Complexité de Problèmes: Les Propriétés NP, NP-dures et NP ... - FIL

Rappel: La définition de NP via les certificatsLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?DéfinitionL est dit NP si il existe un polynôme Q, et un algorithmepolynômial à deux entrées et à valeurs booléennes tels que:L = {u/∃c, A(c, u) = Vrai, |c| ≤ Q(|u|)}A est appelé algorithme de vérification,c est appelé certificat (ou preuve, ou témoin..).

Comment montrer qu’une propriété est NP?La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?Pour montrer qu’une propriété est NP, il faut:définir la notion de certificat et montrer que la taille d’uncertificat est bornée polynômialement par la taille duproblème

La définition via le non-déterminismeLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?NP=Non-Déterministe PolynômialDéfinition Alternativeune propriété Pr est NP si il existe un algorithme nondéterministe polynômial qui décide Pr.Remarque: NP ne signifie PAS Non Polynômial maissignifie Non-Déterministe Polynômial!

La problématique:La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?Je cherche un algorithme pour vérifier une propriété; j’aimontré qu’elle est NP mais je ne trouve pas d’algorithme P.La propriété est-elle ”dure” ou suis-je ”nulle”? (le ou est nonexclusif...)

La problématique:La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?Je cherche un algorithme pour vérifier une propriété; j’aimontré qu’elle est NP mais je ne trouve pas d’algorithme P.La propriété est-elle ”dure” ou suis-je ”nulle”? (le ou est nonexclusif...)Si j’arrive à prouver qu’il n’ y a pas d’algorithme polynômial,je prouve P ≠ NP: ça risque d’être difficile...

La problématique:La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?Je cherche un algorithme pour vérifier une propriété; j’aimontré qu’elle est NP mais je ne trouve pas d’algorithme P.La propriété est-elle ”dure” ou suis-je ”nulle”? (le ou est nonexclusif...)Si j’arrive à prouver qu’il n’ y a pas d’algorithme polynômial,je prouve P ≠ NP: ça risque d’être difficile...Mais je peux peut-être montrer qu’elle est NP-dure:Cela signifie qu’elle contient toute la difficulté de la classeNP et que si je trouvais un algorithme polynômial pour cettepropriété, on en aurait un pour toute propriété NP.Cela justifie en quelque sorte de ne pas avoir trouvéd’algorithme polynômial.

Un outil: Les réductions polynômialesLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?Intuitivement, la notion de réduction permet de traduirequ’un problème n’est pas ”plus dur” qu’un autre.Si un premier problème se réduit en un second, le premierproblème est (au moins) aussi facile que le second - si laréduction est ”facile”-. On peut a priori utiliser la réductionde deux façons:

Un outil: Les réductions polynômialesLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?Intuitivement, la notion de réduction permet de traduirequ’un problème n’est pas ”plus dur” qu’un autre.Si un premier problème se réduit en un second, le premierproblème est (au moins) aussi facile que le second - si laréduction est ”facile”-. On peut a priori utiliser la réductionde deux façons:pour montrer qu’un problème est dur: si lepremier est réputé dur, le second l’est aussi;

Un outil: Les réductions polynômialesLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?Intuitivement, la notion de réduction permet de traduirequ’un problème n’est pas ”plus dur” qu’un autre.Si un premier problème se réduit en un second, le premierproblème est (au moins) aussi facile que le second - si laréduction est ”facile”-. On peut a priori utiliser la réductionde deux façons:pour montrer qu’un problème est dur: si lepremier est réputé dur, le second l’est aussi;pour montrer qu’un problème est facile: si ledeuxième est facile, le premier l’est aussi.

Un outil: Les réductions polynômialesLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?Intuitivement, la notion de réduction permet de traduirequ’un problème n’est pas ”plus dur” qu’un autre.Si un premier problème se réduit en un second, le premierproblème est (au moins) aussi facile que le second - si laréduction est ”facile”-. On peut a priori utiliser la réductionde deux façons:pour montrer qu’un problème est dur: si lepremier est réputé dur, le second l’est aussi;pour montrer qu’un problème est facile: si ledeuxième est facile, le premier l’est aussi.C’est en fait surtout le premier raisonnement que l’on vautiliser.

