Z Z V . V . V , 1 I et I .

EXERCICES D’ELECTROTECHNIQUEPrépa CAPES PhysiqueLuc Lasne, 29/10/2008Partie 1 : Régime alternatif sinusoïdal monophaséExercice 1 : Charge monophaséeIL=20mHOn considère la charge monophasée représentée sur la figure cicontre, placée sous une tension sinusoïdale de valeur efficaceV=230 V et de fréquence 50 Hz.VR 1 =20Ω1) Calculer la valeur efficace I 1 du courant circulant dans la résistance R 1 .2) Calculer la valeur efficace I 2 du courant circulant dans la résistance R 2 .3) Calculer la valeur efficace I du courant absorbé par l'ensemble de ce circuit.4) Calculer la valeur des puissances active P, réactive Q et apparente S relatives à ce circuit.5) En déduire la valeur du facteur de puissance de cette charge.R 2 =10Ω1/j0,002Exercice 2 : Diviseur de courant4 ΩIDu circuit représenté ci-contre, on ne connaît que la valeur du couranttotal absorbé : I=2,5 A ainsi que les valeurs des impédances notées sur laI 2 j.40 Ω 10 Ωfigure.V1) Calculer la valeur de la tension efficace V appliquée à cette charge.2) En déduire les valeurs de I 1 et I 2 .3) Retrouver ces valeurs par l’application de la formule du diviseur de courant (les admittances serontdirectement calculées à la calculatrice en calcul complexe).4) Représenter l’intégralité des grandeurs sur un diagramme de Fresnel.5) Ecrire l'expression littérale de la puissance active P et de la puissance réactive Q consommées par cettecharge. Faire l’application numérique.6) Calculer les éléments du circuit le plus simple équivalent à cette charge.I 1Exercice 3 : Charge monophasée et calcul d’impédances complexesDans cet exercice, on s’intéresse à la détermination des grandeursélectriques relatives au récepteur monophasé représenté sur la figure cicontre.Le générateur est une source de tension sinusoïdale idéale. La grandeurcomplexe V représente ainsi une tension sinusoïdale de valeur efficaceV =130 V et de fréquence f =50 Hz .AIVM2 Ω B60 Ω 30 Ωj.30 Ω j.15 ΩI 1 MI 2V BM7) Calculer la valeur numérique de l’impédance complexe Z BM équivalente aux deux branches de sommets Bet M.8) Calculer alors l’impédance complexe Z AM équivalente à l’ensemble de la charge.9) Calculer la valeur efficace du courant I .10) Calculer ainsi les valeurs de la puissance active et réactive totales consommées par le circuit. NB : Cecalcul peut être mené de plusieurs manières différentes. Toutes les démarches seront acceptées à conditionque le résultat soit juste.11) Calculer le facteur de puissance global de ce récepteur (préciser si le déphasage est « arrière » ou « avant »).12) En utilisant les question 1 et 3, calculer également la valeur efficace de la tension VBM.13) En déduire les valeurs de I 1 et I 2 .14) Peut on dire de façon générale que I = I1+I2? Cette égalité est elle vérifiée ici ? Pourquoi ?V .15) Ecrire l’équation de maille qui relie V , I etBM16) Représenter alors sur un diagramme de Fresnel sans échelle particulière les vecteurs V , I , VBM, I 1 etI 2 .

Exercice 4 : Puissances et facteur de puissance associés à un dipôle non linéaireOn considère dans cet exercice un dipôle récepteur « nonlinéaire ». Alimenté sous la tension sinusoïdale du réseauélectrique, il consomme un courant non sinusoïdal représenté surv(t)la figure ci-contre. Les angles caractérisant l’allure de ce courantreprésentent la grandeur θ=ωt qui apparaît dans l’expression de la400tension du réseau électrique : Vr = V. 2.sin( ωt)(supposée à300200l’origine des phases, avec V=230 V,ω=2π×50 rad/s).i(t)10017) Déterminer l’expression du courant et de la tension efficacesconsommés par ce récepteur.018) En déduire l’expression de la puissance apparente S -100associée.-20019) Calculer l’expression littérale de la puissance active-300consommée.-40020) En déduire le « facteur de puissance » : k=P/S associé. Quelpeut être l’intérêt de ce facteur ?21) A t’on alors intérêt de véhiculer des courants non sinusoïdaux sur les réseaux électriques ?Exercice 5 : Tracés dans le plan complexe et compensation de puissance réactiveUn atelier monophasé est constitué de trois ensembles de machines, constituant les charges 1, 2 et 3, mises enparallèle sur la même tension sinusoïdale à 50 Hz de valeur efficace V=230 V. On récapitule dans le tableau cidessousles mesures faites sur chacune de ces charges.Charge 1P 1=20kWQ 1=15kVARCharge 2S 2=45kVAcosϕ2=0,6AR0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450Charge 3S 3=10kVAQ 3=−5 kVAR1) Calculer pour chaque charge l'ensemble des grandeurs électriques la caractérisant : courant absorbé,puissances actives réactives et apparente, facteur de puissance. On notera ces grandeurs I 1 , I 2 , I 3 , P 1 , P 2 ,etc.2) En déduire la valeur de la puissance active totale P et de la puissance réactive totale Q consommées par lacharge totale. calculer également la puissance apparente totale S , le facteur de puissance global ainsi que lecourant total absorbé : I.3) Représenter dans le plan complexe les courants I 1 , I 2 , I 3 et I . On réalisera un diagramme sans échellemais sur lequel les amplitudes et déphasages des vecteurs seront notés. On prendra comme référence dephase la tension V .4) Représenter la construction du triangle des puissances de l'ensemble de ces charges.5) On désire, en plaçant un condensateur C' en parallèle sur l'installation relever le facteur de puissance à lavaleur : cos ϕ ' = 0,9AR. Calculer la valeur de C'.6) Calculer également la valeur C'' d'un condensateur permettant d'obtenir un facteur de puissancecos ϕ '' = 0,9AV .7) Le facteur de puissance ayant la même valeur dans les deux cas, quel condensateur choisit on en pratique ?v(t)i(t)RécepteurNon LinéaireI 0 =10 Aθ(deg)

