C +1 - IREM de Grenoble - Université Joseph Fourier

6non une juxtaposition de plusieurs dessins. Le changement de «point de vue» sur lafigure peut se faire plus aisément.La construction de plusieurs dessins est une des méthodes proposées pour qued'une part les élèves se construisent le concept de figure, et que d'autre part, lescaractères invariants de ces figures apparaissent. Or dans la suite d'images créées àl'écran, il est possible de comprendre que, par exemple, les différents triangles n'ontété définis qu'une fois et donc sont représentants d'une même figure. Les élèvespeuvent ensuite proposer des contraintes, «2 côtés perpendiculaires ou de mêmelongueur», et voir, grâce à l'évolution continue permise par «Géomètre», que laréalisation simultanée de deux séries de contraintes n'est possible que dans un casparticulier.De plus, il ne s'agit pas de produire à l'aide de Géomètre un imagiciel quipermettait d'illustrer, de manière nouvelle, une partie du cours et de poursuivre ensuiteun apprentissage avec l'environnement habituel, mais de l'utiliser pour aller plus loin:c'est une aide pour faire évoluer la recherche du problème par les élèves.Pourtant, R. Gras affirme: «les activités dialectiques de nature expérimentalesqui se limitent au seul spectacle visuel des faits (mobilité des points...) sont d'effetillusoire sur l'apprentissage... Au niveau du produit logiciel,... il Y aura nécessité denégociation régulière maître-élève, faute de quoi on pourrait assister à Ul1 videaudiovisuel». Le lien entre les hypothèses émises par les élèves pour faire évoluer lafigure avec les propriétés de géométrie connues et leurs conséquences devra le pluspossible être verbalisé, un apprentissage de pratiques du raisonnement étant visé.C'est un obstacle important en géométrie dès la 6ème-Sème. L'environnement crééavec Géomètre peut aider à le lever.I. Objectifs* Objectifs cognitifs (propres à la séquence) :- réinvestir des droites particulières d'un triangle;- définir l'orthocentre, le centre du cercle circonscrit à un triangle;- étudier dans le cas particulier du triangle rectangle le point de concours deshauteurs, des médiatrices;- réinvestir la propriété de la somme des angles d'un triangle.* Objectifs cognitifs généraux:- comprendre la nécessité d'une preuve;- mettre en œuvre différents niveaux de validation.* Objectifs méthodologiques:- rédiger, formuler des résultats;- poursuivre l'apprentissage de certaines règles de logique (différence entre«un» et «tous», «les» et «des» ; utilisation d'expressions du style «si. .. alors») ;- apprendre à passer de l'expérience sensible à l'objet idéal (notion de figure).

7II. Prérequis- Définition de la hauteur d'un triangle, de la médiatrice d'un segment, dutriangle rectangle;- Notions d'angle obtus, aigu;- Somme des angles d'un triangle (énoncé de la propriété).III. Description de la séquence1. Matériel utilisé, disposition de la classeLa séquence se déroule avec l'ensemble de la classe (24 élèves). Les élèvestravaillent individuellement. L'ordinateur unique (avec souris) est relié à une tabletterétroprojectable. Les figures obtenues sont projetées sur un tableau blanc (sur lequel ilest possible d'écrire). On peut donc aussi utiliser la figure projetée comme on le faitordinairement d'un dessin au tableau.Au cours de la séquence, c'est la modification progressive qui a été utilisée: cesont le plus souvent les élèves qui sont venus manipuler eux-mêmes en réponse auxconjectures qui étaient proposées par eux-mêmes ou par l'ensemble de la classe. Lesélèves ont effectué les dessins sur leur cahier d'exercices et on noté les résultatsobtenus au fur et à mesure (institutionnalisation).L'ensemble du travail avec l'ordinateur a duré environ 2h30 (mi-février 1991).2. Première étapea. Définition d'un triangleGéomètre définit un triangle à partir de 3 points. Le logiciel permet de lesnommer A, B, C (cela sera utile dans la partie 6 de cette étape).A l'aide de «Géomètre», on «saisit» l'un quelconque des sommets et on ledéplace.B

9e. Variation de la position de l'orthocentreLe cas où l'orthocentre se trouve à l'extérieur du triangle est toujours unedifficulté pour de nombreux élèves. Géomètre permet en faisant varier la position del'un des sommets du triangle de faire varier celle de l'orthocentre dans le triangle.BcEn utilisant une dynamique de la figure, l'observation faite par la classeressemble à l'utilisation d'un dessin animé: après quelques variations successives del'orthocentre, les élèves se font leur opinion et après discussion entre eux par petitsgroupes, proposent les règles suivantes:«si l'angle est aigu, l'orthocentre est à l'intérieur du triangle,. quand l'angledevient obtus, l'orthocentre passe à l'extérieur».L'un d'entre eux souhaite préciser la position pour laquelle l'orthocentre sort dutriangle. Il vient donc manipuler la souris. Par essais successifs, il obtient un trianglerectangle. Ce triangle apparaît donc aux élèves comme un triangle particulier non plusà cause de son angle droit, mais parce que un de ses sommets est l'orthocentre dutriangle (ceci est écrit dans le cahier et sera utilisé lors des calculs d'aires destriangles).f. Les angles obtus d'un triangleLorsqu'on veut institutionnaliser les résultats obtenus, les élèves proposentd'écrire:«si les angles d'un triangle sont aigus, alors l'orthocentre et à l'intérieur dutriangle,. si les angles d'un triangle sont obtus, alors l'orthocentre est à l'extérieur dutriangle» .L'utilisation de la formulation «si. .. alors...» avait déjà été rencontrée au débutde l'année et est réinvestie convenablement. Par contre, l'énoncé de la deuxièmepartie, symétrique du premier, montre comment l'énoncé des propriétés se fait parmimétisme indépendamment de leur sens. La logique de construction des élèves est dutype «modification à moindre frais».On va donc expérimenter grâce à Géomètre la phrase «Si les angles d'un trianglesont obtus». Oralement le professeur fait préciser le sens donné à «les angles dutriangle». Les élèves se mettent d'accord sur le fait que cela signifie que les trois

10angles sont obtus. Un élève vient donc manipuler: il part d'un triangle ABC ayantl'angle A obtus (B et C sont donc aigus). Il déplace le point pour obtenir l'angle Bobtus.(B et C sont donc égaux). Il déplace le point pour obtenir l'angle B obtus. Laclasse observe et l'encourage. La déception est grande lorsque B étant obtus, lesélèves s'apercoivent que A est devenu aigu mais cela ne convainc pas encore qu'untriangle ne peut avoir plusieurs angles obtus.Un autre élève propose de choisir l'angle C et de recommencer. Nouvelledéception. Les élèves voient bien qu'un triangle ne peut avoir qu'un seul angle obtusmais n'en sont pas convaincus.La nécessité d'une preuve mathématique non liée à l'observationfait son chemin: c'est un réel pas en avant pour tous les élèves de cette classe. Ilfaut l'aide de propriétés «sélectionnées» ci-dessous pour que la preuve soit expriméeclairement: - définition d'un angle obtus;- somme des angles d'un triangle.Tous vont se mettre d'accord pour dire ou écrire: «si deux angles sont plusgrands que 90°, leur somme fait plus que 180° donc il n'y a plus de place pour letroisième». Finalement, on écrit dans le cahier: «un triangle ne peut avoir qu'un seulangle obtus», puis les règles concernant la position de l'orthocentre. Les élèvesinsistent bien sur l'écriture correcte «si un triangle a UN angle obtus, alors sonorthocentre est à l'extérieur du triangle».3. DéroulementUn travail de même type est mené à propos des médiatrices.a. Construction des médiatrices (sans la procédure médiatrice)Le triangle ABC est construit comme dans la première étape. Géomètre demandepas à pas, comme pour les hauteurs, les éléments nécessaires à la construction de lamédiatrice, c'est : la droiteABL__+--- C- perpendiculaire ;- passant par le milieu du segment;- perpendiculaire au segment.

11Certains élèves sont étonnés : les médiatrices ne passent par les sommets. Ilsvont donc venir modifier le triangle pour faire passer une médiatrice par un sommet.La condition: «ce n'est possible que si le triangle est isocèle» est énoncée. Est-cesuffisant pour retirer de leur esprit la confusion médiane-médiatrice?On en profite pour rappeler oralement la propriété de l'équidistance des points dela médiatrice.b. Variation de la position du point de concoursCette manipulation est demandée par les élèves par imitation de celle del'orthocentre.B "---~+I-l:§J:.~ cLes variations «angle aigu - angle obtus» sont réinvesties avec succès, maiscette fois le triangle rectangle «apparaît» lorsque le point de concours est surl'hypoténuse (ce mot de vocabulaire est rappelé à cette occasion). Préciser qu'il s'agitdu milieu de l'hypoténuse ne posera pas de difficulté: le lien entre milieu et médiatriceest très fon dans la tête des élèves (plus que celui de perpendiculaire-médiatrice d'oùles confusions médiane -médiatrice probablement).c. Le centre du cercle circonscritC'est le professeur qui propose de construire le cercle circonscrit au triangleprécédent ayant pour diamètre l'hypoténuse. On utilise la procédure «cercle défmi pardeux points». Les élèves constatent que le cercle passe par le troisième sommet dutriangle. On écrit dans le cahier cette propriété du triangle rectangle.La variation de la forme du triangle permet de montrer qu'un triangle quelconqueest inscrit dans un cercle. Le centre est précisé au tableau, des mesures permettent de leconfirmer.

12B '---~+-1-.M.~ cB "---~+I-l:§Y~ cCe résultat écrit dans le cahier sera ensuite démontré (sans vouloir atteindre unniveau de formalisation type 4ème), les élèves cherchent surtout à se convaincre d'unrésultat en utilisant des règles mathématiques admises par tous.IV. ConclusionL'utilisation de la dynamique de l'image grâce au logiciel a permis uneconfrontation entre les conjectures des élèves et la «réalité» :- non-existence de plusieurs angles obtus dans un triangle.- levée de la confusion entre médiane et médiatrice.Le débat instauré alors dans la classe a montré comment l'essai de constructionde figures répondant aux hypothèses émises permet de se faire une opinion. Faire denombreux dessins pour résoudre un problème, ne pas émettre une hypothèseseulement à la vision d'une figure, est une méthodologie que les élèves ont réinvestiedans d'autres recherches.Par ailleurs, la construction des divers objets nécessite la connaissance dedéfinitions (ou de propriétés) précises et rigoureuses. D'autant plus que l'ordinateur nese contente pas d'un énoncé plus ou moins incantatoire: il exige que l'on décortiquechacun des éléments de l'énoncé (exemple: médiatrice, droite passant par un milieuperpendiculaire à un segment donné).

13Le logiciel pennet de dégager l'élève des difficultés de constructions plus oumoins maladroites. Ce dernier type d'activité n'est certes pas à rejeter, mais ici, c'estl'activité raisonnement qui est objet de l'apprentissage.Enfin, et c'est le plus intéressant, ces séquences penÎlettent «plusieurs fonnes etplusieurs niveaux de validation dont la mobilisation et la mise en œuvre sontprovoquées par les exigences de la situation dans laquelle se trouve l'élève».(Balacheff 1982)3. En effet, quand, ayant fini de construire l'orthocentre, les élèvesobservent son déplacement, ils ne vont pas se contenter de constatations, ils vontessayer d'organiser leurs résultats : c'est cela qui les conduit à préciser le rôleparticulier de l'angle droit.Lorsque les élèves veulent construire un triangle ayant plusieurs angles obtus, ceproblème n'apparaît que comme réponse au triangle ayant trois angles aigus. Lamobilité des points et la lecture immédiate des angles va leur pennettre de chercher àvalider leur hypothèse par la construction d'une «figure-exemple» qui puisse êtreexhibée comme une preuve. L'impossibilité d'obtenir deux angles obtus se constitueen obstacle tellement gênant que c'est à partir de là que la nécessité d'unraisonnement déductif s'impose. La figure, parce qu'elle ne se plie pas auxhypothèses, devient tout à coup inutile, négligeable. Les élèves souhaitent travailler àun autre niveau de validation.Il faut rechercher la multiplication de telles structures conjecturelles pour donnerune autre représentation de problèmes de raisonnement à nos élèves.Enfin, le travail sur les médiatrices montrent comment dépasser le cadre del'expérimentation pour arriver à celui de la démonstration.3 N. BALACHEFF, 1982, Preuves et démonstration au collège, RDM Vol. 3.3. Ed. La PenséeSauvage. Grenoble.

ACTIVITE... LA PLUS GRANDE AIREPhilibert CLAPPONIIREM de GrenobleA et B sont deux points du cercle.Où placer le point M sur le cercle pour que l'aire du triangle ABM soit la plusgrande possible.Justifiez soi~neusement votre réponse.Comment placer les trois points R , S et T pour que l'aire du triangle RST soitla plus grande possible.Justifiez soigneusement votre réponse.• 0~--«petit x» nO 29 p. 14, 1991-1992

AUTOUR DE L'ENSEIGNEMENTDE LA GEOMETRIE AU COLLEGEDeuxième partieAlain IvIERCIERJacques TONNELLEIREM d'Aix-MarseilleLe lecteur trouvera ci-après la deuxième partie d'un dossier élaboré à l'occasionet dans le cadre d'un stage de formation continue de quatre jours, réalisé, sous l'égidede la MAFPEN de l'Académie d'Aix-Marseille, et à l'intention de professeurs deCollège confrontés à la mise en oeuvre de nouveaux programmes, par une équipe del'IREM d'Aix-Marseille constituée d'Yves Chevallard, Michel Jullien, Alain Mercier etJacques Tonnelle.Le texte qui suit se compose de la troisième section, intitulée Vers une étuderationnelle de ['espace et des objets qui sont dans ['espace. On y engagel'étude de l'activité géométrique que les programmes induisent, et de la solution queles manuels proposent,. on y cherche une solution compatible avec les contraintesmises en évidence dans la première section, qui se terminait sur cette déclaration:« Le savoir géométrique - la géométrie - a été associé depuis ses originesà l'aventure de la civilisation occidentale. Dans cette entreprise, il a jouéconstamment un double rôle. D'une part, la géométrie s'est constituéecomme une science de l'espace, se fixant ses propres valeurs, ses propresenjeux, ses propres problèmes, et ayant pour cela un développementpartiellement autonome. Socialement, elle a constitué de ce point de vue unsavoir savant, proposé en modèle à tous les autres (quand elle n'était pasen conflit avec eux - comme ce fut le cas avec la rhétorique, dans l'Europedes XVIIe et XVIIIe siècles). Dans le même temps, regardéeculturellement comme théorie en acte de la rationalité, elle a, comme on l'adéjà souligné, joué un rôle majeur dans la formation intellectuelle etculturelle des hommes. Mais, d'autre part, quelque savante qu'ait été sonorganisation, la géométrie n'a jamais cessé de jouer le rôle de technologiede l'espace, de théorie de la maîtrise pratique de l'espace. Il s'agit-là d'unefonction sociale attestée dès la plus haute antiquité et dont même latradition savante nous a rapporté l'existence à travers quelques épisodesmémorables - Thalès et les pyramides ou, plus près de nous, Archimèdeet ses « méchaniques ». (...) Toute représentation graphique est ainsi unmoment, une forme déterminée (et variable), d'une modélisation del'espace, moyen de production de connaissances que commande le savoir«petit x» nO 29 pp. 15 à 56, 1991-1992

16géométrique et qui commande l'action sur le sensible. C'est à cette notionque l'on devra tenter de rapporter ce que tout enseignement de lagéométrie, quel qu'il soit, propose »1.Soulignons que ces textes ne se veulent nullement ouverts à une lecture cursiveet indolente : faits pour l'étude, ils appellent l'étude...C. VERS UNE ETUDE RATIONNELLE DE L'ESPACE ET DESOBJETS DE L'ESPACE1. Le lexique des programmes de géométrieLa difficulté de l'analyse que nous devons mener provient de l'absence deréférences savantes sur le sujet. Dans la «pratique savante» en effet, lesmathématiciens ne s'embarrassent pas de nombreuses distinctions sur la nature desobjets qu'ils manipulent pour produire des mathématiques, parce qu'en dehors desrares périodes de « crise des fondements », il n'est pas besoin d'épistémologie pourproduire des savoirs nouveaux. Ainsi les mathématiciens, le plus souvent, n'étudientpas les problèmes spatiaux, mais des systèmes géométriques pour lesquels ilsdisposent des schémas correspondants: ce qu'ils appellent les figures géométriques.Ils n'ont, souvent, même pas besoin de «réaliser» ces figures, parce qu'elles sontdécrites dans d'autres formalismes (algébriques, etc.) avec bien plus d'efficacité (unefigure est pour eux ce que certains agents du système d'enseignement appelleraient uneconfiguration). Les multiples apparences et fonctions des figures induisent en partie,pour les activités graphiques et les objets qu'elles produisent, une confusion des rôlesque nous rencontrons jusque dans les mathématiques savantes, dès que le travail neporte pas sur les fondements mêmes de la géométrie.Etudier le lexique des programmes du Collège, ce sera pour nous étudier le typede savoirs géométriques et de savoirs sur l'espace que les programmes proposentd'enseigner. C'est étudier conjointement les effets, dans la rédaction de cesprogrammes, de formulations venues de la pratique savante ordinaire, parce qu'ellesvont contraindre l'action enseignante: en analysant ces contraintes, nous tentons dereconquérir une part de la liberté que, en principe, le texte des programmes devraitouvrir à l'enseignant.Le titre général des programmes actuels (1991) pour le Collège est dans la lignedu mouvement de promotion de l'activité de l'élève, pour les questions nongéométriquescomme pour celles qui nous intéressent ici: «Travaux géométriques».Dès la première phrase, le ton est donné. Pour la sixième comme pour les classessuivantes, la même phrase initiale est répétée: « L'objectif fondamental demeure ladescription et la représentation d'objets géométriques usuels du plan et de l'espace ».Ces objectifs demeureront tout au long du collège. Ils commandent le titre de cetarticle, mais nous nous sommes proposé, avec l'étude des objets de l'espace, l'étudede l'espace lui-même.1 Chevallard Y., Jullien M. (1991), Autour de l'enseignement de la géométrie au collège, Premièrepartie. Petit x, 27. 41-76.

17Ces commentaires induisent une première limitation, et une confusion. Lalimitation est évidente: l'usage de ces objets « usuels» du plan ou de l'espace quisont des objets « géométriques» n'est-il pas trop réduit, quand on se limite à lesdécrire et à les représenter? La confusion est plus délicate à montrer: ce n'est pas unusage matériel des objets géométriques, ce n'est pas non plus un usage géométriquedes objets matériels qui est demandé ici par les commentaires.Si l'on considère par exemple, en prenant le mot « géométrique» dans sonsens culturel, que des cubes matériels - des cubes de bois - sont des objetsgéométriques, quel en est l'usage et en quelles opérations sont-ils usuels? Si l'onconsidère les triangles tracés sur une feuille de papier, et si on les pose comme desobjets matériels, là encore, de quels usages matériels sont-ils les objets? En étantréalistes, et en prenant le mot d'« objets géométriques» dans son sens mathématique,nous pourrions dire que leur usage, en classe, consiste surtout ...à être les objets denotre intérêt par leur participation aux figures. Mais si les objets sont usuels, lesfigures, elles, s'étudient (d'une étude qui s'outille en Sixième et Cinquième dessymétries centrale et orthogonale). Elles ne se décrivent ni ne se représentent,puisqu'elles sont les représentations matérielles des objets théoriques de la géométrieélémentaire (bien que la géométrie élémentaire n'ait pas de place en tant que théorieconstituée, dans ce contexte). Une interprétation du texte dans les termes de lagéométrie euclidienne traditionnelle (telle par exemple qu'elle pouvait vivre avant laréfonne dite « des mathématiques modernes») ne sera pas plus aisée à tenir 2 .Continuons notre lecture: «Dans l'espace, les études expérimentaless'amplifient. Elles fournissent un terrain pour dégager quelques propriétés duparallélisme et de l'orthogonalité ». Ainsi se termine l'introduction, et cette fin nouséclaire.L'enjeu déclaré de l'enseignement de la géométrie au collège est bien l'étude del'espace sensible. Cette étude est censée prendre appui sur l'étude (expérimentale) desobjets qui sont dans l'espace.Pour les objets qui sont dans l'espace sensible « à trois dimensions », lesconfusions que nous avons repérées amènent les auteurs à pencher du côté des objetsmatériels, que l'on construit avec des ciseaux et de la colle (puisqu'ils n'est paspossible d'atteindre la matérialité de ces objets dans le laboratoire graphique de lafeuille de papier indépendamment d'une technique permettant de les représenter). Lesmêmes confusions les amènent à pencher du côté des objets géométriques lorsqu'il estquestion des objets de l'espace plan (le travail expérimental sur les objets matériels quesont les tracés sur la feuille de papier étant identifié avec un travail géométrique sur lesfigures de l'espace géométrique).Ainsi, en un immense effet de glissement de sens dû au partage didactique destâches, les enseignants doivent donner à voir des propriétés de l'espace, les classerselon que les transformations les conservent ou non, «habit~er les élèves àconjecturer, à caractériser une figure, à construire un quadrilatère en mettant en oeuvredroites et cercles, dégager des propriétés générales, etc. », tandis que les élèvesdoivent manifester des compétences bien matérielles: ils « représentent un prismedroit,jabriquent un prisme droit, construisent le symétrique d'un point, d'une droite,d'une ligne polygonale, par demi-tour ou pliage, reconnaissent dans une figure un2 Il semble en effet que l'importation de la géométrie euclidienne classique (sans autre forme deprocès, c'est-à-dire comme si cette importation allait de soi parce que son usage était classique il y aquelques décennies) par le biais de l'introduction des objets géométriques dans la pratique matérielle del'espace sensible ait pour effet de dépouiller cette pratique matérielle de toute effectivité. Nous yreviendrons.

18centre ou un axe de symétrie, reproduisent sur papier quadrillé ou blanc, unparallélogramme donné, tracent le cercle circonscrit à un triangle, tracent un trianglequand ils connaissent les longueurs des trois côtés, etc. ». Que, de ces activités, sedégagent des propriétés du parallélisme ou de l'orthogonalité est un résultat aussialéatoire que l'émergence d'un texte en prose dans l'activité quotidienne de MonsieurJourdain. Son professeur de philosophie n'y suffisait pas plus que les enseignantsd'aujourd'hui. L'injonction d'agir ainsi est pourtant inscrite dans les commentaires duprogramme.L'empirisme est la position épistémologique qui permet de penser que l'activitéscolaire proposée aux élèves dans ce cadre peut les conduire aux savoirsmathématiques attendus: il donne en effet à penser que le savoir s'obtient par« abstraction» de la pratique, en un processus qui tient d'une alchimie de la pensée:l'extraction de la quintessence de l'action. Nous savons que les connaissancesgéométriques ne se construisent pas ainsi, pour en avoir analysé l'émergence dans lescas où nous pouvions disposer de documents analysables: les cas historiques. C'estce que nous le montrerons d'abord.Les élèves de Collège, en attendant que l'alchimie scolaire transmue leur activitéen savoir, restent dans la position d'avoir à tracer « des traits, des traits, encore destraits », selon le mot de l'un d'entre eux à qui l'on posait la question « Qu'est-ce,pour toi, que la géométrie? ». D'autres, en 6° et 5° notamment, pensent que lagéométrie, c'est le calcul des longueurs et des surfaces: les autres activités qu'ils ontpu mener dans le cadre de la classe de géométrie ne leur sont pas repérables, elles nesont pas pour eux des activités relevant d'un savoir nommable, comme le calcul.L'enquête peut se répéter aisément, elle produit assez systématiquement les mêmesréponses, et les élèves échouent tout autant à nommer «un phénomènegéométrique ».Pour prendre ici un exemple, la confusion entre preuve de constructibilité etprocédé de tracé est à l'œuvre dans nombre d'exercices proposés dans les manuelsactuels (ainsi que dans d'autres ouvrages destinés aux professeurs de collège comme,par exemple, le « Suivi scientifique 1985-1986» des lREM), parce que, dansl'ensemble de ces travaux, l'oubli des phénomènes produits par la transpositiondidactique et en premier par le libellé des commentaires des programmes induit cetteconfusion. Le premier signe s'en trouve dans l'utilisation synonymique des verbes« tracer» et « construire ». Utiliser indifféremment ces deux termes pour indiquer laconsigne de tel ou tel exercice ne permet pas à l'élève de reconnaître ce qu'on attend delui. Ainsi verra-t-on coexister les énoncés suivants, dans la même série d'exercices dumême ouvrage 3 :Construis un segment de longueur 2,7 cm et le cercle qui admet cesegment pour diamètre.Trace trois points non alignés A, B et C, puis le cercle passant par cespoints.Une telle distinction manifeste-t-elle une attente différente, ou est-ce un effet destyle, l'emploi d'un synonyme pour éviter la répétition d'un terme? Est-ce que dans3 II s'agit du manuel Mathématiques 6e, Collection Didamath, Didier, Paris, 1986, pp. 89-90.

