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Décomposition d'une fraction rationnelleen éléments simples

REPÈRES 2Repères1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1 Opérations sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53. Application aux fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Construction du système linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Un exemple de programme informatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124. Le programme informatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.1 Tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2 Structures possibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.3 Expression de la décomposition à l'aide de ces structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15La table des matières est détaillée à la n du document.

1. Introduction 3Chapitre 1IntroductionIl existe une méthode systématique qui permet de décomposer une fraction rationelle en éléments simples :la première étape est d'écrire la forme a priori de la décomposition, puis, après mise sous même dénominateur,d'identier les coecients de la décomposition. Cette méthode revient à résoudre un système linéairede n inconnues à n équations. Les n inconnues sont les n coecients de la décomposition de la fractionen éléments simples. Un théorème arme que cette décomposition existe et est unique ce qui nous assureque le système linéaire à résoudre admet nécessairement une solution unique.Les chapitres qui suivront ont pour de présenter un algorithme de décomposition des fractions rationnellesen éléments simples.

2. Préliminaires 4Chapitre 2Préliminaires2.1 Opérations sur les polynômesLa multiplication de polynômes sera la seule opération sur les polynômes utilisée par l'algorithme. Néanmoins,l'addition sera également présentée.Un polynôme P est déni par :D'après ces notations :{ un degré dPun tableau de coecients {a 0 , · · · ,a dP }P (x) =Par dénition, un polynôme est constant si et seulement si d P = 0, par convention, le polynôme nul aurapour degré 0.2.1.1 L'additionOn considère deux polynômes :P de degré d P et de coecients {a 0 , · · · ,a dP } et Q de degré d Q et de coecients { b 0 , · · · ,b dQ}.Soit R = P + Q, on sait que d R max (d P ,d Q ), et es coecients de R sont {c 0 , · · · ,c dR }.⎧⎨∀i ∈ {0, · · · ,d R } , c i =⎩La valeur précise de d R est donnée par :d P ∑i=0a i x ia i + b i si i min {d P ,d Q }a i si i d P et i > d Qb i si i > d P et i d Qd R ={ max {dP ,d Q } si d P ≠ d Qinf {i | i ∈ {0, · · · ,d R } et ∀k > i, c k = 0} si d P ≠ d Q

2. Préliminaires 5On prend cette précaution pour s'assurer que le coecient du terme de plus haut degré est non nul. Dansle programme, cette addition n'est pas utilisée.2.1.2 La multiplicationOn considère deux polynômes P de degré d Pet de coecients {a 0 , · · · ,a dP } et Q de degré d Q et decoecients { b 0 , · · · ,b dQ}.P =Q =d P ∑i=0d Q∑i=0a i x ib i x iPar conséquent, soit R le polynôme vériant R = P Q, de degré d R et de coecients {c 0 , · · · ,c dR }, alors :Dans le cas où P ≠ 0 et Q ≠ 0 :d R ={ 0 si P = 0ouQ = 0d P + d Q sinon( dP) ⎛ ∑R = a i x i ⎝R =R =i=0d R ∑∑i=0 k+l=ikd Rd R ∑i=0d Q∑i=0ld Qa k b l x imin{i,d P }∑k=max{0,i−d Q}⎞b i x i ⎠a k b i−k x i2.2 Opérations sur les matricesL'algorithme fait intervenir deux opérations sur les matrices : la multiplication et l'inversion.Une matrice M est représentée de manière informatique par :2.2.1 La multiplication⎧⎪⎨⎪⎩un nombre de lignes L Mun nombre de colonnes C Mun tableau de coecients (a ij ) 1iLM1jC MOn considère deux matrices : M de coecients (a ij ) 1iLM1jC Met N de coecients (b ij ) 1iLN1jC N.

