Diffusion et Percolation - Licence 3 - Introduction aux ... - LISIC

Diffusion et PercolationLicence 3 - Introduction aux systèmes complexesSébastien Verelverel@i3s.unice.frwww.i3s.unice.fr/∼verelÉquipe ScoBi - Université de Nice Sophia Antipolis25 avril 2013

Propagation d’une infectionPercolationL’aventure ”Introduction aux Systèmes Complexes”cm02 : Automate cellulairecm03 : MorphogénèseModèle de SC discret le plus”simple”Création des formes,réaction-diffusion, tachesSébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationL’aventure ”Introduction aux Systèmes Complexes”cm04 : Jeux évolutionnairescm05 : Modèle Shelling (1)Dilemme du prisonnier, dilemmesocialSégrégation, micro- vs. macroscopique,frontièreSébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationL’aventure ”Introduction aux Systèmes Complexes”cm06 : Modèle Shelling (2)cm07 : Réseaux sociaux (1)sur réseau scale-free...Réseau aléatoireSébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationQuelles questions se poser ?Pour définir un systèmeDéterminer les limites du système :Intérieur / ExtérieurDéterminer les interactions du système avec l’extérieurOuvert / ferméDéterminer les composants du systèmeDéterminer les interactions entre les composantsSébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationType de modèle (in progress)Temps :Discret / ContinuEspace :∅ / Discret / ContinuVariable (grandeur qui varie avec le temps) :Discret / ContinuComposants (entité, agents) :Distinct / non distinctNombre fini / infiniRelation entre composants (réseau d’interaction)Homogène (régulier, uniforme) / inhomogèneEvolution :Déterministe / Stochastique (variabilité, distribution)Sébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationModélisation par agentsTemps :DiscretComposants (entité, agents) :DistinctNombre finiRelation entre composants (réseau d’interaction)Homogène (régulier, uniforme) / inhomogèneEvolution :Stochastique (souvent)Avantage : variabilité, non-linéaritéDomaine de l’informatique et de l’exploration par lasimulation...Sébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationDécrire et observer un systèmeDescription de la dynamiqueDécrire les niveaux, les ”formes” macroscopiquesObserver les points fixes (structure fixe, stable)Décrire les relations entre les niveaux macroscopiquesDécrire les dynamiques de convergence (cycle, phénomènequasi-périodique, etc.)Sébastien VerelDiffusion Percolation

PlanPropagation d’une infectionPercolation1 Propagation d’une infectionModèle SIModèle SIR2 PercolationSébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationModèle SIModèle SIRModèle de propagation de maladieModèle à compartimentsPrincipeLes individus peuvent être dans différents états :compartimentsDes régles définissent les changements d’états... lien avec automate à étatsSébastien VerelDiffusion Percolation

