colle du mercredi 2 février 2005 - xavierdupre.fr

{un+2 − u n 0 si u n 2 − √ 3u n+2 − u n 0 si u n 2 − √ 3Pour la suite des termes pairs, on sait que u 0 = 1 2 > 2 − √ 3 et d'après ce qui précède, on peut armer que :u 0 u 2 u 4 u 6 u 8 ... u 2n u 2n+2 ...Par récurrence, on peut donc montrer que la suite des termes pairs (u 2n ) est croissante. Elle est majorée puisqu'elleprend ses valeurs dans l'intervalle [0,1], elle est donc convergente. Pour la suite des termes impairs, on sait queu 1 = 1 4 < 2 − √ 3 et d'après ce qui précède, on peut armer que :u 1 u 3 u 5 u 7 u 9 ... u 2n−1 u 2n+1 ...Par récurrence, on peut donc montrer que la suite des termes impairs (u 2n+1 ) est décroissante. Elle est minoréepuisqu'elle prend ses valeurs dans l'intervalle [0,1], elle est donc convergente. Il reste à déterminer les limites dessuites (u 2n ) et (u 2n+1 ). Ces limites sont solution de l'équation :l = l 2 (2 − l) 2⇐⇒ ( l 2 (2 − l) 2 −)l = 0⇐⇒l l (2 − l) 2 − 1 = 0⇐⇒ l (1 − l) ( l 2 − 4l + 1 ) = 0⇐⇒ l (1 − l) ( l − ( 2 − √ 3 )) ( l − ( 2 + √ 3 )) = 0Ces calculs sont identiques à ceux eectués pour déterminer le signe de u n+2 − u n . Les quatre limites possibles sontdonc 0, 1, 2 − √ 3 et 2 + √ 3. La dernière solution est impossible car 2 + √ 3 /∈ [0,1]. La solution 2 − √ 3 est impossibleaussi car les deux suites (u 2n ) et (u 2n+1 ) s'éloignent de ces solutions. En eet, (u 2n ) est décroissante et son premierterme est strictement inférieur à 2 − √ 3. Elle ne peut donc converger vers cette limite. Un raisonnement analoguepermet d'armer que la suite (u 2n+1 ) ne peut pas converger non plus vers cette limite. Il reste les limites 0 et1. Comme tous les termes de la suite (u 2n ) sont inférieurs à 2 − √ 3, elle ne peut converger que vers 0. Le mêmeraisonnement permet d'armer que :{ lim u 2n = 0n→∞lim u 2n+1 = 1n→∞n exo 2⊓⊔4