On peut eectuer le produit K = MN si C M = L N :⎧⎪⎨⎪⎩2. Préliminaires 6K = (c ij ) 1iLM1jC N∀i ∈ {1, · · · ,L M } , ∀j ∈ {1, · · · ,C N } , c ij = C M∑2.2.2 Multiplication et opérations sur les lignes et colonnesk=0a ik b kjLes multiplications entre matrices permettent à l'aide de matrices simples de traduire des opérations surles lignes et les colonnes.Exemple :⎛⎝1 0 00 1 −52 0 1⎞⎠⎛⎝⎞L 1L 2⎠L 3} {{ }matrice quelconquecomposée de 3 lignes⎛= ⎝⎞L 1L 2 − 5L 3⎠L 3 + 2L 1Dans le cas général, multiplier à gauche par une matrice carrée M ∈ M n , M = (a ij ) 1indes opérations sur les lignes sur la matrice de droite :⎛(a ij ) ⎜⎝⎛⎞L 1L 2⎟. ⎠ = L n⎜⎝n∑⎞a 1j L jj=1n∑a 2j L jj=1.⎟n∑ ⎠a nj L jj=11jnrevient à faireDe même, multiplier à droite par une matrice carrée M ∈ M n ,opérations sur les colonnes sur la matrice de gauche :(( ) n∑C1 C 2 . . . C n (aij ) = a i1 C ii=1n∑a i2 C i . . .i=1M = (a ij ) 1in1jn)n∑a in C ii=1revient à faire desCes précisions sont importantes en terme de coût algorithime . En eet, pour eectuer le produit dematrices suivant :⎛⎝1 0 00 1 −52 0 1⎞⎠⎛⎝⎞L 1L 2⎠L 3} {{ }matrice quelconquecomposée de 3 lignesIl est plus judicieux de faire des opérations sur les lignes plutôt que d'eectuer le produit matriciel complet.Le coût d'un produit matriciel est en O ( n 3) ceci signie que pour deux matrices carrées d'ordre n, le

2. Préliminaires 7nombre d'opérations (au sens informatique) est un multiple constant (indépendant des matrices choisies)de n 3 , ou 3 boucles imbriquées de n itérations. Or, eectuer les opérations suivantes sur les lignes :⎛⎝⎞L 1L 2 − 5L 3⎠L 3 + 2L 1est beaucoup moins coûteux. Dans ce cas, chaque ligne de la matrice résultat est une somme coecientéede deux autres lignes. Le coût de ce produit sera donc en O ( n 2) . Ce sera justement le seul cas rencontrélors du pivot de Gauss.2.2.3 Matrice de passage du pivot de GaussLors du calcul de l'inverse, il est nécessaire de calculer la matrice de passage qui permet de passer de lamatrice initiale à la matrice triangulaire supérieure obtenue par pivot de Gauss.⎛1 0⎞ ⎛0⎝ −2 1 0 ⎠ ⎝}−3 −5{{1}matrice de passageOn peut écrire également :⎛⎝1 0 0−2 1 0−3 −5 1⎞ ⎛⎠ ⎝Si on note la matrice identité :⎞L 1L 2⎠ =L 31 0 00 1 00 0 1} {{ }matrice identité⎛⎝⎞L 1L 2 − 2L 1⎠L 3 − 3L 1 − 5L 2} {{ }obtenue directement par pivot de Gauss⎞ ⎛⎠ ⎝⎛⎝⎞ ⎛L 1L 2⎠ = ⎝L 31 0 00 1 00 0 1On peut écrire le résultat précédent sous la forme :⎛⎝⎞ ⎛I 1I 2 − 2I 1⎠ ⎝I 3 − 3I 1 − 5I 2⎞ ⎛L 1L 2⎠ = ⎝L 3⎞⎛= ⎝⎞ ⎛L 1L 2 − 2L 1⎠ = ⎝L 3 − 3L 1 − 5L 2⎛⎠ = ⎝⎞I 1I 2⎠I 3⎞ ⎛L 1L 2 − 2L 1⎠ = ⎝L 3 − 3L 1 − 5L 2⎞a 11 a 12 a 130 a 22 a 23⎠0 0 a 33⎞a 11 a 12 a 130 a 22 a 23⎠0 0 a 33⎞a 11 a 12 a 130 a 22 a 23⎠0 0 a 33Le pivot de Gauss consiste à appliquer une série d'opérations sur les lignes à partir de la matrice initialepour la rendre triangulaire supérieure. La matrice de passage s'obtient donc en eectuant exactement lesmêmes opérations sur les lignes à partir de la matrice identité.2.2.4 L'inversionL'inversion d'une matrice utilise le pivot de Gauss. Cette méthode permet de rendre les matrices triangulairessupérieures. C'est également cette méthode qui est utilisée pour calculer son déterminant.La méthode utilisée se décrit simplement, nous supposons que nous avons une matrice de la forme :

