Modélisation du transport classique et quantique dans les ... - Ief

N ◦ D’ORDRE :Présentée par : HUU NHA NGUYENSujet :MODELISATION DU TRANSPORT CLASSIQUE ET QUANTIQUEDANS LES TRANSISTORS A NANOTUBE DE CARBONESoutenue le 31 mars, 2010 devant les membres du jury :

Table des matièresIntroduction 11 Modélisation des dispositifs 51.1 Simulation Monte Carlo des dispositifs . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.1 L’équation de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2 Le simulateur particulaire MONACO : principe et algorithme 91.1.3 Le simulateur de dispositifs MONACO : l’équation de Poissondans le système cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.4 Le principe de Pauli dans la simulation Monte Carlo . . . . . 151.1.5 Le formalisme de Wigner pour les effets quantiques . . . . . . 181.2 Modélisation des nanotubes de carbone . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.2.1 La structure de bande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.2.2 Les phonons dans le NTC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.2.3 Les fréquences d’intéraction électron - phonon . . . . . . . . . 391.3 Modélisation des contacts Schottky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.3.1 Approximation WKB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.3.2 La formule de Landauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.3.3 Premiers résultats obtenus par simulation Monte Carlo . . . . 49

2 Simulation des transistors à contacts Schottky 552.1 Performances statiques des transistors à contacts Schottky . . . . . . 572.1.1 Les caractéristiques I-V des transistors Schottky :conséquences de l’ambipolarité du transport . . . . . . . . . . 592.1.2 Influence des paramètres matériaux Φ B et géométriques (L G ,diamètre du tube) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.2 Performances dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.2.1 Influence de la hauteur de barrière Schottky . . . . . . . . . . 802.2.2 Influence de l’épaisseur d’oxyde équivalente EOT . . . . . . . 812.2.3 Influence de la longueur de la grille . . . . . . . . . . . . . . . 822.2.4 Influence du diamètre du nanotube . . . . . . . . . . . . . . . 832.3 Comparaison ohmique - Schottky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853 Analyse de transport - les effets quantiques 893.1 Le transport classique balistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.1.1 Simulation dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.1.2 Libre parcours moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.1.3 Balisticité dans un transistor à nanotube de carbone . . . . . 943.2 Le transport quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013.2.1 Comparaison des grandeurs microscopiques . . . . . . . . . . . 1013.2.2 Comparaison des grandeurs macroscopiques . . . . . . . . . . 104Conclusion 107A Résolution de l’équation de Poisson en 2D cylindrique 111B La structure de bande du graphène 115

C Le spectre de phonons du graphène 121D L’approximation non parabolique pour le NTC zig-zag 125

IntroductionLa stratégie « top-down » de réduction de taille des composants CMOS traditionnels,cruciale dans la recherche des performances ultimes des dispositifs, approche leslimites atomistiques et quantiques susceptibles de la rendre caduque. Par exemple,l’ITRS prévoit que la longueur de grille effective d’une technologie CMOS devrait atteindre6 nm en 2020 [1], mais il est loin d’être acquis, au-delà des démonstrations delaboratoires, que les difficultés techniques qui s’y opposent trouveront leur solutionau niveau industriel.Le développement des technologies des semiconducteurs requiert des investissementsà long terme et une forte relation avec le domaine de la recherche pour proposerde nouvelles architectures de composants et explorer les propriétés de nouveauxmatériaux. Par rapport aux dispositifs sur substrat massif, une première voie exploréepour l’amélioration du contrôle électrostatique consiste à élaborer les transistorsà film mince sur substrat SOI (Silison on Insulator) ou SON (Silicon onNothing)[2], [3]. L’utilisation de différentes techniques d’ingénierie de contraintes dansle matériau du canal permet d’améliorer la vitesse des porteurs et donc le courantdélivré par le transistor sans en changer les dimensions [4], [5], [6], [7]. De nouvellesarchitectures de dispositif, comme les différentes structures multi-grille sontégalement proposées pour bien maîtriser les effets de canal court [8], [9], [10]. Uneévolution historique importante consiste également à remplacer l’oxyde de siliciumpar un empilement d’oxydes à haute permittivité afin de réaliser un isolant de grillesuffisamment épais pour limiter le courant de fuite par effet tunnel sans dégrader lecontrôle électrostatique [7], [11].Étant donné, d’une part, la complexité et les coûts technologique de cette stratégiede miniaturisation « top-down », et, d’autre part, les limites physiques vers lesquelles