Partie 2 : Circuits triphasésExercice 1 : Triphasé , Charges Y et ∆ .jϕOn considère une charge triphasée équilibrée constituée de trois impédances identiques Z=Z. e = 10+j.20câblées en étoile sur un système de tensions triphasées 230 V / 400 V.1) Représenter le schéma électrique correspondant à ce système. Repérer sur ce schéma les tensions simples( V1, V2, V3) et les tensions composées ( U12, U23, U31).2) Quelle relation relie les valeurs efficaces U et V de ces tensions ?3) Calculer l'expression littérale et la valeur du courant efficace I absorbé par chaque phase.4) Préciser la valeur du déphasage courant / tension sur chaque phase. Préciser alors les expressions et lesvaleurs des puissances active et réactive consommées par cette charge.jϕ'On considère à présent trois impédances Z'= Z'.e = 30+j.60 câblées en triangle sur le même système deZ ' . On appelleratensions triphasées. On appellera J' le courant de phase efficace circulant dans les impédancesI' la valeur efficace du courant de ligne.5) Représenter le schéma électrique correspondant à ce système. Repérer sur ce schéma les tensions composées( U12, U23, U31).6) Quelle relation relie I' et J' ? Calculer alors les expressions et les valeurs de I' et J'.7) Préciser l'expression et les valeurs des puissances active et réactive absorbées par cette charge.8) Ces résultats auraient ils pu être prévisibles étant donnés les valeurs de Z et Z ' ?9) Représenter sur un diagramme de Fresnel les tensions simples ( V1, V2, V3), les tensions composées( U 12 , U 23 , U 31 ) ainsi que les trois courants de ligne : ( I 1 , V2, V3) . NB : Il n’est pas nécessaire derespecter d’échelle précise mais en revanche de préciser sur le diagramme les grandeurs nécessaires à lacompréhension.Exercice 2 : Circuits triphasés déséquilibrésI 1Z 1On considère le système triphasé 230/400 V représenté sur laVfigure ci contre.2 U 12 VN1N' Z 2 N'On donne la valeur des impédances :V 3I 2 V 2N' Z 3 Z1= j30( Ω), Z2= −j10et Z3= j20.I 310) Le neutre étant relié, calculer rapidement les valeursV 2N'efficaces des courants de ligne : I 1 , I 2 et I 3 .11) Représenter, sur un diagramme sans échelle dans le plan complexe, les tensions simples sur les chargesV1N', V2N'et V3N'ainsi que les courants de ligneV 1 Icomplexes. A quel type de déséquilibre a t’on1 Z 1affaire (courant, tension , …) ?V 2 U12) Par accident le conducteur de neutre et la « phase 3 » sont N12 V 1N' Z 2 N'rompus ; on représente le schéma correspondant sur laVI 2 3 V 1N' Z 3figure ci contre. Quelle relation relie alors les courants I 1 etI 2 ?13) Ecrire la relation complexe qui relie la tension U12aucourant I 1 .14) Calculer alors la valeur efficace I 1 ainsi que le déphasage de I 1 par rapport à U12.15) Ecrire les expressions littérales complexes des tensions V1N'et V2N'en fonction du courant I 1 .16) Calculer alors les valeurs efficaces V 1N'et V 2N'ainsi que leurs déphasages par rapport à U12.17) Représenter dans le plan complexe les grandeurs suivantes : U12, U23, U31, V1N', V2N', I1et I2. Pourcette question, on ne prendra pas d’échelle particulière, cela dit les angles remarquables devront êtrerespectés et les amplitudes relatives à peu près respectées.V 1