Définition formelle:La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?DéfinitionSoient L et L ′ deux langages de Σ ∗ , correspondant à deuxpropriétés.Une réduction polynômiale de L dans L ′ est uneapplication red calculable polynômiale de Σ ∗ dans Σ ∗ telleque :On note alors L ≤ P L ′ .u ∈ L Ssi red(u) ∈ L ′ .

Réduction polynômiale= transformation d’unproblème dans un autre.La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?Soient les deux propriétés suivantes:Clique:Entrée:G=(S,A) --un graphe non orienték -- un entierSortie:Oui, Ssi G contient une clique de cardinal k.IndépendantEntrée:G=(S,A) --un graphe non orienték -- un entierSortie:Oui, Ssi G contient un ens. indépendant de card

Exemple: suite...La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?On peut choisir comme réduction de Clique dansIndépendant l’application red qui à l’instance(G = (S, A), k) associe (G ′ = (S, A ′ ), k) avecA ′ = {(x, y)/(x, y) /∈ A et (x, y) /∈ A}.

Exemple: suite...La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?On peut choisir comme réduction de Clique dansIndépendant l’application red qui à l’instance(G = (S, A), k) associe (G ′ = (S, A ′ ), k) avecA ′ = {(x, y)/(x, y) /∈ A et (x, y) /∈ A}.Montrer que c’est bien une réduction polynômiale de Cliquedans Independant consiste en:

Exemple: suite...La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?On peut choisir comme réduction de Clique dansIndépendant l’application red qui à l’instance(G = (S, A), k) associe (G ′ = (S, A ′ ), k) avecA ′ = {(x, y)/(x, y) /∈ A et (x, y) /∈ A}.Montrer que c’est bien une réduction polynômiale de Cliquedans Independant consiste en:

Exemple: suite...La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?On peut choisir comme réduction de Clique dansIndépendant l’application red qui à l’instance(G = (S, A), k) associe (G ′ = (S, A ′ ), k) avecA ′ = {(x, y)/(x, y) /∈ A et (x, y) /∈ A}.Montrer que c’est bien une réduction polynômiale de Cliquedans Independant consiste en:Montrer que c’est correct i.e., pour tout (G, k),Clique(G, k) Ssi Independant(G ′ , k).

Exemple: suite...La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?On peut choisir comme réduction de Clique dansIndépendant l’application red qui à l’instance(G = (S, A), k) associe (G ′ = (S, A ′ ), k) avecA ′ = {(x, y)/(x, y) /∈ A et (x, y) /∈ A}.Montrer que c’est bien une réduction polynômiale de Cliquedans Independant consiste en:Montrer que c’est correct i.e., pour tout (G, k),Clique(G, k) Ssi Independant(G ′ , k).Montrer que la transformation est polynômiale.

En résuméLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?Pour prouver qu’une propriété P1 se réduitpolynômialement en une autre P2, il faut:. proposer une réduction, i.e. un algo red qui àune instance I de P1, associe une instancered(I) de P2.

En résuméLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?Pour prouver qu’une propriété P1 se réduitpolynômialement en une autre P2, il faut:. proposer une réduction, i.e. un algo red qui àune instance I de P1, associe une instancered(I) de P2.. prouver qu’elle est correcte, i.e. qu’uneinstance I de P1 est positive Si et SeulementSi red(I) est une instance positive de P2.

En résuméLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?Pour prouver qu’une propriété P1 se réduitpolynômialement en une autre P2, il faut:. proposer une réduction, i.e. un algo red qui àune instance I de P1, associe une instancered(I) de P2.. prouver qu’elle est correcte, i.e. qu’uneinstance I de P1 est positive Si et SeulementSi red(I) est une instance positive de P2.. prouver qu’elle est polynômiale!

Pourquoi prouver qu’un problème se réduit enun autre?La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?PropositionSi L ′ est dans P et si L ≤ P L ′ , alors L est dans P.