2elle tend à se heurter, les stratégies alternatives « bottom-up » sont appelées à devenirde plus en plus crédibles malgré leur caractère révolutionnaire. Parmi celles-ci, ledéveloppement de nouveaux dispositifs électroniques exploitant des nano-matériauxà base de carbone (graphène, nanorubans, nanotubes) ouvre des perspectives trèsattrayantes qui ont donné lieu ces dernières années à une explosion des activités derecherches, à la fois fondamentales et appliquées [12], [13], [14], [15], [16]. La plupartde ces dispositifs, essentiellement des transistors à effet de champ, restent basés surle principe de fonctionnement des dispositifs classiques en remplaçant le canal pardes matériaux comme les nanotubes de carbone unidimensionnels ou des couches degraphène à deux dimensions, qui présentent des propriétés de transport nettementsupérieures à celles du silicium.Pour les deux approches citées ci-dessus, les techniques de simulation, à la fois classiqueset très avancées, sont des outils essentiels qui aident à diminuer le cycle etle coût de développement. Par exemple, même pour des transistors s’approchantd’un régime de fonctionnement quasi-balistique, la simulation de la mobilité resteun facteur de mérite crucial dans la conception de dispositifs afin d’évaluer les effetsde contrainte sur le transport dans le silicium. Mais il est tout aussi importantd’évaluer correctement l’impact du transport partiellement balistique ainsi quel’influence croissante des effets quantiques, en gardant une description réaliste desphénomènes d’interaction. Cela nécessite des outils de simulation spécifiques et appropriés.La méthode Monte Carlo particulaire, non seulement dans sa version classique,mais aussi grâce à son extension au transport quantique, a ainsi beaucoupd’atouts.Dans ce manuscrit, j’étudie le comportement et les performances de transistors àeffet de champ à nanotube de carbone par la méthode particulaire de type MonteCarlo. Dans un premier temps, j’utilise le formalisme de Boltzmann pour modéliserun transport classique dans des transistors de longueur de grille suffisamment longue,avant d’étudier l’influence du transport quantique sur les performances des transistorsgrâce à l’application du formalisme de Wigner.La structure de la thèse s’organise comme suit :• Le premier chapitre présente les principes de base de la simulation du transportde particules par la méthode Monte Carlo qui consiste en une résolution statis-

3tique de l’équation de transport semi-classique de Boltzmann ou en une résolutionstatistique de l’équation de transport quantique de Wigner.Deux points importants ont été améliorés dans la modélisation par MONACO destransistors à nanotube : la prise en compte du principe d’exclusion de Pauli dansla statistique d’occupation des états électroniques et le couplage de la résolutionde l’équation de Boltzmann avec une résolution 2D cylindrique de l’équation dePoisson.Au niveau de la description des nanotubes de carbone semi-conducteurs, lesprincipales caractéristiques des modèles utilisés sont exposées en précisant leshypothèses sur lesquels ils sont basés. En particulier, après comparaison avecd’autres méthodes, nous présentons et validons l’approche « zone-folding » retenuepour décrire la structure de bande de ces nano-objets. Les modes de phononsconsidérés comme dominants dans les mécanismes d’interactions électronsphononssont définis avant de conclure sur la théorie et la détermination desfréquences d’interactions qui y sont associées.Enfin, afin de pouvoir simuler tous types de transistors à nanotube de carbone eten particulier ceux à contacts source/drain de type Schottky, j’ai introduit dansle logiciel Monte Carlo particulaire MONACO, le modèle permettant de prendreen compte la nature Schottky des contacts métal/nanotube.• Le deuxième chapitre présente les résultats de simulation des CNTFET à contactsSchottky en considérant un transport classique dans le canal. Les performancesstatiques et dynamiques sont étudiées en fonction des paramètres matériaux etgéométriques de la structure comme la hauteur de la barrière Schottky à l’interfacemétal-nanotube, la longueur de la grille, l’épaisseur de l’oxyde de grille,le diamètre du nanotube. Le caractère ambipolaire des transistors à contactsSchottky, intéressant pour de nouvelles architectures mais pénalisant au niveaudes performances, est particulièrement détaillé.Une comparaison des performances entre transistors à contacts ohmiques et ceuxà contacts Schottky est présentée.• Le troisième chapitre est centré sur une analyse fine du transport dans le canal destransistors à nanotube de carbone. Dans un premier temps, une forte balisticité estmise en exergue à partir de simulations classiques du transport ce qui nous conduittout naturellement à étudier, dans une seconde partie, l’influence du transport

