Exercice 4 - IEN Sannois

ATELIER 1 GEOMETRIE CYCLE 3PLAN1. Les difficultés des élèves en géométrie2. Les items aux évaluations 6 ème3. Hypothèses et remédiationsème .4. Comment donner le goût de lagéométrie aux élèves (enseignants…) ?Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 20081

1. Les difficultés des élèvesDifficultés liées aux connaissances spatialesLiées à la structuration de l’espace (Piaget, 1946)- Progressivecertaines connaissances nondisponibles.- Aptitude du sujet à penser des actions sans lesexécuteractions effectives et nonsimplement évoquées (dessins) ou montrées.- Nombre insuffisant des expériences vécues pasles élèves.- Monde lié à de nombreuses représentations(télévision, jeux vidéos …)Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 20082

Difficultés liées aux tâches de reconnaissance- L’approche ensembliste des objets géométriques(droite, cercle, etc.) n’est pas disponible chez lesjeunes enfants.Exemples :Tous les points situés à 5 cm d’un point A donné« c’est impossible » ou alors il n’en représenteque 15.Plus tard : il y a autant de points sur un segmentouvert que sur une droite.(Obstacle épistémologique : continu, infini)Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 20083

- Non reconnaissance de certaines configurationsExemple : les deux droites ci-dessous ne sont pasperpendiculaires.(Obstacle cognitif : prégnance « horizontale » et« verticale » pour le positionnement del’équerre, les parallèles les perpendiculaires etobstacle didactique : s’il n’y pas une grandevariété de positions qui est proposée aux élèves: renforcement de l’obstaclequi devient alors didactique)Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 20085

Ostension assuméeLes observations sont dirigées et l’extension du savoir àd’autres situations est à la charge de l’élève. L’élèveproblématise seul l’espace.Ostension activeLes savoirs spatio-géométriques sont conçus commedirectement accessibles par la lecture de la réalité.Exemple : mesurages et pliages pour les fractions oules angles.Ostension déguiséeUne résolution active, en amont, de problèmes par l’élèvepermet de construire les connaissances. Dans les faits,cela revient à déguiser l’ostension.Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 20087

Les limites de l’ostensionLiées à l’approche transmissive ou behavioriste del’apprentissage :- Tous les objets géométriques ont une réalitéphysique.- Construction de représentations erronées(perpendiculaires, parallèles, losange, etc.)- Les connaissances ne sont pas perçues commedes outils pour résoudre des problèmes.Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 20088

Un exemple à analyserDroites perpendiculaires par pliages, quels risquesau sujet des représentations prototypiques ?(segments se coupent en leur milieu ou une droiteest « horizontale » et l’autre « verticale ».)La reconnaissance de figures nécessite malgrétout de stoker dans la mémoire desreprésentations prototypiques sans que cesdernières ne soient trop stéréotypées (ajout decaractéristiques non nécessaires).Difficultés à isoler une figure (configurationcomplexe : interférences de traits, orientationetc.))Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 20089

Difficultés liées aux tâches de construction- Difficultés pour anticiper les tracés (mobilisationdes images mentales). (Point d’intersection horsde la feuille)- Difficultés pour mobiliser les propriétés desobjets à construire.- Difficultés psychomotrices pour utilisercorrectement les instruments. (compas, règle).- Difficultés liées à une connaissances incomplètedes instruments (compas cercles et reports).Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200810

Difficultés liées aux tâches de reproductionElles sont en rapport avec les étapes de lareproduction :- Repérer des figures élémentaires dans une figurecomplexe : difficultés liées à la reconnaissanceauxquelles s’ajoute la reconnaissance de sur-figures(nouveaux tracés : on ne peut modifier une figure) et desous-figures.- Identifier des relations entre les figures élémentaires.Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200811

- Établir une chronologie des tracés21- Exécuter les tracés : mêmes difficultésrencontrées dans les tâches de construction.Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200812

Difficultés liées aux tâches de descriptionAu niveau du vocabulaire- Non connaissances de mots mathématiques(paraphrases).- Confusion entre certains mots (parallèlesperpendiculaires).- Collusion de sens (mots mathématiques, motscourants : centre/milieu, rond/trait pas de sensen maths). Mais parfois, dans une tâche decommunication des mots plus courants sontsciemment employés pour être mieux compris.Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200813