19le deuxième exercice, le mot « Trace» sous-entend qu'une figure obtenue par essaiset erreurs - par approximations successives - sera acceptée par le professeur? Et estceque le mot « Construis» implique que l'on devra donner un algorithme deconstruction à la règle et au compas, puis, justifier que l'algorithme produit bien cequ'il annonce? (Ces exercices suivent une leçon sur la médiatrice). La réponse à cesquestions dépend essentiellement des exigences habituelles du professeur dans saclasse et l'élève, face à tant d'implicite dans la consigne, a pour seul guide de conduiteces habitudes, qui apparaissent comme les caractères personnels de tel enseignant:ses caprices.En de telles occasions, ce que l'élève risque surtout d'apprendre c'est à devinerce qui lui apparaît comme le désir du professeur à son endroit. Cela instaure unerelation didactique qui sera nécessairement une relation à forte charge affective: unerelation du type « maternage »4. Par ce moyen, les enfants deviennent propres,apprennent à marcher et à manger seuls, mais c'est un procédé bien peu « classique»pour des savoirs scolaires, et la gratification possible est bien abstraite, dans ce cadre.Si, même, l'enseignant réussit àéviter l'écueil du maternage au terme du glissement desens de l'activité demandée aux élèves, il a peu de chances d'arriver à ne pasconfondre ces trois registres de l'activité géométrique qui cherche à rendre compte dephénomènes spatiaux G'ai nommé le tracé du schéma, la réalisation de l'expériencegraphique, le tracé ou la construction de la figure de géométrie), et à engager l'étudedes problèmes qui se posent à propos d'objets qui sont dans l'espace.Le risque est alors bien grand, de ne plus être capable d'articuler si nécessaire lestrois niveaux de l'activité graphique en géométrie, par exemple, au moment du travailde la rationalité à l'oeuvre dans activités géométriques, au moment où serontdemandées les premières démonstrations, en Quatrième ou en Seconde.2. La question de l'étude des objets de l'espaceSocrate: La musique et /' architecture seules savent user de moyenssensibles qui ne soient pas des ressemblances de choses sensibles, et desdoubles des êtres connus ,." donner des figures aux lois, ou déduire deslois elles-mêmes leurs figures (. ..) Les figures, ces êtres à demi concrets,à demi abstraits sont des êtres singuliers, véritables créatures de l' homme,qui participent de la vue et du toucher, mais aussi de la raison, du nombre,et de la parole (. ..)Phèdre: Mais toutes les figures ne sont-elles pas géométriques?Socrate: Pas plus qu'un bruit n'est un son musical (. ..) Pas de géométriesans la parole. Sans elle, les figures sont des accidents,. et ne manifestent,ni ne servent, la puissance de l'esprit. Par elle, les mouveme.nts qui lesengendrent étant réduits à des actes, et ces actes nettement désignés pardes mots, chaque figure est une proposition qui peut se composer avecd'autres,. et nous savons ainsi, sans plus d'égards à la vue ni aumouvement, reconnaître les propriétés des combinaisons que nous avons4 Dans la relation dite « de maternage », l'apprentissage est la manifestation de l'amour de l'enfantpour la mère: l'anticipation du désir qu'elle a, de le voir manger, marcher, être propre, etc. La mèreattend que cet amour se traduise par des comportements, et lorsque l'enfant a manifesté cescomportements, la mère montre son plaisir en gratifiant, en retour, l'enfant de son amour. En luipermettant par exemple un geste de réunion: -elle le prend dans ses bras et il se serre contre elle.

20faites,. et comme construire ou enrichir l'étendue, au moyen de discoursbien enchaînésCar qu'est-ce, la raison, sinon le discours lui-même, quand lessignifications des termes sont bien assurées de leur permanence, et quandces significations immuables s'ajustent les unes avec les autres, et secomposent clairement? Et c'est là une même chose avec le calcul. (...) 52.1. Le schéma, le croquis, les représentationsDans la culture mathématique scolaire, on rencontre à peu près exclusivement unseul type d'objet graphique, les figures. Le schéma que l'on trouve parfois estconsidéré comme un brouillon defigure, dont la production serait l'effet d'un manque(de temps, de travail, etc.) et, dans certaines classes techniques où l'enjeu est de tracerla représentation d'un objet industriel, on trouve des épures. Afin de montrer lesdifférences fonctionnelles entre figures « à la règle et au compas », « à main levée »,et « schéma» ou « épure », nous allons remonter le temps - non parce que « c'étaitmieux, ou pire, avant », mais pour prendre de la distance avec les habitudes de laclasse de mathématiques. Nous vivons ses pratiques en enseignants, en premièrepersonne, sans pouvoir prendre suffisamment de recul. Nous allons donc observerplus particulièrement ce qu'il en est des enjeux respectifs du schéma et de la figure.Nous nous proposons de partir d'un« dessin» de Léonard de Vinci, qui représenteune « pince serrante 6 » (figure!). On sait qu'ilétait un ingénieur, un inventeur, et qu'il possédaittoutes les techniques du dessin en perspective,c'est pourquoi nous pouvons affirmer que dansun de ses tableaux, Léonard de Vinci n'aurait pasreprésenté ainsi une pince réelle, parce qu'il auraitrespecté la perspective de l'objet: il est en effetl'un des tout premiers peintres à avoirsystématiquement « saisi» tous les objets etpersonnages d'un tableau dans la mêmeconstruction perspective et à avoir unifié par cettefigure!construction l'espace de la représentation,l'espace du tableau.Chacun peut cependant remarquer les « erreurs de perspective» dont cette« représentation» est truffée. Les articulations qui permettraient le fonctionnementeffectif de l'objet, manquent. Il ne s'agit certainement pas du dessin qui représenteraitune pince réelle, comme le peintre pourrait en tracer: Léonard de Vinci n'y aurait paslaissé ces « erreurs » descriptives.5 Ces citations sont extraites d'un dialogue fictif écrit par Paul Valéry pour parler du travail del'architecte. Valéry P. (1924), Eupalinos, (réédition 1944, Paris, Gallimard).6 Dessin d'après Gille B. (1964), Les ingénieurs de la renaissance, Paris, Hennann.

21Si la perspective avait été utile au travail technique,l'auteur ne se serait pas privé de faire appel à sesconnaissances en la matière comme nous le voyonspour ces paliers anti-usure sur lesquels repose l'axed'une meule? (figure 2). Que trouve-t-on sur laprésentation de la pince, que nous appellerons unschéma contrairement à l'objet graphique de la figure2, qui représente l'effet technique d'un objet réel? figure 2Les crocs sont dessinés, pour qu'on reconnaisse qu'il s'agit d'une pince, maisce dessin importe peu comme tel: il s'agit d'une simple esquisse. Les bras sont, euxaussi, esquissés. Les pièces importantes sont dans une représentation perspectivemieux contrôlée: la vis de serrage, l'écrou qui maintient le bras, la manivelle en croixqui manoeuvre la vis, et l'évidement qui permet le jeu de la vis dans le bras mobile.Analysons la pince du point de vue de sa mécanique, nous comprenons que la vis estsaisie dans le premier bras, avec lequel elle fait un angle constant, ce qui nécessite lalongue ouverture que l'on peut voir dans le second bras.L'étude géométrique (menée par le moyen del'épure technique de la figure 3) montre la nécessité decette ouverture pour assurer la mobilité des bras de lapince. Al'actif de cette étude, nous pouvons affirmerqu'une telle pince n'a pas existé. Nous pourrionsnous en convaincre en cherchant une pince actuelle demême type: nous n'en trouverons pas de semblable.Un raisonnement mécanique immédiat nous en montrel'impossibilité: la réaction du bras sur l'écrou et surla vis qui porte l'écrou tordrait immédiatement cellelà.Une pince serrante manoeuvrée par une vis existesans doute dans l'arsenal des objets techniques, maisla vis doit s'y trouver prise entre deux pointsfigure 3articulés aux bras qu'ils manœuvrent, afin que lesarticulations ne transmettent que des efforts detension: la vis tire les écrous l'un vers l'autre.Les recherches sur les utilisations possibles de la vis fleurissent dans les carnetstechniques de la Renaissance, depuis sans doute que l'on commence à fabriquer desmachines à tarauder et des tours à décolleter les filetages (pour les vis de bois, mais ilest possible de commencer à rêver: nous trouverons bientôt des vis de laiton), ainsique des machines à tailler les engrenages. Il est ainsi possible de penser mécanique,parce que l'on commence à maîtriser les idées sur les mécanismes qui guident outransforment les mouvements et les forces, en même temps que l'on maîtrise mieux letravail du métal pour les éléments matériels de ces mécanismes. Léonard de Vinci luimême est connu pour avoir inventé plusieurs d'entre eux, dont certains ont étéréalisés. Mais, sa statique était-elle trop rudimentaire pour qu'il puisse, dès le stade dela conception de l'outil, analyser la résultante de torsion s'exerçant sur la vis? Sansdoute. En tous cas, son schéma ne représente que ce qui, de l'idée de pince serrante,est, dans le premier moment du travail, sous contrôle : ce qui est graphiquementnécessaire à la compréhension de l'idée de l'objet, à la reconnaissance de sa fonction.7 Uonard de Vinci, Codex Madrid J. il s'agit de la description d'un dispositif, observé en Allemagnepar un de ses assistants.

22La manivelle de manoeuvre de la vis (ou de l'écrou) parexemple, n'est pas représentée en perspective, demanière réaliste: ceci n'est décidément pas le dessind'un objet. Observons encore le « moulin à bras »8 dela figure 4 : c'est la première représentation certaine dece mécanisme, un système bielle-manivelle associé à unvolant d'inertie (un régulateur à masses mobiles), unmécanisme particulièrement original, qui transforme unmouvement alternatif en mouvement rotatifsuffisamment régulier. La représentation de la partie« moulin» (conventionnelle) suffit tout juste à montrerfigure 4une fonction de ce mécanisme et n'a pas été travailléeplus en détail.Au delà des exigences de style, il ne s'agit de représenter que des idées demachines. Car lorsqu'un peintre fait des esquisses et des croquis préalables à undessin, il est bien plus précis: les grues représentées par Peter Bruegel l'Ancien dansles tableaux représentant la construction de la Tour de Babel, le montrent à l'évidence.Mais il ne s'agit plus de l'étude d'un objet possible mais de la représentation (le dessincontrôlé par la technique du dessin perspectif) d'un objet mécanique qui est un deséléments du décor. Nous retiendrons l'exemple de ce tableau de B. PoccettiFabrication de la poudre à canon, Florence (figure 5).la couverture des ingénieurs de la renaissancefigure 58 Il provient d'un manuscrit (anonyme) que les érudits allemands ont appelé « de la guerre hussite ».Daté du début du 15ème siècle (postérieur à 1421), il a dû être réalisé dans la région située entreMunich et Nüremberg.

23Nous pourrions dire alors que le dessin perspectif a pu, dans le dessin despeintres, unifier l'espace perceptif par le moyen de la représentation avant d'être l'outild'un travail sur les caractères techniques des objets techniques. Léonard de Vinci estsans doute l'un des premiers ingénieurs de la Renaissance à engager cette évolution,qui trouvera son point culminant avec Stevin. Lorsque cette évolution sera accomplie,à la fin de la Renaissance, il n'y aura plus de travail possible sur la technique desobjets mécaniques sans le dessin de ces objets dans un espace perspectif unifié: sansl'épure technique (qui évoluera pour donner la représentation en trois vues que nousconnaissons).2.2. Le schéma, outil d'étude des problèmes spatiauxNous appellerons dorénavant schéma l'objet graphique dont la fonction est lareprésentation d'une idée à propos d'un objet de l'espace ou d'un objet dans l'espace.Nous avons étudié l'exemple du schéma d'une vis de serrage pour une pince, d'unsystème bielle-manivelle régulé par un système à boules, etc. Nous allons étudiercomment les schémas peuvent devenir des outils pour l'étude de problèmes spatiaux,et en particulier comment ils définissent un cadre où mener le travail sur le système designes qu'ils forment - c'est la géométrie - et comment on passe ainsi du schéma à lafigure. De l'outil d'étude des objets (ici, des objets mécaniques) qui sont dans l'espaceà l'outil d'étude de l'espace où sont les objets (ici, l'espace de la mécanique).Ce qui rend nécessaire le changement de cadre et le passage au cadregéométrique proprement dit, c'est que le schéma ne permet pas de travailler une idée, ilpermet seulement de la représenter, de la mettre spatialement en scène, parce qu'iln'est pas partie prenante d'un système de signes. La souplesse qui s'ensuit en fait toutl'intérêt, dans le premier moment du travail: s'il n'est pas lui-même outil sémiotiqueélaboré, il permet l'accès à un tel outil en introduisant au cadre théorisé de lagéométrie. Nous pourrions bien sûr, pour montrer ce phénomène, revenir à Léonardde Vinci qui, dans ses études techniques sur les frottements et l'usure, a utilisél'espace de la feuille de papier comme espace géométrisé pour la modélisation desquestions mécaniques qu'il abordait; nous pourrions aussi prendre un exemplecontemporain; mais nous disposons d'un exemple plus intéressant encore avec laStatique, de Simon Stevin, récemment rééditée 9 .L'étude en est particulièrement instructive, parce que les problèmes que Stevinse pose sont des problèmes qui se posent dans l'espace, mais ne sont pas desproblèmes de l'espace. En étudiant la Statique, nous pourrons observer commentl'auteur se heurte à des obstacles dûs aux techniques de géométrisation des problèmesqu'il met au point: en surmontant ces obstacles il mathématise les problèmes deforces et il invente une science nouvelle 10 (qui se travaille dans le cadre d'un modèlegéométrique). Stevin en effet construit la Statique cornille une théorie: à la manièredes « Eléments » d'Euclide, qui sont le modèle de la rationalité à son époque, c'est-àdiresur le modèle de ce qui est pour lui la théorie mathématique de l'espace; à lamanière de « De l'équilibre des figures planes» d' Archimède~ Il construit la Statiquecomme théorie mathématisée, non pas à l'image de la géométrie mais à l'aide de lagéométrie. L'ouvrage qui nous intéresse ici est donc l'un des tout premiers traités de9 1987, Paris, ACL-éditions.10 La théorie des centres de gravité d'Archimède est une théorie des «centres géométriques )).Archimède, De l'équilibre des figures planes, (1971, Texte établi et traduit par Charles Mugler), TomeII, pp. 75-125, Paris, Les Belles Lettres.

24physique moderne: de physique mathématique. L'auteur part de« définitions» et de« pétitions» pour fabriquer des « propositions» qui se divisent en « théorèmes»et « problèmes ». Nous reproduisons ci-dessous l'argument du premier livre, DesEléments de Statique, avec la plupart des définitions et quelques extraits desdéclarations initiales, puis nous étudions le premier théorème de ces Eléments encommentant sa démonstration. Nous suivons le travail de construction de la théorie,tout au long de l'évolution du schéma à lafigure, qui caractérise ce travaiLARGUMENT DU PREMIER LIVRELes Eléments de Statique (lesquels traitent des pesanteurs entendues enl'idée être sans matière) se divisera en deux parties, dont l'une sera de 14définitions, et la seconde de 28 propositions, de la qualité des poids, quisont de deux sortes, comme droits et obliques. Les droits ont deuxespèces, à savoir élevants et déprimants, décrits dans les 18 premièrespropositions. Les obliques sont aussi de deux espèces, comme élevants etdéprimants, décrits consécutivement, comme il se verra plus clairement enla table suivante.la première 14 définitionsLa théorie des élevantspesanteurs a deux~roitS etparties, contenant: {{{Iceux déprimantsla seconde 28 propositionsobliques élevantset iceux{ déprimantsPREMIERE PARTIEDéfinition 1.Statique, est une science qui déclare les raisons, proportions et qualités despoids etpesanteurs des corps.Déclaration.Tout ainsi que la Géométrie considère les grandeurs des figures, et nonpas leurs pesanteurs (...) de même la Statique considère leurs pesanteurset non pas leurs grandeurs (...)Définition II.La pesanteur d'un corps, c'est la puissance qu'il a de descendre, au lieuproposé. (. ..)Définition III.Pesanteur connue est celle dont le poids se peut exprimer certainement.(...)Définition IV.Centre de gravité est celui, auquel si on imagine le solide être suspendu, ilse tiendra en toutes les positions qu'on lui peut donner. (...)

~E25Déclaration.Soit ABC un globe de matière et pesanteur semblablede tout côté, suspendu en son centre D, par la ligneED ; il apparaît qu'il se tiendra en toute sorte deposition qu'on le tournera (...) Il faut comprendre qu'ily a un centre de gravité en tous corps, tant réguliers ouirréguliers (...) Le centre de gravité des figuresordonnées comme Colonnes, Globes, Sphéroïdes, etles cinq corps réguliers, et de matière uniforme, est lemême centre que celui de leurs figures et grandeurs,qui s'appelle autrement centre géométrique. Quant auxsolides qui n'ont pas la matière uniforme, il n'est pasfigure 6 nécessaire qu'ils aient ces deux centres en un mêmepoint (...)On voit une pesanteur, représentée par un « globe» « suspendu» à un « fil »tenu par une main dessinée (figure 6). La difficulté est celle-ci: Stevin doit, pourréussir la géométrisation de son problème, exprimer graphiquement la pesanteur,puisque c'est une des grandeurs qui entrent dans la relation qu'il cherche. Ce problèmenous permet de montrer un schéma au travail: il ne fonctionne ni commereprésentation ni comme objet géométrique, d'autant que la pesanteur n'est pas unegrandeur géométrique (une propriété de l'espace) et ne saurait être dessinée. Maisl'objet graphique proposé décrit graphiquement une expérience de pesée qui supposeune force opposée à la pesanteur, une force qui sert à la suspension de l'effet depesanteur (qui suspend .. .la descente du corps). L'intensité particulière de cette forcen'est pas objet de calcul, ni même de théorie. C'est pourquoi le graphisme quil'indique n'est pas géométrique: la main la représente, en « tenant» l'ensemblecomme au bout d'un fil tendu. L'aspect « réaliste» de la main signifie que la forcecorrespondante n'est pas modélisée, qu'elle n'est pas prise en compte dans l'étude dusystème. Cependant, le système est fermé grâce à sa présence: la main montrel'ouverture du système des forces qui serait réalisée en son absence.L'objet graphique proposé n'est donc pas un dessin. S'il fallait encore nous enconvaincre, remarquons que Stevin n'a pas dessiné un « globe », puisque le fil desuspension est tracé jusqu'au centre du trait circulaire qui désigne le globe;l'ensemble ne forme pourtant pas une figure géométrique, la main dessinée le montre.Il s'agit de ce que nous avons appelé un schéma, de la représentation d'une idée, etnon d'une description. L'effort de Stevin pour arriver à la saisie théorique duproblème ne se donne pas à voir seulement dans le texte, mais jusque dans ce schéma,dont les éléments qui vont devoir être géométrisés sont nommés dès à présent selon lesprincipes en vigueur dans le texte géométrique d'Euclide, D le centre, ABC le globe,ED la ligne selon laquelle se fait la suspension. La composante géométrique prendra del'ampleur dans les schémas suivants, dont certains sont presque complètement épurésde l'idée même de pesanteur.Définition V.Diamètre de gravité d'un corps, est une ligne droite indéfinie, passant dequel côté que ce puisse être par le centre de gravité: Et tel diamètre étantperpendiculaire à l'horizon, s'appelle centre de gravité. (. ..)Définition VI.Plan de gravité d'un corps, est un plan tel qu'il puisse être, qui passe parle centre de gravité d'icelui (...)

26Défmition VII.C E Toute ligne droite, comprise entre deuxperpendiculaires de gravité, nous la nommeronsG 1-------1 H verge, ou barre de gravité.A BDéclaration.Soient A et B deux corps, et leurs perpendiculaires1de gravité CD et EF, entre lesquelles soient menéesDquelques lignes, comme GH, AB, ou IK, touteK ligne tirée de même s'appelle verge ou barre deF gravité des pesanteurs A, B, comme si c'était lafigure 7verge d'une balance au dessous de l'examen.Définition VIII.Etant la verge ou barre divisée, (ayant les perpendiculaires de gravité) où lescorps se peuvent tenir en équilibre, nous nommons les parties de la verge,rayons.Déclaration.Soient A et B deux corps, et CD une verge divisée en E, par laperpendiculaire de gravité FG, où sont les deux pesanteurs pendantes enéquilibre, les deux parties de la verge CD, sont nommées, rayons(figure 8).Défmition IX.Et la perpendiculaire de gravité des deux~pesanteurs est nommée une anse.Défmition X.Et le point de l'anse, dans la barre, point~ stable.(. ..)F Défmition XI.C E D Et les deux pesanteurs sont nomméesAfigure 8Géquilibres, ou contre-poids.Déclaration.Comme A et B, en la 8° défmition, soit que lespesanteurs soient égales ou inégales (...) car Adémontre autant de force à la verge CD, que B(...) ils semblent être de pesanteur égale, maisce n'est pas leur pesanteur seulement, maisaussi leur disposition (...)Pétition 1.Que les pesanteurs égales aux rayons égaux soient équilibres.Pétition II.Qu'aux lignes mathématiques on puisse attacher ou poser quelquepesanteur que ce soit, sans qu'elles puissent rompre, ou plier.Pétition III.Et que la pesanteur, suspendue plus haut ou plus bas, demeure toujours demême poids.Pétition IV.Que par le plan qui coupe le colonne le long de l'axe, on entende lacolonne.

27Pétition V.Que toutes les lignes à plomb (à savoir perpendiculaires à r horizon) soientprises pour parallèles.Stevin explique pourquoi il choisit ce modèle, et qu'il ne faut pas tenir comptedu concours au centre de la terre des perpendiculaires de gravité (figure 9) :« les équilibres ne seraient plus stables, et il n'yaurait plus que le globe à pouvoir répondre à ladéfinition du centre de gravité; ensuite, la raisondu poids le plus pesant au plus léger ne serait pascelle du plus long rayon au plus court (...) Ceserait d'un inconvénient majeur(. ..) Enfin, éviterC......-----.....~_rfigure 9ce menu épluchement ne donnerait pas d'avantagepour la Statique-pratique ».Le rapport du levier se démontre en effet grâce auparallélisme des perpendiculaires de gravité, ildevient inexact dans un modèle où le parallélismene figurerait plus. Ce sont les éléments d'unedémonstration possible d'une propriété du domainede réalité étudié, mais il n'est pas encore du proposde l'auteur d'entrer dans le vif de son sujet. C'estl'objet du premier théorème.Théorème 1.De deux pesanteurs équilibres, la plus pesante a telle raison à la pluslégère, comme le long rayon au court.Il lui faudra sept réalisations graphiques différentes· pour s'expliquer sur cepremier théorème, avec les trois « exemples» (nous dirions des cas, ou des lemmes)dans lequel il subdivise le travail et les démonstrations correspondantes. C'est autravers des diverses fonnes données à ces objets graphiques que l'on peut suivre leseffets de la volonté d'obtenir une démonstration située dans le cadre desmathématiques et plus particulièrement dans celui du système de signes le plusperformant à l'époque de Stevin : la géométrie, ses figures, sa rhétoriquedémonstrative. Il va réussir par un artifice extrêmement ingénieux et assez complexe.Il part de l'idée suivante: « pour une colonne homogène de section carrée constante,la pesanteur de deux parts de même longueur est égale », et il transforme par là lapesanteur d'un corps quelconque en pesanteur d'une «colonne équivalente» c'est-àdired'une longueur équivalente de colonne, dont il fait coïncider la perpendiculaire degravité avec celle du corps considéré. Comme il représente la colonne par un de sesplans médians et que le centre de gravité de la colonne est le centre géométrique durectangle qui le représente, Stevin peut alors réaliser une équivalence géométrique de lapesanteur, en position comme en grandeur.Comme l'on sait, depuis le Livre 1 des Eléments, d'Euclide, « ajouter lesrectangles» c'est-à-dire obtenir« un rectangle équivalent (en aire) à deux rectanglesdonnés », Stevin a maintenant le moyen de «calculer» graphiquement lespesanteurs: il dispose d'un « modèle mesurable ». Il sait placer en tout point del'espace des représentations graphiques (et de l'espace géométrique) une poutre delongueur (un rectangle d'aire) équivalente à une pesanteur donnée. C'est moinscommode qu'un vecteur, car il y manque la direction: les possibilités d'addition en

28sont a priori réduites, mais des systèmes de poulies judicieusement placées font unetechnique presqu'aussi efficace, et Stevin arrivera à résoudre des problèmes que noustraiterions par la «règle du parallélogramme »11.Il réalise l'expérience de pensée suivante: il coupe la poutre en un point - cequi ne change pas la position du centre de gravité de l'ensemble des deux morceaux ­et il en déduit la loi de formation du centre de gravité de « deux pesanteurs liées parune verge» : le premier théorème de sa Statique. Nous l'étudions ci-après.2.3. Le schéma, objet de l'éiude géométriqueDans les schémas, une force est d'abord une pesanteur (même lorsqu'elles'exercera en oblique, grâce à des poulies). Elle est alors représentée par une« colonne », suspendue à un fil tenu par une main (qui ne sera bientôt plus objet decuriosité). Le premier schéma du premier théorème s'attaque de front à la difficultéprincipale: exprimer graphiquement la force, par la pesanteur. La colonne associée àla main en représente l'idée, dans le cadre d'un système physique fermé grâce à lamain.Le système de signes mis en place peut maintenant se comprendre par sesusages: le schéma de l'idée originale évolue en s'adaptant à l'expression del'expérience de pensée qui nous est proposée. Nous allons quitter l'outil dereprésentation d'une idée pour étudier ce schéma en tant qu'objet graphique, bientôtfigure de géométrie: entrer au coeur du fonctionnement d'un modèle géométrique despesanteurs. La colonne en effet est mesurable (figure 10). Elle est divisée en six partieségales, par plans verticaux.Imaginons-la coupée en parts inégalessuivant le quatrième des six plans,imaginons alors la coupure effective :l'équilibre demeure, le centre de gravitétotal reste en place pourvu que la rigiditéA E G 1 K M Bde l'ensemble soit assurée. ADLKreprésente «la plus pesanteP f---=R+--S+----=T+---=y":"i----:-X:+---I Qpesanteur », de centre de gravitéD F H J L N c S, au centre de la sous-colonne defigure 10quatre sixièmes. LKBC représente « laplus légère », de centre de gravité X, aucentre des deux sixièmes qui laconstituent.11 Pourtant, bien SÛT, la formalisation obtenue ne permet pas le passage au calcul, elle n'offre pasune algèbre des pesanteurs.

