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申请上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究论文作者王亚军学号 0070349043指导教师陈文教授专业信号与信息处理答辩日期2 0 1 1 年 12 月

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A Dissertation Submitted to Shanghai Jiao Tong University for theDegree of DoctorOn Peak-to-Average-Power RatioReduction for OFDM SystemsYajun WangSupervisor:Prof. Wen ChenDepart of Electrical Engineering, School of Electronic,Information and Electrical EngineeringShanghai Jiao Tong UniversityShanghai, P.R.ChinaDecember, 2011

上海交通大学学位论文原创性声明本人郑重声明 : 所呈交的学位论文 , 是本人在导师的指导下 , 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外 , 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体 , 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者签名 :日期 : 年月日

上海交通大学学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定 , 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版 , 允许论文被查阅和借阅。本人授权上海交通大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索 , 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。保密 □, 在年解密后适用本授权书。本学位论文属于不保密 □。( 请在以上方框内打 “√”)学位论文作者签名 : 指导教师签名 :日期 : 年月日日期 : 年月日

减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究摘要正交频分复用 (OFDM) 由于其对多径衰落的内在稳定性和对窄带干扰的抑制 , 已被广泛应用于无线局域网 (WLAN) IEEE 802.11a、无线城域网 (WMAN)IEEE 802.16a、数字音频广播 (DAB)、数字视频广播 (DVB-T) 等领域。然而 ,OFDM 信号的一个主要缺点就是传输信号有高的峰均功率比 (PAPR)。近年来人们已经提出了许多解法。例如 , 切削、编码、选择性映射方法 (SLM)、部分传输序列 (PTS)、载波保护 (TR) 和载波注入 (TI) 方法等 , 但是这些方法各有优缺点。本文主要针对减少 OFDM 信号的 PAPR 关键技术进行了深入探讨 , 主要内容如下 :1. 为了克服基于 PTS 的 PAPR 减少方法的计算复杂度随子块数呈指数增长的缺陷 , 通过对原始的人工蜂群算法进行修正 , 使之可以被用来求解 PTS 基框架下的组合优化问题。接着我们也分析了修正的人工蜂群算法的复杂性。通过仿真 , 验证了修正的人工蜂群算法用于求解基于 PTS 的 PAPR 减少问题的可行性和高效性。通过把原始的 PTS 基框架下的组合优化问题转化为一个稀有事件的估计问题 , 我们利用参数化最小互熵算法高效地解决了这个估计问题。仿真结果验证了参数化最小互熵算法用来求解 PAPR 减少问题的有效性。2. 为了产生次峰值较低的峰值减少子载波 , 我们提出了两个新的几乎最优 PRT 集选择方法 - 基于遗传算法和粒子群算法的 PRT 集选择方法。与存在的 PRT 集选择方法相比 , 其复杂性更低。在此基础上 , 为了克服 TR 方法需要事先选择好切削阈值的问题 , 我们提出了一个自适应切削控制算法并详细分析了该算法的复杂性。仿真结果表明 , 提出的自适应算法可以获得好的 PAPR 减少 , 而且对初始切削阈值不敏感。3. 为了克服 TI 方法需要增加平均发射功率的缺陷 , 我们提出了基于六角形星座基的 PAPR 减少方法 , 并结合前面提出的参数化最小互熵算法来求解信号的最优表示。为了减少算法的复杂性 , 我们提出了自适应参数化最— i —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究小互熵算法来高效地求解 OFDM 信号的最优表示。仿真结果表明 , 在相同的的计算复杂度下 , 与存在的方法相比 , 这个参数化最小互熵算法和自适应参数化最小互熵算法算法都取得了更好的 PAPR 减少性能。4. 我们提出了一个新的连续时间 OFDM 信号的 PAPR 计算方法。该方法克服了已有方法中计算量大的缺点并提高了其计算效率。提出的计算方法只需要展开和化简 N − 1 个第一类契比雪夫多项式 , 并且不需要计算第一类契比雪夫多项式的导数。我们也利用了多项式系统的实根分离算法来计算瞬时包络功率函数的导数的根 , 这个实根分离算法可以高效地辨识多项式的实根。关键词 : 正交频分复用 , 选择性映射 , 部分传输序列 , 载波保护算法 , 载波注射算法 , 峰均功率比— ii —

On Peak-to-Average-Power Ratio Reduction for OFDMSystemsABSTRACTOrthogonal frequency division multiplexing (OFDM) has been used widelydue to its inherent robustness against multipath fading and resistance to narrowbandinterference. However, one of the major drawbacks of OFDM signals isthe high peak to average power ratio (PAPR) of the transmitted signal. Manysolutions have been proposed to reduce PAPR in recent years, such as clipping,coding, selected mapping (SLM), partial transmit sequence (PTS), tone reservation(TR) algorithm, tone injection (TI) algorithm etc. But each of these methodshas its own drawback. In the dissertation, we focus on some key technologies onreducing OFDM signal’s PAPR.1. In order to overcome the PTS-based OFDM systems drawback, i.e. thecomputational complexity of PAPR reduction increases exponentially withthe number of sub-blocks, we modify the original artificial bee colony algorithmto solve the combinatorial optimization problems. Then we analysethe complexity of the algorithm. Simulation results verify the feasibilityand high efficiency of the modified artificial bee colony algorithm. Bycasting the originally combinatorial optimization problems for PTS-basedOFDM systems into an associate rare-event probability estimation, we usethe parametric minimum cross entropy algorithm to efficiently solve theestimation. By simulation, the validity of the parametric minimum crossentropy algorithm is confirmed.2. Two schemes of finding nearly optimal PRT set which are based on geneticalgorithm and particle swarm optimization are proposed to generate thepeak reduction tone set with lower secondary peak. Compared to the existingalgorithms, the complexities of the two schemes are very lower. Onthe basis of two schemes, we propose an adaptive clipping control algorithm— iii —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究to determine the optimal target clipping level, and analyse the complexityof the algorithm in detail. Simulation results demonstrate that our schemecan obtain better PAPR reduction regardless of the initial clipping level.3. A method based on hexagonal constellation is proposed to reduce PAPRand to eliminate increments in average transmitted power for OFDM signals.The parametric minimum cross entropy algorithm is used to solve thesignal’s optimal expression. In order to reduce the complexity, we proposean adaptive parametric minimum cross entropy algorithm to solve the signal’soptimal expression. Compared to the existing algorithms, simulationresults show that the two algorithms can obtain better PAPR reduction.4. We propose a new method to compute the continuous time PAPR forOFDM signals. Compared to the existing methods, the method overcomesthe drawback with larger computational load and improves computationalefficiency. Our method only needs to expand and simplify N −1 Chebyshevpolynomials of the first kind, and avoids the computation of the derivativeof Chebyshev polynomials of the first kind. We also use the algorithm forpolynomial real roots isolation to efficiently find the real roots of polynomial.KEY WORDS: OFDM,SLM,PTS,TR,TI,PAPR— iv —

上海交通大学博士学位论文目录第四章基于 TI 的 PAPR 减少方法 714.1 基于 TI 的 PAPR 减少方法简介 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.2 六角形星座的设计 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.3 基于六角形星座的 PAPR 减少 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.4 基于参数化最小互熵算法的符号向量选取 . . . . . . . . . . . . . 774.5 自适应参数化最小互熵算法的符号向量选取 . . . . . . . . . . . . 784.6 仿真结果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.6.1 PMCE 符号选择算法仿真 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.6.2 自适应 PMCE 符号选择算法仿真 . . . . . . . . . . . . . . . 854.7 本章小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87第五章连续时间 OFDM 信号的 PAPR 计算 895.1 连续时间 OFDM 信号的瞬时包络功率函数 . . . . . . . . . . . . . 895.2 连续时间 OFDM 信号 PAPR 的计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.3 仿真结果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.4 本章小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95第六章总结与展望 976.1 本文的主要工作及创新点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.2 未来工作展望 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99参考文献 101致谢 115攻读学位期间发表的学术论文目录 117— vii —

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表格索引2.1 不同方法的计算复杂度和 PAPR 比较 . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1 不同方法的计算复杂性 , 次峰值和 CE 算法的次峰值的差的比较 . 523.2 当 γ = 5 dB 时 , 不同方法的平均功率增加 , 平均仿真时间和 PAPR 553.3 各种方法的计算复杂性 , 次峰值和 CE 算法的次峰值的差的比较 . 633.4 不同方法的平均功率增加 , 计算复杂性和 PAPR . . . . . . . . . . 664.1 带有不同阈值的 PMCE, CE 和 SLM 的平均采样数 . . . . . . . . . . 82— ix —

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插图索引1.1 OFDM 系统框图 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 SLM 原理图 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 利用变换矩阵 T r 替换 IFFT 计算的原理图 . . . . . . . . . . . . . . 111.4 PTS 原理图 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1 不同递推次数的 ABC-PTS 算法和其它方法的 PAPR 减少比较 . . . 242.2 不同种群大小的 ABC-PTS 算法和其它方法的 PAPR 减少比较 . . . 262.3 不同 Limit 的 ABC-PTS 算法和其它方法的 PAPR 减少比较 . . . . . 272.4 三种不同种群智能方法的最优代价函数值的均值的比较 . . . . . . 282.5 带有不同采样的不同子载波的平均 PAPR 比较 . . . . . . . . . . . 342.6 带有相同递推不同 ρ 的平均 PAPR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.7 带有相同递推和 ρ 的平均 PAPR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.8 不同方法的 PAPR 减少比较 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.1 对 M = 6 的交叉和突变运算示意图 . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.2 基于 Tellado 的梯度算法的不同 PRT 集的 PAPR 比较 . . . . . . . . 523.3 带有相同的 GA-PRT 集 , 不同方法的 PAPR 比较 . . . . . . . . . . 543.4 不同方法的 PAPR 减少与递推的关系 . . . . . . . . . . . . . . . . 553.5 不同的切削比时 ,AAC-TR 和 AS-TR 二种方法的 PAPR 减少比较 . 563.6 基于 Tellado 的梯度算法的不同 PRT 集的 PAPR 比较 . . . . . . . . 643.7 带有相同的 PSO-PRT 集 , 不同方法的 PAPR 比较 . . . . . . . . . 653.8 不同方法的 PAPR 减少与递推的关系 . . . . . . . . . . . . . . . . 673.9 对 AAC-TR 和 AS-TR 两种算法 , 不同 PRT 集大小的乘法计算次数 683.10 不同的切削比时 , 改进的 AAC-TR 和 AS-TR 方法的 PAPR 减少比较 694.1 16-QAM 星座和其扩展示意图 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.2 4-QAM 星座和 7 点六角星座图 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73— xi —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究4.3 19 点六角星座图 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.4 91 点六角星座图 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.5 对不同的子载波平均 PAPR 和采样数的关系 . . . . . . . . . . . . 814.6 不同方法的 PAPR 减少比较 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.7 带有相同复杂度的不同方法的 PAPR 减少比较 . . . . . . . . . . . 834.8 带有相同复杂度和不同采样数的 PMCE 和 CE 算法的 PAPR 减少比较 844.9 带有相同复杂度的三种方法的平均 PAPR 比较 . . . . . . . . . . . 864.10 带有相同复杂度的三种方法的 PAPR 比较 . . . . . . . . . . . . . . 875.1 32 个子载波 ,QPSK 调制的 PAPR 分布 . . . . . . . . . . . . . . . 935.2 连续时间 PAPR 和两个上界的比较 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94— xii —

缩略语表OFDM 正交频分复用 (Orthogonal Frequency Division Multiplexing)SLM 选择性映射 (Selected Mapping )PTS 部分传输序列 (Partial Transmit Sequence)TR 载波保护 (Tone Reservation)TI 载波注入 (Tone Injection)ABC 人工蜂群 (Artificial Bee Colony)PMCE 参数化最小互熵 (Parametric Minimum Cross Entropy)GA 遗传算法 (Genetic Algorithm)PSO 粒子群优化 (Particle Swarm Optimization)CE 互熵 / 交叉熵 (Cross Entropy)PRT 峰值减少载波 (Peak Reduction Tone)PAPR 峰均功率比 (Peak to Average Power Ratio)FFT 快速傅立叶变换 (Fast Fourier Transform)IFFT 逆快速傅立叶变换 (Inverse Fast Fourier Transform)AAC 自适应幅度切削 (Adaptive Amplitude Clipping)PDF 概率密度函数 (Probability Density Function)BER 误比特率 (Bit Error Ratio)CDMA 码分多址 (Code-Division Multiple Access)TDMA 时分多址 (Time Division Multiple Access)ISI 符号间干扰 (Intersymbol Interference)DAB 数字音频广播 (Digital Audio Broadcasting)WLAN 无线局域网 (Wireless Local Area Network)ICI 信道间干扰 (Inter-Channel Interference)AS 自适应缩放 (Adaptive-Scaling)FEQ 频域均衡 (Frequency Domain Equalization)FEC 前向纠错 (Forward Error Correction)HPA 高功率放大器 (High Power Amplifier)— xiii —

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第一章绪论1.1 选题意义与背景近年来 , 由于数字信号处理 (DSP) 技术和计算机技术的飞速发展 , 在有线或无线信道上进行快速和可靠地传输多媒体信息的需求显著增加。而高速通信系统不仅需要高效地利用有限的带宽来保持高速的信息传输速率 , 而且为了获得较低的误比特率 (BER), 还必须能对抗相干信道干扰、脉冲噪声、频率选择性衰落等不良因素的影响。对于高速数据业务来说 , 传统的单载波时分多址 (TDMA,Time Division Multiple Access) 系统和窄带码分多址 (CDMA,Code-Division Multiple Access) 系统都存在很大的缺陷。由于无线信道存在时延扩展 , 而且高速信息流的符号宽度又相对较短 , 所以符号之间会存在较严重的符号间干扰 (ISI,Intersymbol Interference), 由此对单载波 TDMA 系统使用的均衡器提出了非常高的要求 , 即抽头数量要足够大 , 训练符号要足够长 , 从而均衡器算法的复杂度也会大大增加。对于 CDMA 系统来说 , 其主要问题是扩频增益与高速数据流之间的矛盾。在保证相同带宽的前提下 , 高速数据流所使用的扩频增益就不能太高 , 这就大大限制了 CDMA 系统抵抗噪声的优点 , 从而使得系统的软容量受到一定的影响。如果保持原来的扩频增益 , 则必须要相应地提高带宽。正交频分复用 (OFDM,Orthogonal Frequency Division Multiplexing) 技术是第四代无线通信的核心技术 [1–6]。尽管其提出已有 40 多年的历史 [1,3], 但是这种多载波传输技术在双向无线数据方面的应用却是近 10 年来的新趋势 [7–9]。OFDM 作为一种可以有效对抗符号间干扰 (ISI,Intersymbol Interference) 的高速传输技术 , 引起了广泛的关注 [7–9]。OFDM 在 1966 年由贝尔实验室申请美国专利 [1]。其基本思想是把高速的数据流通过串并变换 , 分配到速率相对较低的若干个频率子信道中进行传输 [2]。OFDM 的特点是各子载波相互正交 , 所以扩频调制后的频谱可以相互重叠 , 从而大大提高了频谱利用率 [3]。同时 OFDM 技术也能很好地对抗频率选择性衰落和窄带干扰 ,并能完全利用可获得的带宽 [5, 6]。但对较大数量的子载波系统而言 , 由于并行系统需要多个信号发生器和相干解调器 , 而使用模拟滤波器实现的系统复杂度较高 , 这使得 OFDM 这种技术变得相当复杂和难以实现。直到 1971 年 ,Weinstein 和 Ebert [4] 将 DFT/IDFT 应用到 OFDM 系统的复用、调制— 1 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究和解调中 , 为 OFDM 的实用化奠定了理论基础 , 从而很方便地实现了多路信号的复合和分解 , 大大简化了系统实现的复杂度。OFDM 技术已经成功地应用于非对称数字用户环路 (ADSL,Asymmetric Digital Subscriber Line), 无线本地环路 (WLL,Wireless Local Loop), 数字音频广播 (DAB,Digital AudioBroadcasting), 高清晰度电视 (HDTV,High-definition Television), 无线局域网 (WLAN,Wireless Local Area Network) 等系统中 , 它可以有效地消除信号多径传播所造成的 ISI 现象 , 因此在移动通信中的运用是大势所趋。1995 年 , 欧洲电信标准协会 (ETSI) 第一个制定了基于 OFDM 的 DAB 标准 , 接着在 1997 年 ,基于 OFDM 的 DVB 标准也开始采用。1998 年 ,IEEE802.11 标准组采用 OFDM 作为 WLAN( 工作于 5GHz 频段 ) 的物理层标准 , 这是 OFDM 第一次被应用于分组业务通信系统中。此后 ,ETSI, BRAN 和 MMAC 也纷纷采用 OFDM 作为其物理层标准。与传统的单载波系统和 CDMA 系统相比 ,OFDM 技术有以下优点 [1–6]:1) 把高速率数据流通过串并转换 , 使得每个子载波上的数据符号持续长度相对增加 , 从而有效地减少由于无线信道的时间弥散所带来的 ISI 和信道间干扰 (ICI,Inter-Channel Interference), 减少了接收机内均衡的复杂度。而通过插入循环前缀的方法来消除 ISI 和 ICI 的不利影响 , 使得 OFDM 的信道均衡比单载波系统的自适应均衡技术更简单。2) 由于 OFDM 系统的各个子载波间相互正交 , 并允许子信道的频谱相互重叠 , 因此与常规的频分复用系统相比 ,OFDM 系统可以最大限度地利用频谱资源。3) 各个子信道的正交调制和解调可以通过离散 Fourier 变换 (DFT) 和反变换 (IDFT) 来实现。当子载波数较大时 , 可以用 FFT 和 IFFT 实现 , 从而大大减少了 OFDM 的硬件复杂性。4) 通过把信道分成多个窄带平滑的衰落子信道 ,OFDM 系统比单载波系统可以很好地对抗频率选择性衰落和窄带干扰。5)OFDM 系统比单载波系统对采样时间偏移更不敏感。6)OFDM 系统比单载波系统对抗相干信道干扰和脉冲噪声更为稳健。由于 OFDM 系统存在多个正交的子载波 , 而且其输出信号是多个子信道的叠加 , 因此与单载波系统相比 , 存在以下缺点 [5–7]:1) 易受频率偏差的影响。OFDM 系统比单载波系统对频率偏差更为敏感。由于 OFDM 系统的子信道的频谱相互重叠 , 频率偏差使得子载波间的正交性— 2 —

上海交通大学博士学位论文第一章绪论受到破坏 , 由此产生的 ICI 会严重降低解调器的性能。特别是对高阶调制 , 比如 DVB 系统中使用的调制方式 , 载波频率的一个小的偏差都会对系统性能产生重要的影响。这种对载波频率偏移的敏感性是 OFDM 系统的主要缺点之一 , 从而使得 OFDM 系统的同步技术也比单载波系统复杂得多。2) 存在较高的峰值平均功率比。多载波系统的输出是多个子信道信号的叠加 , 因此当多个信号的相位一致时 , 所得到的叠加信号的瞬时功率远远高于信号的平均功率 , 导致较大的峰值平均功率比 (PAPR,Peak-to-Average PowerRatio)。由于所有的实际通信系统都是功率受限的 , 高的 PAPR 通常需要带有较大反馈的功率放大器。这就增加了模数转换器和数模转换器的复杂性 , 同时对发射机内放大器的线性也提出了很高的要求 , 由此可能导致信号畸变 , 使信号的频谱发生变化 , 从而导致各个子信道间的正交性受到破坏 , 产生干扰 , 使系统的性能恶化。1.2 OFDM 系统和 PAPR 的定义1.2.1 OFDM 信号一个 OFDM 符号由 N 个频率间隔为 ∆f 的子载波组成。整个系统的带宽 B被分成 N 个等距的子信道。在一个符号持续时间长度 T = 1∆f内 , 所有的子载波都是相互正交的。令 X m = [X m,0 , X m,1 , ..., X m,N−1 ] 表示第 m 个 OFDM 块。其中 X m,n ∈ Q, n = 0, 1, ..., N −1, 而 Q 表示信号星座。每个 X m,n 携带 q = log 2 M 比特的数据。典型的 M 取值为 M = 2, 4, 8 等。因此每个 OFDM 符号携带 Nlog 2 q 比特的数据。每个子载波可以独立地用复值调制符号 X m,n 进行调制。因此 , 在符号持续时间 T 内 , 第 m 个 OFDM 块的符号可以表示为 :x m (t) = √ 1N−1∑X m,n exp(j2πn∆ft)g n (t − mT ), (1.1)Nn=0其中 ,g n (t) 是一个矩形脉冲。由所有 OFDM 块组成的总的连续时间信号为 :x(t) = 1 √N∞∑N−1∑m=0 n=0X m,n exp(j2πn∆ft)g n (t − mT ), (1.2)因为不同的 OFDM 信号互不重叠 , 不失一般性 , 我们只考虑一个 OFDM 信号 ( 对应上式的 m = 0)。因此上式可重写为 :x(t) = √ 1N−1∑X n e j2πn∆ft , 0 ≤ t ≤ T (1.3)Nn=0— 3 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究InputBitstreamFECEncoder...DigitalModulation...IFFT...Add GuardInterval...S/P P/S D/AUp ConvertorChannelOutputBitstreamFECEncoder...P/S...DigitalDemodulation...FEQ...FFT...Remove GuardInterval...S/PA/DDownConvertor图 1.1 OFDM 系统框图Fig.1.1 The block diagram of the OFDM system.然而 , 由于大多数 OFDM 系统采用离散时间信号 , 上式在离散时间域计算更为方便。对信号 x(t) 以采样率 f s = JN/T 进行采样 , 其中 ,J 是过采样因子 , 那么 OFDM 信号的离散时间表示为 :x k = √ 1JN−1∑X n e j2πnkJN , k = 0, 1, · · · , JN − 1, (1.4)Nn=0当 J = 1 时 , 上式退化为以 Nyquist 采样率采样的情形。当 J > 1 时 , 上式可以利用一个 JN 点 IFFT 实现 , 其输入为 :X ext = [X 0 , ..., X N/2−1 , 0, ..., 0, X} {{ } N/2 , ..., X N−1 ]. (1.5)(J−1)N即 X ext 是通过在 X 的中间插入 JN − 1 个零来获得的 , 这称之为插零方法。在有的文献中 , 利用了称之为补零方法来得到 X ext , 即X ext = [X 0 , ..., X N/2−1 , X N/2 , ..., X N−1 0, ..., 0]. (1.6)} {{ }(J−1)N两种方法得到的峰均功率比 (PAPR) 没有差别 , 只是载波频率 f c 的位置有所不同。当利用插零方法时 , 载波频率 f c 在频谱的中间位置 ; 当利用补零方法时 ,载波频率 f c 在频谱的左端位置。1.2.2 OFDM 信号的调制和解调图 1.1 是 OFDM 系统的收发框图。发射端首先通过一个前向纠错 (FEC,Forward Error Correction) 编码器对输入比特流进行编码 , 接着这个编码的串行比特流通过串 / 并转换器变为 N 个并行的比特流。这些并行的比特流然后— 4 —

上海交通大学博士学位论文第一章绪论被转换到复值数据符号 X k 。一个 IFFT 运算用来调制频域 OFDM 符号到离散时域 OFDM 信号 , 使得每个 OFDM 块的数据符号被调制到不同的子载波上。在添加了循环前缀后 , 通过并 / 串转换 , 这个离散时间 OFDM 信号被转换成串行信号。利用数 / 模转换器 , 离散时间信号被转换到连续时间信号。最后这个连续时间信号通过高功率放大器 (HPA, High Power Amplifier) 和上变频后 , 通过无线信道被发射。在接收端 , 接收的模拟带通信号首先下变频到模拟基带信号。在模 / 数转换后 , 数字信号转换成并行数据符号 , 循环前缀被去除。通过 FFT 运算 , 数据符号被解调和频域均衡 (FEQ, Frequency Domain Equalization)。接着这个频域均衡后的输出信号通过数字解调和并 / 串转换后变为串行的比特流。在 FEC 解码后 , 发射端的输入的数据比特流被恢复。1.2.3 峰均功率比在 OFDM 系统中 , 因为发射信号是许多调制信号的和 , 当每个子载波上的符号同相时 , 发射信号的峰值功率会比其平均功率高许多。这就要求发射端的 HPA 必须有很大的线性工作区域 , 导致 HPA 的效率是很低的。此外 ,由 HPA 的非线性引起的失真也导致了带内失真和带外散射 , 而带内失真会恶化系统的 BER, 带外散射也会引起邻近频带的干扰。发射信号的峰均功率比 (PAPR,Peak-to-Average-Power Ratio) 定义为其峰值功率与平均功率的比 :PAPR xbp (t) =max |x bp(t)| 20≤t≤T, (1.7)E[|x bp (t)| 2 ]其中 ,E· 表示 (·) 的均值。x bp (t) 是 OFDM 信号的带通信号表示。x bp (t) = R{x(t)e j2πfct }, (1.8)另一方面 ,PAPR 也可以用基带等价信号 x(t) 来度量。因为max |x bp(t)| = max |x(t)|, (1.9)0≤t≤T 0≤t≤T和所以我们有 :E|x bp (t)| 2 ≈ 1 2 E|x(t)|2 , (1.10)PAPR xbp (t) ≈ 2PAPR x(t) , (1.11)— 5 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究方程 (1.7) 式称之为连续时间信号的 PAPR。而在实际中 , 处理离散时间信号更为方便 , 通常利用方程 (1.4) 来计算离散时间信号的 PAPR。PAPR(x) =max |x n| 20≤n ξ] = 1 − Pc, (1.14)表示 PAPR 超过阈值 ξ 的概率是 1 − Pc。1.3 减少 PAPR 的方法作为 OFDM 系统的主要问题之一的高峰值平均功率比问题一直是学术和工业界的研究重点。迄今为止 , 人们已经提出了很多的解决办法 , 这些方法大致分为三大类 :(1) 限幅类技术 , 如幅度切削和滤波 , 峰值加窗技术和峰值抵消技术 [10–19]。(2) 编码类技术 , 如块编码 , Golay 互补序列和 Reed-Muller 码 [20–31]。(3) 概率类技术。如选择性映射 (SLM,Selected Mapping) [32–48], 部分传输序列 (PTS,Partial Transmit Sequence) [32, 35, 49–59, 61], 子载波保留方法 (TR,Tone Reservation) [60,62–71], 子载波注入方法 (TI,Tone Injection) [60] 和活动星座扩展方法 (ACE,Active Constellation Expansion) [72–77] 等方法 , 但是这些方法都存在着各种各样的缺点。在业界 , 往往采用最简单的限幅滤波类技术来降低 PAPR, 这种方法虽然简单 , 但是它降低了系统的误比特率 , 同时引入了带外噪声和带内失真。编码类技术是另一个著名的 PAPR 减少方法 , 它获得了最好的 PAPR 减少 , 但是它的解码复杂度太高 , 码率太低 , 因此这种技术只适用于子载波数较小的情形 (N ≤ 32)。概率类技术不着眼于降低信号幅度的最— 6 —

