Download (PDF, 801KB) - Blog Kerios

U.F.R.DESSCIENCESETDESTECHNIQUES UNIVERSITEDEROUEN
DOCTEURDEL'UNIVERSITEDEROUEN Discipline:Informatique pourobtenirlegradede THESE
presenteeetsoutenuepubliquement YannickGuesnet le18Mai2001 Titre: par
Codesetinterpretations
MmeV.Bruyere M.J.Berstel Directeurdethese:M.J.Neraud
M.C.Choffrut M.M.Latteux M.J.-P.Allouche M.J.-P.Duval JURY
M.P.Goralcik
,President
M.J.Neraud
,Rapporteur

i
Tabledesmatieres
Introduction 1Preliminaires Remerciements 1.1Monodes.................................2 Introduction...................................1 vii v
1.2Motsetmonodelibre..........................2 1.2.3Motsmiroirs,conjuguesetprimitifs...............3 1.2.2Longueurs.............................3 1.2.1Denitions.............................2 1
1.4Codes...................................6 1.3Monodesyntaxique............................5 1.2.4Facteurs,prexesetsuxes...................4 1.3.1Denition.............................5 1.4.1Denition.............................6 1.3.2Ensemblesrationnels.......................6 1.4.2L'algorithmedeSardinasetPatterson.............7
2Codesadelaid'interpretationni 1.6Factorisationsetinterpretations.....................11 1.5Theoremedudefaut...........................10 1.4.3Stabilitedumonodelibre....................7
Introduction...................................15 1.4.4Quelquesclassesdecodes....................8 1.4.5Composition............................10

ii2.1Denitionsetpremieresproprietes....................16
2.3Codesadjacents..............................29 2.2Untestpourlescodesadelaid'interpretationni...........23 2.1.1Codesetsous-monodesadelaid'interpretationni......16 2.1.2Premieresproprietes.......................19 CODESETINTERPRETATIONS
3Theoremedudefautetcodesnon-interpretes Introduction...................................45 2.5UnecaracterisationdescodesdeFdif..................37 2.4Fdifetlesclassesdecodesclassiques..................32
3.1Theoremedudefautetadjacence....................46 3.2Theoremedudefautetdelaid'interpretation..............52 2.5.1Caracterisationpourlescodesnis...............37 2.5.2Caracterisationpourlescodesrationnels............38
3.4Lecasn=1:lescodesnon-interpretes.................55 3.3Unexempledecodeadelaid'interpretation4.............54 3.4.1Denitions.............................55
4Surlescodesmaximaux 3.4.3Enveloppenon-interpretee....................58 3.4.4Deuxexemplesdecodesnon-interpretes............62 3.4.2Codesnon-interpretesetcodeslimites.............56
4.2Maximalitedanslessous-familles....................69 Introduction...................................65 4.3Existenced'uncodemaximal......................70 4.4Equivalenceentrelesdeuxnotionsdemaximalite...........72 4.1Maximaliteetcompletude........................66 4.5Completions................................74
5MaximaliteetcompletudedansFdif 5.2Unemethodedecompletion.......................86 4.6Tableaurecapitulatif...........................77 Introduction...................................79 5.1Codesadelaid'interpretationnimaximaux..............80 5.2.3Completiondescodescoupants.................101 5.2.2Completiondescodestrescoupants...............88 5.2.1L'approcheclassique.......................86
6Codessynchronisantsmaximaux Introduction...................................103 6.1Completiondescodessynchronisants..................104 6.3L'ensembleYestuncode........................106 6.2L'ensembleVetF(X)..........................105 6.5Codessynchronisantsmaximaux.....................113 6.4LecodeYestmaximaletsynchronisant................113

7Codesdensesmaximaux TABLEDESMATIERES Introduction...................................115 7.1Codesprexes,suxesetbixesmaximaux..............116 7.1.1Codesbixesmaximauxdenses.................117 7.1.2Codesprexesmaximauxdenses................122
iii
7.2Codescirculairesmaximauxdenses...................128
Annexe7.2.3Uestuncodecirculaire.....................136
7.2.2UneproprietedesU-interpretations...............133 7.2.5L'ensembleUestmaximaldansFcirc..............139 7.2.1Un'estpasuncodemaximal..................129
Bibliographie Index7.2.4QuelquesproprietesdesensemblesdutypeU[fyg......137
Notations 145 153 159 163

iv
CODESETINTERPRETATIONS

v
Remerciements
egard. devouement,sadisponibiliteainsiquepourlaconancequ'ilasumanifesteramon Jetienstoutd'abordaremerciertreschaleureusementJeanNeraudpourson
lalisibilitedecettethese. querapporteur.Sesquestionsetremarquesonteteprecieusespourlacoherenceet ungrandhonneurquemefaitJ.Berstelenacceptantdeparticiperamonjury. cettedisciplinepassionnante:latheoriedescodesalongueursvariables.Aussi,c'est JeremercieMichelLatteuxpourletravailremarquablequ'ilaeectueentant C'estenlisantleTheoryofcodesdeJ.BersteletD.Perrinquej'aidecouvert
suisatteleal'etudedescodesmaximaux.Jelaremercied'avoiracceptedefairepartie demonjurymaisaussidel'inter^etqu'elleaporteal'ensembledemestravauxlors dechacunedenosrencontres. LestravauxdeVeroniqueBruyereonteuunegrandeimportancelorsquejeme
traversledirecteurdudepartementd'informatique,c'estaussilesmembresduDIR directeurdeD.E.A.etestacetitreal'originedemoninscriptionenthese. JeremercieJean-PaulAllouched'avoirlagentillessedeparticiperamonjury. JeremercieJean-PierreDuvalpouravoiracceptedefairepartiedemonjury.A PavelGoralcickmefaitungrandplaisirenparticipantacejury,ilfutmon JeremercieChristianChorutquim'afaitl'honneurderapportercettethese.
m'ontsupporte(danslesdeuxsensduterme)toutaulongdecesanneesd'initiation ceuxquiont,aunmomentouunautre,egayesmespausescafes(oucigarettes). quejeremerciepourm'avoiraccueillienleursein.J'yaidecouvertdesenseignants passionnesquiontsumetransmettreleurenthousiasme.Jeremercieencoretous Qu'ilmesoitpermisderemercieraectueusementBernayensetRouennaisqui

partagelebureaupendantdeuxans.Pourtonsoutien,tesconseils,tonamitie; vi Jacques,merci. alarecherche. Enn,jenepeuxm'emp^echerderessentirlacruelleabsencedeceluidontj'ai CODESETINTERPRETATIONS

vii
Introduction
tiresonoriginedelatheoriedel'informationdeveloppeeparShannonaudebutdes latheoriedescodescorrecteursd'erreurs[MS86]oudelacryptographie[MvOV97]. anneescinquante[Sha48].LestravauxdeShannonontegalementposeslesbasesde codesalongueursvariables(nousparleronsplussimplementdetheoriedescodes)qui Nousconsidereronsdanslasuitedesmotsnis.Pouruneetudedes!-codes,nous invitonslelecteurasereportera[Dev93,Lot00]. Lestravauxrealisesdanscememoiresesituentdanslecadredelatheoriedes
bergeren[Sch56].L'ouvragedereferenceTheoryofcodesdeJ.BersteletD.Per-
rin[BP85]nouspermetdenousrendrecomptedeslienstresfortsquiexistententre celle-cietlesautresdisciplinesdel'informatiquetheoriquecommelacombinatoire LavisionalgebriquedelatheoriedescodesaetedeveloppeeparM.P.Schutzen-
desmots,latheoriedessemi-groupesouencorelatheoriedesautomates. codageestceluidelatransmissiond'unmessageecritsurunalphabetAatraversun canalutilisantunautrealphabetB:lecodageconsistealorsaconstruireunensemble messageestainsipossibleenremplacantleslettresdecelui-ciparleselementsde XBdontleselementssontenbijectionavecleslettresdeA.Transmettreun cetalphabet;AestappelelemonodelibreengendreparA.Leproblemegeneraldu Xquileursontassocies.Ledecodagecorrespondal'operationinverse:onremplace EtantdonneunalphabetA,nousnoteronsAl'ensembledesmotsnisecritssur
seulinter^etdescodes;ainsiilspeuvent^etreutilises,parexemple,encompressionde monodelibredeB.Cependant,permettrelatransmissiondemessagesn'estpasle d'unmonodelibredansunautre.UnensembleXestalorsuncodesiXestunsous-
pointdevuealgebrique,ceproblemerevientaexaminerl'inclusionparmorphisme lemessageobtenuestunique.Parexemple,l'ensemblefa;ab;bagn'estpasuncode puisquelemotabaadmetdeuxalternativesdedecodage:apuisbaouabpuisa.D'un leselementsdeXparleslettresdeA.L'ensembleXestuncodesilorsdudecodage

viii engenetique[AM95].Lebutdelatheoriedescodesestdefournirunedescription structurelledecesobjetsandepermettreleurconstruction. donnees[BCW90]oupourlarecherchedemotifs[NC92].Ilsjouentegalementunr^ole Dierentesclassesdecodesonteteintroduitesanderepondreadiversesexigencestechniques.Ainsi,lescodesprexespermettentundecodageimmediat.Les
x:X:A;autrementditondoitattendred'avoirludmotsdeXavantd'^etres^urdu decodagededroiteagaucheoudansledeuxsens.Nousdironsque(x;y)2XX decodagedecequiprecede.Ilexistebiens^urdesnotionsequivalentesassocieesau impliqueux;yv2X.Uncodesynchronisantestuncodeadmettantaumoinsune estunepairesynchronisantesi,pourtoutmotu;v2A,laconditionuxyv2X
CODESETINTERPRETATIONS
codesadelaidedechiragenigeneralisentcettenotion[GM59]:silorsdetentativesdedecodaged'unmessagew,unealternativeetablitquew2x:Xd:A(oud
estledelaideXetx2X+)alorstouteslesautresalternativessontdelaforme
intensivementetudiesdanslecadredelacelebreconjecturedeCerny(voir,par (x:y)estunepairesynchronisante,uneerreurseproduitlorsdelatransmission exemple,[Dub98]).Ilsnecessitentl'insertiondumot((synchronisant))xydansle permetlasynchronisationdetouteslesalternativesdedecodage.Cescodesontete erreurdetransmissionsurvient:si,lorsdelareceptiond'unmessageu:x:y:vou deu,ellen'aurapasd'incidencesurledecodagedeyv;autrementditlemotxy pairesynchronisante.Cescodespermettentdepoursuivreledecodagelorsqu'une
codessontegalementappelescodesadelaidesynchronisationni. 2N,estsynchronisante.Lasynchronisationdesdierentesalternativesseproduit laconditionprecedenteestalorsledelaidesynchronisation.Pourcetteraisonces atraverslescodesuniformementsynchronisants[GG65]outoutepairedeXX, oumoinsarticiellement,unmot((specialise)).Lepluspetitentierquisatisfait alorspourtoutmot((assezlong)),deslorsiln'estplusnecessaired'introduire,plus message.Cer^oleparticulierconfereaquelquesmotsseulementducodesegeneralise
Interpretations arbitrairedependdelaperiodedecelui-ci[Duv79,Duv80].Deplusl'etudedesinterpretationspermetd'etablirdesresultatsquiportentsurlastructurem^emedes
mots[BL85]etquitrouventdesapplicationsdanslarecherchedemotifs[NC92]. vueducodageellespermettentderepresenterlesdierentesalternativespossibles Ellesinterviennentegalementdefaconnaturelleentheoriedescodes:dupointde Lanotiond'interpretationconstitueunoutilparticulierementperformanten combinatoiredesmots.Parexemple,lenombred'interpretationsqu'admetunmot
codesprecedemmentcitespeuventtoutessereformulerentermed'interpretation. triplet(s;d;p)telquew=s:d:pets2AX,p2XA,d2X.Lesproprietesdes tionlaplusrestrictivepossiblequantalastructuredesinterpretationsadmisespar dumotxy2X2((passe))parlepoint(x;y). dedecodaged'unmessage.Formellement,uneX-interpretationd'unmotwestun Parexemple,pourlescodesuniformementsynchronisants,touteX-interpretation C'estdanscetteoptiquequenousetudieronslescodesquisatisfontunecondi-

desX-interpretationsquasi-triviales;ledelaid'interpretationestalorslepluspetitentierdquisatisfaitcettecondition.Cescodes,quenousappelleronscodesa
m^emesionnedisposequed'uneportiondumessage.Ainsinousconsidereronsles INTRODUCTION lesmotsecritssurcecode;cetteproprietepermetainsiundecodagetressimple, ix codesXpourlesquelsilexisteunentierdtelquetoutmotdeXdn'admetteque inter^etevidentdupointdevuepratique;cependantilsneserevelerontdesoutils performantsdanslecadredelatheoriedescodesques'ilsverientlesproprietes faitilsfontbienplusquesatisfairecesseulesproprietes. algebriques((minimales))satisfaitesparlescodesditsclassiques;nousverronsqu'en delaid'interpretationni,presentent|d'aprescequenousvenonsdedire|un
ni.Nousnousattacheronsaetablirlesliensquiexistententreceux-cietlescodes tionouencorelacomposition.Nousmodieronsl'algorithmedeSardinas-Patterson [SP53,Van85]andedecidersiunensembleniestuncodeadelaid'interpretation parrapportadierentesoperationsclassiquestellesquelaconcatenation,l'intersec-
quenousavonsmentionnesplushaut.Unerelationtresetroiteappara^tentreles codesadelaidesynchronisationnietlescodesadelaid'interpretationni;ce Nousetudierons,dansunpremiertemps,lesproprietesdefermeturedecescodes
quiestaprioripeusurprenant,puisqueledelaid'interpretationinterdittoutesles interpretationsautresquecellesquisontquasi-trivialeset,parlam^eme,cellesqui quisontmaximauxoudenses.Enn,nousfournironsunecaracterisationdescodes fondamentaleentrecescodes,lorsqu'onconsidere|entreautres{ceuxd'entreeux nesontpasadjacentesal'interpretationtriviale,commepourlescodesuniformementsynchronisants.Cependantnousverronsplusloinqu'ilexisteunedierence
adelaid'interpretationnidanslecasrationnel.Cecinousameneraaintroduireles Theoremedudefaut codesadjacentsquisontuneautregeneralisationdescodesbixes(rappelonsque codesbixes).Laclassedescodesnis,circulairesetadjacentsestalorsexactement laclassedescodesnisetadelaidesynchronisationni. lescodesadelaidedechiragedanslesdeuxsensconstituentunegeneralisationdes manifestelorsqu'unensembledemotsverieunerelationnontriviale[HK86,CK97]; ilpeut^etreabordesousdierentsanglesdontceluidessystemesd'equationsou dutheoremedudefaut.Lorsquelarelationconsidereecorrespondal'existencede jYj6jXj1[Lot83].Onditalorsqueledefautestde1. dierentsdecodagespourunm^ememot,cetheoremepeuts'enoncercommesuit:si XAn'estpasuncode,lepluspetitsous-monodelibreYcontenantXverie L'eetdefautestunenotionprimordialelorsqu'onconsiderelesmots.Ceteetse
CH85];ledefautestalorsplusoumoinsgrand.Parexemple,ledefautestde2 pourlescodesadelaidedechiragedanslesdeuxsens[Lot00],1pourlescodes prexes[BPPR79]et0pourlescodescirculaires[Lec85].Ainsiletheoremedudefaut proprieteset((pastropgrand))quipermetl'encodagedesmessagesecritssurX. nousassureque,pourtoutensembleX,ilexisteuncodeveriantde((bonnes)) Denombreusesclassesdecodespermettentuneextensiondecetheoreme[Spe75,

admettentchacuneuneversiondutheoremedudefaut. xd'interpretationnietcelledescodesadjacents)estd'autantplusgrandqu'elles
L'inter^etdesdeuxclassesprecedemmentintroduites(laclassedescodesadelai Lescodesnon-interpretessontauxcodesadelaid'interpretationnicequesont CODESETINTERPRETATIONS
qu'onpeutdenirlanotiond'enveloppenon-interpretee,dem^emenousdenirons triviale.M^emesicescodesneverientpasletheoremedudefaut,nousverrons lescodesprexesauxcodesadelaidedechirageni:cesontlescodesdepluspetit
descodesnon-interpretesentantquecodeslimites.Ennlacondition|sirestrictive unenotionsimilaireacelledeliberateurquiestdeniepourlescodes.Deplusle monodeengendrepardetelscodessecaracterisetressimplementparunerelation similaireacellequidenitlesmonodestrespurs;cecipermettralacaracterisation delai.Lesmotsd'uncodenon-interpreten'admettentdoncpasd'interpretationnon
descodesnon-interpretes. Codesmaximaux detelscodes;nousverronspourtantquelescodescomma-free,entreautres,sont |quedoiventverierlescodesnon-interpretespourraitlaissercroireala((rarete))
criterestechniquesmaisegalementparcequedanslecasdecodescoupants,lanotion theoriedescodes,nonseulementparceque,commenousl'avonsdit,ilsreleventde lorsqu'onchercheatransmettredesmessages.Lependantalgebriquedecettenotion decompletudeestequivalenteacelledemaximalite[Sch65,Niv66,Eil74,NS01a].Un estfacteurd'unmotecritsurlecode.Lescodescompletsjouentunr^oleimportanten estlacompletudedescodes[BdLR80,Res79,Res90]:uncodeestcompletsitoutmot Construiredescodesutilisantaumieuxlecanaldetransmissionestunimperatif
codeestmaximals'iln'estinclusdansaucunautrecode.Lescodesmaximauxjouent unr^oleimportantencompressiondesdonnees;ainsil'algorithmedeHuman,par
egalementequivalenceentrelesdeuxnotionsdemaximalitepourlescodescoupants codesmaximauxdesproprietessurlescodesengeneral[BL96].Lanotiondecodes maximauxs'etendnaturellementacelledecodesmaximauxdansunesous-famille exemple,construituncodeprexemaximal.LelemmedeZornpermetdemontrer quetoutcodeestinclusdansuncodemaximal;onpeutdoncinfererdel'etudedes decodes.Unresultatsurprenantetablitque,nonseulement,pourtoutelement d'unefamilledecodesilexisteunelementmaximalquilecontient,maisqu'ilya uncodexe.Ainsil'ensemblefa5;ba2;ab;bgn'estcontenudansaucuncodeniet constitueuneexceptionremarquableal'existenced'elementsmaximauxcontenant determiners'ilestpossiblededecidersiuncodeniestcontenudansuncode delaplupartdessous-famillesdecodes[Sch66,dLR80].Laclassedescodesnis maximalni[Res77,dFR85,RSS89,dF89]. maximal.Undespluscelebresproblemesouvertsdelatheoriedescodesestde
familledecodeF,peut-onexhiberuncodecontenantXetmaximaldansF?Pourla problemedecompletionpeut^etreenoncecommesuit:etantdonneuncodeXd'une deZorn;cependantcettepreuvenepermetpasd'exhiberuncodemaximal.Le Onpeutprouverquetoutcodeestinclusdansuncodemaximalgr^aceaulemme

donneronsdanscememoiredeuxmethodesdecompletion:l'unepourlescodesa cascoupant,voirerationnel[Per82,BWZ90,Bru91b,ZS95,Bru98,BP99].Nous completionontetedonneespourdierentesfamillesdescodes,toujoursdansle Rozenberg[ER85]estunesolutionaceprobleme.Depuis,d'autresmethodesde INTRODUCTION familledescodescoupantsetcelledescodesrationnels,l'algorithmed'Ehrenfeucht- xi
proprieteestd'autantplusinteressantequeledelainepeut^etreconservepourles codesadelaidesynchronisationni. delaid'interpretationniestinclusdansuncodemaximaletdem^emedelai;cette delaid'interpretationnicoupantsetl'autrepourlescodessynchronisants;dans lesdeuxcaslarationaliteestpreservee.Deplusnousmontreronsquetoutcodea
aplusequivalenceentrelamaximaliteetlacompletude.Deplusl'ensembledes codes.Laproprietesiagreabledescodescoupants,asavoirl'equivalenceentrela resultatssurlescodescoupantsdependenttouspresqueexclusivementdesproprietes quetoutcodedenseestcompletmaisn'estpasnecessairementmaximal:iln'y densesappauvritconsiderablementlesoutilsqu'onutiliseusuellemententheoriedes structurellesdesmotsincompletables[NS01b];l'absencedetelsmotspourlescodes Ennpeuderesultatssontconnuspourlescodesdenses;ceciprovientdufait
maximalitedanscertainessous-famillesetl'equivalencedanslafamilledescodes
codesbixesnonmaximaux.Nousetendronscetteconstructionauxcodesprexes etnonmaximauxentantquecodes;cettefamilleestobtenueencompletantles ilnes'agitqued'exemplesponctuels.Nouspresenteronsuneconstructionpermettant d'exhibertouteunefamilledecodesbixesmaximauxentantquecodesbixes Cependantonnetrouvedanslalitteraturequepeud'exemplesdetelscodes;deplus, densesmaximauxentantquecodesbixes,maisnonmaximauxentantquecodes. engeneral,netientplus.Enparticulier,noussavonsqu'ilexistedescodesbixes
descodescirculairesetlamaximalitedanslafamilledescodesetaitverieeparles quejusqu'alorsonignoraitm^emesil'equivalenceentrelamaximalitedanslafamille codescirculairesdenses.Nouspresenteronsdanscememoireunexemplepermettant etsuxes.Lepeuderesultatsconcernantlescodesdenseseststigmatiseparlefait
egalementpresentes. d'armerquecelle-cin'estpassatisfaite. Plan
adjacents,cequinouspermetdecaracteriserlescodesadelaid'interpretationni codesadelaid'interpretationni.Nousintroduisonsegalementlaclassedescodes pourxerlesnotations.Lesresultatsfondamentauxdelatheoriedescodesysont lecteurpourapprehenderlestravauxrapportesdanscememoire;nousenprotons Ledeuxiemechapitreestconsacreal'etuded'unenouvelleclassedecodes:les Danslepremierchapitrenousrappelonslesdierentesnotionsnecessairesau
quisontrationnels,caracterisationquitrouveunesimplicationtresinteressante danslecasdecodesnis. quelescodesadjacentsainsiquelescodesadelaid'interpretationnisatisfont Letroisiemechapitresediviseendeuxparties.Nousmontronstoutd'abord

egala1:lescodesnon-interpretes. xii del'ensembleconsidere.Nousetudionsdansundeuxiemetempslescodesdedelai uneversiondutheoremedudefaut.Cesdeuxclassesdecodesverientuneversion ((large))dutheoreme:lecardinaldesenveloppesassocieesestinferieurouegalacelui Leschapitressuivantssesituentdanslecadredel'etudedescodesmaximaux. CODESETINTERPRETATIONS
relatifsacetteetudeetabordesdanslalitterature. Ainsilequatriemechapitrefaitlasynthesedesdierentesnotionsetproblemes
Celle-cipermetd'etablirl'equivalenceentrelamaximalitedanslafamilledescodes etlamaximalitedanslafamilledescodessynchronisants. dansuncodeadelaid'interpretationnicoupantetmaximal. terpretationnimaximaux.Nousdonnonsdanslasecondesectionunemethode constructivepermettantd'incluretoutcodeadelaid'interpretationnicoupant Lechapitre6decritunemethodedecompletionpourlescodessynchronisants. Auchapitre5,lapremieresections'interesseal'etudedescodesadelaid'in-
poseeparA.RestivoetA.DeLuca,asavoirs'ilyaequivalenceentrelanotionde denses.Danslapremierepartie,Nousmontronscommentincluretoutcodebixe dansuncodebixedense,maximaldanslafamilledescodesbixes,maisnonmaximaldanslafamilledescodes.Ladeuxiemepartieduchapitrerepondaunequestion
maximalitedanslafamilledescodescirculairesetlanotiondemaximalitedansla familledescodes.Nousrepondonsacettequestionparlanegativeenproposantun Dansledernierchapitre,nousdonnonsdeuxresultatsportantsurlescodes
tantquecode. codequiestmaximalentantquecodecirculaire,maisquin'estpasmaximalen

1
Preliminaires Chapitre1
Introduction longdecettethese.Deplusnouspresentonslesresultatsfondamentauxsurlesquels s'appuienotretravail.Nousnedonnonsaucunepreuve;enl'absencedereferences ofcodes[BP85]. nousinvitonslelecteurasereporteral'ouvragedeJ.BersteletD.PerrinTheory Nousintroduisonsdanscechapitrelevocabulaireetlesnotationsutilisestoutau
debasequinousserontnecessairesparlasuite. notionsdemonodelibre,desous-monodelibreetdemot. siquesdecodesysontpresentees.Deplusnousrappelonsquelquesunsdesresultats privilegieesdelatheoriedescodes.Nouspresentonsnotammentensection1.2les Laquatriemesectionintroduitlanotiondecode.Dierentessous-famillesclas-
Lestroispremieressectionssontconsacreesauxmonodes,structuresalgebriques
nousutiliseronsenprioritedanscememoire. libreseststableparintersection. precedemmentpresentees.Enoutre,onyrappellequelaclassedessous-monodes Enn,ladernieresectionestconsacreealanotiond'interpretation:outilque Lasection5traitedutheoremedudefautetdesesextensionsauxclassesdecodes

21.1Monodes
ciativeetquipossedeunelementneutre.Nousnotonsmultiplicativementlaloide Unmonodeestunensemblemunid'uneloidecompositioninternequiestasso-
CHAPITRE1.PRELIMINAIRES
composition. leproduit: Deplus,nousnotonsX:Y1etX1:Ylesensembles: EtantdonneesdeuxpartiesXetYd'unmonodeM,NousdesignonsparX:Y Y1:X=fu2Mj9(x;y)2XY;x=y:ug: X:Y1=fu2Mj9(x;y)2XY;x=u:yg X:Y=fx:y2Mjx2X;y2Yg:
(c'est-a-direN:NN). deMs'ilcontientl'elementneutreeteststablepourlaloidecompositioninterne pourtoutm;m02Metu;v2M,ona: UnecongruencesurunmonodeMestunerelationd'equivalencetelleque EtantdonneunmonodeM,unsous-ensembleNdeMestunsous-monode
1.2Motsetmonodelibre mm0=)umvum0v:
1.2.1Denitions
Cetteoperationestassociative.Munidelaconcatenation,Aestdoncunmonode, interneappeleeconcatenationetdeniecommesuit: serontappeleslettres.Unmotsurl'alphabetAestunesuiteniedelettres.L'ensembledetouslesmotssurAestnoteA.OnmunitAd'uneloidecomposition
SoitAunensemblenonvidequenousappelleronsalphabetetdontleselements
ilestappelelemonodelibresurl'alphabetA. Danslebutd'allegerlesnotations,lemot(a1;a2;:::;an)seranotea1a2:::an. (a1;a2;:::;an)(b1;b2;:::;bm)=(a1;a2;:::;an;b1;b2;:::;bm):

1.2.2Longueurs 1.2.MOTSETMONOIDELIBRE deAdansw;elleestnoteejwj.Ainsil'uniqueelementneutredeAmunidela Pourtoutmotw2A,lalongueurdewestlenombred'occurrencesdelettres 3
concatenationestlemotdelongueur0;ilestappelelemotvideetestnote". L'ensembledesmotsnonvidesdeAestnoteA+.Onadonc Etantdonneunsous-ensembleniXdeA,nousnotons lg(X)=X A+=Anf"g:
apparaissantdanslemotw,c'est-a-dire currencesdelalettrebdanslemotw.Nousnotonsalph(w)l'ensembledeslettres PourunelettrebdeAetunmotwdeA,nousnotonsjwjblenombred'oc-
alph(w)=fa2Ajjwja>0g: x2Xnf"g(jxj1):
PourtoutXA,nousnotons Parconvention,(ai;:::;aj)=ai:::aj="lorsquei>j. alph(X)=[x2Xalph(x):
1.2.3Motsmiroirs,conjuguesetprimitifs Lemiroird'unensembleXAest motSoitw=a1a2:::anavecai2Apouri2[1;n].Lemiroirdew,noteew,estle
EtantdonneeunepartieXA,deuxmotsw;w02AsontX-conjuguess'il eX=fexjx2Xg: ew=an:::a2a1:
quewetw0sontconjugues. existeu;v2Xtelsquew=uvetw0=vu.SiX=A,nousdironsplussimplement

4primitifsitousseselementssontprimitifs.
n=1.Unmotnonprimitifestditimprimitif.Nousdironsqu'unensembleest Unmotw2A+estprimitifsietseulementsilaconditionw=xnimplique Etantdonneunsous-ensemblenonvideXdeA,nousdesigneronsparjXjla CHAPITRE1.PRELIMINAIRES
videsdeX. cardinalitedeX.
1.2.4Facteurs,prexesetsuxes OnnoteXlesous-monodeengendreparXetX+l'ensembledesmotsnon
x=uwv.Letriplet(u;w;v)estuneoccurrencedewdansx,sapositionestdenie commeetantegaleajuj+1. xsiu="(resp.v=").Unfacteurestnontrivials'ilestdierentdumotvide. Denitions Soitx2A.Unmotw2Aestunfacteurdexs'ilexisteu;v2Atelsque
u1;u22Xtelsquew=u1:u:u2.Deplus,uestunX-prexe(resp.X-suxe)dew Lemotwestunfacteurpropredexsiw6=x;c'estunprexe(resp.suxe)de
sontcomparablespourl'ordresuxe. siu1="(resp.u2="). c'est-a-direu2P(v)ouv2P(u).Dem^eme,lesmotsu,vsontS-comparabless'ils Soientw2AetXunensemble.LemotuestunX-facteurdews'ilexiste Deuxmotsu,vsontP-comparabless'ilssontcomparablespourl'ordreprexe,
S(w)). Notations L'ensembledesfacteurs(resp.prexes,suxes)dewestnoteF(w)(resp.P(w), EtantdonneeunepartieXA,onnote
desmotsdeX:w2XA=)9x2X;u2A+;x=wu: NousnotonsXA(resp.AX)l'ensembledesprexes(resp.suxes)propres Enoutre,nousnotonsP(X)(resp.S(X))l'ensembleP(X)nf"g(resp.S(X)nf"g). F(X)=[ w2XF(w);P(X)=[ w2XP(w)etS(X)=[ w2XS(w):

1.3.MONOIDESYNTAXIQUE Motssansbord Unmotw2Aestsansbordsiaucundesesprexespropresnontriviauxn'est 5
suxedew.End'autrestermes,wnesechevauchepasaveclui-m^eme(cf.g.1.1).
^etrecompleteenunmotsansbord.Lapropositionsuivantepreciseceresultat: En[BP85,p.10],ilestetabliqu'etantdonneunmotquelconque,celui-cipeut Fig.1.1{Lemotabaabn'estpassansbord
Proposition1.2.1SoitAunalphabetayantaumoinsdeuxlettres.Pourtoutmot 1.3Monodesyntaxique u2A+,ilexistev2A(resp.v02A)telqueuv(resp.v0u)soitsansbord.
1.3.1Denition
LacongruencesyntaxiquedeXestlarelationd'equivalenceXdeniepar: SoitXA.Pourtoutmotw2A,nousnotons (w)=f(u;v)2AAjuwv2Xg:
LequotientdeAparXestlemonodesyntaxiquequenousnoteronsM(X). Nousdironsqu'unensembleXestreconnaissablesiM(X)estni. wXw0()(w)=(w0):

61.3.2Ensemblesrationnels
Lafamilledesensemblesrationnels,noteeR,estlapluspetitefamilledesparties deAquiverielestroisproprietessuivantes: CHAPITRE1.PRELIMINAIRES
{Toutsous-ensemblenideAappartientaR.
lenceentrelesdeuxnotionsdereconnaissabiliteetderationalite: {SiX;Y2RalorsX[Y2RetX:Y2R.
Theoreme1.3.1(Kleene)SoitAunalphabetni.Unsous-ensembledeAest {SiX2RalorsX2R.
reconnaissablesietseulementsiilestrationnel. Danslecasoul'alphabetestni,lecelebretheoremedeKleeneetablitl'equiva-
1.4Codes DanstoutlememoirenoussupposeronsqueAestunalphabetni.
1.4.1Denition motsx1;:::;xn2X,x01;:::;x0m2X,lacondition implique UnepartienonvideXA+estuncodesurAsipourtoutn;m>1ettous
Lapropositionsuivanteestuneconsequencedirectedecettedenition: n=metxi=x0ipouri2[1;n]: x1x2:::xn=x01x02:::x0m
Proposition1.4.1Toutsous-ensembled'uncodeestuncode.