4quantique sur le comportement microscopique et macroscopique du transistor.Pour cette seconde partie, j’ai adapté le formalisme de Wigner, précédemmentdéveloppé par Damien Querlioz, à la modélisation de transistors à nanotube decarbone.

Chapitre 1Modélisation des dispositifsAfin de positionner nos travaux par rapport au contexte général, nous proposonsde faire un petit tour d’horizon des différentes méthodes utilisées pour modéliser lestransistors à nanotube de carbone (NTC).En raison de l’unidimensionnalité de ce matériau et des mobilités très élevées observées,on a très vite pensé que le transport balistique y était accessible. C’estdonc très naturellement que les premiers modèles de transistor à NTC développésont été basés sur ces considérations. En général, un nanotube de carbone peut êtrevu comme un conducteur « quasi » parfait entouré de deux réservoirs métalliquesd’électrons à l’équilibre. Pour l’étude du transport électronique dans ce type desystème mésoscopique, le formalisme de Landauer est particulièrement adapté. Danscette approche, le courant circulant dans conducteur est exprimé en terme de probabilitéqu’un porteur puisse le traverser. On peut calculer la transmission par leformalisme des fonctions de Green hors équilibre (NEGF) [17]. Cette approche amontré l’intérêt d’utiliser ce matériau particulièrement en régime de transport balistiqueet de capacité quantique [18].Une autre approche est le formalisme statistique pour résoudre l’équation de la fonctionde distribution : le formalisme de Boltzmann [19], pour un traitement classiquedu transport ; le formalisme de Wigner [20] pour un traitement quantique. Nous neparlerons pas ici des modèles compacts qui permettent une description électriquedes circuits à base de transistors à nanotube [21], [22], [23].

6La simulation d’un CNTFET par la méthode Monte Carlo est très peu répanduedans la littérature. Le principal avantage de la méthode Monte Carlo par rapportaux NEGF est la possibilité de pouvoir « facilement » prendre en compteles phénomènes d’interaction électron-phonon intra et inter-sous-bandes à partir demodèles possédant un degré de précision beaucoup plus important que la majoritédes autres simulateurs, dans l’état de l’art actuel.Un autre avantage est de pouvoir simuler avec la même méthode et dans un mêmedispositif des zones dans lesquelles les effets quantiques sur le transport sont réduitset les processus d’interactions sont importants (Boltzmann) et des zones dans lesquellesle transport quantique domine (Wigner).Cependant, des effets propres au transport quantique tel que l’effet tunnel interbandes, très important dans un CNTFET, sont difficilement accessibles par cetteapproche.Dans ce chapitre, je vais exposer les différents modèles utilisés dans cette thèse pourrésoudre les équations de Boltzmann et de Wigner par méthode Monte Carlo. Jedécrirai ensuite la modélisation des nanotubes de carbone, en particulier au niveaude sa structure de bandes et des phénomènes de collisions nécessaires à la descriptiondu transport. Je terminerai ce chapitre par la présentation du modèle de contactSchottky que j’ai dû développer pour réaliser une étude complète des transistors àNTC car contrairement aux transistors silicium, ce type de contact est très présentdans les différents types de transistors à NTC [24], [25].