上海交通大学博士学位论文第一章绪论大值 , 而是降低峰值出现的概率。以 SLM,PTS,TR 和 TI 为代表。SLM 技术需要多个 IFFT 运算 , 因此该方法的复杂度较高。PTS 技术为了获得最优的相位旋转因子 , 搜索的复杂度随 OFDM 子块数呈指数增长。而且这两种方法都需要发送边信息。TR 技术的最优峰值减少子载波的选取和最优切削阈值的选取是非常困难的。TI 技术需要修正或扩展信号的调制星座 , 使得同一个数据对应星座上的多个点 , 但选取最优的信号星座表示也是非常困难的。1.3.1 切削和滤波类技术在 OFDM 信号中 , 由于较大峰值出现的概率非常小 , 因此切削和滤波是一种最为简单的降低 PAPR 的技术。这种技术首先对信号进行 JN 点的 IFFT 变换 , 然后把变换后的时域信号利用一个软限幅器作用于输入信号来获得切削噪声。对限幅后的信号通过 FFT 得到切削噪声对应的频域信号 , 通过将带外信号置零 , 再用 IFFT 得到滤波的信号。这种技术的目的在于满足频谱限制的要求 ,使得 OFDM 信号不会对邻近频带的信号产生干扰。然而带内失真不能通过滤波操作消除 , 这会增加系统的 BER。尽管系统的 BER 的增加可以被限制在一个预先指定的范围内 , 但却以 PAPR 的增加为代价。另一方面 , 消除带外散射既可以通过在时域利用低通滤波来完成 , 也可以在频域利用一个 FFT/IFFT 对来实现。而利用频域滤波比利用时域滤波需要更少的执行时间。但是滤波的缺陷就是会导致信号的峰值再生 , 即信号的峰值会比切削阈值高 , 但比原始信号的峰值低。尽管信号的峰值再生可以通过重复的切削和滤波来消除 , 但这种方法的收敛速度是很慢的。在 [78, 79] 中 , 给出了这种技术的改进方法。这种方法首先对输入信号通过在中间补零的方法对信号进行 JN 点 IFFT 运算 , 接着对 IFFT 输出信号进行切削 , 然后对切削后的信号进行 JN 点 FFT 运算 , 通过优化的滤波器 H 滤除带外噪声。这种方法虽然取得了更好的性能 , 也继承了原始的递推切削滤波方法的优点 , 但它需要解一个凸优化问题。这个凸优化问题的解的复杂度的阶为 O(N 3 )。因此与原始的递推限幅滤波方法相比 , 它的复杂度更高。实际上 ,这种方法是用复杂度更高的算法来换取更好的 PAPR 减少性能。因此 , 在实际设计中 , 这种方法很难应用。类似的方法还有峰值加窗技术 , 即对切削信号乘以一个窗函数来抑制带外噪声。比较常用的窗函数有高斯 (Gaussian) 窗函数、余弦窗函数、Kaiser 窗函数和 Hamming 窗函数。由于切削后的 OFDM 信号的频谱为切削前信号的频谱和窗函数频谱的卷积 , 这导致了信号带宽的增加。— 7 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究1.3.2 编码类技术编码类技术 [20–31] 限制可用于传输的信号码字集合 , 只有那些具有较低 PAPR 的码字才能被选择用于发射 , 从而完全避免了信号峰值。这类技术为线性过程 , 因此不会出现限幅类技术那种限幅噪声。互补 Golay 序列 [24, 25] 可以用来构造降低信号 PAPR 值的传输码集。选择互补 Golay 序列有两个方面的优点。一是采用这种技术可以将信号的 PAPR 值限制在 3dB 内 , 而与输入的数据以及子载波的数目无关。二是这种码具有纠错能力 , 可以进一步改善系统的性能。设序列 x = (x 0 , x 1 , ..., x N−1 ) 和 y = (y 0 , y 1 , ..., y N−1 ) 为一对长为 N 的序列 , 定义自相关函数为 :若满足条件 :C x (i) =C x (i) + C y (i) =N−1∑n=0x k x k+i , (1.15){2N, i = 0,0, i ≠ 0,(1.16)则称序列 x 和 y 为互补 Golay 序列对 ,x 和 y 分别为一互补 Golay 序列。对上式两边进行 Fourier 变换 , 则上式变为|X(f)| 2 + |Y (f)| 2 = 2N, (1.17)其中 ,|X(f)| 2 为 x 的功率谱 , 等于其自相关函数的 Fourier 变换 , 即有 :X(f) =N−1∑n=0x k e −j2πkfT , (1.18)其中 ,T 为序列 x 的采样间隔。由频谱条件可知 , 其功率谱的上界为 2N, 即有 :|X(f)| 2 ≤ 2N, (1.19)假设序列 x 的功率为 1, 则方程 (1.18) 中的平均功率为 N。因此信号的 PAPR 有 :PAPR ≤ 2N N= 2 = 3dB, (1.20)利用这种 Golay 互补序列作为输入产生的 OFDM 信号 , 其 PAPR 的值不会超过 3dB。Davis 和 Jedwab 发现了互补 Golay 序列与二进制 Reed-Muller 码 (RM 码 ) 和非二进制 Reed-Muller 码 (ZRM 码 ) 有两个非常重要的关系 [17, 18], 为利用编码方法来减少 OFDM 信号的 PAPR 做出了卓越的贡献。— 8 —

上海交通大学博士学位论文第一章绪论1) 对符号 1, 2, · · · , m 的任意置换 π(1), π(2), · · · , π(m) 和任意 c, c k ∈ Z 2 h,在 Z 2 h 中的长度为 2 m 的任何 Golay 互补序列都可以表示为如下形式 :2 h−1 m−1∑x π(k) x π(k+1) +k=1m∑c k x k + c, (1.21)2) 在 ZRM 2 h(2, m) 中包含 m!/2 个 RM 2 h(1, m) 的陪集 , 每个陪集都具有下面的形式 :2 h−1 m−1k=1∑x π(k) x π(k+1) , (1.22)并且每个陪集都由 2 h(m+1) 个在 Z 2 h 中的长度为 2 m 的 Golay 序列构成。k=1根据这两个重要结论 , 就可以很容易地设计编码算法将输入序列映射到互补 Golay 序列上 , 使得信号的 PAPR 值降低到 3dB 内 , 并且具有同 Reed-Muller 码相同的纠错能力 [17, 18]。用这种方法进行编码 , 则输入为 h(m + 1) +⌊log 2 (m!/2)⌋ 比特 , 输出为 2 m h 比特 , 相应的码率为 :R = h(m + 1) + ⌊log 2(m!/2)⌋, (1.23)2 m h然而这种互补 Golay 序列仅适用于相位调制技术 , 即 MPSK 调制 , 而不适用于 MQAM 调制。同时纠错能力主要取决于编码长度 , 这是由于编码长度越长 ,冗余的信息就越多 , 则其汉明距离也越大 , 纠错能力也就越强。但是随着编码长度的增加 , 其编码速率随着编码长度的增加而呈指数下降。因此从编码速率的观点来看 , 这种方法只适用于 m 比较小的情况 (m ≤ 5)。在 Davis 和 Jedwab 研究的基础上 ,Paterson [26,27] 对大小为 2 (k+1) 的 Golay 互补序列给出了一个统一的构造理论。其主要结论就是对 Golay 互补序列集中的每个序列 , 其 PAPR 至多是 2 (k+1) 。近来 ,Fiedler,Jedwab 和 Parker [26,27] 利用矩阵结构和布尔函数给出了构造长度为 2 m 的所有已知的 Golay 互补序列的一个统一的框架。紧接着 , [28] 将只适用于 MPSK 调制的互补序列推广到适用于 MQAM 调制的 OFDM 信号。尽管如此 , 这些工作并没有解决这类方法的固有缺陷 : 即码率太低 , 编码和解码都比较复杂的问题。于是人们开始着眼于放松 PAPR 的上界 , 以求能构造更多的互补序列。这样便有了近似互补序列的推广 , 其主要思想就是允许信号的 PAPR 值比 3dB 大一个有限值。最早给出近似互补序列的构造是 Parker 和 Tellambura [78]。他们利用推广的 Rudin-Shapiro 多项式 [79, 80] 到一对带有 PAPR 不超过 v 的初始种子序列中 , 然后构造了长度更大的带有 PAPR 不超过 v 的近似互补序列。他们也给出了设计带有低 PAPR 的— 9 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究互补序列集的构造方法 [81]。基于他们的研究结果 ,Schmidt [82, 83] 利用确定的布尔函数的表达式给出了长度为 2 m 的近似互补序列的一个构造框架。紧接着 , 他又推广了互补集 , 广义 Reed-Muller 码 , 并且把它们用于减少 OFDM 信号的 PAPR。本质上来说 , 近似互补序列的引入就是以增加 PAPR 的上界为代价 ,来构造比 Golay 互补序列更多的带有低 PAPR 值的序列。关于这方面的最新研究成果参见文献 [48]。在这篇文章中 , 提出了近似互补序列的一个新的构造方法。它是基于确定的布尔函数表达式和一个等价的矩阵结构。利用 Golay 互补序列的辅助 , 这个构造方法把一个种子对变换到近似互补序列 , 同时这个近似互补序列的 PAPR < 4。在这个新的构造中 , 他们发现了新的近似互补序列 , 其长度分别为 24,28,30,34,36,48,56,60,62,66,68,72 和 96。而在之前的文献中 , 并没有这些长度的 Golay 互补序列被发现。这些发现可能会对编码方法用于 OFDM 信号的 PAPR 减少进一步起到一个有益的推动作用。1.3.3 概率类技术这类技术不着眼于降低信号幅度的最大值 , 而是降低峰值出现的概率。这类技术包括选择性映射 SLM (Selected Mapping) [32–48], 部分传输序列 PTS (Partial Transmit Sequence) [32,35,49–59,61], 子载波保留方法 TR(ToneReservation) [60, 62–71], 子载波注入 TI(Tone Injection) [60] 和活动星座扩展方法 ACE (Active Constellation Expansion) [72–77] 等方法。其中以 SLM,PTS,TR 和 TI 最为人们所关注。1.3.3.1 SLM 技术SLM 方法 [32–41] 的基本思想是用 M 个统计独立的向量 P k 与原始信号 X 相乘 , 得到和原始信号具有相同信息的信号 Y k , 然后对每个相乘后的信号 Y k 分别作 IFFT, 得到对应的时域信号 y k , 从中选择具有最小 P AP R 的一路信号 y d 进行传输。图 1.2 显示了 SLM 方法的原理框图。其原理可用如下数学公式表示。假设存在 M 个不同的、长度均为 N 的随机相位序列矢量 P k = (P0 k , P1 k , ..., PN−1 k ), k = 1, 2, ..., M。其中 Pik = exp (jϕ k i ), ϕ k i 是在 [0, 2π] 上均匀分布的随机变量 , 利用这 M 个相位矢量分别与 IFFT 的输入序列 X 进行点乘 , 则可以得到 M 个不同的输出序列 Y k , 即Y k = (Y k0 , Y k1 , ..., Y k N−1) = X • P k = (X 0 P k 0 , X 1 P k 1 , ..., X N−1 P k N−1), (1.24)其中 ,• 表示点乘。然后对所得到的 M 个序列分别进行 IFFT 计算 , 相应得到 M 个不同的输出序列 y k = (y k 0, y k 1, ..., y k N−1 ), 最后从这 M 个不同的时域信号序— 10 —

上海交通大学博士学位论文第一章绪论IFFTX1P2P...Y 1Y 2IFFTy 1y 2PAPRy dIFFTMPY My M图 1.2 SLM 原理图Fig.1.2 SLM elementary diagram.列中选择 PAPR 性能最好的用于传输。采用 SLM 方法后 ,PAPR 超过给定门限值的概率会大大降低。如果峰均比的门限值为 γ, 则原始 OFDM 信号的 PAPR 超过这个门限的概率为 P(PAPR > γ)。因此这 M 路相互独立的信号的 PAPR 超过门限值 γ 的概率就会变为 :P M (γ) = (1 − (1 − e −γ ) N ) M , (1.25)从实际系统的设计考虑 , 相位因子 P ki 从集合 {1, −1, j, −j} 中选取是非常有益S XIFFTsS XIFFTssSr R XrIFFTs r T rs r图 1.3 利用变换矩阵 T r 替换 IFFT 计算的原理图Fig.1.3 Idea of conversion with T r for IFFT computation.的。这是因为这种因子的执行并不需要乘法运算 , 可以极大地降低实际系统的复杂度。SLM 方法虽然可以减少信号的 PAPR 值 , 但是要同时进行 M 个 IFFT 运算 , 当 M 值很大时 , 系统的复杂度很高。同时在接收端 , 为了正确解码 , 在发射端还必须发送边信息以使接收机正确解码。— 11 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究X 1IFFTXX 2...IFFTb 1b 2...+xX MIFFTb M图 1.4 PTS 原理图Fig.1.4 PTS elementary diagram.针对这种方法的不足 , 人们提出了很多的改进办法 [42–48]。典型的是文献 [46] 中的方法 , 图 1.3 给出了这种方法的原理图。这种方法并不需要执行 M 个 IFFT 运算来产生候选的 OFDM 信号 , 而是只执行一次 IFFT 运算来产生原始的 OFDM 时域信号 s, 其它的候选信号 s r 通过一个变换矩阵 T r 作用于原始的 OFDM 时域信号 s, 从而产生 M − 1 个候选信号。与原始的 SLM 方法相比 , 这种方法只需要一个 IFFT 运算和 3LN 次复数加法运算 , 就可以产生所有的 OFDM 信号 , 因此 , 其复杂性大大降低。但是变换矩阵 T r 需要精心设计。典型地变换矩阵 T r 需要进行运算量很大的搜索 , 才能得到符合要求的变换矩阵。在关于 SLM 方法的文献中也有很多的其它方法 [42–45, 47, 48], 其目的都是专注于减少 SLM 的复杂性。这些改进的方法要么只考虑降低系统的复杂度 , 即用更少的 IFFT 运算来产生候选信号 , 要么不发送边信息。如何考虑这两个方面的因素来改进 SLM 方法 , 并没有人进行研究。1.3.3.2 PTS 技术PTS 方法 [32,35,49–59,61] 也是基于 SLM 相同的原理 , 但是相位因子具有不同的结构。图 1.4 给出了 PTS 的基本实现框图。PTS 方法首先将输入的数据向∑量 X 划分成 M 个互不重叠的子向量 X m , m = 1, 2, . . . M, 使得 X = M X m 。其分割方法有多种 , 典型的有以下三种 ,1) 相邻分割 ,2) 交织分割 ,3) 随机分割。其中每个分组中所包含的子载波数量是相同的 , 然后将这 M 个子向量按— 12 —m=1

上海交通大学博士学位论文第一章绪论如下方式组合起来 :X ′ =M∑b k X k , (1.26)k=1其中 ,b k , k = 1, 2, ,, M 是加权系数 , 并且满足 b k = e jϕ k及 ϕ k ∈ [0, 2π), 这被称为相位加权因子。对上式两边进行 IDFT 变换 , 得到 x ′= IFDT{X ′ }。根据 IDFT 变换的线性 , 可以利用 M 个单独的 IDFT 变换 , 对各个分组进行计算 ,得到 :x ′ =M∑b k IDFT{X k } =k=1M∑b k x k , (1.27)通过适当地选择相位加权因子 b k , k = 1, 2, ,, M, 使得时域信号 x ′ 的 PAPR 达到最小。因此使 OFDM 信号的 PAPR 最小的相位加权因子应该满足 :k=1b = b 1 , b 2 , ..., b M = arg min( max | ∑ Mb 1≤k≤Mk=1b k x k | 2 ), (1.28)一般而言 , 为了减小搜寻的复杂度 , 相位因子都是取自一个含有有限个元素的集合 P = {e j2πl/W |l = 0, 1, . . . , W − 1}。其中 W 是允许选取的相位因子数。不失一般性 , 我们可以固定一个相位因子 , 这对 PAPR 减少不会有任何性能损失。而其它的相位加权因子都是从余下的 W − 1 个元素中选取。这样 , 为了发现最优的相位加权因子 , 总共有 W (M−1) 种不同的组合需要搜寻 , 其搜索复杂度随着子块数 M 呈指数增长。由于总共只需要 M 个 IFFT 操作。而每个 IFFT 操作只有 N/M 个非零数据 , 根据这个特点 , 其运算可以极大地简化。而在实际设计中 , 相位加权因子从集合 {1, −1} 或 {1, −1, j, −j} 中选取是非常有益的 , 这样可以极大地减少实际系统的硬件复杂性。1.3.3.3 TR 技术TR 方法 [60] 是由 Tellado 提出的一种无失真的 PAPR 减少方法 , 这种方法利用一部分称之为峰值减少的子载波 (PRT,Peak Reduction Tones) 来产生峰值减少的信号 , 而这部分峰值减少的子载波不携带任何数据信息。这个峰值减少的信号加到原始的 OFDM 信号上 , 产生一个新的信号 , 而这个新的信号的 PAPR 比原始的 OFDM 信号的 PAPR 值小。TR 方法分为两类 :1) 一类是 TR 切削基技术 ,2) 一类是 TR 类梯度基技术。TR 方法的 PAPR 减少性能主要由最优的 PRT 集和最优的切削阈值来决定的。1) 怎样确定最优的 PRT 集是一个 NP-hard 问题。在有关的文献中 [62–71] 都— 13 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究是随机选取 PRT 集、或取等距 PRT 集、或取连续 PRT 集。2) 怎样确定最优的切削阈值 , 以前的文献都是基于仿真实验预先确定这个阈值 , 然后再将这个阈值用于所有的 OFDM 符号。设原始的 OFDM 频域数据信号为 X = (X 0 , X 1 , ,, X N−1 ), 峰值取消频域信号为 C = (C 0 , C 1 , ,, C N−1 ), 那么峰值减少的 OFDM 时域信号可以表示为 :a = x + c = Q(X + C), (1.29)为了避免信号失真 , 数据信号 X 和峰值取消信号 C 应该位于互不相交的集合上。为了减少 OFDM 信号的 PAPR, 我们必须优化 c, 使得这个峰值减少的 OFDM 信号 a 的幅度被最小化 , 即 : 为了求得上式的最优解 , 我们需要解下面的二次约束二次规划问题 :mincE,subject to E ≥ 0,|x n + c n | 2 ≤ E,(1.30)尽管这个二次约束二次规划的最优解是存在的 , 但是这个最优解的求解的复杂度太高。因此 Tellado 提出了一个梯度下降算法来求解这个问题 [60]。由 Tellado 提出的梯度算法虽然简单 , 但是其收敛速度较慢 , 而且算法每迭代一次只能抵消一个 OFDM 信号的峰值 , 并且还可能导致峰值再生。对此 , 文献 [62] 给出了一种更好的计算方法 , 这种方法称之为自适应缩放 TR 算法 , 其算法和复杂度为 O(LN log 2 (LN))。这种方法主要是利用一对 IFFT/FFT 运算 ,每次能抵消多个 OFDM 信号的峰值 , 从而其收敛速度是很快的。但是这种方法的 PRT 位置是随机选取的 , 切削阈值也是事先通过仿真来确定的。因此 , 这种方法仍然没有解决 TR 类方法的核心问题 , 即怎样确定最优的 PRT 位置和怎样来自适应地确定最优切削阈值的大小。尽管 TI 方法 [60]、ACE 方法 [72–77] 也属于概率类技术的范畴 , 但本质上 ,这两种方法是 TR 方法的变形。这两种方法都需要改变信号星座的大小 , 即在原始的 OFDM 信号调制星座中 , 加入具有更大能量的信号点 , 然后从中选取信号星座的一个最优组合来表示 OFDM 信号。这两种方法的一个最大缺陷就是它需要增加发射机的发射功率。而且与 TR 方法相比 , 它需要求解一个更复杂的非线性约束优化问题。这个问题也导致了其研究远不如 TR 类方法更为流行。在限幅类技术、编码类技术、概率类技术之外 , 也存在着其它一些降低 OFDM 信号的 PAPR 技术 , 如压缩变换技术 [84–88], 数据交织方法 [89–91],导频载波方法 [92, 93] 方法 , 利用 m- 序列 [94] 等方法。这些方法虽然也被用— 14 —

上海交通大学博士学位论文第一章绪论于 OFDM 信号的 PAPR 减少 , 但是其要么是一个非线性变换过程 , 如压缩变换技术 ; 要么其 PAPR 减少的性能有限 , 如导频载波方法和 m- 序列方法。因此这些方法并不是人们研究的重点 , 在减少 OFDM 信号的 PAPR 这个问题上只是起到一个有益的补充作用。1.4 本文的研究内容和主要创新点综上所述 , 为了高效地减少 OFDM 信号的 PAPR, 为将来的实际系统的设计提供坚实的理论基础。在已有的各种方法的基础上 , 结合现代数学优化理论 , 深入研究低复杂度 , 高效率的算法 , 同时克服传统算法的缺点来减少 OFDM 信号的 PAPR 将具有显著的理论和实际意义。1.4.1 主要内容本文主要研究了如何减少 OFDM 信号的 PAPR 的几项关键技术 , 主要内容如下 :第一章介绍了 OFDM 系统的模型 , 给出了峰均功率比的定义。介绍了文献中存在的几类有效的 PAPR 减少方法 , 并指出了这些方法各自的优点和缺陷。第二章研究了利用 PTS 方法来降低 PAPR 的问题 , 提出了低复杂度的基于人工蜂群算法和基于参数化最小互熵方法的 PTS 算法 , 来降低离散时间 OFDM 信号的 PAPR。和已经存在的算法相比 , 在相同的计算复杂度下 ,提出的这两种算法都取得了更好的 PAPR 减少性能。第三章研究了在 TR 框架下的 PAPR 减少问题 , 提出了利用遗传算法和粒子群算法来确定几乎最优的峰值减少子载波的选取。在此基础上 , 提出了自适应幅度切削的 TR 算法 , 解决了传统的 TR 方法中如何选取最优峰值减少子载波和最优切削阈值的问题。第四章研究了如何利用六角形星座来减少 PAPR 的问题 , 解决了传统 TI 类方法的不足。在不增加信号的平均发射功率和不传输边信息的条件下 , 利用参数化最小互熵方法和自适应参数化最小互熵方法来高效地减少 OFDM 信号的 PAPR。第五章研究了连续时间 OFDM 信号的 PAPR 计算问题 , 推广并改善了文献 [95] 的方法。为了计算连续时间 OFDM 信号的 PAPR, 需要计算第一类 Chebyshev 多项式的导数 , 并对之进行展开和化简。其每一步计算都是非— 15 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究常耗时的。我们提出了一个改进的计算方法 , 比原来的方法更简单和高效 , 而且适用于任何调制方式。第六章概括了本文的主要研究成果 , 并指出了下一步的研究方向。1.4.2 主要创新点本文围绕如何减少 OFDM 信号的 PAPR 的关键问题而展开 , 主要创新点如下 :1. 针对原始 PTS 算法的缺陷 : 即搜索最优相位因子的复杂度与子块数呈指数关系增长 , 我们提出了基于人工蜂群算法和基于参数化最小互熵方法的 PTS 算法 , 这两种方法具有更低的计算复杂度。和已经存在的算法 , 如递推 PTS 方法、梯度下降算法、遗传算法和粒子群算法相比 , 在相同的计算复杂度下 , 提出的这两种算法都取得了更好的 PAPR 减少性能。而且提出的两种计算方法具有涉及的参数较少 , 易于调整的特点。2. 在 TR 类的 PAPR 减少问题中 , 递推切削类算法最为引人注目。但这类算法的核心问题是 : 为了获得最优的 PAPR 减少性能 , 需要确定最优的峰值减少子载波的位置和最优的切削阈值。传统的方法是随机选取子载波的位置和通过仿真预先决定最优的切削阈值 , 但在实时系统中 , 这是不可能的。为此 , 我们首先提出了利用遗传算法和粒子群算法来确定几乎最优的峰值减少子载波的位置。在此基础上 , 我们给出了自适应幅度切削的 TR 算法。这个自适应幅度切削的 TR 算法不受初始切削阈值的选取的影响 , 并且取得了比存在的自适应标度算法更好的 PAPR 减少性能和平均功率减少。3. 在 TI 类方法中 , 为了得到信号的最优星座表示 , 需要修正或扩展信号的调制星座 , 使得同一个数据对应星座上的多个点 , 但选取最优的信号星座表示是非常困难的。同时由于修正或扩展信号的调制星座 , 使得信号的平均发射功率增加。为了解决 TI 类方法的这两个缺陷 , 我们提出了利用六角形星座来减少 PAPR 的问题。通过利用六角形调制星座 , 在不增加信号的平均发射功率和不传输边信息的条件下 , 利用参数化最小互熵算法和自适应参数化最小互熵算法来高效地减少了 OFDM 信号的 PAPR。4. 连续时间 OFDM 信号的 PAPR 的计算。利用一阶契比雪夫 (Chebyshev) 多项式表示信号最大瞬时功率的导数 , 提出一个新的计算连续时间 OFDM 信— 16 —

上海交通大学博士学位论文第一章绪论号的 PAPR 方法。这个新的方法简化了第一类 Chebyshev 多项式的导数的计算、展开和化简。比原来的方法更简单和高效 , 复杂度更低。在我们提出的方法中 , 首先利用第一类 Chebyshev 多项式来表示信号的最大瞬时功率的导数 , 通过交换计算次序 , 避免了文献 [95] 中第一类 Chebyshev 多项式的导数的耗时计算。通过这样的处理 , 第一类 Chebyshev 多项式的展开和化简的次数也从 2N − 2 减少到 N − 1, 从而使得计算量减少了一半。提出的方法可以计算任意调制方式下的连续时间信号的 PAPR, 这也改善了文献 [96] 中只能计算 BPSK 调制的连续时间信号的 PAPR 的方法的不足。— 17 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究— 18 —

第二章基于 PTS 的 PAPR 减少方法部分传输序列 (PTS) [49, 50] 方法是一种无失真的技术 , 它通过组合被常数相位因子平移的信号子块来大大减少 PAPR, 同时发送边信息。但是为了获得全局最优的相位因子 , 相位因子的全部组合都需要被搜索 , 搜索的复杂度随子块数呈指数增长 , 显而易见 , 这种方法在实际中是不可行的。因此人们提出了许多次优的 PTS 技术。在 [52] 中 , 递推翻转 PTS(IPTS) 方法被提出来搜索次优的相位因子 , 这种方法的搜索复杂度与子块数呈线性关系。利用梯度下降算法 , 在 [55] 中提出了一个邻域搜索方法。通过把这个问题转化成一个等价的最小化相位旋转向量和问题 , 在 [53] 中 , 一个次优方法也被发展了。在 [61] 中 ,一个模拟退火方法 , 在 [97] 中 , 一个次优粒子群基 PTS 算法 , 在 [98] 中 , 一个智能遗传算法也被提出来用于 PAPR 减少。在 PTS 方法中 , 输入数据块 X 被分成 M 个不相联的子块 X m , m = 1, 2, . . . M,使得 X =M ∑m=1X m 。这些子块在时域进行组合以最小化 PAPR。X m 的 L 倍过采样时域信号定义为 x m , m = 1, 2, . . . M, 通过补 (L − 1)N 个零 , 这可以取 X m 的 NL 点 IDFT 获得。每个 x m 都与相位加权因子 b m = e jϕm 相乘 , 这里ϕ m∈ [0, 2π) 对 m = 1, 2, . . . M。PTS 方法的目的就是要找到一个最优的相位加权因子来最小化 PAPR。时域的组合发射信号因此可表示为 ( 参考图 1.4):x ′ (b) =M∑b i x i , (2.1)i=1这里 x ′ (b) = [x ′ 1(b), x ′ 2(b), · · · , x ′ NL (b)]。一般而言 , 为了减少搜索的复杂度 , 相位因子的选取被限制在一个具有有限个元素的集合里。允许的相位因子的集合是P = {e j2πl/W |l = 0, 1, . . . , W − 1}. (2.2)这里 W 是允许的相位因子的数目。我们可以固定一个相位因子而没有任意性能损失。由于只有 M − 1 个自由变量要被优化 , 因此为了发现全局最优相位因子 ,需要搜索 W M−1 个不同的相位向量。搜索复杂度随子块数 M 指数增长。为了减少实际系统的硬件复杂性 , 在本文中 , 我们选取相位因子 b = {−1, 1} M 或 b ={−1, 1, j, −j} M 。— 19 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究利用 PTS 方法最小化 PAPR 就是求解下面的优化问题 :b ∗ = minf(b)bsubject to b ∈ {e jϕm } M ,(2.3)这里f(b) =ϕ m ∈ { 2πk |k = 0, 1, . . . , W − 1}.W∥∥|x ′ (b)| 2∥ ∥∞E[|x ′ (b)| 2 ]=max1≤k≤NL |x′ k (b)|2∑ LN−1, (2.4)k=0|x ′ k(b)|21LN2.1 人工蜂群算法简介近年来 ,Karaboga 等 [99–101] 介绍了一个称之为人工蜂群 (ABC,ArtificialBee Colony) 算法的种群算法用于数值优化问题。人工蜂群算法是模拟蜜蜂行为提出的一种优化方法 , 是集群智能思想的一个具体应用。ABC 算法作为一种优化工具 , 提供了一种基于种群基的搜索方法。这个方法和其它的进化算法如粒子群 (PSO,Particle Swarm Optimization) 算法、差分进化 (DE,DifferentialEvolution) 算法一样简单 , 并且只有如种群大小和最大递推次数这些简单的控制参数需要调整。在 ABC 算法中 , 食物源位置随时被人工蜜蜂群修正 , 蜂群的目的在于发现带有最高花蜜量的食物源位置。在 ABC 系统中 , 人工蜜蜂的种群由三组蜜蜂构成 : 被雇佣蜜蜂 (Employed Bees)、旁观蜜蜂 (Onlooker Bees) 和侦查蜜蜂 (ScoutBees)。搜索的每次循环由三步组成 :(1) 放置被雇佣蜜蜂到食物源 , 然后计算它们的花蜜数量 ; (2) 在分享了被雇佣蜜蜂的信息且决定了食物的花蜜数量后 , 旁观蜜蜂选择食物源 ; (3) 决定侦查蜜蜂且放置它们到随机产生的食物源。在 ABC 算法中 , 一个食物源位置表示要优化问题的可能的解 , 一个食物源的花蜜数量表示相应解的适应值。在初始阶段 , 随机产生一个食物源位置的集合 , 并计算相应的花蜜数量。为了在目前食物源区域的邻域内决定一个新的食物源 , 每个被雇佣蜜蜂都移动到自己的食物源区域 , 然后估计它的花蜜数量。如果新食物源的花蜜数量比以前的大 , 它记住这个新的位置 , 忘记旧的位置。否则它保持以前食物源的位置。在所有被雇佣蜜蜂完成了搜索以后 , 它们返回蜂巢 , 与等候在舞蹈区的旁观蜜蜂分享食物源的花蜜信息和位置信息。所有的旁观蜜蜂利用基于它们的花蜜数量的概率来决定食物源区域。当与其它的食物源相比时 , 如果一个食物源— 20 —