1.4.2L'algorithmedeSardinasetPatterson 1.4.CODES decidersiunensemblereconnaissableestuncode: L'algorithmedeSardinasetPattersonestunprocedeclassiquequipermetde 7
SoitXA+,denissonslasuite(Un)n>1par:
Proposition1.4.2L'ensembleXA+estuncodesietseulementsiaucunensembleUnnecontientlemotvide.Deplus,siXestreconnaissable,alorsl'ensemble
nXpourn>1: Onaalors[SP53]: Un+1=X1Un[U1 U1=X1Xnf"g
1.4.3Stabilitedumonodelibre desUnestni.
l'ensemble(unique) rateursestuncode.Reciproquement,siXestuncode,alorsl'ensembleminimalde SoitMunsous-monodedeA.L'ensembleminimaldegenerateursXdeMest
generateursdeXestX.Danscecas,Xestunsous-monodelibre.LecodeXest appelelabasedeX. Nousdironsqu'unsous-monodeMestlibresisonensembleminimaldegene-
X=(Mnf"g)n(Mnf"g)2:
Unsous-monodeMeststablesipourtousmotsu;v;w2M(cf.g.1.2), u;v;uw;wv2M=)w2M:
Fig.1.2{Stabilitedessous-monodeslibres u w v

8Proposition1.4.3Unsous-monodeMAestlibresietseulementsiilest
stable. Nousavonsalorsleresultatsuivant[Sch56]: CHAPITRE1.PRELIMINAIRES
1.4.4Quelquesclassesdecodes
;).Unensembleprexeetsuxeestbixe.Clairementtoutensembleprexe,suxe teresdedecodages(voir,parexemple,[JK97]).Nouspresentonsiciquelquesclasses remarquablesquantaleurstructurecombinatoire[BP85]. UnepartieXAestprexe(resp.suxe)siX\XA+=;(resp.X\A+X= Denombreusesfamillesdecodesonteteintroduitesandesatisfairecertainscri-
entierd>0telquepourtoutx;x02X,y2Xd,u2Aona oubixedierentdef"gestuncode. UnensembleXA+estuncodeadelaidedechiragebornes'ilexisteun Uncodeuniformeestuncodedonttousleselementssontdem^emelongueur.
Lepluspetitentierdveriant(1.1)estledelaidedechiragedeX.Uncodeprexe estadelaidedechirage0. parexemple,[Bru91a]). Precisonsqued'autresnotionsdedelaidedechirageonteteintroduites(voir, xyu2x0X=)x=x0: implique p2Aets2A+lacondition Uncodeestcirculairesipourtoutn;m>1,x1;:::;xn2X,y1;:::;ym2X,
qu'ilsengendrent:unsous-monodeMdeAesttrespursipourtoutu;v2A, Lescodescirculairespeuvent^etreegalementdenisrelativementausous-monode n=m;p="etxi=yipouri2[1;n]: sx2:::xnp=y1:::ym;x1=ps
ensembleminimaldegenerateursestuncodecirculaire. Proposition1.4.4Unsous-monodeMdeAesttrespursietseulementsison uv;vu2M=)u;v2M:

Lescodescomma-freesontcirculaires. 1.4.CODES UncodeXestcomma-freesietseulementsipourtoutx2X,u;v2ona uxv2X=)u;v2X: 9
toutu0;u1;:::;up+q2A,laconditionui1ui2M(16i6p+q)impliqueup2M (g.1.3).u1 u0 Soientp;q>0.Unsous-monodeMdeXverielaConditionC(p;q)sipour
p;q>0telsqueXsoit(p;q)-limite. UncodeXest(p;q)-limitesiXsatisfaitC(p;q).UncodeXestlimites'ilexiste u2 Fig.1.3{ConditionC(p;q) up1upup+1
up+q
Proposition1.4.5Toutcodelimiteestcirculaire. UncodeXestsynchronisants'ilexistex;y2Xtelsquepourtoutu;v2A Ilvientalors[BP85,p.330]:
ona
ax6=").Posonsx0=a1:x.Onaalorsa:":":x0=x2Xdonc,comme(";")est Remarque1.4.1SiuncodeXadmet(";")commepairesynchronisante,alors XA.Eneet,soitx2Xetalapremierelettredex(commeXestuncode,on Onditalorsquelapaire(x;y)estsynchronisantepourX. uxyv2X=)ux;yv2X:
borne)s'ilexisteunentier>0telquepourtoutx;y2Xetu;v2Aona unepairesynchronisante,onobtienta2Xetx02X.PuisqueXestuncode,on aainsix0=",soitx=a.
End'autrestermes,toutepairedeXXestsynchronisante. UncodeXestuniformementsynchronisant(ouadelaidesynchronisation uxyv2X=)ux;yv2X: (1.2)

10 codesadelaidedechirageborne,codessynchronisants,codesuniformementsynchronisants).
codesadelaidedechiraged(resp.codesuniformementsynchronisantsdedelaide synchronisationd). Pourtoutentierd>0,nousnotonsF(d) ddb(resp.F(d) detouslescodes(resp.codescirculaires,codesbixes,codesprexes,codessuxes, Lepluspetitentierveriant(1.2)estledelaidesynchronisationdeX. NousnotonsFcode(resp.Fcirc,Fbif,Fpref,Fsu,Fddb,Fsync,Fus)l'ensemble CHAPITRE1.PRELIMINAIRES
1.4.5Composition us)l'ensembledetousles
denitunmorphismeinjectifdeBversAetX='(Y)estuncode[BP85]. NousnoteronsX=Y'Zou,plussimplement,X=YZ. Soit'unetellebijection,YetZsontalorsditscomposablespar'.Deplus' SoientZAetYBdeuxcodestelsqueB=alph(Y). LescodesYetZsontcomposabless'ilexisteunebijectiondeBversZ.
1.5Theoremedudefaut l'existenced'unmonodelibreminimalYcontenantlesmotsdeX. Proposition1.5.1Uneintersectionquelconquedesous-monodeslibresdeAest unsous-monodelibre. SoitXunensembleni.SiXn'estpasuncode,lesresultatsquisuiventprecisent
Acommelepluspetitsous-monodelibredeAcontenantX. Theoreme1.5.2(Theoremededefaut)SoitXAunensemblenietsoit Ylabasedel'enveloppelibredeX.SiXn'estpasuncode,onaalors Cettepropositionpermetdedenirl'enveloppelibred'unsous-ensembleXde jYj6jXj1:

evidencepourdierentesfamillesdecodes[BPPR79,Spe75,Lot83],c'estlecas,par motssatisfaitunerelationnontriviale[HK86,CK97].Onpeutainsilemettreen exemple,danslafamilledescodesadelaidedechirageni.Ilestm^emepossible 1.6.FACTORISATIONSETINTERPRETATIONS d'eetdefaut.Plusgeneralement,l'eetdefautsemanifestedesqu'unensemblede CettedierencedecardinaliteentrelesensemblesXetYestconnuesouslenom 11
ni((danslesdeuxsens))[Hon88,Lot00]. defaireappara^treundefautplusgranddanslecasdescodesadelaidedechirage parlerdetheoremedudefaut.Nousutiliseronsparlasuitel'extensiondutheoreme dudefautauxcodescirculaires[Lec85,p.147]: dinaliteentrelesensemblespuisse^etrenulle,oncontinue,parabusdelangage,de c'estlecasdescodesprexes,suxesetbixes.Bienqu'alorsladierencedecar-
Certainesfamillesdecodesverientuneversionplusfaibledutheoreme1.5.2:
Proposition1.5.3Uneintersectionquelconquedesous-monodestrespursdeA
Theoreme1.5.4SoitXAetsoitYlabasedel'enveloppecirculairedeX.On estunsous-monodetrespur.
aalors L'enveloppecirculairedeXestlepluspetitsous-monodetrespurdeA.
1.6Factorisationsetinterpretations jYj6jXj:
deAtelsque Soitw2A.Unefactorisationdewestunesuite(u1;u2;:::;un),n>0demots
interpretationdewestunesuite(s;d1;d2;:::;dn;p)telleque w2XtoutefactorisationdewdontleselementssontdansX. Etantdonneunsous-ensemblequelconqueXdeA,onappelleX-factorisationde LanotiondeX-interpretationgeneraliselanotiondeX-factorisation:uneX-
w=u1u2:::un:
avecn>0,s2AX,p2XAetdi2Xpouri2[1;n]. w=sd1d2:::dnp

12 jacentess'ilexistei2[0;n]etj2[0;m]telsque DeuxX-interpretationsquinesontpasadjacentessontditesdisjointes. DeuxX-interpretations(s;d1;:::;dn;p)et(s0;d01;:::;d0m;p0)dumotwsontad-
sd1:::di=s0d01:::d0j: CHAPITRE1.PRELIMINAIRES
UneX-interpretation(";d1;:::;dn;")estditetriviale. UneX-interpretation(s;d1;:::;dn;p)telleques;p2Xestditequasi-triviale.
uneX-interpretationpourl'occurrence(u;w0;v)dew0s'ilexistes2AX,p2 uneX-interpretationdew.LaX-interpretationI=(d0;d1;:::;dn;dn+1)induit XAeti;j2N,0

Proposition1.6.1SoitXuncodecirculairenietw2XunmottelquejwjX> lg(X).AlorstouteX-interpretationdewestadjacenteal'interpretationtriviale. 1.6.FACTORISATIONSETINTERPRETATIONS 13

14 CHAPITRE1.PRELIMINAIRES

15
Codesadelaid'interpretationni Chapitre2
Introduction
([BP85,GG65,Res75,dLR80]).Cependant,danschacunedecesclasses,unmessage millesdecodesonteteintroduites,commelescodesadelaidedechirageborne,les codessynchronisantsouuniformementsynchronisantsouencorelescodescirculaires doiventpas^etretropnombreuses.C'estdanscetteoptiquequedenombreusesfa-
aveclanotiondecodes.Ilestclairqu'unmotpeutavoirplusieursinterpretations suruncode,cependantsionsouhaiteundecodagesimple,cesinterpretationsne Nousnousinteressonsdanscechapitrealanotiond'interpretationenrelation
peutadmettreplusieursinterpretations.Lescontraintesportentessentiellementsur lastructuredesinterpretations. codesadelaid'interpretationni[Gue00].Cescodesverientenfaitunecondition descodescomma-free|quipermetd'eviterlamultiplicitedesinterpretations. |plusrestrictivequecelledescodescirculaires,sans^etreaussifortequecelle Informellement,siXestuncodeadelaid'interpretationni,alorstoutmotw deX((assezlong))n'admetquedesinterpretationsquasi-triviales.Enfaitnous denissonsledelaid'interpretationd'uncodeXcommelepluspetitentierntel Cesconsiderationsnousconduisentaintroduireunenouvelleclassedecodes:les
aXX.Dupointdevuedudecodaged'unmessagew1xw22X,lorsqu'une queX\Xn=;pourtoutepaire(;)2P(X)S(X)n'appartenantpas

16 erreurdetransmissionappara^tdansx2X,uncodeadelaid'interpretationnin n,seullemotw3,ouw2=w0w3avecw02Xnetw32XnX,peut^etrereconnu:il permetmalgretoutdereconna^trelemotw2,aconditionquew2soit((assezlong)), fautattendrequetouteslesinterpretationsse((synchronisent)). c'est-a-direquew22Xn.Remarquonsquepouruncodeadelaidesynchronisation CHAPITRE2.CODESADELAID'INTERPRETATIONFINI
classedecodesdoitverierdescriterestheoriquesstricts.Nousnoussommesdonc interessesaucomportementdecescodesvis-a-visdedierentesoperations,comme uniformementsynchronisantsquisontadelaid'interpretationni). l'intersection,lacompositionouencorel'operationmiroir.Nousdonnonsegalement codesatraversd'autresclassesdecodes(parexemple,nouscaracterisonslescodes untestpourcescodes.Nousnoussommesegalementappliquesareconna^treces Ilestclairque,misesapartlesapplicationsdirecteslieesaudecodages,cette
2.1Denitionsetpremieresproprietes 2.1.1Codesetsous-monodesadelaid'interpretationni
Denition2.1.1SoitXuncode.Xestuncodeadelaid'interpretationnis'il existen>1telquepourtout2P(X),2S(X),(;)=2XX,ona: quequelquesproprietescombinatoireselementairessatisfaitesparcescodes. Nouspresentonsdanscettesectionlescodesadelaid'interpretationniainsi
d'unmotw2Xm,nousavonss;p2X,c'est-a-direquelesmotsdeXmn'admettent tion(2.1). Ledelaid'interpretationdeXestalorslepluspetitentierveriantlacondi-
Ainsi,simestledelaid'interpretationdeX,pourtouteX-interpretation(s;d;p) X\Xn=;: (2.1)
Exemple2.1.1{L'ensembleX=faba;babgn'apasdedelaid'interpretationni quedesinterpretationsquasi-triviales(cf.page12),ainsinousavonsX(w)=1. pourinterpretationnonquasi-triviale(a;(bab:aba)n1:bab;ab). puisquepourtoutn>1,lemot(ab)3n2Xn(ona(ab)3n=(aba:bab)n)admet

2.1.DEFINITIONSETPREMIERESPROPRIETES {LecodedeDyckrestreintD01peut^etredenicommesuit: {L'ensemblefba;cd;dbgadmet2pourdelaid'interpretation. deX2n'admettentquedesinterpretationsquasi-triviales. Eneetdbadmet(d;";b)pourinterpretationnonquasi-triviale.Depluslesmots 17
dew,onajsja>jsjb.Deplus,ladenitiondeD01impliquequetoutsuxeu LecodeD01estadelaid'interpretation1. UneautredenitiondeD01estdonneedansl'exemple4.1.1. Eneetsoit(s;d;p)uneD01-interpretationd'unmotwdeD01.Puisquesestprexe d'unmotdeD01veriejujb>juja.Onadoncjsjb>jsja(puisques2S(D01)).On D01=nwjjwja=jwjbet8u2P(w)nfwg;juja>jujbo:
Dem^eme,onap2D01.LecodeD01estdoncbiendedelai1. adoncjsja=jsjb.Commedeplusonas2S(D01),ilvients2D01.
Lemme2.1.1Siuncodeestadelaid'interpretationnalorsilsatisfaitlacondition(2.1)deladenition2.1.1pourtoutm>n.
Ladenitiondudelaiprendtoutsonsensavecleresultatsuivant:
m>net(;)2P(X)S(X),(;)=2XXtelque Preuve.SoitXuncodeadelaid'interpretationn.Supposonsqu'ilexisteunentier
veriee: Ilexistealorsk2N,x1;x2;:::;xk2Xety1;y2;:::;ym2Xtelsque Ona(;)=2XXdoncaumoinsl'unedesdeuxproprietessuivantesest x1x2:::xk=y1y2:::ym: X\Xm6=;:
pretationn)). pourunmotdeXn,cequicontrediral'hypothese((Xestuncodeadelaid'inter-
Supposons=2X(lecas=2Xsetraitantdefaconsimilaire). Nousallonsmontrerqu'onpeuttrouveruneinterpretationnonquasi-triviale =2Xou=2X:
Trivialement,siy1:::ynn'estpasfacteurde,alorsl'interpretation (;x1;:::;xk;)

18y1 CHAPITRE2.CODESADELAID'INTERPRETATIONFINI
y1+ix1yn+ixj
ym
0 0 xn
nesoitpasfacteurde: noussutdeconsidererunmoty1+i:::yi+n,l'entierietantchoisitelquecemot induituneinterpretationnonquasi-trivialepourlemoty1:::yn2Xn. Supposonsmaintenantquey1:::ynestfacteurde.Nousallonsmontrerqu'il Fig.2.1{m>n(icin=2)
propredey1:::ymdoncjy1:::ymj>jj.Deplusonam>nd'ou Ilestclairqu'ilexisteunentierveriantcettecondition.Eneet,estunprexe Soitilepluspetitentiertelque jy1:::yij+nXh=1jyh+ij>jj;06i6mn:
admetuneinterpretationnonquasi-triviale. Montronsqu'alorsisatisfaitlesconditionsrequises,c'est-a-direquey1+i:::yn+i Posons(cf.g.2.1): jy1:::ymnj+nXh=1jyh+(mn)j>jj:
conditionsuivantesoitrealisee: Puisqu'onajj

2.1.DEFINITIONSETPREMIERESPROPRIETES {Supposonstoutd'abordquej6=k.Ona,pardenitiondej, Lemot0estdoncprexedexj+1.Deplus,ona jx1x2:::xjj0,F(d) AinsiXsatisfaitlacondition(2.1)deladenition2.1.1pourtoutm>n.Ce NousnoteronsFdifl'ensembledescodesadelaid'interpretationniet,pour difceluidescodesadelaid'interpretationd.
engendreparuncodeadelaid'interpretationni. Denition2.1.2Onappellemonodeadelaid'interpretationnitoutmonode
codesadelaid'interpretationni. 2.1.2Premieresproprietes
Proposition2.1.2Toutcodeadelaid'interpretationniestunensembleprimitif (cf.p.4). Nouspresentonsmaintenantquelquesproprieteselementairessatisfaitesparles

delaid.CommeXestuncode,onax6=". 20 Preuve.Soitxunmotimprimitif.SupposonsquexappartienneauncodeXde Soientn>1etu2A+telsquex=un.Onaalors CHAPITRE2.CODESADELAID'INTERPRETATIONFINI
LemotxdadmetdoncuneX-interpretation(u;xd1;un1).CommelecodeXest adelaid,onau;un12X.MaisalorslemotxdadmetdeuxX-factorisations: (x;x;:::;x |{z} dfois)et(u;x;x;:::;x xd=u:(un)d1:un1:
Proposition2.1.3Uncodeadelaid'interpretationninecontientpasd'elements Onan>1doncx6=u,cequicontreditl'hypothese((Xestuncode)). |{z} d1fois;un1):
conjugues.
Preuve.SoitXuncodeadelaid'interpretationnidetu;v2A+telsqueuv;vu2 X.Lemot(uv)d2XdadmetalorsuneX-interpretation(u;(vu)d1;v).Celle-ciest doncquasi-triviale:onau;v2X+,d'ouuv2X+\X,cequicontreditlefaitque delaid'interpretationni. Xestuncode. Nousetudionsmaintenantlesproprietesdefermetureverieesparlescodesa
Inclusion Proposition2.1.4SoitXuncodeadelaid'interpretationni.Toutsous-ensemble X0deXnonvideestuncodeadelaid'interpretationni.Deplus,siXestadelai nalorsX0estadelaipluspetitouegalan. Preuve.SoitX0unsous-ensembledeXnonvide.NoussavonsqueX0estuncode (cf.Proposition1.4.1).Montronsquec'estuncodeadelaid'interpretationni. SoitnledelaideXetsoient2P(X0),2S(X0)telsque Montronsqu'alorsona(;)2X0X0. X0\X0n6=; (2.2)

2S(X)etw2X. peutsefactorisersurX(par:w0:avecw02X)etsurX0(puisquew2X0n). 2.1.DEFINITIONSETPREMIERESPROPRIETES PuisqueX0X,cesdeuxfactorisationssontdesX-factorisations.Deplus,comme Soitwunmottelquew2X0\X0n.CommeX0X,ona2P(X), CommeXestadelain,onapardenition(;)2XX.Ainsilemotw 21
X0estadelaid'interpretationpluspetitouegalan. Miroir Xestuncode,ellessontidentiques.Ainsiona;2X0.Onadoncprouveque
Proposition2.1.5Lemiroird'uncodeadelaid'interpretationniestadelaid'interpretationni.
Preuve.Trivial.Eneet,pourtoutcodeX,(s;d;p)estuneX-interpretationsiet seulementsi(ep;ed;es)estuneeX-interpretation. d'interpretationnin'estpasstableparcomposition: Composition L'exemplesuivantmontreque,danslecasgeneral,lafamilledescodesadelai
denipar Exemple2.1.2SoientA=fa;bgetB=fu;v;wg.Soient Clairement,YetZsontdeuxcodesdedelai1.Soit'labijectiondeBversZ Y=fu;uv;wgetZ=fa;ab;abbg:
codeXn'admetdoncpasdedelaid'interpretationni. admetuneinterpretationnonquasi-triviale(puisquea2Xetab2P(X)nX).Le OnaalorsX=Y'Z=fa;aab;abbg.AinsitoutmotdeX+:fa:abgX '(u)=a;'(v)=ab;'(w)=abb:
sontcomposablesetsiZestbixealorsX=YZestuncodeadelaid'interpretation Proposition2.1.6SoientYetZdeuxcodesadelaid'interpretationni.SiYetZ
Nousavonscependantleresultatsuivant:

22 Preuve.SoientYBetZAdeuxcodesadelaid'interpretationnicomposables.Soit'unebijectiondeBversZ.Posons
CHAPITRE2.CODESADELAID'INTERPRETATIONFINI
x1;:::xd2Xetx01;:::;x0m2Xtelsque SoitdY(resp.dZ)ledelaid'interpretationdeY(resp.Z)etd=maxfdY;dZg. Supposonsqu'ilexiste(;)2P(X)S(X),(;)=2XX,m>0, Soitx0,x0m+1deuxmotsdeXtelsque2S(x0)et2P(x0m+1). x1:::xd=x01:::x0m: X=Y'Z:
Dem^eme,soient02S(Z),z2Ztelsque=0z.Onaainsix01:::x0m= 0z:x01:::x0m:z0. Pardenition,onaxi2Z+pouri2[1;d]etx0j2Z+pourj2[0;m+1].
implique(0;0)2ZZdonc(;)2ZZ. delaidZ,l'equation Onadonc2P(Z),2S(Z).Soient02P(Z),z2Ztelsque=z0. Deplus,puisqued>dZ,lemotx1:::xdappartientaZdZ:Z.CommeZesta Puisque'estunisomorphisme,ilvient Onadonc'1(x1):::'1(xd)='1()'1(x01):::'1(x0m)'1(): '1(x01:::x0m)='1()'1(x01):::'1(x0m)'1(): x1:::xd=0z:x01:::x0m:z0
d'ou(;)2XX,cequicontrediral'hypothese(;)=2XX. commeYestadelaid'interpretationdY6d,onaura('1();'1())2YY, Pourconclure,ilsutdemontrerque'1()2P(Y)et'1()2S(Y).Eneet,
telsque Soientk;k0>1,x0;1;:::;x0;k2Zetx0m+1;1;:::;x0m+1;k02Ztelsque
CommeZestbixe,ilestprexedonck0>het,pouri2[1;h],i=x0m+1;i.De Dem^eme,puisque;2Z,ilexisteh;h0>0,1;:::;h2Zet1;:::;h02Z Ona,pardenition,2P(x0m+1),c'est-a-dire1:::h2P(x0m+1;1:::x0m+1;k0). x0=x0;1:::x0;ketx0m+1=x0m+1;1:::x0m+1;k0:
m^eme,puisque2S(x0),onak>h0eti=x0;kh0+ipouri2[1;h0].
'1(x0m+1)='1(x0m+1;1):::'1(x0m+1;k0) =1:::het=1:::h0:
d'ou Comme'1(x0m+1)2Y,ona'1()2P(Y). Onmontredem^emeque'1()2S(Y). '1(x0m+1)='1():'1(x0m+1;h+1):::'1(x0m+1;k0):

2.2.UNTESTPOURLESCODESADELAID'INTERPRETATIONFINI23
etPattersonquipermetdedecidersiunensembleniestadelaid'interpretation niṠoient(Un)n>1et(Vn)n>1lesdeuxsuitesdeniescommesuit:
2.2Untestpourlescodesadelaid'interpretation Nouspresentonsdanscettesection,unemodicationdel'algorithmedeSardinas
Lemme2.2.1Soitn>1.OnaUnS(X)etVnP(X). Nouscommenconsparunlemme: U1=S(X)1:Xnf"g;Un+1=X1Un[U1 V1=X:P(X)1nf"g;Vn+1=XV1 n[VnX1pourn>1: nXpourn>1;
Preuve.Nousprocedonsparrecurrence.Ilestclairque,pardenition,onaU1 D'apresl'hypothesederecurrence,onaUnS(X).LeselementsdeX1Unsont sontsuxesdemotsdeX.AinsionaUn+1S(X). doncegalementsuxesdemotsdeX.Deplus,ilestclairquelesmotsdeU1 Supposonsqu'aurangn>1onaUnS(X).OnaalorsUn+1=X1Un[U1 Onprouve,defaconsymetrique,queVnP(X)pourtoutn>1. Cequiprouvequepourtoutn>1onaUnS(X). nX.
Proposition2.2.2SoitXunsous-ensemblenideA.L'ensembleXestuncode propositionsuivante: L'algorithmedetestdel'existenced'undelaid'interpretationsededuitdela
adelaid'interpretationnisietseulementsiilexisten>1telque
Lemme2.2.3Soitn>1telqueUn6=;.Soitu2A.Lesdeuxpropositions Lapreuvedelaproposition2.2.2reposesurlelemmesuivant: Un=Vn=;:
suivantessontequivalentes: (i)LemotuappartientaUn.

24(ii)Ilexistei>0,j>1,2S(X),x1;:::;xi2X,y1:::yj2Xtelsque
i+j=n,jj

2.2.UNTESTPOURLESCODESADELAID'INTERPRETATIONFINI25 {Six=vualorsl'equationx1:::xi:v=y1:::yjimplique Enposantxi+1=vu,onobtient(i+1)+j=n+1,jj0,j>1,2S(X),x1;:::;xi2Xet
{Soiti6=0etxiu2S(yj).Posonsalorsv=xi:u.Onax1:::xi1v=y1:::yj, Six1:::xi:u=y1:::yjetjuj6jyjjalorsdeuxcassontaconsiderer: x1:::xi=y1:::yj:uetjuj6jxij:
{Soiti=0ouxi=2S(yj).Posonsalorsyj=vu(onrappellequejuj6jyjj). Sii=0alorsonau=y1:::yj.Commejj1donccecasnepeut (i1)+j=netjvj6jyjj.Enappliquantl'hypothesederecurrence,onav2Un,
Onadonci>0d'ouxiu=2S(yj).L'equationx1:::xi:u=y1:::yjassuredonc appara^tre.
recurrenceimpliquedoncv2Un.Onadoncu2U1 yj2S(xiu)d'ouv2S(xi).Deplusx1:::xi:u=y1:::yjimpliquex1:::xi= Deplusonai+(j1)=netjvj6jxij(puisquev2S(xi)).L'hypothesede y1:::yj1v. Onaj>1,eneetsij=1,onauraitx1:::xi:u=y1d'ouxiu2S(yj). nXd'ouu2Un+1.

26 {Supposonsyju2S(xi).Posonsalorsv=yju.Onax1:::xi=y1:::yj:u.Si j=1alorsonax1:::xi=y1:u;maiscommeonay1:u2S(xi)et6=" Supposonsmaintenantx1:::xi=y1:::yj:uetjuj6jxij. Onajj1,onaitUn6=;. Montronstoutd'abordqu'ilexisten0telquel'indicejdenidanslelemme2.2.3
ji:lminetjy1:::yjuj6(j+1):lmax.Deplus,onai+j=k lmax=maxfjxjjx2Xg: lmin=minfjxjjx2Xg
donci=kjd'oui>kd. jx1:::xij>(d+1)lmaxlmin,maisonaaussijy1:::yjuj6(j+1):lmax

j>d,2S(X),x1;:::;xi2X,y1:::yj2Xtelsquei+j=k,jjn0etu2Uk.Supposonsx1:::xi=y1:::yj:u.Ona2S(X)et x1:::xi:u=y1:::yjoux1:::xi=y1:::yj:u:
avonssupposeUn6=;.MontronsquepourtoutmotudeUnonajujn0,nousrappelonsquenous Onadoncx1:::xi:u=y1:::yj.DepluscommeXestuncodeadelaid'inter-
similaireproduitl'existenced'unentiern2telquepourtoutn>n2onaVn=;. Un0+n1=;.Remarquonsque,pardenition,onapourtoutn>n0+n1,Un=;. durangn0etelleestmajoreepar0.Elleestdoncnie,d'ouilexisten1telque juj

28 dem^eme,onpose Posons CHAPITRE2.CODESADELAID'INTERPRETATIONFINI
Ilestclairquei06j0.Eneetsii0>j0alorsjy1:::ydj=jy1:::yi01j+jyi0:::ydj doncjy1:::ydj6jy1:::yi01j+jyj01:::ydjd'oupardenitiondeet,jy1:::ydj< jj+jj.Cequiestimpossible,onadonci06j0. j0=maxfijjyi:::ydj>jjg: i0=minfijjy1:::yij>jjg
Onaalors(y1:::yi01)1:x1:::xm:(yj01:::yd)1=yi0:::yj0: doncv06=").Onau02X,autrementditilexistek>m,xm+1;:::;xk2Xtels queu0=xm+1:::xketonav0x1:::xk:"=yi0:::yj0: jv0j

commeUdi0+1+m+16=;,ilvientUn6=;. impliqueVn6=;.Cecicontreditl'hypotheseUn=Vn=;etterminedonclapreuve. 2.3.CODESADJACENTS Dem^eme,sidi0+m+22m+3+d2etdoncVj0+m+16=; Ainsi,enposantd=2n,sidi0+m+2>d2,onadi0+m+2>netdonc, 29
doncquel'uniondesUiestunensembleni.Symetriquement,lesVisontconstitues nousavonsintroduitsnecontiennentquedessuxesdemotsdeX.Onendeduit Dem^emequepourlasuitedenieparSardinasetPattersonlesensemblesUique deprexesdemotsdeX.OnpeutdoncstopperlecalculdeUetVdesqu'ontrouve untermeegalaunautreprecedemmentcalcule. Ui=(ab)dpourtouti>2. Remarque2.2.1Lanitudedel'ensembleestnecessaire.Eneetlecodeab+ c(ab)+d+cestuncodededelaid'interpretation1etpourtantU1=(ab)+det nelestadelaid'interpretationni. iciestenfaitnecessairepourtenircomptedesinterpretationsdelaforme(";u;). Remarque2.2.2Dans[SP53],onnecalculequelasuiteU.LasuiteVintroduite Eneet,supposonsqu'unmotxdeXadmetteunetelleinterpretation(avecu2X+ Nousproposonsenannexeunalgorithmepermettantdetestersiuncoderation-
quasi-triviale(";wu;)etpourtantl'ensembleU2peut^etrevide. 2.3Codesadjacents et2S(x)).Quelquesoitalorsw2X+,lemotwxadmetuneinterpretationnon
Denition2.3.1UnensembleXestunepartieadjacentesietseulementsiona d'interpretationni.Cefaitnousameneaintroduirelaclassedescodesadjacents. admettantuneX-interpretation(";d;p)avecp=2X,alorsXn'estpasadelai Nousavonsvu,dansl'exemple2.1.2,quelorsqu'unensembleXcontientunmot
X\S(X):X+=;etX\X+:P(X)=;:

deX+(d). deX(b)ouencorelemotcdestlaconcatenationd'unsuxedeX(c)etd'unmot 30 motcdb2Xestlaconcatenationd'unmotdeX+(cd)etd'unprexenontrivial Exemple2.3.1L'ensembleX=fba;cd;cdb;d;dcgn'estpasadjacentpuisquele CHAPITRE2.CODESADELAID'INTERPRETATIONFINI
alorsXestuncode. Proposition2.3.1SoitXunepartieadjacente.SiXnecontientpaslemotvide nantpaslemotvide.Letermedecodeestjustieparlapropositionsuivante: NousdenissonslescodesadjacentscommelespartiesadjacentesdeAneconte-
etx1;:::;xn2X,y1;:::ym2Xtelsque quex12y1::::yk:P(yk+1).CommeXestadjacente,onay1::::yk:P(yk+1)=;des Preuve.SoitXunepartieadjacentenecontenantpaslemotvide.Soientn;m>1
quek>1.Ainsik=1etx12P(y1);puisqu'onasupposejx1j>jy1j,onadonc x1=y1. Nouspouvonssupposersanspertedegeneralitequejx1j>jy1j.Soitk>0tel Parinduction,onobtientn=metxi=yipouri2[1;n]. x1:::xn=y1:::ym:
Remarque2.3.1Toutcodeuniformeestuncodeadjacent. Poursimplierlesdemonstrationsquivontsuivre,nouspresentonstoutd'abord
unlemme: Lemme2.3.2SoitXunepartiedeA. alesproprietessuivantes: (ii)SiX\(S(X)nf"g):X+=;alorsl'egalitex1:::xn=y1:::ymimplique (i)SiX\X+:(P(X)nf"g)=;alorsl'egalitex1:::xn=y1:::ymimplique Pourtoutn;m>1,x1;:::;xn2X,y1;:::;ym2Xet(;)2P(X)S(X)on
m>n+1;xim+n=yipourmn+16i6m;=y1:::ymn: m>n+1;xi=yipour16i6n;=yn+1:::ym:

derantlesmotsmiroirs. 2.3.CODESADJACENTS Preuve.Nousallonsmontrer(i),lapropriete(ii)s'etablitdefaconsimilaireenconsi-
Supposonsqu'ilexiste(unpluspetit)indiceitelquexi6=yi. Supposonsjyij>jxij.Danscecasyi2xi:P(X+),doncyi2X:P(X+),cequi 31
Onendeduitque=yn+1:::ym. contreditX\X+:P(X)=;(clairement,onaX:P(X+)=X+:P(X)).
nousauronssouventaconsiderer,danslesdemonstrationsquivontsuivre,desmots LescodesadjacentssontdenisparuneproprietedesmotsdeX.Cependant Ainsi,parinductiondescendanteonobtient,m>n+1etxi=yipour16i6n. Dem^emesijxij>jyij,onaxi2X:P(X+)cequicontreditX\X+:P(X)=;.
deX+.Lapropositionsuivantenouspermetd'interpreterl'adjacencecommeune proprietedecesmots.
Proposition2.3.3SoitXuncode.Lesdeuxproprietessuivantessontequivalentes:
Preuve.Trivialement,sionalacondition(ii),alorsona (ii)X+\(S(X)nX):X+=;etX+\X+:(P(X)nX)=;. (i)Xestadjacent.
2S(X)nX,x1;:::;xn2X,y1;:::;ym2Xtelsque X\S(X):X+=;.Dem^eme,onaX\X+:P(X)=;.LecodeXestdoncadjacent. MaisXestuncodedoncX\X+:X+=;,ainsiX\(S(X)nX):X+=;implique Montronsque(i))(ii).SupposonsqueX+\(S(X)nX):X+6=;.Soitn;m>1, X\(S(X)nX):X+=;etX\X+:(P(X)nX)=;:
=y1:::ymnd'ou2X,cequicontreditladenitionde. X+\X+:(P(X)nX)=;.Ceciconclutlapreuve. OnadoncX+\(S(X)nX):X+=;.Onmontredemanieresimilaireque LecodeXestadjacentdonconaX\S(X):X+=;.Lelemme2.3.2assuredonc x1:::xn=y1:::ym:
dejafaitpressentir: Proposition2.3.4Toutcodeadelaid'interpretationniestadjacent. Lapropositionsuivanteenonceformellementcequelesexemplesnousavaient

adjacent.Parl'absurde,supposonsX\S(X):X+6=;.Ilexistealorsunmotw2X delaid'interpretationesttoujoursstrictementpositif).CommeXestadelain,cette motwnadmetuneX-interpretationdelaforme(s;d:wn1;")(nousrappelonsqu'un 32 Preuve.SoitXuncodeadelaid'interpretationnin.Nousmontronsqu'ilest ets2S(X),d2X+telsque(s;d;")soituneinterpretationdew.Maisalorsle CHAPITRE2.CODESADELAID'INTERPRETATIONFINI
s6="etdonc,commew=sd,wadmetdeuxX-factorisationsdistinctessurX.Ce interpretationestquasi-triviale,c'est-a-dires2X.Ennpuisques2S(X),ona quicontreditlefaitqueXestuncode.
Proposition2.3.5SoientXuncodeadjacentetx2X+. estuncodeadjacent: NousterminonsparuneproprietedesX-interpretationsadjacenteslorsqueX Dem^emeonnepeutavoirX\X+:P(X)6=;.Cequiterminelapreuve.
X.Deplussix2Xalors(s;d;p)estegaleal'unedestroisinterpretationssuivantes:(";";x),(";x;")ou(x;";").
Touteinterpretationdex(s;d;p)adjacenteal'interpretationtrivialeveries;p2 Preuve.L'interpretation(s;d;p)dexestadjacenteal'interpretationtriviale,ilexiste doncx1;x2;d1;d22Xtelsquex=x1x2,d=d1d2etsd1=x1,d2p=x2. onas2X.Dem^emep2X. deuxdecesmotssontegauxaumotvideetledernierestegalax.Cequitermine lapreuve. Six2Xalors,puisqueXestuncode,x=sdpavecs;d;p2Ximpliqueque Letriplet(s;d1;")estuneinterpretationdex12X.PuisqueXestadjacent,
2.4Fdifetlesclassesdecodesclassiques
Codescirculaires d'interpretationnietlescodesintroduitsauchapitre1. Nousetablissons,danscettesection,lesliensexistantsentrelescodesadelai

2.4.FdifETLESCLASSESDECODESCLASSIQUES Proposition2.4.1SoitXuncodeadelaid'interpretationni.LecodeXestalors circulaire. Preuve.Soientn>0etXuncodeadelaid'interpretationn.Nousallonsenfait 33
1.Noussupposonstoutd'abordqueu0;u1;:::;u2n+12A+. directement. montrerqueXestuncode(1;2n)et(2n;1)-limite.LacircularitedeXsuivra
S(X):X.Dem^emeu2n2X:P(X). Xn:X+;soitm>ntelqueu1:::u2n2Xm.Commeu0u12X,onau12 Onadoncui1ui2X:Xpourtouticomprisentre1et2n+1.Ainsiu1:::u2n2 Soientu2S(X),v2Xtelsqueu1=uv.Dem^eme,soitu02P(X),v02X Soientu0;u1;:::;u2n+1desmotsdeAtelsqueui1ui2X;16i62n+1.
2.Supposonsmaintenantqu'ilexisteaumoinsunmotparmiu0;:::;u2n+1quiest u1;u2n2X. u1:::u2n. Lecodeetantadelaid'interpretationn,d'apreslelemme2.1.1,ilveriel'equation(2.1)deladenition2.1.1pourtoutm>n.Onadoncu;u02S(X)d'ou
telsqueu2n=v0u0.Ainsi(u;v:u2:::u2n1:v0;u0)estuneX-interpretationdumot
egalaumotvide.Soitilepluspetitentiertelqueui=". {Sii=0alors,puisqueu0u12X,onau12X. {Sii=1alorsonadirectementu12X. {Sii>1,onaui12X+(pardenitiondei,onaui16=").Deplusui2ui12
Onadoncu12X.Lem^emeraisonnementsurleplusgrandentieritelque appartientaXn:X+.AinsipourtoutmotwdeXn,lemotui2ui1:wadmet uneinterpretation(ui2;ui1:w;").LecodeXetantadelaid'interpretationn, onaui22X+. Parinduction,onau12X+. X+doncui2ui1:Xn2Xn:X+.Maisonaaussiui22S(X)etui1:Xn
Toutcodelimiteestcirculaire(cf.1.4.5),doncXestcirculaire. Remarque2.4.1{Uncodecirculairen'estpasforcementuncodeadelaid'interpretationni.ParexemplelecodeX=fba;bad;dbgestcirculairemaispasa
AinsisiXestuncodeadelaid'interpretationn,ilest(1;2n),(2n;1)-limite. ui="conduitau2n2X.
delaid'interpretationni(iln'estpasadjacentpuisquelemotbadadmetl'interpretationnonquasi-triviale(";ba;d)).