29Alors, dit Stevin, « La pesanteur majeureAKLD est à la moindre KBCL comme lelong rayon TX est au court TS, cela peut sevérifier figure 10. Afin que l'on ne pensepoint qu'il en est ainsi par accident, nous enferons une démonstration mathématique ». A1 K BLe travail en ce sens fait, du schéma, une p S T V Xfigure: nous allons l'observer. LesQpesanteurs sont, par l'artifice des colonnes, D L creprésentées en même temps en grandeur etfigure Ilen position, leur somme aussi (figure Il).Le centre de gravité général est en T - il n'a pas varié puisqu'aussi bien, rien n'abougé. Les « rayons» sont donc mesurés respectivement par TS et TX, tandis queles «pesanteurs» sont mesurées par ADLK et LKBC. Dans cette sous-figure de cequi est maintenant la figure primitive et qui pouvait jusqu'ici être considéré comme leschéma d'une colonne suspendue, aucune différence apparente, sinon que le trait KLest pensé comme séparant « la colonne» c'est-à-dire la pesanteur totale en deuxéléments pesants distincts. Ainsi, il n'est plus besoin de parler de poids. La relation,telle que nous l'écrivons algébriquement aujourd'hui, est alors:(KL·PV)·TS = (KL·VQ)·TXElle exprime une relation géométrique exclusive. La géométrie offre ainsil'espace théorique, le cadre, pour modéliser le problème de statique. Dans ce cadregéométrique, le travail de Stevin consiste à mettre en oeuvre les définitions et pétitionsparticulières au modèle, et à assurer le contrôle de la pertinence matérielle desthéorèmes démontrés dans la Statique théorique, qui se construit par là (Dans lin autretemps, l'auteur se proposera de montrer l'intérêt pratique des savoirs produits).Voici donc la modélisation qui s'engage.L'expérience de pensée progresse, avec letravail du schéma initial, comme on peut levoir sur la figure 12. Si l'on abaisse(inégalement, sur le graphique c'est-à-dire en~~pensée) les deux parties qui font ensembleS T XABCD, en laissant la barre KL en place,AK1chaque partie est suspendue à son centre degravité. « Lorsque le corps était suspendu àD Ll'anse SX, AKLD et KBCL ensemble étaientK B en équilibre, mais en étant abaissées elles necausent aucune altération à SX par la pétitionLC 3. Les parties de la colonne demeurent dansfigure 12le même équilibre, et les rayons demeurent enmême raison ».Nous évoquerons seulement la suite, car il n'est pas de notre propos d'étudierplus avant La Statique: « Soient alors les corps changés en autres figures (...)l'équilibre demeurera comme devant, les pesanteurs demeurant égales, comme lesrayons (...) De même si les pesanteurs sont pendues à une barre solide pesante (...) »Des Problèmes peuvent dès lors être abordés, l'outil de leur mise en signesgéométriques est maintenant assuré, c'est aussi l'outil de leur traitement mathématique.

302.4. Du schéma à lafigure, l'origine de la géométrieLe travail de création d'un système de signes apte à modéliser un problème quise pose dans l'espace, Stevin n'est pas le premier à l'engager, nous l'avons observé àl'oeuvre en d'autres temps, sur d'autres problèmes. Nous étudierons aussi bien, àl'aide des mêmes outils, (dans la troisième partie de ce travail) le cas actuel d'une élèvede 4e à propos d'un problème matériel de pièces découpées dans une feuille de bristol,mais nous pouvons continuer à étudier des moments de l'histoire du travailgéométrique.Examinons, par comparaison, le moment premier de la géométrie même, ou dumoins ce que, Tannery nous rapporte (puisque nous ne connaissons pas les procédésréellement employés) des procédés les plus primitifs par lesquels Thalès aurait puaccomplir les actes que la légende lui prête 12 : mesurer la distance à la côte d'unbateau en mer, mesurer la hauteur d'une pyramide, soit, « rapporter en une positionmesurable une grandeur hors d'atteinte ». Selon sa propre analyse, Tannery agit ainsicomme Eudème (Mathématicien grec auteur des premiers Eléments dont ayons entenduparler, aujourd'hui perdus), qui attribue à Thalès les théorèmes nécessaires à la mesuredes distances inaccessibles - puisqu'on sait qu'il a su mesurer de telles distances. Onconnaît des énoncés pour le tracé d'arpentage, à peu près contemporains de Thalès:«Quand deux droites se coupent, lesangles opposés sont égaux» (figure 13)1 •••••••••• EB..{cAfigure 13figure 14«En un triangle isocèle, lesangles à la base sont égaux. »(figure 14)« Deux angles égaux sur unsegment égal· donnent destriangles égaux» (figure 15)figure 15Ces énoncés se soutiennent d'un schéma tracé au sol, il faut les compléter dutriangle rectangle des arpenteurs (de côtés 3,4,5) donnant la construction d'un angledroit (l'angle d'une perpendiculaire à une droite en un point, soit, le demi angle plat).Ainsi, les problèmes dont la solution est attribuée à Thalès ne sont pas nécessairementrésolus « géométriquement» (par similitude, et transport du problème dans un espaceautre que celui du problème: l'espace théorisé de la géométrie; c'est-à-dire parmodélisation). Ils peuvent être -résolus par «report de distances égales» dans12 Tannery P. (1887), La géométrie grecque, Paris, Gauthier-Villars (rééd. Jacques Gabay).

31l'espace de la grandeur à mesurer, un procédé qui suppose seulement le schéma(perfectionné, mais historiquement attesté, au contraire du modèle géométrique) quiprésente l'idée du procédé. Les trois propriétés ci-dessus et les schémascorrespondants peuvent, avec l'angle droit, produire les solutions attribuées à Thalèspar les dispositifs suivants:1) La distance du navire en mer est égale à la longueurobtenue à terre par reportà terre du triangle rectangle formé sur une base donnée (figure 16) :EC = AB dans la mesure où D est le milieu de la base BC, et où le navire est vuen même temps dans la direction FB, perpendiculaire à BC (il suffit d'attendre lemoment adéquat) et dans la direction ED (il suffit pour cela de se déplacer sur CE, quipeut être tracée d'avance, perpendiculaire à BC).Ce procédé offre l'avantage, grâceaux angles droits donnés par construction,de régler la question de l'égalité des angles.' Een B et en C indépendamment de l'idée duschéma (Il n'est pas question bien sûr I~....· .. . .'d'étudier la faisabilité réelle de l'opération). .'·Cette égalité nous évite d'avoir à nous Ftdemander si les droites (BF) et (EC) sont .basedorfuée· .bien parallèles, puisque l'égalité des D ctriangles suffit à garantir l'égalité des côtés...homologues AB et EC.. .'Nous pouvons, appuyés sur le savoir ...'euclidien, imaginer des solutions ...d'apparence aussi simple et élémentaire. Part::!!Jd{exemple, sur la base de deux triangleséquilatéraux opposés par un sommet: unefigure 16corde et deux piquets suffisent à obtenir lesquelques cercles nécessaires à ces tracés(figure 17).Pourquoi donc supposer l'angle droit? Tout d'abord, parce que l'on sait queThalès a étudié en Egypte, et que les égyptiens connaissaient le triangle 3,4,5, desmillénaires avant Thalès. Ensuite, parce que le procédé précédent peut sans peine sepenser tout en se réalisant. Il est formé - par exemple, s'il est représenté mêmegrossièrement (par un tracé effectué sur un sol uni) - d'une combinaison simple desquatre éléments en principe connus de Thalès: une combinaison, par juxtaposition, dedeux triangles égaux au moyen de leur angle (non droit) égal. Le procédé estéconomique en pensée géométrique, et le schéma de la figure 16 devient unedémonstration du procédé, car il permet de tenir, pour qui connaît les quatre propriétésattribuées à Thalès, un discours argumentatif (organisé par la description du schéma)de l'opération d'arpentage. Sans même nommer les points comme nous l'avions faitspontanément (en géomètres ayant appris auprès d'Euclide), l'égalité des triangles peuten effet se voir et se dire: «Les triangles sont rectangles (ils ont un premier angleégal), ils ont un angle aigu opposé par le sommet (donc, un deuxième angle égal).Leur côté compris entre ces deux angles est égal (puisque c'est ainsi que nous avonstracé la base des trois points de visée). Alors, les côtés correspondants sont égaux, etla distance mesurée à terre est égale à la distance à la base du navire en mer»...'

32Nous trouvons là une preuve «par ostension »13, parce que la figure est enelle-même un discours suffisant, sa syntaxe étant suffisamment explicite pour ne pasnécessiter l'argumentation par l'écriture en « langue naturelle» du raisorinementtenu.Considérons en revanche la solution montrée par la figure 17. Cette solution pardes triangles équilatéraux (simples à construire) suppose une modélisationgéométrique efficace, c'est-à-dire un schéma qui s'appuierait sur des connaissancesgéométriques indépendantes du tracé d'arpentage. C'est-à-dire que cette solutionsuppose une figure. On peut le voir, la base est plus complexe à « lire », puisqu'ellese compose (comme précédemment) de cinq points de visée, mais que cette fois lestriangles égaux ne sont pas immédiatement visibles. Ainsi, nous devrons nommer lespoints, pour décrire un schéma qui ne se donne plus à lire.« La « sous figure» des triangles OEAet ODM répond bien au cas d'égalité donnépuisque DM = EA dans la mesure où, cestriangles ayant un côté égal (OE =OD) entredeux angles égaux (en E et D, ainsi qu'en 0puisqu'ils y sont opposés par le sommet),OEA = ODM et EA = DM ».On peut donc mesurer ainsi la distance dubateau A à la base (EC), égale à la distance (àterre) du point M à la base (DB). Encore faut-il.être assuré de ce que les bases sont.' perpendiculaires aux directions de mesure, pour.'. être assuré que l'on a mesuré les plus petites· . distances. Encore faut-il (là, le schéma devient·.. :autre chose que le moyen de décrire un procédéA ,~:'. •matériel) avoir montré que les angles AEO et" .'figure 17MDO sont égaux. Cela suppose unraisonnement sur les triangles équilatéraux OEBet ODC, dont l'égalité est donnée par constructionmais dont l'égalité des angles est à démontrer, si l'on ne connaît pas la constancede la somme des angles d'un triangle.Ce premier problème pose, pour la première fois semble-t-il, le principe de lanature commune des espaces, en mer et à terre, inaccessible et accessible. Unproblème posé par l'opération du report de la distance, opération que le schéma décriten une syntaxe simple, sans être encore un objet de la géométrie (qui n'çst pasconstituée, à l'époque de Thalès, et qui se constituera justement sur les fondementsqu'il pose) c'est-à-dire, sans être une figure, ni une représentation de l'espace (Cellesque les artistes réalisent depuis longtemps ne permet ni le contrôle du report ni le calculargumentatif qui le justifie).L'autre problème se résout par le même procédé de «report de la distance àmesurer », mais le raisonnement est encore plus simple: «La hauteur de la pyramideest égale à la longueur de son ombre portée, le jour ou à l'heure où notre propre ombreportée est égale à notre hauteur ». Un procédé dont le schéma est constitué de deuxtriangles rectangles isocèles dont un côté montre l'objet et l'autre montre l'ombre, le13 Une preuve qui fonctionne donc comme les calculs algébriques, lorsque l'on montre que ladifférence de deux carrés peut être un carré parce que (a 2 +t>2)2 - (a 2 _b2)2 = 4a 2 b 2 = (2ab)2.

33raisonnement consistant à affirmer que les deux triangles sont isocèles en mêmetemps.Le raisonnement de ce second problème marque le second moment où se pensel'espace: l'espace à terre était identique à l'espace en mer, voici que l'espace danslequel s'inscrit la pyramide s'y montre identique (au moins pour ce qui est de larelation d'égalité des distances) à celui dans lequel s'inscrit l'homme. Maintenant, laconception du monde a changé, et le schéma va pouvoir devenir à 1'homme ce que1'homme était à la pyramide: le moyen de traiter des relations d'égalitéindépendamment de la taille de l'objet sur lequel on expérimente. Ainsi, l'entrée engéométrie se fait par cette mise en rapport des espaces de dimensions différentes,provenant de lieux différents: l'espace à mesure humaine, l'espace hors d'atteintematérielle, l'espace à mesure monumentale. Et les égalités peuvent s'expérimenterdans l'espace du schéma: ce qui est vrai ici est vrai encore là-bas; l'égalité qui estvraie à ma mesure, l'est à la mesure de la pyramide ou à celle de la feuille de papier,parce que les propriétés de l'espace qui se manifestent en tous lieux sont homologues.La feuille de papier peut donc être le laboratoire de l'arpenteur et la géométrie peutconunencer à émerger.La géométrie comme modèle de l'espace serait dès lors nécessaire, alors qu'ilsuffisait, pour résoudre les problèmes dont la solution est attribuée à Thalès, d'opérerles tracés dans l'espace même où l'on pose le problème et où se feront les mesures:au sol.Il faut en effet évoquer ici (figure 16, toujours) les tracés et les mesures en unschéma qui n'opère plus comme une simple représentation de l'idée qui permet lasolution du problème ou encore comme une description de l'opération matérielle parlaquelle on résout le problème, mais en un schéma qui organise la présentation del'idée du tracé en une composition de schémas élémentaires: un schéma quifonctionne comme un discours, conune un système de signes (organisables selon leurslois propres) dont une organisation particulière produit la solution cherchée 14 .Le schéma permet par conséquent mettre à distance l'action dans l'espacesensible et de créer un commencement de modèle par la mise en signes des relationsspatiales repérées (tout au moins dans ce premier moment, les égalités d'angles et demesures). En ce sens, dans le moment où il montre l'idée, le schéma montre lesopérations à faire de telle manière qu'HIes démontre c'est-à-dire qu'il en justifie lapertinence: une forme de « preuve» que les Grecs appelaient OlK:VVj1e (diknume)ou preuve par ostension.Cela suffit aux solutions des problèmes attribuées à Thalès. Mais les preuves parostension ne sont acceptables comme preuves que parce qu'elles démontrent lapertinence d'une opération matérielle que le schéma a permis d~organiser d'unemanière rationnelle en montrant cette opération (dont l'effet peut se voir, et, par là, secomprendre). Le fonctionnement ostensif du schéma et l'organisation de ladémonstration qu'il propose font qu'il devient progressivement comme un texte degéométrie, pour qui sait lire la géométrie qui se montre dans le schéma. Sansl'existence de quelques schémas-type dont la combinaison peut se retrouver dans leschéma proposé, et sans la relation du schéma à un problème de l'espace sensible qui,par ce moyen, trouve une solution matérielle, le même graphisme ne ferait pas preuve.14 Le tracé sera réalisé ailleurs: dans l'espace où seront faites les mesures véritables.

34Lorsqu'il commence à fonctionner ainsi, le schéma devient donc l'outil de la mise enrelation des propriétés pertinentes à la solution du problème, et il se travaille comme unoutil géométrique.Utiliser la géométrie pour l'étude des questions et problèmes qui se posent dansl'espace, ou à propos des objets qui se trouvent dans l'espace n'est donc pas uneopération qui «va de soi », même si la culture commune fait dire aux élèves,lorsqu'ils veulent trouver l'utilité de l'enseignement qui leur est fait, que « lagéométrie ça sert, surtout aux architectes ». Il y faut, on l'a compris, ce momentpremier de la création du schéma et de son travail en direction d'un système de signespouvant constituer un modèle du problème que l'on attaque. Il faut travailler leproblème pour mettre en place le modèle, avant de travailler les relations que le modèle« met en signes ».2.4. Modélisation et expérimentation géométriques«Comment s'utilise le savoir géométrique, dans l'étude de quelsproblèmes? ». La question est pertinente pour aborder cette autre question:« Comment se construit le savoir géométrique? » et en particulier, comment seconstruisent les savoirs sur la géométrie utiles au travail des modèles spatiaux dontl'enseignement nous intéresse?En principe, cela commence comme pour tout domaine scientifique: parl'exploration d'une classe de phénomènes. Une telle exploration est nécessairementexpérimentale, elle se fait par la mise en rapport de la théorie avec l'espace sensible,par le biais d'un montage expérimental. Cette idée peut être le point de départ d'unearticulation entre les différents aspects des travaux de construction géométrique et lesdifférents niveaux du travail graphique. Car, en géométrie comme ailleurs,l'expérience est une expérience de laboratoire qui utilise la matérialité d'un objet delaboratoire (une feuille de papier). C'est une expérience graphique qui fait appel autracé.Prenons un exemple. Considérons le phénomène géométrique: «lesmédiatrices des côtés d'un triangle sont concourantes ». Avant que d'être unphénomène, c'est tout d'abord un fait que l'on va observer 15 . Traçons donc untriangle et, par un procédé quelconque, traçons les médiatrices de ses trois côtés. A cestade, une première remarque s'impose: de la même manière que nous ne prenonspas un dessin (une représentation) de l'expérience de Michelson et Morley permettantde mettre en évidence l'absolu de la vitesse de la lumière pour la réalisation effective decette expérience, de la même manière nous devons prendre garde de ne pas considérerun dessin représentant une expérience graphique pour la réalisation de cetteexpérience. Nous appellerons schéma la présentation de l'idée que l'expérienceréalise, et épure sa réalisation. Le risque de confusion vient du fait que les outilssémiotiques employés dans les deux cas paraissent les mêmes: des traits sur unefeuille.Schéma et épure sont des objets graphiques que l'on prend pour eux-mêmes, cequi n'est pas le cas du dessin et de la figure qui représentent des objets absents, le15 Pour des précisions sur l'articulation faits-phénomènes en didactique, voir Chevallard, On didactictransposition theory : sorne introductory notes, communication au International Symposium onResearch and Development in Mathematics Education, Bratislava, 3-7 août 1988.

35premier représentant un objet matériel, la seconde des relations mathématiques: lesrelations spatiales théorisées qui forment la géométrie.Un schéma de l'expérience décrite ci-dessus pourra donc se montrer pour cequ'il est en restant sous la forme graphique d'un simple tracé à main levée. Il en vaautrement de l'épure qui est la réalisation effective de l'expérience graphique et devraêtre réalisée avec beaucoup de soin - sous peine de produire une expérience ratée (Onpeut voir là que la figure géométrique telle qu'elle est généralement utilisée dansl'enseignement traditionnel fonctionne suivant les besoins comme l'un ou l'autre, cepourquoi elle peut être « fausse» lorsqu'elle est le schéma d'un raisonnement etdevoir être «soignée» lorsqu'elle réalise l'expérimentation de propriétés àdémontrer). Outre le soin, une expérience graphique doit se garantir d'être véridique,c'est-à-dire qu'un protocole expérimental doit garantir le plus qu'il est possible contreles effets de la volonté ou de la maladresse de l'expérimentateur: les enseignants dephysique le savent, qui ne peuvent pas choisir n'importe quelle expérimentation pourles séances de travaux pratiques qu'ils proposent aux élèves d'une classe (les élèvessont des expérimentalistes inexpérimentés). La garantie d'un protocole expérimental,n'est jamais prise par les enseignants, parce qu'ils ne réalisent jamais vraimentd'expériences. Le plus souvent, il leur suffit de les évoquer: leur activité est sous lecontrôle de leur connaissance de la théorie, pas sous le contrôle du réel, ils ne seconfrontent à l'expérimentation que lorsqu'ils doivent établir la solution d'un exerciced'un type nouveau, pour lequel ils n'ont pas d'idée a priori.Dans le cas des trois médiatrices il est possible, par exemple, de partir de troiscopies d'un même triangle, sur papier calque, et de réaliser une des médiatrices surchacun des triangles (à l'aide d'une règle graduée pour déterminer le milieu et d'uneéquerre pour la direction, ou de tout autre moyen bien repéré et maîtrisé par lesopérateurs) avant de superposer les tracés, que l'on pourra épingler sur une planchetteplane afin de fixer précisément la situation obtenue. Mais si l'on accepte plus detechnicité, il est possible de tracer d'abord, sur le triangle original lui-même, tous lescercles centrés aux sommets qui aident au tracé des médiatrices, de marquer alorsseulement les points d'intersection utiles et, dans un dernier temps, de tracer les troisdroites. TI faut noter déjà que nous réalisons bien une activité graphique, en ce sensque le mode de tracé des médiatrices n'est pas imposé: que celles-ci soient tracées « àla règle graduée et à l'équerre », « au bissecteur» ou, bien sûr, « à la règle et aucompas », les instruments ne sont ici pertinents que dans la mesure de leur plus oumoins grande précision: ce sont les outils plus ou moins techniques d'une réalisationgraphique et il va de soi qu'à ce stade un outil imprécis bien maîtrisé peut être pluspertinent qu'un outil perfectionné dont l'expérimentateur ne contrôle pas l'usage.Cela étant, supposons que nous demandions à des élèves (ignorants de lapropriété) l'exploration graphique de la figure des trois médiatrice.s des côtés d'untriangle. Ils sont amenés à réaliser, selon le protocole expérimental choisi,l'expériencedécrite plus haut.On sait très bien que, comme pour toute expérience, l'obtention d'un pointd'intersection unique est le fait d'un hasard malheureux: les trois droites ne secouperont pas exactement au même point et leurs intersections prises deux à deuxformeront les sommets d'un triangle, plus ou moins grand selon l'habileté et la chancede l'expérimentateur. Il est possible de ne pas se contenter d'une telle approximationcomme preuve expérimentale de l'intersection et, toujours dans le domaine des faits, ilest possible soit de confirmer l'idée qui peut être venue de l'intersection commune desmédiatrices, soit de faire naître cette idée si elle n'est pas venue. Cela s'obtient par le

36raisonnement suivant: « S'il est exact que les trois médiatrices se coupent en unpoint, alors, lorsqu'on augmente de manière homothétique les dimensions du triangleABC de départ, les dimensions du petit triangle A'B'C' obtenu par les intersectionsdes médiatrices ne devraient pas augmenter dans le même rapport ». Ce raisonnementengage le processus d'expérimentation proprement dit en donnant l'idée d'uneexpérimentation graphique, que nous empruntons à Guy Brousseau 16 : « Travaillerles formes ou les dimensions du triangle de départ ABC pour que le tracé réalisé selonla technique standard (suffisamment maîtrisée des élèves pour qu'ils puissent encontrôler la technique d'exécution), donne un triangle A'B'C' plus grand qu'untriangle déjà obtenu, si c'est possible ».La difficulté qu'il y a à faire grandir le triangle A'B'C', la dimension aléatoire del'action réalisée dans ce but (il arrive que la tentative «rate» complètement et queA'B'C' soit« tout petit» malgré tous les efforts) donnent la conviction expérimentalequ'en fait, A' , B', C', correspondent à un seul et même point et que l'on s'est affrontéà une nécessité géométrique: le triangle est nécessairement « tout petit », puisqu'ilne peut être rendu « grand» qu'au hasard mais qu'il est relativement semblable autriangle d'origine (suivant les hasards expérimentaux, dans une « similitude» directeou inverse). Le triangle A'B'C' est donc formé au même hasard qui, parfois, le rendeffectivement ponctuel: les trois médiatrices d'un triangle sont nécessairementconcourantes, du point de vue expérimental. Ce sera maintenant au discours deprendre en charge l'expression de cette nécessité, sous la forme d'un théorème.Mais ce travail nous amène à poser des questions nouvelles, comme c'est le caslorsque l'on retourne au système que l'on étudie armés d'outils performants que nousavons construits. Voici l'une d'elles. Ainsi, la classe d'objets « famille de triplets decercles centrés en trois points A, B, C donnés et de même rayon r, le rayon pouvantvarier de zéro à l'infini» définit un triplet de points d'intersection intérieur à la portiond'espace délimitée par les disques correspondants, pour chaque triplet de cercles de laclasse effectivement sécants. Un de ces triplets est réduit à un point unique: leurssommets en effet sont alignés sur les médiatrices des côtés du triangle des centres.Alors, le problème: « Existe-t-îl un nombre r (positif) tels que trois cercles de rayon rcentrés en trois points (non alignés) MlM2M3 aient un point commun l? » admet uneréponse positive. Il doit donc être possible, connaissant les trois points par leursdistances respectives, de calculer ce rayon (sa construction, elle, est évidemmentobtenue par celle du point commun aux trois cercles, soit, le point d'intersection desmédiatrices) sachant que l'on a r =IMI = 1M2 = 1M3 (c'est un nombreconstructible).Les questions des relations des nombres aux objets géométriques peuvent êtreposées dans un cadre solidement formé, où l'on trouve la sûreté du travail que donneune connaissance théorique des propriétés qui fondent l'activité qui se déploie.Outre le concours des droites, l'alignement des points est une propriétéexpérimentale aisément vérifiable. Nous en évoquerons un seul exemple. Soitl'opération suivante: « Tracer un triangle ABC. Le décalquer, puis le reproduire surla même feuille de papier, en retournant le calque. Si on appelle A', B' et C' lessommets correspondant (se superposant) respectivement à A, B et C, déterminer lesmilieux respectifs l, J, K, des segments [AA'], [BB'] et [CC'] ». Nous pouvons voiret vérifier, à la règle par exemple, ce phénomène géométrique: les trois milieux sont16 Brousseau G. (1983) Etude de questions d'enseignement un exemple: la géométrie, Séminaire dedidactique des mathématiques et de l'infonnatique, Grenoble, lMAG.