Pourquoi prouver qu’un problème se réduit enun autre?La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?PropositionSi L ′ est dans P et si L ≤ P L ′ , alors L est dans P.Donc si L ′ est P, L est P;

Pourquoi prouver qu’un problème se réduit enun autre?La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?PropositionSi L ′ est dans P et si L ≤ P L ′ , alors L est dans P.Donc si L ′ est P, L est P;si L n’est pas P, L ′ n’est pas P non plus.

Pourquoi prouver qu’un problème se réduit enun autre?La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?PropositionSi L ′ est dans P et si L ≤ P L ′ , alors L est dans P.Donc si L ′ est P, L est P;si L n’est pas P, L ′ n’est pas P non plus.si L est ”dur”, L ′ est ”dur” aussi.

Réductions en chaîne:La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?PropriétéLa relation ≤ P est transitive: si L ≤ P L ′ et L ′ ≤ P L ′′ , alorsL ≤ P L”.Si red1 est une réduction polynômiale de L dans L ′ , et red2est une réduction polynômiale de L ′ vers L” , alorsred2 ◦ red1 est une réduction polynômiale de L vers L”.

Les propriétés NP-duresLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?DéfinitionUne propriété R est dite NP-dure Si toute propriété NP seréduit polynômialement en R;

Les propriétés NP-duresLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?DéfinitionUne propriété R est dite NP-dure Si toute propriété NP seréduit polynômialement en R;Si une propriété NP − dure était P, on aurait NP = P.

Les propriétés NP-duresLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?DéfinitionUne propriété R est dite NP-dure Si toute propriété NP seréduit polynômialement en R;Si une propriété NP − dure était P, on aurait NP = P.Une propriété NP − dure contient donc d’une certaine façontoute la difficulté de NP!

Les propriétés NP-complètesLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?DéfinitionUne propriété est dite NP−complète Si elle est NP etNP−dure.

La découverte de CookLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?Cook fut le premier à découvrir... l’existence de propriétésNP-dures:Théorème de Cook3 − CNF − SAT est NP−complète.Rappel: 3 − CNF − SAT est le problème de la satisfiabilitéd’une formule sous forme conjonctive où chaque clausecontient 3 littéraux.(x 1 ∨x 2 ∨x 3 )∧(x 2 ∨¬x 3 ∨x 4 )∧(x 1 ∨x 2 ∨¬X 4 )∧(¬x 1 ∨¬x 2 ¬x 3 )

Comment montrer qu’une propriété estNP-dure?La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPPour montrer que R est NP-dure:LesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?

Comment montrer qu’une propriété estNP-dure?La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?Pour montrer que R est NP-dure:On peut montrer ”directement” que toute propriété NPse réduit polynômialement en R,

Comment montrer qu’une propriété estNP-dure?La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?Pour montrer que R est NP-dure:On peut montrer ”directement” que toute propriété NPse réduit polynômialement en R,mais il suffit de montrer qu’une propriété connueNP−dure se réduit polynômialement en R.

Comment montrer qu’une propriété estNP-dure?La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?Pour montrer que R est NP-dure:On peut montrer ”directement” que toute propriété NPse réduit polynômialement en R,mais il suffit de montrer qu’une propriété connueNP−dure se réduit polynômialement en R.En effet, comme ≤ P est transitif, on a:Propositionsi L ≤ P L ′ et L est NP−dure, alors L ′ est NP−dure.

Pourquoi montrer qu’une propriété estNP−dure?La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?D’après la proposition précédente, si une propriétéNP−dure se révélait être P, on aurait P = NP, ce qui estpeu probable et en tout cas a résisté aux efforts denombreux chercheurs!

Pourquoi montrer qu’une propriété estNP−dure?La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?D’après la proposition précédente, si une propriétéNP−dure se révélait être P, on aurait P = NP, ce qui estpeu probable et en tout cas a résisté aux efforts denombreux chercheurs!Donc, montrer qu’une propriété est NP−dure justifieraisonnablement qu’on n’ait pas trouvé d’algorithmepolynômial pour décider de cette propriété!

