR 

+ ⇒ 

Classification HR Séquence BR Pixels détectés 



Sommaire 



Conclusion 





Algorithme 

Résultats 


Introduction 







Algorithme 

Résultats 

3 Conclusion 



Sommaire 



Conclusion 

Estimation d’une image BR 





Algorithme 

Résultats 

Présentation du modèle dans le cas monotemporel. 

Hypothèse (modèle linéaire de mélange) 

L’intensité mesurée en un pixel BR y peut être estimée par 

ˆv(y, m) = ∑ α l (y)m l , (2) 

l∈L 

où 

m = (m l ) l∈L représente l’intensité moyenne du label l, 

α l (y) représente le taux d’occupation du label l dans le pixel y 

(∀y, ∑ l∈L α l(y) = 1). 



Sommaire 



Conclusion 

Mesure de l’erreur réalisée 





Algorithme 

Résultats 

Soit v D = (v(y)) y∈D la restriction au sous-domaine D ⊂ D BR de 

l’image observée v. 

L’erreur minimale entre ˆv et v mesurée sur un sous-domaine D vaut 

alors 

Problèmes : 

√ ∑ 

δ(v D ) = min (v(y) − ˆv(y, m)) 2 . (3) 

m∈R L y∈D 

Choix d’un seuil de détection sur l’erreur résiduelle δ(v D ), 

Comparaison de domaines de taille différente. 



Sommaire 



Conclusion 





Algorithme 

Résultats 


Introduction 







Algorithme 

Résultats 

3 Conclusion 



Approche a contrario 

Sommaire 



Conclusion 





Algorithme 

Résultats 

Dans quel sous-domaine spatial D ⊂ D BR l’image observée v 

est-elle trop structurée pour être expliquée par le hasard ? 

Principe 

Adopter un modèle de fond pour les données (modèle naïf), 

Détecter un sous-domaine de l’image s’il correspond à une 

grande déviation par rapport au modèle de fond. 



Modèle a-contrario 

Sommaire 



Conclusion 





Algorithme 

Résultats 

Définition (H 0 ) 

Le modèle a-contrario (H 0 ) pour l’image BR est un champ aléatoire V 

de |D BR | variables gaussiennes i.i.d. N(m,σ 2 ) où m ∈ R et σ > 0 sont 

fixés. 

Soit P H0 (δ(V D ) ≥ δ(v D )) la probabilité d’observer une erreur 

étonnament faible sur le sous-domaine D. 

À partir de quel seuil l’erreur n’est-elle plus acceptable ? 

⇒ Normaliser cette p-valeur pour : 

contrôler le nombre moyen de fausses détections, 

éviter l’introduction d’un seuil a priori. 



Sommaire 



Conclusion 

Nombre de fausses alarmes 





Algorithme 

Résultats 

Théorème 

Soient η : N → N et, pour tout sous-domaine D ⊂ D BR , 

P H0 [δ(V D ) ≥ δ(v D )] la probabilité d’observer une erreur minimale 

inférieure à δ(V D ) sous l’hypothèse H 0 . La relation 

NFA(|D|) = η(|D|) · P H0 [δ(V D ) ≥ δ(v D )] (4) 

définit un nombre de fausses alarmes dès que 

∑ 1 

≤ 1. (5) 

η(|D|) 

D∈D BR 

Soit ε > 0, un sous-domaine D de D BR est dit ε-significatif si 

NFA(|D|) ≤ ε. 



Sommaire 



Conclusion 

Choix du nombre de tests 





Algorithme 

Résultats 

Objectif : garantir en moyenne ε fausses détections. 

η(|D|) = #{D ⊂ D BR } = 2 |D BR| 

+ répartition uniforme du risque sur tous les sous-domaines de 

D BR : ∀D, P H0 (δ(V D ) ≥ δ(v D )) = 

ε 

|D BR | ; 

- détection très improbable de sous-domaines très petits ou très 

grands. 

η(|D|) = |D BR |C |D| 

|D BR | 

+ répartition du risque uniformément par rapport à la taille des 

sous-domaines. 

⇒ On choisit η(|D|) = |D BR |C |D| 

|D BR | 

de manière à comparer 

équitablement des sous-domaines de tailles différentes. 



Sommaire 



Conclusion 

Choix du modèle a contrario 





Algorithme 

Résultats 

Choix des paramètres m et σ du modèle H 0 : 

H0 a : m vecteur de R|DBR| “constant”, et σ quelconque, 

H0 b : m et σ quelconques. 

Proposition 

Sous les hypothèses H a 0 ou Hb 0 , 

( 

NFA(|D|) = |D BR |C |D| |D| − L 

|D BR | Γ inc , δ(v D) 2 ) 

2 2σ 2 , (6) 

où, pour tout x ≥ 0 et a > 0, Γ inc (a, x) = 1 ∫ x 

Γ(a) 0 e−t t a−1 dt . 

⇒ On considère H 0 avec m = 0 et σ quelconque. 

En pratique, σ 2 = variance de l’image BR (rien ne doit être détecté 

dans une image de bruit blanc). 