37alignés (il est tout aussi difficile que tout à l'heure d'obtenir des points qui ne leseraient pas vraiment). C'est une propriété de l'espace, que l'on pourra comme tout àl'heure tenter de comprendre, d'expliquer, de démontrer. Dans ces exemples, onassiste à une « exploration» de l'espace de la feuille de papier au moyen desinstruments de tracé et des graphismes qu'ils permettent.Mais voyons un cas un peu différent. Nous pouvons maintenant envisager demonter une expérimentation dans l'espace sensible lui-même, pour nous persuader dela pertinence de la théorie géométrique dans laquelle se situent les raisonnementsprécédents. Nous pouvons vérifier qu'ils ne «portent» pas exclusivement surl'espace graphique, l'espace des tracés sur une feuille de papier. A cet effet, nousconsidérerons que la feuille de papier était un élément matériel de l'espace sensible quil'englobe, qu'elle était une partie de l'espace général, dont elle partageait les propriétésétudiées, qu'elle fonctionnait donc bien comme un laboratoire, un lieud'expérimentation commode.Donnons-nous alors l'opération matérielle suivante, le pliage d'un papiertransparent, point sur point 1 ?, dont voici la description:« Marquez deux points sur une feuille de papier transparent, repliez la feuille etplacez ces deux points l'un sur l'autre (en regardant par transparence), bloquez lepapier dans cette position en pressant fortement le papier en ces points, entre deuxdoigts d'une main. Vous allez maintenant utiliser cette propriété qu'a le papier de sedéformer sans que les distances entre points (mesurées en suivant la surface) nechangent: le papier est inextensible et déformable. En partant des points en contact,vous suivez de l'autre main la pression jusqu'à marquer votre feuille d'un pli, en unpoint. Recommencez l'opération dans plusieurs directions: lorsque les plis partiels serejoignent, ils forment une droite, la médiatrice des deux points de base. Cette droiteest parfabrication, l'ensemble des points de la feuille équidistants des deux points debase; elle sera, par définition, perpendiculaire à la droite qui joindrait ces deux pointssi nous savions la plier, ou si nous l'avions précédemment pliée ».Car nous nous interdirons le pliage de première espèce, trop imprécis. Dans lepliage que nous avons donc réalisé, tout endroit où vient se marquer une portion de pliest équidistant des points superposés Un tel geste matériel est un instrumentd'expérimentation, dans « l'espace des objets matériels plats manipulables ». Nouspouvons vérifier aisément, dans cet espace matériel et par ce procédé, l'intersectioncommune des trois plis « médiateurs» d'un triangle - un triplet de points. Nouspouvons en conclure que l'expérience matérielle confirme, ou plus exactementn'infirme pas, l'adéquation de l'embryon de géométrie que nous avons décrit (avecson théorème sur l'intersection des médiatrices) à l'espace dans lequel se trouve prisela matérialité d'une feuille de papier - le micro-espace selon la classification proposéepar Guy Brousseau.17 C'est le pliage de deuxième espèce (le pliage de première espèce consistant à plier une feuille depapier de manière que le pli passe par deux points donnés). Pour une description rapide des pliagesdans le cadre de la théorie des constructions géométriques, voir Carrega J-C. (1981), Théorie descorps. la règle et le compas, 156-163, Paris, Hennann.

383. L'empirisme, la modélisation3.1. L'empirisme scolaire, solution et problèmeNotre but étant le travail des questions d'enseignement, nous devons regardercomment l'espace de liberté qu'ouvrent les programmes 18 permet de définir une placepour le type de questions que nous nous posons.En effet, le travail mathématique sur la notion de construction, comme le travailsur le schéma ou sur la modélisation des problèmes qui se posent dans l'espace, nenous intéressent pas seulement parce qu'ils « enrichissent notre culture générale ». Ils'agit, à partir de l'étude - même rapide, comme nous l'avons menée dans ce cadred'unsavoir savant dont nous avons repéré le nom et les relations à d'autres savoirsmathématiques, et d'un savoir pratique dont nous avons étudié plusieurs occurrences,d'arriver à donner un contenu cohérent à un enseignement de la géométrie qui doitcomprendre simultanément des «constructions géométriques» et des« représentations d'objets de l'espace »19.Il est en particulier nécessaire de distinguer jusque dans les textesd'enseignement les trois aspects des constructions géométriques (preuve deconstructibilité, algorithme de construction, procédé de tracé) et les trois aspects dutravail graphique (schéma d'une idée, figure de géométrie, épure d'une expériencegraphique), afin de mieux les articuler. Non pas pour en faire les nouveaux objetsd'enseignement, mais pour mieux contrôler la nature et la cohérence desenseignements proposés. Car si, pour différentes raisons - au nombre desquelles lafaiblesse des élèves et la trop grande hétérogénéité des classes seront sans nul douteévoquées -, le primat est donné dans les classes, à la figure dans son seul aspectmatériel, sans articulation aucune avec d'autres problématiques20, on s'achemineravers deux types de difficultés :- d'une part, la prépondérance du tracé fonctionnera en obstacleépistémologique dès lors que, plus tard (dans l'année ou dans le cursus), l'on voudrafaire l'apprentissage du raisonnement déductif (même par « de courtes séquencesdéductives» comme le stipulent les commentaires des programmes de Sixième 21 ) eten particulier lorsqu'il sera question d'engager l'apprentissage de la démonstration engéométrie;- d'autre part, il est à craindre que cette façon de procéder n'engendre bien vitel'ennui chez la plupart des élèves y compris - et peut-être même surtout - chez ceux quiréussissent le moins 22 .Pour permettre de réaliser une articulation des trois registres repérés dans leterme de « constructions géométriques» et des trois registres repérés dans le terme de18 Chevallard Y. (1986), Les programmes et la transposition didactique: illusions, contraintes etpossibles, Bulletin de l'APMEP, 352, février 1986.19 Pour les enseignants qui n'ont pas eu l'occasion de la retravailler, la géométrie est, soit lagéométrie euclidienne scolaire d'avant la réforme de 1970, soit un sous-produit graphique de l'algèbrelinéaire des années suivantes.20 Autrement dit si les seuls problèmes résolus par les élèves sont des problèmes de tracés matériels.21 B.O.E.N., numéro spécial 4 du 30 juillet 1987, page 12.22 L'ennui créé par un enseignement de la géométrie réduit, pour certains élèves, à l'exécution detracés soignés, se montre déjà par leurs réponses à la question: « Qu'est-ce que la géométrie, pourtoi? ».

39«représentations d'objets de l'espace », dans l'enseignement, au collège, il nous fautexaminer plus précisément les possibilités que nous offrent les programmes de cesclasses, les commentaires de ces programmes, et les ouvrages d'enseignement quisont finalement les outils de l'activité d'enseignement. Soit par exemple la pagesuivante, d'un ouvrage pour la sixième 23 :Il Constructionsactivités pour s'initier1 Perpendiculaires à l'équerrea) Tracer à l'équerre1) Reproduire ce dessinA>­ctB YC2) Tracer la droite passant par le point A et perpendiculaire à ladroite d.3) Tracer les droites passant par B et C et perpendiculaires à ladroite d.4) Que peut-on dire de ces trois droites?b) Hauteurs d'un triangleAB~----:-::f-'---..lIl.La droite (AH) est une hauteur du triangle ABC;elle est issue du sommet A.C1) Ecrire une définition de la hauteur du triangle ABC, issue de A.2) Combien un triangle a-t-il de hauteurs?3) Voici deux dessins de triangles:ABf------Jo..CDans chaque cas:-reproduire un triangle ayant la même/orme,- tracer les hauteurs du triangle.4) Que constate-t-on ? Qu'appelle-t-on orthocentre d'un triangle?23 C'est l'introduction des Travaux géométriques du Mathématiques 6°, Collection Pythagore, Paris,Ratier (avril 1986).

402 Droites parallèlesa) Un résultatObserver ce dessinCompléter avec les signes .1 et Il :d ~, d' ~, d d' .Compléter avec les mots perpendiculaire(s) et parallèle(s), enregardant le dessin:Deux droites à une même troisième sont ..Lorsque deux droites sont parallèles, touteà l'uneestà l'autre.b) Tracer deux parallèlesPlacer un point A et tracer une droite d ne passant pas par lepoint A.Nous allons construire la droite parallèle à la droite d et qui passepar le point A. Pour cela, avec l'équerre:Tracer une droite perpendiculaire à la droite d.Appelons cette droite !1.Tracer la droite passant par A et perpendiculaire à la droite ~.Que peut-on dire de cette dernière droite?Sauf à être le « Monsieur Jourdain» des mathématiques, et à être considérécomme pouvant « utiliser un axiome d'Euclide sans le savoir », ce que l'on peut direa priori (dans l'activité l,a)) des trois droites perpendiculaires à d passant par A, B, C,est bien peu de chose. Cette première activité de tracé ne propose pas l'observationd'un phénomène graphique, puisque l'élève n'a pas ici les moyens théoriques ougraphiques de vérifier ce qu'il est censé «voir », (s'il voit que les troisperpendiculaires sont parallèles entre elles). C'est donc au professeur de dire ce qu'il yavait à voir: des parallèles (c'est-à-dire, comme « la prose» que faisait MonsieurJourdain, « une propriété euclidienne» de l'espace sensible, un « axiome sans lesavoir»).Les auteurs du manuel sont par conséquent amenés à reprendre aussitôt laquestion et à faire appel, dès la troisième activité pour s'initier, à la connaissance queles élèves ont de ce qu'on peut leur demander: les relations qu'il fallait dire, les voicipresque tout écrites et il suffit (?) de « compléter» des écritures lacunaires avec l'undes signes ou des mots proposés: « parallèle» et « perpendiculaire ». Mais commele constat du «résultat» peut encore avoir raté et que les auteurs s'interdisenttoujours de donner une définition ou un axiome, ils finissent par proposerexplicitement (activité 2 b) la construction de la parallèle à une droite d par le tracé, àl'équerre, de !1 perpendiculaire à d, puis d'une perpendiculaire à ô,. Ils demandentalors à l'élève ce qu'il peut dire de cette dernière droite. Un élève de 6° ordinairedevrait avoir compris que la réponse lui est chaque fois soufflée Un peu plus fort, etque l'on s'interdit évidemment de la lui dire tout du long (l'énoncé est proposé un peu

41plus loin, dans la double page où traditionnellement le cours s'énonce, sous le titre« L'essentiel»). Dans ces conditions, que font les élèves? Comme on l'a vu encommençant d'imaginer leurs moyens de répondre, les résultats produits dans les« activités pour s'initier» sont le produit de l'activité des enseignants. Que leur faut-ilfaire, que doivent-ils apprendre? Etudions leurs exercices:Exercices pour savoir faire ...Reconnaître des parallèles et des perpendiculaires1. Citerbcd- deux droites parallèles- deux droites perpendiculaires- deux droites sécantes sans êtreperpendiculaires.Les droites cet d sont-elles sécantes?(. ..)Construction de parallèles et de perpendiculaires7. a) Tracer une droite d et marquer un point A extérieur à d.b) Tracer la droite h passantpar A etperpendiculaire à d.c) Marquer un point B extérieur aux droites d et h.d) Tracer la droite k passant par B et perpendiculaire à h.e) Que constate-t-on ?Cette fois, l'élève attentif sait qu'il doit constater le parallélisme de deuxperpendiculaires à une même droite : k est perpendiculaire à h et h est perpendiculaireà d, par construction. Mais, quel est l'intérêt du tracé? Sans doute, d'éviter l'appel àla propriété (donnée à pratiquer en activité, énoncée dans la page sur « l'essentiel »)et même, d'éviter l'appel à la connaissance de l'histoire de la classe, au cours delaquelle une question semblable a été posée: tout devrait décidément être constaté.Comment obtenir alors que les élèves mettent en oeuvre la connaissance d'unepropriété, sans que cette exigence n'apparaisse comme l'expression du caprice del'enseignant? Comment l'enseignant pourra-t-il oser l'exiger, s'il a fonctionné selonce que l'ouvrage officiel lui propose?24 Afin que l'on ne croie pas que nous étudionsun manuel particulier, nous rappellerons par exemple que Armand Colin a produitl'année suivante un manuel pour la se (collection Acti-math) dont le tout premierchapitre, intitulé « Retrouvons la géométrie », commence par l'exercice suivant:Tracez une droite D sur votre cahier, construisez à l'aide d'une équerredeux droites D'et D" perpendiculaires à D, que constatez-vous ?24 Il n'y a pas officiellement d'ouvrage d'enseignement qui soit « officiel », mais, outre le fait quele manuel de la collection « Pythagore» est un des ouvrages les plus diffusés, comme chaque classedispose d'un ouvrage unique, acheté pour une durée minimum de quatre ans et choisi par l'ensembledes enseignants même s'il n'a pas l'agrément de certains d'entre eux, comme enfin les enseignants sedoivent d'utiliser le manuel, cet ouvrage a dans de nombreux cas les caractères d'un ouvrage officiel.

42Nous avons montré là un phénomène tout à fait général: le poids descontraintes produites par le choix d'une solution empiriste pour l'étude de l'espacesensible, et les effets de ces contraintes au début de l'enseignement de la géométrie.Nous ne plaidons pas, en tenant ce discours, pour la solution ancienne - celledes deux siècles qui ont précédé la réforme « des mathématiques modernes» de1970. Les choix qui avaient produit cette solution avaient donné une autre formed'empirisme scolaire (particulièrement virulente dans les classes où la distance d'avecla géométrie savante pouvait s'afficher sans vergogne: les classes techniques et lesclasses de filles en sont deux exemples nets). Plus l'enseignement cherchait à « faireconcret », plus la dégradation de la problématique euclidienne était forte et plus laseule chose qui restait était l'ossature raisonnante, et enfin, la géométrie paraissait unerhétorique vidée de sens.Dans un ouvrage de seconde conforme auxprogrammes de 1931, on trouve par exemple leschéma suivant (figure 18), qui sert à montrerqu'une perpendiculaire est plus courte que toutesles obliques menées du même point, accompagnédu commentaire « On voit bien que l'échelle estplus longue que le mur n'est haut». Mais laA D 0démonstration qui suit est «classique », et figure 18complète.Dans un ouvrage pour les écoles de filles figurant dans une « Bibliothèque desEcoles Primaires Supérieures et des Ecoles Professionnelles» de 1909, cemouvement de « vulgarisation» de la géométrie est poussé à sa limite 25 . Ainsi, laligne brisée« Est une ligne composée de plusieurs lignes droites. Le mètre pliant, lalettre Z nous en fournissent des exemples. On l'emploie fréquemment en lingerie sousles noms de point de chausson, point d'épine, etc. » Quand nous rencontrons laquestion d'une perpendiculaire et des obliques associées, le théorème évoqué plus haut- qui est seulement le quatrième théorème de ce cours, les autres propriétés ayant étéjustifiées d'une observation invoquée - a le même énoncé:Si d'un point pris hors d'une droite on mène à cette droite laperpendiculaire et différentes obliques:1 0 La perpendiculaire est plus courte que toute oblique ;2 0 Deux obliques s'écartant également du pied de la perpendiculaire sontégales;3 0 De deux obliques qui s'écartent inégalement du pied de laperpendiculaire, celle qui s'en écarte le plus est plus grande.Mais dans ce cas, aucune figure ne suit et le raisonnement proposé est lesuivant:Soit la droite CO perpendiculaire à AB1 0 Si nous considérons CO comme représentant un mur vertical reposantsur le sol figuré par AB, une échelle CD allant du point D au haut du murcEF B25 Hue Th., Vagnier N. (1909), Géométrie (Ecoles de filles) , Paris, Delagrave. Nous disposons de la13 o édition, datée de 1919.

43sera plus grande que la hauteur de ce mur ; donc on aura CD > CO ouCO

44droites issues d'un même point intérieur» ou un chapitre traitant de l'usage de lasimilitude des triangles où l'on apprend à «mesurer la distance d'un pointinaccessible, sans graphomètre ni équerre d'arpenteur» (à l'aide de jalonsconvenablement disposés sur une partie accessible du terrain, puis, en reportant laconfiguration « à l'échelle », sur une feuille de papier). Ce sont des problèmes demodélisation de l'espace nettement posés, qui seront traités clairement, le modèlegéométrique étant représenté sur une sorte de peùt carnet de croquis à côté d'un dessindu paysage où se pose le problème d'arpentage, et où les lignes de la mise en signesdu problème sont tracées, comme on peut le constater sur l'illustraùon ci-dessous.766. PROBLÈME 4. - Me.~urez la distance d'un point inaccessible,sans graphomètre n1'équerre d'arpenteur.Soit à mesurer la distance de.~---~~ l'arbre A au moulin C. Faites~ _~_1 C' planter un jalon en B, à une cerq~~taine distance d~ l'ar?re; un autre. .-~~"~~'e en D dans.la dIrectlO?,de l'arbreet du moulIn; un tr01~Ieme en EEn'. . J,~ ')'. l ea. dans la direetion du point B et duB~ .' . nJOuli~, et un quatrième e~ unp- f.\, endrOIt quelconque F sur la dIrectionde AB; mes~rez les distances AF, AD, FD, FE, FB, BE;trâcez sur le papIer une droite ab, d'autant· de parties d'uneéehelle adoptée qu'on a trouvé de mètres à AB; construisez surcette ligne des triangles ad f, [b e semblables à ceux qu'onforme sur le terrain en imaginant les droites. qui joignent les. ~a!on~. Ensuit.~ prolongez les côtés a d et b e de ces tri?-nglesJusqu à ce qu Ils se rencontrent ~ et le nombre de partIes del'échelle que' contient a c est égal au nombre de mètres queconti~nt la distance de l'arbre A au moulin C; car, à cause ~ela s)militude dES triangles, on aab : AB:: ac: AC.. N. B. - Par les Inoyens précédents, on peut mesurer la largeurd'une rivière, d'un fossé, etc.une illustration du manuel d'arpentage, page 215

453.2. Etude de la relation de rrwdélisationNous nous proposons ici d'étudier un problème qui a été réellement posé etrésolu par un maçon et sa cliente, afin de montrer comment se fait le travail demodélisation géométrique d'un problème concret, et les difficultés d'un tel travail dèsque le modèle n'est pas donné immédiatement dans la culture scolaire. Voici les faits,tels qu'ils ont été rapportés par la cliente elle-même 27 •« Lors de la rénovation de la vieille maison que j'habite, dans un hameauà la campagne, il a fallu refaire la toiture de la maison: charpente en bois,panneaux isolants et couverture en tuiles. Les murs porteurs extérieursfont 80 cm d'épaisseur, la surface au sol de la maison est de 50 m 2 . Laprojection de la maison au sol a la forme d'un trapèze rectangle, la poutrefaîtière étant parallèle à la hauteur du trapèze, les deux murs sur lesquelss'appuient la charpente n'étant pas parallèles entre eux: le toit est à deuxpentes.L'artisan maçon qui travaillait à la rénovation de ce toit avait disposé lapoutre faîtière horizontalement, ainsi que le faîte des deux murs porteursde la charpente. Or, il est venu me voir en disant: «Je ne comprends paspourquoi, sur un des murs j'arrive à disposer la charpente de manière à ceque toutes les solives soient parallèles (pour obtenir un pan de toitureplane et poser les panneaux isolants) et sur l'autre, je n'y arrive pas! ».Pourquoi était-il possible de construire une charpente plane par rapport àun des murs et était-ce impossible par rapport à l'autre? ».Suite à cela, la cliente, dont la formation en géométrie dans l'espace,« classique », est apparemment solide, résout le problème (la solution qu'ellepropose est donnée au fur et à mesure du commentaire que nous en faisons) etl'étudiante demande s'il s'agit bien là d'une «enquête sur les mathématiquesrépondant à un besoin professionnel» et si la relation de la solution au problème dumaçon est bien « une relation de modélisation ».La difficulté qu'elle rencontre est particulièrement intéressante pour nous, parcequ'elle est au centre des questions que nous avons traitées. Nous pourrions laformuler ainsi: une enquête déjà faite n'est plus à faire. Un modèle (mathématique)culturellement proposé n'est plus à construire. Le savoir peut alors sembler le produitnaturel de l'étude de la réalité matérielle. Nous allons montrer qu'il n'en est rien.Cependant, nous devrons pour cela « dé-naturaliser le savoir» et l'envisager ànouveau comme le produit d'une activité humaine. Nous devrons prendre les savoirsmathématiques à l'oeuvre dans les activités matérielles observables comme unensemble d'objets de culture et non comme un ensemble d'objets donné par la nature.Nous allons étudier un phénomène de naturalisation des modèles culturellementstandard.27 Les étudiants en didactique des mathématiques de la maîtrise de sciences de l'éducation (Universitéde Provence) devaient, pour illustrer la notion d'enquête sur le savoir (ici, les mathématiques)répondant à un besoin en savoir de la vie courante ou professionnelle, proposer une premièreobservation. Nous travaillons ici à partir de l'observation réalisée sur elle-même par une étudiante.Elle est « la cliente du maçon », et elle propose la narration de cet épisode personnellement vécucomme exemple problématique d'enquête sur les savoirs mathématiques nécessaires à l'exercice d'unmétier.

46La note de la cliente, qui a pour titre Construction d'une toiture, commence,après la narration de l'épisode et l'exposé du problème, par une page intituléeDéfinition, que nous reproduisons ci-dessous. .DéfmitionPlan: ensemble de points tels que si on prend une droite passant par deuxpoints quelconques, tous les points appartenant à cette droite appartiennentau plan.Propriétés1) 3 points non alignés définissent un plan2) 1 droite et 1 point hors de cette droite défmissent un plan3) l'intersection (la partie commune, qui app'artient aux deux plans)de deux plans est une droite4) 2 droites parallèles sont dans un même planOn croirait y lire un ouvrage reprenant l'exposition classique de la géométrie.Voilà le modèle d'un problème de toiture: il est constitué de ces quelques énoncés(c'est un modèle culturellement reçu depuis Euclide jusqu'à nos jours ou presque). Ilva de soi, il est « socialement natureI28 ». Que vous connaissiez personnellement lagéométrie ou pas, cela ne fait rien à l'affaire: le modèle vous est culturellementdonné, ou refusé; nous le partageons.Pour voir qu'il s'agit d'un phénomène culturel - d'un donné de la culture - ilfaut savoir que le texte euclidien est né d'un effort de construction théorique 29 . Que lecorpus d'énoncés ainsi obtenu puisse modéliser « l'espace des maisons et de leurstoits à deux pentes» est une autre affaire: question de choix judicieux d'un systèmed'axiomes, nous y reviendrons en temps utile.Soit, donc, le modèle euclidien. Sa pertinence reconnue sans autre forme deprocès, voilà encore que le travail du modèle est, toujours, déjàfait. Il l'est pour noussi nous l'avons rencontré (en général, à l'école). Sinon, la manipulation du modèlen'est pas un objet de notre culture, et nous nous en remettrons aux spécialistesreconnus. Dans un cas comme dans l'autre nous ne ferons pas nous-mêmes le« travail du modèle» : le travail, s'il n'est pas déjà fait, n'est pas à faire; divisionsociale du travail et des compétences oblige. Ainsi, la cliente, dont nous regardons letravail, a consulté son livre de géométrie (qu'elle avait conservé) pour rechercher lespropriétés pertinentes à la question qui lui était posée, en un geste qu'elle n'a paséprouvé la nécessité de dire: un premier geste qui lui était naturel. Admettons alors28 Nul ne se posera la question de sa pertinence, de l'existence d'un modèle plus efficace - mettons,un modèle algébrique - pour ce type de problème, ou de la manière de procéder des civilisations quiconstruisent des toits plans à deux pentes sans connaître la géométrie euclidienne comme modèle: neconstruit-on alors que des maisons à murs parallèles, ou «fait-on monter les murs jusqu'auxtoits» ? Plus près de nous, les Compagnons du Devoir par exemple, utilisent-ils un tel modèle, oubien ont-ils conservé des pratiques alternatives?29 Les mathématiciens qui se sont intéressés à cette question d'histoire en ont débattu près de deuxsiècles. Ce n'est qu'au début du vingtième siècle que Tannery a définitivement montré que c'est bienainsi qu'il fallait lire Euclide; depuis, Lebesgue - je le cite ici comme un panni d'autresmathématiciens de renom - a montré l'intérêt et l'originalité de l'approche euclidienne des problèmesgéométriques, en reprenant pour son compte certains des grands problèmes qu'elle traite: auparavant.ces problèmes que traite Euclide n'étaient pas suffisamment avancés dans la pensée mathématiquecommune, pour que l'on puisse interpréter unanimement ce qu'il avait fait.

47avec elle que le « travail du modèle» (l'étude géométrique du problème) est déjà fait,dans un livre de géométrie, dès que nous disposons de ce livre. Il reste encore aumoins un geste à réaliser - un geste qui, lorsqu'il n'est pas, lui aussi, donné par laculture (de l'institution scolaire, ou du métier), est bien difficile à accomplir, parcequ'il consiste à éprouver la pertinence d'un savoir pour la résolution d'un problème.Nous ne savons pas, le plus souvent, pourquoi « ceux qui savent» - ceuxdont le métier est de savoir produire les réponses, même lorsqu'ils ne savent pasprécisément la réponse au problème dont il est question - donnent, à ceux qui nesavent pas - ceux qui ne savent même pas où chercher une réponse possible - desindications aussi (apparemment) évasives et peu pertinentes 30 . Ce n'est pas qu'ilsvoudraient cacher quelque chose, interdire l'accès à la réponse, c'est d'abord que cesindications ne sont pas utiles au novice, parce qu'elles ne portent pas sur les savoirsdont dépend la réponse, mais sur les moyens pour celui dont c'est le métier deproduire la réponse lorsque la question est bien posée. Autrement dit, la difficulté c'estalors que ce qui fait « point de repère naturel» dans la culture n'est ailleurs qu'uneinformation parmi tant d'autres. Vous êtes comme le campagnard qui vient en ville etn'arrive pas à suivre le chemin qui lui a été décrit parce qu'il n'a pas réussi à s'insérersur la file de gauche et qu'il n'a pas non plus vu passer le panneau indiquant ladirection à suivre, étant d'abord attentif aux voitures qui le serrent...Le geste, naturel dans la culture géométrique scolaire « classique », c'est lasaisie du problème (ici, le problème du toit) dans le système de signes que le modèle(ici, le modèle géométrique) propose. Son côté «naturel» assure sans que laquestion n'ait été posée que le modèle donné modélise le problème.C'est un geste complexe qui mérite que l'on s'y arrête, car les gestesélémentaires que nous allons ainsi découvrir sont les gestes professionnels de lamodélisation géométrique, ceux qui assurent la réussite du changement du cadred'étude du problème: des gestes que nul ne décrit jamais, sinon peut-être lesanthropologues - et les enseignants, quand la culture scolaire a trouvé le temps de sestabiliser et les moyens de les repérer et de les nommer. Ces gestes restent toujoursdes gestes du métier - du métier d'architecte par exemple, ou du métier d'élève ­c'est à dire des gestes que l'on vient « faire vivre» en pratiquant le métier. Des gestesque l'on acquiert par l'apprentissage, en regardant faire celui qui sait et qui vousmontre comment il fait. Des gestes que l'on acquiert avec la pratique, avec l'âge etl'expérience, et que l'on appelle pour cela fort précisément les gestes du métier (lesgestes que l'on possède lorsque l'on a « du métier»).Il Y a bien problème, c'est la première réponse que donne la géométrie. Cetteréponse tient dans l'usage des premières définitions, rappelées, comme nous l'avonsremarqué: «Trois points non alignés définissent un plan. », ou mieux, «Unedroite et un point extérieur à cette droite définissent un plan. », ce qui permet de direque « S'il y a plus d'un plan dans notre espace et si nous nous donnons quatre points,ils ne sont pas automatiquement dans le même plan. », mais cela va sans dire puisquele modèle fonctionne tout seul, d'avance.Nous avons, dans le problème qui nous occupe, quatre points ou plutôt unedroite - la poutre faîtière peut être considérée comme droite - et deux points - les« coins» du mur - ou une deuxième droite - le sommet du mur. Nulle raison a30 Pour imaginer ce dont il s'agit, mettons-nous un instant à la place du maçon à qui la clienterépondrait en lui tendant un livre de géométrie dans l'espace et en lui disant: votre réponse est dans celivre, voyez en particulier le chapitre « Plans et droites» !