34 {Enfait,lescodes(1;2n),(2n;1)-limitesnesontpastousadelaid'interpretation ni.Eneetlecodeprecedentest(1;4),(4;1)-limite,cependantnousvenonsde voirqu'iln'estpasadelaid'interpretationni. CHAPITRE2.CODESADELAID'INTERPRETATIONFINI
pasforcementadelaidedechiragenietvice-versa. Exemple2.4.1{Lecodea+b+ab+cestuncodecodeadelaid'interpretation Codesadelaidedechirageni
a:bn2ab:X\a:Xn. 1maisn'apasdedelaidedechirageni.Eneet,pourtoutn>1,ona Commelemontrel'exemplesuivant,lescodesadelaid'interpretationninesont
{Lecodefab;bagestadelaidedechirageni(ilestprexe)cependantiln'est pascirculaire,iln'estdoncpasadelaid'interpretationni.
estadelaidedechirageni. Corollaire2.4.2SoitXuncodeadelaid'interpretationni.SiXestnialorsil Cependantonalaproprietesuivante:
Preuve.Toutcodecirculaireniestuniformementsynchronisant.Deplustoutcode tenussimultanement|correspondentadesnotionsdierentes: uniformementsynchronisantestadelaidedechirageni[BP85]. Exemple2.4.2{Lecodefab;abc;bgestadelaid'interpretation1etestadelai dedechirage2. Lesexemplessuivantsmontrentquelesdeuxdelais|m^emelorsqu'ilssontob-
Codesuniformementsynchronisants {Lecodefabcd;bc;dc;bagestprexe(delaidedechirage0)etestadelaid'interpretation2.
interpretations.DepluscettesynchronisationintervientpourtoutmotdeXdoud Lescodesadelaid'interpretationsontliesalanotiondesynchronisationdes

Proposition2.4.3SoitX2Fdif.Lesdeuxproprietessuivantessontequivalentes: 2.4.FdifETLESCLASSESDECODESCLASSIQUES synchronisants.C'estlebutdesdeuxpropositionssuivantes: estledelai,ilestdoncimportantd'examinerleursliensaveclescodesuniformement 35
(i)Ilexisten2Ntelque
pasnecessaire. etseulementsiilverielacondition(i)[Res75].Icilarationalitedel'ensemblen'est (ii)Xestuniformementsynchronisant. Ilestanoterqu'uncodecirculairerationnelestuniformementsynchronisantsi X\AXnA=; (2.3)
etsoientx;y2Xm.Supposonsu;v2Atelsqueuxyv2X.Ilexistedonc Preuvedelaproposition2.4.3.Montronstoutd'abord(i))(ii).
Nouspouvonsalorsdenird02A+,d002Aeti2[0;k]telsque d0;d1:::;dk2X,k>0telsqueuxyv=d0d1:::dk: SoitXuncodededelaid'interpretationetsoitn2NtelqueX\AXnA=;. NousallonsprouverqueXestuniformementsynchronisant.Soitm=maxfn;g
commeXestadelaid'interpretation,l'interpretation(;d;d0)estquasi-triviale. Puisquem=maxfn;g,onax2Xn:X.OnasupposeX\AXnA=;donc xdeux.Plusprecisementsoit(;d;d0)cetteinterpretation.Onax2X:Xdonc, x=2F(X).Deplus,onad02P(X)etd02S(ux)doncjd0j

36 {UnautreexempleinteressantestceluiducodedeDyckrestreintD01.Eneet, nousavonsvuqueD01estadelaid'interpretation1.C'estcependantuncode dense,ilnepeutdoncverierl'equation(2.3). CHAPITRE2.CODESADELAID'INTERPRETATIONFINI
Proposition2.4.4SoitXuncodeuniformementsynchronisant.Lesdeuxproprietessuivantessontequivalentes:
niestadjacent.Ilresteamontrerquetoutcodeuniformementsynchronisantet adjacentestadelaid'interpretationni. Preuve.L'implication(ii))(i)estdirectepuisquetoutcodeadelaid'interpretation (ii)Xestuncodeadelaid'interpretationni. (i)Xestadjacent
montrerqueXestuncodededelaid'interpretationpluspetitouegala2,c'est- a-dire(s;p)2X. tiondeX. Pardenitiondexety,ilexistex1;:::;x22Xety1;:::;yk2X(k>0)tels Soientx2X2,(p;s)2P(X)S(X),y2Xtelsquex=syp.Nousallons SoientXuncodeuniformementsynchronisantet2Nledelaidesynchronisa-
Posonsf=x1:::xetg=x+1:::x2. Ona Ona(p;s)2P(X)S(X)doncilexisteu;v2Atelsqueus2Xetpv2X. x=x1:::x2ety=y1:::yk:
doncu:fg:v2X.PuisqueXaundelaidesynchronisationetquef;g2X,on auf;gv2X. L'ensembleXestuncodeetonauf:gv=us:y1:::yk:pvdoncilexistejtelque u:fg:v=u:x1:::x2:v=usypv
pluspetitouegala2.Cequiconclutlapreuve. ques2X.Dem^eme,onap2X.L'ensembleXestdoncadelaid'interpretation Onadoncf=s:y1:::yj.CommeXestadjacent,laproposition2.3.3assure uf=us:y1:::yjetgv=yj+1:::yk:pv:

2.5UnecaracterisationdescodesdeFdif 2.5.UNECARACTERISATIONDESCODESDEFdif 2.5.1Caracterisationpourlescodesnis 37
pretationniverientuneversiondutheoremedudefaut. descodescirculaires.Cecinouspermettrademontrerquelescodesadelaid'intertationniestexactementl'intersectionentrelaclassedescodesadjacentsetcellterpretationni.Ceresultatetablitquelaclassedescodesnisadelaid'interpre-
Nousdonnonsdanscettesectionunecaracterisationdescodesnisadelaid'inlentes:
Proposition2.5.1SoitXuncodeni.Lesdeuxproprietessuivantessontequiva-
proposition2.4.1assurequeXestcirculaire,nousavons(i))(ii). Preuve.Clairement,puisquelaproposition2.3.4assurequeXestadjacentetla (ii)Xestuncodecirculaireetadjacent. (i)Xestuncodeadelaid'interpretationni.
d'interpretationn,c'est-a-direqu'ilexistem>0,x1;:::;xm2X,y1;:::;yn2Xet d'interpretationni.Ilexistedoncunentiern>lg(X)telqueXnesoitpasadelai (;)2P(X)S(X)avec(;)=2XXtelsque Ilrestedoncamontrerque(ii))(i). SoitXuncodeni,circulaire,adjacentetsupposonsqu'ilnesoitpasadelai
(;x1:::xm;)dumoty1:::ynestadjacenteal'interpretation(";y1:::yn;"). CommelecodeXestcirculaire,d'apreslaproposition1.6.1,l'interpretation Ilexistedoncdeuxentiersketltelsque x1:::xm=y1:::yn:
(nousavonsegalementxk+1:::xm=yl+1:::yn). ona2X.Cecicontredit(;)=2XX.L'ensembleXestdoncadelai d'interpretationni. CommelecodeXestadjacent,l'equation2.4,assureque2X.Dem^eme, x1:::xk=y1:::yl (2.4)
reld'etudiersicelle-cisegeneraliseaucasrationnel.L'exemplesuivantnousmontre Puisquenousdisposonsd'unecaracterisationdescodesnisdeFdif,ilestnatu-

plementaires: Exemple2.5.1Lecoderationnela+bc+ce+dabestcirculaireetadjacent. 38 quenousnepouvonsetendrecettecaracterisationsansintroduired'hypothesessup-
CHAPITRE2.CODESADELAID'INTERPRETATIONFINI
letriplet(anb;";c)estuneinterpretationnonquasi-trivialedumotanbc2Xn+1. Cependantcen'estpasuncodeadelaid'interpretationnipuisque,pourtoutn2N,
ecritssurlecodes. 2.5.2Caracterisationpourlescodesrationnels pretationnirationnels.Celle-cinecessiteuneetude|plusapprofondiequecequi aeterealiseen[Lec85]|delastructuredesinterpretationsdesmots((treslongs)) Nousdonnonsdanscettesectionunecaracterisationdescodesadelaid'inter-
equivalentes: Proposition2.5.2SoitXuncoderationnel.Lesdeuxconditionssuivantessont Nousrappelonsque,pourtoutmotw2A,nousnotons
(ii)Xestuncodecirculaireadjacentetilexisten2Ntelque,pourtoutmot (i)Xestuncodeadelaid'interpretationni. (w)=f(u;v)2AAjuwv2Xg:
notonsk=jM(X)j. Preuve.LecodeXestrationnel,lemonodesyntaxiquedeXestdoncni,nous y2Xettoutcouple(s;p)2(y)\(S(X)P(X)),onait:
Nousmontrons(i))(ii). Xn:s\S(X)=p:Xn\P(X)=;: (2.5)
(propositions2.4.1et2.3.4). Ilexistedoncx2Xtelquesyp=x. SoitnledelaideX.Soienty2Xet(s;p)2S(X)P(X)telsque(s;p)2(y). IlresteamontrerqueXverielacondition(2.5). CommeXestuncodeadelaid'interpretationni,ilestcirculaireetadjacent
tationdelaforme(ws;y;p).LecodeXestdedelain,donccetteinterpretationest quasi-triviale,c'est-a-direws;p2X.Orw;yp;ws;syp2Ximplique,parstabilite SiXn:s\S(X)6=;,ilexisteunmotw2Xntelquewxadmetteuneinterpre-

2.5.UNECARACTERISATIONDESCODESDEFdif dumonode,s2X.Ainsil'interpretation(s;y;p)dex2Xestquasi-trivialedonc, commeXestuncode,onas="oup=",cequicontredit(s;p)2S(X)P(X). Dem^eme,onnepeutavoirp:Xn\P(X)6=;. LecodeXveriedonclacondition(2.5). 39
P(X)S(X)nXXtelsque lecodeXestdedelaid'interpretationauplusegala(n+1)(k+1). Montrons(ii))(i). Plusprecisementnousallonsmontrerquesousl'hypothesedelapropriete(ii), Supposonsqu'ilexisteq>0,x1;:::;x(n+1)(k+1)2X,y1;:::;yq2Xet(;)2
(puisqu'onapris(;)=2XX).Maisdanscecas,l'equation2.6implique Remarquonsque=2Xet=2X.Eneet,si2X,onaalors=2X x1x2:::x(n+1)(k+1)=y1y2:::yq X+\(S(X)nX):X6=;: (2.6)
CommeXestadjacent,lacondition(ii)delaproposition2.3.3assure Onadonc=x1:::x(n+1)(k+1)2Xcequicontredit=2X. g.2.2): Nousdenissonsl'applicationf:[0;q+1]7![0;(n+1)(k+1)]commesuit(cf. Onmontredem^emeque=2X. y1:::yq=":
soitunprexedey1:::yj. f(q+1)=maxfi2[0;(n+1)(k+1)]jjx1:::xij6jy1:::yqjg Autrementdit,lenombref(j)estleplusgrandindicetelquelemotx1x2:::xf(j) f(0)=maxfi2[0;(n+1)(k+1)]jjx1:::xij6jjg
Nouspouvonsalorsdenirlafonctiongpar: Ilestclairquef(p+1)=(n+1)(k+1)puisquejx1:::x(n+1)(k+1)j=jy1:::yqj. f(j)=maxfi2[0;(n+1)(k+1)]jjx1:::xij6jy1:::yjjg;j2[1;q]
SoitI=f0g[f16i6q+1jf(i)6=f(i1)g.Pardenitiondeg,ona Xj2Ig(j)=q+1 g(0)=f(0) g(j)=f(j)f(j1)pour16j6q+1 Xj=0g(j)=f(q+1)=(n+1)(k+1):

40x1g(0)=1g(1)=2
CHAPITRE2.CODESADELAID'INTERPRETATIONFINI
f(0)=1y1 x2x3x4x5 g(2)=2
f(1)=3f(2)=5 y2x6 g(3)=1 g(4)=g(5)=0 g(7)=1
y3y4y5 x7 g(6)=1
y6 x8
Fig.2.2{Unexempledecalculdefetg. f(3)=6 f(4)=6 f(5)=6 f(6)=7 f(7)=8
Laconclusionsuivradirectement. pourg. majorantg.Onpourraalorsexhiberapartirdel'interpretation(;y1y2:::yq;) uneinterpretationinduitecirculaire,nontrivialeetantdonnelanitudedeM(X). Nousallonsintroduireunesuitex0iquivanouspermettredecalculerunmajorant NouscommenconspardonnerunminorantdejIj,enfaitcelui-ciestobtenuen
Pardenitiondef(0),ilexisteunmotx02P(xf(0)+1)nfxf(0)+1gtelque D'apresl'equation(2.6),ilexisteunentierm6qetunmoty02P(X)telsque Deplusonavuque=2Xdonconax06=". xf(0)+1=x0y1:::ymy0: =x1:::xf(0)x0 (2.7)
d'ou,d'apres(2.5)et(2.7),ilvient Pardenition,onax02S(),donc Deplus,puisqueXestuncodeadjacent,onay06="d'ouy02P(X). (x0;y0)2(y1:::ym)\S(X)P(X)
Consideronsmaintenantg(i)pouri2Inf0;q+1g. g(0)=f(0)

x0i2P(xf(i)+1)nfxf(i)+1gtelque jx1:::x(n+1)(k+1)j>jy1:::yij,onobtientdoncf(i)6=(n+1)(k+1). 2.5.UNECARACTERISATIONDESCODESDEFdif Cettederniereconditionimpliqueque,pourtouti2[1;q],ilexisteunmot Remarquonsquedanscecas,puisque6=",ona,pourtoutentieri2[1;q], 41
adjacent. telsque Ainsi,d'apresl'equation(2.6),ilexisteunentierm6qetunmoty0i2P(X) Deplus,commeprecedemment,x0inepeut^etreegalaumotvidepuisqueXest xf(i)+1=x0i:yi+1:::ym:y0i: y1:::yi=x1:::xf(i)x0i
Deplus,onax0i2S(yi). Ilvientdonc Enn,puisqueXestadjacent,onay0i6=".
1)6=f(i)).Lacondition2.5assuredoncf(i)f(i1)1

42 (x1:::xf(q))12Xcequiimpliquerait2Xetonavuque=2X. D'autrepart,puisqueXestadjacent,onay006=",eneetsinononaurait Onadoncy00ym+1:::yq:xf(q)+2:::x(n+1)(k+1)1=xf(q)+1 CHAPITRE2.CODESADELAID'INTERPRETATIONFINI
tion(2.5),lacondition d'ou Onadeplusy002S(X)et:(xf(q)+2:::x(n+1)(k+1))12P(X)donc,d'apresl'equa-
:xf(q)+2:::x(n+1)(k+1)1:xf(q)+2:::x(n+1)(k+1)=2P(X) y00;:xf(q)+2:::x(n+1)(k+1)12(ym+1:::yq):
Enresume,nousavonsg(0)k+2: orPj2Ig(j)=(n+1)(k+1)donc(n+1)(k+1)k+1+1 L'ensemblejIjcontientdoncaumoinsk+2elements.Soituilasuitedemots n+1,
(uq0)=(ur).Deplusuq06="puisqueXestuncodeadjacent. etNousavonsjInfp+1gj>k+1,doncilexiste06q0

2.5.UNECARACTERISATIONDESCODESDEFdif Orr2Idoncf(r)6=f(r1)d'ou Ona,pardenitiondef,jx1:::xf(r)j6j:y1:::yrj: 43
Commeonaur=(x1:::xf(r))1y1:::yr,onobtientur2S(yr).Posons jx1:::xf(r)j>jy1:::yr1j:
avecy0uq02X. Comme(uq0)=(ur),laconditiony0ur=yr2Ximpliquey0uq02X. Ainsilemotxf(q0)+1:::xf(r)admetuneinterpretation (uq0;yq0+1:::yr1;y0) y0=yr(ur)1:
et=2X,cequicontreditl'hypothese((Xestuncodeadjacent)). Ainsiona LecodeXetantcirculaire,onauq0=xf(q0)+1ety0=".
triviale.Xestdoncuncodeadelaid'interpretationni.Ceciterminelapreuve.
LesmotsdeX(n+1)(k+1)nepeuventdoncadmettred'interpretationnonquasi-
x1:::xf(q0)xf(q0)+1=y1:::yq0

44Leschema2.3reprendlesprincipauxresultatsdecettesection.
CHAPITRE2.CODESADELAID'INTERPRETATIONFINI
codesadjacents codesd.i.f. codesd.d.f. Finis codescirculaires codesu.s. Innis
Fig.2.3{Classicationdescodesadelaid'interpretationni.
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
00000
11111

45
Theoremedudefautetcodes Chapitre3
non-interpretes
remedudefaut.Nousprouvonsdanscechapitrequelescodesadelaid'interpretation Introduction verientegalementuneversiondecetheoreme: TheoremePourtoutsous-ensembleXA,labaseYdupluspetitmonodea delaid'interpretationniveriantXYsatisfaitjYj6jXj. Nousavonsvuquedenombreusesclassesdecodesverientuneversiondutheo-
etablissonsenfaituneautreversiondutheoremedudefautpourlescodesadjacents. nisaveccelledescodesadjacentsquenousavonsvusauchapitreprecedent.Nous codeY. Commeen[Spe75],notrepreuveconduitaunalgorithmepermettantdecalculerle adelaid'interpretationnicommel'intersectiondelaclassedescodescirculaires Nousterminonscechapitreparl'etuded'unesous-familledecodesadelaid'interpretationni:lescodesnon-interpretes.Ils'agitdescodesadelaid'interpretation1.
Lapreuvedeceresultatreposesurlacaracterisationdelaclassedescodesnis
Nousdonnonsunecaracterisationdesmonodesengendresparcescodes.Nousmontronsegalementquelescodesnon-interpretespeuvent^etreentierementcaracterises

quisontinclusesdanslafamilledescodesnon-interpretes. entermesdecodelimites.Ennnousproposonsdeuxexemplesdefamillesdecodes 46 CHAPITRE3.THEOREMEDUDEFAUTETCODESNON-INT.
versiondecetheoremepourlescodesadjacents.Nouscommenconsparmontrerque defautpourlescodesadelaid'interpretationni.Notredemarchereposesurune 3.1Theoremedudefautetadjacence
Proposition3.1.1L'intersectiondemonodesengendrespardescodesadjacents lescodesadjacentssontstablesparintersection: Laproposition2.5.1vanouspermettred'etabliruneversiondutheoremedu
montronsquelecodeYestuncodeadjacent. assurequeTi2IXiestunmonodelibre.SoitYlabasedecemonodelibre.Nous Preuve.Soit(Xi)i2Iunefamillequelconquedecodesadjacents.Laproposition1.5.1 estengendreeparuncodeadjacent.
2P(Xi).Ainsiilexistemi;ki>0,hi>0,xi;1;:::;xi;mi2Xi,x0i;1;::::x0i;ki2Xi, y1;:::;yn2Y,2P(Y). i;1;:::;i;hi2Xieti2P(Xi)nX+itelsque SupposonsqueY\Y+:P(Y)6=;.Soity2Ytelquey=y1:::ynavecn>0, Soiti2I.Ona,pardenitiondeY,YXi.Onadoncy;y1;:::;yn2X+iet Dey=y1:::ynondeduitque y=xi;1:::xi;mi;y1:::yn=x0i;1:::x0i;ki;=i;1:::i;hii:
y1:::ynimpliquen=1et=",cequicontreditl'hypothese2P(Y). i=",d'ou2Xi. Ainsi,pourtouti,ona2Xidonc2Y.CommeYestuncode,y= LecodeXietantuncodeadjacent,ilverielacondition(i)dulemme2.3.2donc AinsiY\Y+:P(Y)=;.Onmontredem^emequeY\S(Y):Y+=;. xi;1:::xi;mi=x0i;1:::x0i;kii;1:::i;hii:
adjacent.Demaniereclassique,nousdenissonsl'enveloppeadjacentedelafacon LecodeYestdoncuncodeadjacent. Nousdironsqu'unsous-monodeengendreparuncodeadjacentestunmonode

monodeadjacentcontenantX. suivante: Denition3.1.1L'enveloppeadjacented'unepartieXdeAestlepluspetitsous-
3.1.THEOREMEDUDEFAUTETADJACENCE 47
veriejYj6jXj. Theoreme3.1.2Labasedel'enveloppeadjacenteYd'unepartienieXdeA Nouspouvonsenoncerletheoremedudefautpourlescodesadjacents:
puisquey=2(Y)1:X,onaXZ. Y-suxeetunY-prexedemotsdeX. Preuve.Dem^emequ'en[BP85,p.49],nousmontronsquetoutmotdeYestun nantpasa(Y)1:X.SoitZ=y(Ynfyg). NousallonsprouverqueZestuncodeadjacent. RemarquonsquepardenitiondeZ,onaZ(Y.DeplusonaXYdonc, Nousraisonnonsparl'absurde:supposonsqu'ilexisteunmoty2Yn'apparte-
z02P(Z)telsque SupposonsqueZ\Z+:P(Z)6=;.Ilexistealorsn>1,z2Z,z1;:::;zn2Zet
Ainsinousobtenons PardenitiondeZ,ilexistei;i1;:::;in;i02N,y0;y1;:::;yn2Ynfyg,y002P(Y) z=yiy0;zj=yijyj(16j6n)etz0=yi0y00: yiy0=yi1y1:::yinynyi0y00 z=z1:::zn:z0:
dey1.OnadoncZ\Z+:P(Z)=;. Parlelemme2.3.2nousobtenonsi>i1ety1=ycequicontreditladenition Onmontredem^emequeZ\S(Z):Z+=;. AinsiZestuncodeadjacentetonaXZ(Y,cequicontreditlefaitque (3.1)
YestlepluspetitmonodeadjacentdeAcontenantX. quenousvenonsdevoir,l'ensembledecesmotsestY.OnadoncjYj6jXj. pouvonsassocierunmotdeY(lederniermotdesaY-factorisation)etd'apresce ToutmotdeYestdoncY-suxedemotsdeX.AinsiachaquemotdeXnous

construction: centemaispasd'exhibersabase.Lelemmesuivantvanouspermettred'eectuerla 48Lapreuveprecedentenouspermetd'armerl'existencedel'enveloppeadja-
CHAPITRE3.THEOREMEDUDEFAUTETCODESNON-INT.
Proposition3.1.3SoitXunepartiedeAetYlabasedesonenveloppeadjacente. Onaalorslesproprietessuivantes:
x1;:::;xn2Y,y1;:::;ym2Y,w02P(Y)etk2[1;n]telsquex1:::xk=v, Preuve.Montronslapropriete(i). (ii)Pourtouslesmotsu2X,v2X+etw2S(X)telsqueu=wvonaw2Y. (i)Pourtouslesmotsu2X,v2X+etw2P(X)telsqueu=vwonaw2Y.
xk+1:::xnw0=wety1:::ym=u.Deplus,onau=vwdonc Lelemme2.3.2assure,puisqueYestuncodeadjacent,quew02Ydoncw2Y. Comme,pardenitiondeY,onau;v2Y+etw2P(Y),ilexisten;m>1, x1:::xnw0=y1:::ym: u2Y+
x1y1
v2Y+ xk xk+1 w2P(Y) xnymw0
lemotsuivant: Onraisonnedem^emepouretablirlapropriete(ii). PourtoutensemblenonvideCdeAettoutmotudeC,nousnoteronsPC(u) Fig.3.1{u=vw
{Siu2C:C+alorsPC(u)=".
{Sinon,PC(u)estlepluscourtmotnonvidewtelqueu2Cwetw2P(C) (ilestclairqu'untelmotexistepuisquelemotului-m^emeverieu2Cuet u2P(C)).

3.1.THEOREMEDUDEFAUTETADJACENCE u2C 49
NousdenissonsainsiP(C)=fPC(u)ju2Cg. Dem^eme,pourtoutmotudeC,nousnotonsSC(u)lemotsuivant: Fig.3.2{DenitiondePC PC(u)
{Sinon,SC(u)estlepluscourtmotnonvidewtelqueu2wCetw2S(C). {Siu2C:C+alorsSC(u)=".
longueurminimale).Deplus,remarquonsque,pourtoutCA,siC6=P(C) etjS(C)j6jCj(chaquemotdeCfournitunetunseulelementpuisquewestde Remarque3.1.1DeparladenitiondeP(C)etS(C)nousavonsjP(C)j6jCj NousdenissonsainsiS(C)=fSC(u)=u2Cg.
alorslg(C)>lg(P(C))(cf.p.3)avecP(C)6=;.Dem^emesiC6=S(C)alors lg(C)>lg(S(C)). Lemme3.1.4PourtoutensembleC,ona Nousauronsegalementbesoinduresultatsuivant:
Preuve.MontronsqueCP(C).LadenitiondeS(C)etantsymetriqueacelle deP(C),laproprieteCS(C)s'endeduiradirectement. NousprocedonsparrecurrencesurlalongueurdesmotsdeC. CP(C)etCS(C):
delongueurauplusn,onait Trivialement"2P(C). Supposonsmaintenantqu'ilexisteunentiern>0telque,pourtoutmotu2C u2P(C):

acelledec,parhypothesederecurrence,ilappartientdoncaP(C).Onadonc aveck>2.Pourtouti2[1;k],lemotciestdelongueurstrictementinferieure 50 c2P(C). Sic2C:C+alorslemotcadmetuneC-factorisationnontriviale(c1;:::;ck) Soitc2Ctelquejcj=n+1. CHAPITRE3.THEOREMEDUDEFAUTETCODESNON-INT.
c2Cwetw2P(C).Parconstructiononaalorsw2P(C).Deplus,ilexiste c1;:::;ckdansCtelsque Onajwj>0donc,pourtouti2[1;k],lemotciestdelongueurstrictement inferieureacelledec,parhypothesederecurrence,ciappartientdoncaP(C).On enconclutquec2P(C). Supposonsmaintenantc=2C:C+.Soitwlepluscourtmotnonvidetelque
AinsitoutmotdeCappartientaP(C),c'est-a-dire c=c1:::ck:w:
PourtoutepartienieXdeA,denissonslasuiteUn(X)par: CP(C):
Montronsquelasuiteeststationnaireapartird'unrangpluspetitouegala U0(X)=X;Un+1(X)=P(Un(X))nf"gsinpair S(Un(X))nf"gsinon.
2lg(X),autrementdit9n>0;Un(X)=Un+1(X)=Un+2(X): ouUn+1(X)6=Un+2(X). {SiUn+2(X)6=Un+1(X)alors Parl'absurde,supposonsquepourtoutn62lg(X)onaitUn(X)6=Un+1(X)
{Sinon,onaUn+1(X)6=Un+2(X)etdonc Ona,pardenition,Un+2(X)=P(S(Un))nf"gdonc,d'apreslaremarque3.1.1: lg(Un+2(X))=lg(P(Un+1)(X))

X\X+:P(X)=;). 3.1.THEOREMEDUDEFAUTETADJACENCE U(X)=P(U(X))=S(U(X))estenfaitlareecrituredeX\S(X):X+=;et tenantdemontrerlapropositionsuivante: OnposeU(X)=U2lg(X)(X).IlestclairqueU(X)estuncodeadjacent(puisque PourmontrerqueU(X)estlabasedel'enveloppeadjacentedeXilsutmain-
51
adjacentedeX. Proposition3.1.5ToutmotdeU(X)appartiental'enveloppeadjacentedeX. Preuve.Nousprocedonsparinductionsurn.NousnoteronsYlabasedel'enveloppe quetoutmotdeU1(X)=P(X)nf"gappartientY. alorsw2Y. IlestclairquetoutmotdeU0(X)appartientaY.Depluslelemme3.1.3assure
u2U2n1(X),v2[U2n1(X)]telsqueu=wv.CommetoutmotdeU2n1(X) appartientaY,ilexisten;m>1,k2[0;n[,x1;:::;xm2Y,x01;:::;x0n2Y, w02S(Y)telsque SoitwunmotdeU2n(X)=S(U2n1(X))nf"g.Ilestclairquesiw2U2n1(X) Supposonslaproprietevraiejusqu'aurang2n1avecn>1. Supposonsw=2U2n1(X).Pardenition,onaw2S(U2n1(X))etilexiste
w02Y.Onadoncw2Y. Deplusonau=wvdonc,commeYestadjacent,lelemme2.3.2assureque w=w0x01:::x0k u=x1:::xm;
Onmontredem^emequetoutmotdeU2n+2(X)appartientaY. v=x0k+1:::x0n;
adjacentedeXestdoncU(X). Exemple3.1.1Labasedel'enveloppeadjacenteducode XetU(X)estuncodeadjacent.DeplusonaXU(X),labasedel'enveloppe AinsitoutmotdeU(X)=U2lg(X)(X)appartientaY. L'ensembleU(X)estdoncinclusdanslepluspetitmonodeadjacentcontenant
estfa;abab;bcg. X=fabab;abc;abca;bcag

52Eneet,onaU1(X)=P(X)nf"g=fabab;abc;a;bcag;
CHAPITRE3.THEOREMEDUDEFAUTETCODESNON-INT.
U4(X)=S(U3(X))nf"g=fabab;a;bcg: U2(X)=S(U1(X))nf"g=fabab;abc;a;bcg; U3(X)=P(U2(X))nf"g=fabab;a;bcg;
3.2Theoremedudefautetdelaid'interpretation niapartirdeceluiquiestsatisfaitparlescodesadjacents. pourtoutsous-ensembleniXdeA,ilexisteunpluspetitcodeadelaid'interpretationnidontl'etoilecontientX.
Nousadopteronsunedemarchesimilaireacellede[BPPR79]pourmontrerque, Nousallonsetabliruntheoremedudefautpourlescodesadelaid'interpretation
(onaalph(X)2I)etqu'ilestni(F(X)estni). tationniYAtelsqueXYetYF(X).IlestclairqueIestnonvide Proposition3.2.1Touteintersectionniedesous-monodesadelaid'interpretationniestunsous-monodeadelaid'interpretationni.
DeplusIestclosparintersectionnie: Eneet,soitXAetsoitIl'ensembledessous-monodesadelaid'interpredants).
Preuve.SoitfXiji2Jgunensemblenidecodesadelaid'interpretationni. (lafamilledesXietantnieilsutdeprendrelemaximumdesdelaiscorrespon-
NoussavonsqueTi2JXiestunmonodelibre(chaqueXiestunmonodelibre). SoitYsabase. Supposonsqu'ilexiste2P(Y)et2S(Y)telsque(;)=2YYet NousallonsprouverqueYaundelaid'interpretationni. SoitnunentiertelquechaqueXiverielacondition(2.1)deladenition2.1.1
pardenitiondeY,onax0;x002Ti2JXi. Plusprecisement,ilexistex02Y,x002Yntelsquex0=x00.Remarquonsque, Y\Yn6=;:

2P(Xi).Dem^eme,nousavons2S(Xi). 3.2.THEOREMEDUDEFAUTETDELAID'INTERPRETATION Ainsi,pourtouti2J,ilexiste(ui;i)telque Deplus,pourtouti2J,onaYXidoncP(Y)P(Xi).Ainsiona 53
Dem^emeilexiste(vi;i)telque Onobtient ui2Xi;i2P(Xi)et=uii: vi2Xi;i2S(Xi)et=ivi:
i;i2Xi,d'ou;2Xi.PardenitiondeYcelaimplique;2Y,cequi contredit(;)=2YY. n,ilveriecetteconditionpourtoutentiersuperieuran;onadonc,pourtouti, NousavonsdoncetabliqueYestuncodeadelaid'interpretationni. CommechaqueXiverielacondition(2.1)deladenition2.1.1pourl'entier i:vix0ui:i=x00:
sous-monodeadelaid'interpretationnicontenantX. YdansI. MontronsmaintenantquepourtoutensembleXni,ilexisteunpluspetit Commeconsequencedirectedelaproposition3.2.1,ilexisteunpluspetitelement
estni,Z0estni.OnadoncZ02I. Z).Deplus,commeXZ,onapardenitiondeZ0,XZ0.EnncommeX L'ensembleZ0estuncodeadelaid'interpretationni(c'estunsous-ensemblede SoitZuncodeadelaid'interpretationnitelqueXZ.Notons
LepluspetitelementYdeIveriedonc Z0=fz2ZjZzZ\X6=;g:
contenantX. Nouspouvonsdoncdenirl'enveloppeadelaid'interpretationnid'unensemble: L'ensembleYestdonclepluspetitsous-monodeadelaid'interpretationni YZ0Z:
Denition3.2.1L'enveloppeadelaid'interpretationnid'unensembleniX Aestlepluspetitsous-monodeadelaid'interpretationnicontenantX.

ni: Theoreme3.2.2LabaseYdel'enveloppeadelaid'interpretationnid'unensembleniXveriejYj6jXj.
construitlesuite(Zn)deniepar:Z0=X etpourtoutn>0, Zn+1=labasedel'enveloppecirculairedeZnsinestpair
54Nousendeduisonsletheoremesuivantpourlescodesadelaid'interpretation
CHAPITRE3.THEOREMEDUDEFAUTETCODESNON-INT.
Preuve.Lapreuveutiliseuneargumentationsimilaireacellede[BPPR79].On
etadjacent),deplusc'estlepluspetitcodeadelaid'interpretationnidontl'etoile estni)donccettesuiteeststationnaireapartird'uncertainrang. Pourtoutn>0,onaZnZn+1.DepluschaqueZiestinclusdansF(X)(qui SiZn=Zn+1=Zn+2alorsZnestadelaid'interpretationni(ilestcirculaire labasedel'enveloppeadjacentedeZnsinestimpair
ni. contientXpuisquechacundesZiestinclusdansl'enveloppeadelaid'interpretation
3.3Unexempledecodeadelaid'interpretation4
circulairemaximalcorrespondantaunensemblede20trinucleotidescodantdes proteines. Cetexempleesttirede[AM95]ouilestpresentecommeunexempledecode
L'alphabetestfA;C;G;Tg.Puisquetoutmotestdelongueur3,cecodeniest adjacent,ilestdoncadelaid'interpretationni.Onverieenfaitqu'ilestde GAAGACGAGGAT GCCGGCGGTGTA GTCGTTTACTTC AACAATACCATC
delai4. ATTCAGCTCCTG

3.4Lecasn=1:lescodesnon-interpretes 3.4.LECASN=1:LESCODESNON-INTERPRETES 3.4.1Denitions 55
Proposition3.4.1SoitXuncode.Lesdeuxproprietessuivantessontequivalentes:
(i)X\X=;pourtout(;)2P(X)S(X)XX Cescodesverientlaconditionlaplusrestrictivepossible: Nousdironsqu'uncodeadelaid'interpretation1estuncodenon-interprete.
Preuve.Ilestclairquesiona(i),ona(ii). (ii)X\X=;pourtout(;)2P(X)S(X)XX
onadoncX\Xm=;pourtoutm>1ettout(;)2P(X)S(X)XX. Lacondition(i)estdoncsatisfaite. Supposonsqu'onait(ii).
X\X=;pourtout(;)2P(X)S(X)XX. Uncodenon-interpretepeutdonc^etredenicommeuncodeveriantlacondition Pardenition,Xestuncodeadelaid'interpretation1.D'apreslelemme2.1.1
Nousintroduisonsdessous-monodesveriantuneconditionplusfortequecelle
verieeparlessous-monodestrespurs:lessous-monodesextr^emementpurs.
u;v;w;w0(cf.g.3.3)uv;wu;vw02M)u;v2M circulairesetlessous-monodestrespurs. monodesextr^emementpurssontliesparlam^emerelationquecellequilielescodes Denition3.4.1Unsous-monodeMdeAestextr^emementpursipourtousmots Nousverronsdanslasection3.4.2quelescodesnon-interpretesetlessous-
w=v,w0=u). Ilestclairqu'unsous-monodeextr^emementpuresttrespur(ilsutdeprendre

56 CHAPITRE3.THEOREMEDUDEFAUTETCODESNON-INT.
3.4.2Codesnon-interpretesetcodeslimites Fig.3.3{Sous-monodesextr^emementpurs. w u v w0
equivalentes: Proposition3.4.2SoitXunensembledeA.Lesdeuxproprietessuivantessont etlescodeslimites: tronsdanscettesectionqu'ilexisteunlienplusfortentrelescodesnon-interpretes Nousavonsvuquetoutcodeadelaid'interpretationniestlimite.Nousmon-
(1;2)et(2;1)-limite(cf.preuvedelaproposition2.4.1). Preuve.NousavonsdejamontrequesiXestadelaid'interpretation1alorsilest (ii)Xest(1;2)et(2;1)-limite. (i)Xestuncodenon-interprete.
telsquew2X. (cf.Fig.3.4). u1u22X,u2u32X(carw2X\Xdoncu2u32X::u3etu32X).Le Montrons(ii))(i).
sous-monodeXveriantC(1;2),ona=u12X. SoitXunensemble(1;2)et(2;1)-limite.Soientw2X,2P(X)et2S(X) Pardenitiondeetilexisteu0etu3dansAtelsqueu02Xetu32X Posonsdansunpremiertempsu1=etu2=1w.Ilestclairqueu0u12X,
u0=u1
w
Fig.3.4{Casu1=,u2=1w u2 u3

C(2;1),ona=u22X. 3.4.LECASN=1:LESCODESNON-INTERPRETES Puisqueet2X,lecodeestnon-interprete. Dem^emelorsqu'onposeu1=w1etu2=,commelesous-monodeXverie 57
Exemple3.4.1L'ensemblefaaab;aabb;abbbgestuncodenon-interprete(doncun code(1;2)et(2;1)-limite)maisiln'estpas(1;1)-limite(u0=a;u1=aab;u2=b).
degenerateursestuncodenon-interprete. tr^emementpur: Corollaire3.4.3Unsous-monodeestextr^emementpurssisonensembleminimal Ennnousexplicitonslarelationentrecodenon-interpreteetsous-monodeex-
Preuve.Ilsutderemarquerqueladenitiondesmonodesextr^emementpursest celledesmonodesquiverientC(1;2)etC(2;1).Deplusunmonodetrespurest libredonc,commetoutmonodeextr^emementpuresttrespur,ilestlibre. veloppenon-interpreteeapartird'unensemblequelconque.Cetteensemblejoueen faitunr^oleanalogueaceluiduliberateur(cf.[BPPR79]). Nousdenissonsdanslasuiteunensemblequinouspermettrad'obtenirl'en-
SoitNA,nousnoterons: P(N)=N:P(N)1\S(N)[S(N)1:N\P(N)
egalementw2P(Z)etuw2Z.Onobtientdoncu2Z:P(Z)1.D'ou existew2P(X)telqueuw2X,maiscommeonaXZetP(X)P(Z),ona Deplus,ilestclairqueS(X)S(Z)puisqueXZ.Onadonc clairquesiXZalorsP(X)P(Z).Deplus,pourtoutmotudeX:P(X)1il Remarquonstoutd'abordquesiXZalorsP(X)P(Z).Eneet,ilest
Onprouvedem^emeque X:P(X)1\S(X)Z:P(Z)1\S(Z): X:P(X)1Z:P(Z)1:
OnadoncP(X)P(Z)lorsqueXZ. S(X)1:X\P(X)S(Z)1Z\P(Z):

Proposition3.4.4UnmonodeNestextr^emementpurssiP(N)=N. 58Uneproprietefondamentaledel'ensembleP(N)estlasuivante:
CHAPITRE3.THEOREMEDUDEFAUTETCODESNON-INT.
Preuve.())SoitNunmonodeextr^emementpur.Montronsqu'alorstoutelement deP(N)estelementdeN. ouSoitu2P(N),pardenitiondeP(N)ona
Supposonsu2[N:P(N)1\S(N)].Ilexistealorsw2Atelquewu2N(ona u2S(N)1:N\P(N): u2N:P(N)1\S(N)
u2S(N))etv2P(N)telqueuv2N.Deplus,commev2P(N),ilexistew0tel quevw02N. u;v2N. Onadoncuv;wu;vw02N.CommeNestunmonodeextr^emementpur,ilvient
Atelsqueuv;wu;vw02N, Onmontredem^emequesiu2[S(N)1:N\P(N)]onaalorsu2N. Enn,ilestclairquepardenitiondeP(N),onatoujoursNP(N).
etNousavonsdoncmontrequeP(N)=N.
(()SupposonsmaintenantqueP(N)=N.Onaalors,pourtoutu;v;w;w0de
doncu;v2P(N)d'ouu;v2N. u2N[N(A)1]1\(A)1N v2[(A)1N]1N\N(A)1
3.4.3Enveloppenon-interpretee
dutheoremedudefaut.Ceresultatnedonnecependantpasd'informationsurledelaidel'enveloppeobtenue,aussicelui-cipeut-il^etrearbitrairementgrand.Ilpourrait
Nousavonsmontrequelescodesadelaid'interpretationniverientuneversion

dechercheruneversiondutheoremedudefautpourlescodesnon-interpretes. lepluspetitdelaid'interpretationqu'onpuisseobtenirestledelai1,ilestnaturel voirserestreindreaunesous-familledecodesadelaid'interpretationni.Puisque para^tresouhaitabledepouvoirxerledelaidecetteenveloppe,c'est-a-diredepou-
3.4.LECASN=1:LESCODESNON-INTERPRETES 59
d'extensiondutheoremedudefaut.Onpeuttoutdem^emedenirlanotiond'enveloppenon-interpreteepreteestunmonodeengendreparuncodenon-interprete.
Nousmontronsdanscettesectionquelescodesnon-interpretesn'admettentpas Proposition3.4.5L'intersectiondemonodesengendresparuncodenon-inter-
Ti2IXi.NousmontronsquelecodeYestnon-interprete. Preuve.Soit(Xi)i2Iunefamilledecodesnon-interpretes.NotonsYlabasede
m^emeilexistevi2Xi,i2S(Xi)nX+itelsque=ivi. P(Xi).Dem^eme2S(Xi). x0=x00. precisement,soientx0etx00dansY(ilsappartiennentdoncaTi2IXi)telsque Ainsipourtouti2I,ilexisteui2Xi,i2P(Xi)nX+itelsque=uii;de Notonsquepourtouti2I,commeYXi,onaP(Y)P(Xi)d'ou2 Supposonsqu'ilexiste2P(Y)et2S(Y)telsqueY\Y6=;.Plus
non-interprete. interprete).Onobtientdonc;2Xi. Ainsipourtouti,ona;2Xi.Onadonc;2Y.Yestdoncuncode Nousavonsdoncivix0uii=x00.Ainsii="eti="(puisqueXiestnon-
Remarque3.4.1Lefaitdexerledelaid'interpretation(ici1)permetd'etablir lacl^otureparintersectionquelconque,cequin'estpaslecasdansFdif.
sous-monodequiestengendreparuncodenon-interpreteetquicontientX. Denition3.4.2L'enveloppenon-interpreteed'unepartieXdeAestlepluspetit Nouspouvonsmaintenantformulerladenitiond'uneenveloppenon-interpretee:
Laremarquesuivantepermetdecalculerl'enveloppenon-interpretee:

pretee.SiunmotdeXadmetuneX-interpretation(s;d;p)alorss;p2Y(il sutderemarquerquesis=2Youp=2Y,alorslemotsdp2Yadmetune Y-interpretationnonquasi-triviale). Remarque3.4.2SoientXunensembleetYlabasedesonenveloppenon-inter-
60 CHAPITRE3.THEOREMEDUDEFAUTETCODESNON-INT.
Exemple3.4.2{Labasedel'enveloppenon-interpreteeducodebixeX= {Labasedel'enveloppenon-interpreteeducodeX=fdabeaba;eabafe;abacdabg (remarquonsquelecardinaldelabasedel'enveloppenon-interpreteeestsuperieur fba;cd;dbgest est aceluideX). Y=fa;e;ab;dab;eabafe;abacdabg: fba;cd;d;bg
obtenuestdoncYquiestuncodenon-interprete. Remarquonsqu'icien'estniY-prexe,niY-suxed'unmotdeX. interpretee.Ennlemotabaadmet(ab;";a)commeinterpretation.L'ensemble (e;";aba)commeinterpretation,lesmoteetabasontdoncdansl'enveloppenon Eneet,lemotdabeabaadmet(dab;";eaba)commeinterpretation,lesmotsdab eteabaappartiennentdoncal'enveloppenon-interpretee.Maislemoteabaadmet
unesuiteSn(X)tellequeSnSn(X)soitl'enveloppenon-interpreteedeX: Gr^acealaproposition3.4.4nouspouvonsdenir,pourtoutepartieXdeA, Ilestclairquelasuite(Sn)n>0estcroissante.Posons: SoitXunepartiedeAetSnlasuitedeniepar S0=XetSn+1=[P(Sn)]pourn>0:
Proposition3.4.6S(X)estlepluspetitsous-monodeextr^emementpurcontenant S(X)=[n>0Sn
P(Sn)P(Y)etdonc[P(Sn)][P(Y)],soit Preuve.SoitYlabasedel'enveloppenon-interpreteedeX. PardenitiondeY,onaS0Y(puisqueS0=X).DeplussiSnYalors Sn+1Y:

3.4.LECASN=1:LESCODESNON-INTERPRETES vientS(X)Y. Ainsi,parinduction,onobtientpourtoutn>0,SnY.Parconsequentil Pourcela,nousmontronstoutd'abordqueP(S(X))Sn>0P(Sn). NousallonsmontrermaintenantqueP(S(X))S(X). 61
l'ecritureposonsN=Sk>0Sk. soitelementde Lemotuestdoncsoitelementde Soitu2P(Sk>0Sk)(nousrappelonsqueS(X)=Sk>0Sk).Poursimplier
Supposonsu2N:P(N)1\S(N). N:P(N)1\S(N);
wu2Sn0;vw2Sn0etuv2Sn0d'ouu2P(Sn0): Sn2etuv2Sn3.Commelasuiteestcroissante,pourn0=maxfn1;n2;n3g,ona Ainsi,commeN=S(X)=Sk>0Sk,ilexisten1;n2;n3telsquewu2Sn1;vw2 Ilexistealorsw2Atelquewu2Netilexistev;w0telsquevw2Netuv2N. S(N)1N\P(N):
Sn0;uw02Sn0etu2P(Sn0). Dem^emesiu2S(N)1N\P(N),ilexistev;w;w0;n0telsquevu2Sn0;wv2
d'ouAinsi,pourtoutu2N,ona
P u2P(Sn0)[k>0P(Sk);
onadoncPSk>0SkS(X),c'est-a-dire Deplus [k>0P(Sk)[k>0[P(Sk)]=[k>1Sk; [k>0Sk![k>0P(Sk):
pluspetitmonodeextr^emementpurcontenantX,onamontrequeS(X)=Y. unmonodeextr^emementpur.DeplusonaXS(X)YdonccommeYestle Comme,pourtoutN,NP(N),onobtientP(S(X))=S(X)doncS(X)est P(S(X))S(X):

qu'ilssontenfaitdescodesnon-interpretes: 3.4.4Deuxexemplesdecodesnon-interpretes 62En[Lec85]l'auteurintroduitunefamilledecodescirculaires,nousallonsvoir
CHAPITRE3.THEOREMEDUDEFAUTETCODESNON-INT.
soitsuxepropred'unmotdeX.AlorsXestuncodenon-interprete. Proposition3.4.7SoitXuncodetelqu'aucunprexepropred'unmotdeXne propred'unmotdeX.Supposonsparl'absurdequeXnesoitpasnon-interprete. Preuve.SoitXuncodetelqu'aucunprexepropred'unmotdeXnesoitunsuxe vestlepluslongX-suxedexvquisoitsuxede.Soit02Atelque=0v (cf.gure3.5). Soit(;)2P(X)S(X)nXXtelqueX\X6=;. Supposonsparexempleque=2X,soientw;x;v2Xtelsquew=xvou x 0 v
delongueurmaximale,0nepeut^etredansS(X):X+.Lemot0estdoncsuxe motdeX)etsuxepropred'unmotdeX(suxedex).Deplus,puisquevest Comme=2X,ona06=".Ainsi0estprexede(doncprexepropred'un Fig.3.5{Exemplesdecodesnon-interpretes
w
deXn'estsuxepropred'unmotdeX)). propred'unmotdeX.Cequicontreditl'hypothese((aucunprexepropred'unmot estdoncnon-interprete. Lem^emeraisonnementpour=2Xconduitalam^emeconclusion;lecodeX
Proposition3.4.8Toutcodecomma-freeestnon-interprete. gnantdescriteresdedecodage.Nousmontronsquecesontdescodesnon-interpretes: Lescodescomma-freesontpresentesen[BP85]commeveriantlepluscontrai-

Preuve.Ilestmontreen[BP85,p.336]quetoutcodecomma-freeest(1;2)et 3.4.LECASN=1:LESCODESNON-INTERPRETES interprete. (2;1)-limite.Parlaproposition3.4.2,onobtientquetoutcodecomma-freeestnon-
63
rentesclassesetudiees. Nousterminonscechapitreparunschemarecapitulatifdesinclusionsdesdie-
Codesnoninterpretes Codescirculaires Codeslimites
Codescomma-free
Fig.3.6{Classicationdescodesnon-interpretes.

64 CHAPITRE3.THEOREMEDUDEFAUTETCODESNON-INT.

65
Surlescodesmaximaux Chapitre4
fondamentald'etudierlastructuredescodesmaximauxausensdel'inclusion.On pourraainsiendeduiredesproprietessurlastructuredescodesquelconques. Introduction Puisquetoutsous-ensembled'uncodeestuncode(Proposition1.4.1),ilest
estcomplet.Unpremierresultatetablitquetoutcodemaximalestcomplet(voir, parexemple,[Niv66]).Depluslareciproqueestvraiepourlescodescoupants(cf. deMestunfacteurd'unmotdeP.UnensembleXestcompletdansMsiX estdensedansM.LorsqueMestlemonodelibre,onditplussimplementqueX maximaux.Unsous-ensemblePd'unmonodeMestdensedansMsitoutelement [Sch65,Eil74,BP85,NS01a]).Cetteequivalencesereveled'uninter^etcapitallors Lanotiond'ensemblecompletjoueunr^oleprimordialdansl'etudedescodes
del'etudedescodesmaximaux.Eneetlorsqu'ils'agitd'etablirdesproprietes,la completudesereveleunoutilplusperformant. d'unesous-famillesoitinclusdansuncodemaximaldanslasous-famille.Danscette optique,uneautrequestionsepose:uncodemaximaldansunesous-familleest-il lementdanslessous-famillesdecodes.Deplusiln'estpasacquisquetoutcode Leproblemedel'equivalenceentrelamaximaliteetlacompletudeseposeega-

maximaldanslafamilledescodes?Lefaitremarquableestquecettequestionadmet unereponsepositivedansdenombreusessous-famillesdecodes. 66 chercherunemethodedecompletionpermettantd'exhiberundecescodesmaximaux.Danslecasdescodescoupants,unereponseaetefournieparl'algorithme
Ennpuisquetoutcodeestinclusdansuncodemaximal,ilestnaturelde CHAPITRE4.SURLESCODESMAXIMAUX
d'Ehrenfeucht-Rozenbergetontrouvedanslalitteraturedenombreusesmethodes decompletionspourdiversessous-famillesdecodes.
decodes.Ledernierpointevoqueestceluidesmethodesdecompletionsd'uncode santl'equivalenceentrecodesmaximauxetcodesmaximauxdansunesous-famille quesplushaut.Lapremieresectiontraitedel'equivalenceentrelamaximaliteet lacompletude.Ladeuxiemesectionintroduitlanotiondecodemaximaldansune codemaximaldansunesous-familledonnee.Onpresenteensuitelesresultatsetablis-
sous-famille.Lasectionsuivantepresentelesresultatsportantsurl'existenced'un Cechapitreseproposederecenserlesresultatsportantsurlesproblemesevo-
presentees. 4.1Maximaliteetcompletude enuncodemaximal.Nousterminonsparuntableauresumantlesconnaissances
estinclusdansaucunautrecode.Onmontre,gr^aceaulemmedeZorn,quetoutcode estinclusdansuncodemaximal[BP85,p.41].L'etudedelastructuredescodes maximauxprendalorstoutsonsenspuisqu'ellenousrenseignesurlastructuredes codesengeneral.Pourcetteraisoncescodesonteteintensivementetudiesdansla litterature. UncodeXestmaximalsipourtoutcodeYtelqueXYonaY=X,i.e.X
{UncodeXestcoupantsiA6=F(X),c'est-a-direilexisteunmotquin'estpas {UncodeXesttrescoupantsiX*F(X),c'est-a-direilexisteunmotdansX quin'estpasfacteurdeX.
Nousauronsbesoindesdenitionssuivantes:
{UncodeXestcompletsiF(X)=A,c'est-a-direXestdense. {Uncodequin'estpascoupantestdense.

4.1.MAXIMALITEETCOMPLETUDE pourplusdedetails. Exemple4.1.1{Toutcodedenseestcomplet(siXestuncodedense,ona Lesexemplessuivantsillustrentcesnotions,lelecteurpourrasereferera[BP85] 67
dense:lecodedeDyckrestreint.SoitA=fa;ag.SoitlacongruencesurA engendreeparlarelation F(X)=AdoncF(X)=A).Nousdonnonsicil'exempleclassiqued'uncode
{Ilestclairquetoutcodetrescoupantestcoupant.L'exemplesuivantmontreque Laclassede"pourlacongruenceestunsous-monode.Nousnotonssabase lareciproquen'estpasveriee.SoitA=fa;a;b;bg.SoitlacongruencesurA D01. L'ensembleD01estalorsdense. aa":
engendreeparlesrelationsaa";bb": parentheses(a;aetb;b). L'ensembleD02estcoupant,noncomplet(ab=2F(D02))maisiln'estpastres L'ensembleD02correspondalorsauxsystemesbienparentheses,adeuxtypesde Laclassede"pourlacongruenceestunsous-monode.NousnotonssabaseD02.
{Onmontrequetoutcoderationnelesttrescoupant.Ilestcependantdescodes trescoupantsquinesontpasrationnels.L'ensemblefanbanjn>0genestun exemple. plets(lescodescoupantsmaximaux). Nousverronsparlasuitequ'ilexiste,bienevidemment,descodescoupantscom-
coupant(pourtoutmotw2D02,onaawa2D02).
Theoreme4.1.1SoitXAuncodecoupant.Lesproprietessuivantessontequivalentes:
(ii)Xestcomplet. (i)XestmaximaldansFcode. Lepremierresultatd'importanceestlesuivant([BP85,p.68]):
maximal,eneetlecodedeDyckrestreintD01,parexemple,estdense,donccomplet, Remarque4.1.1Puisquetoutcodedenseestcomplet,letheoremeprecedentassurequetoutcodemaximalestcomplet.Cependant,toutcodecompletn'estpas
maisn'estpasmaximal(D01[fagestuncodesuxe).

Codesprexes,suxesetbixes Nouspresentonsci-apreslesdierentesversionsintroduitesdanslalitterature. 68Danscertainesfamillesdecodes,lanotiondecompletudepeut^etreprecisee.
CHAPITRE4.SURLESCODESMAXIMAUX
Dem^emenousdironsqueXestcompletagauchesi Nousdironsqu'uncodeXestcompletadroitesi 8w2AwA\X6=;:
Theoreme4.1.2SoitXuncode.Lesproprietessuivantessontequivalentes: (i)Xestuncodeprexe(resp.suxe,bixe)maximaldansFcode. Nousavonsalorsleresultatsuivant[BP85]: 8w2AAw\X6=;:
Codesadelaidedechirageborne (ii)Xestcompletadroite(resp.agauche,agaucheetadroite). Pourtoutentierd>0,nousdironsqu'uncodeestd-completssi
Theoreme4.1.3Soientd>0etXuncodecoupantdeF(d) Ilestclairquetoutcoded-completestcomplet. Nousavonsleresultatsuivant[Sch66]: 8w2A;8x2XdxwA\X6=;:
Codesuniformementsynchronisants vantessontequivalentes: (ii)Xestd-complet. (i)XestmaximaldansFcode. ddb.Lesproprietessuilentes:
Theoreme4.1.4Soit>0etXuncode.Lesproprietessuivantessontequiva-
(i)XestuncodedeFus,dedelaipluspetitouegala,maximaldansFcode. PourlescodesdeFus,letheoreme4.1.1peutsereformulerainsi[Bru98]:

4.2.MAXIMALITEDANSLESSOUS-FAMILLES Preuve.Dans[Bru98]ilestetabliqueXverie(4.1)sietseulementsiXestun (ii) XA\AXX 69
Codessynchronisants codecompletdedelaidesynchronisationpluspetitouegala.Cependant,comme toutcodeuniformementsynchronisantestcoupant,XcompletestequivalentaX
[BP85,p.240]: impliquequeXestuncodeuniformementsynchronisant. maximal. Ennnousdonnonsuneversiondutheoreme4.1.1pourlescodessynchronisant Notonsqueceresultatestplusfortqueletheoreme4.1.3,puisquel'equation(4.1)
Theoreme4.1.5SoitXuncode.Lesproprietessuivantessontequivalentes: (ii) (i)Xestuncodesynchronisant,maximaldansFcode.
fetilyestsupposequeXestuncodetrescoupant.Cependantcettehypothese n'intervientpasdanslademonstration,ellen'estlaqueparcequeladenitiondes Preuve.Dans[BP85]noustrouvonsenfaitunehypothesesupplementaire.Enef-
9x;y2XxAyX:
coupants.Siondenitlescodessynchronisantscommeetantlescodesadmettant unepairesynchronisante,l'hypothese\Xtrescoupant"n'apluslieud'^etre. codessynchronisantsquilapreceden'estdonneequedanslafamilledescodestres entrelapropriete(ii)etlescodessynchronisantscomplets.Cependant,toutcode synchronisantestcoupant[dLR80]etdonctoutcodesynchronisantcompletest maximaldansFcode. Uneautredierenceestqueleresultatdonneen[BP85]etablitl'equivalence
4.2Maximalitedanslessous-familles
unefamilledecodesetX2F.LecodeXestmaximaldansFsipourtoutcode Lanotiondecodemaximals'etendauxdierentesclassesdecodes:soientF

YFtelqueXYonaY=X.Evidemment,cettenotionnepresupposepas 70 SoitFunefamilledecodes: del'existenced'untelobjetdansunefamillearbitraire. Ilestalorsnatureld'examinerlesdeuxproblemessuivants: CHAPITRE4.SURLESCODESMAXIMAUX
Q2:PourtoutX2FmaximaldansF,Xest-iluncodemaximaldans Q1:PourtoutX2F,existe-t-iluncodemaximaldansFcontenantX?
Q3:Connait-onunemethodedecompletionpermettant,pourtoutX2 F,d'exhiberuncodeY2FcontenantXtelqueYsoitmaximaldansF? mentaldeseposerlaquestionsuivante: donnepasd'informationsurlastructuredescodesmaximaux.Ilestdoncfonda-
Fcode?
Depluspuisqu'onaFcode=Fdense[Fcoupant,unautrepointmeriteattention: LelemmedeZornpermetparfoisderepondrealaquestionQ1,cependantilne
etantdonneunefamilledecodesFtellequeF\Fcoupant6=;,F\Fdense6=;et X2F\Fcoupant. d'exhiberuncodeY2F\FdensecontenantXtelqueYsoitmaximaldans quepeud'echodanslalitterature. F?Commenousleverronsauchapitre7,c'estunproblemeimportant,quin'atrouve Q4:PourtoutX2F,connait-onunemethodedecompletionpermettant
4.3Existenced'uncodemaximal
dansuncodemaximaldeFcode(resp.Fpref,Fsu,Fbif,Fcirc). Theoreme4.3.1ToutelementdeFcode(resp.Fpref,Fsu,Fbif,Fcirc)estinclus ApplicationsdulemmedeZorn Gr^aceaulemmedeZorn,nousavonsleresultatsuivant[Dev93]:
Theoreme4.3.2Pourtoutentierd>0.ToutelementdeF(d) Danslecasdescodesadelainousavons[Dev93]: ddb(resp.F(d) us)est

Famillesnonstablesparunion 4.3.EXISTENCED'UNCODEMAXIMAL inclusdansuncodemaximaldeF(d) ddb(resp.F(d) us). 71
l'existenced'elementsmaximauxdansFddb,FusetFsync. Fcoupant=F(d) quesionseplacedansF(d) coupant(cf.Exemple4.3.1).Ainsil'existenced'unelementmaximaln'estassuree exemple,uneunionquelconquedecodescoupantsn'estpas,engeneral,uncode LelemmedeZornnepermetpasdeconclurequellequesoitlafamille.Par
peuventpermettredeconclure(cf.Section4.5). Cependant,dansunetellesituation,l'elaborationdemethodesdecompletion us).Pourlam^emeraison,lelemmedeZornnepermetpasd'assurer us\Fcoupantpourd>0(puisquedanscecasF(d) us\
L'ensembleU=Sn>0Unestalorsuncodeprexedense,iln'estdoncpascoupant bienquepourtoutn>0,Unsoituncodecoupant(lesmotsdeUnsontdelongueur prexesdenieparU0=;etUn=Un1[fubanju2AnnUn1A+gpourn>0. pasmaximauxdansFcode[BP85,p.101].SoitA=fa;bget(Un)lasuitedecodes santedecodescoupantsn'estpasforcementuncodecoupant.Ilestsouventmen-
tionnepourmontrerquelescodesprexesdensesmaximauxnesont,engeneral, Exemple4.3.1L'ensemblesuivantillustrelefaitquelareuniond'unesuitecrois-
inferieurea2n+1). Casdescodesnis CependantlaquestionQ1admetunereponsenegativelorsqu'onconsiderelafamille Fni.Lepluspetitexempleconnuestlecode ToutcodeprexeniestinclusdansuncodeprexedeFnimaximal[BP85].
resultatssontpresentesdans[Res77,dFR85,dF89,RSS89] resteundesproblemesouvertslesplusimportantsdelatheoriedescodes.Quelques quin'estinclusdansaucuncodemaximalni[Mar67,Res77]. Lescodesbixesnisnepeuventpasnonplus,engeneral,^etreinclusdansun Cependant,decidersiuncodenipeut^etreinclusdansuncodenimaximal fa5;ba2;ab;bg
Theoreme4.3.3Toutcodeni,maximaldansFddbestprexe. codebixemaximalni[BP85,p.169],c'estparexemplelecasdefa2;b3g. DanslecasdescodesnisdansFddb,nousavons[Sch66]:

mauxnishormisA,c'estenparticulierlecasdeFcirc[BP85,p.328]: nepeuvent^etreinclusdansunelementmaximaldeFddb\Fni. 72Dem^emeilexistecertainesfamillesdecodesn'admettantpasd'elementsmaxi-
CeresultatsigniequelescodesnisdeFddbquisontdedelaisuperieura0, CHAPITRE4.SURLESCODESMAXIMAUX
verronsdanslasectionsuivantequec'estlecaspourlescodescirculairescoupants. del'equivalenceentrelamaximalitedansFcodeetlamaximalitedansFcirc.Nous Propriete1LeseulelementmaximalnideFcircestA. n>1telquean2X[BP85,p.67].Pourpouvoirconclure,ilsutdes'assurer Lem^emeargumentpermetd'etablirlaproprietesuivante: Celatientaufaitque,pourtoutcodemaximalniXettoutelettrea,ilexiste
Propriete2LeseulelementmaximalnideFusestA. 4.4Equivalenceentrelesdeuxnotionsdemaximalite
parenoncerdeuxremarquesd'ordregeneral. Danscettesection,nousnousinteressonsalaquestionQ2.Nouscommencons Puisqu'uncodecoupantnepeutconteniruncodedense,ilvient: maximaldansFssiXestmaximaldansF\Fdense Propriete3SoientFunefamilledecodesetXuncodedensedeF.LecodeXest
Propriete4SoientFunefamilledecodesetXuncodecoupant(resp.rationnel, (resp.F\Frationnel,F\Fni). ni)deF.LecodeXestmaximaldansFssiXestmaximaldansF\Fcoupant Unresultatsimilaireestobtenupourlescodescoupants,rationnelsounis:

4.4.EQUIVALENCEENTRELESDEUXNOTIONSDEMAXIMALITE73
contreditsadenition. deX.Maisalorsonayw=2F(X[fyg).LecodeX[fygestdonccoupant,cequi F.CommeXestuncodecoupant,ilexisteunmotwquin'estpasfacteurdemots dansF.Ilexistealorsy2AtelqueX[fygestuncode(dense)appartenanta F\Fcoupant.SupposonsmaintenantXmaximaldansF\Fcoupantetnonmaximal Lem^emeraisonnementpeut^etreappliqueauxcasXmaximaldansF\Frationnel
Eneet,ilestclairquesiXestmaximaldansFalorsilestmaximaldans
ouF\Fni. reponsesarmativesalaquestionQ2[dLR80,Sch61,BP85,Bru98]: Theoreme4.4.1SoitXuncodecoupantdansFcirc(resp.Fpref,Fsu,Fbif, Fddb,Fus).Lesproprietessuivantessontequivalentes: (i)XestmaximaldansFcode. Danslecasoulecodeestcoupant,letheoremesuivantregroupedierentes
puisquetoutcodeuniformementsynchronisantestcoupant[Bru98]. (ii)XestmaximaldansFcirc(resp.Fpref,Fsu,Fbif,Fddb,Fus). IlestanoterquedanslecasdeFus,l'hypothese((Xcoupant))estimplicite
suivantessontalorsequivalentes: Theoreme4.4.2SoitXuncodecoupantdansFddbdedelaid.Lesdeuxproprietes theoremepeut^etreformulee[Bru91a]: (i)XestmaximaldansFcode. Danslecasdescodesadelaidedechirageborne,uneversionplusfortedece
dem^emedelai.Commetoutcodeuniformementsynchronisantadmetunelement Remarque4.4.1Danslecasdudelaidesynchronisation,iln'existepasdeversion decodeniuniformementsynchronisantquin'estinclusdansaucuncodemaximal correspondantedutheoreme4.4.2.Eneetdans[Bru98],ilestdonneunexemple (ii)XestmaximaldansF(d) ddb.
motquin'estpasfacteurdesmotsducode[NS01b].Cespreuvesnesegeneralisent Fcode. maximaldanslafamilledescodesdem^emedelai,cederniern'estpasmaximaldans Lesdemonstrationsdesresultatsprecedentsdependenttoutesdel'existenced'un

estuncodebixemaximal,nonmaximaldansFsu. uncodeprexemaximalquin'estpasmaximaldansFcode.Enfaitcetensemble maximauxdansFprefquinesontpasmaximauxdansFcode. paslorsqu'onconsideredescodesdenses.Enparticulierilexistedescodesprexes 74Cettesituationestillustreeparl'exemple4.3.1.Eneet,l'ensembleproposeest
CHAPITRE4.SURLESCODESMAXIMAUX
etnonmaximaldansFcode. d>0,laconstructiondecodesmaximauxdansF(d) Nousdonnonsensection7.2unexempledecodecirculairemaximaldansFcirc Dans[Bru91a],V.Bruyeregeneralisecetexemple,cequipermet,pourtout ddbetnonmaximauxdansFcode.
4.5Completions
thodeintroduitlanotiondemarqueursetdenombreusesmethodesdecompletion mentionneesdanslalitterature. enreprennentleprincipe.Nousdonnonsledetaildelaconstructiondel'ensemble maximalpropose[ER85]: Nousrappelonsdanscettesectiondierentesmethodesdecompletionquisont
Theoreme4.5.1SoitXuncodecoupantnonmaximal. Lepremierdecesresultatsestl'algorithmed'Ehrenfeucht-Rozenberg.Cetteme-
(ii)SoientU=AnXnA:fyg:Aet (i)Ilexisteunmotsansbordytelquey=2F(X).
Danscetalgorithme,lemotyestutilisecomme((marqueur)):lesmotsqu'on Deplus,siXestrationnelalorsYl'estaussi. L'ensembleYestuncodecoupantmaximal. Y=X[fyg:(U:fyg) (4.2)
quiestcirculaire,coupantetmaximaldansFcirc[Bas96]. serefererauxarticlescites. ajouteaXdebutentetterminenttouspary. resultats;encequiconcerneledetaildesmethodesdecompletion,lelecteurpourra SiXestuncodecirculairecoupant,lam^emeconstructionconduitauncodeY Danslecasdesautresfamillesdecodes,nousnedonnonsquelesprincipaux

Codesprexes 4.5.COMPLETIONS Leresultatsuivantestclassique(voir,parexemple,[BP85]): 75
nalite(resp.nitude)deY. Codesadelaidedechirageni Theoreme4.5.2SoitXuncodecoupantdeFpref. SiXestrationnel(resp.ni)alorslamethodedecompletiongarantitlaratio-
LecodeXpeut^etreinclusdansuncodeY2Fpref,coupantetmaximal.
Theoreme4.5.3Soientd>0etXuncodecoupantnonmaximaldeF(d) Danslecasdescodesadelaidedechirageni,nousavons[Bru91b,BWZ90]:
Codesuniformementsynchronisants codeXpeut^etreinclusdansuncodeY2F(d) SiXestrationnelalorslamethodedecompletiongarantitlarationalitedeY. ddb,coupantetmaximal. ddb.Le
codeY2Fus,coupantetmaximal. peutconserverledelai[Bru98]: Theoreme4.5.4SoientXuncodedeFus.LecodeXpeut^etreinclusdansun SiXestrationnelalorslamethodedecompletiongarantitlarationalitedeY. Pourlafamilledescodesuniformementsynchronisants,nousavonsvuqu'onne
Codesbixes
maximaldeFbif. coupantencodebixecoupantmaximal.Cependant,danslecasdecodesrationnels, nousavonstoujoursleresultat[Per82,ZS95,BP99]: Theoreme4.5.5ToutcoderationneldeFbifpeut^etreinclusdansuncoderationnel Lecasdescodesbixesestparticulierpuisqu'onnepeutincluretoutcodebixe
danslecasd'unefamilledecodesbixesplusgeneralequecellesdescodesrationnels: Enfait,dans[BP99],lesauteursmontrentqueleresultatprecedentrestevrai

coupantestmentionneen[Per84]:fanbnjn>1g: classiquedecodebixecoupantquinepeut^etreinclusdansuncodemaximalbixe (resp.suxe)deAX(resp.XA)estdelongueurbornee.Parcontreunexemple lescodesnon-etheres.Pourcescodes,toutecha^necroissantepourl'ordreprexe 76 CHAPITRE4.SURLESCODESMAXIMAUX
acejourderepondrealaquestionQ3(sauf,biens^ur,lorsqu'onconsiderelafamille adelaid'interpretationnietl'autrepourlescodessynchronisants. Fpref\Fdense[Bru91a]). DanslecasdesfamillesquisontinclusesdansFdense,aucunresultatnepermet Nouspresentonsparlasuitedeuxmethodesdecompletion:l'unepourlescodes

4.6Tableaurecapitulatif 4.6.TABLEAURECAPITULATIF Fcode nisnonoui/ Q1Q2Q3 77
Fpref (Fsu)rationnelsouiouioui
Fbif coupantsouiouioui densesouiouinon densesouinonoui nisouiouiouiF()
Fddb coupantsnonoui/
densesouinonnon
Fsync Q1Q2Q3
F(d)
denses??non
Fcirc usrationnels??non
coupantsouinonnon
nisnonouinon nis??non
Fusrationnelsouiouioui
coupantsouiouioui densesouinonnon nisnonoui/ Fdif densesouinonnon
denses??non
nisnon// F(n)
rationnelsouiouioui coupantsouiouioui densesouinonnon nisnon//
^etrecompleteenuncodemaximalni. del'inter^etqu'ilyauraitdetrouverunalgorithmepourdecidersiuncodenipeut trouverunemethodedecompletiongeneralepourcescodes.Celaneprejugeenrien lescodesnisnesontpastoujoursinclusdansuncodemaximalni,onnepeut Danscetableau,unsymbole((?))signiequeleproblemeresteouvert. Unsymbole((/))signiequelaquestionneseposepas.Parexemple,puisque

78 CHAPITRE4.SURLESCODESMAXIMAUX

79
MaximaliteetcompletudedansFdif Chapitre5
xe.Cependant,laclassedescodesadelaidesynchronisationnixeneveriepas unetellepropriete.EneettoutcodedeF(d) Ceresultatrestevraipourlaclassedescodesquipossedentundelaidedechirage Introduction Nousavonsvuauchapitre4quetoutcodeestinclusdansuncodemaximal.
d'interpretationni. dansFcode.Puisquelespropositions2.4.3et2.4.4revelentunlienfortentreles codesadelaid'interpretationetlescodesadelaidesynchronisation,ilestnaturel d'examinerlaquestionprecedentelorsqu'onseplacedanslaclassedescodesadelai
usmaistoutcodecodedeF(d) NousmontronsdansunpremiertempsquetoutcodemaximaldansF(d) usn'estpasinclusdansuncodedeF(d) usestinclusdansuncodemaximaldans us,maximal
montreronsqu'ilestegalementpossibledecompleteruncodeadelaid'interpretation maximaldansFcode.Rappelonsquenousconnaissonsdesmethodesdecompletion nienuncodemaximaldansFdif.Ceresultatnouspermetdeprouverquetout codecoupantdeF(d) pourdenombreusesfamillesdecodes(cf.Chapitre4).Danslepresentchapitre,nous difestinclusdansuncodedeF(d) difquiestmaximaldansFcode. difest
difdescodescoupantsetlamaximalitedansFcode.Lapreuvedeceresultat Danslapremieresectionnousetablissonsl'equivalenceentrelamaximalitedans

80 consisteamontrerque,pourtoutcodecoupant,noncompletXdeF(d) unmotwtelqueX[fwgrestedansF(d) CHAPITRE5.MAXIMALITEETCOMPLETUDEDANSFdif
d'Ehrenfeucht-Rozenberg.Nousmontronsainsiquecettemethodedecompletionne sonstoutd'abordaucomportementdescodesdeFdifrelativemental'algorithme s'appliquepasauxcodesdeF(d) LadeuxiemesectionestconsacreealacompletiondansFdif.Nousnousinteres-
dif.Nousexpliquonsensuitecommentcompleterles
dif,ilexiste
preservelarationalitedescodesainsiqueleurdelai. tertoutcodecoupantdeFdifenuncodemaximal.Notremethodedecompletion codesdeFdiflorsqu'ilssonttrescoupants.Cettemethodenouspermetdecomple-
5.1Codesadelaid'interpretationnimaximaux contenudansuncodemaximaldem^emedelai.Ceresultatmontre,sibesoinenetait, l'inter^etdetelscodes.Eneet,nousavonsvuquecescodessonttresprochesdes codesuniformementsynchronisants.Ilverientcependantuneproprieteplusforte surlamaximaliteetsont,encesens,arapprocherdescodesadelaidedechirage niṄouscommenconsparetablirl'existencedecodesmaximauxdansF(d) Nousprouvonsdanscettesectionquetoutcodeadelaid'interpretationnidest
Proposition5.1.1Toutcodeadelaid'interpretationdestinclusdansuncode maximaldansF(d) dif. dif:
Preuve.LapreuvesefaitdemaniereclassiqueenappliquantlelemmedeZorn. sion,descodesdem^emedelaid'interpretationcontenantX.NousprouvonsqueF estunensembleinductif. SoientXuncodeadelaid'interpretationdetFl'ensemble,ordonneparinclu-
IlestclairquetoutelementdeCestinclusdansY.IlresteaprouverqueY2F, c'est-a-direqueYestuncodeadelaid'interpretationd. SoitCunecha^netotalementordonneedeF.Posons
doncamontrerqueYestdedelaid. NoussavonsqueYestuncode(cf.,parexemple,[BP85,pp.41{42]).Ilreste Y=[Z2CZ:

que 5.1.CODESADELAID'INTERPRETATIONFINIMAXIMAUX Soientm>0,2P(Y),2S(Y),x1;x2;:::;xd2Yety1;y2;:::;ym2Ytels Nousallonsetablirque;2Y. x1x2:::xd=:y1y2:::ym: (5.1) 81
dedelaid'interpretationd.L'equation(5.1)conduitdonca;2Z0.Puisqu'ona Z02C,ilvientZ0Y.Parconsequent,onobtient unelementZ0dansCcontenanttousceselementsdeC.L'ensembleZ0estuncode d'unelementdeC.Puisquelacha^neesttotalementordonneeparinclusion,ilexiste appartientaunelementdeC.Dem^eme,(resp.)estunprexe(resp.suxe) PardenitiondeY,chaquexi,pouri2[1;d],etchaqueyj,pourj2[1;m],
unelementmaximaldansF.Cequiterminelapreuve. LecodeYestdoncdedelaid. L'ensembleFetantinductif,onpeutluiappliquerlemmedeZorn,ilexistedonc ;2Y:
coupantsoulescodesadelaidedechiragenicoupants: decompletudeetdemaximalitespourlescodesadelaid'interpretationnicoupants. Noussavonsdejaquedetellesequivalencessontverieespourlescodescirculaires Lasuitedecettesectionestdevoluealapreuvedel'equivalenceentrelesnotions
Theoreme5.1.2SoitXuncodeadelaid'interpretationd.Lespropositionssuivantessontequivalentes:
(iii)XestmaximaldansF(d) (ii)XestmaximaldansFcode. (i)Xestcomplet.
sembledesmotsdeXnayantunsuxenonvidequisoitegalementprexedey. introduirequelquesnotations: SoityunmotsansbordetXuncodeadelaid'interpretationn.SoitX0l'en-
Avantd'entreprendrelademonstrationdutheoreme5.1.2,nouscommenconspar dif.
Nousdenissonslesmotsuetvcommesuit:
videquisoitsuxedey.Denissonslesmotsu0etv0commesuit: {SiX0=;,onposeu=",v=". {Sinon,ilexisteunmotx2X0etdesmotsu;v;y0telsquex=uv,y=vy0ettels {SiX00=;,onposeu0=",v0=". quevsoitdelongueurmaximale(untelmotexistepuisquejyjestni). Dem^eme,designonsparX00l'ensembledesmotsdeXnayantunprexenon

82 {Sinonilexisteunmotz2X00etdesmotsu0;v0;y00telsquez=v0u0,y=y00v0et telsquev0soitdelongueurmaximale. NousnotonsX(y)lemotuyu0(voirg.5.1) CHAPITRE5.MAXIMALITEETCOMPLETUDEDANSFdif
z
u v0 u0
xv Fig.5.1{Lemot y
Proposition5.1.3SoientXuncodeadelaid'interpretationnietyunmotsans bordtelquey=2F(X).LecodeY=X[fX(y)gestuncodedem^emedelai Lapreuvedutheoreme5.1.2reposesurlapropositionsuivante: X(y).
1.AvantdemontrerqueYestuncodedem^emedelaid'interpretationqueX,nous d'interpretationqueX. Preuve.SoitXuncodededelaid'interpretationn.Posonst=X(y)etY=X[ftg. Aveclesnotationsutiliseesplushaut,ilexisteu;u0telsquet=uyu0. allonsmontrerquetn'admetpasdeY-interpretationnontriviale.
(s;d;p)induituneinterpretationpourlemoty.Pourcela,ilsutdemontrer ded.Eneet,l'interpretationetantnontriviale,onajdj

5.1.CODESADELAID'INTERPRETATIONFINIMAXIMAUX Puisquejsj

84 s0 CHAPITRE5.MAXIMALITEETCOMPLETUDEDANSFdif d0y
p0 t
2.NouspouvonsmaintenantmontrerqueYestuncode. Fig.5.3{Interpretationdeyavecp02P(t). u y
Parl'absurde,supposonsqu'ilexistex1;x2;:::;xr2Y,y1;y2;:::;ym2Yavec
Puisquetn'admetpasdeY-interpretationnontriviale,laY-interpretation pouri2[1;r]. PuisqueXestuncode,six1;:::;xr;y1:::;ym2X,nousavonsr=metxi=yi Supposonsqu'ilexisteitelquexi=t. r;m>1telsque x1x2:::xr=y1y1:::ym:
nepeutinduiredeY-interpretationpourlemotxi.Parconsequentxiestfacteur Nousavonsdonc d'unmotykaveck2[1;m].Puisquet2F(X),onendeduitqueyk=xi=t. y1:::yk1=x1:::xi1;yk=xietyk+1:::ym=xi+1:::xr: (";y1;y2;:::;ym;")
3.Enn,nousmontronsqueYestdedelain.Parl'absurde,supposonsqu'ilexiste Eniterantceraisonnementpourtouslesmotstquiapparaissentdansl'equation,
cetteinterpretationestquasi-triviale.Soientw1;:::;wn2Yetd1;:::;dm2Y L'ensembleYestdoncuncode. nousobtenonsr=metxi=yipouri2[1;r]. unmotw2YnadmettantuneY-interpretation(s;d;p).Nousallonsmontrerque telsquew=w1:::wn,d=d1:::dm. {Supposonstoutd'abordquew;d2X. v0u02Xn[f"g.Nousallonsprouverquep2P(Xn). Sip2P(X)alors,clairement,p2P(Xn).Supposonsp2P(t).Nousavons Nousrappelonsque,selonlesnotationsprecedentes,t=uyu0,uv2Xn[f"g, jpj

5.1.CODESADELAID'INTERPRETATIONFINIMAXIMAUX ajpj6juj+jvj.Ainsi,puisqueuv2Xn[f"gestunprexedet,nousavons p2P(uv),d'oup2P(Xn). Onmontreraitdem^emeques2S(Xn).Ainsi(s;d;p)estuneX-interpretation d'unmotdeXn;elleestdoncquasi-triviale,c'est-a-direquel'onas;p2X. 85
{SupposonsquetsoitunY-facteurded. j2[1;m]telsque Puisque,pardenitiondeY,nousavonsXY,onobtients;p2Y. m^emequ'en(2),testY-facteurdew.Ainsi,pourtoutitelquewi=t,ilexiste Puisquetn'admetpasdeY-interpretationnontrivialeetquet=2F(X),de
avonsi0>1(puisquei0=1implique,par(5.2),s=").Sis2S(t),par Nousallonsmontrerques2Y.Parl'absurde,supposonsques=2Y.Nous denitiondet(v0estdelongueurmaximale),nousavonsegalements2S(Xn). w1:::wi01=sd1:::dj01.Nousavonsw1:::wi01=sd1:::dj012X. Soiti0lepluspetitentiertelquewi0=t.Soitj0l'uniqueentierveriant Lemotsestdoncsuxed'unmotdeX.PuisqueXestuncodeadelai w1:::wi1=sd1:::dj1;wi=dj=t;wi+1:::wn=dj+1:::dmp(5.2)
Parconsequent(s;d;p)estuneinterpretationquasi-triviale.Cequimontreque d'interpretationni,ilestadjacent,doncw1:::wi01=sd1:::dj01implique
lecodeYestuncodededelaid'interpretationn. {OnmontreraitdefaconsimilairequesitestunY-facteurdew,alorsilexiste i2[1;n],j2[1;m]telsquenousobtenions(5.2).Onobtientdoncs;p2Y. s2X,cequicontredits=2Y. Nousavonsdoncs2Y.Dem^emenousavonsp2X.
chacunedesessous-familles,doncdansF(d) Preuvedutheoreme5.1.2.(i))(ii).Direct.SiXestunensemblecoupantcomplet alorsilestmaximaldansFcode(Theoreme4.1.1). Nouspouvonsdesormaisdonnerlapreuvedutheoreme5.1.2. (ii))(iii).Clairement,siXestmaximaldansFcodealorsilestmaximaldans dif.
cemotsansbord(nousrappelonsquenoussommesdanslecasjAj>1). Parl'absurde,supposonsqueXsoitmaximaldansF(d) (iii))(i).IlresteamontrerquesiXestmaximaldansF(d)
l'hypothese((XestmaximaldansF(d) peutconstruireunensembleYdansF(d) alorsunmotincompletabledansX.Laproposition1.2.1assurequ'onpeutchoisir Laproposition5.1.3impliquedoncqueXn'estpasmaximaldansF(d) difcontenantstrictementX.Cecicontredit difetnoncomplet.Ilexiste difalorsilestcomplet.
Cequiachevelapreuvedutheoreme. dif)). difpuisqu'on

86 5.2Unemethodedecompletion d'alphabetspossedantaumoinsdeuxlettres. Nousproposonsunemethodedecompletiondescodesd.i.f.coupantsdanslecas CHAPITRE5.MAXIMALITEETCOMPLETUDEDANSFdif
5.2.1L'approcheclassique
pastoujoursd'obteniruncodeadjacentcompletapartird'uncodeadjacent(iln'est delaid'interpretationniresistentacettemethodedecompletion. tantplusjustieequ'elleserevelefructueusedanslecasdescodescirculaires.Nous verronscependantqu'al'instardescodesuniformementsynchronisants,lescodesa tenterd'appliquerl'algorithmed'Ehrenfeucht-Rozenberg.Cetteapprocheestd'au-
L'exemplesuivantmontrequel'algorithmed'Ehrenfeucht-Rozenbergnepermet Danslarecherched'unemethodedecompletion,lapremiereapprocheestde
l'ensemblen'estdoncpascomplet. m^emeilestcoupantpuisquerationnel.Lemotababn'estpascompletabledansX, Exemple5.2.1Surl'alphabetA=fa;bg,consideronsl'ensembleX=a+ab+a. IlclairqueXestadjacent(c'estm^emeuncodededelaid'interpretation1).De doncpas,afortiori,appliquableauxcodesadelaid'interpretationni).
X[fygn'estplusadjacent.Eneet,puisqueyestsansbord,sapremierelettreet sadernieresontdierentes.Supposonsquesapremiere(resp.derniere)lettresoit Or,lorsqueyestnoncompletablesurX,onnepeutavoiru=".Ainsiilexisteune b.Lemotyestalorsdelaformey=bnau(resp.y=uabn)avecn>1etu2A. Y-interpretationnonquasi-triviale(";a;bna)(resp.(anb;a;"))pourlemotabna. L'algorithmed'Ehrenfeucht-Rozenbergajouteal'ensembleacompleterunmotsans Cependantnousallonsvoirquepourtoutmotsansbordy,l'ensembleY=
bordetincompletable(cf.Equation(4.2),page74).Donc,sinousappliquonsla
tionni.Cen'estcependantpastoujourslecas. sansbord,incompletable,onpourraitfourniruncodecompletadelaid'interpretalisantX(y)dansl'algorithmed'Ehrenfeucht-Rozenbergenlieuetplaced'unmoty
delaid'interpretation). methodeacecodeadjacentnousn'obtiendronspasuncodeadjacent(etdoncsans
Enfaitsionconsiderel'ensembleXprecedentavecy=aabab,ona Deplus,enconsiderantlaproposition5.1.3,onesttentedesupposerqu'enuti-
X(y)=aababa

et ouU=AnXnAX(y)A. 5.2.UNEMETHODEDECOMPLETION LemotX(y):abaabab:X(y):ababa:X(y)2YadmetuneY-factorisation Y=X[X(y)(U:X(y)): 87
delaid'interpretationnipourqu'ilssoientcomplets.Cettepropositiondonnel'idee Lapropositionsuivantefournituneproprietequidoit^etreverieeparlescodesa L'ensembleYn'estdoncpasuncode. (X(y):ab:X(y)ababX(y);X(y)):
proprietessuivantessontalorsequivalentes: Proposition5.2.1SoitXuncodeadelaid'interpretationnitrescoupant.Les d'unepossiblemethodedecompletiondansFdif.
Preuve.Laproposition4.1.5etablitl'equivalenceentrelescodessynchronisantscom-
(ii)Xverielaproprietesuivante: (i)Xestcomplet.
terpretationnitrescoupantestsynchronisant. pletsetlescodesveriant(5.3).Ilrestedoncaprouverquetoutcodeadelaid'in-
9x;y2X;xAyX
SoitdledelaideX.Soitt02XnF(X)(untelmotexistepuisqueXesttres
t0x2Xd:XetXestdedelaid,l'interpretation(s;y;p)estquasi-triviale.Ona (s;y;p)estuneinterpretationinduiteparlaX-factorisationdeut0xt0xv).Comme Eneet,soientu;v2Atelqueut0xt0xv2X.Puisquet0=2F(X),lemott0xadmet deuxX-interpretations:l'uneinduiteparut0x2P(X)etl'autrepart0xv2S(X). (pardenition,onasyp=t0x).Remarquonsques0s2X(onaut0xt0xv2Xet Soit(s;y;p)l'interpretationinduiteparut0xetsoits0lemottelques0syp=ut0x coupant).Nousmontronsquetoutepaire(t0x;t0x),oux2Xd2,estsynchronisante.
doncp2X,d'ous0syp2X,c'est-a-direut0x2X.
complet.Cequiachevelapreuve. estsynchronisantcompletetilveriedonclapropriete(5.3). chronisant. SiXestuncodeveriantlapropriete(5.3),alorsc'estuncode(synchronisant) Onmontreraitdefaconsimilairequet0xv2X.L'ensembleXestdoncsyn-
Ainsi,siXestuncodeadelaid'interpretationni,trescoupantetcomplet,il

ni. uniformementsynchronisants(cf.Theoreme4.1.4).Nousallonsvoirque,comme 88 metd'elaborerunemethodedecompletionpourlescodesadelaid'interpretation pourlescodesuniformementsynchronisants,unchoixparticulierdemarqueursper-
Lapropriete(5.3)estprochedecellequiestetablieen[Bru98]pourlescodes CHAPITRE5.MAXIMALITEETCOMPLETUDEDANSFdif
5.2.2Completiondescodestrescoupants
tionnicoupants. pourronsendeduireunemethodedecompletionpourlescodesadelaid'interpreta-
restreindreauxcodestrescoupantsn'englobepasleproblemedanssatotalite,nous d'interpretationnitrescoupants.M^emes'ilpeutsembler,deprimeabord,quese Uninter^etsupplementairedel'exemple5.2.1estdemettreenevidencelanecessitedetenircomptedesrecouvrementsentrelesmotsX(y).Deuxvoiessontalors
possibles: {Uneautreapprocheconsisteamodierlesmarqueursdefaconaeliminerles {CelleproposeeparV.Bruyereen[Bru98],consisteaconstruirel'ensembleYen tenantcomptedecesrecouvrements.
Nouspresentonsdanscettesectionunemethodedecompletiondescodesadelai
motsdet0A\At0(commeen[Bru98]). t2(marqueurden)apartird'unmott02XnF(X)etnousconsidereronsles motsdet1At2(commepourl'algorithmed'Ehrenfeucht-Rozenberg)plut^otqueles approche.Nousallonsenfaitconstruiredeuxmarqueurst1(marqueurdedebut)et recouvrementsindesirables. Dansceparagraphenousdevelopponsunemethoderelativeacettederniere
Fus,touslesmotsdeX2(ouestledelaidesynchronisation)sontdesmarqueurs. Nousverronsauchapitre6querestreindrelenombredemarqueurspermetegalement etcelledansFdifestquedansFdifnousn'allonsutiliserquedeuxmarqueurs.Pour d'elaborerunemethodedecompletiondescodessynchronisants. UneautredierencefondamentaleentrelesmethodesdecompletiondansFus
d.Soitt02(Xd:X+)nF(X).Soienta,bdeuxlettresdel'alphabettellesquea6=b Theoreme5.2.2SoitXuncodeadelaid'interpretationni,trescoupant,dedelai et t1=t0ajt0j;t2=bjt0jt0:

estuncodecomplettrescoupantdedelaid'interpretationd. Alorsl'ensemble 5.2.UNEMETHODEDECOMPLETION X[t1At2At2Xt1AAt2X+X+t1AX 89
Lasuitedecettesectionestconsacreealapreuvedecetheoreme.
t0ajt0j,t2=bjt0jt0. (Xd:X+)nF(X)ou Introduisonslesensembles: Deplusa,bdesignentdeuxlettresdistinctesdel'alphabetetnousposonst1= NousconsideronsXuncodetrescoupant,dedelaid'interpretationd.Soitt02 t0=t0;0:::t0;jt0jX1avect0;i2X,pouri2[0;jt0jX1] C=t1At2At2Xt1AAt2X+X+t1AX (5.4)
propositionsquivontsuivre. d,qu'ilestcompletetnalementqu'ilesttrescoupant.C'estl'objetdesquatre synchronisants).Aussidevons-nousprouverqueYestuncode,qu'ilestdedelai estuncodeadelaid'interpretationni(contrairementacequialieupourlescodes etLaproposition5.2.1n'assurepasquetoutensembleveriantlapropriete(5.3)
Y=X[C:
tessuivantes: lemmes. Lemme5.2.3Aveclesnotationsprecedentes,lesmotst1ett2verientlesproprie-
(i)S(t1)\P(t2)=f"g. Andesimplierlesdemonstrationsavenir,nousmontronstoutd'aborddeux
Nousallonsmontrerquet=".Enraisonnantsurlalongueurdet,troiscasse Preuve.(i)Nousetablissonslapremierepropriete.SoittunmotdeS(t1)\P(t2). presentent: (iii)8v2P(t1);x2S(t2X);t2=xv)v2X. (ii)8u2S(t2);x2P(Xt1);t1=ux)u2X.
{jtj6jt0j.Pardenitiondet1=t0ajt0j,puisquet2S(t1),ilexistek2Ntelque t=ak.Dem^eme,onat2=bjt0jt0ett2P(t2),d'ouonat=bk.Ainsicommeon aposea6=b,onak=0etdonct=".

90 {jt0j

5.2.UNEMETHODEDECOMPLETION 91
u x1x2t1
(iii)Envertudelasymetriedesdenitionsdet1ett2,latroisiemeproprietese u1 u2Fig.5.5{t1=uxavecjuj6jt0j. xx3
queYestuncodeadelaid'interpretationni. Lenombrerestreintdecesinterpretationsestunargumentessentielpourprouver montredefaconsimilaire. LedeuxiemelemmeexplicitelastructuredesY-interpretationsdesmotsdeC.
Preuve.Parl'absurde,supposonsqu'ilexisteuneY-interpretation(s;y;p)d'unmot cdeC,dierentede(";c;"),(c;";")et(";";c). csont(";c;"),(c;";")et(";";c). Lemme5.2.4SoitcunmotdeC.LesseulesY-interpretationsquepeutadmettre
ladenitiondeC. 1.Supposonstoutd'abordques2S(C)etmontronsques2X. {Sijsj6jt2j.Commet2estsuxedetoutmotdeC,onas2S(t2).Ainsi,puisque Nousraisonnons,enpremiereapproche,surlalongueurdes. Nousallonsmontrerques;p2X,cequinousmeneraaunecontradictionavec
onax2P(Xt1)(cf.g.5.6).Lelemme5.2.3assuredoncs2X. t1estprexedec,ilexistexprexedeyptelquet1=sx.PardenitiondeY,
s t1x c
Fig.5.6{s2S(t2)etjsj6jt2j y p

92 {Sijsj>jt2jalorsilexistes02Atelques=s0t2.Onadoncc=s0t2yp.Montrons toutd'abordquey2X. Supposonsquey=2X.Commet1estprexedetoutmotdeC,onac2 At2Xt1AcequicontreditladenitiondeC.Onadoncy2YnACA,d'ou CHAPITRE5.MAXIMALITEETCOMPLETUDEDANSFdif
casjsj>jt2jnepeutappara^tre.PuisqueY=C[X,lemotpappartientsoita Dem^eme,pardenitiondeC,ilfautp=2X+(sinononac2At2X+).Deplus, onay2X+,d'ouc2At2X+,cequicontreditladenitiondeC.Ainsip=2X. Nousallonsmontrerquecettederniereproprietenouspermetd'armerquele P(X),soitaP(C). sip="alors,commenousavonssupposeque(s;d;p)etaitdierentede(c;";"), {Supposonsp2P(X).Puisque,pardenition,t0=2F(X)ett02S(c),ona
{Supposonsp2P(C).Sijpj6jt0jalors,commet02Xestprexedetout jpj

C.Onadoncp=s=",d'ou(s;y;p)estl'interpretation(";c;"),cequicontredit p6=")onac2X+:t1:A(resp.c2A:t2:X+)cequicontreditladenitionde l'hypothesededepart(((s;y;p)estdierentede(";c;"))).Ceciterminelapreuve. 5.2.UNEMETHODEDECOMPLETION 93
concernelesX-interpretationsdesmotsdeC. Corollaire5.2.5LesmotsdeCn'admettentpasdeX-interpretations. Nouspouvonsdeduiredulemmeprecedentuncorollaireplusprecisencequi
Preuve.Lelemme5.2.4assurequesiunmotc2CadmetuneX-interpretation (s;y;p)alors {Soitp=c,cequimenealam^emecontradiction. {Soits=c,maisalorscelacontreditladenitiondet0=2F(X).
uncode: delaid'interpretationdcomplet,trescoupant.CommenconsparmontrerqueYest {Soity=c,maisalorsc2X,cequicontreditladenitiondeC. NousavonsdesormaislematerielnecessairepourmontrerqueYestuncodea
Preuve.Soienty0;y1;:::;yn2Y,y0;:::;y0m2Ytelsque Proposition5.2.6L'ensembleYestuncode.
y0admetuneY-interpretationdelaforme Nouspouvonssupposersanspertedegeneralitequejy0j>jy0j>0.Ainsilemot y0:::yn=y0:::y0m;n;m>0:
etsinonz=". aveck2[0;m]etzunmotdeAtelquesik+16malorsyk+1=zz0avecz02A+ {Supposonstoutd'abordquey02X.Commet0=2F(X),onay0i2Xpour i2[0;k](t0estprexeetsuxedetoutmotdeC).Deplus,pourlam^eme (";y0y01:::y0k;z);

94t0).Soientz002Xetp2P(X)deuxmotstelsquez=z00p.
adelaid'interpretationni,ilestadjacent,onadonck=0etz00=p="(cf. raison,onaz2P(X)(enfaitzestsoitprexed'unmotdeX,soitprexede Letriplet(";y0:::ykz00;p)estdoncuneX-interpretationdey0.LecodeXetant CHAPITRE5.MAXIMALITEETCOMPLETUDEDANSFdif
{Supposonsmaintenanty02C.Lelemme5.2.4assurealorsquel'interpretation Proposition2.3.5).Ainsiy0=y0siy02X. estsoit(y0;";"),soit(";y0;"),soit(";";y0).Commey06=",onay0:::y0k=y0. i2[0;k],telqueyi2C.Sii6=0alorsy02X+t1A,cequicontredity02C. Deplus,pardenitiondeC,onay0=2X,ilexistedoncunpluspetitentieri,
obtientn=metyi=y0ipouri2[0;n]. Onadonci=0,maisdanscecass'ilexisteunpluspetitentierj,j2[1;k], y02At2X+,cequiestegalementencontradictionavecladenitiondeC.Ainsi telquey0j2Calorsy02At2Xt1Acequiestimpossible.Orsik>0ona k=0etdoncy0=y0. Danstouslescasonay0=y0etdoncy1:::yn=y01:::y0m.Parinduction,on
Proposition5.2.7L'ensembleYestuncodededelaid'interpretationd. NousprouvonsmaintenantqueYestdedelaid. L'ensembleYestdoncuncode.
estdedelaid,nousdevonsmontrerquecetteinterpretationestquasi-triviale. lemotc1:::cdadmetteuneY-interpretation(s;y1:::yn;p).AndemontrerqueY Preuve.Soientc1;:::;cd2Y,y1;:::;yn2Y,n60,s2S(Y),p2P(Y)telsque
1.Supposonsqu'ilexisteunpluspetititelqueci2C(cf.g.5.7). allonsdoncconsidererlescass2S(X)ets2S(C). Montronstoutd'abordques2Y.NousavonsY=C[Xets2S(Y).Nous
Onas2S(X),donccommet0=2F(X)estprexedeci,ilvient Supposonsques2S(X).Montronsquedanscecass2X. Noustraitonsdeuxcasselonqu'ilexisteounonunmotciappartenantaC.
(s;y1:::yn;p)aveck6netp02P(yk+1)sik