Chapitre 1. Modélisation des dispositifs 71.1 Simulation Monte Carlo des dispositifs1.1.1 L’équation de BoltzmannDu point de vue de la physique classique statistique, les quantités physiques associéesà un système de particules sont déterminées par la fonction de distribution, qui donnela probabilité de trouver des particules à la position r, avec l’impulsion p au tempst.A partir de la fonction de distribution, on définit les probabilités de présence departicules à la position r ou ayant l’impulsion p par :P (p) = ∫ f (r,p,t) drP (r) = ∫ f (r,p,t)(1.1)dp(2π) 3La valeur moyenne d’une grandeur décrite par la fonction h(r,p) est∫dp〈h〉 = f(r,p,t)h(r,p)dr(2π) 3 (1.2)En l’absence d’interactions, on a la propriété suivante de la fonction de distribution[26]f(r ′ ,p ′ ,t ′ )dr ′ dp ′ = f(r,p,t)drdp (1.3)où⎧⎪ ⎨⎪ ⎩r ′ = r + drp ′ = p + dpt ′ = t + dt(1.4)en utilisant la propriété :dr ′ dp ′ = |J| drdp (1.5)où J = ¯1 + ϑ(dt 2 ). L’approximation J = 1 est correcte jusqu’à l’ordre 1 en dtainsi que dans l’intervalle de temps infinitésimal dt. L’équation (1.3) devient alorssimplementf(r + dr,p + dp,t + dt) = f(r,p,t) (1.6)Cette propriété peut être démontrée en utilisant le théorème de Liouville, en écrivantque la fonction de distribution ne change pas si l’on suit le chemin des particules dans

8 1.1. Simulation Monte Carlo des dispositifsl’espace des phases. En exprimant l’équation (1.6) en termes des dérivées partielles,on obtient :∂f+ ∇ ∂t rf · ∂r + ∇ ∂t pf · ∂p = 0 ∂t∂f+ ∇ ∂t rf · p + ∇ (1.7)m pf · F ext = 0En présence d’interactions, le nombre de particules dans le volume drdp peut changer.En effet, des particules ayant une position et une quantité de mouvement n’appartenantpas au volume drdp peuvent entrer dans ce volume après une interaction.Inversement, des particules appartenant à ce volume peuvent en sortir. Il faut incluredans (1.7) un terme qui correspond à l’augmentation nette par unité de tempsdu nombre de particules dans le volume drdp issue de l’interaction. L’équation (1.7)se réécrit comme∂f∂t + ∇ rf · p( ) ∂fm + ∇ pf · F ext =(1.8)∂tcollDans le traitement semi-classique, on remplace l’impulsion par multipliée par levecteur d’onde (p = k) et le terme de collision est écrit comme un opérateur sur lafonction de distribution ( )∂f= S ∂t coll collf(r,p,t). L’équation de Boltzmann pour desélectrons s’écrit donc :∂f∂t + ∇ rf · k m − e ∇ kf · E(r) = S coll f (1.9)De façon générale, le terme de collision peut s’écrire sous la forme [27] :S coll f = ∑ k ′− ∑ kS(k ′ ,k)f(r,k ′ ,t)[1 − f(r,k,t)]S(k,k ′ )f(r,k,t)[1 − f(r,k ′ ,t)](1.10)Le premier terme décrit l’augmentation de f(r,k,t) due à la transition de l’étatinitial k ′ vers l’état final k, pour laquelle la densité de probabilité par unité de tempsest donnée par S(k ′ ,k). Le second terme décrit la situation inverse. Le principed’exclusion de Pauli est pris en compte par les facteurs 1 − f entre crochets quilimitent les transitions aux états d’arrivée non occupés.Dans le traitement quantique des interactions, les densités de probabilité de transitionS(k ′ ,k) sont évaluées en utilisant la règle d’or de Fermi (voir en détail dans lapartie 1.2.3 pour l’interaction électron - phonon).On peut résoudre l’équation de Boltzmann directement en utilisant une approximationanalytique pour la fonction de distribution ou statistiquement par la méthode deMonte Carlo [27]. Cette dernière est très bien adaptée à la simulation de dispositifs.