48priori pour que les points soient tous deux dans un plan contenant la droite, à moinsque le sommet du mur ne soit parallèle à la poutre faîtière, puisque « Deux droitesparallèles sont dans un même plan. » ; ce n'est justement pas le cas, puisque la poutrefaîtière est parallèle au sommet du premier mur qui, lui, n'est pas parallèle au sommetdu mur d'en face -la maison n'étant pas rectangulaire.3.2.1. Le modèlefournit une explicationLe problème a une raison d'être, le modèle géométrique la donne - le modèlerend raison du problème, on dit qu'il fournit une explication au phénomène constatécar« Deux droites non parallèles coplanaires sont sécantes. », ce qui fait que : deuxdroites non parallèles ne sont dans un même plan que dans le cas où elles sontsécantes. Pour que deux droites non parallèles soient coplanaires il est donc nécessairequ'elles soient sécantes, et les solives que le maçon cherche à placer parallèles les unesaux autres ne peuvent l'être que si elles sont coplanaires, soit, si la poutre faîtière et lesommet du mur sont parallèles, ou sécantes.Voici donc l'explication: le sommet du second mur et la poutre faîtière, qui nesont pas parallèles, ne sont pas non plus (portés par deux droites) sécant(e)s, puisqueles sommets des deux murs sont dans le même plan horizontal et que la poutre faîtière,qui n'est pas dans ce plan et qui est parallèle au sommet du premier mur, est parallèle àce plan. Avec l'explication, le modèle fournit presque immédiatement la démonstrationde l'existence possible d'une solution 31 - le sommet du mur et la poutre faîtièredoivent être portés par deux droites sécantes - et il donne la solution elle-même: « Ilfaut bouger la poutre faîtière pour la placer le long d'une droite sécante aux deuxsommets des murs qui, on peut le constater, sont coplanaires et sécants; ou bien, ilfaut garder la poutre en l'état et refaire le sommet du mur dans le plan défini par lapoutre et un de ses angles, ce qui a l'avantage de conserver en l'état l'autre pan du toitet de donner à la maison l'aspect d'une maison rectangulaire lorsqu'on la regarde dubon côté ». Le modèle indique en effet les contraintes à satisfaire, et la possibilité de lefaire.3.2.2. Le modèle culturel n'est pas l'objet du discours euclidienLa solution au problème du toit à deux pentes est maintenant donnée par le retourau système. Les sommets des murs doivent être soit parallèles à la poutre faîtière, soitsécants à celle-ci. On peut le vérifier en demandant comment le maçon a résolu leproblème, la solution réalisée à partir d'une poutre et de sommets de murs portés pardes droites sécantes n'est pas la solution retenue, l'émergence d'une solution aussiatypique est peu probable, parce que le maçon a résolu le problème sans l'avoir étudiéau préalable, et que de ce fait la position de la faîtière était détenninée d'avance. TI adonc rehaussé le mur aux points où devaient porter les solives, suffisamment pour31 Nous avons del:lx cas à traiter: si les sommets des murs sont parallèles entre eux - ou s'ilspeuvent être rendus tels - alors, la poutre faîtière doit leur être parallèle; si en revanche les sommetsdes murs ne sont pas parallèles entre eux, alors, la poutre faîtière doit être, ou bien sécante à l'und'eux et parallèle à l'autre, ou bien sécante commune aux deux; ce qui fait que, dans le cas où lessommets des deux murs, non parallèles entre eux, seraient sécants, la poutre faîtière devrait êtresécante en ce point, ou parallèle au sommet de l'un d'eux. Elle ne peut en effet être dans ce dernier casparallèle à un des sommets de mur et sécante à l'autre, parce qu'elle serait alors dans le plan communde ces deux sommets, et qu'elle ne définirait plus un faîte puisque le toit serait, dans un tel cas defigure, plat.

49réaliser de proche en proche le parallélisme de chaque solive nouvelle avec l'ancienne,et il a ensuite.« lissé» le sommet de mur ainsi obtenu.Cette solution n'a pourtant pas été envisagée par la cliente: les rappels dedéfinitions ne parlent pas de droites sécantes, celles-ci ne figurent pas dans le modèleretenu. C'est que le modèle mathématique mis en oeuvre n'est pas le modèle euclidiencomplet: la culture propose, pour la manipulation des problèmes de l'espace, desobjets intermédiaires qui satisfont à des contraintes que nous pouvons analyser comme« de bonne distance» avec la culture commune, et de négociation avec celle-ci de lapertinence de la solution. Une telle négociation est nécessaire: rappelons les mots dumaçon devant son sommet de mur oblique: «Je le vois (je vois que c'est lasolution), mais je ne l'aurais pas cru ! ».Entre le modèle (mathématique) et le problème (dans l'espace matériel), il y atraditionnellement le modèle graphique-. C'est un outil de négociation mais, nous lemontrerons, il masque le travail géométrique sous-jacent. TI est irremplaçable, sa placese justifie par cela, qu'il produit des objets plus aisément reconnaissables par laculture: ce sont comme des dessins de maison - et la culture ne les verra pas commedes figures de la théorie géométrique, la culture pourra éviter de s'affronter auquestionnement sur le savoir que véhicule l'idée d'un rapport de modélisation.Cette ambiguïté du statut épistémologique des représentations graphiques desproblèmes de géométrie, qui ressemblent aux représentations graphiques des objets del'espace, offre au travail technique du modèle graphique la légitimité sociale quedonnent des produits aisément reconnaissables, des produits que l'on peut à lademande transformer en dessins représentant les objets matériels modélisés, alorsqu'ils étaient les représentants graphiques des objets mathématiques manipulés.Nous devons étudier plus précisément cette fonction de visibilité culturelle, quetoute technique doit assurer pour exister de façon stable: c'est une fonction que l'idéede représentation graphique assure pour la géométrie. Nous devrons étudier lamanière dont le travail géométrique sur les figures de la feuille de papier assure unetriple fonction:- dispositif technique d'étude produisant les gestes pertinents pour le travaild'un problème de l'espace matérièl,- dispositif assurant la visibilité culturelle du travail technique,- dispositif assurant la régulation et le contrôle interne des gestes techniques parla visibilité-pour-Ie-manipulateur des gestes qu'il est amené à accomplir - nousappellerons cette fonction la sémioticité des gestes techniques.Le modèle intermédiaire (graphique) et les règles de sa manipulation sontdonnés, comme était donné le modèle euclidien des axiomes et propriétés(géométriques).3.2.3. Le modèle graphique comme objet intermédiaireCe modèle assure la saisie du problème dans un discours proche du discoursgéométrique, avec l'ensemble des fonctions qu'il nous faut maintenant rendre visibles.II n'est pas même, comme le modèle euclidien qui méritait mi. exposé particulier,présenté par ses règles de fonctionnement. Dans l'usage qui en est fait et comme onpeut le voir en annexe, la première figure montre immédiatement comment le modèlese saisit du problème: cette apparition ne semble nécessiter aucun commentaire.

50Voici pourtant ce qu'il enserait si la maison était simplementreprésentée (sous un point de vuequelconque, choisi ici simplementpour garder la plus grandecohérence possible avec la figuredonnée dans ce document) : c'estla figure 19. Les arêtes ne sont pastracées: elles délimitent les zonesplanes.Afin de nous rapprocher dupoint de vue géométrique, c'est-àdire,afin de «voir une figurederrière le dessin », comme ledirait la culture, nous passonsbientôt d'une représentation desplans à une représentation desdroites. C'est le geste premier dutravail de saisie du problème dansun modèle graphique (figure 20).figure 20En ce premier temps, ce qui fait problème n'est pas encore visible sur cesreprésentations: le problème doit être construit. Pourtant, déjà, l'objet graphiquecomprend beaucoup de nouveaux objets; en particulier, toutes les arêtes y sontreprésentées: qu'elles soient invisibles du point de vue de l'observateur n'y changerien. Des pointillés aideront à garder un contrôle visuel de la bonne exécution de ce quicommence à devenir une figure, dont seule la partie en trait pleins évoquera le dessinprécédent..'. .' ."""-: .."':,'"',.""' .. """ .. ,, "•••• '1111Q 1-"figure 19fi g ure 21Il ne s'agit plus de tracer des arêtes - invisibles, mais existant « dans l'objet »,serait-il un objet fictif -, nous trouvons les éléments d'une sur-figure. Celle-cicorrespond bien en partie à un sur-objet virtuel : à des arêtes qui n'ont aucuneexistence matérielle et sont des constructions de la pensée (ici, des arêtes quicorrespondent à une maison ordinaire, à murs parallèles, dont les pans de toit sont desplans et dont les sommets des murs sont parallèles), mais aussi à une droite dontl'unique intérêt est de montrer l'idée qui permettra le calcul. La sur-figure necorrespond pas à un objet matériel, ou virtuel, mais à un objet de la géométrie: ellereprésente un objet mathématique, un objet réel ... de la géométrie, ce que l'on appelle'."""""""""",ilLa figure 21 est en revanche unesur-figure, puisqu'on y montredes traits qui ne correspondent àaucune arête réelle : les arêtesde la « maison complète » sontévoquées (en pointillés fins) eton trouve même un trait qui necorrespond à aucune arêtevirtuelle: il montre despropriétés géométriques del'objet que la modélisationconstruit.

51un « trait de construction ». Pour la vision culturelle, non technique, la maison« réelle» apparaît maintenant comme « extraite» (ou abstraite) d'une maisonimaginée grâce à la «représentation graphique », qui correspond à une maison« idéelle» : le toit de la maison réelle sera tout aussi bien abstrait du toit idéalimaginé (J'utilise ici, volontairement, le vocabulaire culturellement reçu pour ce typede rapports de système à modèle, afin de mieux montrer comment l'acceptionculturelle péjore le geste de production théorique, ce qui a pour effet principal del'interdire - dans le cadre de la culture -, c'est à dire de le réserver aux spécialistes).Le travail n'est pas terminé. D'abord, il faut terminer la saisie géométrique duproblème, en passant des droites aux points, qui sont presque toujours les objetsélémentaires à partir desquels se fait le travail géométrique proprement dit.Cela suppose que l'onnomme les points sur lesquelson va discourir (figure 22) :les droites sont alors descouples de points, les plansdes triplets de points ou descouples de droites (sécantes Eou parallèles), etc. Il fautextraire de lafigure complèteles sous-figures pertinentes àl'explication et au calcul des JIf;....c••• ••• A,., .. .·:ho. :::::::::::::::::: ~ 1~ii1 ~ 1111111111111111111111111111-:= .- : KN- •• ~·"·"····"·"H\\n111t, , a'iiiiii 11111 III 111111",r'''\'' r\"\,~'''''' r'''\Mdimensions des murs et du figure 22toit.En particulier il faut montrer l'existence, et l'allure, de la solution choisie. Parexemple, il faudra peut-être « rabattre» les plans correspondant aux grandeurs quel'on veut mesurer. Cela nécessitera encore de nombreux gestes techniques. Déjà, il nereste ici presque plus aucune des arêtes initiales, l'état actuel de la maison n'est pasvisible.Voici par exemplela figure 23, qui sert àévoquer le problèmecomplet et qui permet enparticulier de nommer lesgrandeurs dont nousdonnerons les mesures.Cette figure indique enparticulier les parties àmesurer afin de placer lepoint A: sa positiondétermine à la fois lavaleur du rehaussement(BAA') du mur BINA' etcelui (CAA') de la façade figure 23CEJNA'JDB1B1

52...d'où la sous-figure pertinente (figure 24) :CElle suffit maintenant à la résolution duproblème, car les propriétés utiles y sonttransportées (sur d'autres lignes, parallèles auxlignes où nous devrons aller les chercher quandE H A' G nous voudrons revenir à la maison matérielle) pourplacer un repère au point de jonction du mur àrehausser et de la façade à terminer: pour placer lepoint A dans l'espace matériel (à la hauteur AA' audessus de A' qui avec C, E, J, N, correspond à laJmaison actuelle).N KIl nous resterait à suivre les deux dernièresfigure 24pages du travail, mais nous sommes maintenantdans un travail plus strictement mathématique.Nous n'irons pas plus loin et nous renverrons le lecteur à l'annexe, où la solutionproposée est donnée in extenso. En revanche, il est un travail que nous pouvonsfournir à partir de ce point, et qui caractérise les études de modélisation: nouspouvons en effet proposer à un maçon un procédé pratique de construction directe dupoint A, un procédé qui évite le recours à la culture géométrique savante mais quirepose sur les gestes professionnels d'attaque des problèmes d'alignement ou deparallélisme - comme ce que doit être, pour un cas de ce type, la technique descompagnons charpentiers (qu'on pourrait maintenant aller, avec grand profit,interroger à ce propos).« Le point A doit être dans le plan déterminé par (CDJ et B, ce qu'il estcommode de réaliser par visée directe: soit un observateur au niveau dusol, qui s'éloigne du pied de la maison de manière à voir le point B encoïncidence exacte avec un point de la faîtière,. cet observateur a ainsiplacé ses yeux dans le plan (BCDJ, et il doit encore voir le point A sur lafaîtière,. un manipulateur n'a donc qu'à placer une règle verticale le longde l'arête (POJ de telle manière que l'extrémité de la règle paraisse, pourl'observateur convenablementplacé, coïncider avec lafaîtière pour que lepoint de l'espace ainsi obtenu soit le point A cherché ».4. Une conclusion provisoireNous nous arrêterons ici: il nous faut maintenant attaquer en propre lesproblèmes d'enseignement, ce que nous ferons dans la troisième partie de ce travail,puisque nous avons posé à la fois ce que pouvait être la géométrie (dite élémentaire)comme théorie en acte de la rationalité, système de signes graphiques soutenant lepremier discours mathématique (axiomatisé), le premier calcul sur d'autres termes queles nombres particuliers, et comme physique (élémentaire) de l'espace sensible, dont lelaboratoire privilégié serait la feuille de papier. Nous pourrions encore prendre leslaboratoires particulièrement riches que proposent les logiciels comme Euclide ouCabri Géomètre, ce qui nécessite des études particulières pour chacun de ces cas. Desétudes que nous commençons à peine d'imaginer maintenant.Les programmes actuels nous ouvrant, par leur formulation, tous les possiblesqui vont d'un de ces extrêmes à l'autre, nous pouvons pourtant commencer à proposer

53des embryons de textes d'enseignement, dont nous devrons étudier la faisabilitédidactique.Mais nous avons posé le problème qu'il nous faut résoudre, celui del'enseignement de la géométrie comme modèle de l'espace. Les problèmes didactiquesrencontrés sont nouveaux, parce que ce domaine mathématique qu'est la géométrie esttraditionnellement le lieu de l'enseignement de la pensée rationnelle, et qu'il ne peutsans danger pour sa survie perdre cette spécificité.Nous avons ensuite mis en place les outils mathématiques du travail didactiquequ'il reste à faire. En particulier nous avons construit l'outil d'entrée dans lamodélisation géométrique qu'est le schéma. Nous avons montré comment se fait letravail du schéma, et comment la construction d'un système de signes apte à traiter lesquestions posées est au cœur des problèmes de tout enseignement de la modélisation.Nous pouvons alors aborder le travail de constitution d'un texte d'enseignementet l'étude des scénarios didactiques correspondants, ce que nous ferons dans les 4 èmeet 5 ème section de cette série. Ce sera le deuxième moment du travail d'étude despossibles que les programmes actuels ouvrent à notre initiative.Dans la perspective que nous dégageons ici, c'est seulement dans un troisièmemoment du travail didactique que nous rencontrerons certaines questions cruciales, quiviendront lors du mouvement de retour des modèles géométriques locaux produitspour l'étude de problèmes géométriques particuliers, en direction des problèmesgénéraux rencontrés dans l'étude des espaces. C'est-à-dire, lorsque nousentreprendrons, forts de notre connaissance des objets qui sont dans l'espace, lesétudes expérimentales des propriétés générales qui se réalisent dans un espace. C'estdans ce même moment que nous rencontrerons les questions qui viendront de ce que lagéométrie devra rester la terre d'élection de l'enseignement de la rationalité: desquestions que tout enseignement de la géométrie, quel qu'il soit, ne saurait éviter.Quelques indications bibliographiques, pour la première partie et pour celle-ci.BibliographieBERGER M. (1990), La géométrie de Riemann. Aperçu historique et résultatsrécents, Images des mathématiques, Le courrier du CNRS, supplément au nO 76.BESSOT A. et RICHARD F (1979), Commande des variables dans une situationdidactique pour provoquer l'élargissement de procédures en vue d'étudier le rôle duschéma, Université de Bordeaux I.BROUSSEAU G. (1983), Etude de questions d'enseignement un exemple: lagéométrie, Séminaire de didactique des mathématiques et de l'infomiatique, Grenoble,IMAG, LSD.CARREGA J-c. (1981), Théorie des corps, la règle et le compas, Paris, Hermann..

54CHEVALLARD Y. (1985), La transposition didactique, du savoir savant au savoirenseigné, Grenoble, La Pensée Sauvage (réédition 1991).CHEVALLARD Y. (1986), Les programmes et la transposition didactique, illusions,contraintes et possibles, Bulletin de l'APMEP, 352, (février).CHEVALLARD Y. (1988), On didactic transposition theory : some introductorynotes, (communication) International Symposium on Research and Development inMathematics Education, Bratislava, 3-7 août 1988.EUCLIDE (v. 300 av. J.C.), Les Eléments, traduction F. Peyrard, 1809, (réédition1966, Paris, Blanchard).GILLE B. (1964), Les ingénieurs de la Renaissance, Paris, Hermann (réédition1974, collection Points Sciences).GONSETH J.F. (1945), La géométrie et le problème de l'espace, Neuchâtel,Editions du Griffon.GOYARD-FABRE S. (1968), Preuve (épistémologie), Encyclopœdia Universalis,Paris.KC. (1968), Géométrie algébrique, Encyclopœdia Universalis, Paris.I.R.E.M., Groupe épistémologie et Histoire, Dhombres J., Dahan-Dalmedico A.,Bkouche R., Houzel c., Guillemot M., (1987), Mathématiques au fil des liges,Paris, Gauthier-Villars.LELONG P. (1968), Géométrie différentielle classique, Encyclopœdia Universalis,Paris.LEBESGUE H. (1950), Leçons sur les constructions géométriques, Paris, Gauthier­Villars, (réédition 1987, Paris, Jacques Gabay).PLATON (v. 428-v. 348 av. J.c.), La République, VII, Paris, Garnier-Flammarion.ROUCHE E. et de COMBEROUSSE Ch (1880?), Traité de géométrie, PremierLivre, Géométrie plane, (8 ème édition 1912, Paris, Gauthier-Villars).RUSSO F. (1968), Géométrie, Encyclopœdia Universalis, Paris.STEVIN S. (1584), La Statique, trad. française Girard A.(1610), (réédition 1987,Paris, ACL-éditions).TANNERY P. (1887), La géométrie grecque, Paris, Gauthier-Villars (réédition1988, Paris, Jacques Gabay).VALERY P. (1924), Eupalinos, Préface à Architectures, Paris, Sue et Mare (réédition1944, Paris, Gallimard).

55AnnexeLa solution proposéeDéfInitionPlan: ensemble de points tels que si on prend une droite passant par deuxpoints quelconques, tous les points appartenant à cette droite appartiennentau plan.Propriétés1) 3 points non alignés définissent un plan2) 1 droite et 1 point hors de cette droite défInissent un plan3) l'intersection (la partie commune, qui appartient aux deux plans)de deux plans est une droite .4) 2 droites parallèles sont dans un même planJC"\'\ 1 rl"\'\ 1 rl"\,rI-N='\1 rl"\'\1 rrMLa maison vue depuis l'arrièreDSont représentésEn gras:les arêtes existantes,BEnfm:les trait fictifs,En pointillés :les traits correspondantà des parties (réelles ou1 fictives) cachées.CA­E H A'GA'BJ N KLa façade plus étroiteN ..... ....Le mur à rehausser1

56G­ACEToit vu de dessus2° panle panBDFGE // BF,CD//EF,AB non//CD,CE//DFLe toit est composé de deuxpans ou parties: ABDC etCDFE, chaque partie doit êtreplane, parce que couverte enpanneaux industriels plans.Comment faire pour que chaque pan de toit soit plan ?Comment faut-il monter le mur ANID?Cas du premier pan de toitCDFECDF constitue un pla~ (3 points). Les droites DF et CE sont dans unmême plan (Parce que 11), le plan (CDF). Le point E appartient à la droite(CE), donc il est dans le plan CDFE (qui constitue bien une surfaceplane).Cas du deuxième pan de toit ABDCOù se trouve le point A ? Il se trouve dans le plan (BCD), plan du toit, erdans le plan (EJK), plan du mur, donc il se trouve à l'intersection de cesdeux plans, qui est la droite (CG) (G est un point fictif)A quelle hauteur se trouve la point A, par rapport à la droite horizontale(EA') ? (Ou, à quelle hauteur par rapport au plan (BEFG) ?)AA' = hex =ECG, angle du pan de toit (ABCD) avec le plan (BFEG)_côté opposétg - côté adjacent (autre que l'hypothénuse)ou: tg ex = A~Gh =A'G tg exCHou : tg ex = HG, CHh = A G HGcomme A'G =HG - HA',comme -HG =LB,CHh = (HG - HA') HGh = (LB - HA')

DESIGNATIONS DANS UN TABLEUR ET INTERACTIONAVEC LES CONNAISSANCES ALGEBRIQUESBernard CAPPONILSD2 Université Joseph Fourier GrenobleCollège Le Vergeron MoiransCet article s'attache à montrer les obstacles que représentent les systèmes deréférences pour des élèves débutants dans l'utilisation d'un tableur comme Multiplan.Seules les difficultés liées à l'utilisation des références dans le cadre du logicielMultiplan seront abordées ici!. Il s'agit en fait de montrer comment certainesconceptions sur l'algèbre entrent en conflit avec les références utilisées dans untableur pour écrire les formules décrivant des calculs. L'article se présente en deuxparties:- une présentation du tableur de façon que les lecteurs peu familiers de ce typed'outil puissent se représenter le fonctionnement d'un tableur relativement auxproblèmes abordés.- une analyse des relations entre algèbre et tableurs et la description d'une séried'expérimentation qui appuyent les analyses réalisées.Les tableurs sont des outils informatiques récents qui modifient sensiblement lestechniques de calculs pour des quantités importantes de nombres. Leur utilisation estrendue particulièrement intéressante par la présence de formules qui permettentd'effectuer automatiquement des calculs entres les nombres implantés dans lescellules. Ce sont des outils originaux qui ne peuvent exister qu'en raison du traitementautomatique des nombres que fait l'ordinateur. Il ne s'agit pas d'un prolongementd'habiletés techniques anciennes, mais d'un outil original que nous a apporté la microinformatique.Ces utilisateurs sont multiples et je pense que le moindre collège deFrance en possède un ou plusieurs dans ses armoires. Je ne saurais trop encouragerles professeurs à les en sortir et à les utiliser avec leurs élèves notamment dans lesparties "gestion de données" des programmes du collège.1Les lecteurs qui souhaitent une approche plus complète de ces problèmes peuvent se reporter autravail de thèse réalisé sur ce sujet. (Voir bibliographie).«petit x» nO 29 pp. 57 à 88,1991-1992