Au niveau de la connaissance des propriétésQui caractérisent les figures usuelles de base(carré, rectangle etc.)Au niveau de la décentrationIl faut se mettre à la place de l’autre pour décrire. Ilfaut faire attention aux implicites (droiteperpendiculaire et passant par un point.)Au niveau du codage d’une figureL’élève ne s’autorise pas à en produire.Au niveau du sens que prend cette activité dereproduction pour l’élèveS’agit-il d’être compris de son interlocuteur demontrer ce que je sais faire ?Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200814

Conseils méthodologiquesTâches de reproduction et description de figures- L’élève a-t-il repéré les figures élémentaires ?- L’élève a-t-il perçu les relations entre ces figuresélémentaires ?- L’élève a-t-il utilisé une chronologie correcte ?- L’élève a-t-il utilisé ses instruments avecprécision ?Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200815

2. ITEMS DES AUX EVALUATIONSCompétences « Espace et géométrie »(DAP 2002) Connaître et utiliser les propriétésd’alignement, de perpendicularité, deparallélisme, d’égalité de longueurs et desymétrie axiale : (Exercices 3 et 5)Vérifier à l’aide des instruments, l’alignement de points(règle), l’égalité des longueurs de segments (compas ouinstrument de mesure), la perpendicularité et leparallélisme entre droites (règle équerre)(Construction : CE2, Consolidation : CM1, CM2)Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200816

Reconnaître et tracer des figures planes :triangle, carré, rectangle, losange, cercle(Exercices 1 et 2)Reconnaître une figure plane de manièreperceptive ou en ayant recours aux propriétéset aux instruments : triangle, carré, rectangle,triangles (cas particuliers), losange, cercle.(Construction : CE2, CM1 Consolidation : CM2)Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200817

Reconnaître et tracer des figures planes :triangle, carré, rectangle, losange, cercle :(Exercices 4 et 7)Tracer une figure (sur papier uni, quadrillé oupointé), soit à partir d’un modèle, soit à partird’une description, d’un programme deconstruction ou d’un dessin à main levée (avecdes indications relatives aux propriétés et auxdimensions).(Construction : CE2, CM1 et CM2)Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200818

Reconnaître un solide : cube,parallélépipède rectangle : (Exercice 6)Reconnaître ou compléter un patron d’un cube,d’un parallélépipède rectangle.(Approche : CE2 Construction Cm1, CM2)Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200819

èmeÉvaluations 62007Exercice 1 :Repasse en rouge les côtés d’un losange.Repasse en vert les côtés d’un carré.Composantes : reconnaître un carré et un losangedans une figure complexe.(Appréhension perceptive visuelle)* Un grand nombre d’élèves repassenten rouge le carré placé dansune position prototypique.* Certains repassent en vert leAtelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200820

Exercice 2 :1. Repasse en couleur les côtés d’un carré decette figure. (78,9 ; 94,4 ; 95,7)2. Repasse en couleur les côtés d’un rectanglede cette figure. (68,4 ; 77,8 ; 91,3)3. Repasse en couleur les côtés d’un losange decette figure. (84,2 ; 94,4 ; 91,3)4. Repasse en couleur les côtés d’un triangleisocèle de cette figure. (15,8 ; 33,3 ; 21,7)Composantes : reconnaîtreun carré, un rectangle et unlosange dans une figure complexe.(Appréhension perceptive visuelle)Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200821

Exercice 3 :1. Les points I, D et E sont-ils alignés ?2. Les points E, G et H sont-ils alignés ?O, N (89,5 ; 94,4 ; 95,7) « oui » à l’item 23. Le triangle IGH a-t-il deux côtés de même longueur ?4. Le triangle IDG a-t-il deux côtés de même longueur ?5. Le triangle IEG a-t-il deux côtés de même longueur ? N,N, O, N (52,6 ; 61,1 ; 56,5) « oui » aux items 3 et 5.EComposantes : utiliser les instruments dela géométrie pour déterminer si troispoints sont alignés et si des segmentsont la même longueur.IDGAtelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 2008H22

6. Le triangle IGH a-t-il un angle droit ?7. Le triangle IDG a-t-il un angle droit ?8. Le triangle IGE a-t-il un angle droit ?O, O, N (0 ; 16,7 ; 26,1) « oui » item 8Composante : utiliser les instruments dela géométrie pour déterminer si un angle est droit.EDIGHAtelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200823

