Optima au sens de Pareto

Document de TD n o 3Exercice 1Cet exercice est inspiré de : B. Guerrien, Microéconomie et calcul économique, Economica, p. 245.On considère une économie comportant deux biens et trois individus. Leurs fonctions d’utilité sont :Soient les états suivants de l’économie :U 1 = x yU 2 = x 0,5 y 0,5U 3 = x y 2E 1 = {(1,2);(0,1);(1,0)}E 2 = {(2,1);(1,1);(1,1)}E 3 = {(1,1);(2,1);(2,2)}E 4 = {(1,1);(2,1);(1,2)}Comparer — en vous servant du critère de Pareto — ces quatre états de l’économie.Exercice 2Une économie comportant deux agents et deux biens se caractérise par les données suivantes :– les ressources totales disponibles sont ¯x = 50 et ȳ = 100,– les fonctions d’utilités des deux individus (h = 1,2) sont :U 1 = x 1 y 2 1U 2 = x 0,52y 2 2x h et y h désignent les quantités de x et de y allouées à l’individu h.On dispose du diagramme emboîté d’Edgeworth de cette économie (cf. figure 1). Un certain nombre d’allocations ysont représentées.1. L’allocation « a » est-elle optimale au sens de Pareto ? Représenter graphiquement l’ensemble des allocationspréférées au sens de Pareto à l’allocation « a ».2. Représenter les allocations strictement préférées au sens de Pareto à l’allocation « a ».3. Classer avec le critère de Pareto les allocations a, b, c, d, e et f.4. Classer ces mêmes allocations à l’aide des préférences de l’individu 1.5. Déterminer la courbe de contrat de cette économie et la représenter sur la figure 1.Exercice 3Une économie produit des carottes (bien c) et des navets (bien n) à l’aide de travail (L ≥ 0 ) et de terre (T ≥ 0). Lesquantités de travail et de terre disponibles sont : L = 100 et T = 100.Les fonctions de production des entreprises produisant les carottes et les navets sont de la forme F (·) = 0,carottes : c − L 0,6c T 0,3c = 0navets : n − L 0,3n T 0,6n = 01

10080df6040ae20cb00 10 20 30 40 50Fig. 1 – Diagramme emboîté d’Edgeworth de l’exercice 31. Parmi les grandeurs suivantes, quelles sont celles qui peuvent être calculées dans chaque entreprise : TST, TTP,Pm, CPm ?2. Déterminer (sans passer par une optimisation) les conditions de l’efficacité économique dans cette économie.3. Une répartition équitable des terres et du travail {(50,50),(50,50)} entre les deux entreprises satisfait-elle aucritère de l’efficacité ?4. Supposons qu’on répartisse équitablement la terre entre les deux entreprises (50,50). Quelle répartition du travailassure l’efficacité économique dans la production ?Exercice 4Deux naufragés se trouvent sur une île inhospitalière sur laquelle ils ont découvert un entrepôt (leur séjour sera brefcar ils ont déclenché leur balise de détresse). Son inventaire révèle qu’il contient 20 paquets de chocolats et 40 paquetsde biscuits. Les fonctions d’utilité des deux individus sont :individu 1 : U 1 = x a c1 xb b1individu 2 : U 2 = x g c2 xd b2x ci désigne la quantité de chocolat consommé par l’individu i (i = 1,2)x bi désigne la quantités de paquets de biscuits consommés par l’individu i (i = 1,2)Première partie1. Déterminer la courbe de contrat de cette économie.2. Pour quelle valeur des paramètres a, b, g , d cette courbe est-elle une droite ? Quelle est alors l’équation de cettedroite ?3. Déterminer la « frontière des utilités » sachant que a = b = 0,4 et g = d = 0,5Deuxième partieLes naufragés se sont jetés sur les stocks de chocolat et de biscuits et chacun s’est emparé précipitamment d’unepartie des stocks. Inutile de préciser qu’il ne restait rien dans l’entrepôt au terme de ce processus d’appropriationtumultueux. Une fois cette sauvage répartition effectuée ... les naufragés décident de faire des échanges en respectantles règles de la concurrence parfaite !2