5.2.UNEMETHODEDECOMPLETION c1 t0 t0 95
s ci1 y1 y2 ci
(a)Supposonsque(s;y1:::yk;p0)estuneX-interpretation.Lemotc1c2:::ci1t0 Nousraisonnonssurlastructuredecetteinterpretation. Fig.5.7{Cass2S(X)etci2C yk p0
(b)Supposonsmaintenantque(s;y1:::yk;p0)nesoitpasuneX-interpretation. appartientaX:Xddonc,commeXestdedelaid,l'interpretationestquasitriviale,ainsi
Commes2S(X),soitilexistejtelqueyj2C,soitp02P(C). X(puisquet0nepeutl'^etre),iladmetuneinterpretationinduiteparlaXfactorisationdec1:::ci1t0.Lecorollaire5.2.5assurequecetteconguration
nepeutappara^tre.Ilvientdoncyi2Xpourtouti2[1;k]. Nousavonsdoncp02P(C).Commet0estprexedetoutmotdeC,nous raisonnonsselonlescasp02P(t0)ett02P(p0). {Sip02P(t0)alorsp02P(X).L'interpretation(s;y1:::yk;p0)induitune {Supposonsmaintenantquep0=2P(t0),nousavonsdonct02P(p0).Cela elleestdoncquasi-triviale,d'ous2X: signiequep02t0A+.Deplus,lemotp0estunsuxedec1:::ci1t0eton X-interpretationpourc1:::ci1t02X:Xd,l'ensembleXetantdedelaid,
j2[1;k]telqueyj2C.Lemotyjnepouvant^etrefacteurd'unmotde Montronsquepourtouti2[1;k]nousavonsyi2X.Supposonsqu'ilexiste s2X:
que(cf.g.5.8) ajp0j>jt0j.Ilexistedoncunentierj>1etunmotc002S(cj)nfcjgtels
estuneX-interpretationdep0.Deplus,t0estprexedep0ett0=2F(X), donccetteX-interpretationinduituneX-interpretation(c00;;)pourle Commeparhypotheseonac1:::ci1t02X,ilestclairque p0=c00cj+1:::ci1t0: (c00;cj+1:::ci1t0;")

96c1 CHAPITRE5.MAXIMALITEETCOMPLETUDEDANSFdif s Fig.5.8{p0=c00cj+1:::ci1t0 y1 ykc00 cjcj+1 ci1p0t0
(5.4),page89).Ona Puisquet0=c00etqueXestuncode,ilexisteqtelquet0;0:::t0;q=c00(cf. (c00;;)estquasi-triviale,c'est-a-direc002Xet2X. prexet0dep0.PuisqueXestdedelaidetquet02Xd:X,l'interpretation
lecodeXestadelaid'interpretationni,ilestadjacentet c1:::cjadmetdoncuneX-interpretation(s;y1:::ykt0;0:::t0;q;").Puisque Ainsi,c1:::cj=sy1:::ykc00,d'ouc1:::cj=sy1:::ykt0;0:::t0;q.Lemot c1:::ci1t0=sy1:::ykp0=sy1:::ykc00cj+1:::ci1t0:
2.Supposonsmaintenantqueci2Xpourtouti2[1;d].Nousmontronstout telqueci2C,alorsonas2X. Nousavonsdoncmontreque,lorsques2S(X),s'ilexisteunpluspetitentieri Ainsisi(s;y1:::yk;p0)n'estpasuneX-interpretation,nousavonss2X. s2X:
yi,doncyin'estpasfacteurdemotsdeX.Nousavonsc1:::cd=s:y1:::yn:p, Lecorollaire5.2.5assuredoncquecettecongurationnepeutappara^tre.Nous doncyiadmetuneX-interpretationinduiteparlaX-factorisation(c1;:::;cd). avonsdoncyi2Xpourtouti2[1;n]. Supposonsqu'ilexistei2[1;n]telqueyi2C.Lemott0=2F(X)estprexede d'abordqueyi2Xpourtouti2[1;n].
Sip=2P(X),alorscommep2P(X[C)nousavonsp2P(t0:A).Lemot Sip2P(X)alorsc1:::cdadmetuneX-interpretation(s;y1:::yn;p).Comme Nousmontronsques2X.
padmetalorsuneX-interpretationdelaforme(c00;cj+1:::cn;")etlam^eme Xestdedelaid,cetteinterpretationestquasi-triviale,d'ou argumentationqueci-dessusenremplacantp0parpmenealorsa s2X: s2X:

AinsinouspouvonsdeduiredelaY-interpretation(s;y1:::yn;p)dec1:::cdune 5.2.UNEMETHODEDECOMPLETION Toutd'abordsis2S(X)alorsilexistes02S(X),s002Xtelsques=s0s00. Nousavonsdoncmontreques2S(X)assures2X. Supposonsques2S(C).Montronsquedanscecasonas2Y. 97
obtenons qu'alorss02X,d'ous2X.Puisque,parconstructiondeY,onaXY,nous X-interpretation(s0;s00y1:::yn;p)pourlem^ememot.L'etudeprecedenteamontre
consideronsdeuxcasselonlastructuredelaX-factorisation(c1;:::;cd). {Supposonsque(c1;:::;cd)induiseuneY-interpretation(c0;ci:::ci+j;c00)pourt0 Consideronsdonclecass=2S(X).Commes2S(C),onas2At0.Nous s2Y:
X-interpretationpourt0.Ainsi,commeXestdedelaidett02Xd:X,cette derniereestquasi-trivialeetonadoncc0;c002X.Comme m^eme,onac02P(X)(t0estsuxedetoutmotdeC)etc002P(X)(t0est prexedetoutmotdeC).OnpeutdoncdeduiredecetteY-interpretationune X,soitat0At0(pardenitiondeC),onack2Xpourtoutk2[i;i+j].De (quiestlesuxedes).Commelesmotsck,k2[i;i+j],appartiennentsoita
{Supposonsquec1:::cdn'induisepasdeY-interpretationpourlesuxet0des. Celasigniequelesuxet0desestfacteurd'unmotck2Ypourunk2[1;d]. onobtient s=c1:::ci+j:c00;
ou(";";ck).Ainsionas=c1:::ck1ous=c1:::ck1:ckd'ous2Y. par(s;y1:::yn;p).Lelemme5.2.4assurequ'elleestidentiquea(";ck;"),(ck;";") Commet0=2F(X),onack2C.MaisalorsckadmetuneY-interpretationinduite s2Y:
Nousavonsdoncs2Ylorsques2S(C).
methodedecompletionsoitvalideilsutdoncdemontrerqueYestcomplet. L'interpretation(s;y1:::yn;p)estdoncquasi-triviale.LecodeYestdoncuncode dedelaid'interpretationd. L'ensembleYestuncodedem^emedelaid'interpretationqueX.Pourquela Ainsi,danstouslescas,nousavonss2Y.Dem^eme,onmontrequep2Y.
Proposition5.2.8LecodeYestcomplet.

98 Preuve.Nousallonsmontrerquepourtoutmotw2A,onat1wt22Y,cequi nouspermettradeconclure. mentt1wt22Y.Ilrestedoncaconsidererlecast1wt2=2X. Pourtoutmotw2A,sit1wt22Xalors,commeXY,nousavonsdirecte-
CHAPITRE5.MAXIMALITEETCOMPLETUDEDANSFdif
motsdeC,onpourraitsupposerquet1wt22C[C:X:C.Cen'estcependantpas laY-factorisationdet1wt2(ainsiqueledernier).C'estdanscetoptiquequenous toujourslecasetonestamenearechercherlepremiermotdeCapparaissantdans introduisonslesmotsx;y;uetvquisuivent. Enpremiereapproche,commet1estprexedesmotsdeCett2estsuxedes
((chevauchentpas))). soitylepluslongmottelquet2y2S(t1wt2),onposev=t1wt2(t2y)1. ":t12P(t1wt2),lemot"estdoncuncandidat).Posonsu=(xt1)1t1wt2.Dem^eme, Eneet,supposonsquejt1wt2jjxt1j+jt2yj(c'est-a-dirext1ett2ynese SoitxlepluslongmotdeXtelquext12P(t1wt2)(untelmotexistepuisque
motxt1admetunsuxequiestprexedet2y.Deplus,sijxt1j+jt2yjjt1wt2j+jt1j,d'oujxj+jyj>jwj+jt1j
jx0j+jy0j+2jzj>jx0j+jy0j+jzj+jt1j.Ainsi (pardenition,onajt1j=jt2j). doncjwj+2jt1j=jx0j+jy0j+jzj,d'oujx0j+jy0j+2jzj>jwj+3jt1jmenea ett2y=zy0,ondeduitjx0j+jy0j+2jzj>jwj+3jt1j.Oronat1wt2=x0zy0 x0;y02A.Commejxj+jyj>jwj+jt1j,onajxt1j+jyt2j>jwj+3jt1j.Dext1=x0z Soitz2S(xt1)\P(t2y)telquext1=x0z,t2y=zy0ett1wt2=x0zy0avec
plus,pardenitiondexety,ona2S(X)et2P(X)(cf.g.5.9). ett2estprexedez.Ilexistedonc2S(x),2P(y)telsquez=t1=t2.De Commext1=x0zett2y=zy0,laconditionjzj>jt1jassurequet1estsuxedez t12S()et2S(t1). Nousavonst1=t2,cequinousameneaenvisagerlesdeuxeventualites jzj>jt1j:
{Supposonsquet1estsuxede. Andemontrerquececasnepeutseproduirenousdevonsentrerplusprecisementdansladescriptiondesdierentsmotsintroduitsprecedemment.
Onay2X;soit(y1;:::;ym)laX-factorisationdey.

5.2.UNEMETHODEDECOMPLETION x0x
99
t2z t1
y1 Fig.5.9{Casoujxj+jyj>jwj+jt1j y
Fig.5.10{Decompositiondey=:y0 0ym0y00
y0 ym
Deplus,onay=:y0.Soientm02[1;m+1],02P(ym0)nfym0g(sim0=m+1, (cf.g.5.10) onpose0="),y002S(ym0)(dem^eme,sim0=m+1,onposey00=")telsque
estquasi-triviale,c'est-a-diret2X. Onat02Xd:XetXestdedelaid'interpretationd,donccetteinterpretation t2S(yf)nfyfgtelque(t;yf+1:::ym01;0)soituneX-interpretationdet0. Onat1=t2,comme2P(X)ett0=2F(X),lemotinduituneXinterpretationpourleprexet0det1.Plusprecisement,ilexistef2[1;m01],
=y1:::ym01:0ety0=y00:ym+1:::ym:
Nousavonst1y0=t:yf+1:::ym,donct1y02X(cf.g.5.11).
t t 1Fig.5.11{t1y02X.
{Supposonsqueestsuxedet1.Onat1=t2,doncilexisteu02S(t2)telque t1=u0:.D'apreslelemme5.2.3onau02X.Ainsi,commet1wt2=x0zy0= Enn,onat1wt2=x0:z:y0,donct1wt2=x0:t1:y0,ainsit1wt2=x:t1:y0appartient aX.Nousavonssupposet1wt2=2X,cecasnepeutdoncappara^tre.

veriantt1wt2=xt1r0t2y. 100contreditl'hypotheset1wt2=2X.
x0:t1:y0,onat1wt2=x0::u0::y0,donct1wt2=xu0y,soitt1wt22X.Cequi Onadoncjt1wt2j>jxt1j+jt2yj.Onat1wt2=xt1u=vt2y,soitr0l'uniquemot CHAPITRE5.MAXIMALITEETCOMPLETUDEDANSFdif
remarques,nousallonsmontrerquet1r0t22Y. jyj,onat1wt2=2Xett1r0t2=2X+t1A[At2X+.Commelelaissesuggererces {Supposonst1r0t2=2At2Xt1A.Gr^aceauxremarquesprecedentes,nouspouvons endeduirequet1r0t22Cetdoncquet1r0t22Y. Remarquonstoutd'abordquet1r0t2=2X,puisque,parmaximalitedejxjet
{Supposonst1r0t22At2Xt1A.Parconstruction,unprexedet2nepeut^etre suxedet1,onadoncr0t22At2Xt1A.Soitr0lepluscourtmottelquer02
(r0i)i>0tellesque jxj,onat1r0t2=2X+t1A.Enn,onar02r0t2Xt1A,donc,encoreunefoispar onat1r0t2=2At2Xt1A.Dem^emer0=2At2X+.Deplus,parmaximalitede maximalitedejxj,onar0=2X.Onadoncmontrequer02C. r0t2Xt1A.Montronsquet1r0t22C.Puisquelemotr0estdelongueurminimale,
{t1rit22t1r0it2Xt1ri+1t2 {jr0i+1j0et
At2Xt1A.Nousavonsvuplushautquecettederniereconditionimpliqueque rk2C.End'autrestermes,nousavons {t1rit22At2Xt1A
Nousobtenonsdonct1r0t22(CX)CY. Puisquelasuitedesjrij(i>0)decroit,ilexisteunentierk>1telquet1rkt22
t1wt22Y,onadoncw2F(X).L'ensembleYestdonccomplet. Ainsi,commet1wt2=xt1r0t2y,nousavonsmontrequepourtoutmotw,ona t1r0t22t1r0t2Xt1r01t2:::t1r0k1t2Xt1rkt2:
PourconclureilresteaprouverqueYrestetrescoupant. Proposition5.2.9LecodeYesttrescoupant. NousavonsdonccompletelecodeXenuncodecomplet,dem^emedelaiqueX.

t1t2t1t2=2F(Y).Nousavonsdoncmontrequet1t2t1t2estunmotdeYquin'estpas pardenitiondeC,onat1t2t1t2=2F(C).PuisqueY=X[C,onendeduitque exemple,t0=2F(X)estprexedet1.Nousavonst1t2t1t22At2Xt1A,donc, Preuve.Montronsquet1t2t1t22YnF(Y).Toutd'abord,lapreuveprecedenteassure quet1t22C.Nousavonsdonct1t2:t1t22Y.Deplust1t2t1t2=2F(X)puisque,par 5.2.UNEMETHODEDECOMPLETION 101
5.2.3Completiondescodescoupants facteurdemotsdeY.L'ensembleYestdonctrescoupant.
Theoreme5.2.10Soientd>1etXuncodedeF(d) toutcodeadelaid'interpretationnicoupantpeut^etreinclusdansuncodecoupant, maximal,dem^emedelai,ilresultedirectementdesresultatsprecedemmentetudies. Nousdonnonsdanscettesectionleresultatprincipaldecechapitre,asavoirque
Preuve.Ilsutderemarquerquel'ensembleYconstruitdanslaproposition5.1.3 esttrescoupant.Eneetpuisqueyestunfacteurdetetquey=2F(X),lemot peut^etreinclusdansuncodeY2F(d) SiXestrationnelalorsYpeut^etreconstruitdefaconacequ'ilsoitrationnel. difcoupantetmaximal. difnonmaximal.LecodeX
dansF(d) completeenunensembledeF(d) t22Yn'estpasfacteurd'unmotdeX.CommeY=X[ftg,onat2=2F(Y). completercedernierenunensembledeF(d) Ainsi,laproposition5.1.3assurequetoutensembleX2F(d)
EnnsiXestrationnel,ilestclairquel'ensembleconstruitparlaproposition5.1.3estrationnel(onajouteunseulelement).Deplusl'ensembleconstruit
coderationneldeF(d) dif. dif,rationneletcomplet,apartird'un Letheoreme5.1.2permetalorsdeconclurequel'ensembleconstruitestmaximal dif(etegalementdansFcode). diftrescoupant.Letheoreme5.2.2permetalorsde difcomplet. difcoupantpeut^etre
dansletheoreme5.2.2estobtenuenutilisantdesoperationspreservantlarationalite.OnpeutdoncconstruireuncodedansF(d)
dierentsdeAnepeuvent^etreinclusdansuncodenimaximal. Remarque5.2.1Lem^emeargumentquepourlescodescirculaires(cf.[BP85, p.328])permetdemontrerquelescodesnisadelaid'interpretationniquisont Noustermineronscettesectionparuneremarquesurlescodesnis.

102 CHAPITRE5.MAXIMALITEETCOMPLETUDEDANSFdif

103
Codessynchronisantsmaximaux Chapitre6
Introduction
lafamilledescodes. lenceentrelamaximalitedanslasous-familledescodessynchronisantsetcelledans Nousexplicitonsunemethodedecompletionpourcescodesetetablissonsl'equivatronsquetoutcodesynchronisantestinclusdansuncodesynchronisantmaximal.
Lamethodedecompletionpresenteeicis'inspiredesmethodesquionteteintroduitesauxchapitresprecedents.Cependantnousdonnionsenintroductionala
Nousetudionsdanscechapitrelescodessynchronisantsmaximaux.Nousmon-
ens'inspirantdelapremierevoieproposee[Bru98]. Lessectionssuivantessontdevoluesauxpreuves.Nousterminonspardeuxresultats legionslesecondnousallonsicimontrercommentcompleterlescodessynchronisants section5.2.2deuxchoixpossiblespourlacompletiondescodes.Alorsquenousprivi-
quisontdesconsequencesdirectesdel'existencedecettemethodedecompletion. Lapremieresectionpresentelamethodedecompletiondescodessynchronisants.

t0=yxyxetV=(t0A\At0)nAt0Xt0AnAt0X+nX+t0AnX: 6.1Completiondescodessynchronisants 104SoitXuncodesynchronisantet(x;y)unepairesynchronisantepourX.Posons
CHAPITRE6.CODESSYNCHRONISANTSMAXIMAUX
unlemmetechniqued'ordregeneral: estuncodesynchronisantmaximal. Avantd'etudierplusprecisementlastructuredel'ensembleY,nousetablissons Nousallonsmontrerque Y=X[V (6.1)
Lemme6.1.1SoientXuncodesynchronisantet(x1:::xk;y)unepairesynchronisantepourX,aveck>0,x1;:::;xk2Xety2X.
Sipourn;m>0,1;:::;n2X,1;:::;m2X,ona
danslesdeuxpartiesdel'equation6.2secorrespondentdeuxadeux. alorsm>n+k,i=ipour16i6netxj=n+jpour16j6k. Informellement,lelemme6.1.1assurequelesn+kpremiersmotsquiapparaissent 9u2A;1:::n:x1:::xk:y:u=1:::m (6.2)
telsqueyu=1:::q(cf.g.6.1). Preuvedulemme6.1.1.Ona1:::n:x1:::xk:y:u=1:::m,donccommela paire(x1:::xk;y)estsynchronisante,onayu2X.Soientq>0,1;:::;q2X
n
xky1 1 yk0mu
Ainsilemot1:::madmetdeuxfactorisations: Fig.6.1{yu=1:::q q
(1;:::;m)

et 6.2.L'ENSEMBLEVETF(X) CommeXestuncode,nousobtenonsm=n+k+qet i=i (1;:::;n;x1;:::;xk;1;:::;q): pour16i6n; 105
D'ouleresultat. clusdansl'ensembleA(cf.Remarque1.4.1)quiestuncodesynchronisantmaximal. Nouspouvonsdoncconsidererparlasuitequet06=". Sit0="alors(x;y)=(";")estunepairesynchronisante.LecodeXestdoncin-
xi=n+i i=n+k+ipour16i6q: pour16i6k;
Nousallonsmontrerquel'ensembleYestuncodesynchronisantmaximalen
etablissantqueYestuncode(Section6.3)etqu'ilestsynchronisantmaximal(Section6.4).Cependantnousavonsbesoinauparavantd'etudierlecomportementdes
sectionquisuit. motsqu'ona((ajoutes))aXrelativementauxfacteursdeX.C'estlebutdela 6.2L'ensembleVetF(X)
Preuve.Parl'absurde,supposonsqu'ilexiste2Vtelque2F(X). Lemme6.2.1LesmotsdeVnesontpasfacteursdeX. NouscommenconsparenonceruneproprietefondamentaledesmotsdeV:
jyxj).Posonsw=yxu1:(yx)1(cf.g.6.2),onaalors et=2X;ainsi2yxyx:A+\A+:yxyx.Ilexistedoncdeuxmotsu1;u22A+tels quePardenitiondeV,ona2yxyx:A\A:yxyx(nousrappelonsquet0=yxyx)
Ainsi,onayx:w:yx=2F(X).Autrementdit,ilexistew1;w22Atelsque Par(6.3),onayx2S(yxyxu1)et,plusprecisement,yx2S(yxu1)(carjyxu1j> =yx:yxu1=yx:(yxu1):(yx)1:yx=yx:w:yx: =yxyx:u1=u2:yxyx w1:yx:w:yx:w22X (6.4)

106 CHAPITRE6.CODESSYNCHRONISANTSMAXIMAUX
w1yxyx
u2 X w u1 yxyx
Onayx:w:yx=yx:yxu1doncw:yx=yxu1,d'ou,d'apres(6.4), Fig.6.2{Denitiondew. w2
Commelapaire(x;y)estsynchronisantepourX,onendeduitw1:yx2Xet (yxu1)w22X,soit(w:yx)w22X. yx:w:yx=u2yx:yxd'ouw1:yxw2Xetyxw22X. Lesmotsu1;u2etantdenisdefaconsymetrique,onmontreraitdem^emeque Puisquelesous-monodeXestlibre,ileststabledonclacondition w1:yx:(yxu1):w22X:
2V,ilvientdoncV\X6=;,cequiestencontradictionaveclaconstructionde impliquequew2X. V.Onnepeutdoncavoir2F(X),cequiterminelapreuve. Ainsi,comme=yx:w:yx,ona2X.D'autrepartnousavonssupposeque w1yx;yxw2;(w1yx):w;w:(yxw2)2X
6.3L'ensembleYestuncode
Proposition6.3.1L'ensembleY=X[Vdeniplushautestuncode. Lapremiereetapedenotreetudeconsisteaetablirleresultatsuivant:

6.3.L'ENSEMBLEYESTUNCODE Preuve.Soientn;m>1,1;:::;n2Y,1;:::;m2Ytelsque PourmontrerqueYestuncode,ilsutdemontrerqu'ona 1:::n=1:::m (6.5) 107
a(6.6). appartientaYnX=V.Comme(1;:::;n)et(1;:::;m)sontdeuxfactorisations quin'estpaselementdeX,c'est-a-direqu'ilexisteaumoinsunmotdel'ensemblequi Ilestclairquesif1;:::;n;1;:::;mgXalors,commeXestuncode,on Noussupposonsdoncqu'ilexisteaumoinsunmotdansf1;:::;n;1;:::;mg n=meti=ipouri2[1;n] (6.6)
dum^ememot,noussommesamenesaconsidererl'existenced'unmotdeYdans
factorisationsprecedentes. Propriete1IlexisteaumoinsunmotappartenantaVdanschacunesdesdeux l'uneoul'autredecesfactorisations. Enfait,nousallonsmontrerleresultatsuivant:
f1;:::;mgappartenantaV.Soitq,16q6m,telqueq2V. assurealorsquecettecongurationnepeutappara^tre. Supposonsf1;:::;ngX.Parhypothese,ilexisteaumoinsunmotdans Commef1;:::;ngX,par(6.5),onobtientq2F(X).Lelemme6.2.1 Nousavonsdoncf1;:::;ng\V6=;etf1;:::;mg\V6=;.Nousposons Defaconsymetrique,onaf1;:::;mg\V6=;. k0=minfjjj2Vg k=minfiji2Vg
Propriete2Onak=k0eti=ipour16i

possibilite. P(1:::k01yxyx)etdonck2F(X).Lelemme6.2.1permetdoncd'ecartercette 108Sij1:::kj6j1:::k01yxyxjalors,d'apresl'equation(6.5),ona1:::k2
Deplus,pardenitiondeVt0A,lemott0=yxyxestprexedek0. CHAPITRE6.CODESSYNCHRONISANTSMAXIMAUX
suppose1:::k12P(1:::k01),ilvientdonc Onadonc ToujourspardenitiondeV,t0=yxyxestprexedeketk.Nousavons j1:::k1j

l'ensembleXestuncode,onobtient 6.3.L'ENSEMBLEYESTUNCODE k0,onai2Xpourtouti2[1;k[etj2Xpourtoutj2[1;k0[.Ainsi,comme D'apresl'hypothese(6.5),ona1:::k1=1:::k01.Pardenitiondeket k=k0eti=ipour16i

montrequek=k. 110Nousallonsmontrerquecettecongurationnepeutappara^tre;onauraalors
Nousmontronstoutd'abordquej2Xpourk

6.3.L'ENSEMBLEYESTUNCODE k 111
y u0 xyyxxuy k+1:::hpv x
Fig.6.4{Casjkj6jkjjyxj X
Deplus,commet0uyxv=u0yxyxv,onat0u=u0yxsoit
2.Supposonsmaintenantjkjjkj

112Onajkjjkj

6.4.LECODEYESTMAXIMALETSYNCHRONISANT resultatsuivant: 6.4LecodeYestmaximaletsynchronisant AndeprouverqueYestbienl'ensemblerecherche,ilnousresteamontrerle 113
Proposition6.4.1LecodeYestmaximaletsynchronisant. Preuve.Nousallonsmontrerquet0A\At0Y.
At0X+[X+t0A[Xalors,pardenitiondeY,onaw2Y,doncw2Y. m6netmontronsqu'alorsonat0An+1\An+1t0Y. rappelonsqueXY). Soitw2Atelquew2t0An+1\An+1t0.Ilestclairquesiw=2At0Xt0A[ Supposons,quepourunentiern>0,onaitt0Am\Amt0Ypourtoutentier Nousprocedonsparrecurrence.Pardenitiondet0,ilestclairquet0Y(nous
{Siw2Xalors,pardenitiondeY,onaw2Y. {Siw2X+t0Aalorsilexistew02t0Atelquew2X+w0.Commew2At0 etjw0j>jt0j,onadeplusw02At0.Parhypothesederecurrence,onobtient w02Yetdoncw2Y. Supposonsmaintenantquew2At0Xt0A[At0X+[X+t0A[X.
{Enn,siw2At0Xt0Aalorsilexistedeuxmotsw02At0etw002t0Atels {Dem^eme,siw2At0X+alorsw2Y.
quelecodeYestmaximaletsynchronisant. quew2w0Xw00.Onaw2At0etjw00j>jt0jdoncw002At0.Deplus,ona obtientw0;w002Yetdoncw2Y. w2t0Aetjw0j>jt0jdoncw02t0A.Ainsi,parhypothesederecurrence,on Ainsionat0A\At0Y,d'out0At0Y.Latheoreme4.1.5assuredonc
6.5Codessynchronisantsmaximaux
codeYsynchronisantetmaximalcontenantX.Deplus,parconstruction,siXest Nousvenonsdoncdemontrerdanslesdeuxsectionsprecedentesl'existenced'un

nisantmaximalY.DeplussiXestuncoderationnel,lamethodedecompletion Theoreme6.5.1ToutcodesynchronisantXpeut^etreinclusdansuncodesynchro-
rationnelalorsYestrationnel: 114 CHAPITRE6.CODESSYNCHRONISANTSMAXIMAUX
garantitlarationalitedeY.
sontalorsequivalentes: deuxnotions: Proposition6.5.2SoitXuncodesynchronisant.Lesdeuxproprietessuivantes FcodeoudansFsync.Enfaitlapropositionsuivanteetablitl'equivalenceentreces Nousn'avonspasprecisedansletheoremeprecedentsiYetaitmaximaldans
Preuve.IlestclairquetoutcodemaximaldansFcodeestmaximaldansFsync. (ii)XestmaximaldansFsync. (i)XestmaximaldansFcode.
Xnepeutdoncpas^etremaximaldansFsync. Letheoreme6.5.1assurequeYestuncodemaximaldansFcodeetsynchronisant. CommeXn'estpasmaximaldansFcode,onaX6=YetpourtantXY.Lecode XmaximaldansFsyncetnonmaximaldansFcode.SoitYl'ensembledenien(6.1). Montronsquelareciproqueestegalementveriee.Supposonsqu'ilexisteuncode
Remarque6.5.1Nousavonsvuquequelescodescirculairesnisnepeuvent^etre nisant(parexemplelapaire(a;b)estsynchronisante)etilestinclusdanslecode codessynchronisants.Eneetl'ensemblefa;b;acbg([RSS89])estuncodesynchro-
inclusdansdescodescirculaires,maximauxetnis.Cen'estpluslecaspourles
unepairesynchronisante)etc'estpourtantlepluspetitensemblenonnimentcompletableconnu.
fa;b;acb;ca;cc;bcb;cbcb;cacb;cccbgquiestmaximaletsynchronisant.Cependant mal.Eneetl'ensemblefa5;ba2;ab;bgestsynchronisant(parexemple,(b2;b)est toutcodesynchronisantnin'estpasnecessairementinclusdansuncodenimaxi-

115
Codesdensesmaximaux Chapitre7
Introduction
qu'onserestreintalafamilledescodescoupantsetqu'alors,danslessous-familles consisteaexaminersiuncodeestinclusdansuncodemaximal.Plusprecisement, soitFunesous-familledecodes.EtantdonneuncodeXdeF,leproblemeconsiste dansF,maisaussimaximaldanslafamilledescodesengeneral.Ceciestd^uaufait lesreponsesaceproblememenentacejourauncodeYmaximal,nonseulement aconstruireuncodeY2FcontenantXettelqueYsoitmaximaldansF.Toutes Nousavonsvuauchapitre4qu'unproblemeclassiqueentheoriedescodes
construireuncodecomplet. descodes.Depluslesmethodesdecompletionencodesmaximauxreviennenta decodesetudiees,uncodemaximaldanslasous-familleestmaximaldanslafamille
pasmaximalalorsqu'ilestdensedonccomplet.Cetteequivalenceetaitlaclefde vo^utedesdemonstrationssurlescodesmaximauxcoupants,ensonabsencel'etude desproprietesmathematiquesetcombinatoiresdescodesdensesserevelebeaucoup surtoutdanslefaitquel'equivalenceentrelamaximaliteetlacompletuded'uncode n'estplusveriee.Nousavonsvu,parexemple,quelecodedeDyckrestreintn'est lalitteraturequetrespeuderesultatsrelatifsacettefamille.Ladicultereside Nousnousinteressonsdanscechapitreauxcodesdenses.Onnetrouvedans
plusardue.Etpourtantlaplupartdessous-famillesdecodesdejapresenteesont

uneintersectionnonvideaveclafamilledescodesdenses. 116 sejustieparlefaitque,contrairementauxautressous-familles,toutcodebixe bixedansuncodebixedensemaximal.Lechoixdelafamilledescodesbixes Lebutdelapremieresectionestdemontrercommentonpeutinclureuncode CHAPITRE7.CODESDENSESMAXIMAUX
codebixecoupantnonmaximal,deconstruireuncodebixedensemaximaldans lasous-familleestequivalenta^etremaximaldansFcode.Cen'estpluslecasdansla coupantnepeut^etreinclusdansuncodebixecoupantmaximal[BP99].
lafamilledescodesbixesmaisnonmaximaldanslafamilledescodes. connus.Lamethodedecompletionquenousproposonspermet,etantdonneun familledescodesbixesdenses.Cependanttrespeud'exemplesetaientjusqu'alors Deplus,nousavonsvuque,pourlescodescoupantsetudies,^etremaximaldans
n'yapasd'equivalenceentrelesdeuxnotionsdemaximalite.Encequiconcerne lescodescirculaires,laquestionrestaitouverte.Nousdonnonsdansladeuxieme developpeepourlesfamillesdescodesprexesetdescodessuxes. sectionunexempledecodecirculairemaximaldansFcircetnonmaximaldans Lorsquelasous-familleconsidereeestcelledescodesbixesdenses,onsaitqu'il Nousmontronsegalementqu'unemethodedecompletionsimilairepeut^etre
Fcode,repondantencelaaunequestiondeA.RestivoetA.DeLuca[dLR80]. 7.1Codesprexes,suxesetbixesmaximaux
Lemme7.1.1SoitXAetsoituunmotquin'estpasS-comparable(resp. simplierlesdemonstrations: aconsidererdesmotsPouS-comparables.Lelemmesuivantnouspermettrade P-comparable)aveclesmotsdeX.Alors,pourtoutv,v:u(resp.u:v)n'estpas Cettesectiontraitedecodesprexes,suxesetbixes.Nousseronsdoncamenes
nonP-comparableaveclesmotsdeX. Preuve.Nousraisonnonspasl'absurde:soitx2Xetsupposonsquev:uestScomparableax.OnaAvu\Ax6=;,d'ouAu\Ax6=;,cequicontreditlefait
S-comparable(resp.P-comparable)aveclesmotsdeX. queun'estpascomparableax.Lem^emeraisonnementpermetdeconclurepouru

7.1.CODESPREFIXES,SUFFIXESETBIFIXESMAXIMAUX 7.1.1Codesbixesmaximauxdenses FbifetnonmaximauxdansFcode: En[BP85,p.145],ilestmontrequ'ilexistedescodesbixes,maximauxdans 117
Exemple4.3.1(suite)SoientA=fa;bget
estuncodebixe,maximaldansFbif,maisnonmaximaldansFsu(etdoncnon
L'ensembleXestsuxemaispasprexe.DeplusXestuncodedensemaximal. maximaldansFcode). X=wabjwjjw2A U=XnXA+ :
dansFbif,nonmaximaldansFprefetnonmaximaldansFsu.Ilexistealorsu;v2 dansFbif.Maintenant,supposons,parl'absurde,queXestuncodebixemaximal Remarque7.1.1PourtoutcodebixeX,lesdeuxproprietessuivantessontequivalentes:
AnXtelsqueX[fugsoitprexeetX[fvgsoitsuxe.Ainsi,uv=2XetX[fuvg estprexeetsuxe.Cequicontreditl'hypotheseXestuncodebixemaximaldans (ii)XestmaximaldansFsuoumaximaldansFpref. (i)XestmaximaldansFbif. Enfait,siXestmaximaldansFsu(oudansFpref),ilestclairqu'ilestmaximal
l'ensembleobtenuestdoncdense). codemaximaldansFbifmaisnonmaximaldansFcode(enregarddutheoreme4.4.1, tiondel'exempleprecedentand'incluretoutensemblebixe,nonmaximaldansun
Nousallonsmontrerletheoremesuivant: Lebutdecettesectionestdemontrerqu'ilestpossibledegeneraliserlaconstruc-
Fcode. completionquipermetd'obteniruncodemaximaldansFbifetnonmaximaldans Theoreme7.1.2Toutcodebixenonmaximalpeut^etreinclusdansuncodemaximaldansFbif,nonmaximaldansFcode.
Nousallonsdemontrerletheoreme7.1.2endonnantexplicitementlamethodede

lelemmesuivant: preservelasuxitedel'ensemblededepart.L'existenced'untelmotestetabliepar 118Notremethodedecompletionreposesurl'existenced'unmotsansbordqui
CHAPITRE7.CODESDENSESMAXIMAUX
soitsuxe.Siy0estsansbordalorsnousobtenonsleresultatenposanty0=y0. Lemme7.1.3SoitXuncodebixe,nonmaximal.Ilexisteunmotsansbordy0 telqueX[fy0gsoitsuxe. queXn'estpasmaximaldansFsu.Ilexistedoncy02AnXtelqueX[fy0g Preuve.SoitXuncodebixenonmaximaldansFcode.Laremarque7.1.1assure
lesmotsdeX,v0:y0n'estpasS-comparableaveclesmotsdeX,ainsiX[fv0:y0g v0y0soitsansbord.D'apreslelemme7.1.1,commey0n'estpasS-comparableavec estsuxe.Onobtientdoncleresultatenposanty0=v0y0. dey0telqu'onaitleresultat. Supposonsquey0aitdesbords.D'apreslaproposition1.2.1,ilexistev0telque Montronsque,siy0admetunbord,alorsonpeutconstruireunmoty0apartir
suxesetprexes,c'est-a-dire bordtelqueX[fy0gsoitsuxe. SoitCl'ensembledesmotscomparablesaveclesmotsdeXpourlesordres Danslasuite,nousconsideronsXuncodebixe,nonmaximalety0unmotsans
y0.Soit(Un)n>0lasuitedeniepar: Soita;bdeuxlettresdistinctestellesqueaestdierentedeladernierelettrede Pourprouverletheoreme7.1.2,nousutiliseronslaconstructionsuivante: C=XA[AX[XA[AX:
Ennposons Un=Un1[ubajujy0ju2An;Un1\P(ub)=; U0=;;
U=[n>0UnetZ=U[X: nC;n>1:

