Optima au sens de Pareto

Quatrième partie : optimalité dans la productionLe camarade Bouboutovitch travaille toute la nuit et, guidé par la juste pensée créatrice du camarade Lénine, proposedès le matin le programme suivant :– travail : L 1 = 10 et L 2 = 10– capital : K 1 = 12 et K 2 = 8– production 1 de la première entreprise : x 1 = 2,121 et y 1 = 2,579– production de la deuxième entreprise : x 2 =? et y 2 =?1. Bouboutovitch a laissé en blanc la production que doit mettre en œuvre la deuxième entreprise. Au fait, quelleest-elle ?2. Un autre expert aurait-il pu donner une autre solution ?Exercice 8Pour survivre sur leur île, Robinson (individu 1) et Vendredi (individu 2) produisent du lait de chèvre (qu’il faut traire)et des pommes de terre (qu’il faut cultiver). Ces deux activités ne réclament que du travail (compté positivement).Les fonctions d’utilité de Robinson et Vendredi sont :U 1 = 2log(x 1 ) + log(y 1 ) + log(30 − L 1 )U 2 = log(x 2 ) + 2log(y 2 ) + log(30 − L 2 )x h désigne la quantité de lait de chèvre consommé par l’individu h, y h la quantité de pommes de terre consomméespar l’individu h et L h le travail mensuel (mesuré en jours) fourni par l’individu h.L’activité de production est décrite par la fonction :(( ) 1 2 ( ) 1 2 )10 X + 210 Y L − 410 − 1 = 0X , Y et L désignent respectivement la quantité de lait de chèvre produite, la quantité de pommes de terre récoltées etle travail mensuel total nécessaire à ces deux activités.1. Déterminer les conditions d’un optimum pour cette économie.2. Quelle relation existe-t-il entre L 1 ≤ 0 et L 2 ≥ 0 à l’optimum ?3. Robinson a décidé qu’il ne travaillerait que 8 jours par mois. Déterminer l’optimum qui correspond à cettedécision.4. Vendredi rétorque que c’est lui qui travaillera 8 jours par mois. Quel est l’optimum dans cette situation ?5. La proposition de Vendredi est-elle meilleure que celle de Robinson ?6. Robinson décide d’instaurer un régime de propriété privée des activités de production ainsi qu’un systèmede marchés concurrentiels. Montrer que l’optimum de Vendredi 2 (question 4 ci-dessus) est le support d’unéquilibre général walrassien (on déterminera les prix d’équilibre et la répartition des droits de propriété surl’entreprise).Exercice 9Pour survivre sur leur île, Robinson (individu 1) et Vendredi (individu 2) ont mis en œuvre deux activités de production.Ils vivent d’une part du lait de chèvre (qu’il faut traire) et d’autre part du produit de la cueillette de baies sauvages (qu’ilfaut ramasser). Ces deux activités ne nécessitent que du travail (compté positivement) et on suppose dans tout ce quisuit que Robinson et Vendredi sont indifférents entre les deux types de travaux. Les fonction d’utilité de Robinson etVendredi sont :Robinson (h = 1) U 1 = x 1 y 1 (24 − l 1 )Vendredi (h = 2) U 2 = x 2 y 2 (24 − l 2 )avec :x h : quantité de lait de chèvre consommé par l’individu hy h : quantité de baies sauvages consommées par l’individu hl h : temps de travail fourni par l’individu h (0 ≤ l h ≤ 24)1. Les valeurs indiquées sont arrondies.2. Vous pouvez également faire les calculs pour la proposition de Robinson.8