Exercice 3 : Installation électrique de la tour EiffelDans cet exercice on s’intéresse à l’installation électrique de la tour Eiffel qui, avec ses 5 ascenseurs, ses 10000ampoules, son relais radio, ses restaurants et boutiques, représente un lieu important de consommationélectrique. Pour en faire l’étude, on considère le schéma électrique simplifié, correspondant à l’installationtriphasée, représenté sur la figure ci dessous.Attention : Onconsidère dansl’exercice que toutesles charges sontéquilibrées.Par ailleurs, lespuissances indiquéescorrespondent aufonctionnement enplein régime desdiverses charges.Triphasééquilibréfourni parEDFV 1I 1V 2N 2U 12I 2V 33 I 3V 1 =V 2 =V 3 =V=230V1Eclairage 17000 ampoulessimples :Pe 1 =140 kWEclairage 23000 ampoulesflash :Pe 2 =60 kWcosϕ=0,5 ARMoteursAscenseurs5 Ascenseursde 100kWcosϕ=0,8 ARCircuitsdiversCircuits DiversPcd=700 kWcosϕ=0,9AntenneRadio/TVRelaisRadio/TVPr=72 kWcosϕ=0,7 AR1) Quelle relation relie la valeur efficace des tensions simples V à celle des tensions composées U ? Quelle estalors la valeur des tensions composées U ?2) Calculer les puissances active et réactive totales correspondant au fonctionnement simultané des 5ascenseurs (de 100 kW chacun) : P a et Q a .3) Les 3000 ampoules flash sont tributaires d’un facteur de puissance de 0,5. Calculer alors la puissanceréactive e2Q qu’elles consomment en plein régime.4) Calculer également les puissances réactives Q cd etQrconsommées respectivement par les circuits divers(cosϕ=0,9) et par l’antenne Radio (cosϕ=0,7) en plein régime.5) Calculer alors la puissance active totale P t et la puissance réactive totale Q t correspondant aufonctionnement en plein régime de la tour Eiffel.6) En déduire la valeur du courant de ligne I consommé en tête de l’installation et la valeur du facteur depuissance global.7) Calculer l’énergie (en kWh) consommée en une journée par cette installation en considérant les pointssuivants (NB : 1 kWh = 1kW consommé pendant 1h.) :Eclairages : plein régime8h/24hAscenseurs : plein régime12h/24hCircuits divers : pleinrégime 16h/24hAntenne Radio/TV : pleinrégime 24h/24h8) Calculer alors le prix d’une journée d’alimentation électrique sachant que 1kWh = 0,1€.En raison de la hauteur de l’édifice, les diverses charges sont distantes destransformateurs d’une distance moyenne de 150 m. Le schéma monophasé équivalentde l’ensemble de l’installation, représenté sur la figure ci contre fait alors apparaîtreune résistance R, équivalente aux câbles, qui s’interpose entre la tension d’EDF et lacharge équivalente à l’installation.R=10mΩChargeéquivalentecosϕ=0,89) Calculer le courant de ligne correspondant à la puissance en régime moyen P =1MW. Attention : cettepuissance est la puissance totale du système triphasé.10) Calculer alors les puissances active et réactives produites par EDF dans ce cas. En déduire la valeur de latension produite par EDF permettant de fournir 230 V à la charge.V EDF230V

Exercice 4 : Circuits triphasés et problématiques liées aux réseaux électriquesOn considère un tronçon de réseau électrique de 100 km de long reliant une centrale de production à une régionde consommation. La centrale est représentée par un générateur triphasé équilibré direct (TED), supposé parfait,de tension entre phase U ' . La ligne estV’ 1r jlω1 I1U’2 12 r jlω U 12 2NN3 r jlω U 23 3modélisée par une résistance et une inductance àdéterminer. L’ensemble des consommateurs estreprésenté par une « charge » supposée équilibréeconsommant au maximum 300 MégaWatts. Leschéma électrique correspondant est représentésur la figure ci contre.1) La tension « entre phases » au niveau de la charge vaut : U =400 kV . En déduire la valeur des tensionssimples correspondantes : V .2) La charge consomme, au maximum, les puissances P =300 MW et Q =+100 MVAR . Calculer lesvaleurs correspondantes de la puissance apparente S et du facteur de puissance associés à cette charge.3) Calculer alors la valeur du courant de ligne I consommé sur chaque phase par la charge.4) La ligne présente, sur chaque phase, une résistance linéique de 0,05 Ω/km et une réactance linéique de 0,3Ω/km. Calculer alors les valeurs de la résistance de ligne r et de la réactance de ligne l ω . NB : le terme« linéique » signifie « par unité de distance ».5) En déduire, par un bilan de puissance, les valeurs de la puissance active totale P t et de la puissance réactivetotale Q t fournies par la centrale de production.6) Calculer alors la valeur de la puissance apparente totale S t . En déduire la valeur de la tension simple V ' etde la tension composée U ' que la centrale doit fournir.7) Représenter le schéma monophasé équivalent de ce système triphasé (c’est à dire le circuit que représenteune des phases). Préciser la relation de maille relative à ce schéma.8) Réaliser alors un diagramme de Fresnel sans échelle représentant les vecteurs V , I , r. I , j . lω.I et V ' (onpourra organiser les différents vecteurs de façon à réaliser la construction vectorielle correspondant à la loides mailles).9) La puissance active consommée par la ligne de transport représente une perte. Calculer alors la valeur durendement du système (on considèrera que la puissance utile est P ).10) Calculer alors la valeur maximale de la longueur de la ligne permettant au rendement de rester supérieur à90%.Partie 3 : Circuits magnétiques et TransformateursExercice 1 : Circuit magnétiqueDans cet exercice, on s’intéresse à un circuit magnétique très commun, représenté en coupe sur la figure cicontre, pouvant servir à réaliser des inductances ou des transformateurs monophasés. L’objectif de l’exercice estde déterminer le nombre despires N à bobiner pour enfaire une inductanceL =20 mH .On donne les dimensions etcaractéristiques suivantes :VINV’ 3Centrale deproductionLigne (100km)φ 1 φ 3 φ 1R 1εφ 3φ 2µ .l 1=30 cm , l 2=10 cm , l 3=30 cm , S 1 = S2=S3=20 cm² , perméabilité relative : r= 15001) Que représente la grandeur notée ε sur le schéma équivalent ?2) Donner les expressions et calculer les valeurs des réluctances R 1, R 2 et R 3 .3) Calculer la réluctance R équivalente au circuit magnétique (on s’aidera du schéma équivalent représentésur la figure 1).L .4) Calculer alors le nombre de spires N à bobiner pour réaliser une inductance =20 mHChargeP=300 MWQ=100 MVARφ 2R 2 R 3