Sommaire 



Conclusion 





Algorithme 

Résultats 


Introduction 







Algorithme 

Résultats 

3 Conclusion 



Modèle d’image 

Sommaire 



Conclusion 





Algorithme 

Résultats 

Supposons que toute image u s’écrit sous la forme 

u = I + b, (7) 

où I est constante par morceaux et b une image de bruit gaussien. 

Le NFA dépend principalement des paramètres suivants : 

la taille de l’image (n = |D BR |), 

la proportion de pixels sans changement dans l’image 

(p ∈ [0, 1]), 

le niveau de contraste de l’image (c = σ I 

σ b 

). 



Sommaire 



Conclusion 

Influence du niveau de contraste 





Algorithme 

Résultats 

Existe-t-il un seuil sur la proportion de changements dans 

l’image au-delà duquel on ne détecte plus rien ? 

Proposition 

Pour tout n > 0 et p ∈] L n 

, 1] fixés, 

lim NFA(n) = 0. (8) 

c→+∞ 

⇒ Tout sous-domaine est détectable dès que le contraste de l’image 

est suffisamment fort. 



Sommaire 



Conclusion 

Influence de la taille des images 





Algorithme 

Résultats 

Tout niveau de contraste peut-il être considéré ? 

Proposition 

Pour tout c fixé, il existe p ∗ (c) tel que pour tout p ∈ [p ∗ (c), 1[, 

lim NFA(n) = 0. (9) 

n→+∞ 

⇒ Pour un niveau de contraste fixé, tout sous-domaine de 

changement représentant une proportion inférieure à 1 − p de l’image 

peut être détecté du moment que l’image est suffisamment grande. 



Sommaire 



Conclusion 





Algorithme 

Résultats 


Introduction 







Algorithme 

Résultats 

3 Conclusion 



Problématique 

Sommaire 



Conclusion 





Algorithme 

Résultats 

Deux problèmes liés : 

Estimer les moyennes par label en présence de pixels de 

changement, 

Déterminer le sous-domaine qui minimise le NFA. 

⇒ Stratégie de type RANSAC [Fischler et Bolles, 1981], [Moisan et 

Stival, 2004]. 

Idée 

Utiliser un échantillon minimal (de taille L) pour estimer les moyennes 

et le compléter avec des données consistantes lorsque c’est 

possible. Itérer ce procédé un grand nombre de fois. 



Sommaire 



Conclusion 

Algorithme monotemporel 





Algorithme 

Résultats 

Initialiser δ min [] et NFA min à +∞ et δ = 0 ; 

Répéter N fois : 

- tirer aléatoirement un ensemble I de L pixels de D BR 

- estimer m pour y ∈ I (matrice carrée) 

- calculer r(y) = (ˆv(y, m) − v(y)) 2 pour tout y ∈ D BR 

- trier D BR en (y i ) 1≤i≤|D| par r(y i ) croissants 

- pour k = L + 1 à k = |D BR | 

poser δ = δ + r(y k ) 

si δ < δ min [k] alors 

mettre à jour δ min[k] 

si NFA(k, δ, σ) < NFA min alors m.a.j. NFA min et D = {y i} i=1..k 

fin 

- fin 

fin 



Minimum du NFA 

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Conclusion 





Algorithme 

Résultats 

0 

-50 

-100 

-150 

-200 

-250 

-300 

-350 

30*log10(delta) 

log10(nfa) 

50 100 150 200 250 

taille des sous-domaines testes 

FIG.: Évolution des résidus quadratiques (en rouge) et du NFA (en vert). 



Sommaire 



Conclusion 

Extension au cas multitemporel 





Algorithme 

Résultats 

Objectif : détecter une zone de changements même si seules 

certaines dates sont concernées. 

⇒ détecter un sous-domaine spatio-temporel. 

Hypothèse 

Les images de la séquence sont parfaitement recalées. 

Problème : choisir σ 2 = variance de la séquence BR permet la 

détection de pixels de bruit. 

Hypothèse 

Le modèle a contrario pour la séquence BR est un champ aléatoire 

de |Ω| variables aléatoires gaussiennes i.i.d. N(0, 1). 

Chaque image est alors normalisée par sa variance. 



Sommaire 



Conclusion 





Algorithme 

Résultats 


Introduction 







Algorithme 

Résultats 

3 Conclusion 



Images pseudo-réelles 

Sommaire 



Conclusion 





Algorithme 

Résultats 

FIG.: Détection de changements simulés dans la classification HR. 



Sommaire 



Conclusion 

Sensibilité au facteur de résolution 





Algorithme 

Résultats 

FIG.: A gauche : classification HR (15/10 et 14/11). A droite, changements 

détectés avec une image BR du 14/11 pour N = 5, 15, 30, 50. 



Sommaire 



Conclusion 

Conclusion 

La méthode de détection de changement proposée est : 

fondée sur l’analyse de la cohérence interne d’une séquence 

d’images, 

ne nécessite pas d’information a priori, 

sans paramètre, 

capable de détecter des changements qui concernent des objets 

de taille sous-pixellique (≥ 25% du pixel BR), 

robuste aux variations de contraste des images, 

robuste à la proportion de pixels de changements dans l’image 

(≤ 70% de l’image),

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