Pourquoi montrer qu’une propriété estNP−dure?La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?D’après la proposition précédente, si une propriétéNP−dure se révélait être P, on aurait P = NP, ce qui estpeu probable et en tout cas a résisté aux efforts denombreux chercheurs!Donc, montrer qu’une propriété est NP−dure justifieraisonnablement qu’on n’ait pas trouvé d’algorithmepolynômial pour décider de cette propriété!Par contre, montrer qu’une propriété est NP, c’est montrerqu’elle n’est pas ”si dure” que ça même si elle n’estpeut-être pas P...

Exemple: Clique est NP−durLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?Clique:Entrée:G=(S,A) --un graphe non orienték -- un entierSortie:Oui, Ssi G contient une clique de cardinal k.

Exemple: Clique est NP−dur?La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?

Exemple: Clique est NP−dur?La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?3 − CNF − SAT est NP−dur.

Exemple: Clique est NP−dur?La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?3 − CNF − SAT est NP−dur.On va réduire polynômialement 3 − CNF − Sat dans Clique:

Exemple: Clique est NP−dur?La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?3 − CNF − SAT est NP−dur.On va réduire polynômialement 3 − CNF − Sat dans Clique:3-CNF-SAT:Donnée: Φ = C 1 ∧ C 2 ....; ∧C p avec C j = l 1j∨ l 2j∨ l 3j

Exemple: Clique est NP−dur?La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?3 − CNF − SAT est NP−dur.On va réduire polynômialement 3 − CNF − Sat dans Clique:3-CNF-SAT:Donnée: Φ = C 1 ∧ C 2 ....; ∧C p avec C j = l 1j∨ l 2j∨ l 3jSortie: Oui, si il existe une valuation v telle que v(Φ) = Vrai.

3 − CNF − SAT se réduit polynômialement enClique: la réductionLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?

3 − CNF − SAT se réduit polynômialement enClique: la réductionLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?A une formule sous forme 3-CNF Φ, on va associer ungraphe G Φ et un entier p tel que la formule Φ est satisfiableSsi le graphe G Φ a une clique de cardinal p.

3 − CNF − SAT se réduit polynômialement enClique: la réductionLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?A une formule sous forme 3-CNF Φ, on va associer ungraphe G Φ et un entier p tel que la formule Φ est satisfiableSsi le graphe G Φ a une clique de cardinal p.Construction du graphe:

3 − CNF − SAT se réduit polynômialement enClique: la réductionLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?A une formule sous forme 3-CNF Φ, on va associer ungraphe G Φ et un entier p tel que la formule Φ est satisfiableSsi le graphe G Φ a une clique de cardinal p.Construction du graphe:.les sommets = les littéraux

3 − CNF − SAT se réduit polynômialement enClique: la réductionLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?A une formule sous forme 3-CNF Φ, on va associer ungraphe G Φ et un entier p tel que la formule Φ est satisfiableSsi le graphe G Φ a une clique de cardinal p.Construction du graphe:.les sommets = les littéraux. les arcs: un arc entre deux littéraux declauses différentes et compatibles, i.e. pasd’arc si ils sont dans la même clause ou si l’unest de la forme x et l’autre ¬x.. p: le nombre de clauses de Φ

La réduction est correcte?La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?G Φ a un clique d’ordre p Ssi Φ est satisfiable?Preuve:. Φ satisfiable: ∃v telle que v(Φ) = Vrai.

La réduction est correcte?La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?G Φ a un clique d’ordre p Ssi Φ est satisfiable?Preuve:. Φ satisfiable: ∃v telle que v(Φ) = Vrai.Donc, pour chaque j il existe l i jjtel que v(l i jj) = Vrai.

La réduction est correcte?La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?G Φ a un clique d’ordre p Ssi Φ est satisfiable?Preuve:. Φ satisfiable: ∃v telle que v(Φ) = Vrai.Donc, pour chaque j il existe l i jjtel que v(l i jj) = Vrai.Alors les l i jjforment une clique de G Φ par définition des arcs !