58I. Description du logicielLes tableurs gèrent de grands tableaux où l'on peut inscrire dans les cases(appelées cellules) des nombres et surtout des formules effectuant des calculs à partirde ces nombres. Ces formules utilisent des désignations particulières des cellules sousla forme de références absolues et relatives. Les outils les plus répandus sontactuellement Multiplan, Excel et Lotus 123. Mais il en existe sur tous les types dematériels: Macintosh et Compatibles mais aussi Nanoréseau et de nombreux autrestypes de matériels. Certains font partie de logiciels intégrés dont le plus répandu dansle monde de l'éducation en France est Works. Ces logiciels diffèrent cependant par lesystème de référence employé.Le tableur auquel je fais référence et qui a été l'objet de l'essentiel du travail avecdes élèves, présenté ici, est Multiplan (versions 1.02 et 1.10 de Microsoft pourMacintosh). J'ai réalisé par ailleurs des expérimentations avec des adultes en milieude travail sur Multiplan version 1 pour Compatibles PC.1.1 La cellule élément de base du tableauLe tableau de Multiplan comporte 255 lignes et 63 colonnes dont lesintersections déterminent 16065 cellules. La cellule est l'élément de base du tableau.L'édition des formules, la saisie des données au clavier, se fait toujours après sélectiond'une cellule choisie par l'utilisateur. La cellule sélectionnée est souvent désignée parle terme de cellule active. Sur Macintosh elle est perceptivement identifiée par sacouleur noire. La cellule peut contenir une simple valeur numérique ou un texte, maiségalement une formule qui produit un résultat calculé et affiché. Je distingue ainsi lescellules de données et les cellules calculées. Par ailleurs pour l'écriture desformules chaque cellule doit être désignée. J'étudierai ce point plus loin.1.2 La formule : aspect dynamique du tableurDe fait la formule implantée dans une cellule est l'expression algébrique d'unefonction. Les variables de la formule qui définit cette fonction sont des références àdes cellules dont les contenus calculés leur sont attribués. Par exemple dans lafigure 1, j'ai représenté plusieurs cellules en distinguant pour chacune un niveauapparent contenant une valeur numérique et un deuxième niveau contenantéventuellement une formule.Pour faciliter la lecture j'ai désigné ces cellules par les lettres a à f. La cellule ccontient une formule qui calcule à partir des valeurs affichées dans les cellules a, b et dla somme 15 affichée dans cette cellule c. L'exemple donné montre que l'on peut faireréférence à des constantes numériques comme dans la cellule d ou à des valeurs déjàcalculées par d'autres fonctions comme dans les cellules b ou c. On peut aussi faireréférence à une cellule sans contenu apparent comme la cellule e et, dans le cas d'uncalcul le contenu par défaut est zéro. Le tableur effectue une mise à jour du tableaudans le cas d'une modification du contenu des cellules arguments. Une feuille decalcul avec l'ensemble de ses formules est alors davantage qu'un simple tableau devaleurs: elle génère un ensemble de tableaux défini par les relations qui ont été crééesentre les cellules. C'est cet aspect fonctionnel qui donne au tableur un statutdynamique. La construction d'une feuille de calcul doit tenir compte de l'aspectgénérique que les formules donnent au modèle construit, c'est-à-dire prendre en

59compte toutes les valeurs numériques susceptibles d'être affectées aux cellules dutableur. Par exemple dans le cas de la Figure 1, la formule définie dans la cellule f,doit tenir compte des éventuels contenus qui pourraient être affectés à la cellule e.4, a ~5 b1 ~ ~ 1 =a+1'r ~~15 - c 6~1 =a+b+d1-------­0 :'15t::.......Figure 111 =c+eAinsi je distinguerai la feuille de calcul, qui définit la fonction, des tableauxqui sont les images de cette fonction obtenues à partir d'un ensemble de donnéesnumériques données par l'utilisateur. Cette précision terminologique est d'autant plusnécessaire que l'utilisateur n'aperçoit sur l'écran que ces images, ainsi que l'indique laFigure 1, ce qui ne manquera pas d"avoir des conséquences sur ses conceptions.1.3 Les systèmes de référencesEcrire une formule de calcul dans une cellule à partir des contenus d'autrescellules nécessite l'utilisation de modes de désignation. Pour décrire la Figure 1, j'aipar exemple utilisé des désignations classiques en algèbre, avec des lettres. Dans untableur il existe plusieurs types de désignations pour répondre aux différents besoinsde l'utilisateur. En effet, repérer des cellules dans un tableau peut être fait à l'aide:d'une référence absolue,d'une référence relative à la cellule active,d'une désignation spécifique (nom attribué à une cellule).Références absoluesL4C2 qui apparaît en haut et à gauche de la feuille de calcul (Figure 2) est la"référence absolue" de la cellule active. Cette référence est l'indication des numéros deligne et de colonne (ici, ligne 4 et colonne 2) à l'intersection desquelles se trouve lacellule. Ce type de désignation est fait en référence à un repère fixe auquel est rapportéle tableau de Multiplan correspondant à la numérotation affichée à l'écran pour leslignes et les colonnes. Dans le tableau, chaque cellule a ainsi une désignation unique.On peut utiliser ces références pour écrire des formules comme: =L2C2+L3C2 quicalcule la somme des contenus des deux cellules L2C2 et L3C2.df

60Fichier Edition Sélection Format Options (L4C21Sans titre3 41lI---1 .2 : 4 : : :lI---1 .3 : 5 : : :11-­ 4 ---1::: ::: :::::: ::: :::1 1:: ::::::: :::::: ::: j:: ::: ::: ::::::::::~::::Références relativesFigure 2Encadrée d'un pointillé, on peut voir dans la barre d'édition de la Figure 2 unefonnule utilisant des "références relatives". L[-2]C désigne la cellule qui se trouvedeux lignes au-dessus de la cellule active et dans la même colonne. Il s'agit là d'unrepère dont l'origine est la cellule active. Au cours de l'édition d'une fonnule, le fait dedésigner une cellule à l'aide de la souris édite automatiquement dans la fonnule lesréférences relatives de cette cellule par rapport à la celluJe active. C'est le choix qui aété fait par le concepteur du logiciel, il donne à ce type de référence une placeprivilégiée pour l'écriture des formules. L[-4]C[+2] indique par exemple ledéplacement à effectuer de la cellule active à la cellule que l'on veut désigner c'est-àdirequatre lignes au-dessus (-4) et 2 colonnes à droite (+2). Ce type de référencecomporte une syntaxe particulière avec l'utilisation des lettres L et C pour ligne etcolonne, un crochet1 contenant alors le décalage de la cellule désignée par rapport à lacellule active, avec le signe obligatoire + ou - (suivant le sens du décalage ). Il existecependant deux types d'exceptions à cette syntaxe générale des références relatives:• L'absence de parenthèses et d'argument numérique, comme dans LC[5] ouL[-2]C signifie que l'on fait référence à une cellule de la même ligne ou de la mêmecolonne. LC désigne ainsi la cellule active elle même.• L'absence de la lettre Lou C par exemple L[-4] ou C[+2] signifie égalementque l'on fait référence à une cellule de la même colonne ou de la même ligne2.1La version 1.02 de Multiplan sur Macintosh utilise des parenthèses dans l'écriture des références alorsque la version 1.10 utilise des crochets. Cette différence peut avoir une incidence non négligeable sur lalecture des fonnules comportant déjà des parenthèses pour indiquer des priorités de calcul comme dans lecalcul algébrique classique. La version 1.02 a été utilisée au cours de la première expérimentation alorsque par la suite nous avons utilisé la version 1.10 que nous considérions plus lisible On peut noteraussi que sur les versions pour compatibles P.C les références relatives s'écrivent avec des parenthèses.2 Le Manuel de l'utilisateur comporte un exemple de la première exception mais la deuxièmen'apparaît à aucun moment dans la documentation. L'absence d'indication sur cette deuxième exceptionexplique sans doute le peu d'utilisation qui en est fait dans les modèles de feuilles que nous avons puobserver.

61Les nomsOn peut donner un nom à une cellule ou à un ensemble de cellules (colonne,ligne, pavé, etc.). Ce nom, contrairement à la référence absolue n'a pas de syntaxeprédéfinie, l'utilisateur choisira généralement un signifiant lié au problème qu'il traite 1 .Les élèves n'ont pas reçu d'informations concernant les noms qui n'ont donc pas étéutilisés. En conséquence je n'aborderai pas davantage les aspects liés à l'utilisation desnoms dans cet article.II. Algèbre et Multiplan : les référencesCe chapitre présente les inter-actions entre un modèle algébrique et sonimplantation dans le tableur. Il s'agit, en particulier d'étudier les difficultés desutilisateurs liées à la présence de deux syntaxes qui se mêlent: celle de l'algèbre etcelle du tableur.Pour mener cette étude à bien, je m'appuierai sur les observations d'un ensembledes séquences réalisées au cours d'une formation donnée à des élèves de troisième àl'utilisation de Multiplan et sur une situation-interview que j'ai conduite avec 6binômes d'élèves et 7 binômes d'adultes. Il n'est pas possible ici de fournirl'ensemble des tâches proposées aux élèves 2 . Je m'efforcerai pour les descriptions detravaux d'élèves de donner les informations nécessaires à la lecture des analyses.Les situations construites pour l'apprentissage et dans la situation interviews'appuient sur un modèle de l'élève qui a été élaboré en tenant compte desconnaissances des élèves en algèbre et de l'analyse conceptuelle du tableur telle qu'ellevient d'être décrite.Les connaissances des élèves en algèbre à la fin de la scolarité du collège (10°année correspondant à la fin de la scolarité obligatoire) les conduisent à désigner desvariables à l'aide de lettres avec des notations utilisant des exposants mais jamaisaucun indice. La lecture d'expressions du type des polynômes du premier degré est engénéral faite correctement. Dans cet environnement les désignations sont univoques:chaque symbole désigne un seul objet. Ce point fait d'ailleurs l'objet d'unenseignement systématique au niveau du collège. Les syntaxes de l'algèbre et deMultiplan se mêlent dans l'écriture des formules puisqu'à l'exception desdésignations, ce sont les conventions du calcul algébrique qui président àl'organisation des calculs décrits par les formules du tableur.L'·analyse conduit à envisager chez les élèves une rupture entre cesconnaissances et le système de désignation du tableur à l'aide de références relatives.Les différences entre les deux systèmes symboliques induisent une typologie desobstacles à l'apprentissage envisageables du point de vue de la syntaxe que j'abordedans ce chapitre:1 Les contraintes de syntaxe sont faibles; elles permettent à l'utilisateur de choisir pratiquementn'importe quel nom signifIant, à l'exception de quelques mots réservés. (Manuel p. 45).2Les lecteurs intéressés par ce travail peuvent demander à l'auteur de leur fournir les élémentscomplémentaires que nous ne pouvons exposer ici ou trouver ceux-ci dans Capponi 90.

62• Obstacles liés à la lecture et dus à la densité de l'écriture. Le nombre desymboles nécessaires à l'écriture des références est notablement augmenté (5 à 6 foisplus important).Ces difficultés interviennent au niveau- de la priorité des opérations en jeu (addition et Multiplication),- de la signification des références.• Obstacles liés aux références relatives à une cellule. L'origine du repère varieavec chaque formule et les désignations ne sont plus uniques pour chaque cellule. Lalecture peut être notablement perturbée dans "la mesure où le rôle de la cellule activen'est pas identifié.• Obstacles liés à une modification, relativement à l'univers papier-crayon, dessymboles opératoires notamment pour la multiplication (*) et la division (f).• Obstacles liés à la manipulation des fonctions. Qans Multiplan les fonctionscomme SommeO , MIN0 ou MoyenneO sont à l'origine de difficultés concernantla syntaxe et la sélection des arguments.II.1 Références relativesLes travaux préliminaires à cette étude m'ont permis de mettre en évidence lesdifficultés des élèves concernant les références relatives relevées par de nombreuxenseignants. Ces difficultés persistant longtemps après les débuts de l'apprentissage,je me suis attaché à les mettre en évidence et surtout à en trouver l'origine. C'est ceque j'aborde ici.Les modes de représentation des systèmes de références que construisent lesélèves sont difficiles à repérer dans la mesure où les feed-back de la machine lesconduisent souvent à détruire des formules qui sont soit rejetées par le dispositif soitqui ne leur conviennent pas. Il ne réalisent pas, la plupart du temps, d'analyse desformules. C'est pour cela que j'ai construit, en plus de l'observation des situationsd'apprentissage sur l'ordinateur, des situations spécifiques qui devaient conduire lesélèves à analyser des formules écrites avec des références relatives. Ces situationsdevaient être réalisées par les élèves entièrement dans un environnement papiercrayon.("Vêtements" : séance 3 et "Rectangles" : séance 5).Une appropriation délicateLe système de références relatives, qui est le choix par défaut du concepteur 1 , sepose en obstacle à l'apprentissage du tableur. En effet, j'ai pu observer que dans lespremiers temps de l'apprentissage, les élèves construisent facilement les feuilles decalcul simples qui leur sont proposées. Mais cette aisance dans la construction ne doitpas être interprétée comme une appropriation du système de références relatives utilisé.D'autant que la désignation en acte, si peu d'éléments sont concernés, permet unemaîtrise suffisante pour dispenser de lire ce que la machine traduit en formules. Bienentendu le problème se pose pour valider la formule. Mais le contrôle par l'action a puparaître suffisant D'où l'illusion initiale de facilité lors de la prise en main.En effet construire, par exemple, une feuille de calcul comme celle de la Figure 3est fait par tous les élèves avec une saisie à la souris des valeurs apparentes dans les1 Voir à ce sujet une étude conceptuelle du tableur dans Capponi 1989.

63cellules, sans qu'une analyse de la fonnule produite soit entreprise. le donne ici le seulexemple d'élève que j'ai vu tenter une analyse de la fonnule au début de la fonnation.A la deuxième séance, les élèves ont reçu des infonnations sur la significationdes références relatives dans la désignation des cellules intervenant dans la fonnule.Sur les 10 élèves observés, Sylvie, en binôme avec Corinne, est en effet la seule quiait tenté, sans y parvenir à donner une signification à ces références.Ainsi, après avoir édité dans la cellule L IlC4 la fonnule (Figure 3-b) := MAX(L(-9]C: L(-4]C)et avant de la valider, elle croit s'être trompée dans la sélection des cellules del'argument et tente de la contrôler:SylvieCorinneSylvieAttends -9 c'est.. .-4... de -9 jusqu'à -4 ... -9 c'est lui... -4 c'est lui.C'est bon.Je sais pas , ... si je recommençais... je recommence...Elle efface alors les références et refait la sélection des cellules avec la souris.Elle abandonne ainsi le décodage pour éditer de nouveau avec la souris. Elle tenteraencore une fois de donner une signification aux références relatives en essayantd'expliquer à Corinne comment on peut corriger des références sans nécessairementles effacer. Ainsi, à propos de la fonnule=MOYENNE(LC(-4] : LC(-lD :SylvieCorinneSylvieTu sais quand on se trompe. au lieu de tout effacer. j'ai vu comme il a fait[elle parle du professeur, intervenu dans le binôme voisin], il s'arrête où c'estfaux et où tu dois réécrire. LC ça veut dire la même ligne de la case et aprèstu mets -4 et là -3... -2...-1... après tu mets 2 points...J'ai pas compris.LC ça veut dire sur la même ligne... après tu mets au lieu de tout effacer, detout refaire. tu mets LC : la même ligne, le crochet -4... jusqu'à... tu metsdeux points ... et LC : sur la même ligne. tu mets moins l, si c'est là... ilfaut mettre les crochets ...goldmon1 234 5 6.............................. ifr.~!).9.~.~~ i!!.!~.t~ 1~.!~.t:9.!~ i~.~9.1~.~~ i!!.!~.y.!!).~! l..~.!P..t!!!!~.'::~ .i L1 i ~..~ l L;? L ~..9 i L~.I.I;? l..~.~!~.~r.! i ? i L9 1 LI i ; ;? 1 ~..9.1.~.;? 1..novembre! 2 ! 15 ! 1e ! 14 i 1225 i············ ··············0·······..········..···········0·····..···.········.·.·······.0·.· · ·..· 0 1........•••••décembre! 7 ! 12 ! 10 ! 11 i 10 i..............................0 0·.·· •• ~ u .i~E!y.~.!r i L9 1 L~ i L;? ...l 1 .l L9.1.;? i..··..··..·····..········..·····0···········..············ février! 5 i 11 i 6 ! 8 ! 7 5 i~ n·~~ ····9~··· ·····..·..· ·~.. . ~ , ...···· ·..·..·· ··..· 0..·i· · · ······· ·!·· · ··..·..·..i i··9~·.· · · ·...... .. .!!!!J.~.!!).~! .l.?I.~.~.~.~.~.~.~ U..~.I.~..~.~.~.~.? L ~}.I.;? ~.~.I.~.~.~.~.~.~.?.. ..~ ~ L.... m;n;mum! 2 ! 10 ! 6 ! 4 ! !~ ~.~ .. ~~.~ .. ~~~~ ~~ ~~~~~~~~ .. ~ ~ ~.~ ~ ~ ~ .. ~~~ ~~~~~~~~~~~~ .....•......... max;mum! 14 i 15 ! 18 ! 14 ! i~~ ~~..Ë.......................................................... ! i ! i i~ ~ ~.~ ~ ~.~ ~ ~ ~ ~ .~. ~.~.~ ~ ~ ~~~ ~~~~~ ~~ ~....i i i i i iFigure 3-a :Tableau des valeurs (Mylène et Nadia Séance 2)

64123 4~ ~!p.I!!!!~i.~~Ï~:~~:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::!ff::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::i~:~:::::~:::~:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::j3 octobre !9 !la!17 14 ~:~Y.~:m:~r.:!!~::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::II~::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::II~::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::~5 décembre !7 !12 l1a 16 J~~Y.~!r.::::::nQ:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::II~::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::n:~::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::~7 février lS III l6 18 :::::::::::::::::::::1::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::r::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::r:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::J9 !!!Y.~.~!:'.~~... l=t!QY.~.~.~.~~~J.:::?.1ç,.;~.[::~.lÇ,!=t!QY.~.~~I~hJ.::?lÇ,.:~.t::~.lÇ,).l=t!9.Y.;.~.~.~~~J.:::?..lÇ,.:U::~.lç,).:10 !!!~.~~.~.~!!!.. l=t!.I.~,Ç,~J:.~.~.ç ..:bJ:.~.IÇ), l=t!.I.~.ç.~J:.~J.ç.:.~.{:.~.IÇ.? l=t!.I.~.(~.{:.~.~.ç.:b.{:.~J.çJ .J11 maximuml=MAX(L[-9]C:L[-3]C) l=MAX(L[-9]C:L[-3]C) i=MAX(L[-9]C:L[-4]C) 112 · ·· ·r..··..···..·..·..·..· ·..··..··..· ·..···l 1' · 1Figure 3-b :Tableau des fonnules (colonnes 1 à 4, Mylène et Nadia Séance 2)Sylvie ne se contente plus de travailler dans l'action en éditant une fonnule :- elle reconnaît le rôle de désignation des références dans la fonnule,- elle cherche à en comprendre le sens,- elle utilise cette connaissance pour valider la fonnule éditée.Sylvie est ainsi la seule élève qui manifeste, dès le début de l'apprentissage, uneconception algébrique de la fonnule en tentant de donner un sens au codage foumi parla machine. Ce protocole indique la difficulté qu'elle rencontre à interpréter lesréférences relatives et à les utiliser pour contrôler sa fonnule. Notons encore qu'elleest la seule qui se soit posé ce type de problème et qui ait engagé une lecture desréférences. Ce protocole de Sylvie, au début de l'apprentissage, indique bien lesdifficultés rencontrées par les élèves d'autant que c'est la seule élève sur douze qui aittenté de donner une signification aux références à ce niveau de l'apprentissage.J'ai essayé d'identifier, au cours de l'ensemble des séances de fonnation, lanature de ces difficultés. C'est ce que j'analyse dans la suite.Par ailleurs, la situation interview m'a permis de faire un bilan chez les élèves àla fin de la fonnation, et aussi chez des adultes ayant suivi une fonnation d'unedouzaine d'heures. Dans la situation Cible 1, (Figure 4) les sujets, après avoir modifiéles contenus des cellules de la colonne 1, qui sont des valeurs, et observé lamodification du contenu de L5C4, devaient choisir 3 nombres de façon à obtenir 100en L5C4. Cette tâche est facilitée si l'on connaît la nature de la relation définie par lafonnule implantée en L5C4. li s'agit alors de donner une signification' à la fonnule quel'on peut voir dans la barre d'édition de la Figure 4.J'ai construit une situation où il est facile d'établir une correspondance entre lescellules dont les références sont dans la fonnule et les valeurs qui apparaissent dansces cellules sur l'écran. Ainsi, même les binômes qui auraient des difficultés à décoderdoivent être guidés par la simplicité des relations à découvrir.Cette fonnule est relativement courte il y autant de références dans la fonnuleque de cellules. D'autre part il s'agit d'une expression du premier degré par rapport àchacune des variables.

65Voici par exemple le protocole de Florence et Philomène 1 dans cette situationinterview quand elles commencent le décodage de cette formule.1. Aorence moins 1... L moins 1 e 3 plus 2... multiplié par... attends j'arrive pas à lirelà... L moins 1 ... e moins 3... ça correspond à quelle...2. Philo ben on a qu'à lefaire avec le curseur...3. Aorence L moins 1... c'est bien là les lignes ... moins 1... (5s)... e moins 3...plus 2...4. Philo (tout bas en copiant)... plus 2 fois Le moins 3...5. Aorenee 2... (lOs) mais là ilfaudrait quand même qu'on arrive à déchiffrer parce que ...6. Aorenee ben ça c'est ligne L....7. Philo où tu vois ligne ?1234567L5C4Ilz:ciblel2 3 4 5:Figure 41:, ,1:!:8. Aorenee e c'est colonne t'es d'accord ? oui c'est ça ... donc L moins 1. d'habitudequand tu définit une cellule tu dis ... L6e1 donc c'est en face de la ligne 6colonne 1. comme là (elle montre la référence absolue en bas du tableau).voila... donc là c'est L moins 1... mais moins 1 quoi? ... moins 1... attends... (5s)9. ûbserv c'est un autre système d'écriture ...10. Aorenee ouais (15s)... on devait y arriver! (elles rient) (...]Il. Philo mais elle est bizarre cette formule...12. Aorenee oui mais j'arrive pas à la lire '" là sur les ... je comprends pas ceque c'est L moins 1 e moins 3... qu'est-ce que ça veut dire?Nous voyons ici les difficultés rencontrées par Florence et Philomène pourdécoder une formule simple écrite avec des références relatives.Un des résultats de l'étude que j'ai menée est que, dans cette situation, sur unensemble de 14 adultes et 12 élèves, 5 ne peuvent donner de signification auxréférences et parmi ceux qui réalisent le décodage, 8 y parviennent avec denombreuses hésitations et en s'appuyant sur la simplicité du tableau proposé. Il n'y apas de différence notable entre les adultes et les élèves de ce point de vue.Ces résultats indiquent les difficultés d'appropriation du système de référencesrelatives dans le tableur. Ces difficultés trouvent leur origine dans la nature du systèmede références dont l'origine du repère change avec la cellule active, et, dans la1Aorenee et Philomène sont des étudiantes de formation littéraire (Langues appliquées) ayant suivi uncycle de formation à l'utilisation de tableurs d'une douzaine d'heures.

66complexité de l'écriture des références qui contrastent avec des notations algébriquesclassiques, où la désignation d'une variable à l'aide d'une simple lettre reste toujoursla même.La complexité de la formule : organisation du calculLes élèves ont rencontré des difficultés que j'associe à la complexité de l'écritured'une formule avec des références relatives et à une gestion des priorités d'opérations.En effet prenons l'exemple de la formule qui apparaît dans la situation "gaz-elec" del'interview (Figure 5). Cette formule est d'une écriture complexe au regard de ce quel'on peut attendre d'une expression de même type en algèbre. Elle correspond, eneffet, à une somme de quatre termes dont deux sont des produits de deux facteurs.Soit une expression du type:px + q y +a + bL7C4goz elec-b1 2 3 41......................................................................................................................................·..··············0······..·ebonn gez ~ ebonn. elec ~ P.U Gez 1 P.U.··· ·elec·..·..·· ···•·····~.2........................................................................................................................·..·..·..······················0·········..··160,49 F ~ 28,27 F j 0,15 F ! 0,59··F·..·1.3! ! i !.................................................................................................................................................................................................................: : : :: : : :4 ~ ~ j j..................................................................................................................················..·········..····..··0··················· ..5 ..........................................................................................................................................................................................................................j j ! !6 W Client jconsom gez(KWh)~consom élec(KWh)i montant !...........................................................................................................................................................7 1 ~ 5891 ! 513...........................................................................................................................................................8 2 1 4789 ! 568 . 0,00 F .9 ..·..····..·..···3..·················1'················3·569·......···..·······..r········..·········4·5·6·..··..·..····..·······T···························..······....···1'..·········....................................................................................................................................................................................................................10 4 j 1256 1 689 ~ !1 1 ··..·..··..· ·5····..········ ··r..·..····..·..···2·6·52..···················r..·..··..·..···· ·7·ë>3···..·..·..····..·······r..···..··..· ·······..· ·..·····..···T·····..····I----t .12 6 ! 4582 ! 653! !1----+ ._: : : :Figure 5L'expression utilise dans Multiplan 54 caractères alors qu'en algèbre on n'encompte que 9. Cette abondance de symboles donne à l'écriture une apparentecomplexité et rend sa lecture plus difficile. Une des conséquences de cette complexitétient dans la difficulté à distinguer les groupements de facteurs induits par les prioritésqui sont les mêmes en algèbre et dans le tableur. Ainsi on observe un effet de "mise àplat" de l'expression, encore accentué par les références relatives, qui situe lacomplexité du traitement à deux niveaux:• une expression comme axb + cxd nécessite une construction des prioritésperturbée par la présence des références relatives;

67• une expression comme ab + cd, familière aux élèves comporte une prioritéinduite qui disparaît dans l'écriture de la formule dans Multiplan où l'explicitation detous les signes de calcul supprime l'effet de regroupement dû à l'omission du signex en algèbre.Les protocoles suivants illustrent ces différents éléments liés à la complexité del'écriture.Dans la tâche que j'analyse ici, ("Vêtements", Séance 3 1 ) les élèves doiventdonner la signification d'une formule correspondant au tableau de la Figure 10 pourreconnaître qu'elle ne réalise pas le calcul attendu dans la situation proposée. Laformule à décoder est complexe :L[-4]C[-1]*L[-2]C+L[-2]C[-l]*L[-3]C+L[-3]C[-1]*L[-4]C123 o 236 1 1350 4J'ai indiqué sous chaque référence le contenu numérique de la cellule et j'aisouligné les 3 termes de cette expression. J'ai pu observer des difficultés de lectureliées à cette écriture complexe. Les 3 termes de l'expression sont difficiles à distinguerc'est vraisemblablement là l'origine de certaines erreurs de décodage. Sylvie etCorinne, par exemple, ont essayé d'organiser leur lecture à l'aide de parenthèses, maisn'y sont pas parvenues puisqu'elle écrivent:123 x (0 + 236 ) x ( 1 + 1350) x 4où elles regroupent deux facteurs de deux termes différents deux fois de suite etobtiennent une expression factorisée au lieu d'une somme de trois termes. Ce typed'erreur ne se produit pas en général chez des élèves de troisième si l'expression estécrite sous une forme qui leur est plus familière du type ab + cd + ef. Dans ce typed'écriture l'organisation du calcul.n'est pas cachée par la complexité de la désignationdes variables. Ces élèves n'ayant pas été observées, on ne peut pas savoir de quellemanière ce décodage a été conduit, ni si ce calcul a donné lieu à une vérification. Cesera le seul binôme qui réussira par la suite un codage correct.Dans la même tâche, Gilles et Franco ont décodé avec des références inexactesmais l'organisation du calcul leur a aussi posé des difficultés puisqu'ils écrivent:123 x 236 + 236 x 1250 +1250 + 1350 x 123La structure du calcul est modifiée, on peut faire l'hypothèse que c'est lacomplexité de lecture de l'expression qui fait échouer les élèves.1La fiche de tâche est fournie en annexe.