上海交通大学博士学位论文第二章基于 PTS 的 PAPR 减少方法的花蜜数量更高 , 这意味着大部分旁观蜜蜂会选择这个食物源。每个旁观蜜蜂在其分配的食物源邻域内决定一个相邻的食物源 , 然后估计它的花蜜数量。侦查蜜蜂的选择由一个称之为 “limit” 的参数控制。如果一个表示食物源的解不能通过预先指定的试验次数 , 既 “limit” 改进 , 这就意味着相应的食物源被这只蜜蜂抛弃 , 而这个食物源的被雇佣蜜蜂变成一只侦查蜜蜂。抛弃的食物源被一个随机产生的食物位置代替。因此 “limit” 控制着侦查蜜蜂的选取和解的质量。这三个步骤重复进行 , 直到满足停止规则。对 ABC 方法的完整理解 , 读者请参考 [99–101]。2.2 基于修正的人工蜂群算法的 PAPR 减少2.2.1 ABC-PTS 算法由于原始的 ABC 算法只适用于连续的数值优化问题 , 对 PTS, 为了应用 ABC 算法来搜索更好的相位因子组合 , 我们必须对原始的 ABC 算法做适当的修改。我们称这种修正的 ABC 算法为 ABC-PTS。下面我们详细说明这个 ABC-PTS 算法。在 ABC-PTS 算法中 , 我们首先产生一个大小为 S 的随机分布的初始种群 A i , i = 1, 2, · · · , S。( 被雇佣蜜蜂总数 = 旁观蜜蜂总数 =S/2)。其中每一个 A i 相当于一个食物源位置 , 它表示一个长度为 M 的相位向量 b i = [b i1 , b i2 , · · · , b iM ] T ,i = 1, 2, · · · , S, 接着 , 我们计算每一个被雇佣蜜蜂分配的食物源的花蜜数量或一个相位向量 b i 对应的解 f(b i ) 的适应值 , 这个适应值由下面的公式计算 :fitness(b i ) =11 + f(b i ) . (2.5)对每个被雇佣蜜蜂 , 进行邻域搜索 , 来自以前的食物源位置 b i 的一个候选邻域食物源位置 b ′ i 由下面的公式产生 :b ′ il = b il + ϕ il (b il − b kl ), (2.6)这里 l ∈ {1, 2, · · · , M} 和 k ∈ {1, 2, · · · , J}, i ≠ k,J 是被雇佣蜜蜂的数量 ( 等于种群大小的一半 ),ϕ il 是一个在 [-1,1] 的随机数。由于 b ′ il 取离散值 , 因此 (2.6) 利用下面的公式修正 :对 W = 2b ′ il ={1,′if π/4 ≤ b il < 5π/4,−1, else,— 21 —(2.7)

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究对 W = 4⎧⎪⎨b ′ il =⎪⎩j, if π/4 ≤ b ′ il < 3π/4,−1, if 3π/4 ≤ b ′ il < 5π/4,−j, if 5π/4 ≤ b ′ il < 7π/4,1, else,(2.8)接着 , 利用 (2.5) 计算每一个被雇佣蜜蜂进行邻域搜索后的食物源的花蜜数量。对每个旁观蜜蜂 ( 其总数也等于种群大小的一半 ), 选择一个食物源取决于与这个食物源相应的概率 , p i , 它通过下面的公式计算 :p i = fitness(b i). (2.9)S∑fitness(b i )i=1在所有的旁观蜜蜂都被分配到食物源以及邻域食物源按照 (2.6)-(2.8) 更新和修正后 , 计算它们的花蜜数量 , 检查食物源是否被抛弃。如果循环的数目大于预先指定的 “limit”, 而这个食物源的花蜜数量没有被改进 , 这个食物源被放弃。与这个被丢弃的食物源相应的雇佣蜜蜂变成了一个侦查蜜蜂 , 并且在问题域内通过下面的公式做随机搜索 :b il = b minl+ (b maxl接着利用 (2.6)-(2.8) 更新和修正后 , 计算它们的花蜜数量。− b minl ) ∗ rand, (2.10)最后根据计算的适应值的大小来确定本次循环的最优的食物源位置和相应的目标函数值。这个过程被循环执行 , 直到递推次数达到初始设定的最大递推次数 , 算法结束 , 输出最后的食物源位置和相应的目标函数值。因此 , 我们提出的用于 PAPR 减少的修正的 ABC 算法 (ABC-PTS) 总结如下 :2.2.2 ABC-PTS 和其它的 PAPR 减少方法的复杂性分析在 [52] 中 , 提出了递推翻转 PTS(IPTS) 方法用于 PAPR 减少 , 这种方法的计算复杂度与子块数呈线性关系 , 既搜索的复杂度与 (M − 1)W 成正比。利用梯度下降 (GD) 算法 , 在 [55] 中提出了一个邻域搜索方法。这种方法首先置初始相位因子为 b = [1, 1, · · · , 1] 和最大递推数 I, 然后在 b 的半径为 r 的邻域内搜索取得最小 PAPR 的相位因子。这种方法的计算复杂度与 CM−1 r W r I 成正比 , 这里 Cn m 是二项式系数。通过把这个问题转化成一个等价的最小化相位旋转向量和问题 , 在 [53] 一个次优方法 (TS) 被发展了。这种方法的相位因子是— 22 —

上海交通大学博士学位论文第二章基于 PTS 的 PAPR 减少方法Algorithm 1 ABC-PTS 算法1: 初始化食物源位置 , 置 “limit” 的值和最大的递推数。2: 对被雇佣蜜蜂利用 (2.6) 决定邻域食物源位置 , 然后用 (2.7) 或 (2.8) 修正食物源位置。3: 利用 (2.5) 计算花蜜数量或适应值。4: 如果所有旁观蜜蜂都被分配到食物源 , 返回步骤 7。否则继续。5: 对每一个旁观蜜蜂 , 利用 (2.9) 选择一个食物源。6: 对每一个旁观蜜蜂 , 利用 (2.6) 决定邻域食物源位置。然后用 (2.7) 或 (2.8) 修正食物源位置。返回步骤 4。7: 发现丢弃食物源 , 然后使与之相应的旁观蜜蜂作为侦查蜜蜂 , 利用 (2.10) 搜索一个新的食物源。并利用 (2.7) 或 (2.8) 修正食物源位置。8: 记忆最好的食物源位置。9: 如果循环达到最大递推数 , 输出最后的食物源位置 , 算法结束 , 否则返回步骤 2。在 [0, 2π] 连续变化的 , 搜索的复杂度与 LN 成正比 , 这里 N 是子载波数 ,L 是过采样因子。在 [97] 中 , 提出了一个粒子群算法 (PSO-PTS) 来减少 PAPR。这种方法的计算复杂度与 SG 成正比 , 这里 S 粒子群的大小 , G 是 PSO-PTS 的最大递推数。在 [98] 中 , 一个称之为最小距离导引的智能遗传算法 (MDGA) 被发展了。MDGA 利用 IPTS 的输出来产生初始种群 , 然后用最小汉明距离来置乱 IPTS 的输出 , 再随机变异 IPTS 的输出。MDGA 利用智能代换策略 , 交织和变异来搜索相位因子。这种方法的计算复杂度与 P G + (M − 1)W 成正比 , 这里 P 是种群的大小 , G 是 MDGA 的最大递推数。在 ABC-PTS 算法中 , 首先产生大小为 S 的随机初始相位因子种群 , 接着所有的被雇佣蜜蜂和旁观蜜蜂按照算法执行搜索 ,当达到最大递推数 K 时 , 带有最小 PAPR 的相位因子被看作是最优解的一个近似。因此这种方法的计算复杂度与 SK 成正比。通过固定一个相位因子而没有任何性能损失 , 带有全部搜索的最优 PTS(OPTS) [49] 的计算复杂度是 W M−1 。2.2.3 仿真结果为了评估和比较 ABC-PTS 算法对 OFDM PAPR 减少的性能 , 我们进行了数值仿真。为了获得 CCDF,10 5 随机 OFDM 符号被产生。为了得到准确的 PAPR, 对发射的 OFDM 信号进行 L = 4 倍过采样。在我们的仿真中 , 使用了带有 N = 256 个子载波的 16-QAM 调制 , 并选择相位因子 W = 2。当选择更大— 23 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究10 0 PAPR0 [dB]CCDF (Pr[PAPR>PAPR0])10 −110 −2OriginalIPTSABC−PTS,K=20ABC−PTS,K=40OPTSRS−−600RS−−1200GD10 −310 −45 6 7 8 9 10 11 12 13图 2.1 不同递推次数的 ABC-PTS 算法和其它方法的 PAPR 减少比较Fig.2.1 Comparison of PAPR reduction among ABC-PTS with differentiterations and the other methods, W=2.的相位因子 , 比如 W = 4, 会获得更好的结果。在 ABC-PTS 算法中 , 有三个控制参数 : 食物源的数目 ,“limit” 的值和最大递推数。被雇佣蜜蜂或旁观蜜蜂在搜索空间中执行开发过程 , 侦查蜜蜂执行搜寻过程。这两个过程同时进行。选取不同的最大递推数 , 不同的 “limit” 的值 ,不同的种群大小来评估 ABC-PTS 算法对 PAPR 减少的性能。在仿真中 ,S 表示食物源的数目或种群大小 , K 表示最大递推数 , Limit 表示 “limit” 的值。在图形 . 2.1 中 , 显示了用随机分割的 M = 16 个子块的 CCDF。对 ABC-PTS,S = 30,Limit = 5 和不同的递推数 K = 20,K = 40。当 P r (P AP R >P AP R 0 ) = 10 −3 时 , 原始 OFDM 信号的 PAPR 是 11.3 dB。IPTS 方法的 PAPR 是7.95 dB。带有递推数 20 和 40 的 ABC-PTS 的 PAPR 分别是 6.75 dB 和 6.65 dB。利用在 [52] 中的随机搜索方法 (RS), 当随机选取的相位因子数是 600 和 1200 时 ,PAPR 分别减少到 7.15 dB and 6.8 dB。在 [55] 中 , 带有搜索数 CM−1 r W r I =C152 2 2 3 = 1260 的梯度下降方法 (GD) 的 PAPR 是 7.1 dB。带有完全搜索数 2 15 =— 24 —

上海交通大学博士学位论文第二章基于 PTS 的 PAPR 减少方法表 2.1 不同方法的计算复杂度和 PAPR 比较当 CCDF = 10 −3 时 , 相位因子数 W = 2, 子块数 M = 16, 种群大小 P = S = 30, 最大递推数 G = K = 30 时的不同方法的计算复杂度和 PAPR 比较methods computational complexity PAPRIPTS (M − 1)W = 15 ∗ 2 = 30 7.95 dBGD C r M−1 W r I = C 2 152 2 3 = 1260 7.15 dBTS LN = 4 ∗ 256 = 1024 7.25 dBPSO-PTS SG = 30 ∗ 30 = 900 7.1 dBMDGA P G + (M − 1)W = 30 ∗ 30 + 15 ∗ 2 = 930 7.0 dBABC-PTS SK = 30 ∗ 30 = 900 6.8 dBOPTS W M−1 = 2 15 = 32768 6.45 dB32768 的 OPTS 的 PAPR 是 6.4 dB。带有递推数 K = 40 的 ABC-PTS 的 PAPR 和OPTS 的 PAPR 有 0.25 dB 的差 , 但从第 2.2.2 节的分析中 , 我们可以知道带有递推数 K = 40 的 ABC-PTS 的搜索复杂度只是 OPTS 的 SK/W (M−1) = 1200/32768 =3.66%。对相同或几乎相同的搜索复杂度 , 带有递推数 K = 40 的 ABC-PTS 的性能也好于 RS 和 GD 的性能。表 . 2.1 显示了在不同方法间 M = 16 个子块的计算复杂性的比较 , 对 PSO-PTS [97], MDGA [98] 和 ABC-PTS, 种群的大小都是 S = P = 30, 最大递推数都是 G = K = 30。从表中可以看出 , 种群智能算法 , 既 PSO-PTS,MDGA 和 ABC-PTS 的性能均优于其它方法。对相同的搜索复杂度 ,ABC-PTS 的 PAPR 比 PSO-PTS 的 PAPR 小 0.3 dB。对几乎相同的搜索复杂度 ,ABC-PTS 的 PAPR 比 MDGA 的 PAPR 小 0.2 dB。在图 . 2.2 中 , 对相同或几乎相同的搜索复杂度 , 我们比较了 ABC-PTS 与其它方法 [52, 53, 55, 97, 98] 的 PAPR 减少性能。图 . 2.2 显示了带有不同的种群数 , 相同的最大递推数 K = 30 和 Limit = 5 各种情形下的 ABC-PTS 算法的仿真结果。子块 M = 16 通过随机分割产生。当 P r (P AP R > P AP R 0 ) =10 −3 时 , OPTS 的 PAPR 大约是 6.45 dB。利用带有 S = 30 和 S = 40 的 ABC-PTS,PAPR 分别减少到 6.8 dB 和 6.7 dB。与 OPTS 的 PAPR 相比 , 带有 S = 30 和 S =40 的 ABC-PTS 的 PAPR 分别有大约 0.35 dB 和 0.25 dB 的差 , 但是 ABC-PTS 的搜索复杂度分别只是 OPTS 的复杂度的 2.75% 和 3.66%。利用在 [52] 中的 RS 方法 ,— 25 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究10 0 PAPR0 [dB]10 −1CCDF (Pr[PAPR>PAPR0])10 −210 −310 −4OPTSTSMDGA, P=30ABC−PTS, S=30ABC−PTS, S=40PSO−PTS, S=30RS−900RS−1200GD5 5.5 6 6.5 7 7.5图 2.2 不同种群大小的 ABC-PTS 算法和其它方法的 PAPR 减少比较Fig.2.2 Comparison of PAPR reduction among ABC-PTS with different size ofpopulation and the other methods, W=2.当随机选取的相位因子数是 900 和 1200 时 ,PAPR 分别减少到 7 dB 和 6.9 dB。在[55] 中 , 带有搜索复杂度 CM−1 r W r I = C152 2 2 3 = 1260 的 GD 方法的 PAPR 是 7.15 dB。在 [53] 中 , 带有搜索复杂度 LN = 4 ∗ 256 = 1024 的 TS 方法的 PAPR 是 7.3 dB。在 [98] 中 , 带有搜索复杂度 P G+(M −1)W = 30∗30+15∗2 = 930 的 MDGA 方法的 PAPR 减少到 6.95 dB。在 [97] 中 , 带有搜索复杂度 SG = 30 ∗ 30 = 900 的 PSO-PTS 方法的 PAPR 是 7.1 dB。从图形 . 2.3, 我们可以发现 , 对相同或几乎相同的搜索复杂度 , 除了 OPTS 的 PAPR,ABC-PTS 的 PAPR 减少性能是所有方法最好的。在图 . 2.3 中 , 我们比较了 M = 16 个子块的带有不同 Limit, 相同的种群数 S = 30 和相同的最大递推数 K = 30 的 ABC-PTS 的 PAPR 减少性能。当 P r (P AP R > P AP R 0 ) = 10 −3 时 , 原始 OFDM 信号的 PAPR 是 11.3 dB, 带有不同的 Limit = 3 和 Limit = 8 的 ABC-PTS 的 PAPR 分别是 6.8 dB 和 6.8 dB。OPTS 的 PAPR 是 6.5 dB。IPTS 的 PAPR 是 7.95 dB。带有 900 个随机选取的相位— 26 —

上海交通大学博士学位论文第二章基于 PTS 的 PAPR 减少方法10 0 PAPR0 [dB]10 −1OriginalIPTSABC−PTS,Limit=3ABC−PTS,Limit=8RS−−900OPTSGDCCDF (Pr[PAPR>PAPR0])10 −210 −310 −45 6 7 8 9 10 11 12 13图 2.3 不同 Limit 的 ABC-PTS 算法和其它方法的 PAPR 减少比较Fig.2.3 Comparison of PAPR reduction among ABC-PTS with different Limitand the other methods, W=2.因子的 RS [52] 方法的 PAPR 是 6.95 dB。GD [55] 的 PAPR 是 7.1 dB。从图 . 2.4 可以发现 , 在 Limit = 3 和 Limit = 8 的 PAPR 的差是可以忽略不计的。通过仿真我们发现 , 增加 Limit 几乎没有 PAPR 减少的性能改善。对三种种群智能算法 , 既 PSO-PTS [97], MDGA [98] 和 ABC-PTS, 我们进行了 100 次试验来比较 OFDM 信号的 PAPR 收敛性能 , 这里子块 M = 16 通过随机分割产生 , 种群的大小都是 S = P = 30, 最大递推数都是 G = K = 60。图 .2.4 显示了三种方法关于最好代价函数值的均值的仿真结果。在初始过程 ( 大约 1 − 3 次递推 ), ABC-PTS 的性能比 PSO-PTS 和 MDGA 的差。随着递推的增加 ,( 大约 3 − 6 次递推 ),ABC-PTS 的性能优于 PSO-PTS, 但比 MDGA 的性能差。当递推数大于 6 次时 ,ABC-PTS 的最好代价函数值的均值明显优于 PSO-PTS 和 MDGA 的均值。尽管随着递推的增加 ,PAPR 的性能被改进。但是递推 K = 30 次获得的 PAPR 的均值只是比递推 K = 60 次的 PAPR 均值少 0.1 dB 左右 , 因此对我们提出的 ABC-PTS 算法 , 递推数 K = 30 可能是一个合适的选择。— 27 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究Mean of Best cost function values7.27.176.96.86.76.66.5GA−PTSPSO−PTSABC−PTS6.410 20 30 40 50 60generations/iterations图 2.4 三种不同种群智能方法的最优代价函数值的均值的比较Fig.2.4 Comparison of mean of best cost function values for different swarmintelligence methods.2.3 基于参数化最小互熵方法的 PAPR 减少2.3.1 参数化最小互熵方法参数化最小互熵 (PMCE,Parametric Minimum Cross-Entropy) [102] 方法起源于著名的 Kullback 最小互熵方法 (MinxEnt) [103]。主要用于稀有事件的概率估计和对可满足性问题的计数。这种方法是基于由最优联合 MinxEnt 分布推导而来的边缘概率分布。类似于互熵 (CE,Cross Entropy) 方法 [104],PMCE 方法首先把一个基本的计数问题转化为一个相应的稀有事件出现的概率估计问题 ,然后解这个估计问题。PMCE 方法能发现重要采样分布的最优参数 , 并能高效地给出高质量的解。它是一个多项式时间算法。在这一节 , 我们提出了一个 PMCE 基的 PTS 算法 , 称之为 PMCE-PTS。对 OFDM 信号 , 这个算法能发现一个几乎最优的相位因子组合 , 同时能大大减少计算复杂性。仿真结果表明 ,我们提出的 PMCE-PTS 算法在 PAPR 的 CCDF 和计算复杂性两个方面都优于已存在的方法。— 28 —

上海交通大学博士学位论文第二章基于 PTS 的 PAPR 减少方法2.3.2 最小互熵规划最小互熵规划 [103] 可以写成下面的形式 :{min f(x ) D(f|h) = ∫ }ln f(x ) f(x )dx = E h(x ) f f(X )h(X )∫s.t. Sj (x )f(x )dx = E f S j (X ) = γ j , j = 1, 2, · · · , k, (2.11)∫f(x )dx = 1.其中 ,f 和 h 是 n 维联合概率密度函数 (pdf) 或 n 维概率密度函数。S j (x ), j =1, 2, · · · , k 是已知的函数 ,x 是 n 维向量。这里假定 h 是已知的。如果 h 是未知的 ,可以取它为均匀 pdf( 离散或连续 )。在这种情形 , 最小互熵规划 (2.11) 转化为 :s.t.{ ∫max f(x ) H(f) = − f(x ) ln f(x )dx = −Ef ln f(X ) }∫Sj (x )f(x )dx = E f S j (X ) = γ j , j = 1, 2, · · · , k,(2.12)∫f(x )dx = 1.方程 (2.11) 称为 Kullback MinxEnt 规划。而方程 (2.12) 称之为 Janes MaxEnt 规划。前者最小化了 Kullback-Leibler 互熵 , 后者最大化了 Shannon 熵。KullbackMinxEnt 规划的解由下式给出 :{h(x ) exp − ∑ }kf ∗ r=1 S r(x )λ ∗ r(x ) = {E h exp − ∑ } . (2.13)kr=1 S r(X )λ ∗ r其中 ,λ ∗ r, r = 1, 2, · · · , k 是下面的方程组的解 :{E h S r (X ) exp − ∑ }kr=1 S r(X )λ r{E h exp − ∑ } = γ r (2.14)kr=1 S r(X )λ r其中 X ∼ h(x )。考虑只有如下约束的 MinxEnt 规划 , 即 :{min f(x ) D(f|h) = ∫ }ln f(x ) f(x )dx = E h(x ) f f(X )h(X )∫s.t. S(x )f(x )dx = Ef S(X ) = γ,(2.15)∫f(x )dx = 1.方程 (2.15) 是方程 (2.11) 的退化情形 , 即其中的 k 个约束变为一个约束 , 因此其最优解变为 :f ∗ (x ,λ ∗ ) = h(x ) exp {−S(x )λ∗ }E h exp {−S(X )λ ∗ } . (2.16)— 29 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究而 λ ∗ 由下面的方程的解确定 :E h S(X ) exp {−S(X )λ}E h exp {−S(X )λ}= γ (2.17)为了求解离散情形下的 KullbackMinxEnt 规划 , 考虑方程 (2.15) 的离散情形 , 此时 ,f(x ) 和 h(x ) 各自独立地通过其参数向量 p 和 u 定义 , 在不引起混淆的情形下 , 可以简单地用 p(x ) 和 u(x ) 表示 f(x , p) 和 h(x , u), 于是方程 (2.15) 转化为 :其最优解为 :s.t.其中 λ ∗ 由下面方程的解决定 :2.3.3 参数化最小互熵∑p(x )min p D(p|u) = min p xp(x ) lnu(x )∑x S(x )p(x ) = E pS(X ) = γ,(2.18)∑x p(x ) = 1.p ∗ x = E uI {X =x } exp{−S(X )λ ∗ }E u exp{−S(X )λ ∗ }E u S(X ) exp {−S(X )λ}E u exp {−S(X )λ}(2.19)= γ (2.20)KullbackMinxEnt 规划的主要缺陷就是它需要一个复杂的联合 pdf 采样 ,为了克服这个困难 , 我们利用了 p ∗ x 的边缘概率分布 p ∗ ij 来代替 p ∗ x, 其边缘概率分布 p ∗ ij 的计算公式为 :p ∗ ij = E uI {X j =i} exp{−S(X )λ ∗ }E u exp{−S(X )λ ∗ }(2.21)值得注意的是 , 标准 CE 算法和参数化最小互熵算法 , 两者的更新公式不同 , 差别在于 : 在 CE 算法中的示性函数 I {S(X )≥γ} 被 exp {−S(X )λ} 代替。方程 (2.21) 称为最优边缘 KullbackMinxEnt 规划更新公式或简称为参数化最小互熵更新公式。相应的算法称之为参数化最小互熵算法 (PMCE)。标准 CE 算法和参数化最小互熵算法两者的联系和区别 :1, 类似于标准 CE 算法 , 最优 PMCE 更新 p ∗ ij 和其估计可以被解析获得。2, 为了获得最优边缘概率分布 p ∗ ij, 不需要诉诸于 KullbackMinxEnt 规划和联合概率密度 p ∗ x。3, 两者的 λ ∗ 是相同的。4, 最优边缘概率分布 p ∗ ij 的采样和 CE 方法一样简单。— 30 —

上海交通大学博士学位论文第二章基于 PTS 的 PAPR 减少方法2.3.4 基于参数化最小互熵 (PMCE) 方法的 PAPR 减少为了应用参数化最小互熵 (PMCE) 算法来减少 OFDM 信号的 PAPR, 我们要解下面的优化问题 :b ∗ = minF (b)bsubject to b ∈ {−1, 1} M ,(2.22)这里F (b) =max1≤k≤NL |x′ k (b)|2E[|x ′ (b)| 2 ]其中 x ′ (b) = [x ′ 1(b), x ′ 2(b), · · · , x ′ NL (b)] 由方程 (2.1) 所定义。(2.23)当把 b 看成是一个随机变量时 ,F (b) 就可以看成一个 M 维空间出现的事件。由于最优解 b ∗ 出现的概率非常小 ,F (b ∗ ) 就是一个稀有事件。估计这个稀有事件出现的概率 , 进而发现方程 (2.22) 的次优解的方法很多 ( 方程 (2.22) 的最优解一般而言是不能获得的 , 因为随着 M 的增大 , 我们有 2 M 种向量 b 的不同组合需要搜索 , 这在实际问题中是不可能实现的 )。典型的有随机搜索方法 , 模拟退火方法 , 遗传算法 , 粒子群算法。参数化最小互熵 (PMCE) 方法是一个可用于求解组合优化的递推方法 , 每次递推包括以下三步 :1), 按照概率密度函数产生一个随机采样 , 然后计算相应的目标函数值 ,并把其按照函数值的大小进行排序。理。2), 按照最优边缘概率分布的计算公式进行边缘概率分布更新。3), 为了防止算法收敛到局部最优解 , 一般要对边缘概率分布进行平滑处现在我们来详细说明怎么利用 PMCE 算法来减少 OFDM 系统的 PAPR。我们首先利用变换 b = 1 − 2c 从二进序列 c ∈ {0, 1} M 产生符号序列 b = {−1, 1} M ,这样优化问题 (2.22) 变为 :这里 ,c ∗ = minF (c)csubject to c ∈ {0, 1} M ,F (c) =max1≤k≤NL |x′ k (c)|2E[|x ′ (c)| 2 ]— 31 —(2.24)(2.25)

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究c 的每个元素可以被模型化为一个带有概率分布函数 P (c i = 1) = p i ,P (c i = 0) = 1 − p i 的服从独立 Bernoulli 分布的随机变量 ,i = 0, 1, . . . , M − 1。那么 c 的概率分布为f(c, p) =M−1∏i=0p c ii (1 − p i) 1−c i. (2.26)PMCE 算法优化了向量 p = [p 0 , p 1 , · · · , p M−1 ], 这将产生一个几乎最优的向量 c,同时这个解向量会导致一个低的 PAPR 值 OFDM 信号。为了利用 PMCE 求解 (2.24), 我们首先通过 f(c, p) 对 p ∈ [0, 1] M 和 c ∈{0, 1} M 随机化这个确定性问题。也就是对给定的 PAPR 阈值 γ, 把 (2.24) 与估计概率 P {F (c) ≤ γ} 联系起来。如果利用 Monte-Carlo 方法估计这个概率 , 我们需要一个相当大的向量 c 的采样。相反 , 利用 PMCE 算法估计这个概率 , 我们只需要一个较少的向量 c 的采样就可以获得一个令人满意的解。由于概率向量 p 的更新 , 使得通过 f(c, p) 产生的大部分采样都满足 F (c) ≤ γ。如果我们令 γ −→ 0, 那么 f(c, p) 收敛到能够产生最小采样数的最优的 pdf 的 f(c, p ∗ ), 同时 γ 收敛到 F (c ∗ )。PMCE 算法就是要递推地产生序列 γ j 和 p j , 在最小互熵 [103] 的意义下收敛到最优的 γ ∗ 和 p ∗ 。那么最优的 c ∗ 可从 p ∗ 通过 f(c, p) 获得。更为具体的 , 我们通过置 p = p 0 和选取一个 ρ ∈ (0, 1)( 在 PMCE 中称之为稀有参数 ) 来初始化 PMCE 算法 , 使得事件 {F (c) ≤ γ} 的概率在 ρ 附近。PMCE 的每次递推由两个主要过程组成 :1) 在第 j 次递推中 , 对已经计算得到的 p j−1 , 从 f(c, p j−1 ) 中随机产生一个采样集合 c j−11 , · · · , c j−1J, 然后计算 PAPRs F (c j−11 ), · · · , F (c j−1J)。然后以增序排列 F (c j−11 ), · · · , F (c j−1J), 并定义其为 F j−1(1 ) , · · · , F j−1(J ) 。分配这里 ⌈·⌉ 是向上取整函数。γ j = 1⌈ρJ⌉∑F j−1(k)⌈ρJ⌉, (2.27)k=12) 对 p j = (p j,0 , · · · , p j,M−1 ), 利用下面的公式进行更新 :∑ Jk=1 I {c j−1k,i =1}exp (−F (cj−1k)λ j )p j,i =, (2.28)exp (−F (cj−1k)λ j )这里 I 为示性函数 , 定义为 :I {cj−1∑ Jk=1{1, if cj−1k,i =1} = k,i= 1,0, otherwise,— 32 —(2.29)