Proposition7.1.4L'ensembleZestbixe. 7.1.CODESPREFIXES,SUFFIXESETBIFIXESMAXIMAUX Nousprouvonstoutd'abordlapropositionsuivante: 119
generalitequejxj>jyj. Preuve.Soientx;ydeuxmotsdistinctsdeZ.Nouspouvonssupposersanspertede (i)Nousmontronstoutd'abordqueZestsuxe,c'est-a-direy=2S(x).Comme Z=X[U,nousraisonnonsselonquexetyappartiennentaXouaU.
{Dem^eme,six2Uety2Xalorsy=2S(x). {Ilestclairquesix;y2X,alors,puisqueXestsuxe,onay=2S(x).
{Supposonsx;y2U.PardenitiondeU,ilexisteu1;u2telsque {Supposonsx2Xety2U.PardenitiondeU,onay=2CorCcontient pardenitionl'ensembledesmotsS-comparablesavecunmotdeX.Les motsxetynesontdoncpasS-comparables.Onadoncy=2S(x).
Commeonasupposejyj

120{Supposonsx2Xety2U.PardenitiondeU,onay=2C.Commex2X,
{Unraisonnementsimilairepourlecasx2Uety2Xmeneay=2P(x). lesmotsxetynesontdoncpasP-comparables.Ainsi,onay=2P(x). CHAPITRE7.CODESDENSESMAXIMAUX
{Supposonsx;y2U.PardenitiondeU,ilexisteu1;u2telsque Commejyj

comparableaveclesmotsdeZpourlesordresprexeetsuxe. 7.1.CODESPREFIXES,SUFFIXESETBIFIXESMAXIMAUX desmotsPouS-comparablesaunmotdeX).Deplus,commeUZ,lemotw Supposonsdoncquew=2ZA[AZ[ZA+[A+Z,c'est-a-direwn'estpas Remarquonsque,commeXZ,onaw=2C(onrappellequeCestl'ensemble 121
Enn,onaw:b=2Ujwj1,puisquesinononauraitw2P(Ujwj1)etonavuque auxmotsdeUjwj1etona:Ujwj1\P(w)=;: n'estpasP-comparableauxmotsdeU.
w:b=2Ujwj1,onobtientdoncUjwj1\P(w:b)=;: wn'estpasP-comparableauxmotsdeUjwj1.AinsionaUjwj1\P(w)=;et Ona,pardenitiondeU,Ujwj1U,lemotwn'estdoncpasP-comparable
{Siz2AX[AXalors,commey0estsuxedez,lemoty0estS-comparable {Siz2XA[XAalors,puisquewestprexedez,westP-comparableavecles avecunmotdeX.L'ensembleX[fy0gn'estdoncpassuxe,cequicontredit motsdeX.Cequicontreditw=2C. Montronstoutd'abordquez=2C. Posonsz=wbajwjy0etmontronsquez2Ujwj.
z=wbajwjy0,d'oupardenitiondeUjwj,onobtientz2Ujwj. doncavoirw=2ZA[AZ[ZA+[A+Z. ladenitiondey0.
doncmaximaldansFbif. Onadoncz=2C.Deplus,nousavonsvuqueUjwj1\P(w:b)=;.Onapose Cecicontreditlefaitquewn'estpasP-comparableauxmotsdeU.Onnepeut Ainsi,pourtoutmotw=2Z,onaw2ZA[AZ[ZA+[A+Z,lecodeZest
Proposition7.1.6L'ensembleZn'estpasmaximaldansFcode. And'etablirletheoreme7.1.2,ilnousresteamontrerlapropositionsuivante:
uncodemaximal. aby0=2X.Onadoncby0=2Z. nousavonsdoncby0=2U.Deplus,y0n'etantpasS-comparableauxmotsdeX,on Preuve.Consideronslemotb:y0.Pardenition,a:y0estsuxedetoutmotdeU, MontronsqueZ[fb:y0gestsuxe,cequisurapourarmerqueZn'estpas

lemme7.1.1assurequeby0n'estpasS-comparableauxmotsdeX. 122 telquew2Un.ParconstructiondeUn,lesuxedewdelongueurjby0jestay0, commea6=b,onaby0=2S(w).Ainsiby0=2S(U). Deplus,supposonsqueb:y0estsuxed'unmotw2U.Alorsilexisten>0 Toutd'abord,commelemoty0n'estpasS-comparableaveclesmotsdeX,le CHAPITRE7.CODESDENSESMAXIMAUX
ajb:y0j,lesmotsdeUnepeuvent-^etresuxedeb:y0.Lemotby0n'estdoncpas S-comparableauxmotsdeU. motsdeU,lemotby0n'estdoncpasS-comparableauxmotsdeZ. Enncomme,pardenitiondeU,toutmotdeUestdelongueursuperieure
Nousavonsdoncconstruit,apartird'uncodebixe,nonmaximalX,uncode pasuncodemaximaldansFsu,cequiimpliquequeZn'estpasuncodemaximal. Onamontrequeby0n'estniS-comparableauxmotsdeX,niS-comparableaux
YmaximaldansFbif,nonmaximaldansFcode.Nousavonsdoncdemontrele theoreme7.1.2. Ainsi,onab:y0=2ZetZ[fby0gestunensemblesuxe.LecodeZn'estdonc
Fsu,letheoreme4.4.1assurequeZestuncodedense(d'ouletitredecettesection). Remarque7.1.2PuisqueZestuncodemaximaldansFbifetnonmaximaldans 7.1.2Codesprexesmaximauxdenses unlemmesimilaireaulemme7.1.3.Remarquonsqu'aladierencedescodesbixes, Lemme7.1.7Ilexisteunmotsansbordy1dansAnF(X)telqueX[fy1gsoit notreconstructionnecessiteunmotquin'estpasfacteurdemotsdeX. Unresultatsimilairepeut^etreobtenupourlescodesprexes.
uncodeprexe. SoitXuncodeprexe,coupantetnonmaximal.Nouscommenconsparetablir
Fpref(cf.Theoreme4.4.1).Ilexistedoncunmoty3telqueX[fy3gsoitprexe. n'estpascomplet.Ainsi,l'ensembleAnF(X)estnonvide;soity22AnF(X). Preuve.LecodeXestcoupant,nonmaximal,letheoreme4.1.1assuredoncqueX Autrementdity32An(XA[XA). L'ensembleXestprexe,coupantetnon-maximal,ilestdoncnonmaximaldans

estprexe. 7.1.CODESPREFIXES,SUFFIXESETBIFIXESMAXIMAUX concluonsquey3y2vn'estpasP-comparableauxmotsdeX:l'ensembleX[fy3y2vg Puisquey2=2F(X),onay3y2v2AnF(X). Laproposition1.2.1assurealorsqu'ilexistev2Atelquey3y2vsoitsansbord. Enn,y3n'estpasP-comparableauxmotsdeX.Parlelemme7.1.1nous 123
soitprexe. Ainsi,lemoty1=y3y2vsatisfaitlesconditionsdulemme. Nousconsideronsdanslasuitey1unmotsansborddeAnF(X)telqueX[fy1g Posons CP=XA[XA:
dey1. Soienta;bdeuxlettresdistinctestellesqueaestdierentedeladernierelettre Nousconsideronslasuite(Vn)n>0deniecommesuit:
Posons Vn=Vn1[vbajvjy1jv2An;Vn1\P(vb)=; V0=;; V=[n>0VnetY=V[X: nCP;n>1:
suivante: Lemme7.1.8L'ensembleVestsuxe. Nousavonsconstruitl'ensembleVdefaconacequ'ilsatisfasselapropriete
Preuve.Nousraisonnonsparl'absurde.Supposonsqu'ilexistex;y2Vtelsque Puisquex6=yety2S(x),onajxj>jyjdoncjvj>jv0j. x6=yety2S(x). PardenitiondeV,ilexistev;v02Atelsquex=vbajvjy1ety=v0bajv0jy1. Commey2S(x),ilexisteu2A+telquex=uy.Nousobtenonsdonc Ainsivbajvjjv0j=uv0b.D'oua=b,cequicontreditl'hypothesea6=b. vbajvjy1=u:v0bajv0jy1:

124 V:l'ensembleVestsuxe. Nousavonsdoncmontrequ'unmotdeVnepeut^etresuxed'unautremotde CHAPITRE7.CODESDENSESMAXIMAUX
maximaldansFcode. Theoreme7.1.9L'ensembleYestuncodeprexe,maximaldansFprefetnon Noussommesmaintenantpr^etsaetablirleresultatprincipaldecettesection:
1.Nousmontronstoutd'abordqueYestprexe.Ilestclairque"=2Y(puisque Preuve.Lapreuves'eectueentroisetapes,unepourchaqueproprieteverieepar l'ensembleY. generalitequejxj>jyj.PourmontrerqueYestprexenousdevonsdoncmontrer quey=2P(x). CommeY=X[V,nousraisonnonsselonquexetyappartiennentaXouaV. "2CP).Soientx;y2Ytelsquex6=y.Nouspouvonssupposersanspertede {CommeXestprexe,ilestclairquesix;y2Xalorsy=2P(x). {Supposonsx2Xety2V.PardenitiondeV,onay=2CP.Onadonc {Supposonsx;y2V.PardenitiondeV,ilexistev1;v22Atelsque {Dem^eme,six2Vety2Xalorsonax=2XA+etdoncy=2P(x). y=2XA,d'ouy=2P(x).
Puisquenousavonssupposejxj>jyj,onajv1j>jv2j. tionv2bajv2jy12P(v1bajv1jy1)impliquev2bajv2jy12P(v1bajv1j).Commeaest dierentedeladernierelettredey1,onobtient Parl'absurde,supposonsquey2P(x).Puisquey1estsansbord,lacondi-
x=v1bajv1jy1ety=v2bajv2jy1:
2.NousprouvonsmaintenantqueYestmaximaldansFpref. Nousavonsdoncy=2P(x),ainsiYestprexe. doncy2Vjv1j1\P(v1b),cequicontreditx2Vjv1j. Enn,onajyj0,onay2Vjv1j1.Ona y=v2bajv2jy12P(v1b):
cefaire,ilsutdemontrerquew2YA[YA+. Soitw2AnY.NousallonsmontrerqueY[fwgn'estpasuncodeprexe.Pour

7.1.CODESPREFIXES,SUFFIXESETBIFIXESMAXIMAUX d'ouwb=2YA.Depluscomme,w=2YA,onawb=2YA.Ainsi lonsqueCP=XA[XA).Onaw=2YA,doncwb=2YA+,deplusw=2YA w=2YA[YA. Remarquonsque,puisqueXY,cettehypotheseimpliquew=2CP(nousrappe-
Parl'absurde,supposonsquew=2YA[YA+,c'est-a-direpuisquew=2Y, 125
motsdeX.Cecicontreditw=2Cp. Supposonsz2CP.Commewestprexedez,afortioriwestP-comparableaux demontrerquez=2CPpuisquenousavonsdejaetabliqueVjwj1\P(wb)=;. Soitz=wbajwjy1.Nousallonsmontrerquez2Vjwj.PardenitiondeV,ilsut Onawb=2YA[YAdonc,puisqueVjwj1Y,ilvientVjwj1\P(wb)=;. wb=2CP:
3.IlresteamontrerqueYn'estpasmaximaldansFcode. maximaldansFpref. PardenitiondeY,ilestclairqueby1=2Y(rappelonsqueS(V)Aay1). Ainsi,pourtoutmotw2AnY,onaw2YA[YA+,l'ensembleYestdonc contreditw=2YA[YA+. Nousavonsdoncz2Vjwj.OnaVYetwestprexedezdoncw2YA,ceci
maximal. Soientn;m>1,z1;:::;zn2Y[fby1g,z01;:::;z0m2Y[fby1gtelsque Nousdevonsdoncmontrerqu'ona: NousallonsmontrerqueY[fby1gestuncode,cequiprouveraqueYn'estpas
n=m;zi=z0ipouri2[1;n]: z1:::zn=z01:::z0m (7.1)
Parconsequentsupposonsqu'ilexisteunmotdans alors,commeXestuncode,lacondition(7.2)estsatisfaite. Ilestclairquesi fz1;:::;zn;z01;:::;z0mgX (7.2)
(a)Supposonstoutd'abordquefz1;:::;zng2X.Parhypothese,ilexisteunmot membresgaucheetdroitdel'equation(7.1). quiappartiennea(Y[fby1g)nX=V[fby1g.Nousraisonnonsparrapportaux dansfz01;:::;z0mgappartenantaV[fby1g.Soitk0unentiertelquez0k02 V[fby1g.ParconstructiondeV,lemoty1estsuxedez0k0.De(7.1),on
appara^tre. deduitquez0k02F(X).Maisy1appartientaAnF(X),cecasnepeutdonc

126 (b)Ilestclairquelecasfz01;:::;z0mg2Xamenelam^emecontradiction. (c)Parconsequent,nousavons fz1;:::;zng\(V[fby1g)6=;etfz01;:::;z0mg\(V[fby1g)6=;: CHAPITRE7.CODESDENSESMAXIMAUX
et Soient(cf.g.7.3)k=maxfijzi2V[fby1gg k0=maxjjz0j2V[fby1g z0k0 zkX
X :
Nouspouvonssupposersanspertedegeneraliteque Fig.7.3{Denitiondeketk0.
fby1g,onadoncy1zk+1:::zn2S(z0k0+1:::z0m).Commez0k0+1;:::;z0m2X,on Nousallonstoutd'abordmontrerquejz0k0+1:::z0mj

7.1.CODESPREFIXES,SUFFIXESETBIFIXESMAXIMAUX u zky1
zk+1 127
vy1
ii.Supposonsjz0k0+1:::z0mj=jzk+1:::znj.Par(7.1),celaimplique Fig.7.4{zk2F(z0k0) z0k0+1
toutmotdeV,lemotb:y1n'estdoncpassuxedemotsdeV.Deplus, enconsiderantleslongueursdesmotsdeV,ilestclairqu'ilsnepeuvent Acestadedelademonstration,ilestutilederemarquerqueV[fb:y1g estuncodesuxe.Eneet,parconstruction,lemota:y1estsuxede D'apres(7.3)onajz0k0:::z0mj>jzk:::znj,ilvientdonczk2S(z0k0). z0k0+1:::z0m=zk+1:::zn:
^etresuxesdeby1.Enn,commelelemme7.1.8assurequeVestsuxe, Parconsequent,commezk;z0k02V,laconditionzk2S(z0k0)assurequezk= X,l'hypothese\Xestuncode"implique z0k0.Ainsi,commepardenitiondeketk0onazk+1;:::;zn;zk0+1;:::;z0m2 l'ensembleV[fb:y1gestsuxe.
iii.Pourterminer,noussupposonsquejzk+1:::znj

128Parconsequent,leseulcasquipeutappara^treconduital'equation(7.4).Nous
Eniterantlam^emeargumentationqueprecedemment,onobtientn=met sommesdoncamenesatravaillersurl'equation z1:::zk1=z01:::z0k01: CHAPITRE7.CODESDENSESMAXIMAUX
Ceciconclutlapreuve. suxe,maximaldansFsu,nonmaximaldansFcodeapartird'unensemblesuxe, coupant,nonmaximal: Ilestclairqu'uneconstructionsymetriquepermetdeconstruireunensemble zi=z0ipour16i6n.
dansFcode. inclusdansuncodemaximaldansFpref(resp.maximaldansFsu),nonmaximal Theoreme7.1.10Toutcodeprexe(resp.suxe)coupant,nonmaximalpeut^etre
aunequestiondeA.DeLucaetA.Restivo[dLR80]:((Existe-t-iluncodetrespur quisoitmaximalentantquecodetrespuretnonmaximalentantquecode?)) 7.2Codescirculairesmaximauxdenses Fcircmaisquin'estpasmaximaldansFcode.Cetexempleconstitueunereponse Soitu2A,nousposons:Lab(u)=b(ab)+u; Nousdonnonsdanscettesectionunexempledecodecirculaire,maximaldans
etnousdenotonsparExtendab(u)l'ensemble onpose L'objectifdecettesectionestl'etudedel'ensembleUdenicommesuit: Extendab(u)=LRab(u)[Lab(u)[Rab(u)[fug: LRab(u)=b(ab)+u(ab)+a: Rab(u)=u(ab)+a;
Un=Un1[ U1=fabg; b(ab)nu(ab)naju2bAa\An;Extendab(u)\Un1=; ;n>2:

7.2.CODESCIRCULAIRESMAXIMAUXDENSES et IlestclairqueUnU16=;.Eneetlemotb(ab)2ba(ab)2an'estpasfacteurde U=[n>1Un: 129
(ab),onadoncb(ab)2ba(ab)2a2U2.
nonmaximaldansFcode. Theoreme7.2.1L'ensembleUestuncodecirculaire,maximaldansFcircmais tionprecedente: NousallonsmontrerqueUpermetd'apporterunereponsearmativealaques-
queUestuncodebixequin'estpasmaximaldansFbif.OnendeduiraqueU n'estpasmaximaldansFcode.NousmontreronsensuitequeUestuncodecirculaire pourennmontrerqueUestmaximaldansFcirc. Lapreuvedeceresultatestrealiseeentroisetapes.Nousmontronstoutd'abord
7.2.1Un'estpasuncodemaximal deUentantquecodesuivradirectement.Endernierlieu,nousmontronsunlemme quisereveleratresutilepourlespreuvesapparaissantdanslessectionssuivantes. Lemme7.2.2L'ensembleUestbixe. NousmontronsdanscettesectionqueUestuncodebixe.Lanonmaximalite
etantprexedetoutmotdeUn,n>2). Preuve.Nousmontronstoutd'abordqueUestuncodeprexe.
y2P(x),x6=y.Plusprecisement,soientu;v2Aetn;m>2telsquen=juj, U1=fabg). Nousraisonnonsparl'absurde.Supposonsqu'ilexistex;y2UnU1telsque IlrestedoncamontrerqueUnU1estuncodeprexe(nousrappelonsque PardenitiondeU,lemotabn'estprexed'aucunautremotdeU(lalettreb
m=jvj, x=b(ab)nu(ab)naety=b(ab)mv(ab)ma:

doncn>m. P(x).Deplusonab(ab)n2P(x),donc,commen>m,onobtientb(ab)mb2 130Commev2bA,onab(ab)mb2P(y),d'ou,puisquey2P(x),onab(ab)mb2
Nousavonsx6=yety2P(x),d'oujxj>jyj,c'estadire5n+2>5m+2.Ona CHAPITRE7.CODESDENSESMAXIMAUX
P(b(ab)n).Cequicontreditlefaitquebbn'estpasfacteurdeb(ab)n. Ainsil'ensembleUestuncodeprexe.
Corollaire7.2.3L'ensembleUn'estpasmaximaldansFcode. estegalementuncodesuxe.L'ensembleUestdoncuncodebixe. Noustenonsdonclapremierepartiedutheoreme7.2.1: UnraisonnementsimilairesurlesmotsmiroirsdeU,permetdemontrerqueU
Lelemmesuivant(cf.g.7.6),quelquepeutechnique,nousserad'unegrande L'ensembleUn'estpasmaximaldansFbif,ilnepeutdonc^etremaximaldansFcode. utilitedanslapreuvedulemme7.2.6. Preuve.PardenitiondeU,ilestclairqueU[fbbgdemeureunensemblebixe.
bab abab
uw x
abab yab
a
b
Fig.7.6{Lemme7.2.4 a
Lemme7.2.4Soientx;y2UnU1etu;v2bAatelsquex=b(ab)juju(ab)jujaet y=b(ab)jvjv(ab)jvja.Soitwunprexepropredeysatisfaisantlesdeuxconditions Alorsonaw=b(ab)jvjv. suivantes: (ii)yetw:(ab)jujasontP-comparables. (i)w2S(u).

2.Ensuitenousmontronsqueb(ab)jvjv2P(w). 1.Nousmontronstoutd'abordquew2P(b(ab)jvjv). 7.2.CODESCIRCULAIRESMAXIMAUXDENSES Preuve.Notrepreuvetientendeuxparties: 131
1.Commenousl'avonsannonceplushaut,nousallonsmontrerquew2P(b(ab)jvjv). Pardenitiondeu,lalettreaestsuxedeu,ainsi,commew2S(u),lalettrea estsuxedew. Lesmotsyetw:(ab)jujasontP-comparables,nousallonsdoncetudierlesdeux Laconclusionsuivraalorsdirectement.
casy2P(w:(ab)juja)etw:(ab)juja2P(y).Nousallonsmonterquedanslesdeux cas,nousavonsw:ab2P(y). {Supposonsy2P(w:(ab)juja)(g7.7). buw
a
Fig.7.7{Lemme7.2.4,y2P(w:(ab)juja) aabbabvy
a
b
aba
{Siw:(ab)juja2P(y)alors,commepardenitiononajuj>1,ilestclairque y2P(w:(ab)juja),lemotwaestprexedey.Nousavonsvuqueaestsuxe Lemotwestunprexepropredey,donccommenoussommesdanslecasou dew,doncaaestsuxedewa.Puisque,pardenitiondey,aan'estpas suxedey,lemotwaestprexepropredey.Oronay2P(w:(ab)juja),on endeduitdoncquew:ab2P(y).
2.Nousallonsmaintenantmontrerquenousavonsdanschaquecasb(ab)jvjv2P(w). prexedeb(ab)jvj:v:ab(nousrappelonsquey=b(ab)jvj:v(ab)jvja).C'estadirew estprexedeb(ab)jvjv. Nousavonsdoncw:ab2P(y).Deplus,commeaestsuxedew,lemotaabest suxedew:ab.Ainsi,commeaabn'estpasfacteurde(ab)jvja,lemotw:abest
Encoreunefois,nousraisonnonsselonlescasy2P(w:(ab)juja)etw:(ab)juja2 P(y). {Supposonsy2P(w:(ab)juja).

132impliqueb:(ab)jvj:v:a2P(w:a),c'est-a-direb:(ab)jvj:v2P(w).
Commeaan'estpasfacteurde(ab)juja,laconditionb:(ab)jvj:v:a2P(w:(ab)juja) v,aestsuxedev,lemotaaestdoncsuxedeb:(ab)jvj:v:a. Pardenitiondey,onab:(ab)jvj:v:a2P(w:(ab)juja).Mais,pardenitionde CHAPITRE7.CODESDENSESMAXIMAUX
{Supposonsw:(ab)juja2P(y). Commewestunsuxedeu,onajwj6juj.Deplus,laconditionb(ab)jvj2 dantlemotaaestsuxedewa,commeonaw:(ab)juja2P(y),lacondition P(w)impliquejvj

7.2.CODESCIRCULAIRESMAXIMAUXDENSES 7.2.2UneproprietedesU-interpretations motsdeUnU1.Ils'agitdelaclefdelapreuvedenotreresultatprincipal. Lelemmesuivantetablituneproprietetresfortequidoit^etresatisfaiteparles 133
viales. Preuve.Soitx2UnU1.Nousallonsmontrerquexn'admetpasdeU-interpretation alorsx2Ujuj).Posonsn=juj. Lemme7.2.6LesmotsdeUnU1n'admettentpasdeU-interpretationsnontri-
nontriviale.PardenitiondeU,ilexisteu2A,telquex=b(ab)juju(ab)juja(ona dex,aveck>0. Noussupposonstoutd'abordqueIn'induitpasdeU-interpretationpourlefacteur ab:u:abdex,c'est-a-direab:u:abestfacteurd'unmotdi,i2[0;k+1]. Parl'absurde,consideronsuneU-interpretationnontriviale
Ceciconduitaintroduirelemotw2Utelquew2fd1;:::;dkgoud02S(w) I=(d0;d1;:::;dk;dk+1)
telquew=b(ab)jvj:v:(ab)jvja. n'estpasfacteurde(ab)jvja,onab:u2F(b(ab)jvj:v).Dem^eme,commebbestprexe deb:uetqu'iln'estpasfacteurdeb(ab)jvj,onau2F(v),d'oujuj6jvj. oudk+12P(w)ettelqueab:u:absoitfacteurdew.PardenitiondeU,ilexistev
((Iestuneinterpretationnontriviale)). Onabua2F(w),donccomme,pardenitiondeu,aaestsuxedeb:u:aet
s0. pourlefacteurab:u:abdex,avec06i6j6k,s02S(di),p02P(dj+1). NoussupposonsmaintenantqueIinduituneU-interpretation(s0;di+1;:::;dj;p0) Nousposonsd0=di+1:::dj(cf.g.7.8)etnousraisonnonsselonlalongueurde Onadonc,pardenitiondexetdew,x2F(w).Cequicontreditl'hypothese
{js0j=0. denitiondeU,lesmotsdeUnUn1sontdelongueursuperieurean(ilssont ab2U,l'ensembleUetantbixe(Lemme7.2.2),onau2U.Deplus,par Danscecas,sip0="alorsonaab:u:ab=d0,c'est-a-direab:u:ab2U.Or juj=nimpliquentu2Un1.Ainsix=b(ab)juju(ab)juja2Un,cequicontreditla enfaitdelongueursuperieureouegalea5n+2).Lesconditionsu2Uet denitiondeUn.

134bad0bd1
as0 dibabCHAPITRE7.CODESDENSESMAXIMAUX
u
dj+1=w abab dk+1 aba
2etn'admettantpasaacommesuxe,onnepeutdoncavoirp0=b. impliquequeaaestsuxeded0.LesmotsdeUetanttousdelongueuraumoins p0=b.Onaab:u:ab=d0:b,comme,pardenitiondeu,aaestsuxedeu:acela Onadoncp06=".Montronsquenousavonsdem^emep06=b.Eneet,supposons Fig.7.8{IinduituneU-interpretationpourlefacteurab:u:ab.
dedj+1.Ainsi,sij6=k(resp.j=k)ilexistev2A+telquelemotdj+1estegal etab2U,onau2U.Nousavonsdejavuaucasp0="quececasnepeutse produire. Commep0estprexed'unmotdeU,lesconditionsp06=",p06=betp06=ab impliquentjp0j>2,c'est-a-direp02P(UnU1).Nousrappelonsquep0estprexe Enn,nousmontronsquep06=ab.Supposonslecontraire,onaalorsab:u:ab=
a(resp.estunprexede)b(ab)jvj:v:(ab)jvja.Nousposonsw=b(ab)jvj:v:(ab)jvja. d0:ab,doncab:u=d0.Ainsionaab:u2U.CommeUestunensembleprexe
equationsb(ab)juj:u:(ab)juja=d0:::djdj+1::::dk+1etab:u:ab=s0:di+1:::dj:p0 estfacteurded0.Ainsip02S(u:ab).Deplus,commep0estprexededj+1,les Puisques0=",leprexeabdeab:u:ab,quiappartiental'ensembleprexeU,
Sij+1=k+1alorsdj+1=p0(ab)1:(ab)juja,d'oucommepardenitiondewon w2P(p0(ab)1:(ab)juja). adj+12P(w),ilvientp0(ab)1:(ab)juja2P(w). Parconsequent,sij+16=k+1alors,commenousavonsvuquew=dj+1,ona impliquent
Lesmotswetp0(ab)1:(ab)jujasontdoncP-comparables.Deplus,onap02P(w) p0(ab)1:(ab)juja=dj+1:::dk+1:
Lelemme7.2.4assuredoncquep0:(ab)1=b(ab)jvj:v,c'est-a-dire Onaab:u:ab=d0:p0doncab:u:(ab)jvj1:a=d0:p0:(ab)1:(ab)jvj1:ad'ou doncp0:(ab)12P(w)nfwget,pardenitionde(s0;d0;p0),onap0:(ab)12S(u).
ab:u:(ab)jvj1:a=d0:b(ab)jvj:v:ab:(ab)jvj1:a p0=b(ab)jvj:v:ab:

7.2.CODESCIRCULAIRESMAXIMAUXDENSES etdonc Commejd0j6juj,onapardenitionde(Un)n>1,d02Un1.Deplus,ona Onobtientdoncab:u:(ab)jvj1:a2Un1.Onaab2UetUestprexe,d'ou p0(ab)1=b(ab)jvj:vetp0(ab)1estsuxedeu,onadoncjvj

136obtientdonc Ainsi,ona CommeUestbixe,lemotab2Un'estpassuxedemotsdeUnU1,on b:(ab)+:u:ab\Un16=;; b:(ab)+:u\Un16=;: CHAPITRE7.CODESDENSESMAXIMAUX
{jp0j=1. avoirjp0j=0. Onaalorsab:u:a=s0:d0=ab:v:(ab)jvja:d0.Lem^emeraisonnementqu'aucas Cecicontreditladenitiondeu(onaLab(u)\Un1=;).Onnepeutdonc precedentconduitalorsalacondition
{jp0j=2. deUn1.Onnepeutdoncavoirjp0j=1. b:(ab)+:u:a.Or,pardenitiondeU,lemotaanepeut^etresuxed'unmot Onaalorsab:u=ab:v:(ab)jvja:d0.Lem^emeraisonnementqu'aupremiercas Pardenitiondeu,lalettreaestsuxedeu.Lemotaaestdoncsuxede b:(ab)+:u:a\Un16=;:
{jp0j>2. donnedonc Cequicontreditladenitiondeu.Onnepeutdoncavoirjp0j=2. Unraisonnementsimilaireaucasjs0j=0,jp0j>2fournit,gr^aceaulemme7.2.4, p0:(ab)+:a\Un16=;: b:(ab)+:u\Un16=;:
U-interpretationsnontriviales. Lecasjs0j>2nepeutdoncseproduire. NousavonsdoncmontrequelesmotsdeUnU1nepeuventpasadmettrede u.Onnepeutdoncavoirjp0j>2. Onobtientdoncb:(ab)+:u:(ab)+:a\Un16=;,cequicontreditladenitionde
7.2.3Uestuncodecirculaire
Proposition7.2.7L'ensembleUestuncodecirculaire. Nousnousproposonsdemontrerdanscettesectionlapropositionsuivante:

consideronsl'equationx02:::x0m:x01=(x011:s):x2:::xn:(p:x01)). 7.2.CODESCIRCULAIRESMAXIMAUXDENSES Preuve.Soientn;m>1,x1;:::;xn2U,x01;:::;x0m2U,s2A+,p2Atelsque Nouspouvonssupposer,sanspertedegeneralite,quejsj6jx01j(autrementnous x01:::x0m=sx2:::xnpetx1=ps (7.5) 137
Uestbixe,onobtientp=",n=metxi=x0ipouri2[1;n]. exactementundesdeuxcassuivantspeutappara^tre: celle-ciesttrivialeetdonc,commes6=",onas=x01.Lelemme7.2.2assurantque induiteparl'interpretation(s;x2:::xn;p)dex01:::x0m.Lelemme7.2.6assureque Six012UnU1alors,commejsj6jx01j,lemotx01admetuneU-interpretation
{s=a. Sim=1alorsona,par(7.5),n=1etp=b,d'oux1=baorba=2U.Onadonc m>1. Supposonstoutd'abordquen=1.Onax1=pset,par(7.5),sp=x01:::x0m. Ilrestedoncatraiterlecasoux012U1,c'est-a-direx01=ab.Commes2P(x01),
assuredoncquececasnepeutseproduire. motx1admetuneU-interpretationnontriviale(b;x02:::x0m;a).Lelemme7.2.6 Lalettreaestsuxedex1,pardenitiondeU,onadoncx12UnU1.Deplusle Deplusdex01=abets=a,ontire
adoncx22UnU1.Deplusx2admetuneU-interpretation(b;x02:::x0k;p0),avec Supposonsmaintenantquen>1.D'apres(7.5),lalettrebestprexedex2,on x1=b:x02:::x0m:a:
{s=ab. sx2:::xnp.Encoreunefois,lelemme7.2.6assurequececasnepeutseproduire. Nousavonsdoncmontrequelecass=anepeutseproduire. k

maximalitedeUdansFcirc. 138 Lemme7.2.8Soienty2A+nU+etz2U:fyg:Utelsque CHAPITRE7.CODESDENSESMAXIMAUX
L'ensembleU[fygn'estpasuncodecirculaire. Preuve.NousavonsLRab(z)\U+k6=;donc,pardenitiondeLRab(z),ilexiste n;m>0telsque 9k>1;LRab(z)\U+k6=;:
i;j>0,telsquez=u1:::ui:y:u01:::u0j.La(U[fzg)-interpretation une(U[fzg)-interpretation(b;ab;:::;ab;z;ab;:::;ab;a)pourw. Soitw=b:(ab)n:z:(ab)m:a.Commeab2U,letriplet(b;(ab)n:z:(ab)m;a)((induit)) Parhypothese,onaz2U:fyg:U.Soientu1;:::;ui2U,u01;:::;u0j2U,avec (b;ab;:::;ab;z;ab;:::;ab;a) b:(ab)n:z:(ab)m:a2U+k:
uncodecirculaire. UkU[fygd'ouw2(U[fyg).NousavonsdoncmontrequeU[fygn'estpas dewinduitdoncune(U[fyg)-interpretationegalea avecps2U(onaps=ab)etp6=".PardenitiondeU,onaUkU,donc Parconsequent,lemotw2U+kadmetune(U[fyg)-interpretation(s;d;p) (b;ab;:::;ab;u1;:::;ui;y;u01;:::;u0j;ab;:::;ab;a):
Lemme7.2.9Soienty2A+nU+etz2U+:fyg:U+telsque 9k>1;z2U+k:
L'ensembleU[fygn'estpasuncodecirculaire. Preuve.NousallonsenfaitmontrerqueU[fygn'estpasuncode.
fortiori,uncodecirculaire. onaz1:y:z22Uk.Depluscomme,parhypothese,onay=2U,lemotzadmet troisU[fyg-factorisationsdez1,yetz2. deuxU[fyg-factorisationsdistinctes:uneU-factorisationinduiteparlacondition z2Uk(nousrappelonsqueUkU)etuneU[fyg-factorisationinduiteparles Pardenitiondez,ilexistez1;z22U+telsquez=z1:y:z2.Commez2U+k, Cequiprouvequel'ensembleU[fygn'estpasuncode.Cen'estdoncpas,a