Modèle SIPropagation d’une infectionPercolationModèle SIModèle SIRUn individus peut être dans l’état :S : Susceptible d’être infectéI : InfectéUn individus devient infectéau contact d’un individus infecté selon le taux β1 - beta 1.0SbetaISébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationPremière modélisationModèle SIModèle SIRTemps :DiscretEspace :∅Variable :DiscretComposants :non distinctNombre finiRelation entre composants (réseau d’interaction)HomogèneEvolution :Déterministe (grandeur moyenne)Sébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationPremière modélisationModèle SIModèle SIRN : nombre total d’individusS t : nombre moyen d’individus dans l’état S à l’instant tI t : nombre moyen d’individus dans l’état I à l’instant tcf. Tableau (désolé pour les absents)Modélisation par une suite de valeurs entièresI t+1 = I t + β(N − I t ) I tNSébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationDeuxième modélisationModèle SIModèle SIRTemps :DiscretEspace :∅Variable :DistretComposants :non distinctNombre infiniRelation entre composants (réseau d’interaction)HomogèneEvolution :Déterministe (grandeur moyenne)Sébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationDeuxième modélisationModèle SIModèle SIRI tN −→ N→∞ i ts t : proportion moyenne d’individus dans l’état S à l’instant ti t : proportion moyenne d’individus dans l’état I à l’instant tcf. Tableau (désolé pour les absents)Modélisation par une suite de valeurs réellesi t+1 = i t + β(1 − i t )i tSébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationTroisième modélisationModèle SIModèle SIRTemps :ContinuEspace :∅Variable :DistretComposants :non distinctNombre infiniRelation entre composants (réseau d’interaction)HomogèneEvolution :Déterministe (grandeur moyenne)Sébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationTroisième modélisationModèle SIModèle SIRs(t) : proportion moyenne d’individus dans l’état S à l’instantti(t) : proportion moyenne d’individus dans l’état I à l’instant tcf. Tableau (désolé pour les absents)Modélisation par une équation différentielledidt= β(1 − i)iSébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationModèle SIModèle SIRSolution de l’équation différentielledidt= β(1 − i)iConvergence vers i = 1 dès que β > 0Croissance (1) exponentielle, puis (2) linéaire, puis (3)exponentielle négative (sigmoïde, cf tableau)Fonction logistique (Verhulst)i(t) =i 0 e βt1 − i 0 + i 0 e βt = 11 + a.e −βtavec a = 1−i 0i 0Sébastien Verel Diffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationQuatrième modélisationModèle SIModèle SIRTemps :DiscretEspace :∅Variable :DiscretComposants :distinctNombre finiRelation entre composants (réseau d’interaction)HomogèneEvolution :Stochastique- variabilité inter-individuelle !- observation des distributions de valeurSébastien VerelDiffusion Percolation

Modéle à agentsPropagation d’une infectionPercolationModèle SIModèle SIR1 - beta 1.0SbetaIA chaque instant, chaque individus rencontre un autreindividus de manière aléatoireUn individus S devient I selon une expérience de Bernouilli deparamètre β :”Il devient I avec une probabilité β”turtles-own [etat ; S ou Iancien-etat ; modèle de temps synchrone]cf. TP... cinquième modélisation : espace discretSébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationSimulation multi-agentsModèle SIModèle SIRSimuler une loi de Bernouilli de paramètre βifelse random-float 1.0 < beta [...][...]Evolution d’un étatPour tous les agents :Enregistrer l’état courant dans l’état dit ”ancien”Puis pour tous les agents,Calculer le nouvel état en fonction des états anciensSébastien VerelDiffusion Percolation

Modèle SIRPropagation d’une infectionPercolationModèle SIModèle SIRUn individus peut être dans l’état :S : Susceptible d’être infectéI : InfectéR : Recover (immunisé)Un individus S devient infecté au contact d’un individusinfecté selon le taux βUn individus infecté devient immunisé selon le taux γ1 - beta 1.0 - gamma1.0SbetaIgammaRSébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationModèle SIModèle SIRModèle temps discret, nombre finiS t : nombre moyen d’individus dans l’état S à l’instant tI t : nombre moyen d’individus dans l’état I à l’instant tR t : nombre moyen d’individus dans l’état R à l’instant tN = S t + I t + R t : nombre total d’individuscf. Tableau (désolé pour les absents)S t+1 = S t −IβS t t NI t+1 = I t +IβS t t N − γI tR t+1 = R t + γI tSébastien Verel Diffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationModèle SIModèle SIRModèle temps continue, nombre infinis(t) : proportion moyenne d’individus dans l’état S à l’instantti(t) : proportion moyenne d’individus dans l’état I à l’instant tr(t) : proportion moyenne d’individus dans l’état R à l’instanttcf. Tableau (désolé pour les absents)dsdt= β s ididt= β s i − γ idrdt= γ iSébastien VerelDiffusion Percolation

Modèle multi-agentsPropagation d’une infectionPercolationModèle SIModèle SIR1 - beta 1.0 - gamma1.0SbetaIgammaRA chaque instant, chaque individus rencontre un autreindividus de manière aléatoireUn individus S devient I selon une expérience de Bernouilli deparamètre β :”Il devient I avec une probabilité β”Un individus I devient R selon une expérience de Bernouilli deparamètre γ :”Il devient R avec une probabilité γ”cf. TP... cinquième modélisation : espace discretSébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationModèle à compartimentsVariantes et extensionsModèle SIModèle SIRPlus de compartiments (états) : mort, etc.Tenir de compte de l’age, sexe, etcMouvement des individusetc.Sébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationPercolation : Bibliographie principalePercolation et économie, thèse de doctorat, Stéphane Pajot, 2001.Sébastien VerelDiffusion Percolation