上海交通大学博士学位论文第二章基于 PTS 的 PAPR 减少方法参数 λ j 从下面方程的解获得 :γ j =∑ Jk=1 F (cj−1 k) exp (−F (c j−1k)λ j ). (2.30)exp (−F (cj−1k)λ j )∑ Jk=1为了防止算法快速收敛到局部最优解 , 我们利用了一个平滑版本 [104] 来代替直接利用 (2.28)。在这里 α (0 < α < 1) 称之为平滑参数。ˆp j = αp j + (1 − α)p j−1 , (2.31)值得注意的是 , 方程 (2.28) 类似于在 [104] 中的标准 CE 公式 , 唯一差别在于在 CE 更新公式 I {F (cj−1k )≤γ}中的示性函数被 exp (−F (c j−1k)λ j) 代替。方程(2.28) 要比在 [105] 中的标准 CE 公式更好 , 因为在更新 p 时 ,PMCE 利用了全部采样集 , 而标准 CE 只利用了 “ 精英 ” 采样。利用 PMCE 算法 , 会得到一个导致较低 PAPR 的几乎最优的解 c ∗ 。我们提出的 PMCE 基的 PAPR 减少算法可以总结如下。Algorithm 2 PMCE-PTS 算法1: 初始化 ˆp 0 = [0.5, 0.5, 0.5, . . . , 0.5],ρ, 和 α。2: 从概率密度函数 f(c, ˆp j−1 ) 中产生 J 个采样 c j−11 . . . c j−1J, 并计算它们的 PAPR, 即 F (c j−1k), 对 k = 1, · · · , J。3: 利用 (2.27) 计算 γ j , 然后利用 (2.30) 求出 λ j 。4: 通过 (2.28) 更新 p j 。5: 利用 (2.31) 获得平滑的 ˆp j 。6: 如果对某个 j,0 < ˆp j < 1, 返回步骤 2, 否则 , 输出最优解 c ∗ = 1 − 2p ∗ ,算法停止。对所有的 k, 这个优化过程会收敛到 p k = 0 或 1。作为一个进一步减少计算复杂性的替代方法 , 我们可以在算法的初始阶段置最大迭代次数 K, 在算法运行 K 次以后 , 停止该算法。然后选择带有最小 PAPR 的 OFDM 信号用于发射。2.3.5 PMCE-PTS 算法的收敛和复杂性分析PMCE 算法的收敛性类似于 CE 算法 [104]。其收敛性的前提是最优解的邻域也是几乎最优解。PMCE-PTS 算法满足这个条件。在 PMCE-PTS 算— 33 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究76.86.6N=64N=128N=2566.4Average PAPR(dB)6.265.85.65.45.250 200 400 600 800 1000 1200Sampling Number图 2.5 带有不同采样的不同子载波的平均 PAPR 比较Fig.2.5Average PAPR for different subcarriers with different sampling numbers.法中 , 其邻域定义为序列间的 Hamming 距离。假定最优的相位向量为 c ∗ ,与 c ∗ 有 Hamming 距离 D 的另一相位向量为 c 1 , 则|F (c ∗ ) − F (c 1 )| = | max |x ′ k(c ∗ )| 2 − max |x ′ k(c 1 )| 2 | ≤ 4 DN ( ∑|X ki |) 2 , (2.32)这里 k i 为 c 1 不同于 c ∗ 的位置。因此当 N 较大时 , 一个较小的 D 总是会产生一个几乎最优解。类似于 CE 算法的复杂性分析 ,PMCE-PTS 算法的复杂度为 O(JK)。其中 J 是每次递推的采样数 ,K 是最大递推次数。i=12.3.6 仿真结果我们的仿真利用了 16-QAM 调制。其中子块数 M = 16, 相位因子 W =2。为了获得互补累积分布函数 (CCDF) Pr(P AP R > P AP R 0 ), 随机产生了 10 5 个 OFDM 符号。为了得到准确的 PAPR [96], 发射信号通过因子 L = 4 被— 34 —

上海交通大学博士学位论文第二章基于 PTS 的 PAPR 减少方法7.47.27CE,ρ=0.05CE,ρ=0.1CE,ρ=0.2PMCE,ρ=0.05PMCE,ρ=0.1PMCE,ρ=0.2Average PAPR(dB)6.86.66.46.260 10 20 30 40 50 60Iteration Number图 2.6 带有相同递推不同 ρ 的平均 PAPRFig.2.6Average PAPR for different ρ with the same iteration numbers.过采样。在 PMCE-PTS 算法和 CE 算法 [64, 105] 中 , 我们采取了不同的采样数 ,不同的 ρ, 不同的最大递推数来评估 PMCE 算法的性能。在图形 . 2.5 中 , 我们比较了三种不同子载波 N = 64,N = 128 和 N = 256 情形下的采样数与平均 PAPR 的关系。三种情形下 ρ = 0.1,α = 0.6。图中从左到右 , 每个标记对应着采样数为 n = 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024。从图形中我们可以发现 , 随着采样数的增加 , 平均 PAPR 逐渐减小。然而 , 随着采样数的增加 , 平均 PAPR 的减少呈现收敛趋势。这说明 PMCE-PTS 算法已经收敛到一个最优解。对 N = 64,N = 128 和 N = 256 三种情形 , 当采样数为 J = 16 和 J = 128 时 , 两种平均 PAPR 相差大约相同 , 为 0.3 dB 左右。当采样数 J 大于 128 时 , 平均 PAPR 的减少幅度变得很小 , 基本上维持不变。因此 , 对我们提出的 PMCE-PTS 算法 , 采样数的大小为 30 到 120 之间足以获得好的 PAPR 减少性能。在图形 . 2.6 中 , 对带有 N = 128 个子载波的 PMCE 算法和 CE 算法 , 我们比较了带有相同的递推次数、相同的采样数 J = 60 和三种不同 ρ 值的平均 PAPR。对 CE 算法 ,ρ = 0.05 和 ρ = 0.2 两种情形下的平均 PAPR 收敛到相同的 PAPR。— 35 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究76.86.6CE,N=64PMCE,N=64CE,N=128PMCE,N=128Average PAPR(dB)6.46.265.85.65.45.20 10 20 30 40 50 60Iteration Number图 2.7 带有相同递推和 ρ 的平均 PAPRFig.2.7Average PAPR with the same iteration numbers and ρ.唯一的不同在于对 ρ = 0.05, 在大约 8 次递推 ,CE 算法快速收敛到最优值。而当 ρ = 0.2 时 , 在大约 16 次递推 ,CE 算法才收敛。对 ρ = 0.1, 在大约 11 次递推 ,CE 算法取得了更好的 PAPR。对三种不同的 ρ 的取值 ,PMCE 算法都收敛到相同的 PAPR, 而且其最优值均优于 CE 算法的最优 PAPR 值。但是其收敛的速度要慢于 CE 算法 , 这主要是因为 PMCE 算法的概率更新公式是利用了全部采样值 , 而 CE 算法只利用了部分 “ 精英 ” 采样值。在图形 . 2.7 中 , 对相同的采样数 J = 60 和相同的 ρ = 0.1, 我们比较了不同子载波 N = 64,N = 128 时 ,PMCE 算法和 CE 算法的平均 PAPR 减少。从图中我们可以发现 , 大约 11 次递推 ,CE-PTS 算法可以快速收敛到次优的 PAPR 值 , 而 PMCE-PTS 算法在大约 25 次递推才能收敛到最优值。对 N =64 和 N = 128 两种情形 , 在初始递推阶段 ( 大约 1-3 次递推 ),PMCE-PTS 算法均低于 CE-PTS 算法的平均 PAPR。随着递推的增加 ,PMCE-PTS 算法的收敛明显慢于 CE-PTS 算法 , 这是由于在 CE-PTS 算法中 , 没有概率向量的平滑计算 , 即没有经过在 PMCE-PTS 算法中方程 (2.31) 的计算 , 而是把更新后的概率向量直接作为下一次迭代的初始向量 , 因而 CE-PTS 算法的收敛要快于 PMCE-— 36 —

上海交通大学博士学位论文第二章基于 PTS 的 PAPR 减少方法10 0 PAPR0 [dB]CCDF (Pr[PAPR>PAPR0])10 −110 −210 −3OriginalIPTSPMCECEOPTS10 −45 6 7 8 9 10 11 12图 2.8 不同方法的 PAPR 减少比较Fig.2.8Comparison of PAPR reduction by different methods.PTS 算法。这也直接导致了 CE-PTS 算法只能收敛到一个次优解。由于经过平滑处理 , 这防止了 PMCE-PTS 算法收敛到局部最优解 , 从而可以取得比 CE 算法更好的 PAPR 值。在图形 . 2.8 中 , 我们比较了利用随机分割方法得到的 M = 16 个子块的 OFDM 信号的 CCDF。当 CCDF = 10 −4 , 传统的 OFDM 信号的 PAPR 是 11.8 dB。IPTS 的 PAPR 是 8.2 dB。在 PMCE 算法和 CE 算法中 , 采样数 J = 40,α = 0.6,ρ = 0.1, 最大递推数 K = 30。带有 J∗K = 40∗30 = 1200 次搜索的 PMCE 和 CE 算法的 PAPR 分别是 7.5 dB 和 7.7 dB。带有 W M−1 = 2 15 = 32768 次完全搜索的最优 PTS(OPTS) 的 PAPR 是 6.5 dB。对于具有相同计算复杂度的 PMCE 算法和 CE 算法 ,PMCE 算法的 PAPR 比 CE 算法的 PAPR 小 0.2 dB。与 OPTS 方法相比 , 尽管两者的 PAPR 差是 1 dB, 但 PMCE 算法的计算复杂性只是 OPTS 的 J ∗K/2 M−1 = 1200/32768 = 3.66%。— 37 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究2.4 本章小结本意研究了 PTS 基的 OFDM 信号的 PAPR 减少问题。我们主要讨论了基于人工蜂群算法和参数化最小互熵算法的 PAPR 减少问题。对人工蜂群算法 , 我们是首次利用这个算法来减少 OFDM 信号的 PAPR 问题。尽管 PTS 基的 PAPR 减少方法是一个无失真的算法 , 但由于这种方法的计算复杂度随子块数呈指数增长 , 这限制了这种方法的实际应用。通过对原始的人工蜂群算法进行修正 , 使之可以被用来求解 PTS 基框架下的组合优化问题。接着我们也分析了修正的人工蜂群算法的复杂性。通过仿真 , 验证了修正的人工蜂群算法用于求解 PTS 基的 OFDM 信号的 PAPR 减少问题的可行性。和文献中已经存在的方法相比 , 修正的人工蜂群算法取得了最好的性能 , 并且易于调整。同时我们也对这个算法的三个参数的选择给出了一个好的动态区域。对参数化最小互熵算法 , 我们也是首次利用它来求解 OFDM 信号的 PAPR 减少问题。通过把原始的 PTS 基框架下的组合优化问题转化为一个稀有事件的估计问题 , 我们利用参数化最小互熵算法高效地解决了这个估计问题。通过仿真 , 我们验证了参数化最小互熵算法用来求解 PAPR 减少问题的有效性 , 同时在仿真中 , 也给出了算法涉及的参数的选取范围。— 38 —

第三章基于 TR 的 PAPR 减少方法载波保护 (TR,Tone Reservation) 方法 [60] 是由 Tellado 提出的一种无失真的 PAPR 减少方法 , 这种方法利用一部分称之为峰值减少的子载波 (PRT,Peak Reduction Tones) 来产生峰值减少的信号 , 而这部分峰值减少的子载波不携带任何数据信息。这个峰值减少的信号加到原始的 OFDM 信号上 , 产生一个新的信号 , 而这个新的信号的 PAPR 比原始的 OFDM 信号的 PAPR 值小。TR 方法分为两类 :1) 一类是 TR 限幅基技术 ,2) 一类是 TR 类梯度基技术。TR 类 OFDM 系统中的 PAPR 减少性能主要取决于最优的 PRT 集的选择和最优的信号切削阈值。发现最优的 PRT 集需要对所有可能的 PRT 集组合进行遍历搜索 , 这是一个 NP-hard 问题。对于实际的 OFDM 系统 , 由于子载波数量较大 , 这个问题并不能求解。存在的 PRT 集选择方法 [60, 62–64, 66, 67], 如等距离 PRT 集、连续 PRT 集和随机 PRT 集方法 , 其性能与最优 PRT 集相比很差或需要很高的计算复杂度。在这一章里 , 我们提出了两个新的几乎最优 PRT 集选择方法 - 基于遗传算法和粒子群算法的 PRT 集选择方法。这两个算法都可以高效地求解这个 NP-hard 问题。与存在的 PRT 集选择方法相比 , 其复杂性更低。在确定了几乎最优的 PRT 集后 , 我们接着利用 TR 类切削方法来减少 OFDM 信号的 PAPR。但是传统的 TR 类切削方法需要事先确定最优的切削阈值。已有的文献 , 这个切削阈值都是通过仿真实验事先确定的。而在实际的系统设计中 , 这是不可能的。为了解决这个问题 , 我们提出了一个自适应切削控制算法。仿真结果表明 , 我们提出的自适应算法很好地解决了切削阈值的选取问题 , 而且对初始切削阈值不敏感。任何较小的初始切削阈值都导致了几乎相同的 PAPR 减少。而存在的切削方法的 PAPR 减少性能则对初始切削阈值的选取更为敏感。不同的初始切削阈值导致了不同的 PAPR 减少性能。3.1 TR 技术设原始的 OFDM 频域数据信号为 X = (X 0 , X 1 , ,, X N−1 ), 峰值取消频域信号为 C = (C 0 , C 1 , ,, C N−1 ), 那么峰值减少的 OFDM 时域信号可以表示为 :a = x + c = Q(X + C), (3.1)— 39 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究这里 ,x = (x 0 , x 1 , ,, x N−1 ) 为原始的 OFDM 时域数据信号 ,c = (c 0 , c 1 , ,, c N−1 ) 为峰值取消时域信号 ,Q 是 IFFT 变换矩阵。其元素为 q m,n = 1 √Ne j2πnkN 。为了避免信号失真 , 数据信号 X 和峰值取消信号 C 应该位于互不相交的集合上。即 :X n + C n ={Xn , n ∈ R C ,C n , n ∈ R,(3.2)其中 ,R = {i 0 , i 1 , . . . , i M−1 } 是保护子载波的下标集 ,R C 是 R 在 N = {0, 1, . . . , N−1} 中的补集 ,M < N 是 PRT 集的大小。N 是子载波的总数。峰值减少的 OFDM 信号 a = [a 0 , a 1 , . . . , a N−1 ] T 的 PAPR 重新定义为 :PAPR(a) =max |x n + c n | 20≤n

上海交通大学博士学位论文第三章基于 TR 的 PAPR 减少方法时域核函数 p 通过下面的公式计算 :p = [p 0 , p 1 , . . . , p N−1 ] T = QP, (3.8)这里 ,P = [P 0 , P 1 , . . . , P N−1 ] T 称之为频域核函数 , 其元素定义为 :P n ={0, n ∈ R C ,1, n ∈ R,(3.9)Algorithm 3 Tellado 的梯度下降算法a: 计算时域核函数 p。b: 对每个 OFDM 符号 :1. 置 c (1) = [0, 0, · · · , 0] T = 0 N 。2. 发现 max|x k + c (i)k | 的值和位置 , 如果这个最大值小于切削阈值 , 发k射 x + c (i) , 否则继续。3. 按照 (3.6) 更新 c, 返回第二步。在 J 次递推后 , 峰值减少的 OFDM 信号 a 变为 :J∑a = x + c (J) = x − α i p[((k − k i )) N ]. (3.10)3.2 PRT 集选择的标准i=1从方程 (3.6)― 方程 (3.10), 我们发现 TR 方法的 PAPR 减少性能取决于时域核函数 p 的选择。而 p 只是 PRT 集 R 的函数。当 p 是一离散脉冲时 , 可以取得最好的 PAPR 减少性能。因为在位置 k i 的最大峰值可以被取消 , 而不会影响其它位置的信号采样。但是这是不切实际的 , 因为当 p 是离散脉冲时 , 这会导致所有的子载波都被分配到 PRT 集上。因此我们应该选择时域核函数 p 去逼近离散脉冲 , 即要求 p 0 = 1, [p 1 , p 2 , · · · , p N−1 ] 近可能小 , 使得 p 不仅能减少在位置 k i 的峰值 , 而且也能压抑在其它位置 k ≠ k i 的峰值。时域核函数 p 逼近离散脉冲的一个度量标准就是要使得在最差情形下的 p 的次峰值尽可能小。在数学上 , 我们需要求解下面的组合优化问题 , 也就是要最小化时域核函数 p 的次峰值 :R ∗ = arg min m(p). (3.11)R— 41 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究其中 ,m(p) 称之为时域核函数 p 的次峰值 , 其定义为 :m(p) =∥ [p 1 , . . . , p N−1 ] T ∥ ∞ . (3.12)从方程 (3.11) 和方程 (3.12), 我们可以看到 , 发现最优的 PRT 集需要对所有可能的 PRT 集组合进行遍历搜索 , 这是一个 NP-hard 问题。对于实际的 OFDM 系统 ,由于子载波数量较大 , 这个问题并不能求解。在文献 [60, 62–64, 66, 67] 中 , 取连续 PRT 集、等距离 PRT 集作为 PRT 的候选 , 这种方法虽然简单 , 但是它们的性能较差。另一种方法是随机优化 PRT 方法 , 它取得了比连续 PRT 集、等距离 PRT 集更好的性能。这种方法就是随机选取 K 个 PRT 集 [60], 然后从中选出次峰值最小的一个作为 PRT 集的候选。但是要想取得好的性能 , 这种方法需要非常大的 PRT 采样 , 典型的 K 的取值 , 在 10 5 的数量级上。这限制了这种方法的利用。文献 [67] 提出了一个方差最小化的 PRT 集选择方法 , 它只是随机优化 PRT 方法的一个修正 , 并没有解决随机优化需要非常大的 PRT 采样这样一个缺陷。在文献 [66] 中 , 一个互熵方法被提出来求解这个 NP-hard 问题。与存在的方法相比 , 它获得了更好的性能 , 但其缺陷就是它也需要较大的采样或种群规模。为了能更好地解决这个 NP-hard 问题 , 我们提出了基于遗传算法和粒子群算法的 PRT 集选择算法 , 与互熵方法相比 , 它需要更少的计算负担 , 但获得了和互熵方法类似的性能。3.3 基于遗传算法的 PRT 集选择在这一节里 , 我们先简要介绍遗传算法 , 然后利用它来搜索几乎最优的 PRT 集位置。利用遗传算法得到的 PRT 集会用于下一节我们提出的自适应幅度切削算法。3.3.1 遗传算法简介遗传算法是由 Holland 引进的一个随机搜索算法 [107], 它模拟了自然界中生物进化机制。遗传算法利用了在整个解空间中均匀分布的候选解的种群作为研究问题的初始解 , 基于达尔文的生物进化论 - 适者生存的原则 , 在每次递推中 , 它通过进化候选解的种群来产生一个对最优解的更好逼近。遗传算法的进化利用了下面的遗传算子 :1. 选择算子。选择是一个从当前代的种群中选择一个染色体 , 为了使其出现在下一代交配池中的算子。一般而言 , 带有较高适应值的染色体在进化中应该被选择 , 而带有较低适应值的染色体应该被抛弃。— 42 —

上海交通大学博士学位论文第三章基于 TR 的 PAPR 减少方法2. 交叉算子。交叉是一个在两个不同染色体或父代间交换元素以产生新的染色体或后代的算子。新产生的下一代种群由这些新的染色体组成。3. 突变算子。突变是带有一定概率的改变其中染色体的元素的算子。遗传算法已经被用于处理大量的利用确定性算法比较困难的优化问题。例如 :OFDM 时间同步波形的导频位置搜索 [108], 对同步 CDMA 系统的联合多用户符号检测 [109], 低的自相关二进序列的搜索 [110], 以及加细天线阵列等比较复杂的问题 [111]。对遗传算法的完整理解 , 请参看文献 [107, 112]。3.3.2 基于遗传算法的 PRT 集位置搜索算法下面我们来详细说明怎么利用遗传算法来搜索几乎最优的 PRT 集位置。1. 一个大小为 S 的初始种群被随机产生 , 种群的每一行都是一个染色体或父代序列。其中每一个父代序列都是一个长度为 N 的向量 , 向量的每一个元素是 0 或 1, 这取决于 PRT 集在那个位置是否存在。0 表示在那个位置 ,PRT 不存在 ,1 表示在那个位置 ,PRT 存在。在每一个父代序列中 ,1 的数目都是 M, 也就是 PRT 集的大小。定义这 S 个父代序列为 {A 1 , . . . , A S },其中 , 每个 A l 都是一个长度为 N 的二进向量。2. 对每一个父代序列 A l , 其 PRT 集 R l 是其对应的元素为 1 的位置的集合。接着对应 PRT 集 R l 的频域核函数 P l 通过方程 (3.9) 得到。对应的时域核函数 p l = [p l 0, . . . , p l N−1 ] 通过方程 (3.8) 得到。序列 A l 的次峰值通过方程 (3.12) 获得。带有最小次峰值的 T 个序列 ( 也称之为 “ 精英 ” 序列 ) 维持不变 , 并被用于下一代种群的产生。3. 所有的 S 个父代序列 A l 被两两交叉 , 其交叉概率为 p c , 为了简单 , 我们采用了一点交叉算子。即在两个父代序列中 , 随机选择一个交叉点 , 然后交换两个父代序列中此点之后的染色体。这样便形成了两个新的后代序列。为了防止算法收敛到局部解 , 由一个突变概率 p m 控制的突变算子被应用到新的后代序列中。通过改变随机选择的染色体序列中的元素 , 完成对染色体序列的突变运算。一般来说 , 经过交叉和突变运算以后 , 在新产生的下一代种群中 , 每一个子代序列 A l 中的元素 1 的数目都不再等于 M, 也就是不再等于 PRT 集的大小。为了保持子代序列 A l 的可行性 ,即每一个子代序列 A l 的元素 1 的数目都等于 M, 我们通过随机选取子代— 43 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究图 3.1 对 M = 6 的交叉和突变运算示意图Fig.3.1An illustration of cross-over and mutation operations for M = 6.序列中的元素 , 然后对这些位置上的元素用 1 或 0 代替 , 从而保证子代序列 A l 的可行性。4. 所有子代序列 A l 的次峰值利用方程 (3.12) 计算。每一个序列都参与下一代种群池的生成的竞争。为了增加产生更好的解的概率和防止由于交叉和突变运算而导致的最优解的损失 , 在上一代中产生的 T 个 “ 精英 ” 序列替换掉在当前代中的带有最高次峰值的 T 个最差序列。5. 这个循环被重复进行 , 直到达到一个预先指定的最大递推数或最大循环数 , 算法停止 , 输出最优的 PRT 集位置和最小的次峰值。( 也可以在次峰值小于一个预先指定的阈值后 , 算法停止。)在图 3.1 中 , 我们给出了 17 个子载波中两个随机产生的父代染色体的交叉和突变过程的示意图。其中 PRT 集的数目 M = 6。在图形中 , 黑色圆表示随机产生的 PRT 位置。白色圆表示数据子载波位置。首先来自两个父代 A 和 B 的染色体从一个随机选择的交叉点被分成两部分 , 也就是图形中的 A 1 和 A 2 ,B 1 和 B 2 。然后通过交叉产生两个新的后代。也就是交换两个父代序列中交叉点后面的染色体。即保持 A 1 和 B 1 不动 , 交换 A 2 和 B 2 。于是两个新的后代被产生 , 也就是 A 1 B 2 和 B 1 A 2 被产生。接着对两个后代个体进行突变。由于交叉和突变运算 ,每一个后代个体的染色体中 PRT 集的数目可能多于或少于 M, 如果一个个体— 44 —

上海交通大学博士学位论文第三章基于 TR 的 PAPR 减少方法的 PRT 集数多于 M, 那么一个或多个随机选择的 PRT 会被删除 ; 如果一个个体的 PRT 集数目少于 M, 那么一个或多个随机选择的 PRT 会被添加。因此 , 我们提出的遗传算法基 PRT 位置搜索算法可以总结如下 :Algorithm 4 GA-PRT 算法1: 置种群大小 S,PRT 集大小 M, “ 精英 ” 序列数 T , 交叉概率 p c , 突变概率 p m , 最大递推数 K。2: 随机产生一个大小为 S 的初始可行种群 , 发现每个序列 A l 对应的 PRT 集 R。利用方程 (3.9) 计算每个 R l 的频域核函数 P l , 利用方程 (3.8) 计算每个 R l 的时域核函数 p l 。3: 利用方程 (3.12) 计算每个序列 A l 对应的次峰值。选择 T 个带有最低次峰值的 “ 精英 ” 序列。利用方程 (3.12) 找出当前种群中最好的次峰值和相应的 PRT 集。4: 对当前种群中的所有序列两两交叉和突变 , 交叉和突变概率分别为 p c 和 p m 。然后通过随机加或减操作来添加或去除当前种群中每个序列不足或多余的 1 和 0 的个数。5: 利用方程 (3.12) 计算新产生的种群中每个序列的次峰值。如果新种群的最好次峰值小于以前种群的最好次峰值 , 那么更新这个最好的次峰值和相应的 PRT 集。否则 , 保持以前的最好次峰值和相应的 PRT 集不变。6: 利用上一代中的 T 个精英 ” 序列替换当前代中带有最高次峰值的 T 个最差序列 , 然后重新选择 T 个精英 ” 序列。7: 如果循环达到了最大递推数 K, 输出 PRT 集和相应的次峰值 , 结束算法。否则 , 回到第四步 , 继续算法。3.4 自适应幅度切削 PAPR 减少算法基于确定的 PRT 集 ( 可以是等距离 PRT 集、连续 PRT 集和随机 PRT 集、由互熵方法或遗传算法确定的 PRT 集 ), 学者们已经提出了一些 PAPR 减少算法。由 Tellado 提出的时域梯度基方法是较著名的一个低复杂度算法 [60], 这个算法虽然简单 , 但是其收敛速度较慢 , 往往需要较大的递推次数才能取得较好的 PAPR 减少性能。而且算法每迭代一次只能抵消一个 OFDM 信号的峰值 , 并且还可能导致峰值再生。实际上 , 梯度基方法的基本思想来自切削技术。TR 类切削 - 滤波技术在文献 [113] 中已经被提出了 , 这个方法的基本思想就是递推地切削 OFDM 信号到一个预先指定的阈值 A, 接着这个切削的信号被滤波 , 使得— 45 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究切削噪声只出现在保护的子载波上。这个方法尽管简单 , 但是其收敛速度太慢。对此 , 文献 [62, 63] 给出了一种更好的计算方法 , 称之为改进的自适应缩放 (Adaptive-Scaling)TR(AS-TR) 算法。AS-TR 算法的基本过程由两步组成。1)首先在时域对过采样信号进行切削 ;2) 利用一对 FFT/IFFT 对信号在频域进行滤波 , 以压抑 OFDM 信号的峰值再生。其算法和复杂度为 O(LN log 2 (LN))。这种方法由于利用一对 IFFT/FFT 运算 , 每次能抵消多个 OFDM 信号的峰值 ,从而其收敛速度是很快的。但是这种方法的 PRT 位置是随机选取的 , 切削阈值也是事先通过仿真来确定的。因此 , 这种方法仍然没有解决 TR 类方法的核心问题 , 即怎样确定最优的 PRT 位置和怎样来自适应地确定最优切削阈值的大小。3.4.1 AS-TR 算法简介AS-TR 算法是一个递推切削和滤波技术。这个算法首先利用一个软限幅器作用于输入的 OFDM 信号上 , 来获得切削噪声 f (i)n ,f (i)n ={x(i)n− Ae jθ(i) n, |x (i)n | > A,0, |x (i)n | ≤ A,(3.13)这里 ,θ (i)n 是 x (i)n 的相位 ,i 定义了递推次数。A 是目标切削阈值 , 其与切削比 γ 的关系为 :γ =A2E|x n | 2 , (3.14)接着使切削噪声 f n(i) 通过一个通带只在保护子载波上的滤波器 , 来获得滤波切(i)削噪声 ˆf n 。令 f (i) = [f (i)0 , f (i)1 , . . . , f (i)LN−1 ]T 和 ˆf(i) (i) = [ ˆf 0 , 1 , . . . ,样因子。AS-TR 方法的峰值减少信号被递推更新如下 :ˆf(i)ˆf(i)LN−1 ]T , 其中 L 是过采x (i+1) = x (i) − βˆf (i) , (3.15)其中 β 是一个正步长因子 , 决定了 AS-TR 方法的收敛速度。在 AS-TR 方法中 ,最优 β 利用了下面的公式进行计算 :β (opt) =R[∑f n(i)n∈S pˆf n(i)]∑ , (3.16)(i)| ˆf n | 2n∈S p— 46 —

