Janvier 2012

vaut 3.14159 et f est la fréquence de l'onde enHertz. est la phase relative à l'origine de l'onde.Cette onde sera la porteuse et supporteral'information que nous souhaitons transmettre.Cette information sera la modulation de l'onde.Il nous est possible d'agir sur un ou plusieursdes termes 1 2 ou 3.Sur 1 : ce sera une modulation d'AMPLITUDESur 2 : ce sera une modulation de FREQUENCESur 3 : ce sera une modulation de PHASENote : notons immédiatement que fréquence etphase ne sont pas rigoureusementindépendantes mais sont liées par un terme en1/f qui apparaît dans les calculs détaillés et quiest souvent appelé accentuation oudésaccentuation.Je n'en tiendrai pas compte dans ce documentque j'ai voulu comme information générale. Jerenvoie vers les articles théoriques qui sontlargement diffusés.3.1. MODULATION ou SUPERPOSITION ?Nous voulons par exemple moduler enamplitude une onde à 1MHz par une onde à1KHz.Si nous appliquons ces deux ondes à un systèmelinéaire, nous obtiendrons un signal résultat =onde F1 + onde F2. Le spectre ne nousmontrera jamais que deux raies à 1MHz et1KHz!L'onde F1 ne sera jamais affectée par le signalF2. Nous avons simplement superposé et nonmodulé.Pour moduler, nous devons obligatoirementpasser par un système non-linéaire dont lafonction serait par exemple :Y=a+b.X+c.X 2 +d.X 3 +e.X 4 +...Nous allons les appliquer dans des fonctionsnon linéaires.Le théorème de FOURIER nous apprend qu'uneonde périodique quelconque est égale à laSOMME d'une série d'ondes SINUSOIDALESdont les fréquences sont les multiples de lafréquence fondamentale et dont chaquecoefficient dépend de la forme de l'onde.Ce sont les HARMONIQUES et on a donc :N Raies =A0+A1.sin(f0)+A2.sin(2xf0)+A3.sin(3xf0) ....Le LA d'un violon à la même fréquence que leLA d'une trompette mais les coefficients A2A3... sont différents : c'est le TIMBRE DU SON.En général, il n'y a pas de composante continuedonc A0=0. Nous nous limiterons icisimplement au x² et nous admettrons que lacomposante continue a est nulle. Il nous resteles termes du premier et second degrésSi X= sin(f1) + sin(f2) nous aurons en notationsimplifiée sans les coéf..Y=sin(f1)+sin(f2) = (sin(f1)+sin(f2))²La décomposition du binôme au carré donnerades termes en (sin(f1))² (sin(f2))²(sin(f1).sin(f2)).L'application des formules de Simpson montreque finalement, nous aurons des termes en2.f12.f2f1 + f2et f1 - f2Le spectre initial des deux raies à 1MHz et1KHz contiendra en plus des raies à 2MHz, 248QSP N°18 Janvier 2012KHz et les raies 999KHz et 1001KHz. Ces deuxdernières valeurs sont appelées BANDESLATERALES et contiennent l'informationcomplète de l'onde modulée.Il est clair que si la fonction de transfert ne selimite pas au terme du second degré maiscomprend des termes de rang plus élevé, nousobtiendrons dans les formules de Simpson destermes dérivés du cube quatrième puissanceetc.Donc des termes en 3.f1 3.f1 4.f1... et3.f2 4.f2... 2.f1+f2... de façon générale m.f1 +/-n.f2.CALCUL EXACT DES BANDES LATERALESMais rappelons d'abord les formulesfondamentales :Carré parfait : (a+b)²=a²+2.a.b+b²Produit de deux sinus : 2.(sin(a).sin(b))=cos(ab)-cos(a+b) 1 est la pulsation du signal de la porteuse parexemple f1 =1 MHz 2 est la pulsation du signal modulant parexemple f2=1 KHzUne fonction linéaire sera par exemplel'équationX=A 0 +A 1 .sin( 1 .t)+B 1 .(sin( 2 .t) ne contient quef1 et f2Par contre, appliqué à une fonction non linéairedu second degré :Y=A 1 .sin( 1 .t)+B 1 .sin( 2 .t)+(A 1 .sin( 1 .t)+B 1 .sin( 2 .t))²La décomposition donnera d'abord les termesen f1et f2. Ensuite pour le carré, on aura lestermes carré du premier terme : A 1 ².sin2( 1 .t)+double produit : 2. A 1 .B 1 .(sin( 1 .t).(sin( 2 .t)qui se décompose en2.A 1 .B 1 .(((cos( 1 - 2 ))-(cos( 1 + 2 )))carré du second terme : B 1 ².sin²( 2 .t)On retrouve donc la porteuse F1 et le signalmodulant F2. On a en plus les fréquences