68L:.c '.:1234__IIt~II:"~lçJ·:·.·.~·.·J.~II~".?J.ç·.~II:"?.lç.r:J·.·J.~II:·.~Iç.~IJ.:.IrçI:·.TJ.~II=.11çlSans titre1 3Figure 6Mylène et Nadia ne parviendront à décoder que la première référence et aurontdes difficultés à organiser le calcul autour des opérations en jeu:1. Mylène Eh bien il afait. regarde. déjà il a fait ça... et ça.. .j'sais pas trop quoi ... là2. Nadia Multiplié?3. Mylène oui çafois ça ...j'crois... j'crois que c'est ça .. après ...4. Nadia il a ajouté5. Mylène pourquoi il a ajouté?6. Nadia Ben, ouais... non il a multiplié [ ...)7. Mylène Eh ben qu'est ce que çafait que ça ?8. Nadia plus, moins ou multiplié ... je sais pas quoi ...9. Mylène je sais pas10. Nadia égal.. . ouais ça doit être plus... attends11. Mylène Il y a un problème là .12. Nadia Mais là... 123 + 236 + 236... multiplié ... une deux... 236... [...J13. Nadia mais la petite étoile elle est à la fin ... pas...14. Mylène je sais pas moi !Mylène et Nadia ont eu des difficultés pour comprendre la signification desréférences relatives, mais ici c'est l'organisation du calcul qui pose problème avec lesopérations en jeu entre les grandeurs puisqu'elles se posent des questions relatives auxopérations entre les grandeurs en jeu (2-5-6-10-13).Christophe arrivera à décoder mais le protocole suivant montre le travail et larigueur nécessaire pour ne pas se tromper, il suit sur la fiche avec son crayon:Christophe Ligne moins4 ... 1,2,3,4 ... Moins 1 ... 123 ... Multiplié, c'est quoi Ca ?c'est multiplié! 123 multiplié par ligne moins 2 ... Un, deux ... Multipliépar 0 ... Plus ligne moins 2 : un, deux ... C moins 1 ... L moins 3 ... Un,deux, trois ... Fois 1 L moins 3 Ouais, c'est celui là ... Alors L moins3 ... Un, deux, trois Moins 1 1350 ... Fois L moins 4 ... 1,2,3,4 ...146 fois 1 ...

69TI note en mêm~ temps sur son brouillon :123 x 0 + 236 x 1 + 1350 x 4,puis calcule pour contrôler qu'il obtient le même résultat que celui qui est affiché dansla cellule. Et il conclut: "on ajuste! çafait 5636! ".La complexité syntaxique est dépassée par une lecture systématique de gauche àdroite qui conduit à occulter les priorités.Cécile et Michèle se posent aussi la question de l'organisation du calcul, maiselles n'arriveront pas à mener de front le décodage des références et l'organisation ducalcul et abandonneront sans tenniner, le temps de travail étant écoulé.Ces observations, relevées chez des élèves de troisième, après dix heures detravail sur Multiplan, indiquent encore de nombreuses difficultés dans l'interprétationdes références relatives. Je fais l'hypothèse que parmi les difficultés de lecture desréférences, la complexité de l'écriture d'une formule intervient encore de manièreimportante, du moins dans les premiers temps.Le rôle de la cellule active comme origine du repèreUne autre difficulté dans la lecture des références relatives provient del'identification de la cellule active comme origine du repère ou d'une interprétationerronée de l'origine. Cet obstacle, déjà mis en évidence dans une expérimentationpréliminaire (Capponi 1989), a de nouveau été observé chez plusieurs élèves pendantla formation.Ainsi à la séance 3 (Vêtements séance 3-Figure 6), pour donner un sens à laréférence relative d'une cellule, les élèves doivent reconnaître la cellule active, où laformule est inscrite comme l'origine du repère. 3 binômes sur les 4 observés 1 ontrencontré des difficultés avec ce repérage relatif. J'indique ici les protocolescorrespondants.Gilles écoute les explications du professeur mais s'interroge sur l'origine durepère:1. Prof LI-4Jça veut dire 4 lignes au-dessus2. Gilles oui. mais ça part d'où aussi? ça part d'où? pour 4 lignes. 3 colonnes... 4lignes en avant?Franco montre alors comme origine la cellule qui contient le texte "prix unitaire".3. Prof d'où tu/ais partir?4. Franco Ben d'après ce que je comprends. ça doit partir de là [il montre avec son doigtla cellule "prix unitaire"]5. Prof celle ci ?6. Franco oui parce que ils disent colonne d'en haut et moins un ... ça doit/aire ça!1 Nous n'avons aucune observation du détail du décodage pour Sylvie et Corinne. Elles sont parvenuesà repérer correctement toutes les cellules intervenant dans la fonnule mais nous ne savons pas queltype de problème elles se sont posées à ce sujet

71débat entre les élèves n'a pas pennis de la surmonter. Ce sont elles qui appellent leprofesseur pour faire un arbitrage.l'ai trouvé des indices des difficultés liées à l'origine du repère chez la moitiédes élèves dans la séance 5 (Rectangles Séance 51).La Figure 7 montre une cellule noire dans laquelle est implantée la formule (1).En travaillant au décodage de la formule (2), Franco commence son déplacement decette cellule noire :1. Franco C'est faux, L moins 3, pourquoi L moins 3? ça va pas ça c'est faux ! 3cases en avant çafait ... l, 2, 3 ...2. Gilles mais àpartir de la noire !3. Franco non! mais c'est faux alors là ... 2 cases en avant c'est juste ... l, 2 ... unecase en arrière c'est ici ... 3 cases en arrière ça vajusque là... c'estfaux, ellessont fausses...Chez ces élèves le problème de l'origine est posé bien qu'il interfère fortementavec le sens des déplacements puisque pour Franco la lecture se fait tantôt en avant,tantôt en arrière sans que l'on puisse savoir exactement ce qui guide cette lecture.·..···· ······ ····..····· ········..···..· .mi'2 .. . !3 · · · · ·..· ·t..··..· ~ i ; ....................... !REëTA·Në~·L·Ë'i;..I······ ·····..··A..······..·····..··I..· _ .......; + ; .• 06••••••1 11006 .......................................................................................................................................!longueur ! 23 ! 26.....................................................!largeur ! 25 ! 31.........•.........................................iAIRE..•....................................... jpERIMETRE. .i(1) =L[-2lC*L[-llC[+ II(2) =( L[-2lC+L[-3lC)*2(4),.Figure 7Comme à la séance 3, Cécile et Michèle ont des difficultés avec la cellule active.Au moment de compléter les formules pour trouver le périmètre du rectangle B(Figure 7)1. Cécile C'est celle Id . la case active? ... non c'est celle là ...2. Michèle je sais pas justement. c'est la question que je posais tout à l'heure3. Cécile Appelle le prof!4. Michèle Monsieur... je sais pas si on la laisse là Monsieur... la cellule active, elle estlà?5. Prof c'est toujours celle...6. Cécile qu'on calcule7. Prof oui c'est celle où tu écris laformule... ici elle sera là8. Cécile C'est bon. c'est ce qu'on voulait savoir ...1La fiche de tâche est fournie en annexe.

72La difficulté est apparue pour, ces élèves, quand il a fallu choisir l'origine durepère pour établir la fonnule du périmètre (Fonnule 4). Le passage de la fonnule 3 àla fonnule 4 provoque un changement d'origine qui pose problème aux élèves. Ellesfont appel au professeur, bien que ce soit Cécile qui fournisse la réponse à la question.Sans être vraiment bloquée, elle cherche à obtenir une validation du professeur.Sylvie fera comme Franco un décodage de la fonnule (2), qu'elle appelle "b", àpartir de la cellule noire:1. Sylvie mmm... et le b ? le b c'est faux parce que L moins 3 sur la même colonne... 12.3... il n'y a rien .2. Corinne Alors dans le petit b euh...3. Sylvie Attends faut voir d'abord L moins 2 C ... 1,2. C ça veut dire la mêmecolonne plus moins 3 c moins 3 multiplié par 2... Ben L moins 3 il n'ya rien du tout hein 1... ben alors elle estfousseC'est ensuite ce qu'elles inscrivent dans le cadre réponse. Sylvie fait undécodage correct des références en ce qui concerne les déplacements mais prend lacellule noire comme origine du repère. On peut penser que, ici, c'est la cellule noirequi apparaît sur le tableau qui a trompé Sylvie puisque c'est toujours l'aspect de lacellule active dans le logiciel. Mais, ce n'est pas non plus la seule origine de cetteerreur puisque dans le codage de la formules (3) Sylvie la produira de nouveau:4. Corinne alors le périmètre c'est longueur fois largeur multipli...5. Sylvie non, 26 plus 31 multiplié par 2 c'est ça ... alors c'est L moins 2...6. Corinne Je ne fais pas de crochet? [Corinne écrit la Connule dans le cadre réponse de lafiche]7. Sylvie si 1L crochet moins 2 C plus. plus normal ... L crochet moins 1 crochet C,ferme la parenthèse ... multiplié par 2 ... et voilà 1Sylvie construit les références sans tenir compte de la cellule dans laquelle laformule sera installée. On peut penser que ce type d'erreur a peu de chances de seproduire dans l'interaction avec le logiciel puisqu'on ne dispose alors que d'une seuleformule à la fois dans la barre d'édition et que cette formule est identifiée par l'élèveautant par le résultat qui y apparaît que par ses références. On voit encore ici commentSylvie avant de construire sa formule passe de la description langagière de Corinne (4)à une description à l'aide des nombres apparaissant dans les cellules (5).Mylène éditera correctement les formules et fera, elle, explicitement référence aufonctionnement de l'ordinateur au moment de l'édition puisque la cellule active estperceptivement noire:1. Nadia "inscrire dans ces cadre lesformules pour l'aire et le périmètre du rectangle B"... ah mais c'est moins facile.2. Mylène C'est la même chose normalement puisque quand on se met là... après celui làil devient noir et on calcule à partir de celui là.Mylène décrit à la fois le fonctionnement au niveau du logiciel "on se met là", leseffets visuels "celui là devient noir" et les conséquences au niveau du repère pour lesréférences de la formule "on calcule à partir de celui là". Sylvie, elle, n'a pas eu cespréoccupations et n'a pas pris en compte le positionnement de la formule.

73Dans la situation Cible 1 (Situation interview) le décodage de la fonnule de laFigure 4 nécessitait aussi l'identification de la cellule active comme origine du repère.Maryse (Adulte) a par exemple des difficultés à donner une signification à la formule:1. Maryse j'attends la suite, je ne suis pas très mathématique moi...2. Annie mais c'est les positions là !3. Maryse J'ai compris... bof...4. Annie t'as pas compris?5. Maryse attends parce que je comprends... tu me dis ...6. Annie c'est les positions relatives ... c'est par rapport à cette cellule là qui est ensurbrillance 1...Le protocole suivant de Florence et Philomène indique aussi des difficultés à ceniveau.1. Philo plus deux fois LC... moins 3 plus 1... (5s) les autres formules ellesétaient pas comme ça celles qu'on avait vues .2. Observ si ... vous n'y aviez sans doute pas fait attention... je vais vous donner unpetit coup de main... cette formule est écrite par rapport à la cellule 6 qui sertd'origine3. Aorence ah d'accord de repère ... donc çafaitFlorence et Philomène reçoivent une aide de l'observateur car depuis longtempselles n'arrivent pas à lire les références relatives. TI suffit que l'observateur leur signaleque la cellule L5C4 est origine du repère pour qu'elles arrivent ensuite à décoder. Ceciindique que l'identification de la cellule active comme origine du repère semble êtrel'un des obstacles intervenant fortement dans les échecs de décodage.Le rôle de L et C dans les référencesLes premières feuilles de calcul que construisent les débutants mettent en jeu desformules qui ne contiennent que des références à des cellules qui sont toutes sur lamême ligne ou la même colonne. Cette particularité a pour conséquence de ne donnerque des références où, soit C, soit L n'est suivi d'aucune valeur, par exemple LC[-3]ou L[-5]C. Tout se passe alors comme si les élèves, dans le contexte de la formulequ'ils construisent, ne prenaient pas en compte la signification de L comme Ligne oude C comme Colonne, mais considéraient ces lettres comme un indicateur nécessairedans la formule, mais dont le rôle n'était pas clairement identifié.Dans la tentative de décodage de Sylvie nous pouvons d'ailleurs noter:SylvieLC ça veut dire sur la même ligne... après tu mets au lieu de tout effacer, detout refaire. tu mets LC : la même ligne, le crochet -4... jusqu'à... tu metsdeux points ... et LC : sur la même ligne, tu mets moins 1. si c'est là...Le fractionnement d'une référenceJ'analyse dans ce paragraphe une des conséquences de la complexité del'écriture des références relatives qui conduit les élèves à opérer une lecture partielle decelles-ci. Les observations que j'ai pu réaliser à partir de la situation Rectangles(Séance 5) indiquent qu'il ne s'agit pas d'un phénomène marginal.1La situation Interview des adultes a été réalisée sur des compatibles PC-XT.

74La complexité des désignations à l'aide de références relatives conduit six élèvessur les dix à donner une signification à une partie de la référence en négligeant uneautre partie. Par exemple une référence comme L[-3]C[+1] sera lue comme 3 cases audessussans que la signification de C[+1] soit prise en compte. Tout se passe commesi les lettres L et C n'avaient pas de signification précise dans la décomposition dudéplacement dans les deux directions du repère. Le protocole suivant (RectanglesSéance 5, figure 7) montre un exemple de cette lecture particulière des références dansle décodage de la formule =L[-2]C*L[-1]C[+1] :1. Gilles euh... Le moins 2 ... ça serait 23 [Figure7]2. Franco L moins 13. Gilles ça serait 254. Franco oui... 23 fois 25 ...Le groupement de L et C et le report à la fin, dans la lecture, du coefficient -2 (1)indiquent ici une relecture particulière de la formule où seul-2 prend une significationdans le repérage. La lecture par Franco (2) fait disparaître le C et n'empêche pas Gillesde placer la cellule dans la même colonne. Ces deux élèves font une lecture partielledes références où Let C n'ont pas de signification nettement identifiée. Cette difficultéva se trouver mise en évidence dès que la référence ne désigne plus une cellule de lamême colonne comme dans la formule (1) de la Figure 7.1. Franco Multiplié par ... L moins 1... voilà...et plus 1 ? c'est ça que j'arrive pas à ...f...] ça va pas plus 12. Gilles d'où il sort le plus 1 ?Ces élèves resteront longtemps incapables de donner une signification à ladernière partie de la référence parce qu'ils ne relient pas, malgré le crochet le nombre+1 et la lettre C qui lui donne un sens et que la description qu'ils savent faire du calculen référence au problème ne comporte pas ce +1. C'est Christophe, un élève dubinôme voisin qui les aidera:3. Christophe C'est colonne plus 1...4. Gilles t'as vu ça correspond pas à 1 tout court ...5. Franco pourquoi il yale plus 1 ?6. Gilles là si tu dis plus 1... , à mon avis, c'est pour inscrire ici non? plus 1 turajoutes une case. tu descends là ...7. Franco regarde là ils le mettent pas ... pourquoi ?8. Gilles ah non là fois 2 ... plus 1 ça va l'inscrire ici9. Franco et là pourquoi ils le mettent pas ? il fallait mettre plus 2 là , et là il amultiplié ... multiplié c'est pour calculer le périmètre ... on a jamais faittout ça .. on a juste tapé entrée après ... c'estfaux avec plus 1.Gilles (2) utilise la remarque de Christophe pour donner au coefficient +1 unesignification en liaison avec les références. Ce qu'il tente d'expliquer à Franco entermes de déplacement (4 et 6). Mais celui-Ci reste sur un registre d'opérations entrecellules: négligeant les parenthèses et les crochets de la formule (2) (Figure 7). Ilessaye de leur donner un sens de déplacement -plus 2 -, s'interroge de nouveau sur lecalcul à effectuer (le périmètre) et conclut que cette formule (1) est fausse puisqu'il nedonne pas de signification à +1. Une lecture partielle de la formule tant du point de vuedes lettres L et C que des parenthèses ou des crochets empêche Franco de distinguer

75les coefficients, qui définissent des déplacements dans le système de référence, destermes ou facteurs du calcul décrit par la formule. Franco se plaçant du point de vuedes formules qu'il a déjà éditées dans les séances précédentes décrit l'action (7) maisne lui donne pas de signification en liaison avec le système de références.La lecture partielle de la référence conduit ainsi à son fractionnement en plusieurséléments qui peuvent interférer avec le calcul.Dans un autre binôme, Christophe rencontre aussi cette difficulté:1. Christophe L moins 2 C moins 1... plus 1. qu'est ce que c'est que cette histoire. c'estquoi le plus? Carreau plus 1 je comprends pas ce qu'il veutfaire ... moins2 C ... c'est faux... je comprends pas ce plus 1... c'est colonne plus 1... oncompte comme ça '" 1. 2. et 1 ... ils disent ça fois ça [23 fois 25] et aprèsils avancent d'une case .,. alors elle est fausse. [ils remplissent le cadreréponse sur la feuille de travail] fausse à cause de C plus 1...2. Prof Qu'est ce que ça calcule?3. Christophe 23 fois 25 ... elle calcule 23 fois 25... mais le chiffre va être marqué là pourle B puisqu'elle va avancer d'une case ... le plus 1...Avec la même formule que Franco, Christophe rencontre des difficultésanalogues. Il donne une signification à la première partie de la formule "L[-2]C"puisqu'il l'interprète comme "25" et donne à [+1] la signification d'un déplacement aposteriori. C'est de là qu'il déduit que la formule est incorrecte. Il envisage même dansla description qu'il fait pour le professeur un déplacement du résultat calculéoccasionné par le [+1]. Christophe, comme Franco, n'envisage pas la référenceL[I]C[+1] comme un tout, elle n'est pas prise en compte en tant que variableintervenant globalement dans le calcul mais se trouve fractionnée. Le schéma suivantindique la lecture qui est faite par Christophe:L[-l]C[+l] ---~L[-l]C +1Cette conception de Christophe se manifeste dans les explications qu'ils donnentà Alexandre après que le professeur l'ait aidé à comprendre la signification d'uneréférence.Christophe regarde laformule { = L[-2]C*L[-I]C[+I] } le premier c'est ça... ça c'est lepremier nombre [il montre L[-2]C ] et ça tout entier c'est le deuxièmenombre [il montre L[-2]C[ +1] ] ... celui là... chaque truc fait unnombre s'il y a C suivi de rien ça veut dire qu'il y a rien puisqu'il avancepas. en case. tu fais moins 2 ... ça fait 23... et là ils disent qu'ils avancentd'une case dans ce sens donc ça fait comme ça ... moins 1 et une case deplus ...Dans sa description, Christophe insiste sur "ça tout entier", c'est en effet là quese situait l'obstacle pour lui dans le décodage de la formule. Cependant il ne traduit pasen termes de marqueurs syntaxiques la distinction entre les deux syntaxes manifestéespar la présence ou non de crochets.

76Cécile et Michèle ont aussi rencontré des difficultés en raison du fractionnementde la référence. Dans le décodage de la référence L[-2]C[ +l] (Figure 7) :1. Michèle· L moins 2 : dans la même colonne, Multiplié par L moins 1 C ... C dans lamême colonne ...2. Cécile Non colonne plus 13. Michèle Je comprends pas pourquoi il a mis plus un ... ça correspond à quoi? çamultiplié par ça ?4. Cécile Ilfaut dire si elles sont correctes lesformules...5. Michèle La première est pas correcte ... si c'est pour le truc du 1... parce que...pourquoi il y a +1 ?. 6. Cécile ça fait L moins 1 ...7. Michèle Je sais pas,j'ai pas bien compris le truc desformules ...8. Cécile Là ... L moins 1 c'est la ligne L moins 1 ... multiplié ...9. Michèle Non là c'est une autre colonne ... ça serait C moins 1...10. Cécile Non c'est L moins 2Il. Michèle L moins 2 dans la même colonne. multiplié par L moins 1 ... colonne...12. Cécile colonne plus 1! ... L moins 1 çaferait 25 fois 31 ...13. Michèle mais pourquoi plus 1 ?14. Cécile et ben c'est une colonne après, c'est plus 115. Michèle Attends... Non... L moins 1 C c'est ça plus 1 .16. Cécile L moins 1 c'est ça et colonne plus 1 c'est ça ça ferait 25 moins rien dutout ... c'est pas bon parce que là il n'y a rien du tout.Michèle (l) fait une lecture fractionnée de la référence où seule le décalage de laligne (L moins 1) est pris en compte. La lettre C signifie "dans la même colonne", cequi est exact dans la première référence de la formule =L[-2]C*L[-1]C[+1] mais quiconduit aux difficultés de Michèle pour la deuxième puisqu'elle ne considère pas [+1]comme relié à C pour indiquer un changement de colonne (Figure 8). Dans cettelecture de la référence, le crochet n'a pas de statut bien identifié, il est simplementignoré puisqu'il n'a pas de signification pour Michèle..1 25L[-l]~'-------C[+l]Figure 8Cécile manifeste une lecture plus conforme à la signification accordée par lelogiciel aux références puisqu'elle introduit le "plus 1" comme un coefficient pour C(2 et 14) .Mais Michèle, qui continue à fractionner la référence, perturbe Cécile au pointqu'elle proposera une lecture fractionnée de la référence (16) où chaque lettre L et Cconstitue à elle seule la référence d'une cellule intervenant dans le calcul (Figure 9).Les protocoles que nous venons d'examiner indiquent nettement une lecturefractionnée de la référence relative. On peut considérer que ce fractionnement est lié àla fois à la complexité intrinsèque de la syntaxe d'une référence relative et àl'épistémologie de l'algèbre chez les élèves de troisième. Pour éclairer ce dernier point,notons que pour des élèves de troisième les notations fonctionnelles comme f(x) sont

77encore peu familières et ne sont pas lues comme reliant de manière inséparable lavariable x et la fonction f. Pour un élève de troisième, le statut de la parenthèse estsurtout celui d'un indicateur de priorités dans une expression algébrique qui est denature très différente de celui d'une parenthèse dans f(x). Par analogie, et en raison dela complexité de l'écriture, dans les références relatives le crochet n'est pas lu commeune notation fonctionnelle C[+1] comme cela pourrait être le cas si les élèves avaientune familiarité plus grande avec la notion de fonction et l'utilisation de la syntaxecorrespondante.D'autre part, l'usage veut qu'en algèbre, la plupart des variables soientdésignées à l'aide d'une seule lettre alors qu'ici une désignation de cellule commecelles citées dans les protocoles atteint 10 caractères. Ce fonctionnement très différentdans les deux environnements induit les difficultés observées chez les élèves.Les parenthèses et crochetsLe rôle des crochets et des parenthèses est fixé dans la version de Multiplan queles élèves ont utilisé l . Les crochets délimitent les coefficients associés auxdéplacements en ligne (L) et en colonne (C). Ainsi par exemple L[-7]C[+4]. Lesparenthèses indiquent les priorités du calcul. En algèbre élémentaire, il est d'usagedans l'enseignement de présenter les parenthèses e.t les crochets comme des indicateursde priorités. Mais, une hiérarchie est en général introduite qui place toujours laparenthèse à l'intérieur d'un crochet. Le crochet n'existe d'ailleurs que s'il contient desparenthèses. Cette distinction sur le rôle respectif de ces deux objets dans les deuxenvironnements introduit une difficulté pour des élèves.Ainsi Nadia et Mylène (Séance 2) qui éditent la fonction somme() au clavieroublient les parenthèses. Le professeur leur demande de la remettre :MylèneNadiamais attends, c'est une parenthèse ou un crochet?mais un crochet!et elles éditent un crochet. La confusion manifestée par ces élèves entre les crochets etles parenthèses a peut-être pour origine le calcul algébrique tel qu'elles le pratiquent enclasse puisque dans la formule qu'elles éditent:=SOMME + L[-13]C[+l] :L[-2]C[+1]les parenthèses que le professeur leur demande de mettre contiendront lescrochets des références.On peut ainsi remarquer que ces élèves n'ont pas encore identifié le rôle descrochets, exclusivement réservés dans Multiplan à l'écriture des références relatives.1 Dans les versions pour compatibles PC, il n'y a que des parenthèses qui jouent les deux rôles ainsique dans la version 1.02 sur Macintosh. On peut penser que ce seront alors des confusions entre deuxrôles différents joués par le même symbole qui pourraient créer des difficultés.