Chapitre 1. Modélisation des dispositifs 91.1.2 Le simulateur particulaire MONACO : principe et algorithmeDans ce paragraphe, je présente le principe de la méthode Monte Carlo dans lesimulateur particulaire MONACO, qui est développé dans notre équipe [28], [29],[30], [31], [32], [33], [34], [35], [36].Dans un semiconducteur, les électrons se déplacent dans un réseau d’atomes quioscillent autour leur position d’équilibre. En première approximation, on considèreque les atomes sont fixés à leur position d’équilibre. Le potentiel périodique du réseaud’atomes fait alors apparaître des bandes d’énergie permises séparées par des bandesd’énergie interdites. Les électrons circulent dans la bande de conduction, les trouscirculent dans la bande de valence. Dans un tel potentiel périodique, les fonctionsd’onde électronique sont des ondes de Bloch, c’est-à-dire des ondes planes moduléespar une fonction ayant la périodicité du réseau dans l’espace réel.A faible énergie, près du minimum de la bande de conduction, l’énergie des électronspeut souvent être approchée par une relation parabolique :ε µ (k) ≈ 2 k 22m ∗ (1.11)où m ∗ est la masse effective, et µ est l’indice de la sous-bande dans le cas d’ungaz d’électrons confiné (dans un nanotube, par exemple). Cette masse effective estsimplement déduite de la relation de dispersion1m ∗ = 1 2 ∂ 2 ε µ∂k 2 (1.12)Une meilleure approximation de (1.11) consiste à introduire un coefficient de nonparabolicité α, c’est-à-dire :(1 + αε µ ) ε µ = 2 k 22m ∗ (1.13)Dans une approche classique du transport, on associe le paquet d’ondes de Bloch àune particule de masse effective m ∗ se déplaçant à la vitesse de groupe v g du paquetd’ondes centré en k. La vitesse de groupe du paquet d’ondes associé est déterminéedepuis la relation de dispersion [37] :v g (k) = 1 ∂ε µ (k) ∂k(1.14)

10 1.1. Simulation Monte Carlo des dispositifsSi l’on utilise l’approximation (1.11), on a la relation entre la vitesse de groupe dupaquet d’ondes et le vecteur d’onde :v g (k) = km ∗ (1.15)Dans la simulation Monte Carlo, on simule un ensemble de particules individuellementdont la vitesse est la vitesse de groupe du paquet d’ondes dans l’espaceréel. L’équation (1.14) est la liaison entre l’espace réel et l’espace réciproque. Danschaque maille, les particules se déplacent dans l’espace réel à champ constant etl’effet des interactions se manifeste instantanément dans l’espace réciproque sous laforme d’une déviation du vecteur d’onde.La trajectoire de chaque particule sous un champ électrique E entre deux collisionsest déterminée par l’équation fondamentale de la dynamique pour une particuled’impulsion k et à la position r [38] :ṙ = v g (k) = 1 ∂ε µ(k) ∂k˙k = −qE(1.16)Dans la méthode Monte Carlo, la durée t v d’un vol libre sous le champ électriqueconstant est déterminée par un nombre aléatoire 0 < r < 1 et la somme totale detoutes les fréquences d’interaction λ 0 à une énergie donnée. On peut considérer λ 0comme constant en introduisant une interaction fictive dite de « self-scattering » quiest sans effet sur les particules [31]. Le temps de vol libre est alors simplement donnépar :t v = − ln rλ 0(1.17)Après chaque vol libre, la particule subit une interaction. On tire au sort pourdéterminer le type d’interaction subie et son effet dans l’espace réciproque [34].On calcule l’amplitude et la direction du vecteur d’onde final. On suppose que leprocessus d’interaction est instantané, ce qui est valide lorsque la durée d’interactionest très faible comparée à la durée des vols libres. Après l’interaction, on retournefaire un déplacement de la particule dans les espaces réel et réciproque (figure 1.1a).Dans le cas unidimensionnel (par exemple dans un nanotube de carbone ou un nanofiloù l’énergie est quantifiée en sous-bandes), il n’y a que deux sens de propagationpossibles, tant dans l’espace réciproque que l’espace réel (figure 1.1b).