上海交通大学博士学位论文第三章基于 TR 的 PAPR 减少方法这里 ,R[x] 表示 x 的实部 ,S p = {n : n ∈ S 1 , |x (i)n | > |x (i)n−1| 和 |x (i)n | ≥ |x (i)n+1|} 是 f n(i)的峰值下标集合 ,S 1 = {n : |f n (i) | > 0} 是所有切削脉冲的下标集。一般来说 , 人们都期望利用较低的目标切削层来获得较大的 PAPR 减少性能。但是 AS-TR 方法的 PAPR 减少性能对切削阈值非常敏感 , 换句话说 , 不同的切削比 γ 可能导致不同的 PAPR 减少性能。这一点 , 我们会在仿真实验中例证。然而 , 最优的目标切削阈值 A opt 或切削比 γ opt 在初始阶段是不能预先确定的。这使得 AS-TR 方法变得根本无法实用。为了克服这个缺陷 , 我们提出了一个自适应幅度切削算法 , 这个算法不用预先通过仿真实验确定最优的目标切削阈值 A opt , 在算法的初始阶段 , 通常置一个较小的目标切削阈值或目标切削比。在算法运行过程中 , 通过自适应地增加目标切削比的值 , 使目标切削阈值达到最优。仿真结果表明 , 我们提出的自适应幅度切削算法对初始阈值 γ 不敏感 ,无论这个初始阈值 γ 被置于何值 , 算法的 PAPR 减少性能几乎是相同的。3.4.2 自适应幅度切削算法在这一节里 , 我们提出了一个自适应幅度切削算法 , 主要目的是既要控制目标切削阈值 A, 同时也要控制在算法的每次递推中的收敛因子 β。目标函数被定义为 :其中P = ∑ S 1[|x (i)nminβ,A P (3.17)2− Ae jθ(i) n(i)| − β| ˆf n |], (3.18)这里 ,S 1 = {n : |f n(i) | > 0} 是所有切削脉冲的下标集。我们选择 (3.18) 作为目标函数是基于下面的不等式 :[2 |x (i)n − Ae jθ(i) n(i) ∣| − β| ˆf n |]=∣≤∣|x (i)n∣x (i)n− Ae jθ(i) n| − β|− Ae jθ(i) n− β(i) ˆf n∣∣ 2 .(i) ˆf n | ∣ 2(3.19)下面我们利用最小均方算法来推导 (3.17) 式中的最优的 β。为此 , 对方程 (3.18) 两边求 P 关于 β 的导数 , 并令其等于 0。∂P[]∂β = −2∑ |x (i)n − Ae jθ(i) n(i)| − β| ˆf n |S 1∗ |ˆf(i)n | = 0 (3.20)上式可化简为 :∑|x (i)nS 1− Ae jθ(i) n| ∗ |(i) ˆf n | − β ∑ (i)| ˆf n | 2 = 0 (3.21)S 1— 47 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究所以 , 最优的 β 为 :β (i) =∑|x (i)nS 1− Ae jθ(i) n (i)| ∗ | ˆf n |∑(3.22)(i)| ˆf n | 2S 1考虑到方程 (3.13), 我们可以把方程 (3.22) 改写为以下更为简单的表达式 :β (i) ==∑S 1|f n(i)∑S 1|(i)| ∗ | ˆf n |= ⟨|f(i) |, |ˆf (i) |⟩(i) ˆf n | 2 ∥ ˆf, (3.23)(i)∥ 2这里 ,⟨·, ·⟩ 表示 S 1 上的实内积。这意味着 β 的计算是在实数域上 , 而不是复数域上。令 S 2 = {n : |f n(i+1)∪| > 0} 和 Ω = S 1 S2 。假定 Ω 的大小为 N 1 , 那么目标切削阈值 A 的梯度按下式进行更新 :∇ A =∑∣∣f n(i+1)n∈Ω∣N 1. (3.24)因此 , 我们提出的自适应幅度切削 (AAC-TR,Adaptive Amplitude Clipping)算法可以总结如下 :值得注意的是 , 算法 4 可以离线执行 , 由算法 4 决定的保护子载波集 R 将被用于算法 5 的所有 OFDM 符号。在接收端 , 由于解调是对每个子载波进行 ,因此这些保护的子载波可以被容易地丢弃 , 而这并不会降低数据载波的误比特率 (BER)。3.4.3 AAC-TR 算法的复杂性分析为了获得准确的 PAPR 减少 , 在过采样 ( 过采样因子 L ≥ 4) 情形下 ,AAC-TR 算法的复杂性通过实数乘法的次数被度量。一次复数乘法被折算为四次实数乘法。在 AAC-TR 算法中 , 我们只考虑了实数乘法的复杂性。由于所有的切削类 TR 算法都必须执行步骤 1 和步骤 2, 所以这两步的乘法运算并没有包括在复杂性分析内。在步骤 3 中 ,f n(i) 可以通过 f n(i)= x (i)n −x (i)n (A/|x (i)n |) 计算。其中 n ∈ S 1 = {n :|f n(i) | > 0},N S1 是 S 1 的大小。尽管 N S1 是一个随机变量 , 在所有的递推中 , 它基本上可以看作是一个常数。其均值可以如下计算 [93]:¯N S1 = LNe −A2 /2σ 2 . (3.26)— 48 —

上海交通大学博士学位论文第三章基于 TR 的 PAPR 减少方法Algorithm 5 AAC-TR 算法1: 置初始切削阈值 A, 最大递推数 K, 步长因子 ρ 以及通过算法 4 获得的保护子载波集 R。2: 置递推数 i=0, x (0) = x 和 A (0) = A, 这里 x (i) = [x (i)0 , x (i)1 , . . . , x (i)LN−1 ]T 。3: 利用方程 (3.13) 计算切削噪声 f n(i) 。如果没有切削进行 , 发射信号 x (i) , 结束算法。4: 对 f (i)n 进行滤波 , 使之满足子载波保护约束 :a) 利用 DFT 运算 , 将时域切削噪声 f (i) 转换为频域切削噪声 F (i) =DFT{f (i) }。b) 通过将 F (i) 投影到 PRT 集 , 并且去除 F (i) 的带外分量 , 获得滤波切削噪声 ˆF(i)。c) 通过 IDFT 运算 , 将频域滤波切削噪声 ˆF(i)转换到时域 , 获得时域滤波切削噪声 ˆf(i)。5: 利用方程 (3.23) 计算最优的步长 β (i) , 利用方程 (3.15) 更新 x (i+1) , 利用方程 (3.13) 更新 f (i+1) 。6: 利用方程 (3.24) 计算梯度 ∇ A , 并且通过下式更新切削阈值 A这里 ρ 是步长因子 , 满足 0 ≤ ρ ≤ 1。A (i+1) = A (i) + ρ∇ A . (3.25)7: 置 i = i + 1, 如果 i < K, 回到步骤 3; 否则 , 发射信号 x (i+1) , 结束算法。因此计算 f (i) 的复杂性可以被估计为 2 ¯N S1 次实数乘法和 ¯NS1 次实数加法。在步骤 4 中 , 计算一个带有 N S1 个非零输入和 N 个带内输出的 LN 点 DFT,需要的实数乘法次数可以如下计算 [64, 114]:M LN = M LN/2 + 2M LN/4 + max(0, min(6N S1 , 3LN/2 − 8)), (3.27)M L = 0, (3.28)M 2L = max(0, min(3N S1 , 3L/2 − 4)), (3.29)其中 ,M k 表示计算一个 k 点 DFT 所需要的实数乘法次数。基于 (3.27)-(3.29),通过用 ¯NS1 替换 N S1 ,DFT 的平均复杂度 M DF T 可以被计算。与此类似 , 通过用 M,LN 和 1 替换 N S1 ,N 和 L,IDFT 的平均复杂度 M IDF T 也可以被计算。— 49 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究在方程 (3.23) 中 ,β 的计算需要 2 ¯N S1 次实数乘法和 1 次实数除法。而在方程 (3.25) 和方程 (3.24) 中 ,A 的更新和 ∇ A 的计算分别只需要 1 次实数乘法和 1 次实数除法。AAC-TR 算法的复杂性主要取决于 LN 点 DFT/IDFT 对和在方程 (3.15) 中对切削噪声的加权计算。而这个加权计算需要 2LN 次实数乘法。基于上面的分析 , 对 K 次递推 , 我们提出的 AAC-TR 算法的总的计算复杂性为 :M = K(4 ¯N S1 + M DF T + M IDF T + 2LN + 1) (3.30)次实数乘法和 K( ¯N S1 + 2) 次实数除法。在 AAC-TR 算法中 , 如果用 FFT/IFFT 替换 DFT/IDFT 来计算峰值减少信号 , 则 AAC-TR 算法的计算复杂性可以被估计为 O(LN log(LN))。这个复杂性的阶和 AS-TR 方法是一致的。但是要比梯度算法好。后者的复杂性的阶为 O(LN 2 ) [64]。另一方面 , 我们提出的 AAC-TR 算法在每次递推中可以减少在目标切削阈值上的所有大的峰值 , 而梯度算法在每次递推中只能减少一个峰值。与 AS-TR 算法相比 ,AAC-TR 算法的计算复杂度稍微增加 , 这主要是基于下面的事实。对 AS-TR 算法 , 在方程 (3.16) 中 ,β 的计算是在 S p 上进行的 , 这需要 5 ¯N Sp 次实数乘法。然而 , 对 AAC-TR 算法 ,β 的计算是在 S 1 上进行的 , 这需要 2 ¯N√6 σS1 次实数乘法。利用文献 [62] 的结论 , 我们有 ¯NS1 = L ¯N π A Sp 。例如 , 当 L = 4, N = 512 和 γ = 5 dB 时 , 我们有 ¯NS1 = 86.6902 和 ¯NSp = 39.4389。因此在每次递推中 , 减少了 5 ¯N Sp − 2 ¯N Sp= 23.8139 次实数乘法。尽管在方程 (3.24) 和方程 (3.25) 中 , 目标切削阈值 A 的自适应更新 , 会导致计算量的增加 ,但这主要是实数加法的增加。而由于计算 β 的实数乘法次数的减少可以补偿一部分实数加法。从而使得 AAC-TR 算法的复杂性只是比 AS-TR 算法稍微增加。3.4.4 AAC-TR 算法的仿真结果为了评估和比较我们提出的遗传算法基的几乎最优 PRT 集位置搜索算法和 AAC-TR 算法对 OFDM 信号的 PAPR 减少性能 , 我们进行了仿真。在我们的仿真情形中 ,OFDM 系统采用了 N = 512 个子载波和 16-QAM 调制。保护的子载波数为 M = 32。为了获得 OFDM 信号的 CCDF, 我们随机产生了 10 5个 OFDM 符号。为了获得准确的 PAPR 估计 , 对 OFDM 信号进行 L = 4 倍过采样。— 50 —

上海交通大学博士学位论文第三章基于 TR 的 PAPR 减少方法在 GA-PRT 算法中 , 种群大小为 S = 30, 最大递推数为 K = 170, 交叉概率为 p c = 0.9, 突变概率为 p m = 0.05, 精英序列数为 T = 2。我们也比较了随机集优化 (RSO,Random Set Optimization) 算法和互熵 (CE,Cross Entropy) 算法。RSO 算法的最优 PRT 集是通过随机产生 10 5 个 PRT 集 , 然后从中选择次峰值最小的 PRT 集作为最优解。对 CE 算法 , 我们采用了和文献 [66] 相同的仿真参数 , 即种群大小或采样数为 U = 120。步长大小为 ρ = 0.1, 平滑因子为 λ = 0.8,最大递推数为 K = 170。对保护子载波数为 M = 32 的 OFDM 系统 , 利用提出的 GA-PRT 算法和文献中存在的各种方法获得的最优 PRT 集如下 :GA-PRT = {10, 11, 28, 42, 43, 61, 95, 107, 115, 120, 131, 155, 156, 160, 176, 193,202, 215, 232, 254, 273, 316, 321, 337, 370, 384, 403, 412, 416, 447, 484, 485},CE-PRT = {8, 49, 75, 76, 111, 117, 127, 134, 145, 156, 159, 163, 164, 202, 214, 223,258, 268, 273, 322, 342, 350, 366, 412, 427, 438, 455, 457, 458, 467, 488, 504},CS-PRT = {225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239,240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256},ES-PRT = {15, 31, 47, 63, 79, 95, 111, 127, 143, 159, 175, 191, 207, 223, 239, 255, 271,287, 303, 319, 335, 351, 367, 383, 399, 415, 431, 447, 463, 479, 495, 511},RS-PRT = {16, 45, 57, 61, 63, 80, 81, 104, 105, 118, 134, 155, 159, 167, 184, 187, 198,200, 201, 203, 241, 250, 276, 284, 329, 394, 408, 459, 466, 481, 495, 498},其中 ,GA-PRT, CE-PRT, CS-PRT, ES-PRT 和 RS-PRT 分别表示 GA 优化的 PRT 集 ,CE 优化的 PRT 集 , 连续 PRT 集 , 等距离 PRT 集和随机优化的 PRT 集。3.4.4.1 计算复杂性对归一化次峰值表 3.1 给出了不同方法的计算复杂性和归一化次峰值的比较结果。为了比较 , 以 CE 算法的次峰值作为基准 , 我们给出了 CE 算法和其它方法的归一化次峰值的差。从表 3.1 我们可以看出 , 由连续 PRT 集和等距离 PRT 集获得的次— 51 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究表 3.1 不同方法的计算复杂性 , 次峰值和 CE 算法的次峰值的差的比较methods 计算复杂性归一化次峰值与 CE 的次峰值的差CS-PRT - 0.9936 0.7131ES-PRT - 1 0.7195GA-PRT SK = 30 ∗ 170 = 5100 0.2996 0.0191CE-PRT UK = 120 ∗ 170 = 20400 0.2805 0RS-PRT 10 5 0.3207 0.040210 0 PAPR0 [dB]CCDF (Pr[PAPR>PAPR0])10 −110 −210 −3OriginalCS−TRES−TRGA−TRCE−TRRS−TR10 −45 6 7 8 9 10 11 12 13图 3.2 基于 Tellado 的梯度算法的不同 PRT 集的 PAPR 比较Fig.3.2Comparison of PAPR reduction based on the Tellado’s gradientalgorithm with different PRT sets.峰值几乎相同 , 是所有方法中性能最差的。由 CE 算法获得的次峰值优于所有其它方法的次峰值。利用带有 10 5 个随机产生的 PRT 集的 RSO 算法获得的次峰值比带有 20400 次搜索的 CE 算法的次峰值大 0.0402, 因此与 RSO 算法相比 , 带有更低复杂度的 CE 算法取得了更好的性能。另一方面 ,CE 算法的复杂性是我们提出的 GA-PRT 算法的 4 倍 , 但是两种方法的次峰值的差只是 0.0191。换句话— 52 —

上海交通大学博士学位论文第三章基于 TR 的 PAPR 减少方法说 ,GA-PRT 算法比 CE-PRT 算法减少了 (20400 − 5100) = 15300 次运算 , 而带有 0.0191 的次峰值惩罚。因此 , 对于解这个次峰值问题 , 提出的 GA-PRT 算法比 CE-PRT 算法更高效。尽管 GA-PRT 算法和 CE-PRT 算法的次峰值有 0.0191 的差值 , 但是它们的 PAPR 减少性能几乎是相同的 , 我们会在图 3.2 中加以例证。3.4.4.2 PAPR 减少对不同的 PRT 集在图 3.2 中 , 我们比较了基于 Tellado 的梯度下降算法 (GD-TR) [60] 对上述五种不同的 PTR 集的 PAPR 减少性能。这里最大递推数都取 10。当 P r (P AP R >P AP R 0 ) = 10 −4 时 , 原始的 OFDM 信号 ( 即没有经过任意处理 ) 的 PAPR 是 12 dB。CS-PRT 集和 ES-PRT 集的 PAPR 分别是 10.8 dB 和 10.5 dB。带有 10 5 个随机选择的 PRT 集的 RSO 的 PAPR 是 9.2 dB。带有 UK = 120 ∗ 170 = 20400 次搜索的 CE-PRT 集获得的 PAPR 是 9.1 dB。带有 SK = 30 ∗ 170 = 5100 次搜索的 GA-PRT 集获得的 PAPR 是 9.1 dB。通过 CE-PRT 集和 GA-PRT 集获得的 PAPR, 两者之间的差可以忽略不计。然而从表 3.1, 我们知道 ,GA-PRT 的搜索复杂度只是 CE-PRT 的复杂度的 SK/UK = 30/120 = 25%。3.4.4.3 PAPR 减少对不同的方法在图 3.3 中 , 对相同的 GA-PRT 集 , 我们比较了提出的 AAC-TR 算法 , 常数尺度 (Constant,Constant Scaling) 算法 ,AS-TR 算法 [62, 63], 信号对切削噪声比 (SCR-TR,Signal to Clipping Noise Ratio) 算法和梯度下降 (GD-TR,Gradient Descent) 算法 [60] 的 PAPR 减少性能。这里对常数尺度算法最大递推数为 40,AS-TR,AAC-TR,SCR-TR 和 GD-TR 算法的最大递推数取为 10。当 P r (P AP R > P AP R 0 ) = 10 −4 时 , 原始的 OFDM 信号的 PAPR 是 11.9 dB。利用常数尺度算法 ,SCR-TR 算法 ,GD-TR 算法和 AS-TR 算法 , 其 PAPR 分别被减少到大约 9.33 dB,9.67 dB,9.22 dB 和 8.56 dB。而利用提出的 AAC-TR 算法 ,这个 PAPR 被减少到大约 7.05 dB。与原始 OFDM 信号的 PAPR 相比 , 大约获得了 4.85 dB 的减少增益 , 这个增益比 AS-TR 算法的增益大 1.51 dB, 比 SCR-TR 算法的增益大 2.62 dB, 比 GD-TR 算法的增益大 2.17 dB, 比常数尺度算法的增益大 2.28 dB。另一方面 , 从这个图形中 , 我们也可以看出 ,AS-TR 算法的性能也优于 SCR-TR,GD-TR 算法和常数尺度算法的 PAPR 减少性能。3.4.4.4 平均 PAPR 减少对递推次数在图 3.4 中 , 我们比较了在切削比 γ = 4 dB 时 ,AS-TR, AAC-TR 和 GD-— 53 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究10 0 PAPR0 [dB]CCDF (Pr[PAPR>PAPR0])10 −110 −210 −3OriginalConstantAS−TRAAC−TRGD−TRSCR−TR10 −45 6 7 8 9 10 11 12图 3.3 带有相同的 GA-PRT 集 , 不同方法的 PAPR 比较Fig.3.3 Comparison of PAPR reduction for different methods with the sameGA-PRT set.TR 三种算法的平均 PAPR 减少与递推的关系。从这个图形中 , 我们可以看出 ,AAC-TR 算法的平均 PAPR 减少性能要好于 AS-TR 和 GD-TR 二种算法的性能。当递推数为 11 时 ,AAC-TR 算法的平均 PAPR 收敛到 6 dB。尽管 GD-TR 算法是简单的 , 但是其收敛速度是三种方法中最慢的。当递推数为 20 时 , 它的平均 PAPR 逼近到 7.4 dB, 这比 AAC-TR 算法在 11 次递推时的 PAPR 大 1.4 dB。当递推数为 7 时 ,AS-TR 算法的 PAPR 收敛到 7.1 dB, 但它比相同递推情形时的 AAC-TR 算法大约大 0.9 dB。从这个图形中 , 我们还可以发现 ,AS-TR 算法的收敛是最快的 , 大约递推 7 次算法就已收敛 , 增加递推次数 , 并不能真正改善解的质量。因此它只是收敛到一个局部最优解 , 并不是真正的最优解。3.4.4.5 平均功率增加 , 平均仿真时间和 PAPR 减少对不同的方法在表 3.2 中 , 当切削比 γ = 5 dB, 递推数为 10 时 , 我们比较了 AS-TR,AAC-TR 和 GD-TR 三种方法的平均功率增加 (API,Average Power Increment),平均仿真时间 (AST,Average Simulation Time) 和 PAPR。所用的机器配置为— 54 —

上海交通大学博士学位论文第三章基于 TR 的 PAPR 减少方法98.5AAC−TRAS−TRGD−TRAverage PAPR [dB]87.576.562 4 6 8 10 12 14 16 18 20Iteration Numbers图 3.4 不同方法的 PAPR 减少与递推的关系Fig.3.4 Relationship of PAPR reduction with iteration numbers for differentmethods.表 3.2 当 γ = 5 dB 时 , 不同方法的平均功率增加 , 平均仿真时间和 PAPRmethods API (dB) AST (ms) PAPR (dB)GD-TR 0.3867 7.7485 9.22AS-TR 0.3854 11.3914 8.56AAC-TR 0.2596 13.2898 7.05内存为 2G 的 Pentium 双核 2.7G 计算机 , 使用了 Matlab 2011a 软件包。我们观察到 GD-TR 方法的 AST 是最少的 ( 注意 GD-TR 方法必须事先存贮一个 LN ×LN 的 IFFT 矩阵 , 这个矩阵的计算所用的时间并没有计算在 AST 内 )。尽管其 AST 最小 , 但是其 PAPR 比 AS-TR 算法的 PAPR 大 0.66 dB, 比 AAC-TR 方法大 2.17 dB。AS-TR 和 GD-TR 二种方法的 API 几乎相同。与 AS-TR 算法相比 ,AAC-TR 算法的 AST 稍微增加 , 但是它的 API 要少于 AS-TR 算法的 API, 它的 PAPR 比 AS-TR 算法的 PAPR 小 1.51 dB。— 55 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究CCDF (Pr[PAPR>PAPR0])10 0 PAPR0 [dB]10 −110 −210 −3OriginalAS−TR: γ=0dBAS−TR: γ=2dBAS−TR: γ=4dBAAC−TR: γ=0dBAAC−TR: γ=2dBAAC−TR: γ=4dB10 −44 5 6 7 8 9 10 11 12 13图 3.5 不同的切削比时 ,AAC-TR 和 AS-TR 二种方法的 PAPR 减少比较Fig.3.5 Comparison of PAPR reduction between AAC-TR and AS-TR withdifferent clipping ratio.3.4.4.6 PAPR 减少对不同的切削比在图 3.5 中 , 我们比较了 AAC-TR 和 AS-TR 二种方法的 PAPR 减少性能。对三种不同的目标切削比 γ = 0 dB, 2 dB 和 4 dB, 递推数均为 10。为了比较 ,我们也给出了原始 OFDM 信号的 PAPR。当 P r (P AP R > P AP R 0 ) = 10 −4 时 ,对三个不同的切削比 γ = 0 dB, 2 dB 和 4 dB,AS-TR 算法的 PAPR 分别比原始 OFDM 信号的 12 dB 的 PAPR 分别减少了 0.9 dB, 1.4 dB 和 2.4 dB。这表明 AS-TR 算法对目标切削比的取值是非常敏感的 , 不同的切削比会导致不同的 PAPR 减少性能。与 AS-TR 算法相反 , 提出的 AAC-TR 算法对三个不同的切削比都比原始 OFDM 信号的 12 dB 的 PAPR 减少了 5 dB, 这表明我们提出的 AAC-TR 算法对初始切削比表现出很好的稳定性 , 其 PAPR 减少性能并不随初始切削比的不同而发生变化。— 56 —

上海交通大学博士学位论文第三章基于 TR 的 PAPR 减少方法3.5 基于粒子群优化算法的 PRT 集选择在这一节里 , 我们先简要介绍粒子群算法 , 然后利用它来搜索几乎最优的 PRT 集位置。利用粒子群算法得到的 PRT 集会用于下一节我们提出的改善的自适应幅度切削算法。3.5.1 粒子群优化算法简介粒子群优化 (PSO,Particle Swarm Optimization) 算法是由 Kennedy 和 Eberhart[115] 发展的一个用于全局优化的种群智能算法。PSO 算法首先随机产生一个大小为 S 的初始种群。种群的每一个元素称之为粒子。每个粒子用一个 N 维位置向量 Y i = (y i0 , y i1 , . . . , y iN−1 ) 和速度向量 V i = (v i0 , v i1 , . . . , v iN−1 ) 表示。每个粒子跟踪其个体的最好位置 Z i = (z i0 , z i1 , . . . , z iN−1 ) 和迄今为止整个种群中所有 Z i , (i = 1, 2, . . . , S) 的全局最好位置 Z g = (z g0 , z g1 , . . . , z gN−1 )。在种群的进化过程中 , 粒子的速度和位置按照下式进行更新 [115]:{Vj+1i = ωV j i + c 1r j i1 (Zj i − Yj i ) + c 2r j i2 (Zj g − Y j i ),Y j+1i = Y j i + Vj+1 i ,(3.31)这里 , 上标 j 表示递推数 ,ω 是惯性权重 ,c 1 和 c 2 是两个称之为认知和社会参数的正的常数。r i1 和 r i2 是两个在区间 [0, 1] 上均匀分布的随机数。对 PSO 算法的收敛行为 , 惯性权重 ω 的角色是非常重要的。它控制过去的速度对现在速度的影响。在本文中 , 我们利用下面的公式来自适应地调整惯性权重 ω [116]:ω = ω max −( )ωmax − ω miniter, (3.32)iter max这里 ,ω max 是初始惯性权重 ,ω min 是最后权重 ,iter max 是最大递推数 ,iter 是当前递推数。为了应用 PSO 算法来求解 PRT 集位置选取问题 , 我们利用了 PSO 算法的离散形式 [117]。在离散形式中 , 方程 (3.31) 利用下式进行更新 :{1, rand < S(vjy j ik = ik ),0, otherwise,(3.33)其中 ,rand 是在区间 [0, 1] 上的一个随机数 ,S(·) 是一个对数变换 , 其定义为 :S(v j ik ) = 1(3.34)1 + exp(−v j ik).— 57 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究PSO 算法的结束标准一般按照是否达到最大递推或一个预先定义的适应值阈值来决定。PSO 算法已经被应用到许多优化问题中 , 例如对 CDMA 系统的多用户检测 [117], 无线传感器网络的功率调度 [118], 波束成形 [119] 等。对 PSO 算法的完整理解 , 请参考文献 [115, 120, 121]。3.5.2 基于粒子群优化算法的 PRT 位置搜索算法PSO 算法的基本思想就是利用个体信息 , 个体最优和全局最优信息来修正下一代粒子的位置和速度。在我们提出的 PSO 基 PRT 位置搜索算法中 , 利用方程 (3.33) 产生的每一个 Y i 被用作频域核函数 P。因此 Y i 中的 PRT 集 ( 其中 1 表示 PRT 位置 ,0 表示数据子载波位置 ) 是在 Y i 中的 1 的位置集合。在我们提出的 PSO 基 PRT 位置搜索算法中 , 我们首先初始化种群大小 S, 初始惯性权重 ω max , 最后权重 ω min , 最大递推数 iter max , 认知和社会参数 c 1 和 c 2 ,PRT 集大小 M。接着产生一个带有随机速度 V = {V 1 , V 2 , . . . , V S } 的初始可行种群 Y = {Y 1 , Y 2 , . . . , Y S }。每一个 Y i 都是一个带有 M 个 1 的长度为 N 的二进向量 , 也就是频域核函数 P i 。通过方程 (3.8), 我们获得了时域核函数 p i , 然后利用方程 (3.12) 和方程 (3.11) 求得每个粒子的次峰值和整个种群的最好次峰值。接着利用方程 (3.31)-(3.34) 来更新速度向量 V 和位置向量 Y。由于更新后 ,每个 Y i 中的 1 的总数可能不再等于 M, 因此我们从 Y i 中通过随机添加或删除必要的 1 来保证相应的 PRT 集数是 M。在每次递推中 , 每一个 Y i 的次峰值和种群 Y 的最好次峰值均被更新。如果 m(Y i ) < m(Z i ), 用 Y i 更新 Z i ; 否则保持 Z i 不变。同时 , 如果 m(Y) < m(Z g ), 用种群 Y 中的最好次峰值更新 Z g ; 否则保持 Z g 不变。如果循环达到了最大递推数 , 那么输出 Z g 和 m(Z g )。因此提出的 PSO 基 PRT 位置搜索算法可以总结如下 :3.6 改进的自适应幅度切削算法在 (3.4) 节 , 我们提出了自适应幅度切削 AAC-TR 算法。通过分析算法的复杂度 , 我们提出的 AAC-TR 算法比 AS-TR 的复杂度稍微增加。在这一节里 , 通过对 AAC-TR 算法进行改进 , 我们得到了复杂度比 AS-TR 算法大大降低的改进的 AAC-TR 算法。— 58 —