7.2.CODESCIRCULAIRESMAXIMAUXDENSES L'ensembleU[fygn'estpasuncodecirculaire. Lemme7.2.10Soienty2A+nU+etz2(UnU1)+:fyg:(UnU1)+telsque Extendab(z)\Ujzj1=;: 139
Preuve.PardenitiondeU,lesmotsdeUnU1appartiennentabAa.Pardenition pardenitiondeUjzj,onab(ab)jzj:z:(ab)jzja2Ujzj.Lelemme7.2.8assuredoncque dez,ils'ensuitquezappartientabAa.Ainsi,commeExtendab(z)\Ujzj1=;, U[fygn'estpasuncodecirculaire. 7.2.5L'ensembleUestmaximaldansFcirc
queUn'estpasmaximaldansFcode. Proposition7.2.11L'ensembleUestmaximaldansFcirc. ilresteamontrerqueUestmaximaldansFcirc.Eneet,lecorollaire7.2.3assure Nouspouvonsmaintenantmontrerleresultatprincipaldecettesection.Enfait,
nousallonsmontrerqueU[fygn'estplusuncodecirculaire. telquez2LRab(y).Soientz1;:::;zn2U,n>0telsquez=z1:::zn.Pardenition Preuve.SoityunmotdeAnU.AndeprouverqueUestmaximaldansFcirc,
Ainsi,lelemme7.2.8assurequeU[fygn'estpasuncodecirculaire. deU,ona Posonsk=maxfjzjjj16j6ng.Onaalorsz2U+k,d'ouLRab(y)\U+k6=;. Supposonstoutd'abordqueLRab(y)\U+6=;,c'est-a-direqu'ilexistez2U+
AndemontrerqueU[fygn'estpasuncodecirculaire,nousallonsintroduire IlrestedoncaconsidererlecasouLRab(y)\U=;. zi2Umaxnjzjjj16j6no;i2[1;n]:
codecirculaire. considererl'ensembleU[fzgdanslebutdeprouverqueU[fygn'estpasuncode posonsz=xyx.Auvudeslemmesprecedents,noussommesmaintenantamenesa circulaire. deuxnouveauxmotsxetz.SoitxunmotarbitrairementchoisidansUnU1et D'apreslelemme7.2.10,siExtendab(z)\Ujzj1=;alorsU[fygn'estpasun

1.LRab(z)\Ujzj16=;. Extendab(z),celaimpliquequ'aumoinsundesquatrecassuivantsestverie: 140IlrestedoncaetudierlescasouExtendab(z)\Ujzj16=;.Pardenitionde
CHAPITRE7.CODESDENSESMAXIMAUX
2.fzg\Ujzj16=;. 3.Rab(z)\Ujzj16=;. 4.Lab(z)\Ujzj16=;.
2.Dem^eme,siz\Ujzj16=;alorslelemme7.2.9assurequeU[fygn'estpasun 1.SiLRab(z)\Ujzj16=;alorslelemme7.2.8assuredirectementqueU[fygn'est
pasuncodecirculaire. Nousallonsmontrerdanslasuiteque,danschaquecas,l'ensembleU[fygn'est
3.SupposonsqueRab(z)\Ujzj16=;.
PardenitiondeRab,ilexistealorsn>0,h>0etu0;u1;:::;uh2Ujzj1tels Deplus,commeUestbixe,onax=u0etdonc Ilexistedonck2[0;h]etu02P(uk+1)nuk+1telsquey=u1:::uku0.Remarquons que,pardenition,u0estunique(kestleplusgrandentierveriantlacondition xyx(ab)na=u0:u1:::uh:
u1:::uk2P(y)). Lelemme7.2.6assurequelemotx2UnU1n'admetpasdeU-interpretation nontriviale.Or,par(7.6),nousavonsu0x(ab)na=uk+1:::uh,ilfautdoncx2 yx(ab)na=u1:::uh: (7.6)
(encoreunefoisU1=fabg). F(uk+1).Remarquonsque,pardenitiondeU,nousavonsalorsuk+12UnU1
b(ab)jwjw(ab)jwja.Ainsi,onobtientu0x(ab)ma=b(ab)jwjw(ab)jwja.Oronaw;x2 Deplus,lemotuk+1appartientaUnU1,ilexistedoncw2bAatelqueuk+1= l'equation(7.6)impliquedoncqu'ilexistemtelque Plusprecisement,onau0x2P(uk+1).Oruk+12Aa(puisqueuk+12UnU1),
Aad'ou,enconsiderantlessuxesdeu0x(ab)maetb(ab)jwjw(ab)jwja,ona jwj=metu0x=b(ab)mw: uk+1=u0x(ab)ma:

7.2.CODESCIRCULAIRESMAXIMAUXDENSES unnouveaumot.Soit AndemontrerqueU[fygn'estpasuncodecirculairenousallonsintroduire z0=xzx: 141
Nousallonsmontrerque(Lab(z0)[Rab(z0))\Ujz0j1=;.Eneet,sicettecondition estsatisfaite,aumoinsundesdeuxcassuivantsestrealise:
{Soit c'est-a-direExtendab(z0)\Ujz0j1=;.Lelemme7.2.10assurealorsqueU[fyg n'estpasuncodecirculaire. (LRab(z0)[Lab(z0)[Rab(z0)[z0)\Ujz0j1=;
Nousallonsmontrerque(Lab(z0)[Rab(z0))\Ujz0j1=;endeuxetapes:nous
montronstoutd'abordqueRab(z0)\Ujz0j1=;puisnousmontronsqueLab(z0)\ Leslemmes7.2.8et7.2.9assurentalorsqueU[fygn'estpasuncodecirculaire. (LRab(z0)[z0)\Ujz0j16=;:
(a)MontronsqueRab(z0)\Ujz0j1=;. Parl'absurde,supposonsqueRab(z0)\Ujz0j16=;. Soitu00=u0xx.Pardenitiondez,onaz0=xxyxx,donc,commey= u1:::uku0,onaz0=xxu1:::uku00(cf.g.7.9). x xu1z0
z
Fig.7.9{Rab(z0)\Ujz0j16=; yuku0
xu00xababab
aba
OnaRab(z0)\Ujz0j16=;,ilexistedonch0>0,m0>1,0;:::;h02Ujz0j1 telsque Rappelonsquenousavonsz0=xxu1:::uku00,onobtientdonc xxu1:::uku00=0:::h0:((ab)m0a)1: z0:(ab)m0a=0:::h0:

142etu00=k+2:::h0:((ab)m0a)1,d'ouu002U:P(U).
L'ensembleUetantprexe,onadonc0=1=x,ui=i+1pour16i6k Andesimplierl'ecriture,introduisonsh00>0,1;:::;h002U,2P(U) telsque CHAPITRE7.CODESDENSESMAXIMAUX
Onau0x=b(ab)jwjwetu002b(ab)rbAr2a(ab)ra:A.Comme,pardenition,b que12b(ab)rbAr2a(ab)ra. avonsdonc,pardenitiondeU,12UnU1.Ainsiilexisteunentierr>0tel Supposonstoutd'abordqueh00>0.Nousavonsvuqueu0x=b(ab)jwjwnous u00=1:::h00=u0xx:
Deplus,sij1j

7.2.CODESCIRCULAIRESMAXIMAUXDENSES Onnepeutdoncavoirj1j0et Deplus,commey=u1:::uku0,ona u0i2U,i2[1;k0]telsquez0=u00u01:::u0k0: d'ouu02S(U). Soients2S(U)ett2Utelsqueu0=st.Lemotu0:x:(ab)maadmetdonc Onaz0=xx:y:xx,l'ensembleUetantsuxe,onadoncu0k0=u0k01=x.
uneU-interpretation(s;t:x:(ab)m;a).Ornousavonsvuqueu0:x:(ab)ma2U, lelemme7.2.6assuredoncquececasnepeutappara^tre. x:x:u1:::uku0=u00u01:::u0k02
Onadonc(Lab(z0)\Ujz0j1)[(Rab(z0)\Ujz0j1)=;lorsqueRab(z)\Ujzj16=;. Ainsi NousavonsdoncmontrequeLab(z0)\Ujz0j1=;.
4.Defaconsimilaire,lorsqueLab(z)\Ujzj16=;,nousobtenonsquelemotz0=xzx verie(Lab(z0)[Rab(z0))\Ujz0j1=;.OnendeduitdoncqueU[fygn'estpas circulaire. uncodecirculaire. NousavonsvuplushautquecetteconditionimpliquequeU[fygn'estpas (Lab(z0)[Rab(z0))\Ujz0j1=;:

144 L'ensembleUestdoncmaximaldansFcirc. DanstouslescasnousavonsmontrequeU[fygn'etaitpasuncodecirculaire. CHAPITRE7.CODESDENSESMAXIMAUX
nonmaximaldansFcode. Theoreme7.2.1L'ensembleUestuncodecirculaire,maximaldansFcircmais Nousavonsdoncetablileresultatannonce:

145
Annexe
codesadelaid'interpretationnidonneedanslaproposition2.5.2.Nouscommen- dumonodesyntaxique. consparreexprimerlacondition(2.5)delaproposition2.5.2entermed'elements nelestuncodeadelaid'interpretationni.Cetestreposesurlacaracterisationdes Nousdonnonsdanscetteannexeuntestpermettantdedecidersiuncoderation-
PropositionA1Lesdeuxproprietessuivantessontequivalentes: associesaclassed'equivalence.Nousavonsalors: (P1)9s2S(X);9p2P(X);9m>1telsque (i) SoitXuncoderationnel.Soit (s)(X)(p)\(X)6=;.
lemorphismedeAversM(X)quiatoutmot
(P2)8n2N;9y2X;9(s;p)2(y)\(S(X)P(X))telsque (iii)M(X) (ii)(Xm)=(Xm) (Xm)+ (s)\ Xns\S(X)6=;oupXn\P(X)6=;:
(p)(Xm)M(X)\(X)6=;
LemmeA2Ilexisten0>0,k>0telsquepourtoutn>n0,onait Nouscommenconsparmontrerlelemmesuivant: (Xn)=(Xn+k):

146 Preuve.Consideronslasuitedes M(X),lemonodesyntaxiqueetantni,ilexisten0etktelsque (Xn0). (Xn0+i). Ainsi,pourtouti>0,ona (Xn0+k+i)= (Xj)pourj>0.Pourtoutj>0,ona CODESETINTERPRETATIONS (Xn0+k):(Xi)=(Xn0): (Xn0+k)= (Xj) (Xi)=
y2Xtelque PreuvedelapropositionA1.Montrons(P1))(P2). setraitantdefaconsimilaire). SupposonsM(X) Ona (s)(X) (s:y:p)2 (p)\ (Xm)(X).Or (X)6=;donc (s)\(X)6=;(lecasM(X) 1( (X))=X,donc (s:X:p)\(X)6=;.Ainsi,ilexiste
(Xm) 1( (s:y:p))X.Or (s)\
onas:y:p2 Soitn>0,nousvenonsdevoirqu'ilexiste 1( (s:y:p))doncs:y:p2X,c'estadire(s;p)2(y)\(S(X)P(X)).
OnaM(X) et existeu2A,y02Xkmtelsque onaM(X) (s;p)2(y)\(S(X)P(X)): (X)6=;et y2X
A:Xkm:s\X6=;.Ainsipourktelquekm>n,onaA:Xn:s\X6=;,c'estadire (Xm)k(s)\(X)6=;,d'ou Xn:s\S(X)6=;: (u:y0:s)2 (Xm)= (A:Xkm:s)\ (X)d'ouu:y0:s2X,c'est-a-dire (Xm)+doncpourtoutk>0, (X)6=;.Ainsi,il
Xms\S(X)6=;oupXm\P(X)6=;.SupposonsXms\S(X)6=;(lecaspXm\ P(X)6=;setraitantdefaconsimilaire).Pardenitiondes;pety,onasyp2X
(P2)assuredoncqu'ilexistey2Xet(s;p)2(y)\(S(X)P(X))telsque Montrons(P2))(P1). Soientn0etklesentiersdenisaulemmeA2etposonsm=n0k.Lacondition
Deplus,onasupposeXms\S(X)6=;,d'ouAXms\X6=;cequiimplique (syp)(X),c'est-a-dire
M(X) (s)(X) (p)\ (s)\ donc (Xn0ki)= Enn,d'apreslelemmeA2,ona,pourtouti>2, (X(n0i1)k+k)=(Xm)+= (X(n0i1)k)=:::= (Xm): (X)6=;:(Xn0k)= (Xm)i=(Xm).Ona
(Xmi)=

ANNEXE NousposonsU01=(X)1U1=(X)1:S(X)1:Xnf"g; U0i+1=(U0iX)1:Xpouri>1: 147
montronsdeuxlemmes: etAnd'etabliruntestpourlescodesadelaid'interpretationnirationnels,nous
V0 i+1=X:(XV0
1=V1(X)1=X:P(X)1nf"g:(X)1;
LemmeA3Soientn2Net2Atelsque2U02n+1.Onaalors: i)1pouri>1:
Preuve.Raisonnonsparrecurrence. Deplus,onajj

148 Onaalors: 9n02N;8y2X;8(s;p)2(y)\(S(X)P(X)) ConsideronsmaintenantunensembleXtelque: Xn:s\S(X)=p:Xn\P(X)=; CODESETINTERPRETATIONS
LemmeA4Soientn>1.Sionalaproprietesuivante 92P(X);92S(X)nX;9x2Xn0(n+1):X;9y2Xx=:y:: (A1)
alorsU02n16=;ouV0 Xtelsquey=y1:::ym. Preuve.Soient2P(X),2S(X)nX,x2Xn0(n+1),y2Xtelsquex=:y:. Soientx1;:::;xn0(n+1)2Xtelsquex=x1:::xn(n0+1)etsoientm>0,y1;:::;ym2 Denissonslesfonctionsfetgcommesuit(cf.g.7.11): 2n16=;.
etpourk>2,sig(k1)jy1:::yg(k1)+1j f(1)=minfijjx1:::xij>jjg
g(k)=maxjjjx1:::xf(k)j>jy1:::yjj g(1)=maxjjjx1:::xf(1)j>jy1:::yjj
x1x2 f(1)=3 g(1)=2 y1y2 x3x4
y3f(2)=5
y4 g(2)=4g(3)=5 x5f(3)=6 x6x7x8x9 y6 f(4)=7 g(4)=8f(5)=8
Onposeui=y1:::yg(i)1x1:::xf(i)lorsquef(i)estdeni. y5 y7
Montronsqueui2U02i1. Fig.7.11{Unexempledecalculdefetg. y8y9g(5)=9
jj>jx1:::xf(1)1j.Ilexistedoncs2S()telquesy1:::yg(1)u1=xf(1).Deplus, s6="puisque=2X.Ainsiu12U01. Onau1=(y1:::yg(1))1x1:::xf(1).Pardenitiondef(1),onajx1:::xf(1)j>

traiterlecasu16=". ANNEXE Onajj>jx1:::xf(1)1j,ilvientdonc=x1:::xf(1)1s,c'est-a-dire Montronsquef(1)6n0. Deplus,remarquonsquesiu1=",alorsU0i6=;pourtouti>1.Ilrestedonca 149
avonsdonc(s;u1)2(S(X);P(X)).Lacondition(A1)assuredoncquef(1)1n:n0,ornousavonsmontreci-dessusquef(k)6k:n0pourk

1509n2N;8y2X;8(s;p)2(y)\(S(X)P(X))
Sinon,si(P1)estrealiseealorsona: Xn:s\S(X)=p:Xn\P(X)=;: CODESETINTERPRETATIONS
AndemontrerlapropositionA5,nousallonsprocederparcontraposee.
assuredoncqu'ilexiste2S(X),x12X,x2Xn:X,y2Xtelsque entierk>p.OnadoncsoitU0n6=;pourtoutn>1,soitV0 toutentierk>p,dem^emesiV0 Ainsi,pourtoutn>0,ilexisteunmotappartenantaU02n+1.LelemmeA3 SupposonsU0n6=;pourtoutn>1,lecasV0 Toutd'abord,remarquonsquesiU0p=;pourunentierp>1,alorsU0k=;pour Supposonsqu'onaitU0n6=;ouV0 p=;pourunentierp>1,alorsV0 n6=;pourtoutn>1.
x1:x=yetjj1. k=;pourtout
u=2P(X),alors,pardenitiondelasuiteU0,onaU02n+2=;.Onpeutdoncchoisir 2P(X). Deplus,commeU02n+2=(U02n+1X)1X6=;,sipourtoutmotu2U02n+1,ona
X.OnobtientdoncuneX-interpretationnonquasi-trivialepourunmotdeXn+1:X 9(;)2P(X)S(X);9x12X;9x2Xn:X;9y2Xx1x=yetjj

permetdemontrerquelasuiteV0 n>1.LasuiteU0nprenddoncunnombrenidevaleurs.Unraisonnementsimilaire u0yv2X,d'ouv2U0n+1.AinsiU0nestuneuniondeclassesd'equivalencespourtout ANNEXE u0yu2X.Soitv2AtelquevXu.Laconditionu0yu2Ximpliquedonc Deplus,soientn>1etu2U0n+1.Ilexistealorsu02U0nety2Xtelsque nprendunnombrenidevaleurs. 151

152 CODESETINTERPRETATIONS

153
Bibliographie
[AM95]D.ArquesetC.J.Michel,Apossiblecodeinthegeneticcode,12thAnnualSymposiumonTheoreticalAspectsofComputerScience,Lectures
[Bas96]F.Bassino,Seriesrationnellesetdistributionsdelongueurs,Thesede [BCW90]T.C.Bell,J.G.ClearlyetI.H.Witten,Textcompression.Prentice Hall,EnglewoodClis,NewJersey,1990. doctorat.UniversitedeMarne-La-Vallee,1996. NotesinComput.Sci.,900(1995)640{651.Springer,Munich,Germany.
[BL96]V.BruyereetM.Latteux,Variable-lengthmaximalcodes,Automata, [BdLR80]J.-M.Boe,A.deLucaetA.Restivo,Minimalcompletesetsofwords, [BL85]E.Barbin-LeRestetM.LeRest,Surlacombinatoiredescodesadeux LanguagesandProgramming,23rdInternationalColloquium,Lectures mots,Theoret.Comput.Sci.,41(1985)61{80. Theoret.Comput.Sci.,12(1980)325{332.
[BP85]J.BersteletD.Perrin,TheoryofCodes.AcademicPress,1985. [BP99]V.BruyereetD.Perrin,Maximalbixcodes,Theoret.Comput.Sci., 218(1999)107{121. Germany. NotesinComput.Sci.,1099(1996)24{47.Springer-Verlag,Paderborn,
[BPPR79]J.Berstel,D.Perrin,J.F.PerrotetA.Restivo,Surletheoremedu defaut,JournalofAlgebra,60(1979)169{180.

154 [Bru91a]V.Bruyere,Codes,Dissertationpresenteepourl'obtentiondegrade [Bru91b]V.Bruyere,Maximalcodeswithboundeddecipheringdelay,Theoret. Comput.Sci.,84(1991)53{76. legaldedocteurensciences.UniversitedeMonsHainaut,1991. CODESETINTERPRETATIONS
[CH85]R.CapocellietC.Homann,Algorithmsforfactorizingandtesting [BWZ90]V.Bruyere,L.WangetL.Zhang,Oncompletionofcodeswithnite [Bru98]V.Bruyere,Onmaximalcodeswithboundedsynchronizationdelay,
subsemigroups,CombinatorialAlgorithmsonWords,NATOASISeries, decipheringdelay,Europ.J.Combinatorics,11(1990)513{521. Theoret.Comput.Sci.,204(1998)11{28.
[CK97]C.ChorutetJ.Karhumaki,Combinatoricsofwords,Handbookof F12(1985)59{81.Springer-Verlag,Berlin,Heidelberg.
[dF89]C.deFelice,Constructionofafamilyofnitemaximalcodes,Theoret. [Dev93]J.Devolder,Codes,motsinnisetbi-innis,Thesededoctorat.UniversiteLille1,1993.
FormalLanguages,vol.1,329{438.Springer-Verlag,Berlin,1997. Comput.Sci.,63(1989)157{184. [dFR85]C.deFeliceetA.Restivo,Someresultsonnitemaximalcodes,Theoret. [dLR80]A.deLucaetA.Restivo,Onsomepropertiesofverypurecodes,Theoret.Comput.Sci.,10(1980)157{170ret.InformaticsAppl.,32(1998)21{34.
[Dub98]L.Dubuc,SurlesautomatescirculairesetlaconjecturedeCerny,Theo-
InformaticsAppl.,19(1985)383{403.
[Duv79]J.-P.Duval,Periodesetinterpretations,Actesdelaseptiemeecolede [Eil74]S.Eilenberg,Automata,LanguagesandMachines,vol.1.Academic [Duv80]J.-P.Duval,Contributionalacombinatoiredumonodelibre,These d'etat.UniversitedeRouen,1980. printempsd'informatiquetheorique,75{87,Mai1979.LITP.
[ER85]A.EhrenfeuchtetG.Rozenberg,Eachregularcodeisincludedina regularmaximalcode,Theoret.InformaticsAppl.,20(1985)89{96. Press,1974.

BIBLIOGRAPHIE [GG65]S.W.GolombetB.Gordon,Codeswithboundedsynchronizationdelay, [GM59]E.N.GilbertetE.F.Moore,Variablelengthbinaryencodings,Bell Inform.andControl,8(1965)355{372. SystemTech.J.,38(1959)933{967. 155
[Gue00]Y.Guesnet,Oncodeswithniteinterpretingdelay:Adefecttheorem, [Gue01a]Y.Guesnet,Maximalcircularcodesversusmaximalcodes,Soumis, [Gue01b]Y.Guesnet,Onmaximalcodeswithniteinterpretingdelay,Theoret. Theoret.InformaticsAppl.,34(2000)47{59.
[Gue01c]Y.Guesnet,Onmaximaldensebixcodes,J.Automata,Languages
[HK86]T.HarjuetJ.Karhumaki,Onthedefecttheoremandsimpliability, Comput.Sci.,Apara^tre,2001. andCombinatorics,Apara^tre,2001.
[JK97]H.JurgensenetS.Konstantinidis,Codes,HandbookofFormalLanguages,vol.1,511{607.Springer-Verlag,Berlin,1997.
SemigroupForum,33(1986)199{217. [Hon88]J.Honkala,Adefectpropertyofcodeswithunboundeddelays,Discr. Appl.Math.,21(1988)261{264.
[Lot83]M.Lothaire,CombinatoricsonWords,EncyclopaediaofMathematics [Lec85]M.Leconte,Codessansrepetition,Thesedetroisiemecycle.Universite Press,CambridgeUK,1997. anditsApplications,vol.17.Addison-Wesley,Reading,Mass.,1983.ReprintedintheCambridgeMathematicalLibrary,CambridgeUniversity
ParisVII,1985.
[Lot00]M.Lothaire,AlgebraicCombinatoricsonWords.Apara^tre,2000. [Mar67]A.A.Markov,Anexampleofanindependentsystemofwordswhich
[MvOV97]A.J.Menezes,P.C.vanOorschotetS.A.Vanstone,Handbookof [MS86]F.MacWilliamsetN.Sloane,TheTheoryofError-CorrectingCodes. cannotbeincludedinanitecompletesystem,Mat.Zametki,1(1967) North-HollandPublishingCompany,NewYork,1986. appliedcryptography,TheCRCPressseriesondiscretemathematicsand 87{90.(Russian).

156 [NC92]J.NeraudetM.Crochemore,Astringmatchinginterpretationofthe FL33431-9868,USA,1997. itsapplications.CRCPress,2000N.W.CorporateBlvd.,BocaRaton, equationxmyn=zp,Theoret.Comput.Sci.,92(1992)145{164. CODESETINTERPRETATIONS
[Niv66]M.Nivat,Elementsdelatheoriegeneraledescodes,AutomataTheory, [NS01a]J.NeraudetC.Selmi,Locallycompletesetsandnitedecomposable 278{294.AcademicPress,NewYork,1966.
[Per82]D.Perrin,Completingbiprexcodes,LecturesNotesinComput.Sci., [NS01b]J.NeraudetC.Selmi,Onnitedecipheringdelaycodes:Constructing 140(1982)397{406. incompletablewords,Theoret.Comput.Sci.,Apara^tre,2001. codes,Theoret.Comput.Sci.,Apara^tre,2001.
[Res75]A.Restivo,Acombinatorialpropertyofcodeshavingnitesynchronizationdelay,Theoret.Comput.Sci.,1(1975)95{101.
[Res77]A.Restivo,Oncodeshavingnonitecompletion,DiscreteMath.,17 [Per84]D.Perrin,Completingbiprexcodes,Theoret.Comput.Sci.,28(1984) 329{336.Note.
[Res79]A.Restivo,Codesandcompletesets,Actesdelaseptiemeecolede [Res90]A.Restivo,Codesandlocalconstraints,Theoret.Comput.Sci.,72 (1977)309{316.
[RSS89]A.Restivo,S.SalemietT.Sportelli,Completingcodes,Theoret.InformaticsAppl.,23(1989)135{147.
printempsd'informatiquetheorique,237{244,Mai1979.LITP. (1990)55{64.
[Sch61]M.P.Schutzenberger,Onafamilyofsubmonoids,Publ.Math.Inst. [Sch56]M.P.Schutzenberger,Unetheoriealgebriqueducodage,Seminaire Hunger.Acad.Sci.Ser.A,VI(1961)381{391. Dubreil-Pisot1955-56,1956.InstitutH.Poincare.Exposen15. [Sch65]M.P.Schutzenberger,Codesalongueursvariables,Coursal'ecoled'ete France,1965. del'OTANsurlesmethodescombinatoiresentheorieducodage,Royan,

BIBLIOGRAPHIE [Sch66]M.P.Schutzenberger,Onaquestionconcerningcertainfreesubmonoids, [Sha48]C.E.Shannon,Amathematicaltheoryofcommunication,Bell.System Tech.J.,27(1948)379{656. J.Combin.Theory,1(1966)437{442. 157
[SP53]A.A.SardinasetC.Patterson,Anecessaryandsucientconditionfor [Spe75]J.C.Spehner,Quelquesconstructionsetalgorithmesrelatifsauxsousmonodesd'unmonodelibre,SemigroupForum,9(1975)334{353.
[Van85]D.L.Van,Ensemblescode-compatiblesetunegeneralisationdetheoremedesardinasetpatterson,Theoret.Comput.Sci.,38(1985)123{132.
theuniquedecompositionofcodedmessages,IREInternat.Conv.Rec., 8(1953)104{108.
[ZS95]L.ZhangetZ.Shen,Completionofrecognizablebixcodes,Theoret.
Comput.Sci.,145(1995)345{355.Note.

158 CODESETINTERPRETATIONS

Index
algorithmedeSardinasetPatterson,7 algorithmed'Ehrenfeucht-Rozenberg,74 alphabet,2 code,6 (p;q)-limite,9 circulaire,8,33,34,37,72,74,128 adjacent,30,37 bixe,8,68,75,117 comma-free,9,62 complet,66 completadroite,68 completagauche,68 coupant,66,72 composition,10,21
Dyck,17,36,67 dense,66,72,117,128 delaidesynchronisation,voiruniformementsynchronisant delaid'interpretation,16,80,145 delaidedechirage,8,34,68,75 d-complet,68
limite,9,33,56 degre,12,16
non-ethere,76 non-interprete,55 maximaldansunesous-famille,69,80,104 maximal,66,80,104,117,128159

160prexe,8,68,75,122
rationnel,38,145 suxe,8,68,128 synchronisant,9,69,104 trescoupant,66 INDEX
uniforme,8,30
eetdefaut,11 concatenation,2 conditionC(p;q),9 congruence,2 syntaxique,5 uniformementsynchronisant,9,34,68,75
ensemble enveloppe miroir,3,21 primitif,4,19 rationnel,6,72 reconnaissable,5
facteur,4 circulaire,11,54 libre,10 non-interpretee,59 adjacente,47 adelaid'interpretationni,53
factorisation,11 interpretation,11,16 nontrivial,4 propre,4 adjacente,12,32 disjointe,12 induite,12 propre,12
monode,2 lettre,2 longueur,3 methodedecompletion,74,88 quasi-triviale,12,16
adelaid'interpretationni,19,52
base,7 adjacent,46

INDEX ensembleminimaldegenerateurs,7 extr^emementpur,55 stable,7 libre,2,7 sous-monode,2 161
mot,2 syntaxique,5 trespur,8,55 conjugue,3,20 imprimitif,4 miroir,3
occurrence,4 P-comparable,4,116
pairesynchronisante,9
position,4 sansbord,5,74
prexe,4 S-comparable,4,116 vide,3
suxe,4 theoremedudefaut,10 versionpourlescodesadelaid'interpretationni,54 versionpourlescodescirculaires,11 versionpourlescodesadjacents,47

162 INDEX

Notations
Mots
jwjb " lg(X) alph(w) Nombred'occurrencesdelalettrebdanslemotw Longueurdew Lemotvide Px2Xnf"g(jxj1) (w) S(w) X(w) P(w) F(w) ew Ensembledessuxesdew Ensembledesprexesdew f(u;v)2AAjuwv2Xg Ensembledesfacteursdew Nombremaximald'interpretationsdeuxadeuxdisjointes fa2Ajjwja>0g Miroirdew
Ensemblesdemots
X+ X X:Y1 Y1:X fx:y2Mjx2X;y2Yg Xnf"g Sous-monodeengendreparX fu2Mj9(x;y)2XY;x=u:yg
F(X) AX XA fu2Mj9(x;y)2XY;x=y:ug
P(X) alph(X) jXj eX EnsembledessuxespropresdesmotsdeX EnsembledesprexespropresdesmotsdeX MiroirdeX EnsembledesfacteursdesmotsdeX Sx2Xalph(x) EnsembledesprexesdesmotsdeX CardinaldeX
163

164P(X) S(X) EnsembledesprexesnontriviauxdesmotsdeX EnsembledessuxesnontriviauxdesmotsdeX EnsembledessuxesdesmotsdeX CODESETINTERPRETATIONS
X d(X) M(X) wXw0()(w)=(w0) minfX(w)jw2XnF(X)g Monodesyntaxique
Codes X'Y Fcode Fni Fcoupant Fdense
'(Y)(aussinoteXY)
Frationnel Fcirc
Ensembledescodesnis
Fbif
Ensembledescodescoupants
Fpref
Ensembledescodesdenses
Fsu
Ensembledescodesrationnels Ensembledescodescirculaires
Fus
Ensembledescodesbixes
Fsync Fddb Ensembledescodesprexes
Fdif
Ensembledescodessuxes Ensembledescodesuniformementsynchronisants Ensembledescodessynchronisants Ensembledescodesadelaidedechirageborne
F() F(n) F(d) us dif ddb Ensembledescodesadelaidesynchronisation Ensembledescodesadelaid'interpretationn Ensembledescodesadelaidedechiraged Ensembledescodesadelaid'interpretationni

quecescodessatisfontuneextensionautheoremedudefaut.Nousmontronsegalementl'equivalenceentrelanotiondemaximalitedanslaclassedescodesadelai
descodesadelaid'interpretationnietcelledescodesadjacents.Nousmontrons codesalongueursvariables.Nousintroduisonsdeuxnouvellesclassesdecodes:celle Lestravauxpresentesdanscememoiresesituentdanslecadredelatheoriedes Resume
d'interpretationnietcelledemaximalitedanslaclassedescodesengeneralpour
lamaximalitedanslaclassedescodescirculairesetlamaximalitedanslaclasse nicoupantenuncodeadelaid'interpretationnimaximaletl'autrepermetde lescodesadelaid'interpretationnicoupants.Nousproposonsenoutredeuxmethodesdecompletions:l'unepermetdecompletertoutcodeadelaid'interpretation
methodespreserventlarationalitedesensembles.Nousnousinteressonsdansun descodesdanslecasdecodescirculairesdenses.Enn,nousdonnonsunemethode derniertempsauxcodesdenses:nousmontronsqu'iln'yapasequivalenceentre permettantdecompletertoutcodebixecoupantetnonmaximalenuncodedense, completertoutcodesynchronisantenuncodemaximaletsynchronisant.Cesdeux bixe,maximaldanslaclassedescodesbixesetnonmaximaldanslaclassedes codes. Mots-clefs:Codesalongueursvariables,interpretations,codesmaximaux,methodesdecompletions,codesdenses.Abstract
thatthiscodessatisfyaversionofthedefecttheorem.Wealsoprovetheequivalence betweenthenotionofmaximalityintheclassofcodeswithaniteinterpreting delayandthenotionofmaximalityintheclassofcodesforthincodeswitha niteinterpretingdelay.Moreover,wepresenttwoembeddingmethods:therstone allowstocompleteanythincodewithaniteinterpretingdelayinamaximalcode Thisthesisdealswiththetheoryofvariablelengthcodes.Weintroducetwonew classesofcodes:codeswithaniteinterpretingdelayandadjacentcodes.Weprove
bixcodeandnotmaximalascode. embedanythinbixnon-maximalcodeinadensebixcodewhichismaximalas intheclassofcircularcodesandthenotionofmaximalityintheclassofcodesare notequivalentfordensecircularcodes.Finally,wegiveamethodwhichallowto inamaximalsynchronouscode.Thesemethodspreservetherationality.Thelast withaniteinterpretingdelay,theothersallowtocompleteanysynchronouscode
thods,densecodes. Keywords:Variablelengthcodes,interpretations,maximalcodes,embeddingme-
partofthisworkisdedicatedtodensecodes:weprovethatthenotionofmaximality