L'augmentation de l'arête-connexité dans les graphes - Ensiwiki

L’augmentation de l’arête-connexité
dans les graphes
ENSIMAG 2A
Etudiant :
Tuteur :
Neil JAMI
Zoltán SZIGETI
26 Mai 2010

Plan
• Définitions sur les graphes et hypergraphes
• Présentation du sujet
• Résultat trouvé
• Idée de démonstration
• Conclusion

Définitions (1/4)
1
2 4
2
1
5
3
2
Graphe simple G
1
1 2 3 4 5
4 1 3 2 5
Permutation p
Graphe de permutation
4
5
3
4
5
3
Graphe de permutation G
p

Définitions (2/4)
Hypergraphe
- 5 sommets: {1,2,3,4,5} :
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
- 4 hyperarêtes:
Hypergraphe H
• {1,2,4}
• {2,3}
• {4,5}
• {3,4,5}

Définitions (3/4)
Hypergraphe de permutation
Hypergraphe H
1 2 3 4 5
4 1 3 2 5
Permutation p
Hypergraphe de permutation H p

Définitions (4/4)
Arête-connexité
• Graphe connexe :
Il existe une chaîne entre n’importe quelle paire de sommets.
• Graphe k-arête-connexe :
En enlevant k-1 arêtes, le graphe résultant est connexe.
• Hypergraphes : mêmes définitions.

Présentation du sujet (1/3)
Augmenter l’arête-connexité d’un graphe:
Comment :
• par ajout d’arêtes.
Contraintes techniques :
• nombre limité d’arêtes que l’on peut rajouter.
• arêtes interdites entre certains sommets.
Contraintes de coût :
• soit les arêtes ajoutées ont un même coût:
=> on minimise le nombre d’arêtes ajoutées
• soit les arêtes ont un coût différent.

Présentation du sujet (2/3)
Maximiser l’arête-connexité d’un graphe de permutation:
Comment :
• en choisissant une bonne permutation.
Contrainte :
• k est fixé, et on cherche l’existence d’un graphe de permutation
k-arête-connexe.

Présentation du sujet (3/3)
Cas des graphes simples:
Théorème (Goddard, Raines, Slater) :
Soit G un graphe simple de degré minimal k-1.
Il existe une permutation π telle que G soit k-arête-connexe
si et seulement si
p
• k est pair, ou
• G n’est pas de la forme 2 K .
k
2 K 5

Résultat trouvé (1/5)
Généralisation pour les Hypergraphes
Théorème :
Soit H un hypergraphe.
Il existe une permutation π telle que H soit k-arête-connexe
si et seulement si
• Pour tout ensemble de sommets X, il existe au moins k-|X| hyperarêtes
sortantes de X, et
• H n’est pas constitué de 2 composantes connexes de k sommets, avec k
impair.
p

Idée de démonstration (1/4)
• Condition nécessaire :
preuve par l’absurde
• Condition suffisante :
recherche d’un permutation
- extension
- splitting off complet k-admissible

Idée de démonstration (2/4)
• La condition 1 est nécessaire:
exemple: k=3
X: 2 sommets, d (X) = 0
H

Idée de démonstration (2/4)
• La condition 1 est nécessaire:
exemple: k=3
Coupe trop
petite
X: 2 sommets, d (X) = 2 < 3
H ’

Idée de démonstration (2/4)
• La condition 2 est nécessaire:
exemple: k=3

Idée de démonstration (2/4)
• La condition 2 est nécessaire:
exemple: k=3

Idée de démonstration (2/4)
• La condition 2 est nécessaire:
exemple: k=3
Coupe trop
petite

Idée de démonstration (3/4)
• Ces 2 conditions sont suffisantes:

Idée de démonstration (3/4)
• Ces 2 conditions sont suffisantes:

Idée de démonstration (3/4)
• Ces 2 conditions sont suffisantes: extension.
d’après la condition 1, cet hypergraphe est k-arête connexe.
s

Idée de démonstration (4/4)
• Ces 2 conditions sont suffisantes: splitting off k-admissible.
s

Idée de démonstration (4/4)
• Ces 2 conditions sont suffisantes:
splitting off complet entre les 2 copies de H
s

Idée de démonstration (4/4)
• Ces 2 conditions sont suffisantes:
on utilise le théorème suivant:
Théorème (Bernáth, Grappe, Szigeti) :
Soit G = (V+s,ε) un hypergraphe, où s est incident uniquement à
des arêtes, et P une coloration de ces arêtes.
Il existe un splitting off k-admissible colorié complet dans G
si et seulement si
1. Chaque couleur contient au plus ½ d(s) arêtes,
2. G est k-arête-connexe,
3. d(s) ≥ 2 ω (G – s) et est pair,
k
4. G ne contient pas d’obstacle.
Les hypothèses sont vérifiées d’après les conditions 1 et 2.

Conclusion
• Une généralisation du théorème a été trouvée…
• Aperçu du travail en recherche
• Quelques difficultés dans la recherche d’informations.

Merci pour votre attention !