La réduction est correcte?La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?G Φ a un clique d’ordre p Ssi Φ est satisfiable?Preuve:. Φ satisfiable: ∃v telle que v(Φ) = Vrai.Donc, pour chaque j il existe l i jjtel que v(l i jj) = Vrai.Alors les l i jjforment une clique de G Φ par définition des arcs !.Dans l’autre sens: G Φ a une clique:

La réduction est correcte?La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?G Φ a un clique d’ordre p Ssi Φ est satisfiable?Preuve:. Φ satisfiable: ∃v telle que v(Φ) = Vrai.Donc, pour chaque j il existe l i jjtel que v(l i jj) = Vrai.Alors les l i jjforment une clique de G Φ par définition des arcs !.Dans l’autre sens: G Φ a une clique:Posons v(x) = vrai si il y a un x dans la clique, v(x) = fauxsi il y a un¬x dans la clique, v(x) = Vrai (ou Faux )si on n’ani l’un ni l’autre.

La réduction est correcte?La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?G Φ a un clique d’ordre p Ssi Φ est satisfiable?Preuve:. Φ satisfiable: ∃v telle que v(Φ) = Vrai.Donc, pour chaque j il existe l i jjtel que v(l i jj) = Vrai.Alors les l i jjforment une clique de G Φ par définition des arcs !.Dans l’autre sens: G Φ a une clique:Posons v(x) = vrai si il y a un x dans la clique, v(x) = fauxsi il y a un¬x dans la clique, v(x) = Vrai (ou Faux )si on n’ani l’un ni l’autre.v est bien définie: on ne peut avoir à la fois x et ¬x dans laclique.

La réduction est correcte?La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?G Φ a un clique d’ordre p Ssi Φ est satisfiable?Preuve:. Φ satisfiable: ∃v telle que v(Φ) = Vrai.Donc, pour chaque j il existe l i jjtel que v(l i jj) = Vrai.Alors les l i jjforment une clique de G Φ par définition des arcs !.Dans l’autre sens: G Φ a une clique:Posons v(x) = vrai si il y a un x dans la clique, v(x) = fauxsi il y a un¬x dans la clique, v(x) = Vrai (ou Faux )si on n’ani l’un ni l’autre.v est bien définie: on ne peut avoir à la fois x et ¬x dans laclique.Par construction, un sommet par clause: v valide au moinsun littéral par lause; v(Φ) = Vrai: Φ est bien satisfiable

la réduction est bien polynômiale?La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?taille de la formule: 3*p

la réduction est bien polynômiale?La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?taille de la formule: 3*ptaille du graphe: 3*p sommets, au plus del’ordre de p 2 arcs:

la réduction est bien polynômiale?La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?taille de la formule: 3*ptaille du graphe: 3*p sommets, au plus del’ordre de p 2 arcs:la Construction du graphe est bienpolynômiale.

la réduction est bien polynômiale?La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?taille de la formule: 3*ptaille du graphe: 3*p sommets, au plus del’ordre de p 2 arcs:la Construction du graphe est bienpolynômiale.

3 − CNF − SAT se réduit polynômialement enClique: bilanLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?. On a bien réduit polynômialement 3 − CNF − SAT dansClique

3 − CNF − SAT se réduit polynômialement enClique: bilanLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?. On a bien réduit polynômialement 3 − CNF − SAT dansClique. 3 − CNF − SAT est NP−dur.

3 − CNF − SAT se réduit polynômialement enClique: bilanLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?. On a bien réduit polynômialement 3 − CNF − SAT dansClique. 3 − CNF − SAT est NP−dur.donc Clique est NP− durClique est même NP− complète car NP + NP−dure.

3 − CNF − SAT se réduit polynômialement enClique: bilanLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?. On a bien réduit polynômialement 3 − CNF − SAT dansClique. 3 − CNF − SAT est NP−dur.donc Clique est NP− durClique est même NP− complète car NP + NP−dure.Remarque: On avait prouvé que Clique se réduit enIndependent ... donc Independent aussi est NP−dur!

3 − CNF − SAT se réduit polynômialement enClique: bilanLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?. On a bien réduit polynômialement 3 − CNF − SAT dansClique. 3 − CNF − SAT est NP−dur.donc Clique est NP− durClique est même NP− complète car NP + NP−dure.Remarque: On avait prouvé que Clique se réduit enIndependent ... donc Independent aussi est NP−dur!Question? A-t-on Clique qui se réduit polynômialementdans 3 − CNF − SAT ?