ExemplesPropagation d’une infectionPercolationMasque à gaz : constitué granulesde carbone poreux. Réseaualéatoire de petits tunnelsinterconnectés.Pores larges : gaz passe à traversPores trop petits : plus detraverséCafé : serrage plus au moins fortdu filtre. Agglomérat de finesparticules (milieu aléatoireinhomogène)Densité à laquelle l’eau ne passeplus→ Seuil de percolationSébastien VerelDiffusion Percolation

ExemplesPropagation d’une infectionPercolationArchipel au contient : baissedu niveau de l’eauRéseau de communication :n stations reliées avec uneprobabilité pMélange de 2 poudres :proportion p de poudreconductrice, 1 − p denon-conductrice→ Seuil critique de percolationSébastien VerelDiffusion Percolation

DéfinitionPropagation d’une infectionPercolation1954, Broadbentutilisation des méthodes de Monte-Carlo pour analyser lapénétration d’un fluide dans un labyrinthe de passage ouvert ouferméTerminologie (en référence au café) 1957 : S.R.BROADBENT et J.M. HAMMERSLEY :Modèle dual de la diffusionProcessus de propagation aléatoire d’un fluide à travers un milieuDiffusion PercolationMouvement du fluide aléatoire déterministeStructure du milieu déterministe aléatoireSébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationDualité diffusion/percolationDiffusionPercolationp=1/4milieu déterministe,déplacement aléatoiremilieu aléatoire,déplacement déterministeSébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationProblème de transmissionproblème de transmissionmilieu étendudistribution régulière d’un grand nombre de ”sites”susceptibles de relayer localement une informationcommunication entre sites : liens d’efficacité aléatoireSelon la proportion de liaisons actives :possibilité ou non de transmission information à longuedistancep c seuil de percolationSébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationProblème de transmissionpercolation repose sur 3 hypothèsesphénomène étudié dans un espace contenant un grand nombred’élémentsrelation entre les éléments repose sur un aspect localrelation entre les éléments a un caractère aléatoirePhénomène critique au niveau global :p < p c : information limitée à un espace réduitp c < p : information ”percole” à travers le milieuSébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationTypes de percolationExemple d’un réseau de communicationPerco. Sites Perco. Liens Perco. MixteNoir : site actifBlanc : site inactifLigne pleine : lien actifLigne pointillé : lien inactifSébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationPercolation de SitesPercolation de SitesGraphe G = (V , E) : ensembleinfini de noeuds et arcsChaque sommet à l’un des 2états possibles : 0/1,actif/inactif,conducteur/non cond.Probabilité p s d’être dansl’état 1Chemin conducteur de S a à S bS’il existe une suite(S 1 = S a , . . . , S n = S b ) de sitesactifs voisinsSébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationPercolation de SitesAmasdeux sites appartiennent aumême amas s’il existe au moinsun chemin conducteur entre euxSébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationPercolation de LiensPercolation de LiensGraphe G = (V , E) : ensembleinfini de noeuds et arcsChaque arc à l’un des 2 étatspossibles : 0/1, actif/inactif,conducteur/non cond.Probabilité p b d’être dansl’état 1Chemin conducteur de S a à S bS’il existe une suite(S 1 = S a , . . . , S n = S b ) de sitesreliés par des arcs actifsSébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationPercolation MixteNombreux type de réseaux :hexagonal, triangulaire, etc.Sébastien VerelPercolation Mixte P(p s , p b )Graphe G = (V , E) : ensembleinfini de noeuds et arcsChaque sommet à l’un des 2états possibles : 0/1,actif/inactif,conducteur/non cond.Chaque arc à l’un des 2 étatspossibles : 0/1, actif/inactif,conducteur/non cond.Probabilité p s d’être dansl’état 1Probabilité p b d’être dansl’état 1Diffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationSeuil de percolationDéfinitionDans réseau avec une probabilité p de sites (ou liens) actifs.Concentration p à laquelle un amas de taille infinie apparait dansun réseau de taille infiniep ≥ p c une chaine s’étend d’un côté à l’autre