Exercice 4 :1. Trace la droite qui passe par les points A et C.(89,5 ; 94,4 ; 91,3) (Segment)2. Trace la droite qui passe par C et qui estperpendiculaire à la droite (d).(21,1 ; 22,2 ; 43,5)(« Verticale » par C ou perpendiculaire ne passantpar C ou parallèle par C)B(d)ACAtelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200824

3. Trace la droite qui passe par B et qui estparallèle à la droite (d).(42,1 ; 55,6 ; 47,8)(Horizontale par B ou parallèle ne passant pas parB ou perpendiculaire)B(d)ACAtelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200825

Exercice 5 :2. Une de ces droites est parallèles à la droites (d).Repasse-la en vert.(57,9 ; 83,3 ; 78,3) (la droite « horizontale » est repasséeen vert ou la droite perpendiculaire est repassé en vert)(d)Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200828

Composantes : reconnaître deux droitesperpendiculaires, deux droites parallèles.(d)Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200829

Exercice 6Entoure les patrons qui permettent de construire un cube.Composante : reconnaître le patron d’un cube.(31,6 ; 16,7 ; 34,8)Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200830

Exercice 7 : (autres évaluations)Voici une figure composée d’un carré et d’un cercle.On a commencé à reproduire cette figure. Deux côtés ducarré sont déjà tracés. Termine la construction.Composante : savoir établir une relation entre deux figuresélémentaires pour compléter un dessin.Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200831

Exercice 8 :Construit le symétrique de la lettre par rapport à la droite.Composante : construire le symétrique d’un figure parrapport à une droite sur papier quadrillé.(Une longueur est fausse ou figure obtenue par translation)Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200832

3. HYPOTHESES ET REMEDIATIONS Exercices 1 :* Obstacle didactique lié à la prégnance d’unprototype.Remédiation : dans un enseignement, varier lespositions des dessins. Bien caractériser lesfigures usuelles en montrant que certainesvariables sont superflues.* Appréhension perceptive visuelle et noninstrumentée de la figure.Remédiation : montrer l’intérêt d’utiliser lesinstruments pour vérifier certaines propriétés.Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200833

Exercice 2 item 4 :Les élèves ont repassé un triangle non isocèle.* Difficulté liée à la complexité de la figure : lestriangles repassés apparaissent de façon plusflagrante que les deux triangles isocèles(interférence de segments).Remédiation : travailler spécifiquement sur cettevariable complexité de la figure.Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200834

Exemples : nombre de triangles rectangles ?Niveau 0 Niveau 1Nombre de triangles ?Niveau 2 Niveau 3Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200835

* Maîtrise insuffisante du vocabulaire : triangleisocèle.Remédiation :étymologie,tâche de reconnaissance de différents triangles- dans diverses positions- puis plongés dans une figure complexeAtelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200836

Exercice 3 :Items 2 et 8 : points alignés et angle droit.* L’élève n’est pas passé d’une appréhensionperceptive visuelle à une appréhensionperceptive instrumentée.Remédiation : logiciel de géométrie dynamique.Attention aux sens …Situation où la vérificationpar les instruments est rendue nécessaire.L’utilisation des instruments de la géométrie estmise en évidence ici par certaines contradictions: IGH et IGE sont droits et H, G, E ne sont pasalignés ou inversement.Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200837

Exercice 3 :Items 3 et 5 : I et G en position « horizontale »engendre de telles réponses.* L’appréhension perceptive visuelle est prise endéfaut.* Mais aussi la mise en œuvre d’une définitionerronée de la distance d’un point à une droite.Remédiation : (travail spécifique sur« horizontale » et « verticale ».Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200838

Exercice 4 :Item 1 : non distinction droite segment.* Les deux points sont perçus comme des limitesdonc on s’arrête.(Obstacle épistémologique et cognitif)Remédiation : bien travailler sur l’aspectprolongeable à volonté d’une droite.Également : un segment sur une droiteAtelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200839

Exercice 4 :Items 2 et 3 :* prégnance de la « verticale » ou de« l’horizontale »(obstacle cognitif et didactique)Remédiations :Varier les positions de la droite sur la feuille et lespositions du point par rapport à cette droite.Attention aux présentations ostensivesperpendiculaires, parallèles (pliages…)Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200840

Exercice 4 :Items 2, 3 et 4 :* Une seule contrainte est prise en compte(difficulté de lecture de l’énoncé).Remédiation :- tracé d’une perpendiculaire à une droite ;- puis tracé de la perpendiculaire à une droitepassant par un point en séparant les deuxinformations ;- puis progressivement proposer une seule phrase.Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200841