Chapitre 1. Modélisation des dispositifs 11t v1 1k 0 ( t 0 )k ( )1t0 + tv 1t v3e f -a)e i -Ft v22k( t + t + t )2 0 v v1 2( )k k1 t0 + tv 1e i -b)( t )0 0t v11 2Fe f -t v2t v ( )3k2t0 + tv + t1v2Fig. 1.1 – Schéma de principe montrant l’évolution d’une particule dans ungaz 2D (a) ou un gaz 1D (b) selon l’algorithme Monte-Carlo sous l’influenced’une force F appliquée.Ce processus est répété jusqu’à ce que soit atteint un état stationnaire, sauf si l’ons’intéresse au comportement transitoire du composant. Des grandeurs du systèmeobtenues de façon statistique à partir d’un grand nombre de particules permettentune bonne reconstitution des fonctions de distribution.1.1.3 Le simulateur de dispositifs MONACO : l’équation dePoisson dans le système cylindriqueLes particules se déplacent dans un réseau d’ions fixes en accord avec leur relationde dispersion. Mais elles interagissent aussi entre elles-mêmes. Une particule doitsentir l’effet de la présence des autres particules dans le système. Autrement dit,une particule se déplace dans un champ moyen créé par les autres particules. Dansl’approximation de Hartree, on détermine le champ effectif moyen généré par l’ensembledes particules grâce à l’équation de Poisson qui détermine le potentiel entous points de l’espace :∆V (r) = − q(p(r,t) − n(r,t) + N D(r) − N A (r))ε 0 ε(r)(1.18)

12 1.1. Simulation Monte Carlo des dispositifs1 2E4 3∆x∆yFig. 1.2 – Champ dans une maille 2D par la simulation Monte Carlo.où p(r,t) et n(r,t) sont la concentration de trous et d’électrons, respectivement,à la position r au temps t, N D (r) et N A (r) sont la concentration de donneurs etd’accepteurs, ε(r) est la permittivité du matériau.Le champ défini par E = −∇V (r) est à l’origine d’une force motrice des porteurs.Dans le système 2D, on calcule le champ dans chaque maille en fonction du potentielaux quatre coins (figure 1.2) par :E x = 12∆x (V 2 − V 1 + V 3 − V 4 )E y = 12∆y (V 1 − V 4 + V 2 − V 3 )(1.19)On simule un ensemble de particules dans les champs fixés pendant chaque pas surle temps t p . Après t p , on recalcule la concentration de porteurs et on met à jour ladistribution de potentiel en résolvant l’équation de Poisson. Cette procédure conduità une simulation auto-cohérente entre le transport et le potentiel du système. DansMONACO, l’équation de Poisson a été développée pour le système 1D, 2D, 3D avecun maillage rectangulaire [31].Afin de décrire fidèlement la géométrie d’un transistor à NTC à grille cylindrique(Gate All Around : GAA), j’ai développé une résolution de l’équation de Poisson2D cylindrique. En effet, la résolution 3D précédente de l’équation de Poisson imposaitde décrire le transistor GAA à partir de mailles de section rectangulaire, cequi conduisait à considérer un nanotube et une grille de section carrée. En exploitantla symétrie cylindrique de la structure, la nouvelle résolution 2D de l’équationde Poisson permet d’étudier un transistor GAA réaliste, avec notamment une commandeélectrostatique par la grille rigoureuse. De plus, pour un nombre de particulesdonné, le temps de calcul nécessaire pour une simulation couplée à la version 2Dde l’équation de Poisson est maintenant 3 fois inférieur à celui nécessaire pour unesimulation en 3D. La résolution de l’équation de Poisson 2D cylindrique est décriteen détail en annexe A de ce manuscrit.

