TD6 - wwwdfr - Ensta

EXERCICE 1 (LE SCHÉMA DÉCENTRÉ)Nous introduisons le schéma donné parH n (u, v, w) =⎧⎪⎨⎪⎩v − ∆t(n)h(f(v) − f(u)), si a(v) ≥ 0,v − ∆t(n)h (f(w) − f(v)), si a(v) < 0. (5)Nous rappelons que, dans le cas linéaire, ce schéma est stable sous la condition CFLα ≤ 1. (6)On se place dans le cas de l’équation du transport avec x 0 = −2 et x 1 = 2. Nousconsidérons soit une condition initiale discontinue de type ”rampe”⎧−1/2 −2 ≤ x < −1/2⎪⎨u 0 (x) = x −1/2 ≤ x < 1(7)⎪⎩−1/2 1 < x < 2Question 1.Question 2.Préciser pourquoi ce schéma est dit décentré.Implémenter le schéma décentré dans le fichier Decentre.m.Question 3. Comparer la solution exacte (en rouge) avec celle obtenue par le schémanumérique (en bleue) avec α = 0.8. Est ce que la vitesse de l’onde de choc numériqueen x = 1 est correcte ? La solution numérique converge-t-elle vers une solution faible ?EXERCICE 2 (SCHÉMAS CONSERVATIFS)On dira qu’un schéma est conservatif lorsqueH n (u, v, w) = v − ∆t(n)h(g(v, w) − g(u, v)) . (8)Nous considérons le schéma de Murman-Roe caractérisé par{ f(u), si ã(u, v) ≥ 0,g(u, v) =f(v), si ã(u, v) < 0,avec ã(u, v) =⎧⎨⎩f(u) − f(v),u − vsi u ≠ v,f ′ (u), si u = v,et qui est linéairement stable sous la même condition CFL (6).Question 1. Expliquer pourquoi le schéma de Murman-Roe est une variante duschéma décentré.2