Exercice 4 :Items 2, 3 et 4 :* Maîtrise insuffisante du vocabulaire(parallèle/perpendiculaire) (point/désignation),diamètre/rayon/corde)Remédiation :- Étymologie (dia (à(à travers)– – mètre, gonale, logue …)- Renforcer les images mentales : dessin à main levée, filà plomb, rayon du soleil, logiciel de géométriedynamique etc.- Travailler le positionnement de l’équerre et l’utilisation ducompas.- Je serre la main à Éric : je ne serre pas la main auprénom mais à la personne. Boire un verre (métonymie)Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200842

Exercice 5 :* Confusion de vocabulaire.Remédiations :- Utilisation d’un claque ou d’un gabarit d’angledroit.- Maniement de l’équerre.- Logiciel de géométrie dynamique.- Varier l’expression de la perpendicularité : (d estperpendiculaire à d’ ; d’ est perpendiculaire à d ;d et d’ sont perpendiculaires) Il s’agit d’unerelation établie entre deux droites et non pas unepropriété intrinsèque à une droite.Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200843

- Renforcer le lien entre droites perpendiculaires etangles droits.Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200844

Comment construire la perpendiculaire à la droite(d) passant par le point A ?(d)TROUAAtelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200845

Exercice 5 :* Prégnance de la « verticale » et de« l’horizontale ».Remédiations :- Varier les positions de toutes les figures,- Varier les positions dans l’utilisation del’équerre,- Bien distinguer avec les élèves les élémentsqui sont mis en relation : quelle droite estperpendiculaire à quelle autre ?Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200846

Exercice 6 :* Passage des représentations planes auxreprésentations dans l’espace est difficile.Remédiation :- Construire les représentations planes del’exercice et proposer aux élèves de les plieruniquement le long des segments de façon àtenter d’obtenir un cube.- Partir de boîtes en carton cubique etparallélépipédique et les déployer de diversesfaçons.- Proposer des situations : trop de faces,manque des faces, pliages impossibles …Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200847

Exercice 7* Difficultés liée à la mise en rapport entre lecentre du cercle et le centre du carré.* Difficulté liée à l’orientation de la figurecommencée qui n’est pas la même que celle dela figure de départ.* Prise en compte d’une seule information car ledébut du tracé ne concerne que le carré.Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200848

Exercice 8 :* Propriétés de la symétrie axiale non acquises(conservation des longueurs, reversement.Remédiations :- Retravailler avec des pliages.- Jouer sur les variables :position de l’axe/quadrillage,de la figure/axe,de la figure/quadrillage.Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200849

4. COMMENT DONNER LE GOUT DE LAGEOMETRIE ? Liens avec l’histoireExemples :Naissance de la géométrie (Égypte). Mesure de laterre. Inondations dues au Nil …Légende : mesure de la hauteur d’une pyramide.Système métrique (loi Le chapelier 1791) :suppression des corporations et par conséquentdes unités en vigueur.Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200850

Liens avec d’autres disciplines (sciences),avec d’autres domaines des maths(proportionnalité), problèmes unificateurs :Exemple : (Cahiers pédagogiques n°466)Calculer des distances inaccessiblesParallèlesProportionnalitéRayons du soleilOmbresAtelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200851

ÉtymologieAngle : grec ankos coudePoly : plusieurs, à ne pas confondre avec poli : villeGone : grec coudeIso : grec mêmeCèle : grec skelos jambeÉqui : égalLatéral : côtéScalène : bancalDia : à traversÉquerre :Ortho : droitPerpendiculaire : perpendiculum : fil à plombCompas : compassare mesurer avec le piedAtelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200852

Lancer des défis géométriquesNous connaissons la formule de l’aire d’unrectangle, comment trouver une formuleéquivalente mais pour le triangle ?Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200853

Formation du citoyenCivilisations qui ont été des vecteurs detransmission et de développement desmathématiquesDifférence entre opinion et savoir (Laïcité).Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200854

Quelles situations mettre en place pour aider lesélèves à dépasser les difficultés précédenteset à construire des images mentales de figureset des relations élémentaires ?Ce sera l’objet du prochain atelier sur deuxexemples.Atelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200855

FINMerci devotreattentionAtelier 1 Sannois Laguerre EricUniversité Cergy Pontoise IUFM03 Décembre 200856