Quelle relation existe-t-il entre les prix d’équilibre et les répartitions « sauvages » possibles du chocolat et des biscuits ?(les paramètres des fonctions d’utilité sont ceux de la question 3 ci-dessus)Indications : cette question ne nécessite presque aucun calcul. Soit une répartition « sauvage » inconnue. Supposons qu’elle conduità un équilibre walrassien. En vertu d’un des théorèmes de l’économie du bien-être, peut-on dire où se situera cet équilibre ? Quelleest la caractéristique des endroits où se situera cet équilibre ? En tirer les conséquences et conclure.Exercice 5On considère une économie comportant deux entreprises produisant du blé (bien x ) et du maïs (bien y) à l’aide detravail (compté positivement). Les fonctions de production (écrites sous la forme F (x, y,···) = 0) des deux entreprisessont :exploitation 1 : (x 1 + 1,5) 2 + (y 1 + 0,5) 2 − L 1 = 0exploitation 2 : 2(x 2 + 1) 2 + (y 2 + 1) 2 − L 2 = 0L’économie dispose d’une quantité totale de travail égale à 20.Première partieOn suppose qu’une autorité toute puissante a décidé d’allouer le travail équitablement entre les deux entreprises(c’est à dire : L 1 = 10 et L 2 = 10).1. Quelle est la signification des deux courbes représentées sur la figure 2 ? Quelle est la signification de la penteen un point de l’une quelconque de ces deux courbes ?2. Déterminer (sans passer par un lagrangien) les conditions d’un optimum de production et donner son interprétationgraphique.3. L’entreprise 1 a décidé de produire y 1 = 2 ; l’entreprise 2 a décidé de produire y 2 = 1. Ces choix correspondent-ilsà un optimum de production ? Vérifiez graphiquement votre réponse.4. Quelle production devrait mettre en œuvre l’entreprise 2 pour assurer l’optimum de production, sachant quel’entreprise 1 produit y 1 = 1 ? Vérifiez graphiquement votre réponse.Deuxième partieL’optimum trouvé à la question précédente est un optimum possible. Il repose sur le fait que le travail a été allouééquitablement entre les deux entreprises. Supprimons maintenant cette hypothèse.1. Déterminer les conditions d’un optimum de production sachant que L 1 + L 2 = 20.2. Vérifier que :situation 1 situation 2L 1 12,5833 12,3125L 2 7,4166 7,6875x 1 1,714550253664318 1,54138126514911y 1 1 1,25x 2 0,6072751268321591 0,520690632574555y 2 0,5 0,75sont deux optima de production pour cette économie.3. Pourquoi sont-ils incomparables ? (indication : comparer la production totale de x et de y et conclure)Exercice 6Reprenons l’économie décrite dans l’exercice 2.– les ressources totales disponibles sont ¯x = 50 et ȳ = 100,– les fonctions d’utilités des deux individus (h = 1,2) sont :U 1 = x 1 y 2 1U 2 = x 0,52y 2 23