2. Préliminaires 8⎛ ⎞ ⎛L 1L 2⎜ L 3⎟⎝ L 4⎠ = ⎜⎝L 5a 11 ∗ ∗ ∗ ∗0 a 22 ∗ ∗ ∗0 0 a 33 a 34 ∗0 0 a 43 a 44 ∗0 0 a 53 a 54 ∗⎞⎟⎠les * désignent un coecient quelconque)L'objectif est de rendre nul les coecients a 43 et a 53 , pour ce faire, on eectue les opérations sur leslignes comme si on résolvait un système linéaire, ces opérations correspondent également à un produit dematrice :On suppose que a 33 ≠ 0 :P 3L 4 ← L 4 − L 3a 43a 33L 5 ← L 5 − L 3a 53a 33⎛⎞⎛⎞1 0 0 0 0 a 11 ∗ ∗ ∗ ∗0 1 0 0 00 a 22 ∗ ∗ ∗⎜ 0 0 1 0 0⎟⎜0 0 a 33 a 34 ∗⎟⎝ 0 0 −a 43 1 0 ⎠⎝0 0 a 43 a 44 ∗ ⎠0 0 −a 53 0 1 0 0 a 53 a 54 ∗} {{ }} {{ }M 3=⎛⎜⎝a 11 ∗ ∗ ∗ ∗0 a 22 ∗ ∗ ∗0 0 a 33 a 34 ∗⎞⎟⎠0 0 0 a 44 − a 4333a 34 ∗}0 0 0 a 54 − a 53a 33a 44{{∗}M 4Dans le cas où a 33 = 0 et que a 43 ≠ 0, on fait d'abord : L 3 ← L 4 puis on continue le pivot de Gauss :⎛⎞ ⎛⎞⎛1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 a 11 ∗ ∗ ∗ ∗0 1 0 0 00 1 0 0 00 a 22 ∗ ∗ ∗⎜ 0 0 1 0 0⎟ ⎜ 0 0 1 1 0⎟⎜0 0 0 a 34 ∗⎟ =⎝ 0 0 −a 43 1 0 ⎠ ⎝ 0 0 0 1 0 ⎠⎝0 0 a 43 a 44 ∗ ⎠0 0 −a 53 0 1 0 0 0 0 1 0 0 a 53 a 54 ∗} {{ }} {{ }P 3M⎛3⎞⎞a 11 ∗ ∗ ∗ ∗0 a 22 ∗ ∗ ∗⎜ 0 0 a 43 a 43 + a 44 ∗⎟⎝ 0 0 0 −a 34 ∗ ⎠}0 0 0 a 54 − a 53a 43a 34{{∗}M 4Dans le cas général, on suppose que M est une matrice carrée d'ordre n, on suppose que M 1 = M et lasuite (P i ) est construite de telle sorte que :P i M i = M( i+1)M i =∀ (k,l) tel que i > k > l 1, a kli = 0a kli1k,ln

2. Préliminaires 9On obtient nalement que (P n P n−1 . . . P 1 ) M = N avec N matrice triangulaire supérieure. Comme lamatrice P n P n−1 . . . P 1 est inversibles (c'est un produit de matrice inversibles), la matrice M est inversiblesi la matrice N l'est aussi et N est inversible si tous ses coecients sur la diagonale sont non nuls.En eet, on note N = ( b kl) , N est triangulaire supérieure donc :1k,lndet N =n∏i=1b ii= det (P n P n−1 . . . P 1 ) × det M} {{ }=1 par construction= det MOn suppose maintenant que la matrice M est inversible, tous les coecients diagonaux de N sont doncnon nuls. Dans cette première phase, nous avons, dans l'ordre croissant des lignes, rempli la matrice Mde 0 en dessous de sa diagonale, il est alors possible en appliquant le même pivot de Gauss mais cette foisdans l'ordre décroissant des lignes de remplir la matrice de 0 au-dessus de sa diagonale.Il existe donc une suite de matrice (Q i ) tel que (Q n Q n−1 . . . Q 1 ) N = D n où D n est une matrice diagonale.De plus, on peut choisir les matrices Q i de telle sorte que D n = I n où I n est la matrice identité. Parexemple :Donc :D'où :⎛⎞ ⎛⎞⎛1 0 −b 13 0 0 1 0 0 0 0 b 11 b 12 b 13 0 00 1 −b 23 0 00 1 0 0 00 b 22 b 23 0 0⎜ 0 0 1 0 01⎟ ⎜ 0 0b 330 0⎟⎜0 0 b 33 0 0⎟ =⎝ 0 0 0 1 0 ⎠ ⎝ 0 0 0 1 0 ⎠⎝0 0 0 1 0 ⎠0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1} {{ }} {{ }Q 3N⎛3⎞⎜⎝(Q n Q n−1 . . . Q 1 ) (P n P n−1 . . . P 1 ) M = I nM −1 = (Q n Q n−1 . . . Q 1 ) (P n P n−1 . . . P 1 )⎞b 11 b 12 0 0 00 b 22 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1⎟⎠} {{ }N 4