3 − CNF − SAT se réduit polynômialement enClique: bilanLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?. On a bien réduit polynômialement 3 − CNF − SAT dansClique. 3 − CNF − SAT est NP−dur.donc Clique est NP− durClique est même NP− complète car NP + NP−dure.Remarque: On avait prouvé que Clique se réduit enIndependent ... donc Independent aussi est NP−dur!Question? A-t-on Clique qui se réduit polynômialementdans 3 − CNF − SAT ?Rép: oui, Clique est NP, 3 − CNF − SAT est NP−dure!

Problèmes NP-durs/PropriétésLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPCe qui précède ne s’applique qu’aux propriétés.LesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?

Problèmes NP-durs/PropriétésLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?Ce qui précède ne s’applique qu’aux propriétés.Parler de problèmes NP, si ce ne sont pas des problèmesde décision, n’a guère de sens;

Problèmes NP-durs/PropriétésLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?Ce qui précède ne s’applique qu’aux propriétés.Parler de problèmes NP, si ce ne sont pas des problèmesde décision, n’a guère de sens;Par contre on peut parler de problèmes NP−durs:

Problèmes NP-durs/PropriétésLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?Ce qui précède ne s’applique qu’aux propriétés.Parler de problèmes NP, si ce ne sont pas des problèmesde décision, n’a guère de sens;Par contre on peut parler de problèmes NP−durs:Definitionsi l’existence d’un algorithme polynômial pour le pb Rimpliquerait P = NP, on dit que R est NP−dur.

Problèmes NP-durs et optimisationLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?A tout pb d’optimisation de type ”trouver une solution decoût minimal (resp. de gain maximal), on peut associer unepropriété:” existe-t-il une solution de coût inférieur (resp. de gainsupérieur) à une valeur donnée en entrée”;

Problèmes NP-durs et optimisationLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?A tout pb d’optimisation de type ”trouver une solution decoût minimal (resp. de gain maximal), on peut associer unepropriété:” existe-t-il une solution de coût inférieur (resp. de gainsupérieur) à une valeur donnée en entrée”;Si le pb de décision est NP−dur, le pb d’optimisation le seraaussi.

Problèmes NP-durs et optimisationLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?A tout pb d’optimisation de type ”trouver une solution decoût minimal (resp. de gain maximal), on peut associer unepropriété:” existe-t-il une solution de coût inférieur (resp. de gainsupérieur) à une valeur donnée en entrée”;Si le pb de décision est NP−dur, le pb d’optimisation le seraaussi.Si on avait un algorithme P pour le pb d’optimisation, on enaurait un pour celui de décision donc pour toute propriétéNP, puisqu’il est NP−dur!

Problèmes NP-durs: Un exempleLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?Soit ColOpt le problème d’optimisation de coloriage degraphes: pour un graphe, trouver un coloriage correctutilisant le moins de couleurs possibles.

Problèmes NP-durs: Un exempleLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?Soit ColOpt le problème d’optimisation de coloriage degraphes: pour un graphe, trouver un coloriage correctutilisant le moins de couleurs possibles.On peut lui associer la propriété ColDec du k − coloriage:étant donné un graphe et un entier k, existe-t-il un coloriagecorrect de G avec k couleurs?

Problèmes NP-durs: Un exempleLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?Soit ColOpt le problème d’optimisation de coloriage degraphes: pour un graphe, trouver un coloriage correctutilisant le moins de couleurs possibles.On peut lui associer la propriété ColDec du k − coloriage:étant donné un graphe et un entier k, existe-t-il un coloriagecorrect de G avec k couleurs?Si on avait un algo polynômial pour ColOpt, on en aurait-unpour ColDec: on calcule un coloriage optimal et on vérifiequ’il n’utilise pas plus de k couleurs!