Cette inductance est destinée à être utilisée en régime alternatif sinusoïdal, à la fréquence f =400 Hz Oncherche à déterminer le courant efficace maximal qu’elle pourra supporter sans saturer.5) Enoncer la « relation Tension/Fréquence/Induction » qui relie la tension efficace V (aux bornes dubobinage) à la valeur maximale B max de l’induction et à la fréquence f .6) Quelle relation relie la tension complexe V et courant complexe I ? En passant aux modules, quellerelation relie alors V à la valeur efficace du courant I ?7) En se servant des deux dernières questions calculer la valeur efficace du courant I permettant de ne pasdépasser B max=1,5 T au sein du bobinage.8) Pour pouvoir augmenter la valeur de ce courant, on pratique un entrefer d’épaisseur e= 1mmdans labranche « 1 » du circuit magnétique. Calculer alors la nouvelle valeur de la réluctance équivalente.9) Calculer ainsi la nouvelle valeur de l’inductance obtenue et le nouveau courant efficace maximal.(permettant toujours de ne pas dépasser B max=1,5 T au sein du bobinage).Exercice 2 : Circuit magnétique et approche du transformateurDans cet exercice, on s’intéresse à un circuit magnétique homogène sur lequel sont bobinés deux enroulements.Le bobinage 1 comporte N 1 spires et est placé sous la tensionφsinusoïdale v 1 , le bobinage 2 comporte N 2 spires et est i 1i 2considéré comme ouvert dans un premier temps. Une coupe ducircuit magnétique et la disposition des bobinage sont ~ v 1N 1N 2 v 2représentés sur figure ci contre. L’objectif de l’exercice est dedéterminer les relations existant entre les tensions et lescourants des deux bobinages.On donne les dimensions et caractéristiques suivantes : Longueur moyenne du circuit magnétique : l=50 cm, Section : S=20 cm², perméabilité relative : µ r =1500 S.I.1) Rappeler la formule « tension / induction / fréquence » énoncée dans le cours.2) On souhaite placer le bobinage 1 sous une tension alternative sinusoïdale de valeur efficace V 1=230 V à lafréquence f =50 Hz . Calculer le nombre minimal de spires N 1 permettant de ne pas dépasser la valeurd’induction maximaleB max=1,8 T dans le matériau magnétique.1=Dans toute la suite du problème on considèrera la valeur fixe : N 300 spires.3) Calculer la réluctance R du circuit magnétique.4) Ecrire l’expression du flux circulant dans le circuit magnétique : φ en fonction de R , 1N et i 1 .5) Préciser l’expression et la valeur de l’inductance que représente le bobinage 1 : L 1 .6) Quelle relation vérifie cette inductance ?7) Calculer l’expression et la valeur de l’inductance mutuelle M existant entre les deux bobinages sachantqu’elle vérifie la relation : 2 T =M.i12φ où φ T est le flux total intercepté par le bobinage 2.8) En écrivant la loi de Lenz pour chacun des bobinages, écrire les expressions des tensions v 1 et v 2 endi1fonction de . dt9) En déduire l’expression du rapportv 2 . Calculer alors le nombre de spires 2v12=127 VN permettant à la tension v 2de présenter une valeur efficace V .On considère maintenant que le bobinage 2 est connecté à une résistance R =50 Ω .10) En supposant la tension v 2 de valeur efficace V 2=127 V , calculer la valeur efficace du courant i 2 : I 2 .11) Représenter le schéma équivalent du circuit magnétique faisant apparaître la réluctance et les diverses forcesmagnétomotrices. On portera une attention particulière aux sens conventionnels des flux et des « fmm ».12) En écrivant la relation de maille sur ce schéma équivalent, écrire l’équation qui relie i 1 , i 2 et φ .13) En supposant que le terme R φ est négligeable dans cette relation, quelle est l’expression du quotientQuelle relation existe t’il entre les puissances instantanées v 1.i 1 et v 2.i2?bobinage 1bobinage 2i 2?1i