y21.510.50.5 1 1.5xFig. 2 – Courbes à déterminer4

On suppose désormais que les deux individus possèdent une dotation initiales des deux biens et qu’ils pratiquentdes échanges marchands avec l’aide d’un commissaire-priseur. Les dotations initiales apparaissent dans le tableausuivant :Première partieBien x Bien yIndividu 1 40 10Individu 2 10 90Montrer que l’équilibre général walrassien de cette économie est un optimum de Pareto.Indications :– écrire toutes les équations de l’équilibre général walrassien sans calculer les fonctions de demandes nettes,– supposer qu’il existe un vecteur-prix d’équilibre (remarque pour les incrédules : il existe et il est égal à (p x , p y ) =( 813 ,1)),– montrer qu’on peut extraire de ce système d’équations un sous-système d’équations caractéristique de l’optimumde Pareto,– montrer que la solution du système walrassien est une solution du système parétien.Deuxième partieSoit l’allocation suivante entre les deux individus :Individu 1Individu 2Bien x3501750017Bien y70027200027Après avoir vérifié qu’elle est optimale au sens de Pareto, montrer qu’elle est le support d’un équilibre général walrassien.Indications :– écrire les équations d’un optimum de Pareto,– montrer qu’en ajoutant un certain nombre d’équations, on obtient un système walrassien,– montrer que ces équations supplémentaires ont une solution pour les mêmes valeurs que l’optimum de Pareto,– montrer par ailleurs qu’il existe une infinité de dotations initiales conduisant à cet équilibre/optimum.Cet exercice est une illustration des deux théorèmes fondamentaux de l’économie du bien-être. Il montre qu’équilibre généralet optimum sont deux notions conceptuellement distinctes. Il peut être utile de vous demander si vous êtes capablesd’expliquer clairement les différences entre la problématique de la théorie de Pareto et celle des marchés concurrentiels.5

Tout ce que vous avez toujours voulu savoir sur lesproblèmes d’optima sans jamais oser le demanderLes problèmes d’optima sont difficiles à résoudre en raison du nombre d’équations et de variables qu’il faut manipuler.En pratique, il est déconseillé d’utiliser la technique du lagrangien. Mais, même dans ces conditions on risquefort de se perdre dans le dédale des conditions marginales. Il existe un moyen simple de trouver toutes les conditionsmarginales.1. On repère précisément les agents et on repère précisément les biens.2. On établit ensuite un tableau où figurent :– en lignes les biens,– en colonne les agents.Bien 1Bien 2Bien 3etc.Consommateur 1 Consommateur 2 Entreprise 1 etc.On remplit chaque case – lorsque c’est possible – avec la dérivée de la fonction caractéristique de l’agent (fonctiond’utilité pour un consommateur, fonction de production pour une entreprise) par rapport au bien considéré. On metune croix « × » lorsqu’une telle dérivée ne peut être calculée.Dans le tableau ci-dessus :Bien 1Consommateur 1 Consommateur 2 Entreprise 1 etc.Bien 2 ×Bien 3etc.∂U 1 (.)∂x 1∂U 2 (.)∂x 1∂F 1 (.)∂x 1. . .∂U 2 (.)∂x 2× . . .∂U 1 (.)∂x 3∂U 2 (.)∂x 3∂F 1 (.)∂x 3. . .– on ne peut calculer l’utilité marginale du bien 2 pour le consommateur 1 (parce que l’individu 1 ne consommepas de bien 2 ou parce qu’il dispose d’une quantité donnée de bien 2 ; dans le deux cas x 2 n’est pas une variablepour ce consommateur et donc on ne peut pas calculer de dérivée partielle),– on ne peut calculer de dérivée partielle de la fonction de production de la première entreprise par rapport aubien 2 (parce que l’entreprise ne produit pas ce bien ou ne l’utilise pas ; ou encore, en produit ou en consommeune quantité fixée).Ceci fait, on établit pour chaque couple de biens le rapport des utilités marginales ou le rapport des dérivées partiellesdes fonctions de production. On égalise ensuite ces rapports pour chaque couple de biens. Quand on tombe sur unecroix, le rapport est impossible : on l’élimine et on passe au suivant.Si on reprend le tableau précédent, on a :Biens 1 et 2Biens 1 et 3∂U 1 (.)∂x 1×} {{ }=Rappor t impossible∂U 1 (.)∂x 1∂U 1 (.)=∂x 3∂U 2 (.)∂x 1∂U 2 (.)∂x 2=. . . =∂U 2 (.)∂x 1∂U 2 (.)∂x 3=. . . =∂F 1 (.)∂x 1×} {{ }Rappor t impossible=. . .∂F 1 (.)∂x 1∂F 1 (.)∂x 3=. . .etc.Conclusion : en procédant de la sorte, on est certain de n’oublier aucune des conditions marginales portant sur lesTST, TTP et autres TSB.Ce travail fait, il reste à écrire les conditions permettant d’affirmer que l’optimum de Pareto est une allocation. Rien deplus simple puisque le tableau précédent montre que, pour chaque ligne, les quantités consommées de chaque biendoivent être égales aux quantités produites ou disponibles.6

