MESURES ET ANALYSES STATISTIQUES DE DONNÉES ... - LMPA

4.2. LOI ET VARIABLE BINOMIALES 434.2.3 Somme de deux variables binomiales indépendantesSoient X 1 et X 2 telles que X 1 B(n 1 , p) et X 2 B(n 2 , p), X 1 et X 2 étant supposées indépendantes.Alors, la variable Z = X 1 + X 2 suit une loi binomiale B(n 1 + n 2 , p).Preuve : L’univers image de la variable Z est {0, 1, 2, . . . , n 1 + n 2 }. L’événement {X 1 + X 2 = k} est obtenude la façon suivante :{X 1 = 0} ∩ {X 2 = k}{X 1 = 1} ∩ {X 2 = k − 1}Ainsi, {X 1 + X 2 = k} =.{X 1 = p} ∩ {X 2 = k − p}.{X 1 = k} ∩ {X 2 = 0}k⋃({X 1 = i} ∩ {X 2 = k − i}). Les variables X 1 et X 2 étant indépendantes, on ai=1({ k})⋃p({X 1 + X 2 = k}) = p ({X 1 = i} ∩ {X 2 = k − i}) =Par conséquent,p({X 1 + X 2 = k}) =k∑i=0Il est très simple de montrer quei=1C i n 1p i q n 1−i C k−in 2p k−i q n 2−k+i =k∑i=0C i n 1C k−in 2k∑i=0k∑p({X 1 = i})p({X 2 = k − i}).i=0Cn i 1Cn k−i2p k q n 1+n 2 −k = p k q n 1+n 2 −kk∑i=0C i n 1C k−in 2.= C k n 1 +n 2. En effet, choisir k éléments parmi ceux de deuxgroupes contenant respectivement n 1 et n 2 éléments revient à choisir i éléments du premier groupe et k − iéléments du deuxième groupe, d’où p({Z = k}) = p({X 1 + X 2 = k}) = C k n 1 +n 2p k q n 1+n 2 −k . Par conséquent,Z = X 1 + X 2 B(n 1 + n 2 , p).Remarque 4.2.4 On peut généraliser cette propriété à l variables binomiales indépendantes.4.2.4 Loi et variable fréquencesSoit X B(n, p). On définit la variable F n = X n .X désigne le nombre de succès obtenus au cours des n épreuves, F n le nombre de succès divisé par le nombred’épreuves soit la fréquence du succès. F n est la variable fréquence associée à X :L’univers image de F n estF n = X 1 + X 2 + . . . + X nn= 1 n{0, 1 n , . . . , k n , . . . , n }. On a {X = k} =nn∑X i .i=1({p F n = k })= C knnp k q n−k{F n = k n}doncConcernant les moments ( ) de cette variable,X• E(F n ) = E = 1 npE(X) =n n n = p donc E(F n ) = p1 npq pq