Décomposition d'une fraction rationnelle en ... - xavierdupre.fr

2. Préliminaires 8⎛ ⎞ ⎛L 1L 2⎜ L 3⎟⎝ L 4⎠ = ⎜⎝L 5a 11 ∗ ∗ ∗ ∗0 a 22 ∗ ∗ ∗0 0 a 33 a 34 ∗0 0 a 43 a 44 ∗0 0 a 53 a 54 ∗⎞⎟⎠les * désignent un coecient quelconque)L'objectif est de rendre nul les coecients a 43 et a 53 , pour ce faire, on eectue les opérations sur leslignes comme si on résolvait un système linéaire, ces opérations correspondent également à un produit dematrice :On suppose que a 33 ≠ 0 :P 3L 4 ← L 4 − L 3a 43a 33L 5 ← L 5 − L 3a 53a 33⎛⎞⎛⎞1 0 0 0 0 a 11 ∗ ∗ ∗ ∗0 1 0 0 00 a 22 ∗ ∗ ∗⎜ 0 0 1 0 0⎟⎜0 0 a 33 a 34 ∗⎟⎝ 0 0 −a 43 1 0 ⎠⎝0 0 a 43 a 44 ∗ ⎠0 0 −a 53 0 1 0 0 a 53 a 54 ∗} {{ }} {{ }M 3=⎛⎜⎝a 11 ∗ ∗ ∗ ∗0 a 22 ∗ ∗ ∗0 0 a 33 a 34 ∗⎞⎟⎠0 0 0 a 44 − a 4333a 34 ∗}0 0 0 a 54 − a 53a 33a 44{{∗}M 4Dans le cas où a 33 = 0 et que a 43 ≠ 0, on fait d'abord : L 3 ← L 4 puis on continue le pivot de Gauss :⎛⎞ ⎛⎞⎛1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 a 11 ∗ ∗ ∗ ∗0 1 0 0 00 1 0 0 00 a 22 ∗ ∗ ∗⎜ 0 0 1 0 0⎟ ⎜ 0 0 1 1 0⎟⎜0 0 0 a 34 ∗⎟ =⎝ 0 0 −a 43 1 0 ⎠ ⎝ 0 0 0 1 0 ⎠⎝0 0 a 43 a 44 ∗ ⎠0 0 −a 53 0 1 0 0 0 0 1 0 0 a 53 a 54 ∗} {{ }} {{ }P 3M⎛3⎞⎞a 11 ∗ ∗ ∗ ∗0 a 22 ∗ ∗ ∗⎜ 0 0 a 43 a 43 + a 44 ∗⎟⎝ 0 0 0 −a 34 ∗ ⎠}0 0 0 a 54 − a 53a 43a 34{{∗}M 4Dans le cas général, on suppose que M est une matrice carrée d'ordre n, on suppose que M 1 = M et lasuite (P i ) est construite de telle sorte que :P i M i = M( i+1)M i =∀ (k,l) tel que i > k > l 1, a kli = 0a kli1k,ln