Exercice 7La république socialiste de Yogourtie compte deux sovkhozes. Leurs fonctions de production s’écrivent :Entreprise 1 x 2 1 + y 2 1 − L0,4 1K 0,61= 0Entreprise 2 2x 2 2 + y 2 2 − L0,5 2K 0,52= 0Les résultats obtenus par les deux sovkhozes se situant nettement en dessous des objectifs du plan, le camarade expertBouboutovich est chargé d’organiser au mieux la production de x et de y et d’allouer au mieux le travail L ≥ 0 et lecapital K ≥ 0 entre ces deux unités de production.Première partieÉtablir l’ensemble des conditions de l’efficacité dans la production.Deuxième partie : la plus grande production possibleOn suppose que chaque entreprise utilise 10 unités de travail et 10 unités de capital. Lorsque Bouboutovitch interrogeles camarades responsables de la production, il apprend que l’entreprise 1 produit x 1 = 0,6 et y 1 = 3,105 alors quel’entreprise 2 produit x 2 = 0,5 et y 2 = 3,08. Il pense que – sans toucher à l’allocation des facteurs de production – ilserait déjà possible de réorienter la production de façon à obtenir de meilleurs résultats globaux.1. Montrer que les choix de production des deux entreprises ne sont pas optimaux.2. Montrer que – partant de la situation initiale – une amélioration parétienne est possible.3. Bouboutovitch propose la répartition suivante des productions x 1 = 5, y 1 = √ √55, x 2 =3 et y 52 = 23 . Est-elleoptimale au sens de Pareto ?4. Représenter cette proposition sur le graphique de la figure 3.32.521.510.50.5 1 1.5 2 2.5 3Fig. 3 – Frontières des possibilités de production des deux sovkhozesTroisième partie : la meilleure répartition des inputsLe camarade Bouboutovitch se demande maintenant si la répartition des facteurs de production est optimale. Il vienten effet de faire une proposition concernant les productions des deux sovkhozes (cf. question 3 ci-dessus). Il reste àvérifier que la répartition actuelle des inputs qui conduit à cette production est « la meilleure possible ».1. Étant donnée la proposition du camarade expert, la répartition actuelle des facteurs de production est-elle optimale?2. Montrer qu’une amélioration parétienne est possible.7