du système(percolation)p < p c aucun chemin de ce typeDéfinitionp c = sup{p|Prob(p) = 0}avec Prob(p) probabilité de percolation pour la densité pSébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationSeuil de percolationPhénomène critique :transition de phaseDéfinitionp c = sup{p|Prob(p) = 0}avec Prob(p) probabilité depercolation pour la densité pSébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationSeuil de percolation : exemple percolation mixtePhénomène critique :transition de phaseDéfinitionp c = sup{p|Prob(p) = 0}avec Prob(p) probabilité depercolation pour la densité pSébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationEffet de la taille finieMesure sur un grand nombre d’instancesCalculs statistiques :moyenne et l’écart-type pour chaque valeur de pTracé expérimental de la courbe de transition de phaseSébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationPercolation dans le modèle SITous les sites ne sont pas occupés :Probabilité p qu’un site soit occupéβ = 1 infection en cas de contactTous les individus à gauche sont infectés initialementProbabilité que la maladie traverse le réseau d’individus ?p = 0.50 p = 0.55 p = 0.60non perco non perco percoSébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationContinuons l’histoire des étudiants de première année...Un étudiant est informé que le professeur est en retard,Il communique l’info à tous ceux dont il a fait connaissance,De même pour ceux qui viennent d’apprendre la nouvelle.Sur le réseau défini par des régles localess’ajoute une dynamique de propagation d’information.Combien d’étudiants vont être informés du retard et pourrontprendre leurs dispositions ?Est-ce que la communauté des étudiants va pouvoir réagirl’information dans son ensemble et rapidement ?Sébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationQu’est-ce qui se passe chez les étudiants ?Sébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationTaux10.80.60.40.2n=100n=200n=30000 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1pTransition de phaseAvant log(n)/n :peu d’étudiants informéAprès log(n)/n :quasiment tous les étudiantsinforméNombreuses conséquencesTransmission de maladiesinfectieusesPropagation d’informationdans un réseau type”twitter”etc.Sébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationVitesse de propagation : longueur de cheminLongueur de cheminLa longueur d’un chemin est lenombre d’arcs du cheminP(v, w).DistanceLa distance entre 2 noeuds v etw est la longueur minimalechemin parmis les chemins reliantv et w.Sébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationVitesse de propagation : longueur moyenne de cheminAverage Path lengthLongueur moyenne de cheminLa longueur moyenne de cheminest la moyenne des distance entretout couple de noeuds du graphe.DiamètreSi le graphe est connexe, lediamètre est la plus grandedistance entre les couples denoeuds.Directement lié au temps depropagation de l’information...Sébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationTemps de propagation87Distance65432150 100 150 200 250 300ntempsdist. moydiametreTemps moyen de transmission dumessage,distance moyenne,et diamètre en fonction dunombre d’étudiants nDistance Moyenne graphealéaotoireLorsque celui-ci est connexe< p),( log(n)nla distance moyenne est log(n)log(pn) .Les distances sont courtes...Sébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationInfection / Communication dans un réseau sans échellecaractéristiqueSébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationRobustesse aux pannes et attaquesRéseau aléatoire :Sensible aux pannesaléatoiresTrès robuste aux attaquescibléesRéseau scale free :Très robuste aux pannesaléatoiresTrès sensible aux attaquescibléesSébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationSérie d’expériences en NetLogoMenu Tools, puisBehaviorSpaceDocumentation : http://ccl.northwestern.edu/netlogo/docs/, puisdans le frame de gauchedans la partie Features,choisir controlling.Sébastien VerelDiffusion Percolation

Propagation d’une infectionPercolationPour conclure...ProjetFaites le lien avec la propagation de rumeur !Sébastien VerelDiffusion Percolation