上海交通大学博士学位论文第三章基于 TR 的 PAPR 减少方法Algorithm 6 PSO-PRT 算法1: 初始化 S, M, N, ω max , ω min , c 1 , c 2 和 iter max .2: 随机产生一个初始可行种群 Y = {Y 1 , Y 2 , . . . , Y S }, 带有随机的速度 V ={V 1 , V 2 , . . . , V S }。3: 对 i = 1, . . . , S, 利用方程 (3.12) 计算 m(Y i ), 利用方程 (3.11) 计算 m(Y)。令 Z i = Y i 和 Z g = m(Y).4: 对 i = 1, . . . , S, 利用方程 (3.31)-(3.34) 更新速度 V i 和位置 Y i 。5: 在每个 Y i , i = 1, . . . , S 中随机添加或删除必要的 1, 使得每个 Y i 中 PRT 集的大小是 M.6: 计算新种群的次峰值。如果 m(Y i ) < m(Z i ), 用 Y i 更新 Z i ; 否则保持 Z i 不变。如果 m(Y) < m(Z g ), 用种群 Y 中的最好次峰值更新 Z g ; 否则保持 Z g 不变。7: 如果循环达到了最大递推数 iter max , 那么输出 m(Z g ) 和 Z g ; 否则返回步骤 4.为了能与 AS-TR 算法进行公平的比较 , 我们采用了和 AS-TR 算法类似的目标函数 , 即我们要求解下面的优化问题 :minβ,A P 1 (3.35)其中P 1 = ∑ S 1|x (i)n− Ae jθ(i) n− βˆf(i)n | 2 , (3.36)这里 S 1 = {n : |f (i)n | > 0} 是所有切削脉冲的下标集。下面我们利用最小均方算法来求解上式中的最优的 β。利用方程 (3.13) 化简上式 , 可以得到 :P 1 = ∑ S 1(|f n(i)| 2 + β 2 |ˆf(i)n | 2 )− 2βR[ ∑S 1(f (i)n·ˆf(i)∗n )], (3.37)这里 ,R[x] 表示 x 的实部 ,(·) ∗ 表示复共轭。于是 , 对方程 (3.37) 两边求 P 1 关于 β 的导数 , 并令其等于 0。∂P 1∂β = 2β∑ S 1|(i) ˆf n | 2 − 2R[ ∑S 1(f (i)n·ˆf(i)∗n )]= 0, (3.38)— 59 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究所以 , 最优的 β 为 :β (i) =[ ∑R (f n(i) ·S 1](i)∗ ˆf n )∑ = R[⟨f(i) ,ˆf (i) ⟩](i)| ˆf n | 2 ∥ ˆf, (3.39)(i)∥ 2S 1这里 ,⟨·, ·⟩ 表示 S 1 上的复内积。回想 AS-TR 算法 , 从切削噪声 f (i) 出发 , 利用一个 LN 点 FFT/IFFT 变换对 ,我们获得了滤波切削噪声 ˆf(i)。注意到在 f (i) 中只有 N S1 个非零元素 , 这里 ,N S1是集 S 1 的大小。我们因此构造一个高效的算法来大大减少计算复杂度。令 Q e 是一个 LN 点 IDFT 矩阵 , ˆQ 是 Q e 的一个子矩阵。 ˆQ 的列对应于通过 PSO-PRT 算法发现的 PRT 集位置。频域滤波切削噪声通过下式计算 :F (i) = ˆQ H f (i) . (3.40)那么时域滤波切削噪声为 :ˆf(i)= IFFT(ˆF(i)). (3.41)(i)这里 , ˆF 是 F (i) 在过采样情形下的扩展 , 即在 ˆF(i)中 PRT 集位置上的分量等于在 F (i) 中对应的分量 , 其它位置上的分量都被置为 0。因为 PRT 集的大小 M ≪LN, 以这种方式计算时域滤波切削噪声 , 复杂性大大减少。计算复杂性分析会在下一节进行。我们提出的改进的 AAC-TR 算法总结如下 :Algorithm 7 改进的 AAC-TR 算法1: 置初始切削阈值 A, 最大递推数 K, 过采样因子 L 和通过 PSO-PRT 算法获得的保护子载波集 R。2: 置 i=0, x (0) = x 和 A (0) = A, 其中 x (i) = [x (i)0 , x (i)1 , . . . , x (i)LN−1 ]T 。3: 利用方程 (3.13) 计算切削噪声 f n(i) 。如果没有切削进行 , 发射信号 x (i) , 结束算法。4: 利用方程 (3.40) 和 (3.41) 计算滤波切削噪声 ˆf(i)。5: 利用方程 (3.39) 计算最优步长 β (i) 。6: 利用方程 (3.15) 更新 x i 。7: 利用方程 (3.24) 计算梯度 ∇ A , 然后用方程 (3.25) 更新切削阈值 A。8: 置 i = i + 1, 如果 i < K, 回到步骤 3; 否则 , 发射信号 x (i+1) , 结束算法。— 60 —

上海交通大学博士学位论文第三章基于 TR 的 PAPR 减少方法3.6.1 改进的 AAC-TR 算法的计算复杂性分析改进的 AAC-TR 算法的步骤 3 的计算同原始的 AAC-TR 算法的步骤 3。在步骤 4 中 , 因为切削噪声 f (i) 只有 ¯NS1 个非零元素 , ˆQ H f (i) 的计算只需要 M ¯N S1 次复数乘法和 M( ¯N S1 − 1) 次复数加法。因此 ˆf(i)的计算总共需要LN/2 log(LN) + M ¯N S1 次复数乘法和 LN log(LN) + M( ¯N S1 − 1) 次复数加法。由于 M ≪ LN 和方程 (3.26), 计算滤波切削噪声 ˆf(i)的复杂度可以被估计为 O(LN/2 log(LN))。值得注意的是 , ˆQ 的计算是相当简单的。因为通过 PSO-PRT 算法得到的 PRT 集是固定的 , ˆQ 也被固定。因此我们可以在算法的初始阶段预先存贮 ˆQ。在方程 (3.39),β 的计算需要 5 ¯N S1 次实数乘法和一次实数加法。在方程 (3.25) 中 A 的更新只需要一次实数乘法 , 在方程 (3.24) 中 ∇ A 的计算只需要一次实数除法。改进的 AAC-TR 算法的复杂性主要取决于滤波切削噪声 ˆf(i)和在方程 (3.15) 中对切削噪声的加权计算。后者需要 2LN 次实数乘法。基于上面的分析 , 对 K 次递推 , 改进的 AAC-TR 算法的复杂性为 :M = K(7 ¯N S1 + 2LN log(LN) + 4M ¯N S1 + 2LN + 1) (3.42)次实数乘法和 K( ¯N S1 + 2) 次实数加法。考虑到 M ≪ LN 和方程 (3.26), 改进的 AAC-TR 算法的复杂性可以被估计为 O(LN/2 log(LN)), 这比 AS-TR 算法减少了一半。更低于梯度算法 , 其复杂性为 O(LN 2 ) [64]。另一方面 , 改进的 AAC-TR 算法在每次递推中可以减少在目标切削阈值上的所有大的峰值 , 而梯度算法在每次递推中只能减少一个峰值。与 AS-TR 算法相比 , 改进的 AAC-TR 算法的计算复杂度大大降低 , 这主要是基于下面的事实。对 AS-TR 算法 , 在方程 (3.16) 中 ,β 的计算是在 S p 上进行的 , 这需要 5 ¯N Sp 次实数乘法。然而 , 对改进的 AAC-TR 算法 ,β 的计算是在 S 1 上进行的 , 这需要 5 ¯N S1 次实数乘法。利用文献 [62] 的结论 , 我们有 ¯NS1√=6 σL ¯N π A Sp 。因此在每次递推中 , 增加了 5( ¯N S1 − ¯N√6 σSp ) = 5(L − 1) ¯N π A Sp次实数乘法。另一方面 , 在改进的 AAC-TR 算法中 , 方程 (3.40) 中 F (i) 的计算需要 4M ¯N S1 次实数乘法 , 而 AS-TR 算法需要 2LN log(LN) 次实数乘法。例如 , 当 L = 4, M = 32,N = 512 和 γ = 4 dB 时 , 我们有 ¯NS1 = 166.1237,¯N Sp = 67.3575,4M ¯N S1 = 21264 和 2LN log(LN) = 45056。改进的 AAC-TR 算法的乘法次数减少了 45056 − 21264 − 5 × (166.1237 − 67.3575) = 23298,— 61 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究所以对一次递推 , 改进的 AAC-TR 算法的复杂性是 AS-TR 算法的7 ¯N S1 + 2LN log(LN) + 4M ¯N S1 + 2LN + 12 ¯N S1 + 5 ¯N Sp + 4LN log(LN) + 2LN7 ∗ 166.1237 + 2 ∗ 4 ∗ 512 ∗ log(4 ∗ 512) + 4 ∗ 32 ∗ 166.1237 + 2 ∗ 4 ∗ 512 + 1=2 ∗ 166.1237 + 5 ∗ 67.3575 + 4 ∗ 4 ∗ 512 ∗ log(4 ∗ 512) + 2 ∗ 4 ∗ 512= 75.44% (3.43)尽管在方程 (3.24) 和方程 (3.25) 中 , 目标切削阈值 A 的自适应更新 , 会导致计算量的增加 , 但这主要是实数加法的增加。而由于计算 β 的实数乘法次数的减少足以补偿这部分实数加法带来的运算次数的增加。从而使得 AAC-TR 算法的复杂性比 AS-TR 算法大大减少。3.6.2 改进的 AAC-TR 算法的仿真结果为了评估和比较我们提出的粒子群算法基的几乎最优 PRT 集位置搜索算法和改进的 AAC-TR 算法对 OFDM 信号的 PAPR 减少性能 , 我们进行了仿真。在我们的仿真情形中 ,OFDM 系统采用了 N = 512 个子载波和 16-QAM 调制。保护的子载波数为 M = 32。为了获得 OFDM 信号的 CCDF, 我们随机产生了 10 5个 OFDM 符号。为了获得准确的 PAPR 估计 , 对 OFDM 信号进行 L = 4 倍过采样。在 PSO-PRT 算法中 , 种群大小为 S = 30, 最大递推数为 K = 170, 惯性权重 ω max = 0.9,ω min = 0.4, 认知和社会参数 c 1 = c 2 = 2。我们也比较了随机集优化 (RSO,Random Set Optimization) 算法和互熵 (CE,Cross Entropy) 算法。RSO 算法的最优 PRT 集是通过随机产生 10 5 个 PRT 集 , 然后从中选择次峰值最小的 PRT 集作为最优解。对 CE 算法 , 我们采用了和文献 [66] 相同的仿真参数 ,即种群大小或采样数为 U = 120。步长大小为 ρ = 0.1, 平滑因子为 λ = 0.8, 最大递推数为 K = 170。对保护子载波数为 M = 32 的 OFDM 系统 , 利用提出的 PSO-PRT 算法和文献中存在的各种方法获得的最优 PRT 集如下 :PSO-PRT = {64, 89, 97, 98, 104, 109, 124, 144, 186, 202, 204, 228, 239, 265, 271,277, 280, 315, 318, 337, 345, 374, 376, 391, 427, 431, 459, 461, 472, 483, 484, 493}CE-PRT = {75, 93, 129, 133, 203, 208, 228, 235, 254, 260, 262, 272, 275, 288, 295,311, 319, 340, 349, 356, 365, 392, 406, 420, 463, 465, 468, 469, 482, 483, 494, 505}— 62 —

上海交通大学博士学位论文第三章基于 TR 的 PAPR 减少方法CS-PRT = {225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239,240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256}ES-PRT = {15, 31, 47, 63, 79, 95, 111, 127, 143, 159, 175, 191, 207, 223, 239, 255,271, 287, 303, 319, 335, 351, 367, 383, 399, 415, 431, 447, 463, 479, 495, 511}RS-PRT = {18, 25, 29, 34, 51, 65, 78, 84, 129, 147, 167, 177, 185, 204, 207, 241, 278,282, 284, 299, 329, 349, 356, 372, 380, 401, 405, 416, 477, 487, 492, 493}其中 ,PSO-PRT, CE-PRT, CS-PRT, ES-PRT 和 RS-PRT 分别表示 PSO 优化的 PRT 集 ,CE 优化的 PRT 集 , 连续 PRT 集 , 等距离 PRT 集和随机优化的 PRT 集。3.6.2.1 计算复杂性对归一化次峰值表 3.3 各种方法的计算复杂性 , 次峰值和 CE 算法的次峰值的差的比较methods 计算复杂性次峰值和 CE 算法的次峰值的差CS-PRT - 0.9936 0.7218ES-PRT - 1 0.7282PSO-PRT SK = 30 ∗ 170 = 5100 0.3008 0.0290CE-PRT UK = 120 ∗ 170 = 20400 0.2718 0RS-PRT 10 5 0.3210 0.0419表 3.3 给出了不同方法的计算复杂性和归一化次峰值的比较结果。为了比较 , 以 CE 算法的次峰值作为基准 , 我们给出了 CE 算法和其它方法的归一化次峰值的差。从表 3.3 我们可以看出 , 由连续 PRT 集和等距离 PRT 集获得的次峰值几乎相同 , 是所有方法中性能最差的。由 CE 算法获得的次峰值优于所有其它方法的次峰值。利用带有 10 5 个随机产生的 PRT 集的 RSO 算法获得的次峰值比带有 20400 次搜索的 CE 算法的次峰值大 0.0419, 因此与 RSO 算法相比 ,带有更低复杂度的 CE 算法取得了更好的性能。另一方面 ,CE 算法的复杂性是我们提出的 PSO-PRT 算法的 4 倍 , 但是两种方法的次峰值的差只是 0.0290。换句话说 ,PSO-PRT 算法比 CE-PRT 算法减少了 (20400 − 5100) = 15300 次运算 , 而带有 0.0290 的次峰值惩罚。因此 , 对于解这个次峰值问题 , 提出的 PSO-PRT 算法比 CE-PRT 算法更高效。尽管 PSO-PRT 算法和 CE-PRT 算法的次峰值— 63 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究10 0 PAPR0 [dB]CCDF (Pr[PAPR>PAPR0])10 −110 −210 −3OriginalCS−TRES−TRPSO−TRCE−TRRS−TR10 −45 6 7 8 9 10 11 12 13图 3.6 基于 Tellado 的梯度算法的不同 PRT 集的 PAPR 比较Fig.3.6Comparison of PAPR reduction based on the Tellado’s gradientalgorithm with different PRT sets.有 0.0290 的差值 , 但是它们的 PAPR 减少性能几乎是相同的 , 我们会在图 3.6 中加以例证。3.6.2.2 PAPR 减少对不同的 PRT 集在图 3.6 中 , 我们比较了基于 Tellado 的梯度下降算法 (GD-TR) [60] 对上述五种不同的 PTR 集的 PAPR 减少性能。这里最大递推数都取 10。当 P r (P AP R >P AP R 0 ) = 10 −4 时 , 原始的 OFDM 信号 ( 即没有经过任意处理 ) 的 PAPR 是 12 dB。CS-PRT 集和 ES-PRT 集的 PAPR 分别是 10.8 dB 和 10.5 dB。带有 10 5 个随机选择的 PRT 集的 RSO 的 PAPR 是 9.25 dB。带有 UK = 120∗170 = 20400 次搜索的 CE-PRT 集获得的 PAPR 是 9.0 dB。带有 SK = 30 ∗ 170 = 5100 次搜索的 PSO-PRT 集获得的 PAPR 是 9.0 dB。通过 CE-PRT 集和 PSO-PRT 集获得的 PAPR, 两者之间的差可以忽略不计。然而从表 3.3, 我们知道 ,PSO-PRT 的搜索复杂度只是 CE-PRT 的复杂度的 SK/UK = 30/120 = 25%。— 64 —

上海交通大学博士学位论文第三章基于 TR 的 PAPR 减少方法10 0 PAPR0 [dB]CCDF (Pr[PAPR>PAPR0])10 −110 −210 −3OriginalConstantAS−TRAAC−TRGD−TRSCR−TR10 −45 6 7 8 9 10 11 12 13图 3.7 带有相同的 PSO-PRT 集 , 不同方法的 PAPR 比较Fig.3.7 Comparison of PAPR reduction for different methods with the samePSO-PRT set.3.6.2.3 PAPR 减少对不同的方法在图 3.7 中 , 对相同的 PSO-PRT 集 , 我们比较了提出的改进的 AAC-TR 算法 , 常数尺度 (Constant,Constant Scaling) 算法 ,AS-TR 算法 [62, 63], 信号对切削噪声比 (SCR-TR,Signal to Clipping Noise Ratio) 算法和梯度下降 (GD-TR,Gradient Descent) 算法 [60] 的 PAPR 减少性能。这里对常数尺度算法最大递推数为 40,AS-TR, 改进的 AAC-TR,SCR-TR 和 GD-TR 算法的最大递推数取为 10。当 P r (P AP R > P AP R 0 ) = 10 −4 时 , 原始的 OFDM 信号的 PAPR 是 12 dB。利用常数尺度算法 ,SCR-TR 算法 ,GD-TR 算法和 AS-TR 算法 , 其 PAPR 分别被减少到大约 9.8 dB,10.1 dB,9.2 dB 和 9.5 dB。而利用提出的改进的 AAC-TR 算法 , 这个 PAPR 被减少到大约 7.9 dB。与原始 OFDM 信号的 PAPR 相比 , 改进的 AAC-TR 算法大约获得了 4.1 dB 的减少增益 , 这个增益比 AS-TR 算法的增益大 1.6 dB, 比 SCR-TR 算法的增益大 2.2 dB, 比 GD-TR 算法的增益大 1.3 dB, 比常数尺度算法的增益大 1.9 dB。— 65 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究11 x 105 clipping ratio γ10multiplications987M=26M=32M=38M=45AS−TR6543 4 5 6 7 8 9图 3.9 对 AAC-TR 和 AS-TR 两种算法 , 不同 PRT 集大小的乘法计算次数Fig.3.9 Total real multiplications of improved AAC-TR and AS-TR withdifferent PRT set size.TR 算法。因此 , 合理地选择 PRT 集大小 M 和切削比 γ, 对改进的 AAC-TR 算法的性能至关重要。但是我们在仿真中也发现 , 一般的合理的切削比 γ 的取值都在 4 dB 到 6 dB 之间。在这个合理范围内 , 改进的 AAC-TR 算法的复杂度最高为 AS-TR 算法的 84.55%( 对应 γ = 4 dB,M = 45), 最低为 59.65%( 对应 γ = 6 dB,M = 45)。过低的切削比 γ 的取值 , 会浪费宝贵的系统计算资源。过高的切削比 γ 的取值 , 会增加功率放大器的线性放大范围。尽管过低的切削比对 AAC-TR 算法的 PAPR 没有影响 , 但对 AS-TR 算法的 PAPR 却影响很大。这会在图 3.10 中予以例证。因此在切削比 γ 的合理取值范围内 , 改进的 AAC-TR 算法的复杂性比 AS-TR 算法的大大减少了。3.6.2.7 PAPR 减少对不同的切削比在图 3.10 中 , 我们比较了 AAC-TR 和 AS-TR 二种方法的 PAPR 减少性能。对三种不同的目标切削比 γ = 0 dB, 2 dB 和 4 dB, 递推数均为 10。为了比较 ,— 68 —

上海交通大学博士学位论文第三章基于 TR 的 PAPR 减少方法10 0 PAPR0 [dB]CCDF (Pr[PAPR>PAPR0])10 −110 −210 −3OriginalAS−TR: γ=2dBAS−TR: γ=3dBAS−TR: γ=4dBAAC−TR: γ=2dBAAC−TR: γ=3dBAAC−TR: γ=4dB10 −45 6 7 8 9 10 11 12 13图 3.10 不同的切削比时 , 改进的 AAC-TR 和 AS-TR 方法的 PAPR 减少比较Fig.3.10 Comparison of PAPR reduction between improved AAC-TR andAS-TR with different clipping ratio.我们也给出了原始 OFDM 信号的 PAPR。当 P r (P AP R > P AP R 0 ) = 10 −4 时 ,对三个不同的切削比 γ = 0 dB, 2 dB 和 4 dB,AS-TR 算法的 PAPR 分别比原始 OFDM 信号的 11.9 dB 的 PAPR 分别减少了 1.1 dB, 1.4 dB 和 2.0 dB。这表明 AS-TR 算法对目标切削比的取值是非常敏感的 , 不同的切削比会导致不同的 PAPR 减少性能。与 AS-TR 算法相反 , 提出的改进的 AAC-TR 算法对三个不同的切削比都比原始 OFDM 信号的 11.9 dB 的 PAPR 减少了 4.1 dB, 这表明我们提出的 AAC-TR 算法对初始切削比表现出很好的稳定性 , 其 PAPR 减少性能并不随初始切削比的不同而发生变化。3.7 本章小结本章研究了载波保护框架下的 PAPR 减少问题。我们分别给出了基于遗传算法和粒子群算法的 PRT 集选择算法。接着提出了自适应切削控制算法来克服原始的载波保护方法如何选择切削阈值的问题。— 69 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究TR 类 OFDM 系统中的 PAPR 减少性能主要取决于最优的 PRT 集的选择和最优的信号切削阈值。发现最优的 PRT 集需要对所有可能的 PRT 集组合进行遍历搜索 , 这是一个 NP-hard 问题。对于实际的 OFDM 系统 , 由于子载波数量较大 ,这个问题并不能求解。存在的 PRT 集选择方法 , 如等距离 PRT 集、连续 PRT 集和随机 PRT 集方法 , 其性能与最优 PRT 集相比很差或需要很高的计算复杂度。为了克服存在方法的缺陷 , 我们提出了两个新的几乎最优 PRT 集选择方法 - 基于遗传算法和粒子群算法的 PRT 集选择方法。这两个算法都可以高效地求解这个 NP-hard 问题。与存在的 PRT 集选择方法相比 , 其复杂性更低。在确定了几乎最优的 PRT 集后 , 我们接着利用 TR 类切削方法来减少 OFDM 信号的 PAPR。但是传统的 TR 类切削方法需要事先确定最优的切削阈值。已有的文献 , 这个切削阈值都是通过仿真实验事先确定的。而在实际的系统设计中 , 这是不可能的。为了解决这个问题 , 我们提出了一个自适应切削控制算法并详细分析了该算法的复杂性。仿真结果表明 , 我们提出的自适应算法很好地解决了切削阈值的选取问题 , 而且对初始切削阈值不敏感。任何较小的初始切削阈值都导致了几乎相同的 PAPR 减少。而存在的切削方法的 PAPR 减少性能则对初始切削阈值的选取更为敏感。不同的初始切削阈值导致了不同的 PAPR 减少性能。— 70 —

第四章基于 TI 的 PAPR 减少方法载波注入 (TI,Tone Injection) 方法是由 Tellado 提出的一种无失真的 PAPR 减少方法 [60]。这种方法的基本思想是通过修正原始的数据调制星座或对原始的数据星座进行扩展 , 然后从中选择原始信号的最优表示来减少 OFDM 信号的 PAPR。在 [72, 73] 中 ,Krongold 和 Jones 提出了一个活动集扩展算法 , 通过修正外层星座点到活动子载波上 , 获得了 PAPR 减少的 OFDM 信号 , 同时系统的 BER 并没有降低。在 [122] 中 , 一个对称星座扩展算法被提出来减少 OFDM 信号的 PAPR。在这个算法中 , 每个子载波对应的符号都通过两个对称的星座点表示。通过利用解随机算法 , 得出了一个原始信号的最优表示。在 [76] 中 , 一个星座扩展方法也被发展了 , 其中每个子载波对应的数据符号或者通过原始星座点表示 , 或者通过扩展后的星座点表示 , 通过选择数据符号的最优表示 ,OFDM 信号的 PAPR 被减少了。所有这些方法由于修正原始的调制星座点或扩展的星座点 , 在发射端均导致了信号的平均发射功率增加或计算复杂性的增加。另一方面 , 为了得到数据符号的最优表示 ,TI 方法必须对所有的数据组合进行遍历搜索 , 而这是一个 NP-hard 问题。在 [105] 中 , 一个交叉熵 (CE,CrossEntropy) 方法被提出来求解这个 NP-hard 问题。与存在的方法相比 , 这个 CE 算法取得了更好的 PAPR 减少性能和更低的计算复杂度。为了解决 TI 类方法中存在的平均发射功率增加的缺陷 , 在这一章里 , 我们提出了一个六角星座基 PAPR 减少方法 , 其主要优点在于既不需要发射边信息 ,也不需要增加信号的平均发射功率 , 同时又能减少 OFDM 信号的 PAPR。在此基础上 , 我们利用第二章提出的参数化最小互熵算法来求解信号的最优表示。为了减少参数化最小互熵算法的计算复杂性 , 我们提出了自适应参数化最小互熵算法。仿真结果表明 , 我们提出的参数化最小互熵算法和自适应参数化最小互熵算法 , 取得了比存在的方法更好的 PAPR 减少性能。4.1 基于 TI 的 PAPR 减少方法简介原始 OFDM 信号的离散时间表示为 :x n = √ 1N−1∑X k e j2πnkN , n = 0, 1, · · · , N − 1, (4.1)Nk=0— 71 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究A5A1A8DA2BC1AC3A4C2dkC4A6A3A7图 4.1 16-QAM 星座和其扩展示意图Fig.4.1An illustration of 16-QAM constellation and its extension.如果 X k 携带 b k 个比特 , 那么 X k 可以有 2 b k个离散取值。为了简单起见 , 我们假设原始信号星座是一个方形 QAM 星座 , 在星座点间的最小距离是 d k 。那么原始 OFDM 信号的频域信号 X k 的实部 R k 和虚部 I k 均可以取值 {±d k /2 ± 3d k /2 ±(M k − 1)d k /2}。其中 ,M k = 2 bk/2 。图 4.1 为一个 16-QAM 星座和其扩展的示意图 , 其中 b k = 4,M k = 4。下面我们取一个具体的频域信号 X k 来详细说明 TI 方法的基本思想。假定 X k = A = d k /2 + j3d k /2, 通过修正 A 的实部和 / 或虚部 , 我们可以减少 OFDM 信号的 PAPR。然而 , 如果我们想要不发送任何边信息而接收器能正确地对 A 进行解码 , 我们必须对 A 进行改变 , 以致接收器可以对 A 进行正确的估计。一种简单的情形就是对 A 进行如下变换 :Â = A + pD + jqD (4.2)其中 p 和 q 是任意整数值 , 而 D 是一个接收器知道的正实数。例如 , 在图 4.1 中 ,如果我们选择 p = −1 和 q = 0, 就会将 A 映射到 Â = A 2 。而选择 p = 1 和 q = 1,就会将 A 映射到 Â = A 8 等等。如果我们不想增加接收器的复杂性 , 在这种情况下 , 我们就需要精心地选择参数 D。例如 , 在图 4.1 中 , 如果 D = d k M k /2, 那么 A 2 就会与 B 重叠 , 接收— 72 —