Quatrième partie : optimalité dans la productionLe camarade Bouboutovitch travaille toute la nuit et, guidé par la juste pensée créatrice du camarade Lénine, proposedès le matin le programme suivant :– travail : L 1 = 10 et L 2 = 10– capital : K 1 = 12 et K 2 = 8– production 1 de la première entreprise : x 1 = 2,121 et y 1 = 2,579– production de la deuxième entreprise : x 2 =? et y 2 =?1. Bouboutovitch a laissé en blanc la production que doit mettre en œuvre la deuxième entreprise. Au fait, quelleest-elle ?2. Un autre expert aurait-il pu donner une autre solution ?Exercice 8Pour survivre sur leur île, Robinson (individu 1) et Vendredi (individu 2) produisent du lait de chèvre (qu’il faut traire)et des pommes de terre (qu’il faut cultiver). Ces deux activités ne réclament que du travail (compté positivement).Les fonctions d’utilité de Robinson et Vendredi sont :U 1 = 2log(x 1 ) + log(y 1 ) + log(30 − L 1 )U 2 = log(x 2 ) + 2log(y 2 ) + log(30 − L 2 )x h désigne la quantité de lait de chèvre consommé par l’individu h, y h la quantité de pommes de terre consomméespar l’individu h et L h le travail mensuel (mesuré en jours) fourni par l’individu h.L’activité de production est décrite par la fonction :(( ) 1 2 ( ) 1 2 )10 X + 210 Y L − 410 − 1 = 0X , Y et L désignent respectivement la quantité de lait de chèvre produite, la quantité de pommes de terre récoltées etle travail mensuel total nécessaire à ces deux activités.1. Déterminer les conditions d’un optimum pour cette économie.2. Quelle relation existe-t-il entre L 1 ≤ 0 et L 2 ≥ 0 à l’optimum ?3. Robinson a décidé qu’il ne travaillerait que 8 jours par mois. Déterminer l’optimum qui correspond à cettedécision.4. Vendredi rétorque que c’est lui qui travaillera 8 jours par mois. Quel est l’optimum dans cette situation ?5. La proposition de Vendredi est-elle meilleure que celle de Robinson ?6. Robinson décide d’instaurer un régime de propriété privée des activités de production ainsi qu’un systèmede marchés concurrentiels. Montrer que l’optimum de Vendredi 2 (question 4 ci-dessus) est le support d’unéquilibre général walrassien (on déterminera les prix d’équilibre et la répartition des droits de propriété surl’entreprise).Exercice 9Pour survivre sur leur île, Robinson (individu 1) et Vendredi (individu 2) ont mis en œuvre deux activités de production.Ils vivent d’une part du lait de chèvre (qu’il faut traire) et d’autre part du produit de la cueillette de baies sauvages (qu’ilfaut ramasser). Ces deux activités ne nécessitent que du travail (compté positivement) et on suppose dans tout ce quisuit que Robinson et Vendredi sont indifférents entre les deux types de travaux. Les fonction d’utilité de Robinson etVendredi sont :Robinson (h = 1) U 1 = x 1 y 1 (24 − l 1 )Vendredi (h = 2) U 2 = x 2 y 2 (24 − l 2 )avec :x h : quantité de lait de chèvre consommé par l’individu hy h : quantité de baies sauvages consommées par l’individu hl h : temps de travail fourni par l’individu h (0 ≤ l h ≤ 24)1. Les valeurs indiquées sont arrondies.2. Vous pouvez également faire les calculs pour la proposition de Robinson.8

Les deux activités productives sont représentées par les fonctions de production :X = 5(L 1 ) 0,5Y = 10(L 2 ) 0,5avec :L j ≥ 0 : quantité de travail utilisé par l’activité j pour la production.1. Déterminer (sans utiliser un lagrangien) les conditions d’un optimum de Pareto pour cette économie.2. Quelle relation existe-t-il entre l 1 et l 2 à l’optimum ?Indication : pour répondre à cette question, il faut résoudre le système d’équations caractérisant l’optimum. Procéder parsubstitution en exprimant progressivement toutes les variables en fonction de l 1 ou l 2 .3. Robinson décrète qu’il ne travaillera que 10 heures. Déterminer l’optimum qui correspond à cette décision.4. Vendredi lui rétorque qu’ils travailleront exactement le même temps. Déterminer l’optimum dans cette situation.5. Peut-on dire que la proposition de Vendredi est meilleure que celle de Robinson ?Robinson se sent du vague à l’âme ... il dépérit loin de sa chère Angleterre, de ses marchés animés, de la circulation etdes échanges ...Il propose à Vendredi d’instaurer un système de marchés concurrentiels et de « propriété privée des activités de production».Montrer que les deux optima des questions 4 et 5 sont les supports d’équilibres concurrentiels walrassiens (on déterminerales prix d’équilibre ainsi que la répartition des « droits de propriété » sur les entreprises).9