Problèmes NP-durs: Un exempleLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?Soit ColOpt le problème d’optimisation de coloriage degraphes: pour un graphe, trouver un coloriage correctutilisant le moins de couleurs possibles.On peut lui associer la propriété ColDec du k − coloriage:étant donné un graphe et un entier k, existe-t-il un coloriagecorrect de G avec k couleurs?Si on avait un algo polynômial pour ColOpt, on en aurait-unpour ColDec: on calcule un coloriage optimal et on vérifiequ’il n’utilise pas plus de k couleurs!Cette propriété étant NP−dure, on peut dire que leproblème de coloriage de graphe est NP−dur.

Problèmes NP-durs: Un exempleLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?Soit ColOpt le problème d’optimisation de coloriage degraphes: pour un graphe, trouver un coloriage correctutilisant le moins de couleurs possibles.On peut lui associer la propriété ColDec du k − coloriage:étant donné un graphe et un entier k, existe-t-il un coloriagecorrect de G avec k couleurs?Si on avait un algo polynômial pour ColOpt, on en aurait-unpour ColDec: on calcule un coloriage optimal et on vérifiequ’il n’utilise pas plus de k couleurs!Cette propriété étant NP−dure, on peut dire que leproblème de coloriage de graphe est NP−dur.Si il existe un algorithme polynômial pour colorier un grapheavec le moins de couleurs possible, P = NP

Remarque: et dans l’autre sens?La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?Si on avait un algo polynômial pour ColDec, en aurait-on unpour ColOpt?

Remarque: et dans l’autre sens?La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?Si on avait un algo polynômial pour ColDec, en aurait-on unpour ColOpt?Réponse: Oui

Le catalogue ”Les propriétés NP−complètes”La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?Pour prouver qu’une propriété R est NP−dure, on peutchoisir une propriété connue NP-dure et essayer de laréduire dans R: le problème est de bien la choisir ....

Le catalogue ”Les propriétés NP−complètes”La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?Pour prouver qu’une propriété R est NP−dure, on peutchoisir une propriété connue NP-dure et essayer de laréduire dans R: le problème est de bien la choisir ....Il existe un catalogue des propriétés NP−dures, le livre deGarey et Johnson:” Computers and Intractability: A guide tothe theory of NP-completeness ” qui contient beaucoup deproblèmes mais date de 1979;

Le catalogue ”Les propriétés NP−complètes”La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?Pour prouver qu’une propriété R est NP−dure, on peutchoisir une propriété connue NP-dure et essayer de laréduire dans R: le problème est de bien la choisir ....Il existe un catalogue des propriétés NP−dures, le livre deGarey et Johnson:” Computers and Intractability: A guide tothe theory of NP-completeness ” qui contient beaucoup deproblèmes mais date de 1979;Il existe des sites Web qui essaient de tenir à jour lecatalogue comme le compendium de problèmesd’optimisations NP:http://www.nada.kth.se/ viggo/problemlist/compendium.html.

Un extrait du catalogue de NP−complètes:La classe NP3-CNF-SAT:Définitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?

Un extrait du catalogue de NP−complètes:La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?3-CNF-SAT:3-coloriage de graphes:

Un extrait du catalogue de NP−complètes:La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?3-CNF-SAT:3-coloriage de graphes:existence d’une clique de taille k dans un graphe.

Un extrait du catalogue de NP−complètes:La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?3-CNF-SAT:3-coloriage de graphes:existence d’une clique de taille k dans un graphe.le pb du BinPacking

Un extrait du catalogue de NP−complètes:La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?3-CNF-SAT:3-coloriage de graphes:existence d’une clique de taille k dans un graphe.le pb du BinPackingle pb du sac à dos (non fractionnable).

Un extrait du catalogue de NP−complètes:La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?3-CNF-SAT:3-coloriage de graphes:existence d’une clique de taille k dans un graphe.le pb du BinPackingle pb du sac à dos (non fractionnable).le pb de l’existence d’un circuit hamiltonien.

Un extrait du catalogue de NP−complètes:La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?3-CNF-SAT:3-coloriage de graphes:existence d’une clique de taille k dans un graphe.le pb du BinPackingle pb du sac à dos (non fractionnable).le pb de l’existence d’un circuit hamiltonien.le pb du voyageur de commerce.