上海交通大学博士学位论文第四章基于 TI 的 PAPR 减少方法214b2a3b343a12b4a(a) 4-QAM(b) 7-Hexagonal图 4.2 4-QAM 星座和 7 点六角星座图Fig.4.2An illustration of 4-QAM and 7-Hexagonal constellations.器就可能对 Â = A 2 错误地解码。其它的选择 , 例如 D = d k M k /2 + d k /2, 这种情形下 , 尽管所有的星座点不会重叠 , 但是在星座点间的最小距离只是 d k /2,而不是原始星座的 d k 。另一方面 , 如果我们选择 D ≥ d k M k , 那么 , 对于一个未编码的系统而言 , 错误解码 Â 的概率和错误解码 A 的概率大致相同 , 因此系统的误符号率 (SER, Symbol Error Rate) 不会改变。对于 D = d k M k 这种特殊情形 , 这个扩展的星座变成了一个格形。我们因此将原始的 16-QAM 星座扩展成一个更大星座。在这个扩展后的星座中 , 对于携带相同信息的 X k , 我们可以从几种表示中选择其中的一个 , 这种额外的自由度为我们降低 OFDM 信号的 PAPR 值提供了可能。从图 4.1 中 , 我们可以看出 , 无论什么时候都有 p ≠ 0 或 q ≠ 0。从而 Â 比 A 有更大的能量 , 因此这个新的发射向量会需要更大的功率。为了最小化功率增加 , 在选择扩展后的信号点时 , 我们应该选择带有更小功率的星座点。减少功率增加的作用有两方面。第一 , 任何平均功率增加会导致 SNR 的减少。第二 ,不必要的功率增加可能导致更高的次峰值 , 而这会增加计算 ˆXk 的递推算法的复杂性。在选定了原始星座后 , 通过上面所述的方法 , 我们现在可以利用下面的方程来选择发射的信号 :ˆx n = √ 1N−1∑(X k + p k D k + jq k D k )e j2πnkN , n = 0, 1, · · · , N − 1, (4.3)Nk=0其中 ,p k 和 q k 是整数 ,D k = ρd k M k ,ρ ≥ 1。因为 D k ≥ ρd k M k , 接收器可以从 ˆXk 中通过模 −D k 运算来对 X k 进行解码。此外 , 没有编码的系统的 SER 不会— 73 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究增加。而对于编码系统 , 我们可以通过选择一个合适的 ρ > 1 来防止 BER 的增加。4.2 六角形星座的设计在平面上 , 最密的格形是六角格形 [123]。因此六角形星座比方形星座更为稠密。假定六角形星座和方形星座点间的最小欧基里德距离相同 , 在给定半径的圆内 , 六角形星座比方形星座有更多的点。这种额外的自由度为我们利用六角形星座来减少 OFDM 信号的 PAPR 提供了可能。1611b1513b76148a2158b93413a1011a1219-Hexagonal图 4.3 19 点六角星座图Fig.4.3An illustration of 19-Hexagonal constellations.图 4.2 给出了 4-QAM 星座和与之对应的 7- 六角形星座的图形 [124]。假定利用 7- 六角形星座代替 4-QAM 星座 , 在这种情形下 , 在 7 个信号点中 , 我们有 3 个额外的信号点 , 以致于在 4-QAM 星座中的一些点可以与 7- 六角形星座中的多于一个点相关联。在图 4.2 中 ,4-QAM 星座中的符号 “1” 在 7- 六角形星座中有一种表示 ,4-QAM 星座中的符号 “2”、“3” 和 “4” 在 7- 六角形星座中有两种表示。我们可以自由选择多于一种表示的点 , 使得 OFDM 信号的 PAPR 被减少。在接收端 , 由于 pa 或 pb 均可以被看作是 “p”,p = 2, 3, 4。接收器不必知道在发— 74 —

上海交通大学博士学位论文第四章基于 TI 的 PAPR 减少方法射端选择那种符号表示 , 我们可以无差错地对 7- 六角形星座进行解调。图 4.4 91 点六角星座图Fig.4.4An illustration of 91-Hexagonal constellations.我们也可以利用这种方法来设计更高阶的六角形星座。图 4.3 给出了与 16-QAM 星座对应的一种 19- 六角形星座的图形。在图 4.3 中 ,16-QAM 星座中的符号 “1”、“2”...“7” 和 “9”、“10”、“12”、“14”、“15” 和 “16” 在 19- 六角形星座中有一种表示 ,16-QAM 星座中的符号 “8”、“11” 和 “13” 在 19- 六角形星座中有两种表示。由于 3 个符号有两种表示的 19- 六角形星座有 20 种 , 我们可以选择平均功率最小的一种。图 4.4 给出了与 64-QAM 星座对应的 91- 六角形星座的图形。在图 4.4 中 ,64-QAM 星座中的符号 “1”、“2”...“37” 在 91- 六角形星座中有一种表示 ,64-QAM 星座中的符号 “38”、“39”...“64” 在 91- 六角形星座中有两种表示。因为一个符号的两种表示有相同的幅度和相反的符号 , 因此我们可以通过简单地乘以 −1 来获得另一种表示。— 75 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究在设计六角形星座时 , 平均功率也是一个需要考虑的重要因素。我们可以设计六角形星座 , 使得其平均功率小于或等于对应的 QAM 星座的平均功率。例如 ,91- 六角形星座的平均功率是 10.36d 2 , 而对应的 64-QAM 星座的平均功率是 10.50d 2 , 其中 d 是星座点间的最小距离。因此没有平均功率的增加。而这正是原始的 TI 类方法和其各种变形方法的一个固有缺陷。4.3 基于六角形星座的 PAPR 减少我们的目标就是获得 OFDM 信号星座点的最优表示 , 使得 OFDM 信号 X =[X 0 , X 1 , ..., X N−1 ] 的 PAPR 最小化。对每个数据块 , 定义在六角形星座点中有两种表示的子载波数和下标集分别为 K 和 I = {i 1 , i 2 , ..., i K }, 其中 0 ≤i 1 , i 2 , ..., i K ≤ N − 1。令x ′ (b) =N−1∑k=0,k /∈IX k e j2πknLN+K∑k=1b k X ik e j2πi k nLN , (4.4)其中 ,b = [b 1 , b 2 , · · · , b K ] T 称之为符号向量 ,b k ∈ {−1, 1},k = 1, 2, · · · , K,x ′ (b) = [x ′ 1(b), x ′ 2(b), · · · , x ′ LN (b)], 那么利用六角形星座减少 PAPR 问题可以表述为下面的方程 :这里b ∗ = minF (b)bsubject to b ∈ {−1, 1} K ,F (b) =max1≤k≤NL |x′ k (b)|2E[|x ′ (b)| 2 ](4.5)(4.6)值得注意的是方程 (4.4) 不同于文献 [105] 中的方程 (3)。在文献 [105] 中的方程 (3) 符号向量 b = [b 0 , b 1 , · · · , b N−1 ] 与输入的 OFDM 数据 X = [X 0 , X 1 , · · · , X N−1 ]逐个元素相乘 , 获得了 X ′= [X 0 b 0 , X 1 b 1 , · · · , X N−1 b N−1 ]。由于在 64-QAM 星座中的符号 “1”、“2”...“37” 在 91- 六角形星座中只有一种表示 ,27 个外层的六角形星座点有两种表示 , 因此方程 (4.4) 对于利用六角形星座比文献 [105] 中的方程 (3) 更合适。方程 (4.5) 是一个组合优化问题 , 其最优解需要对向量 b 的所有 2 K 个组合进行遍历搜索 , 而这是一个 NP-hard 问题。随机搜索和优化技术可以被用来求解这个问题 , 以获得一个好的次优解。在随机搜索和优化技术中 , 已经存在的方法有 SLM 技术 , 解随机方法 , 互熵方法。在这一章里 , 我们首先利用第二章提出的参数化最小互熵算法来求解这个组合优化问题 , 然后对其进行改进 , 发展— 76 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究PMCE 算法就是要递推地产生序列 γ j 和 p j , 在最小互熵的意义下收敛到最优的 γ ∗ 和 p ∗ 。那么最优的 c ∗ 可从 p ∗ 通过 f(c, p) 获得。更为具体的 , 我们通过置 p = p 0 和选取一个 ρ ∈ (0, 1)( 在 PMCE 中称之为稀有参数 ) 来初始化 PMCE 算法 , 使得事件 {F (c) ≤ γ} 的概率在 ρ 附近。PMCE 的每次递推由两个主要过程组成 :1) 在第 j 次递推中 , 对已经计算得到的 p j−1 , 从 f(c, p j−1 ) 中随机产生一个采样集合 c j−11 , · · · , c j−1J, 然后计算它们的 PAPR,F (c j−11 ), · · · , F (c j−1J)。然后以增序排列 F (c j−11 ), · · · , F (c j−1J), 并定义其为 F j−1(1 ) , · · · , F j−1(J ) 。分配这里 ⌈·⌉ 是向上取整函数。γ j = 1⌈ρJ⌉∑F j−1(k)⌈ρJ⌉, (4.10)k=12) 对 p j = (p j,0 , · · · , p j,K−1 ), 利用下面的公式进行更新 :∑ Jk=1 I {c j−1k,i =1}exp (−F (cj−1k)λ j )p j,i =, (4.11)exp (−F (cj−1k)λ j )这里 I 为示性函数 , 定义为 :∑ Jk=1{1, if cj−1k,i =1} = k,i= 1,0, otherwise,I {cj−1(4.12)参数 λ j 从下面方程的解获得 :∑ Jk=1γ j =F (cj−1 k) exp (−F (c j−1k)λ j ). (4.13)exp (−F (cj−1k)λ j )∑ Jk=1我们提出的 PMCE 基的符号选择算法可以总结如下。对所有的 k, 这个优化过程会收敛到 p k = 0 或 1。作为一个进一步减少计算复杂性的替代方法 , 我们可以在算法的初始阶段置最大迭代次数 Iter max , 在算法运行 Iter max 次以后 , 停止该算法。然后选择带有最小 PAPR 的 OFDM 信号用于发射。4.5 自适应参数化最小互熵算法的符号向量选取在这一节里 , 我们提出了自适应参数化最小互熵算法的符号向量选取算法。基于完全自适应 CE 算法 [104], 自适应参数化最小互熵算法利用了 “ 精英 ”— 78 —

上海交通大学博士学位论文第四章基于 TI 的 PAPR 减少方法Algorithm 8 PMCE 符号选择算法1: 初始化 p 0 = [0.5, 0.5, 0.5, . . . , 0.5],ρ 和递推数 m = 1。2: 从概率密度函数 f(c, p j−1 ) 中产生 J 个采样 c j−11 . . . c j−1J, 分别计算它们的 PAPR,F (c j−1k),k = 1, 2, · · · , J。然后按升序对其进行排列 , 定义其为 F j−1(1 ) , · · · , F j−1(J ) 。3: 利用方程 (4.10) 计算 γ j , 然后利用方程 (4.13) 求出 λ j 。4: 通过方程 (4.11) 更新 p j 。5: 如果对某个 m ≥ d, 比如 d = 5,γ m = γ m−1 = · · · = γ m−d , 那么结束算法 ,输出最优解。否则置 m = m + 1, 返回步骤 2。采样来自适应地更新 ρ( 通过自适应增加采样数来实现 )。也就是代替利用 ρ, 我们定义 “ 精英 ” 采样数 J e 。在产生 J 个采样 c j−11 . . . c j−1J后 , 按上升顺序对其进行排列 , 定义其为 F j−1(1 ) , · · · , F j−1(J ) 。置阈值 γ = F j−1(n , e)那么ρ = P (F (C j−1 ) ≤ γ) ≈ ˆρ (4.14)其中 ,ˆρ = J e /J。基于中心极限定理 ,ˆρ 是一个带有均值 ρ 高斯随机变量 , 其方差随着 J → ∞ 衰减到 0。由于每次迭代中阈值 γ 均是变化的 , 我们可以利用其估计 ˆγ 来代替 , 这样方程 (4.14) 变为 :P (F (C j−1 ) ≤ ˆγ) ≈ J e /J (4.15)其中 ,ˆγ 是一个带有均值 γ 的随机变量 , 当 J → ∞ 时 , 其方差衰减到 0。采样数 J 的大小 (ρ 的大小 , 因为 ρ ≈ J e /J) 决定了自适应参数化最小互熵算法的 PAPR 减少性能和算法的复杂度。一个较大的 J( 对应着较小的 ρ) 意味着较大的 PAPR 减少 , 但是算法的收敛速度较慢。而一个较小的 J( 对应着较大的 ρ) 导致了算法的快速收敛 , 但是较小的 PAPR 减少。因此在设计算法时 ,我们可以从较小的采样数 J = J min ( 对应着一个相对大的 ρ) 开始 , 尽管算法的 PAPR 减少较小 , 但其收敛速度较快 , 从而保证算法可以快速达到局部最小。在每次递推后 , 我们用 J + J inc 来代替 J(J inc 是一个固定的数值 ), 直到 J 等于事先设定的最大数值 J max 。由于在每次递推中 , 采样数 J 被增加 , 这意味着 PAPR 减少被改善 , 从而在递推结束时 , 自适应参数化最小互熵算法可以获得较好的 PAPR 减少。我们提出的自适应参数化最小互熵算法的符号向量选取可以被总结如下 :— 79 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究Algorithm 9 自适应 PMCE 符号选择算法1: 初始化 p 0 = [0.5, 0.5, 0.5, . . . , 0.5],“ 精英 ” 采样数 J e , 最小采样数 J min , 最大采样数 J max , 采样间隔 J inc , 递推数 m = 1, 令采样数 J = J min 。2: 从概率密度函数 f(c, p j−1 ) 中产生 J 个采样 c j−11 . . . c j−1J, 对 k = 1, 2, · · · , J,计算它们的 PAPR, F (c j−1k)。然后按升序对其进行排列 , 定义其为 F j−1(1 ) , · · · , F j−1(J ) 。∑3: 计算阈值 γ j = 1 nen e k=1 F j−1(k) , 然后利用方程 (4.13) 求出 λ j 。4: 通过方程 (4.11) 更新 p j 。5: 如果对某个 m ≥ d, 比如 d = 5,γ m = γ m−1 = · · · = γ m−d , 那么结束算法 ,输出最优解。6: 否则如果 J < J max , 置 J = J + J inc , 返回步骤 2。4.6 仿真结果在这一节里 , 我们对提出的 PMCE 符号选择算法和自适应 PMCE 符号选择算法进行了仿真。对每个 OFDM 数据块 , 我们使用了设计的 91- 六角形星座来代替 64-QAM 星座。在六角形星座点中有两种表示的子载波下标集随机选取。为了获得 CCDF, 我们随机产生了 10 5 个 OFDM 符号 , 并对信号进行 L = 4 倍过采样 , 以获得准确的 PAPR。4.6.1 PMCE 符号选择算法仿真4.6.1.1 平均 PAPR 对采样数在图 4.5 中 , 我们比较了三种不同的子载波情形下 , 其平均 PAPR 和采样数的关系。对 N = 256,N = 512 和 N = 1024, 每个 OFDM 数据块中 , 六角形星座点中有两种表示的子载波数分别为子载波总数的 1/4,1/8 和 1/16, 均为 64。在 PMCE 符号选择算法中 ,ρ = 0.1,d = 5, 采样数从左到右对应着图形上的每个标记 , 分别为 J = 16,J = 32,J = 64,J = 128,J = 256 和 J = 512。从图中我们可以发现 , 对三种不同的情形 , 其平均 PAPR 和采样数呈现出相同的收敛趋势。即在较小的采样情形 , 其平均 PAPR 较大 , 随着采样的增加 , 其平均 PAPR 呈快速减少趋势 , 但当采样数大于 64 时 , 其平均 PAPR 基本稳定 , 不会有太大的减少。但对 N = 256 和 N = 512 两种情形 , 采样数为 J = 16 和 J =64 时 , 两种平均 PAPR 相差大约相同 , 为 0.6 dB 左右。而对 N = 1024, 采样数为 J = 16 和 J = 64 时 , 两种平均 PAPR 相差为 1 dB 左右。这表明利用 PMCE 符— 80 —

上海交通大学博士学位论文第四章基于 TI 的 PAPR 减少方法5.55N=256N=512N=10244.5Average PAPR(dB)43.532.520 100 200 300 400 500 600Sampling Number图 4.5 对不同的子载波平均 PAPR 和采样数的关系Fig.4.5Relation of average PAPR and sampling numbers for differentsubcarriers.号选择算法来减少 OFDM 信号的 PAPR 时 , 对较大的子载波 , 较大的采样数对改善 PAPR 减少的性能是有益的。但同时采样数也不能取得过大。过大的采样对算法来说 , 其计算复杂性显著增加 , 但得到的收益并不大。从这个图形中 ,我们可以看出 , 提出的 PMCE 符号选择算法 , 采样数取在 J = 30 和 J = 60 之间 ,可能是一个好的选择。4.6.1.2 带有不同复杂度的不同方法的 PAPR 减少比较在图 4.6 中 , 当利用 91- 六角形星座时 , 我们比较了提出的 PMCE 符号选择算法 ,SLM 方法 [124], 解随机算法 (Derandom Algorithm) [125], 和互熵 (CE)算法 [105] 的 PAPR 减少性能。在这个仿真中 , 子载波数 N = 128, 采样数 J =30,ρ = 0.1,d = 10。六角形星座点中有两种表示的子载波数是 32。四种方法的计算复杂性通过平均采样数来度量。当 P r (P AP R > P AP R 0 ) =10 −4 时 , 对 64-QAM 和 91- 六角形星座 , 原始 OFDM 信号的 PAPR 是 11.4 dB。对平均采样数为 1172 的 PMCE 算法 , 其 PAPR 大约是 3.9 dB。带有和 PMCE 算法相— 81 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究CCDF (Pr[PAPR>PAPR0])10 0 PAPR0 [dB]10 −110 −210 −364−QAM91−HexPMCECEDerandomSLM10 −42 4 6 8 10 12图 4.6 不同方法的 PAPR 减少比较Fig.4.6Comparison of PAPR reduction by different methods.同复杂性的 SLM 算法的 PAPR 是 5.8 dB, 这比 PMCE 算法的 PAPR 大 1.9 dB。解随机算法的 PAPR 是 8.8 dB, 这比 PMCE 算法的 PAPR 大 4.9 dB。带有平均采样数为 339 的 CE 算法 , 其 PAPR 大约是 5.1 dB, 这比 PMCE 算法的 PAPR 大 1.2 dB。注意在这种情形下 ,PMCE 算法的 PAPR 减少性能尽管比 CE 算法好 1.2 dB, 但是其计算复杂度大约是 CE 算法的 3 倍。4.6.1.3 带有阈值的不同方法的平均采样数比较表 4.1 带有不同阈值的 PMCE, CE 和 SLM 的平均采样数Thresholds PMCE CE SLM PMCE/SLM) CE/SLM4.5dB 1508 1649 4968 30.34% 33.19%5.0dB 1029 1155 4972 20.69% 23.23%5.5dB 916 950 4972 18.43% 19.12%6.0dB 900 950 4972 18.10% 18.21%— 82 —

上海交通大学博士学位论文第四章基于 TI 的 PAPR 减少方法10 0 PAPR0 [dB]CCDF (Pr[PAPR>PAPR0])10 −110 −210 −364−QAM91−HexPMCECEDerandomSLM10 −42 4 6 8 10 12图 4.7 带有相同复杂度的不同方法的 PAPR 减少比较Fig.4.7Comparison of PAPR reduction for different methods with the samecomputational complexity.在表 (4.1) 中 , 对四个不同阈值 T = 4.5, 5, 5.5 和 6 dB, 我们比较了 PMCE,CE 和 SLM 三种算法需要的平均采样数。当计算的 PAPR 小于或等于给定的阈值时的一个候选符号向量被发现时 ,PMCE 和 CE 算法停止优化。对 SLM 算法 ,我们选择一个含有 10 4 个符号向量的候选集 , 如果一个候选的符号向量导致的 PAPR 小于或等于给定的阈值 ,SLM 算法优化停止。利用这些设置 ,PMCE,CE 和 SLM 三种算法获得了相同的 PAPR 减少。然而从表 (4.1) 我们可以发现 ,对所有的阈值 ,PMCE 算法比 CE 和 SLM 两种算法有更少的计算复杂性。对阈值 T = 4.5, 5, 5.5 和 6 dB,PMCE 算法的复杂度只是 SLM 算法的 30.34%,20.69%,18.43% 和 18.10%。而对 CE 算法 , 对上述的四个阈值 , 其复杂度是 SLM 算法的 33.19%,23.23%,19.12% 和 18.21%。4.6.1.4 带有相同复杂度的不同方法的 PAPR 减少比较在图 4.7 中 , 当利用 91- 六角形星座时 , 我们比较了具有相同计算复杂性的 PMCE 符号选择算法 ,SLM 方法和互熵 (CE) 算法的 PAPR 减少性能。即我们— 83 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究10 0 PAPR0 [dB]CCDF (Pr[PAPR>PAPR0])10 −110 −2PMCE,S=30PMCE,S=40PMCE,S=50PMCE,S=60CE,S=30CE,S=40CE,S=50CE,S=6010 −310 −42 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5图 4.8 带有相同复杂度和不同采样数的 PMCE 和 CE 算法的 PAPR 减少比较Fig.4.8Comparison of PAPR reduction for PMCE and CE algorithms with thesame computational complexity and different sampling numbers.首先计数 CE 算法的平均采样数 , 然后利用这个采样数作为 PMCE 和 SLM 算法的最大递推数。在这种情形 ,CE 算法的平均采样数是 339。为了比较 , 我们也给出了原始 OFDM 信号的 PAPR。当 P r (P AP R > P AP R 0 ) = 10 −4 时 , 对 64-QAM 和 91- 六角形星座 , 原始 OFDM 信号的 PAPR 均是 11.4 dB。利用 PMCE 算法获得的 PAPR 大约是 4.4 dB。当利用 CE 算法时 , 获得的 PAPR 大约是 5.1 dB,这比 PMCE 算法获得的 PAPR 大 0.7 dB。利用 SLM 算法获得的 PAPR 大约是 5.9 dB,这比 PMCE 算法获得的 PAPR 大 1.5 dB。利用解随机算法获得的 PAPR 大约是 8.8 dB, 这比 PMCE 算法获得的 PAPR 大 4.4 dB。由此可见 , 即使在相同的计算复杂度下 , 我们提出的 PMCE 算法仍然比存在的其它三种方法有更好的 PAPR 减少性能。4.6.1.5 带有相同复杂度的不同采样数的 PMCE 和 CE 算法的 PAPR 减少比较在图 4.8 中 , 我们比较了提出的 PMCE 符号选择算法和 CE 算法在相同的计算复杂度和不同采样数的 PAPR 减少性能。在这个仿真中 , 子载波数 N = 256,— 84 —

上海交通大学博士学位论文第四章基于 TI 的 PAPR 减少方法采样数从 30 到 60,ρ = 0.1,d = 10。当 P r (P AP R > P AP R 0 ) = 10 −4 时 , 对采样数从 30 到 60,CE 算法的 PAPR 分别为 6 dB,5.25 dB,4.6 dB 和 4.2 dB。而对于 PMCE 符号选择算法 , 其 PAPR 分别为 4.5 dB,4 dB,3.8 dB 和 3.7 dB。从图中我们可以发现 , 采样数为 30 的 PMCE 算法的 PAPR 和采样数为 50 的 CE 算法的 PAPR 大约相同。采样数为 60 的 CE 算法的 PAPR 只比采样数为 30 的 PMCE 算法的 PAPR 小 0.3 dB 左右 , 而其计算复杂度增加了一倍。对 CE 算法 , 采样数从 30 增加到 60, 其 PAPR 大约减少了 1.8 dB。而 PMCE 算法的 PAPR 只减少了 0.8 dB。对 PMCE 算法 , 采样数达到 40 后 , 增大采样 PAPR 减少性能很小 (40 和60 对应的 PAPR 只有 0.3 dB)。而对于 CE 算法 , 采样数 40 和 60 对应的 PAPR 仍有 1 dB。这说明 PMCE 算法比 CE 算法收敛得更快 , 有更好的 PAPR 减少性能。4.6.2 自适应 PMCE 符号选择算法仿真在这一节里 , 我们对提出的自适应 PMCE 符号选择算法进行了仿真。在自适应 PMCE 符号选择算法和修正的 CE 算法 [105] 中 , 子载波数 N = 256,d = 10。六角形星座点中有两种表示的子载波数是 64。4.6.2.1 带有相同复杂度的不同方法的平均 PAPR 比较在图 4.9 中 , 对自适应 PMCE 符号选择算法 , 修正的 CE 算法和 SLM 算法[124], 我们比较了在相同计算复杂度下三种方法的平均 PAPR。其中自适应 PMCE 符号选择算法和修正的 CE 算法的参数设置为 :“ 精英 ” 采样数 J e = 3,最小采样数 J min = 30, 最大采样数 J max = 100, 采样间隔 J inc = 10。我们用修正的 CE 算法的平均采样数作为基准 , 即对自适应 PMCE 符号选择算法和 SLM 算法 , 其平均采样数和修正的 CE 算法的平均采样数相同。如果其平均采样数超过修正的 CE 算法的平均采样数 , 自适应 PMCE 符号选择算法和 SLM 算法即停止优化。从图 4.8 中我们可以发现 , 自适应 PMCE 符号选择算法的平均 PAPR 均好于修正的 CE 算法和 SLM 算法 , 而修正的 CE 算法又优于 SLM 算法。在最小采样数 J min = 30 时 ,SLM 算法的平均 PAPR 比修正的 CE 算法和自适应 PMCE 符号选择算法的平均 PAPR 分别大 3.9 dB 和 4.1 dB。当采样数增加时 , 三种算法的平均 PAPR 都逐渐减小。当采样数增加一倍 , 达到 J = 60 时 ,SLM 算法的平均 PAPR 仍然比修正的 CE 算法和自适应 PMCE 符号选择算法的平均 PAPR 分别大 3.9 dB 和 4.1 dB。继续增加采样 , 三种算法的平均 PAPR 的差变化不大。特别是当采样数大于 J = 70 时 , 三种算法的平均 PAPR 都趋于收敛。这表明对自适应 PMCE 符号选择算法和修正的 CE 算法来说 , 采样数在 20 到 60 间— 85 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究76.565.5PMCECESLMAverage PAPR(dB)54.543.532.5230 40 50 60 70 80 90 100Sampling numbers图 4.9 带有相同复杂度的三种方法的平均 PAPR 比较Fig.4.9Comparison of average PAPR for three different methodssame computational complexity.with the可能是一个好的选择。在图 4.10 中 , 我们比较了提出的自适应 PMCE 符号选择算法 , 解随机算法 (Derandom Algorithm) [125],SLM 方法和修正的互熵 (CE) 算法的 PAPR 减少性能。其中自适应 PMCE 符号选择算法和修正的 CE 算法的参数设置和图4.8 相同。自适应 PMCE 符号选择算法和 SLM 算法 , 仍然以修正的 CE 算法的平均采样数作为基准。当 P r (P AP R > P AP R 0 ) = 10 −4 时 , 对 64-QAM 和 91-六角形星座 , 原始 OFDM 信号的 PAPR 分别是 12.2 dB 和 11.8 dB。解随机算法的 PAPR 是 8.8 dB, 这比原始的 91- 六角形星座的 OFDM 信号的 PAPR 小 3.0 dB。SLM 算法的 PAPR 约为是 7.1 dB, 这比解随机算法的 PAPR 小 1.7 dB, 比原始的 91- 六角形星座的 OFDM 信号的 PAPR 小 4.7 dB。当采样数为 J min = 30 时 ,CE 算法的 PAPR 是 5.0 dB, 这比在相同采样下的 PMCE 算法的 PAPR 大 0.6 dB。比 SLM 算法的 PAPR 小 2.1 dB, 比解随机算法的 PAPR 小 3.8 dB。当采样数增加一倍 , 达到 J = 60 时 ,CE 算法的 PAPR 和采样数为 J min = 30 时的 PMCE 算法的 PAPR 几乎相同。而 PMCE 算法的 PAPR 为 3.9 dB, 这比 CE 算法的 PAPR 小 0.5 dB。— 86 —

上海交通大学博士学位论文第四章基于 TI 的 PAPR 减少方法10 0 PAPR0 [dB]CCDF (Pr[PAPR>PAPR0])10 −110 −264−QAM91−HexPMCE−30PMCE−60CE−30CE−60SLMDerandom10 −310 −40 2 4 6 8 10 12 14图 4.10 带有相同复杂度的三种方法的 PAPR 比较Fig.4.10Comparison of average PAPR for three different methodssame computational complexity.with the比 SLM 算法的 PAPR 小 3.2 dB, 比解随机算法的 PAPR 小 4.9 dB。4.7 本章小结本章研究了载波注入框架下的 PAPR 减少方法。提出了基于六角形星座基的 PAPR 减少方法。结合第二章提出的参数化最小互熵算法来求解信号的最优表示。接着我们又改进了参数化最小互熵算法 , 提出了自适应参数化最小互熵算法来高效地求解 OFDM 信号的最优表示。传统的 TI 基的基本思想是通过修正原始的数据调制星座或对原始的数据星座进行扩展 , 然后从中选择原始信号的最优表示来减少 OFDM 信号的 PAPR。不论是原始的 TI 基方法 , 还是文献中存在的星座扩展算法 , 其最大的缺陷在于需要增加信号的平均发射功率。为了克服这个缺陷 , 我们提出了利用六角形星座的 PAPR 减少方法。为了得到数据符号的最优表示 ,TI 方法必须对所有的数据组合进行遍历搜索 , 而这是一个 NP-hard 问题。为了求解这个问题 , 我们首先利用第二章提出的参数化最小互熵算法来求解信号的最优表示。接着我们又— 87 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究提出了自适应参数化最小互熵算法来减少算法的复杂性。在相同的的计算复杂度下 , 与存在的方法相比 , 这个参数化最小互熵算法和自适应参数化最小互熵算法算法都取得了更好的 PAPR 减少性能。— 88 —

