rapport_M2_09_2012

6.1 Quelques notions sur les réseaux euclidiens
Le premier système de chiffrement homomorphe dû à Gentry [24] étant basé sur les
réseaux euclidiens, il nous a semblé utile que le lecteur connaissent certaines notions.
D’autant plus que, comme nous l’avons déjà remarqué section 5, la plupart des cryptosystèmes
complètement homomorphes qui seront présentés cherchent à améliorer les
précédents, ou y apportent de légères modifications.
6.1.1 Premières définitions
Conceptuellement un réseau euclidien est un ensemble périodique de points. On trouve
des réseaux un peu partout comme l’illustre l’image ci-dessous.
Figure 15 – Exemple de réseau euclidien
Un peu plus formellement, nous adopterons la définition suivante dans la suite de ce
rapport :
Définition 6.1.1. Soient b 1 , . . . , b n ∈ R m n vecteurs à m coordonnées. Le réseau qu’il
engendre est donné par les combinaisons linéaires à coefficients entiers :
L(b 1 , . . . , b n ) = {
n∑
x i b i | x i ∈ Z}
Bien que l’ensemble des vecteurs ⎛ (b 1 , . . . , b n ) forme ⎞ la base du réseau, il est fréquent de
b 11 b 21 . . . b n1
b 12 b 22 . . . b n2
considérer la matrice B = ⎜
⎝
.
. . ..
⎟ . ⎠ ∈ Rm×n formée des vecteurs b 1 , . . . , b n
b 1m b 2m . . . b nm
en colonne comme base du réseau. m est la dimension du réseau, et n est son rang.
Lorsque m = n, on dit que le réseau est de rang plein.
La figure suivante présente des exemples de réseaux à 2 dimensions.
i=1
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