3. Application aux fractions rationnelles 10Chapitre 3Application aux fractions rationnelles3.1 PrincipeTrouver tous les coecients de la décomposition a priori d'une fonction rationnelle revient à résoudre unsystème linéaire.Soit P et Q deux polynômes à coecients réels, Q se décompose en :La fraction P Qse décompose donc en :s∏Q = α (X − a i ) d ii=1t∏ (X 2 ) d ′+ p i X + q i ii=1PQ = E +s∑ ∑d ioù E est la partie entière.On met tout sous le même dénominateur :P = EQα k d t∑ii=1(X − ak=1 i ) k + ∑′ ii=1 k=1βi kX + γk i(X 2 + p i X + q i ) k( ) (∑+ α s ∏(X + a j ) d ∏ (j X 2 ) d ′ di)+ p i X + q j∑i αi k (X − a i) d i−ki=1 j≠ijk=1+ α t ∑i=1(∏j(X + a j ) d j∏j≠i) ((X 2 ) d ′ d ′+ p i X + q j∑ iik=1(βki X + γik ) (X 2 ) d ′+ p i X + q i −kiIl sut d'identier ces deux polynômes, ce qui revient à résoudre un système linéaire. Pour que l'algorithmemarche, il faut néanmoins connaître la factorisation en éléments simples du dénominateur.)3.2 Construction du système linéaireL'illustration par un exemple permet de mieux comprendre l'algorithme qu'une description théoriqueutilisant une multitude d'indice.

3. Application aux fractions rationnelles 11Nous allons donc décortiquer chaque étape de l'algorithme sur la fraction rationnelle :3.2.1 Numérotation des coecientsLa partie entière est de degré 2 (=9-7).La forme a priori de la décomposition de la fraction rationnelle est :PQ = X 9(3.1)(X + 1) 3 (X 2 + X + 2) 2PQ = a 1 + a 2 X + a 3 X 2 + a 4X + 1 + a 5(X + 1) 2 + a 6(X + 1) 3 + a 7 + a 8 XX 2 + X + 2 + a 9 + a 10 X(X 2 + X + 2) 2La numérotation suit le sens croissant des puissances en commençant par la partie entière.3.2.2 Construction du système linéaireEn mettant tout sous le même dénominateur, on obtient :P = a 1 Q + a 2 XQ + a 3 X 2 Q +On construit la matrice suivante :⎛⎛⎞a 1 × Qa 2 × XQa 3 × X 2 Qa 4 × Q/ (X + 1)a 5 × Q/ (X + 1) 2=a 6 × Q/ (X + 1) 3a 7 × Q/ ( X 2 + X + 2 )a⎜ 8 × XQ/ ( X 2 + X + 2 )⎝ a 9 × Q/ ( X 2 + X + 2 ) 2 ⎟a 10 × XQ/ ( X 2 + X + 2 ) ⎠ ⎜⎝2a 4QX + 1 + a 5Q(X + 1) 2 + a 6Q(X + 1) 3 + (a 7 + a 8 X) QX 2 + X + 2 + (a 9 + a 10 X) Q(X 2 + X + 2) 2X 0 X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9× × × × × × × × × ×a 1 × 4 16 29 33 26 14 5 1a 2 × 4 16 29 33 26 14 5 1a 3 × 4 16 29 33 26 14 5 1a 4 × 4 12 17 16 10 4 1a 5 × 4 8 9 7 3 1a 6 × 4 4 5 2 1a 7 × 1 4 6 4 1a 8 × 1 4 6 4 1a 9 × 1 3 3 1a 10 × 1 3 3 1} {{ }=M (10 lignes et 10 colonnes)On peut écrire ce système sous la forme : (M T est la transposée de M)⎞⎟⎠

3. Application aux fractions rationnelles 12⎛( ) a1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 M ⎜⎝Donc par identication des deux polynômes, on obtient :X 0 ⎞X 1X 2X 3X 4X 5X 6X 7⎟X 8 ⎠X 9=⎛⎜⎝0000000001⎞⎟⎠T ⎛⎜⎝X 0 ⎞X 1X 2X 3X 4X 5X 6X 7⎟X 8 ⎠X 9} {{ }=P numérateur de la fraction(a1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10)M =(0 0 0 0 0 0 0 0 0 1)D'où :M T ( a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10) T =(0 0 0 0 0 0 0 0 0 1) T} {{ }c'est le système linéaire cherché3.2.3 RésolutionD'après le système précédent, on déduit que :(a1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10) T =(MT ) −1 (0 0 0 0 0 0 0 0 0 1) TLa décomposition de la fraction rationnelle est donc :PQ = 11 − 5X + X2 − 6,6875X + 1 + 2(X + 1) 2 − 0,25 15 + 4,3125X 5,75 + 5,625X3−(X + 1) X 2 ++ X + 2 (X 2 + X + 2) 23.3 Un exemple de programme informatiqueLa fraction ( 3.1) peut être décrite comme dans la gure 3.1, le résultat est imprimé dans la gure 3.2.Quelques diérences peuvent être observées entre la solution fournies par le programme et la véritablesolution, ceci est dû aux approximations de calcul des ordinateurs qui code les nombres réels avec environ15 chires de précision. Certains termes nuls peuvent alors être non nuls mais très petits par rapport auxautres coecients.