Exercice 3 : Transformateurs en cascadeUn ensemble de distribution d'énergie électrique sous tension sinusoïdale à 50 Hz est représenté, en schémamonophasé équivalent, sur la figure ci dessous. Les transformateurs représentés sont considérés comme parfaitset les rapports de transformations connus : m =2.10−3et m 100 .Les éléments d'imperfection desr=100 Ω lω=300 Ωtransformateurs et de la ligne sont II 1I 2ramenés à la résistance r et àl'inductance l. La charge consomme, ~ VV'V 1V 2par phase, une puissance de 500 kWsous 230 V et avec un facteur dem'mpuissance cos ϕ =0, 8 arrière.GénérateurLigneCharge1) Calculer la valeur du courant I 2 .2) En déduire la valeur du courant I 1 et calculer la valeur de V 1 .3) Représenter un diagramme de Fresnel faisant apparaître toutes les grandeurs de la maille centrale.4) Calculer alors la valeur de la tension V ' en faisant une hypothèse de colinéarité des tensions V1et V ' .5) En déduire la valeur de la tension V nécessaire à assurer 230 V en bout de ligne.6) Reprendre les deux dernières questions en faisant un bilan de puissances actives et réactives. Conclure surl'hypothèse faite à la question 4.'=

Partie 4 : Moteur à courant continuExercice 1 : Moteur à excitation réglableOn considère une machine à courant continu utilisée en moteur. Le bobinage inducteur est alimenté par la sourcede tension de 110 V qui alimente également l'induit, à la différence que le courant inducteur est limité par larésistance R e1. L'installation est représentée sur la figure ci dessous.U=110 VIUC , N (tr/min)R e1I eOn donne : Résistance de l'induitR =0,5 Ω , Résistance de l'inducteur : R e=400 ΩI =1,21) Le moteur fonctionnant à vide consomme le courant A . Calculer alors la valeur des pertesmécaniques P m . Calculer également la valeur de la force électromotrice interne E.2) Toujours à vide, et pour R e1= 0 , le moteur tourne à la vitesse de 1620 tr/min. Calculer le couple de pertesmécaniques C m .3) En déduire le coefficient k tel que C= k.Ie.I . Vérifier que ce coefficient vérifie également la relationE= k.Ie.Ω.4) On charge à présent le moteur en le faisant entraîner une dispositif mécanique (treuil, roue, ou autre…) quireprésente un couple résistant de 10 Nm s'ajoutant au couple de pertes (supposé constant). Calculer alors lecourant absorbé.5) En déduire la valeur de la force électromotrice E et de la vitesse de rotation du moteur N (tr/min).6) On souhaite que cette charge soit entraînée à 1800 tr/min. Calculer alors la valeur de la résistance e1permettant d'obtenir cette vitesse.Exercice 2 : Machine utilisée en génératriceUne machine à courant continu à aimants permanents est utilisée en génératrice, entraînée par un ensemblemécanique à la vitesse N n=3000 tr/min . La tension nominale de la génératrice est U n=220 V , la puissancenominale P n=20 kW et le rendement nominal : η =0, 8 .1) Représenter un schéma équivalent de la génératrice et de sa charge (utiliser une convention adaptée).2) Calculer la valeur du courant nominal de la génératrice.3) En déduire la valeur de la résistance d'induit si on néglige les pertes mécaniques de la machine.4) Calculer alors la valeur de la tension à vide et de la tension à demi-charge, c'est à dire pour une puissancefournieP= P .2 n5) Calculer le rendement de la machine à demi-charge.R

CorrectionsLuc Lasne, 29/10/2008Partie 1 : Régime alternatif sinusoïdal monophaséExercice 1 : Charge monophasée= V 230R 1 20I = V = 230R2² + ( L.ω)²10² + (20.10−3×2π×50)²1) I 1 = = 11, 5 A2) 2 = 19,5 A3) Impossible ici d'ajouter les valeurs efficaces calculées. Il est nécessaire de calculer l'impédance équivalente :20.(10+j(20.10−3×100π))200+j.125,6R1//( R2+ jLω)==(20+10) + j(20.10−3×100π)30+j.6,28V230R1//( R2+ jLω)200² + 125,6²30² + 6,28²P = R1 . I1²+ R2.I2²= 20×11,5² + 10×19,5² = 6,444) On en déduit : I === 29,85 A5) kW6) Q = Lω. I2 ² = 20.10− 3×100π×19,5² = 2,39 kVAR d'où S = P² + Q²= 6,86 kVAPSPP²+ Q²7) cos ϕ= = = 0, 93Exercice 2 : Diviseur de courant1) On calcule par exemple l’impédance équivalente au circuit :Z eq = ( 4−j.(1/0,002))//(40+j.10)= 11,8+j.43,2. Ainsi : = Z . I= 11,8² + 43,2² × 2,5=112 V2) 1 = 0,22 AI = V, I 2 = V = 2,7 A4² + 500²10² + 40²3) La formule donne bien sur le même résultat…4) Voir schéma.5) = 4.I1 ² + 10. I2²= 73 WP , Q = −500.I1 ² + 40. I2²= 267 VARV eq .6) Cette charge est équivalente à un circuit R-L (Q>0) dont les valeurs sont : R = P/ I²= 11,7 Ω etX = L. ω = Q/I²= 42,7 Ω .VII 2I 1L=20mHR 1 =20Ωϕ II 1VR 2 =10ΩExercice 3 : Charge monophasée et calcul d’impédances complexes= , Z 2BM = Z // 2. Z=. Z=20+j.103Z BM= 20+j. 10Z AM= 22+j.I = = 130 = 5,38Z VAM 22² + 10²P = 22 . I²= 636,7 et Q = 10 . I²= 289,4 VARcos = P=0,S1) si Z 30+j. 152) 103) A4) W5) ϕ 91 ARI 1I ϕI 2V BMV2.I6) VBM= ZBM. I = 20² + 10² × 5,38=120,3 VVBMI et I 2 = V = 3,58 A60² + 30²30² + 15²BM7) 1 = = 1,79 A8) De façon générale il n’y a pas égalité. Ici ça marche car les deux courants sont en phase.V = 2 . I+V9)BM10) Voir schéma ci dessus.

