Décomposition d'une fraction rationnelle en ... - xavierdupre.fr

3. Application aux fractions rationnelles 10Chapitre 3Application aux fractions rationnelles3.1 PrincipeTrouver tous les coecients de la décomposition a priori d'une fonction rationnelle revient à résoudre unsystème linéaire.Soit P et Q deux polynômes à coecients réels, Q se décompose en :La fraction P Qse décompose donc en :s∏Q = α (X − a i ) d ii=1t∏ (X 2 ) d ′+ p i X + q i ii=1PQ = E +s∑ ∑d ioù E est la partie entière.On met tout sous le même dénominateur :P = EQα k d t∑ii=1(X − ak=1 i ) k + ∑′ ii=1 k=1βi kX + γk i(X 2 + p i X + q i ) k( ) (∑+ α s ∏(X + a j ) d ∏ (j X 2 ) d ′ di)+ p i X + q j∑i αi k (X − a i) d i−ki=1 j≠ijk=1+ α t ∑i=1(∏j(X + a j ) d j∏j≠i) ((X 2 ) d ′ d ′+ p i X + q j∑ iik=1(βki X + γik ) (X 2 ) d ′+ p i X + q i −kiIl sut d'identier ces deux polynômes, ce qui revient à résoudre un système linéaire. Pour que l'algorithmemarche, il faut néanmoins connaître la factorisation en éléments simples du dénominateur.)3.2 Construction du système linéaireL'illustration par un exemple permet de mieux comprendre l'algorithme qu'une description théoriqueutilisant une multitude d'indice.