Un extrait du catalogue de NP−complètes:La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?3-CNF-SAT:3-coloriage de graphes:existence d’une clique de taille k dans un graphe.le pb du BinPackingle pb du sac à dos (non fractionnable).le pb de l’existence d’un circuit hamiltonien.le pb du voyageur de commerce.la programmation linéaire en entiers.

Un extrait du catalogue de NP−complètes:La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?3-CNF-SAT:3-coloriage de graphes:existence d’une clique de taille k dans un graphe.le pb du BinPackingle pb du sac à dos (non fractionnable).le pb de l’existence d’un circuit hamiltonien.le pb du voyageur de commerce.la programmation linéaire en entiers.le pb du recouvrement d’ensembles.

Un extrait du catalogue de NP−complètes:La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?3-CNF-SAT:3-coloriage de graphes:existence d’une clique de taille k dans un graphe.le pb du BinPackingle pb du sac à dos (non fractionnable).le pb de l’existence d’un circuit hamiltonien.le pb du voyageur de commerce.la programmation linéaire en entiers.le pb du recouvrement d’ensembles.le pb du démineur ...

Attention aux faux frères!La classe NPATTENTION à la spécification des pbs!Définitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?

Attention aux faux frères!La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?ATTENTION à la spécification des pbs!Il suffit de changer à peine un pb pour qu’il ne soit plusNP−dur:

Attention aux faux frères!La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?ATTENTION à la spécification des pbs!Il suffit de changer à peine un pb pour qu’il ne soit plusNP−dur:. Le 3-coloriage de graphes est dur (NP−dur) le2-coloriage est facile (P).

Attention aux faux frères!La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?ATTENTION à la spécification des pbs!Il suffit de changer à peine un pb pour qu’il ne soit plusNP−dur:. Le 3-coloriage de graphes est dur (NP−dur) le2-coloriage est facile (P).. La programmation linéaire en entiers estNP−dure, la programmation linéaire en réelsest P.

Attention aux faux frères!La classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?ATTENTION à la spécification des pbs!Il suffit de changer à peine un pb pour qu’il ne soit plusNP−dur:. Le 3-coloriage de graphes est dur (NP−dur) le2-coloriage est facile (P).. La programmation linéaire en entiers estNP−dure, la programmation linéaire en réelsest P.. le sac à dos 0/1 est NP−dur, il est P dans lecas fractionnable.. Le problème du plus long chemin sans cycledans un graphe est NP−dur, celui du pluscourt est P

Complexité des problèmes: bilanLa classe NP. propriété NP: ”easy to check”Définitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?

Complexité des problèmes: bilanLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?. propriété NP: ”easy to check”. propriété NP−dure: contient toute lacomplexité de NP, ”aussi dur” que n’importequel NP.

Complexité des problèmes: bilanLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?. propriété NP: ”easy to check”. propriété NP−dure: contient toute lacomplexité de NP, ”aussi dur” que n’importequel NP.. propriété NP−complète= NP et NP−dure;

Complexité des problèmes: bilanLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?. propriété NP: ”easy to check”. propriété NP−dure: contient toute lacomplexité de NP, ”aussi dur” que n’importequel NP.. propriété NP−complète= NP et NP−dure;. pour montrer qu’une propriété R est NP−dure:on cherche à réduire polynômialement unepropriété connue NP−dure dans R.

Complexité des problèmes: bilanLa classe NPDéfinitiond’unepropriété NPLesréductionspolynômialesLespropriétésNP-dures etNPcomplètesProblèmesNP-dursUncatalogue...Que faireface à unproblèmeNP-dur?. propriété NP: ”easy to check”. propriété NP−dure: contient toute lacomplexité de NP, ”aussi dur” que n’importequel NP.. propriété NP−complète= NP et NP−dure;. pour montrer qu’une propriété R est NP−dure:on cherche à réduire polynômialement unepropriété connue NP−dure dans R.. pour montrer qu’une problème d’optimisationest NP−dur: On montre que la propriété dedécision associée (en général ”naturellement”)est NP−dure et on en déduit que si il y avait unalgo pour le problème initial, on aurait P = NP.