Exercice 4 : Puissances et facteur de puissance associés à un dipôle non linéaire1) Veff = V ,2)3)S=V1 π01Ieff = i()². d . I0∫ θ θ = ². π =ππ 3V.I30eff . Ieff=π02π/3I3P = 1 v(θ).i(θ).dθ1 I . . 2.sin θ.θ I 0 . V.20 V dπ ∫ ==π ∫π0= P 6 =0,S π4) k = 78π /35) On n’a pas intérêt a faire circuler les courants non sinusoïdaux sur le réseau car ils sont l’origine de mauvaisfacteurs de puissance. Ici, le courant n’est pas déphasé par rapport à la tension, malgré cela le facteur depuissance n’est pas unitaire. Ceci est du à une forme de puissance appelée « puissance déformante »…Exercice 5 : Tracés dans le plan complexe et compensation de puissance réactive1) On détaille dans le tableau 1.2 ci-dessous l'ensemble des grandeurs électriques pour chaque charge, lesvaleurs données dans l'énoncé étant encadrées.Charge 1 Charge 2 Charge 3P 1=20 kWQ 1=15 kVARS2 21 = P1+ Q1=I = SV11 =108,7 A25 kVA1cosϕ1 = P = 0,8 AR car Q>0S1ϕ 2= 36, 8°S 2=45 kVAcosϕ2=0,6 ARP 2 = S2. cosϕ2=27 kWQ 1 = S2. sinϕ2=36 kVAR2I 2 = S = 195,7 A Vϕ 2= 53, 1°S 3=10 kVAQ 3=−5 kVAR2 23 = S3−Q3=PI = SV33 =43,5 A8,66 kW3cosϕ3 = P = 0,86 AV car Q

5) Avant de placer le condensateur : Q = Q1 + Q2+Q3= P.tanϕ. Après avoir placé le condensateur C',cosϕ''=0,9 AR d'où : Q = Q1 + Q2+ Q3+QC= P.tan(ϕ')= Ptanϕ+QC'.−P(tan(ϕ')−tanϕ)ωV²6) On en déduit : QC ' = −C'ωV²= P(tan(ϕ')−Ptanϕ), d'où C' == 1,2 mF7) Si on désire un cosϕ arrière, le signe de la tangente de l'angle final change, on écrit donc :−P(−tan(ϕ'')−tanϕ)C' =ωV²8) =4,2 mF9) On choisit en pratique le condensateur de valeur la plus faible par économie et afin d'éviter unsurdimensionnement inutile.Partie 2 : Circuits triphasésV 1I 1ZExercice 1 : Triphasé : Charges Y et ∆ .1) Voir schéma étoile ci contre :2) U = 3.VI = V = 230 =Z 10² + 20²ϕ = Arctan = 1,107 rad=63,41020P = 3 . V.I.cosϕ= 3172 WQ = 3 . V.I.sinϕ= 6340 VAR3) 10,28 A4) °5) Voir schéma triangle ci contre :I = J et ' = U = 400 = 5,96 AZ ' 30² + 60²I ' = 3. J'= 10,3 AP = 3 . Re(Z).J'²= 3×30×(5,96²) = 31906) ' 3. '7) WJ ainsi :Q = 3 . Im(Z).J'²= 3×60×(5,96²) = 6394 VAR8) Les puissances associées aux charges sont les mêmes auxarrondis de calcul près. C’est normal car ces deux charges sontles équivalents étoile / triangle (Z triangle = 3*Z étoile )9) Voir schéma ci contre :NN V 2 U 12I 2V 1V 2V 3V 3I 3I 1’J’U 12 Z’I 2 ’Z’I 3 ’ Z’V 1V 2U 31 ϕ U 12I 3U 23V 3I 2ZZI 1 10,28A / 63° par rapport à V1Exercice 2 : Circuits triphasés déséquilibrés1) Le neutre étant relié, on écrit : Z11V1= .I , V2= Z 2.I2 et V3= Z 3.I3 . En passant aux modules :I 1 = V = V = 7,66 A , 23 AZ130I 2 = = V =Z V2 10et I 3 = = V = 11,5Z V20A32) On représente les tensions et les courants sur la figure ci contre.On notera que l'impédance de la phase 1 est une inductance, celle de laphase 2 un condensateur et celle de la phase 3 encore une inductance.Les déphasages entre les courants correspondants et les tensionssimples sont alors immédiats.Déséquilibre en courantI1=−I. U12= Z1.I1−Z2.I 2=( Z1.+ Z 2.).I1=j20.II U1 = 20.U .20Z1Z2. V1N 'Z1.I1=.U12. V2N'= Z 2.I 2=−. UZ + ZZ + Z3) 24) 15) = A I1 est déphasé de –90° par rapport à12= donc : 2 26)121 21 27) V 1N’ =600 V et V 1N’ =200 V les déphasages sont tous les deux nuls…V 1I 2I 3I 1V 3 V 2. V 311 N '= U12et . V2N'= Z . I22

