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4.3 Retour aux notions de commandabilité et d’observabilité4.3.1 Rappels sur la définition de la commandabilitéLa commandabilité a pour objet de caractériser la capacité d’un système à voir sescaractéristiques dynamiques modifiées par les entrées.Un état x i est commandable en t 0 s’il est possible de déterminer u(t) / [t 0 t f ] conduisant tout étatinitial x i (t 0 ) vers 0 en t 0 ≤ t 1 ≤ t f .Si cette propriété est vraie ∀ t 0 et ∀ i = 1, · · · n alors le système est complètementcommandable.Remarques- Si un système n’est pas complètement commandable alors pour certaines conditions initiales iln’existe pas d’entrée de commande pouvant ramener le système à l’origine.- La commandabilité est une notion importante puisqu’elle établit le fait que l’on puissecommander le système afin de modifier son comportement (stabilisation d’un système instable,modification des dynamiques propres). Cette notion joue donc un rôle très important dans lathéorie de la synthèse de systèmes de commande dans l’espace d’état.- Un système trivialement non commandable est celui dont la matrice d’entrée est nulle, B = 0.Critère de commandabilitéIl est difficile d’utiliser directement la définition précédente afin de décider de la commandabilitéd’un système LTI donné. La commandabilité est une propriété caractéristique du couplage entrel’entrée et la sortie du système et fera donc intervenir les matrices A et B.R.E. Kalman a proposé un critère simple construit à partir de ces deux matrices.Théorème (critère de Kalman)Un système LTI d’équation dynamique d’état,o`u A ∈ R n×n , B ∈ R n×m est commandable ssi la matrice de commandabilité, C estde rang n,Exemple : Soit le système de bacs modélisé par:GEN1533 – Hiver 2009 – Chap. IV 34

En prenant (x 1 , x 2 ) = (h 1 , h 2 ) et R 1 = R 2 = 1, c 1 = c 2 = 1, on obtient:On peut alors calculer,Cela implique que le système n’est pas complètement commandable. Physiquement, il est clairque le niveau du bac 2 ne peut être modifié par la commande4.3.2 Rappels sur la définition d’observabilitéUne caractéristique structurelle complémentaire (duale) de la commandabilité peut également êtredéfinie. Elle correspond à la capacité pour un système à connaître l’historique d’un état interne àpartir de la seule connaissance de variables de sortie mesurées.Un état x i est observable en t 0 s’il est possible de déterminer x i (t 0 ) connaissant y(t) /[t 0 t f ].Si cette propriété est vraie ∀ t 0 et ∀ i = 1, · · · n alors le système est complètement observable.GEN1533 – Hiver 2009 – Chap. IV 35

Exemple à analyser :Soit le système représenté par les équations d’état :Modèle 1 :⎡−2 0 ⎤ ⎡2⎤A = ⎢ ⎥ B =⎣ 0 −1⎢ ⎥ C =[ 3 0] ( et D = 0)⎦ ⎣ 1⎦ ⎡ C ⎤ ⎡ 3 0⎤rang de la matrice d’observabilité : rang(O)=rang ⎢ ⎥ = ⎢ = 16 0⎥⎣CA⎦⎣−⎦⎡2− 4⎤rang de la matrice de commandabilité : rang (C) = rang [B AB]= ⎢ = 21 1⎥⎣ − ⎦Ce modèle est commandable mais pas observable.Modèle 2 :⎡−2 0 ⎤ ⎡2⎤A = ⎢ ⎥ B =⎣ 0 −1⎢ ⎥ C =[ 3 2] ( et D = 0)⎦ ⎣ 0⎦ ⎡ C ⎤ ⎡ 3 2 ⎤rang de la matrice d’observabilité : rang(O)=rang ⎢ ⎥ = ⎢ = 26 2⎥⎣CA⎦⎣−− ⎦⎡2− 4⎤rang de la matrice de commandabilité : rang (C) = rang [B AB]= ⎢ = 10 0⎥⎣ ⎦Ce modèle est observable mais pas commandable.4.3.3 Exemple de représentation d’état de quelques systèmes :Systèmes multivariables linéarisés, ces modèles sont donnés sous la forme d’une équation d’état :correspondant au modèle linéarisé autour d’un point de fonctionnement. Modèle d’un sous-marin :La manœuvre dans le plan vertical de la descente ou montée d’un sous-marin est réalisée à l’aidedes gouvernes de proue ou de poupe. Comme une phase de plongée ou de remontée doit êtreréalisée à assiette constante, il est nécessaire d’agir sur les deux commande. Cela conduit ànécessairement étudier un système mutivariable qui présente comme caractéristiques principalesun couplage entre les entrées et les sorties et des entrées à actions antagonistes. En effet,manœuvrer une seule des deux gouvernes modifie à la fois la position verticale du centre degravité du sous-marin et son assiette, et actionner les gouvernes dans un sens identique conduit àdes effets qualitativement opposés. On peut remarquer que l’on aurait des caractéristiquesanalogues si l’on s’intéressait aux modèles de vol des avions.GEN1533 – Hiver 2009 – Chap. IV 37

Modélisations du comportementModèles linéarisés autour de deux vitesses de fonctionnement, 6 nœuds et 30 nœuds.Variables :- commandes : angles des gouvernes de proue et de poupe :u 1 = δb, u 2 = δs;- sorties : profondeur et angle de tangage :y 1 = δh, y 2 = δθ;Modèle d’état1. Pour une vitesse de 6 nœuds :2. Pour une vitesse de 30 nœuds : AvionEn prenant comme variables :- de commande :- l’angle de la gouverne de profondeur (en dixièmes de degrés) ;- la poussée (en m.s -2 ) ;- l’angle de la gouverne d’élévation (en degrés) ;- d’état :- l’altitude (par rapport à une référence)- la vitesse horizontale (en m.s -1 ) ;- l’angle de tangage (en degrés) ;- la vitesse de tangage (en degrés.s -1 ) ;- la vitesse verticale (en m.s -1 ) ;- de sortie : les trois premiers états ;GEN1533 – Hiver 2009 – Chap. IV 38