3. Application aux fractions rationnelles 13numerateur degre 9d0 0d1 0d2 0d3 0d4 0d5 0d6 0d7 0d8 0d9 1..................denominateur produit 2denominateur puissance 3denominateur degre 1d0 1d1 1denominateur puissance 2denominateur degre 2d0 2d1 1d2 1Fig. 3.1 Description d'une fraction rationnellefraction a decomposer :numerateur : X ∧ 9nombre de terme au denominateur : 2terme 1 : (1 + X) ∧ 3terme 2 : (2 + X + X ∧ 2) ∧ 2decomposition en elements simplespartie entiere : 11 − 5 ∗ X + 1 ∗ X ∧ 2terme en (1 + X) : −6.6875terme en (1 + X) ∧ 2 : 2terme en (1 + X) ∧ 3 : −0.25terme enterme enFig. 3.2 Résultat de la décomposition(2 + X + X ∧ 2) : −15 − 4.3125 ∗ X(2 + X + X ∧ 2) ∧ 2 : 5.75 + 5.625 ∗ X

4. Le programme informatique 14Chapitre 4Le programme informatique4.1 TableauxEtant que les tableaux informatique de dimension n sont indicés de 0 à n − 1 inclus, un polynôme devient :Et une matrice :⎧⎧⎪⎨⎪⎩a [50] est un tableau appelé a à 50 éléments numérotés de 0 à 49a[i] représente l'élément d'indice iun polynôme s'écrit P = n ∑i=0a [i] X ia [40] [50] est un tableau appelé a de 40 lignes et 50 colonnes⎪⎨⎪⎩a[i][j] représente l'élément placé sur la ligne i et la colonne jle dernier élément est l'élément a [39] [49]une matrice s'écrit M =⎛⎜⎝a [0] [0] · · · a [0] [n − 1]. · · · .a [m − 1] [0] · · · a [m − 1] [n − 1]⎞⎟⎠ = (a [i] [j]) 0im−10jn−14.2 Structures possiblesDeux types spéciaux peuvent être créés pour contenir matrices et polynômes.Structure d'une matrice :typedef struct {double *C ;int Ligne ;int Colonne ;} Matrice ;

4. Le programme informatique 15Structure d'un polynôme :typedef struct {double *C ;int Degre ;} Polynome ;4.3 Expression de la décomposition à l'aide de ces structuresfacteur−1PQ = partie_entiere+ ∑partie_entiere.DegrePQ = ∑i=0n=0puissance[n]−1∑k=0partie_entiere.C [i] × X i +facteur−1∑n=0puissance[n]−1∑k=0resultat[n][k](element[n]) k+1resultat[n][k].Degre∑i=0(element[n].Degre∑i=0resultat[n][k].C [i] × X ielement[n].C [i] × X i ) k+1

BibliographieBibliographie 16

Table des gures 17Table des gures3.1 Description d'une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Résultat de la décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Liste des tableauxListe des tableaux 18

Table des matières 19Table des matières1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1 Opérations sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.1 L'addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.2 La multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.1 La multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.2 Multiplication et opérations sur les lignes et colonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.3 Matrice de passage du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.4 L'inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73. Application aux fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Construction du système linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2.1 Numérotation des coecients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2.2 Construction du système linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2.3 Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3 Un exemple de programme informatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124. Le programme informatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.1 Tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2 Structures possibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.3 Expression de la décomposition à l'aide de ces structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

IndexAaddition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4Ccoût d'un algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Ddécomposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10Ssystème linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3, 8, 10Ttableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Eexemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10expression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15Ffraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10GGauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Iidentité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Mmatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5matrice de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7matrice identité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7matrice triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7multiplication. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5, 6Nnumérotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Oopérations sur les lignes et les colonnes . . . . . . . . 6Ppivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Rrésolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1220