第五章连续时间 OFDM 信号的 PAPR 计算前面几章我们研究了减少离散时间 OFDM 信号的 PAPR 问题。在本章 , 我们研究连续时间 OFDM 信号的 PAPR 计算问题。因为进入功率变压器的信号是连续时间 OFDM 信号 , 因此人们最终必须减少连续时间 OFDM 信号的 PAPR。而计算连续时间 OFDM 信号的 PAPR 一直是个比较困难的问题。因此我们通常利用离散时间 OFDM 信号的 PAPR 来逼近连续时间 OFDM 信号的 PAPR。为了计算连续时间 OFDM 信号的 PAPR。需要计算瞬时包络功率函数 (IEPF,Instantaneous Envelope Power Function) 的导数的根。而这个根的计算是非常困难的。文献 [96] 最早研究了这个问题 , 在最简单的 BPSK 调制情形 ,Tellambura 利用第一类契比雪夫 (Chebyshev) 多项式来计算连续时间 OFDM 信号的 PAPR。通过利用第一类和第二类契比雪夫多项式 , 文献 [126] 把 Tellambura的方法从 BPSK 调制扩展到任意的 PSK 或 QAM 调制 , 但文献 [126] 的方法在实际计算时存在诸多不便。它首先需要 IEPF 的根分成两部分 , 然后对每一部分的根进行精确映射。如何进行精确映射并没有一个通用的方法。在 [95] 中 ,IEPF 被表示为 tan(πt) 的幂的多项式函数 , 然后将它表示为含有 2N − 2 个第一类契比雪夫多项式的组合 , 接着计算每一个第一类契比雪夫多项式的导数。而计算 2N − 2 个第一类契比雪夫多项式的导数是一个非常耗时的运算。在这一章里 , 我们提出了一个新的连续时间 OFDM 信号的 PAPR 计算方法。我们提出的方法改进了 [95] 中的计算方法和效率 , 提出的计算方法只含有 N − 1 个第一类契比雪夫多项式 , 并且不需要计算第一类契比雪夫多项式的导数。我们也利用了文献 [127] 中的多项式系统的实根分离算法来计算 IEPF 的导数的根 , 这个实根分离算法可以高效地辨识多项式的实根。5.1 连续时间 OFDM 信号的瞬时包络功率函数带有 N 个子载波的基带连续时间 OFDM 信号可以表示为 :x(t) = √ 1N−1∑X n e j2πnt , (5.1)Nn=0其中 ,X n 是来自给定的 PSK 或 QAM 星座的复数据符号 ,t 被归一化。信号的瞬时包络功率函数是实值函数 ,P a (t) = |x(t)| 2 。令 (·) ∗ , R{·} 和 I{·} 分别表示一— 89 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究个复数的复共轭 , 实部和虚部。容易证明 ,P a (t) = 1 + 2 NN−1∑i=1[α i cos(2πit) + β i sin(2πit)] , (5.2)其中 ,α i 和 β i 定义如下 :{ N−1−i}∑α i = R X k Xk+i∗ ,k=0i = 1, 2, . . . , N − 1, (5.3){ N−1−i}∑β i = I X k Xk+i∗ ,k=0i = 1, 2, . . . , N − 1. (5.4)显然 , 如果我们限制到 BPSK 调制 , 方程 (5.2) 退化为 Tellambura 的实值调制情形。为了方便 , 我们对平均功率进行归一化处理 , 带有单位平均功率 , 连续时间 OFDM 信号的 PAPR 定义为 :P AP R CT = max0≤t≤1 |x(t)|2 . (5.5)带有单位平均功率 , 对应的离散时间 OFDM 信号的 PAPR 定义为 :其中 ,x(k) 如下计算 :P AP R DT =n=0max0≤k

上海交通大学博士学位论文第五章连续时间 OFDM 信号的 PAPR 计算利用第一类契比雪夫多项式 , 假定 T n (x) = cos(n arccos x) 表示 n 阶第一类契比雪夫多项式 [128]。令 x = cos θ, 我们可以得到T n (cos θ) = cos(nθ). (5.11)第一类契比雪夫多项式满足如下递推公式 :T n (x) = 2xT n (x) − T n−1 (x), n = 1, 2, . . . ,T 0 (x) = 1, T 1 (x) = x.(5.12)合 :利用方程 (5.11), 方程 (5.10) 可以表示为第一类契比雪夫多项式的线性组利用三角恒等式∂P a (t)∂t= 4πNN−1∑i=1cos(2πt) = 1 − tan2 (πt)1 + tan 2 (πt) ,sin(2πt) =√ ( (i αi 2 + β2 i T i cos 2πt + θ ))i. (5.13)i2 tan(πt)(5.14)1 + tan 2 (πt) .令 x = tan(πt), 我们可以获得以下等式 :因为cos(2πt) = 1 − x21 + x 2 ,sin(2πt) =2x1 + x . (5.15)2在方程 (5.13) 中 , 令 ζ i = cos(θ i /i) 和 η i = sin(θ i /i), 我们有 :∂P为了求出 a(t)∂t∂P a (x)∂x= 4πNN−1∑i=1∂P a (t)∂t√i αi 2 + β2 i T 1 − xi(ζ 2i)1 + x − η 2x2 i . (5.16)1 + x 2= π(1 + x 2 ) ∂P a(x)∂x , (5.17)∂P= 0 的根 , 我们只需要求出 a(x)= 0 的根。∂x因为在方程 (5.16) 中 ,T i (x) 是一个次数为 i 的多项式 ,1/(1 + x 2 ) 的最高次幂为 N − 1。令Q a (x) = (1 + x 2 ) N−1 ∂P a(x)∂x . (5.18)— 91 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究那么我们可以去除在 ∂P a (x)/∂x 中的分母。在方程 (5.18) 中 ,Q a (x) 是一个关于 x 的次数至多为 2N − 2 的多项式。∂P a (x)/∂x 的所有根也是 Q a (x) 的根。因此 ∂P a (x)/∂x 至多有 2N − 2 个根。利用文献 [127] 中的多项式系统的实根分离算法 , 我们可以高效地求出 Q a (x) 的所有实根。那么在这些实根上的 P a (x) 的值便可以求出。因此 , 我们提出的计算连续时间 PAPR 算法可以总结如下 :Algorithm 10 连续时间信号的 PAPR 算法1: 利用方程 (5.3) 和 (5.4) 计算 α i 和 β i 。2: 利用方程 (5.9) 计算 θ i 。3: 利用方程 (5.16) 计算 ∂P a (x)/∂x。4: 利用方程 (5.18) 计算 Q a (x)。5: 利用多项式系统的实根分离算法计算 Q a (x) 的所有实根。6: 计算和比较在所有实根上的 P a (x) 的值 , 获得 P AP R CT 。法 :我们提出的连续时间信号的 PAPR 算法从三个方面改善了文献 [95] 中的算1. 在文献 [95] 中 ,P a (t) 首先被表示为第一类契比雪夫多项式的线性组合 ,接着计算 P a (t) 的导数。而我们提出的算法首先计算 P a (t) 的导数 , 接着把这个导数表示为第一类契比雪夫多项式的线性组合。这种计算顺序的调整可以避免 T i (ζ i1−x 21+x 2 − η i2x1+x 2 ) 的导数的计算。因为这个导数的计算是非常耗时的运算 ( 注意不是数值运算 , 而是符号运算 )。特别是对较大的子载波 , 其运算量是非常大的。2. 在方程 (5.16) 的计算中 , 我们提出的算法只需要展开和化简 N − 1 个第一类契比雪夫多项式。而文献 [95] 中的方法需要计算 2N − 2 个第一类契比雪夫多项式。对较大的子载波 N, 展开和化简第一类契比雪夫多项式也是一个非常耗时的运算。因此我们提出的算法在方程 (5.16) 的计算中减少了一半的运算量 , 所以要比文献 [95] 中的算法更为高效。3. 我们提出的算法利用了多项式系统的实根分离算法来高效地求解 Q a (x) 的实根。这个算法不同于文献 [95] 中的求根算法。在文献 [95] 中 , 需要先求出多项式的所有复数根 , 然后分离出实根。这些实根只是近似值。对任意给定的精度 ϵ, 多项式系统的实根分离算法可以高效地对每一个实根所在的区间进行定位 ( 注意区间端点是精确值 , 不是近似值 ), 同时这种算法— 92 —

上海交通大学博士学位论文第五章连续时间 OFDM 信号的 PAPR 计算10 0 PAPR0 [dB]10 −1CTL=1L=2L=4L=8CCDF (Pr[PAPR>PAPR0])10 −210 −310 −45 6 7 8 9 10 11图 5.1 32 个子载波 ,QPSK 调制的 PAPR 分布Fig.5.1PAPR distribution for 32 subcarrier QPSK-OFDM.也不需要计算复数根。当实根分离的区间精度非常小 , 比如 1e − 20, 我们可以取这个区间的左端点或右端点或左右端点的均值作为多项式的实根。5.3 仿真结果在我们的仿真中 , 利用了 N = 32 个子载波的 QPSK 调制来评估提出的连续时间信号的 PAPR 算法。为了获得离散时间 OFDM 信号的 CCDF, 随机产生了 10 5 个 OFDM 符号 , 并分别带有 L = 1, 2, 4, 8 倍的过采样。图 (5.1) 显示了我们提出的连续时间信号的 PAPR 算法的仿真结果。并把得到的连续时间信号的 PAPR 与通过方程 (5.7) 计算得到的离散时间信号的 PAPR 进行了比较。当 L = 1 时 , 在连续时间信号的 P AP R CT 与离散时间信号的 P AP R DT 间的差值约为 0.6 dB。随着过采样因子 L 的增加 , 两者之间的差值逐渐变小。当过采样因子 L = 4 时 , 两者之间的差值可以忽略不计。进一步增加过采样因子 L, 并不会带来性能提升。这个结果和文献 [96] 中 BPSK 调整情形下的结论是一致的。— 93 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究10 0 PAPR0 [dB]10 −1CCDF (Pr[PAPR>PAPR0])10 −210 −310 −4PAPR−CTUpper boundUpper bound,L=4Upper bound,L=810 −55 6 7 8 9 10 11图 5.2 连续时间 PAPR 和两个上界的比较Fig.5.2Compare among CCDF of continuous PAPR and two upper bounds ofPAPR.我们也比较了基于文献 [129] 和 [130] 的连续时间 PAPR 的上界和连续时间信号的 P AP R CT 。在文献 [130] 中 ,P AP R CT 的 CCDF 的上界为 :P r(P AP R CT > ξ) ≤ e −ξ N在文献 [95] 中 , 利用了 [129] 中推导的上界 :√πξ3 , (5.19)π2−ξ(1−P r(P AP R CT > ξ) ≤ LNe 2L 2 ) , (5.20)P AP R CT , 方程 (5.19) 和 (5.20) 的比较结果显示在图 (5.2) 中。其中采用的子载波数为 N = 128。从图中我们可以看出 , 方程 (5.19) 对 P AP R CT 提供了一个好的逼近。而方程 (5.20) 并不是 P AP R CT 的一个好的估计 , 即使采用更高的过采样因子 L > 8, 也几乎没有带来性能的提升。— 94 —

上海交通大学博士学位论文第五章连续时间 OFDM 信号的 PAPR 计算5.4 本章小结本章研究了连续时间 OFDM 信号的 PAPR 计算问题。为了计算连续时间 OFDM 信号的 PAPR。需要计算瞬时包络功率函数的导数的根。而这个根的计算是非常困难的。在最简单的 BPSK 调制情形 ,Tellambura 利用第一类契比雪夫多项式来计算连续时间 OFDM 信号的 PAPR。通过利用第一类和第二类契比雪夫多项式 , 文献 [126] 把 Tellambura 的方法从 BPSK 调制扩展到任意的 PSK 或 QAM 调制 , 但文献 [126] 的方法在实际计算时存在诸多不便。它首先需要 IEPF 的根分成两部分 , 然后对每一部分的根进行精确映射。如何进行精确映射并没有一个通用的方法。在 [95] 中 ,IEPF 被表示为 tan(πt) 的幂的多项式函数 , 然后将它表示为含有 2N − 2 个第一类契比雪夫多项式的组合 , 接着计算每一个第一类契比雪夫多项式的导数。而计算 2N − 2 个第一类契比雪夫多项式的导数是一个非常耗时的运算。在这一章里 , 我们提出了一个新的连续时间 OFDM 信号的 PAPR 计算方法。我们提出的方法改进了 [95] 中的计算方法和效率 , 提出的计算方法只含有 N − 1 个第一类契比雪夫多项式 , 并且不需要计算第一类契比雪夫多项式的导数。我们也利用了文献 [127] 中的多项式系统的实根分离算法来计算瞬时包络功率函数的导数的根 , 这个实根分离算法可以高效地辨识多项式的实根。— 95 —


第六章总结与展望目前 , 由于数字信号处理 (DSP) 技术和计算机技术的飞速发展 , 在有线或无线信道上进行快速和可靠地传输多媒体信息的需求显著增加。这种需求使得作为第四代无线通信的核心技术 - 正交频分复用技术走上了历史舞台。与传统的单载波系统和 CDMA 系统相比 , 这种多载波传输技术尽管存在着诸多优点 ,但是也同时存在着易受频率偏差的影响和较高的峰值平均功率比的缺点。其中降低较高的峰值平均功率比一直是科技工作者的研究热点。本文重点研究了如何降低峰值平均功率比问题。主要从基于 PTS 方法、基于 TR 方法、基于 TI 方法和连续时间四个方面来解决如何降低峰值平均功率比问题。6.1 本文的主要工作及创新点本文围绕上述四个方面展开 , 主要做了以下工作 :1. 对于基于 PTS 的 OFDM 的 PAPR 减少方法。我们主要讨论了基于人工蜂群算法和参数化最小互熵算法的 PAPR 减少问题。我们首次利用人工蜂群算法来减少 OFDM 信号的 PAPR 问题。尽管 PTS 基的 PAPR 减少方法是一个无失真的算法 , 但由于这种方法的计算复杂度随子块数呈指数增长 , 这限制了这种方法的实际应用。通过对原始的人工蜂群算法进行修正 , 使之可以被用来求解 PTS 基框架下的组合优化问题。接着我们也分析了修正的人工蜂群算法的复杂性。通过仿真 , 验证了修正的人工蜂群算法用于求解 PTS 基的 OFDM 信号的 PAPR 减少问题的可行性。和文献中已经存在的方法相比 , 修正的人工蜂群算法取得了最好的性能 , 并且参数易于调整。同时我们也对这个算法涉及的三个参数给出了一个好的选取范围。对参数化最小互熵算法 , 我们也是首次利用它来求解 OFDM 信号的 PAPR 减少问题。通过把原始的 PTS 基框架下的组合优化问题转化为一个稀有事件的估计问题 , 我们利用参数化最小互熵算法高效地解决了这个估计问题。通过仿真 , 我们验证了参数化最小互熵算法用来求解 PAPR 减少问题的有效性 , 同时在仿真中 , 也给出了算法涉及的参数的选取范围。— 97 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究2. 对于基于 TR 的 OFDM 的 PAPR 减少方法。我们主要讨论了如何选择较小次峰值的 PRT 集选择算法。在此基础上 , 我们给出了自适应切削控制算法来自适应地选择切削阈值。TR 类 OFDM 系统中的 PAPR 减少性能主要取决于最优的 PRT 集的选择和最优的信号切削阈值。发现最优的 PRT 集需要对所有可能的 PRT 集组合进行遍历搜索 , 这是一个 NP-hard 问题。对于实际的 OFDM 系统 , 由于子载波数量较大 , 这个问题并不能求解。存在的 PRT 集选择方法 , 如等距离 PRT 集、连续 PRT 集和随机 PRT 集方法 , 其性能与最优 PRT 集相比很差或需要很高的计算复杂度。为了克服存在方法的缺陷 , 我们提出了两个新的几乎最优 PRT 集选择方法 - 基于遗传算法和粒子群算法的 PRT 集选择方法。这两个算法都可以高效地求解这个 NP-hard 问题。与存在的 PRT 集选择方法相比 , 其复杂性更低。在确定了几乎最优的 PRT 集后 , 我们接着利用 TR 类切削方法来减少 OFDM 信号的 PAPR。但是传统的 TR 类切削方法需要事先确定最优的切削阈值。已有的文献 , 这个切削阈值都是通过仿真实验事先确定的。而在实际的系统设计中 , 这是不可能的。为了解决这个问题 , 我们提出了一个自适应切削控制算法并详细分析了该算法的复杂性。仿真结果表明 , 我们提出的自适应算法很好地解决了切削阈值的选取问题 , 而且对初始切削阈值不敏感。任何较小的初始切削阈值都导致了几乎相同的 PAPR 减少。而存在的切削方法的 PAPR 减少性能则对初始切削阈值的选取更为敏感。不同的初始切削阈值导致了不同的 PAPR 减少性能。3. 对于 TI 框架下的 PAPR 减少方法。我们提出了基于六角形星座的 PAPR 减少方法。结合第二章提出的参数化最小互熵算法来求解信号的最优表示。为了减少算法的复杂性 , 我们提出了自适应参数化最小互熵算法来高效地求解 OFDM 信号的最优表示。传统的基于 TI 的基本思想是通过修正原始的数据调制星座或对原始的数据星座进行扩展 , 然后从中选择原始信号的最优表示来减少 OFDM 信号的 PAPR。不论是原始的 TI 基方法 , 还是文献中存在的星座扩展算法 , 其最大的缺陷在于需要增加信号的平均发射功率。为了克服这个缺陷 , 我们提出了利用六角形星座的 PAPR 减少方法。为了得到数据符号的最优表示 ,TI 方法必须对所有的数据组合进行遍历搜索 , 而这是一个 NP-hard 问题。为了求解这个问题 , 我们首先利用第二章提出的参数化最小互熵算— 98 —

上海交通大学博士学位论文第六章总结与展望法来求解信号的最优表示。接着我们改进了这个算法 , 提出了自适应参数化最小互熵算法来减少算法的复杂性。在相同的的计算复杂度下 , 与存在的方法相比 , 这个参数化最小互熵算法和自适应参数化最小互熵算法算法都取得了更好的 PAPR 减少性能。4. 第五章研究了连续时间 OFDM 信号的 PAPR 计算问题。为了计算连续时间 OFDM 信号的 PAPR。需要计算瞬时包络功率函数的导数的根。而这个根的计算是非常困难的。在最简单的 BPSK 调制情形 ,Tellambura 利用第一类契比雪夫多项式来计算连续时间 OFDM 信号的 PAPR。通过利用第一类和第二类契比雪夫多项式 ,Tellambura 的方法从 BPSK 调制被扩展到任意的 PSK 或 QAM 调制 , 但扩展方法在实际计算时存在诸多不便。它首先需要 IEPF 的根分成两部分 , 然后对每一部分的根进行精确映射。如何进行精确映射并没有一个通用的方法。Wong 等首先把 IEPF 表示为 tan(πt) 的幂的多项式函数 , 然后将它表示为含有 2N − 2 个第一类契比雪夫多项式的组合 , 接着计算每一个第一类契比雪夫多项式的导数 , 进而求得了连续时间 OFDM 信号的 PAPR, 而计算 2N − 2 个第一类契比雪夫多项式的导数是一个非常耗时的运算。为了克服 Wong 提出的方法中计算量大的缺点 , 我们提出了一个新的连续时间 OFDM 信号的 PAPR 计算方法。我们提出的方法改进了 Wong 的计算方法和效率 , 提出的计算方法只含有 N − 1 个第一类契比雪夫多项式 , 并且不需要计算第一类契比雪夫多项式的导数。我们也利用了多项式系统的实根分离算法来计算瞬时包络功率函数的导数的根 , 这个实根分离算法可以高效地辨识多项式的实根。6.2 未来工作展望正交频分复用技术的研究方兴未艾 , 通过将传统的正交频分复用技术与 MIMO 技术相结合 , 使得研究视野大为拓宽。有很多尚未涉足的领域亟待我们去探索。以下列出了若干将来需要解决的重要问题。1. 传统的 PTS 技术是针对 SISO 提出的。将 PTS 技术应用到 MIMO 中 , 可以获得更好的性能。但是算法的复杂性进一步增加。尽管我们在 SISO 下提出的人工蜂群算法和参数化最小互熵算法以及文献中存在的其它算法都可以应用到 MIMO 中 , 但是其只有理论意义。在实际系统的实现上 , 仍— 99 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究然无法解决算法的复杂性过高的瓶颈。如何设计复杂度更低的实用算法 ,是一个非常值得研究的课题。另一方面 , 为使接收器能正确解码 , 传统的 PTS 技术也需要传输边信息。但存在的文献或者只注重减少算法的复杂性 , 或者只侧重于不传输边信息的研究。如何把两者有机地结合起来 ,并考虑实际系统的具体要求 , 也是我们今后的一个重点研究方向。2. 尽管 TR 技术是一个无失真的 PAPR 减少方法 , 但由于一部分子载波需要预先保留 , 用以产生峰值减少的信号。这使得 TR 方法以牺牲系统的传输速率为代价来换取 PAPR 的减少。传统的方法主要集中在怎样设计低复杂度算法来减少系统的 PAPR, 并没有考虑需要预留那些子载波来产生峰值减少的信号。尽管我们解决了 SISO 下的如何选择峰值减少的子载波问题 ,但是在实际系统中由于 “ 零 ” 子载波的出现 , 使得这个问题变得更为复杂。因此如何设计新的实用算法来解决它也是一个亟待解决的问题。另外 , 能否设计出既不降低系统的传输速率 , 也能保持 TR 技术优点的算法是另一个值得关注的方向。3. 利用六角形星座基的 PAPR 减少方法虽然克服了传统的 TI 技术的缺陷 - 即需要增加信号的平均发射功率。但是为了得到数据符号的最优表示 ,TI 方法必须对所有的数据组合进行遍历搜索 , 而这是一个 NP-hard 问题。尽管我们提出了参数化最小互熵算法和自适应参数化最小互熵算法可以高效地解决这个问题 , 但是这两个算法仍然存在着复杂性高的缺点。如何设计更低复杂度的算法来解决这个 NP-hard 问题仍是一个难点。4. 传统的 PAPR 减少方法并没有考虑功率放大器的要求 , 也是以单一的减少 PAPR 为优化目标。在 3GPP 的长期演进中 , 由于考虑功率放大器的非线性影响要求 , 提出了以 “ 立方度量 ”(Cubic Metric) 为度量标准来代替 PAPR。尽管已有文献讨论了这种标准 , 但这种度量标准并没有和 PAPR 的度量标准一样成为人们的研究热点。另一方面 , 实际系统的设计要考虑很多因素的影响 , 诸如误差向量幅度 (EVM)、最小发射功率和自由载波功率约束等。如何把这些因素有机地结合起来 , 实现系统的跨层设计是我们今后的研究重点。— 100 —

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上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究[125] M. Sharif and B. Hassibi, “Existence of codes with constant PMEPR andralated design,” IEEE Trans. Signal Process., vol. 52, no. 10, pp. 2836-2846,Oct. 2004.[126] H. Yu and G. Wei, “Computation of the continuous-time PAR of an OFDMsignal,” in Proc. IEEE. ICASSP’03, Hong Kong, Apr. 2003.[127] J. R. Johnson, Algorithm for polynomial real root isolation. Quantifierelmination and cylindrical algebraic decomposition, New York: Springer,1998.[128] I.S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products,5th ed. New York: Academic, 1994.[129] M. Sharif, M. Gharavi-Alkhansari, and B. H. Khalaj, “On the Peak-to-Average Power of OFDM Signals Based on Oversampling,” IEEE Trans.Commun., vol. 51, no. 1, Jan. 2003, pp. 72-78.[130] N. Dinur and D. Wulich, “Peak-to-average power ratio in high-orderOFDM,” IEEE Trans. Commun., vol. 49, no. 6, pp. 1063-1072, Jun. 2001.— 114 —

致谢值此论文搁笔之际 , 回想攻读博士时光 , 不禁感慨万千。首先 , 向我的导师陈文教授表示我最诚恳的感谢。陈老师为实验室开创了自由、活跃的学术氛围 , 使得我能够在一个良好的环境中学习和科研。导师的言传身教使我终身受益 , 他不仅以高屋建瓴的学术眼光给我指明了正确的研究方向 , 而且对于我每篇论文 , 从构想、论证、仿真、撰写直到最后的投稿都倾注了大量的心血 , 使得我的科研能力在四年时间内取得了巨大的进步。在导师的支持和帮助下 , 我参与了多个科研项目的研究工作 , 积累了大量的研究经验和学习方法 , 并有机会参加各种会议和学术交流活动。陈老师严谨的治学作风、渊博的学识、丰富的人格魅力和平易近人的学者风范给我留下了深刻的印象 , 陈老师忘我的工作热情和认真负责的敬业精神是我终身学习的榜样 , 陈老师对我学业和工作上的细心指点 , 生活上无微不至的关心 , 让我终身受益 , 并不断鞭策我勇往直前。感谢加拿大 Alberta 大学电子和计算机工程系 C.Tellambura 教授在论文写作和修改方面的无私的奉献。没有他的指导 , 我的科研能力难以在短时间内得以提高。在此谨向导师和 C.Tellambura 教授表示衷心的感谢和深深的敬意 !感谢嵇建波、刘永、万海斌、于洋、魏莉莉、韦莎、唐洪莹、陈玮、王子健、宋沈煜、王峰、刘海、谢昆、李春树、任翔、周小燕等一起在无线网络传输实验室工作和学习过的同学。和你们共同工作和学习的日子充满了快乐与轻松。虽然这段时间转瞬即逝 , 但它必将在我的记忆中永存。感谢我的父母、岳父母、妻子马延华和女儿王启寰多年来在精神和物质上默默的支持 , 以及在我读博时期对我的理解和关心。— 115 —


攻读学位期间发表的学术论文目录1. Yajun Wang, Wen Chen and C. Tellambura, “A PAPR ReductionMethod Based on Artificial Bee Colony Algorithm for OFDM Signals,”IEEE Transactions on Wireless Communications., vol. 9, no. 10, pp.2994-2999, 2010.2. Yajun Wang, Wen Chen and C. Tellambura, “PAPR ReductionMethod Based on Parametric Minimum Cross Entropy for OFDM Signals,”IEEE Communications Letters., vol. 14, no. 6, pp.563-565, 2010.3. Yajun Wang, Wen Chen and Wei Chen, “Construction of M-QAMSequences Based on Generalized Rudin-Shapiro Polynomials,” IEEE GlobalCommunications., 20094. Yajun Wang, Cheng Zhao, Wen Chen, and Jun Li, “Identify MoreNon-Golay Complementary Sequences for OFDM with Low PMEPRUsing Multi-dimensional Root Pairs,” Fourth International Conference onCommunications and Networking in China (ChinaCom)., 20095. Yajun Wang, Wen Chen and C. Tellambura, “Genetic AlgorithmBased Nearly Optimal Peak Reduction Tone Set Selection for AdaptiveAmplitude Clipping PAPR Reduction,” Submitted to IEEE Transactionson Broadcasting.6. Yajun Wang and Wen Chen, “Particle Swarm Optimization AlgorithmBased Nearly Optimal PRT Set Selection,” Submitted to ICC 2012.7. Yajun Wang and Wen Chen, “Particle Swarm Optimization AlgorithmBased Nearly Optimal PRT Set Selection for Adaptive AmplitudeClipping PAPR Reduction,” Submitted to IEEE Transactions on Vehicular— 117 —

上海交通大学博士学位论文减少 OFDM 系统的峰均功率比的研究Technology.科研项目1. 国家自然科学基金 , “ 融入网络编码的无线协作组播单元的 “ 吞吐量 - 可靠性 ” 分析与关键编码技术研究 ”。2. 985 二期基础研究 , “OFDM 信号的编解码研究 ”。3. 上海市浦江人才计划 , “ 过采样频分复用信号编解码中码率的提高技术 ”。申请专利1. 王亚军 , 陈文 , 宋沈煜 ,“ 基于遗传算法的 PRT 集位置搜索算法 ”。专利号 :201110421523.X2. 王亚军 , 陈文 , 宋沈煜 ,“ 基于粒子群优化算法的 PRT 集位置搜索算法 ”。专利号 :201110440267.9— 118 —

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