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Montrer que le schéma de Lax-Friedrichs est monotone sous la condi-Question 3.tion CFL (6).Question 4.Implémenter le schéma de Lax-Friedrichs dans le fichier LaxFriedrichs.m.Question 5. Calculer la solution approchée du problème (1) pour une conditioninitiale de type ”créneau” et α ∈ {0.5, 1, 2, 3}. Conclure.EXERCICE 4 (LE SCHÉMA DE GODUNOV)Dans cette section nous introduisons un schéma populaire pour la résolution de (1).La construction de ce schéma est originale : elle repose sur la résolution exacte deproblèmes de Riemann locaux. Lorsqu’on satisfait la conditionsup | a ( )u n ∆t (n)j |jh≤ 1 2 , (10)la solution du problème de transport revient à la résolution des problèmes de Riemannà deux états locaux sur chaque interface x j+1 = (j + 1/2)h (cela est dû à la2propagation à vitesse finie). Si on dénotew(x/t; u g , u d ),la solution entropique du problème de Riemann à deux états donnés par u g (à gauche)et u d (à droite), le schéma s’écrit()u n+1j = u n j − ∆t(n)f (w(0; u j , u j+1 )) − f (w(0; u j−1 , u j )) ,hce qui montre qu’il s’agit d’un schéma conservatif. Par ailleurs, le schéma est monotonesous la condition (10).Question 1. Donner une expression explicite du flux associé au schéma de Godunovpour la résolution de (1) avec la fonction f(·) donnée par (2).Question 2.Implémenter le schéma de Godunov dans le fichier Godunov.m.Question 3. Calculer la solution approchée pour une donnée initiale de type ”créneau”(9) et α ∈ {0.4, 1, 2}. Conclure.Question 4. Répéter la même expérience numérique pour une condition initiale detype ”rampe” (7) et α ∈ {0.4, 1, 2, 3}. Conclure.4