8) Voir figure. La charge 1 est en surtension, la charge 2 ensous-tensionV 1N’V 2N’Exercice 3 : Installation électrique de la tour Eiffel1) U = 3 . V = 400 V2) a=500 kW a PaP , Q = . tanϕ= 375 kVAR3) Q e2 = Pe 2.tanϕ= 103,9 kVAR4) Q cd = Pcd . tanϕ= 339 kVAR Q r= Pr . tanϕ= 73,4 kVAR5) P t=1472kW Q t=891,3kVAR6) S = Pt ² + Qt²= 1720 kVA=3V.I I = kA3 V =2,49 cos ϕ = P=0,85 S7) E = ( 140+60) × 8+500×12+700×16+72×24=20528 kWh en une journée8) Une journée représente : 2052 , 8 € d’alimentation électrique9) S = P = 1,25 MW=3V.I d’où : I kAcosϕ3V =1,8110) PEDF = P + 3. R.I²= 1,098 MW QEDF = PEDF.tanϕ = 0,75 MVAR 1,32 MVASEDFVEDF = = 244,8 V3 IExercice 4 : Circuits triphasés et problématiques liées aux réseaux électriques1) V = U kV3 =230U 23U 31V 1V 2V 3U 12I 1=- I 2SEDF= , ainsi :2) S = P² + Q²= 316,22 kVA d’où : cos ϕ = P=0,94AR S3) S = 3. V.I d’où : I = A3 V =458,34) r = 0 ,05×100=5 Ω et l ω= 0 ,3×100=30 Ω5) Pt = P+3 . r.I²= 303,15 MW et Qt = Q+3 . lω. I²= 118,9 MVAR6) S t = Pt² + Qt²= 325,6 MVA et St = 3. V'.I d’où ' StV = 236,8 kV3. 7) Voir schéma , Relation de maille : V ' = r.I+jlωI+VetU ' = 3. V'= 410,2 kVN V’IrjlωVP/3 , Q/3IϕVV’r.Ijlω.I8) Voir schémautile9) η = = =0, 98P Ptotale P PtηP+3.r.I²d’où : P ( 1) 3. . ²0 1 − = r,9et ( 1= P −1)53,36 Ω3. ² 0 ,9Imaximale de la ligne : l max = 1067 km0 ,05.10) min i== 0, 9r d’où la longueur

Partie 3 : Circuits magnétiques et TransformateursExercice 1 : Circuit magnétique1) ε : Force magnéto motrice. ε =N. I2)1R 1=l = 79577=R2µ 0µrS, R 3= 265253)2.3R =R 1 + = 99470R 2+R34) N = R. L.= 45 spires5) V = 4,44.N.Bmax.S.f6) V = j. Lω.I càd V = Lω.I7)4,44.N.Bmax.S.fI == 4,76 ALω8)1R 1 = l + e2= 477464 . 3R =R 1 + = 497358µ 0µr S µ 0SR 2+R39) = N ² 4,44.N.Bmax.S.fL =4 mH et I == 23,8 ARLωExercice 2 : Circuit magnétique et approche du transformateur1) V = 4,44.N.Bmax.S.f2) N2301 min i= = 288 spires4,44. × 1,8×20.10− 4×50R==0,5µ l. S 1500×4π.10× 20.10= 132629 H−7 −43)-14)5) H6) Cette inductance vérifie la relation : 1 17)8)9)N1. I= Rφ⇒1 1φ=N .iRL 1² 0,681326291 = N = =Rφ T = N1 . φ=L.i2 1 12 = 2. = N . N .i1φ T N φ comme φ 2 T =M.i1on en déduit : M = N2.N .RRdφ1v N L di1dφ21 = 1. = 1.et v N Mdt dt dtdi 12 = 2. = .dtv 2 N2= M = v 2 20,55v1L1N2= VN= = =1 v1V1230 N1⇒ N 2 = 166 spires2I 2 = V = 2,54 R10) A11) Voir schéma.12) 1 2 φN 1. i −N. i2=R.13) N 1. i1−N2.i2=R.φ≈0d’où 1 . i1N2.i2N = etNNi 2 =1 . Ainsi2 2 2 1× i = × = 11 21 1 1 2iviNNNNv et 1 2 2v 1 . i = v . iExercice 3 : Transformateurs en cascade1) La puissance consommée par phase par la charge s'écrit : P = 500 kW=V2 . I2.cosϕ. D'où :I 2 = .= 2717 AV2.cosPϕ2) Les transformateurs sont considérés comme parfaits, c'est-à-dire qu'on peut écrire :I 1 = m. I2=2.10−3×2717=5,43 A .φN 1 .i 1RN 2 .i 2