78jMAISON DES JEUNES LE ROSSIGNOL...........................................................................................................................:.: : :................................................ACTIVITE :...............................................................NOI'1BRE HEURESSALAI RE HORAI RE............................................................... PRIME:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::r:::::::::::::::::::::::::::::::::1:............................................................... ................................................. ~ ·····..······..·······..···s·INDEMNITES;:=:::::::::::::::::::=:::0:=::::1:=::::::=::::::::::::::::::::1:····························s·ATA·j·Rt"·S·R·üi·!··············..·················l"······..·····1·····4f3·s·;·ë"ëj·(··l··················..···············i··R·fT"Ë·NïJ·Ës············.. ························~ ..·..·tfïü·x·(%·)·······j·················································T·······························..·T..·..··..........·..·..·..·····..····SS··m8TadTëT..······.. !~f;·~i"..·..·..·..·T..··....· · "frf';·6·S..F....T·..···..··..··..··..·..··..· ··T············..······..·..·..·..·ss·'Vfëill·ë·33·ë·l··..·······4·;·7············..T....····..· ·····..·..6·9·;f3·0..F····T..·..····..·..·..·..··..··· ··..r....·············..·..·..·····..···..·.. ···A·S·S·Ei5ïc·~······ .. ··1··~·7·2······ ....·..r·········· ·..·..··..2·S·;·5·4..F'..·T..·..·..·..·..·········..···..·....i·:::::::::::::::::::::~~~:~::;:~:~:~:~:~:~:~:~T:::::::::::::::::::::::::::::::r::::::::::::::~:::::~:~:~:~:~:~::;:::r:::::::::::::::::::::::::::::::::l···..····· ·········..·..·..·N·ËT··A·..p·Av·Ë·R·I..·······..·····..···········..·..i ·.. ········l·····ë·ë's~·9·9 ..F ·1 '!"Figure 9Le même type de difficultés a été observé à la séance 4 (Fiches de paye, Séance4) où, Gilles et Franco, dans l'édition d'une fiche de paye comme celle de la figure 9ont tout d'abord eu des difficultés avec les procédures d'édition: dans le calcul de labase imposable (Salaire brut auquel on enlève les trois retenues), pour enlever les troisretenues ils tapent un signe moins, puis font glisser la souris sur les trois cellules àenlever, ils ajoutent ensuite la prime et obtiennent la fonnule :L[-6]C[-1] - + L[-4]C: L[-2]C + L[-9]C[-2]le logiciel éditant automatiquement le signe plus et les références séparées par deuxpoints. Une telle fonnule produit le message d'erreur, #VALEUR, que les élèvesn'arrivent pas à interpréter. Cette tentative consiste à faire prendre en charge par lelogiciel la soustraction des trois retenues.Ils sont aidés par le professeur qui leur signale qu'il faut indiquer toutes lesopérations:1. Prof On ne peut pas faire comme ça. ilfaut indiquer toutes les opérations, refaiteslaformule10/ Gilles alors moins ça, je clique2. Franco moins... tu mets moins ... plus ça... plus ça plus ça... entre parenthèses .comment on fait les crochets? les crochets? ça plus ça... entre crochets .plus ça ... voila

79L 16C4I®I =L[-6]C[-1 ]-gu-4]C-L[-3]C-L[-2]C]+L[-9]C[-2]Caractère inattendu il modifier.ltiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiOKiiiiiiiiiiii=J9 ::::::~::::~:~:~:~:::::::::::::r::::::::::::::::::::::::::::::::::r:~:::::::~:~:~:~:~:~:I~:~:~:~:~:~:~:~:~::::~:r:::::::::::::::::::::::::::::::::::[:::~:~:~._:~10 ! 1470,OOf 1 1 1 1:~ ~~=

80D'autres difficultés apparaissent avec la gestion des parenthèses et des crochets.Elles sont liées à la description du calcul et à son implantation dans le logiciel. AinsiMichèle et Cécile voulant aussi enlever les trois retenues au salaire brut le décrivent enlangue naturelle :1. Michèle ensuite Base imposable. c'était en enlevant tout ça, donc/aut additionner toutÇl2. Cécile additionner ?3. Michèle Ben oui parce que c'est tout ça qu'on nous enlèvePuis, elles éditent la formule:L[-6]C -L[-4]C+L[-3]C+L[-2]Cqui les satisfait bien que le résultat calculé soit supérieur au salaire brut. Il s'agit ici,pour moi, d'un problème de mise en place du calcul dont l'origine est plutôt ladescription algébrique classique, qui nécessite une parenthèse, que l'implantation dansle logiciel. On rencontre le même type de problème avec Mylène et Nadia, qui, aprèsavoir lu la description du calcul sur la feuille de travail éditent la formule (Figure Il) :1. Mylène Le salaire brut2. Nadia ça ? [elle montre la cellule L9C3]3. Mylène oui [Nadia clique dans L9C3] ... moins ça4. Nadia Çl5. Mylène on met ...6. Nadia ouais/aut qu'on mette des parenthèses là non ? des crochets?7. Mylène Je sais pas8. Nadia Ben sinon il va tout mélanger non?9. Mylène non peut-être pas!10. Nadia ben... p'têt que oui... p'têt que nonIl. Mylène al/ez mets pas de parenthèses12. Nadia mais si mets en !13. Mylène non!14. Nadia plus...Ce protocole montre que la question des parenthèses se pose pour obtenir uncalcul conforme à la description. C'est ici la syntaxe nécessaire à la machine qui est encause et non la description qui pourrait en être faite au niveau algébrique horsMultiplan que Nadia propose dans Multiplan. C'est finalement Mylène qui impose saconception d'une prise en charge par la machine de leur intention de soustraire les troisretenues. On rencontre ici aussi dans la proposition de Nadia le problème du choixentre les parenthèses et les crochets.

81L15C31;;;Lr:::·6rt·:["r:;~në+Lr=Iït·+"[r:2]c·+Lr:::·9Ttr:::lllIl "' ..annie112131415 11 decembre i iactivité ihand baU ii1IlI-~-t· ····..····..·..·..0··..•..••••..•..•..•..•••••••••••• ••..•.2 nom i Annie i i i1IlI-~-t,i .1IlI--7-"-t3 i i i i !o •••..0·· ·..·..··..···· ····..0··..•..•..•··•..····..·..·····0· .4 nombreh! 15 ! i ! !1IlI-~-t o u u ···········o· ·•· ···..···.....•.........u.uu••••••••uu•••u.u•••••5 sa1aire h Ë 98 i i ! i~::........+ u o•••••.•..••.••.•..•.•••••.•••• o••••••• u •••••••••••••••••••••o u •••• u.6 nrime Ë 230 i i ! i~~r. o ···········.········0 · 0 ·..·..··············0··········..··.··.·.··..· 0 ·7 indemnite i 145 i i ! !8 ·..· ·· ·········..1····..·······..··············1··..· · · ····..l · ··....·············r··......·· · · 1..··......11I-.;;.--+ 0 0 uO·· ·..·..·..·..····..··O······..·..· ····..· ··0······..··9 ~.~~.~~!.:!.. ~.'::~.~ 1 1. 1.~?QJ.QQf. 1. 1 1 .1 0 retenues itaux ~ i i Ë !III-~-+ o 0 ..••••••••••••••••••••••••••••0 .11 ss maladie! 55! 80 85F i ! iIII-~-+ o /•••••••••••••••••••••••• 1. .12 ss vieillesse! 47! 6909F i ! iIII-~-+ ..............................•....................../.......•................1.•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••13 ~.~~.!~j~ i ~..,.?~ l. ;??J.;?~f... ..L l .1 .14 ; : ; ; ;15 s·in:;···o;;ablë··..t·....···..····.....·..········r.UiIii@I.'j"············..······..·..····t·..·······......··············t..·..·..··_;;..;;...-+ :p...............•..•o••••••••••••••••••••••••••••••• •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••Figure IlII.2 Désignation avec des références absoluesLes références relatives, privilégiées dans l'édition des fonnules, ne sont pas leseul type de désignation dans le tableur. La construction de fonnules dans les tableauxliés, par exemple, nécessite une désignation invariante par recopie comme la référenceabsolue ou le nom donné à une cellule. Ces deux désignations sont du même type dansla mesure où c'est la cellule du tableau qui est notée et non sa position par rapport à lafonnule où elle intervient.Une lecture aiséeLes observations réalisées montrent qu'aucune difficulté de lecture n'a jamais étéobservée pour des références absolues. Elles sont d'un accès plus facile que lesréférences relatives. J'ai pu noter, en particulier, une utilisation spontanée deréférences absolues sous la fonne d'un couple de nombres pour désigner une cellule:Michèle au moment de l'édition des valeurs dans le deuxième tableau (notes de Felix;séance 2) :Michèletape 2,3 ... peut-être ça remettra les mêmes trucsElle désigne ainsi la cellule L2C3.Plusieurs élèves comme Mylène ou Sylvie utiliseront fréquemment les référencesabsolues pour écrire des fonnules au clavier de préférence à une édition à la souris.Mais le plus significatif est le résultat issu de la situation interview où la fonnuleproposée dans Cible 2 que l'on peut voir dans la barre d'édition de la figure 12 a étédécodée l sans qu'apparaisse la moindre difficulté chez aucun des 26 sujets que j'ai pu1 La figure 16 représente la partie supérieure de la feuille de calcul.

82observer. Ceci est à mettre en parallèle avec le décodage laborieux de la formule enréférences relatives de Cible 1. Ce système de désignation est d'un accès beaucoupplus facile dans la mesure où il est lié avec les pratiques de repérage dans un tableau àdouble entrée que les élèves connaissent et maîtrisent dès l'école primaire. Piaget situel'acquisition de cette compétence avant la huitième année chez les sujets qu'il aobservés. En outre, cette désignation présente l'avantage d'être unique dans la mesureoù chaque cellule du tableau reçoit une seule désignation par ce procédé, contrairementaux références relatives. Il est ainsi plus proche des désignations algébriques quidésignent, elles aussi, un seul objet.r • '• Fichier Edition Selection Format Options CalculIlL232C60 ~;;;,[5ë·T*·5·:::,[4ë··1··*4:;·3i·C6·ëT:::·3it:,[5·ë··1·!\o :cible 2-b59 61228 :-----I ! · ··..1· ···..·• ·•..····•····••..229 : !230 ! ···· ··..····..·········..·····T··..··· · ·· ·..·..······· ·· T···· ·..·· ·..·..··········..·..-----1·········· ·········..··················..1..••• ·•• ••••••···•·•·..••..•• •..·1·· •••• •••••• •• ••••..·1·..•••••• •••..•••••••..·••••••·••••..231 i 1 ~232········ · ··..····..·············..·· · · ··..·······..·..··········..·T..··· ····..··· ·· ..233 ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::.: :.::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::1:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::234 ~ : î-----1·························......···..··..··....·1..····..·············•..··......······•··..··..1············..·..··......·..·......···..··....·1....••..··......·•··......•·....•....•·..')~E::' ; 1 ;Figure 12CaractérisationEn revanche, la situation cible-2 (interview) m'a permis de repérer que ladistinction entre les deux syntaxes n'est pas toujours faite correctement. En effet danscette tâche, Il s'agissait de décoder la formule de la cellule L5C4 (Figure 13) qui étaitconstituée d'une seule référence de cellule. Il s'agissait pour les sujets de donner unsens à cette référence. Le fait qu'il n'y ait pas de calcul réalisé est un obstacleimportant que j'ai analysé par ailleurs (Capponi 90). Par contre rapidement cetteformule les conduit à explorer le tableau pour voir ce que contient la cellule dont ils ontla référence. Cette référence est relative: ce sont les crochets et les signes + et - qui lacaractérisent de ce point de vue. Sur les 13 binômes, 9 l'ont lue comme une référenceabsolue alors que les 4 binômes qui ont vu une référence relative à la cellule L5C4 serépartissent également entre les adultes et les élèves (2n et 2/6).Très peu parmi ceux qui recherchent la cellule L227C56 et la trouvent videpourront expliquer pourquoi c'est en L232C60 que se trouve la formule qui produit lavaleur 10 recopiée dans la cellule L5C4.Les différences entre les deux syntaxes sont fondamentales pour une lecturecorrecte de la formule, mais elles ne sont distinguées que par un très petit nombre desujets. Par ailleurs une fois la formule découverte, il n'y a plus d'intérêt à identifier ledécalage observé entre L227C56 et L232C60. Il faudra d'autres tâches (Gaz elec :

83situation interview) pour que les sujets jugent nécessaire de revenir sur la distinctionentre les deux types de références proposées dans le tableur. Ce sujet a été traité pluscomplètement dans Capponi 90.L5C41cible 2-b1 2 3 4Figure 13II.3 ConclusionLes résultats des expérimentations menées dans le cadre de la rechercheprésentée ici montrent que les difficultés des élèves dans la gestion des référencesrelatives d'un tableur comme Multiplan ne sont pas négligeables et persistentlongtemps après les débuts de l'apprentissage. L'appropriation des références relativesne va pas de soi. La facilité de l'édition automatique, qui utilise la souris pour désignerles cellules intervenant dans une formule, ne doit pas cacher les réelles difficultésrencontrées dans l'interprétation des références produites par la machine, nécessaire aucontrôle des formules produites. La rapidité de construction des premières feuilles decalcul ne doit pas masquer les difficultés sous-jacentes qui persistent après plusieursheures de formation. Les difficultés que rencontrent les élèves au cours de la formationtrouvent leur origine dans :- La complexité de l'écriture de la formule. En effet une expression qui pourraits'écrire a+b+px+qy à l'aide du symbolisme usuel en algèbre élémentaire devient parexemple dans le tableur LC[-2]*L[-5]C[-l]+LC[-1]*L[-5]C+L[-5]C[-3]+L[-5]C[-2].(interview: Chapitre 2). Cette complexité perturbe notamment les connaissances liéesaux priorités des opérations qui sont mal reconnues dans le type d'écriture produit parle tableur avec des références relatives.- Le rôle de la cellule active comme origine du repère qui est également la sourced'importantes difficultés pour les débutants. J'ai pu retrouver des lectures de formulesdéjà relevées des travaux précédents de notre équipe de recherche (Capponi &Balacheff (89)) où le décodage est réalisé en partant de la cellule activ~ puis pour lescellules suivantes de la dernière cellule décodée. Tout se passe comme si la lecture sefaisait en passant successivement d'une cellule à l'autre à mesure que le décodage est

84effectué. D'une manière générale la présence d'un repère variable crée des difficultésimportantes qui n'apparaissent pas avec des références absolues.- Les lettres L et C intervenant dans les formules prennent souvent pour lesélèves une signification en rapport avec la tâche en cours et servent, par exemple, àdésigner des éléments en jeu dans le problème à résoudre comme le côté d'un carrépour C ou la longueur d'un rectangle pour L.- Le fractionnement des références dans la lecture. En effet, la complexité del'écriture des désignations à l'aide des références relatives conduit les débutants àinterpréter par exemple la référence L[-1]C[+1] comme L[-1]C+1 où le dernier nombre"+1" devient un terme du calcul au lieu d'une caractéristique liée à la référence.D'une manière générale on peut considérer que les syntaxes propres du tableur etde l'algèbre se mêlent et se dressent en obstacle dans l'apprentissage de la significationdes références relatives.Je ne peux pas terminer cet article sans remarquer la place importante que j'aidonnée au système de références spécifique de Multiplan. Une grande partie desobservations que j'ai pu faire sont liées à la syntaxe particulière utilisée dans celogiciel. Mais l'ensemble de la recherche développée par ailleurs (Capponi 90) a misaussi en évidence des caractéristiques qui sont communes à tous les tableurs.Notamment on peut considérer que les syntaxes utilisées par certains tableurs sontd'un accès plus aisé. Mais les solutions apportées par les concepteurs de logicielscomme Excel ou Lotus 1 2 3 pour la désignation des cellules ne résout les difficultésde désignation que de manière superficielle. Pour notre part les difficultés liées ausystème de référence sont masquées et reportées à un autre niveau. Etudions unexemple avec Excep"Ml pour illustrer notre propos.L'addition des cellules de la colonne 1 est effectuée sur l'exemple de la figure 14à l'aide de la formule A2+A3+A4+A5 dans la cellule A6. Cette notation apparemmentabsolue est en réalité relative par recopie puisque la copie à droite de cette formule dansla cellule B6: donne la formule B2+B3+B4+B5.li B cliBFeuille dFigure 14D'une manière générale, le logiciel recopie en modifiant les références. Il seraitintéressant d'étudier les difficultés que représente la transformation de la formule ainsiréalisée par le logiciel. Ici la recopie produit une autre formule puisque les désignationslExcel est une marque déposée de la Société Microsoft.

85sont différentes contrairement à ce qui se passe dans Multiplan avec des référencesrelatives. Par ailleurs se pose alors le problème d'une désignation indépendante de laposition et qui se conserve par recopie. J'en ai montré la nécessité dans mon travail derecherche. Excel utilise des notations comme $A$2 pour désigner de manière absoluela cellule A2. Les difficultés que j'ai pu analyser dans la construction de fonnulesutilisant un double système de références ne me semblent pas de nature différente dansun logiciel comme Excel. Pour moi il ne s'agit pas de difficultés provenant desnotations utilisées mais je les interprète plutôt comme des problèmes sémantiques. Lasimplicité de la notation utilisée par Excel permet par contre une lecture plus facile desfonnules éditées de manière automatique et par conséquent facilite le contrôle desformules éditées par des utilisateurs débutants.Les problèmes de références abordés ici ne sont pas les seuls rencontrés dansl'apprentissage des tableurs. Pour une vision plus complète de l'ensemble de l'étudefaite sur ce sujet notamment sur les conceptions relatives aux fonnules, la priorité aucalcul manifestée par l'affichage prioritaire des résultats, les fonnules utilisant undouble système de références et l'implantation d'un processus itératif, je renvoie lelecteur au travail plus complet réalisé sur ces aspects de l'apprentissage à l'utilisationdes tableurs. (Capponi 90).BibliographieBISSERET. 1983, Essor d'une psychologie ergonomique pour l'infonnatique. Travail HumainT46N02.CAPPONI B., BALACHEFF N.1989, Tableur et Calcul Algébrique Educational studies inmathematics 20: 179-210.CAPPONI B. 1990, Calcul algébrique et programmation dans un tableur. Le cas de Multiplan.Thèse de l'Université Joseph Fourier Grenoble 1.CATTERALL P. LEWIS R. 1985, Problem solving with spreadsheets Journal of computerassisted learning 1 167-169.COLLECTIF 1988-a, L'ergonomie des logiciels. un atout pour la conception des systèmesinformatiques Documentation Française par le groupe du programme "technologie emploi et travail" etle groupe Bull.COSAVELLA G. 1988, Ergonomie et didactique des logiciels, Eléments à propos deMultiplan sur T09+ et Macintosh. Mémoire de DEA, Université Joseph Fourier Grenoble 1.DAGDILELIS V., BALACHEFF N., CAPPONI B. Mise en œuvre de l'itération par des élèvesnovices dans deux contextes différents. ASTER.DAVID J.P. 1986, Tableur et pédagogie ClAP Université Grenoble 1.DELANNOY C. 1986, Initiation à Multiplan Eyro11es.FLOYD B.D., PYUN J., 1986, Errors in spreadsheet uses (Tech. Rep.). New York: Newyork University, Graduate School of Business administration.HABASQUE G. 1985, Multiplan sur Macintosh Sybex Paris.LIEGOIS G. 1985, Multiplan Marabout.

86LINDSAY P.H., NORMAN D.A. 1980, Traitement de l'information et comportementHumain - une introduction à la psychologie. Editions Etudes vivantes Montréal-Paris.MANUEL MICROSOFT MULTIPLAN 1984, Version française pour Apple MacintoshVersion 1.02.MARANINCHI J.B, FAVRE NICOLIN R., 1986, Tableur et pédagogie de l'infonnatiqueCRDP 11 Bd. Gl. Champon Grenoble.MEIBNER H. 1987, Recherches sur les processus d'apprentissage en mathématiques en liaisonavec l'utilisation de calculettes et d'ordinateurs. Actes du premier colloque Franco-Allemand dedidactique des mathématiques et de l'informatique. La Pensée Sauvage Grenoble. 283, 293.OLSON J., NILSEN E., 1988, Analysis of the cognition involved in spreadsheet softwareinteraction. Human-computer interaction. 1987-88,3,309-349.85.PEASEY D. 1985, Using spreadsheet programs in mathematics education Micromath springRICHARD 1983, Logique du fonctionnement et logique d'utilisation. INRIA Rapport derecherche N°202 p. 20.ROGALSKI J. 1985, Alphabétisation infonnatique, problèmes conceptuels et didactique.Bulletin Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public N° 347.SCAPIN. 1986, Guide ergonomique de conception des interfaces homme-machine. Rapporttechnique INRIA N'77.THIRIEZ H, SANTRAILLE G. 1985, Multiplan pour Macintosh PSI.VALENTIN A, LUCONGSANG R. 1988, L'ergonomie des logiciels Collection outils etméthodes Editions de l'ANACT (Agence Nationale pour l'amélioration des conditions de travail).VERGNAUD G., 1981, Quelques orientations théoriques et méthodologiques Recherche endidactique des mathématiques Vol. 2-2.

87Annexe 1 : Vêtements : fiche élèveN'utilise pas l'ordinateur pour cette activitéLa figure représente un morceau d'une feuille de calcul de MULTIPLAN.La cellule active contient le prix total à payer pour les achats indiqués.r .... Fichier Edition Sélection Format Options CalculL:'C '.::····················..·······..·····················JI,i=L[-4]C(-1 ]*L[-2]C+L[-2]C[-·1 ]*L[-3]C+L[-3]C[-1 ]*L[-4]Ci.Sans titrec.1 2 . 3412..........................................,: .3.iorti c:le iDri x uni toi re iQuonti té4·····..·····1········..····..··....·······....····1....·····......·······..···········..t....·..···....···..·..···....·... :::::::::~::::::::I~:~~:~:~~:~:::~::::::::~I::::~::::::::~::::::::~~~:~:~:I::~:::::::::~~::::~::::::::~: ..!manteau! 1350 ! 1ipantalon i 236 i 0 i.........................................................................................................................................;. .·....·..······..··1·····..·....·························!···························....······1..···..···....•..·....·•·....··......!.... ~.................................................................................................................. ! total. :. .~• Contrôlez le résultat affiché en calculant le prix total à la main. Ecrivez ci-dessousle résultat que vous trouvez.Dans la barre d'édition, vous pouvez voir la formule qui a pennis de calculer le prixtotal affiché.• Indiquez ici ce que calcule cette formule.• Indiquez quelle formule mettre dans la cellule active pour obtenir le résultat désiré.

88Annexe 2Aire et périmètre : Fiche élèver-a Fichier Edition Sélection Formot Options ColculL l':C ~Il=L(-21C*L(-llC(+1lSons titre2 3 4 5.._ _._..· ·_···..··0· i · · i _ _ .-_ __ .- . _ .··~. ~_···__..···_ ··1······· i E • ···········-t ····_······ ·i RË·C·T·A·I~(3L·E·S··t····..··········..·A·..····..........·f··...- ...._.-!! -_······..·_·41··.._····__···_-.-i _ _ _-_ ii __ _ _-ilongueur l 23 i 26.....................................••••••• 0 •••·0 _ ......................................................ilflrgeur ! 25 i 31~AIRE._ !!.iPER 1METRE i.......................................... ..·················· ·········..1·········· .=L(-21C*L(-11C(+ 11=( L(-21C+L(-31C)*21T([) Ces formules sont-ellescorrectes?Indiquer le calcul Qu'elles font.Répondez dans le cadre ci -dessous1nscrire dans ces cadresles formules pourl'aire et le périmètredu rectangl e B.

ACTIVITE... COMPARONS LES AIRESPhilibert CLAPPONIIREM de GrenobleLes aires 1 et 2 sont-elles égales?Quels arguments donnerais-tu pourconvaincre ?Les aires 1 et 2 sont-elles égales?Quels arguments donnerais-tu pourconvaincre ?Les aires hachurées sont-elles égales?Comment peux-tu être sûr(e) de tonrésultat?Les aires hachurées sont-elles égales?Comment peux-tu être sûr(e) de tonrésultat?«petit x» nO 29 pp. 89 à 91, 1991-1992

90Les aires hachurées sont-elles égales?Comment peux-tu être sÛf(e) de tonrésultat?Les aires hachurées sont-elles égales?Comment peux-tu être sÛf(e) de tonrésultat?Les aires hachurées sont-elles égales?Comment peux-tu être sÛf(e) de tonrésultat?

91Les aires hachurées sont-elles égales?Comment peux-tu être sÛf(e) de tonrésultat?Les aires hachurées sont-elles égales?Comment peux-tu être sûr(e) de tonrésultat?Les aires hachurées sont-elles égales?Comment peux-tu être sûr(e) de tonrésultat?

92LISTE DES AUTEURS AYANT PARTICIPE A CE NUMERODanielle BERGUEIREM de RouenB.P.2776130 MONT SAINT AIGNANBernard CAPPONIEquipe de didactique des mathématiqueset de l'infonnatiqueLSD-IMAGB.P. 53 X38041 GRENOBLE-CEDEXAlain MERCIERIREM d'Aix-Marseille70, route Léon Lachamp, case 90113288 MARSEILLE-CEDEXJacques TONNELLEIREM d'Aix-Marseille70, route Léon Lachamp, case 90113288 MARSEILLE-CEDEXLOUIS-JEANavenue d'Embrun, 05003 GAP cedexTél. : 92.53.17.00Dépôt légal: 242 - Mars 1992Imprimé en France