Par ailleurs les tensions son aussi reliées par le rapport de transformation :V 1 . 230 115 kV2.1011 = V2=× = .m−33) Le courant I 2 et la tension V2sont déphasés de l'angle ϕ. Les transformateurs étant parfaits, les courantset tensions primaires sont colinéaires aux courants et tensionssecondaires. On représente donc le courant I 1 et la tension V1V'sur la figure ci contre. Par ailleurs, la loi de maille de la maillejlω.I 1V ' = r.I ω I + V , d'où les autres vecteurs1 + jl .centrale s'écrit : 1 1I 1ϕr.I 1complétant l'égalité vectorielle.4) Les hypothèses classiques de la maille de sortie d'untransformateur sont applicables ici et on néglige l'angle entre les vecteurs V1et1V '=116411 .V ' = V1 + r.I .cosϕ+ lω.I1.sinϕ. L'application numérique donne : Vm ' = 100=V': V =m V' = 1164 VV '5) On déduit la tension V du rapport de transformation6) On peut résoudre les deux questions précédentes sans 'approximation par un bilan de puissances :La puissance active totale fournie par le générateur est :La puissance réactive totale fournie par le générateur est :Ptotal= P+r.IQtotalPar ailleurs, la valeur du courant fourni par le générateur est :la puissance apparente S que représente le générateur :donne :21 =502,95 kW2V ' . On écrit alors := P.tanϕ+ lω.I1 = 383,84 kVARI = m'. I1=543AV. I=P²total + Q²= 632,69 kVA. Il ne reste plus qu'à écrireS = totalCe quiV = S =1165 V . Ce résultat qui ne souffre d'aucune approximation autre que celles des décimales,Iprouve le bien fondé de l'approximation réalisée à la question 4.V 1Partie 4 : Moteur à courant continuExercice 1 : Moteur à excitation réglable1) Les pertes à vide se composent des pertes mécaniques et de la puissance dissipée dans la résistance d'induit.Ainsi : Pm = U. I−R.I²= 110×1,2−0,5×1,2² = 131,3 Wétant en convention récepteur, U = R.I+E . Ainsi : E = U −R. I=110−0,5×1,2=109,4 V2) Les pertes mécaniques s'écrivent : P C . C . 2 Nm= m Ω = πm d'où : C = 0,77 Nm602 . =N P mm.π3) Comme R e1= 0 , le courant inducteur vaut : I e= U = 110 = 0,275 A . A vide : CRe400Cm = k.Ie.I= Cmk = 2,33 Nm/A²I e.Iet par ailleurs : k. I k I Ne.Ω = . 2πe = 109 V≈E.6010+0,774) En régime permanent : C= 10 + Cm = k.Ie.I . C'est à dire : I = = 16,8 A .2,33×0,2755) E = U −R. I=110−0,5×16,8=101,6 V et101,6= = = 158,6 rad/sk E . Ie 2,33×0,275N = 60 1514 tr/min2 . Ω = π. La relation de maille d'induit s'écrit, le moteur= donc :Ω soit :6) On cherche ici la valeur de I e telle que la charge de 10 Nm tourne à N=1800 tr/min. On écrit donc :E U −R. I=U −R.k.I . k.I ..2 Nk C =πe Ω = eIe60−U. I + R . + k.I ². 2 N = 0k C πe e . Soit donc : 439 ,2. e²−110.Ie+2,14=060= . On en retire l'équation du second degré :I La résolution donne la valeur

(choisie naturellement dans l'ordre de grandeur le plus cohérent) :choisir sera donc telle que :I e=0,229 A . La résistance e1= Ie=0,229 AR U D'où : R 1 = Ue −Re=80,3 Ωe+Re1IeR àExercice 2 : Machine utilisée en génératrice1) On représente le schéma équivalent de la génératrice, naturellement en convention générateur, sur la figure4.8.ChargeR chUIRMachineE2) La puissance nominale de la machine s'écrit : nn nI .nP = 20 kW=U . I . C'est à dire : n==90 AU Pn3) Si on néglige les pertes mécaniques de la machine, les pertes représentées par la valeur du rendementη sont dissipées dans la résistance de l'induit R.=0,8On écrit donc :Soit donc :n 1−ηP R=R. I ² = Pn −Pn= Pn.η η1−ηR=Pn. = 61,7 mΩη.In²4) Pour calculer la tension à vide, qui est également la force électromotrice E , on écrit l'équation de maille aupoint nominal :n= E−RIn, c'est à dire: E = Un+R. In=225,55VU .Pour calculer la tension à demi-charge, on écrit :La relation de maille s'écrit :Pn= 10 kW=U.I où U et I sont des inconnues.2PnnU = E−R. I=E−Rc'est à dire : U ² −E.U + R = 02. UP2U n/ 2=222,8 VnI n/ 2== 44,82.U Pn/2nη = /2 = 0,P /2P n + R.In/2²La résolution de ce polynôme du second degré en U donne :5) Avant de calculer le rendement, on calcule le courant à mi-charge : A .Le rendementde la machine à mi charge s'écrit alors : 45