Chapitre 1. Modélisation des dispositifs 13Une comparaison des résultats obtenus à partir des deux types de simulation a étéréalisée sur des transistors à nanotube de carbone zigzag (19, 0) GAA de géométriesimilaire, à contacts ohmiques ou à contacts Schottky. Sauf mention contraire, letransistor simulé a une longueur de grille L G = 100 nm, un oxyde de grille d’épaisseurt ox = 3 nm et de permittivité diélectrique relative ε ox = 3. Dans le cas des contactsSchottky, la hauteur de barrière est Φ B = 0.275 eV et l’interface métal/nanotube estsituée directement à l’aplomb de la grille.Contacts ohmiquesNous comparons ici des simulations 3D (section carrée) et 2D cylindrique (sectioncirculaire) pour des transistors à contacts source et drain ohmiques sur des extensionsfortement dopées de 20 nm. La comparaison confirme la pertinence de la résolution2D pour simuler un transistor GAA. Comme le montre la figure 1.3, un courant àl’état passant I ON un peu plus fort et une meilleure pente sous le seuil sont obtenusà partir de simulations 2D cylindrique qu’à partir de simulations 3D.Cela est dû aux effets capacitifs différents entre la structure carrée issue de la description3D et la structure cylindrique plus réaliste issue de la description 2D. La figure1.4 montre la meilleure commande obtenue à partir de la simulation 2D cylindriqueavec une capacité un peu plus forte que celle déterminée à partir des simulations 3D.Cette différence explique l’amélioration de I ON et de la pente sous le seuil quand onFig. 1.3 – Comparaison des caractéristiques de transfert I D (V GS ) à V DS =0.4 V entre les deux types de résolution de l’équation de Poisson pour descontacts ohmiques : a) en linéaire, b) en semi log.

14 1.1. Simulation Monte Carlo des dispositifsCapacité de grille (aF)(nF)1082D63D4200 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Tension V GSV (V) GS (V)Fig. 1.4 – Comparaison des effets capacitifs issus des simulations 3D (rouge)et 2D cylindrique (bleu.)passe d’une simulation 3D à 2D cylindrique.Soulignons que ces comparaisons sont effectuées à épaisseur d’isolant de grille constante(t ox = 3 nm), ce qui conduit, en raison de géométries différentes, à des capacitésd’oxyde C ox différentes.Contacts source et drain de type SchottkyPour ε ox = 3 et une épaisseur t ox fixée à 3 nm nous comparons ici les résultats obtenusen 3D et en 2D cylindrique (figure 1.5). Dans ces simulations, seuls les électrons sontpris en compte. On n’observe donc aucun effet ambipolaire. Cet effet sera pris encompte ultérieurement. Il est frappant de constater que les résultats sous le seuil(transport en régime diffusif) sont identiques, avec une pente sous le seuil idéale de60 mV/dec, mais très différents au dessus du seuil (injection essentiellement par effettunnel à travers la barrière Schottky de source). Le courant à l’état passant I ON (àV GS = 0.8 V) est ainsi presque 20 fois plus fort en 2D qu’en 3D. Cela vient du faitque la différence de capacité de grille entre les deux cas donne lieu, au dessus duseuil, à des formes de barrière Schottky de source sensiblement différentes, forme àlaquelle le coefficient de transmission tunnel est très sensible.Ainsi, si l’approximation d’une section carrée est acceptable dans le cas de contactsohmiques éloignés de la grille (comme nous l’avons vu ci-dessus), elle l’est beaucoupmoins dans le cas de contacts Schottky positionnés à l’aplomb de la grille (autoalignement).

Chapitre 1. Modélisation des dispositifs 15Fig. 1.5 – Caractéristiques I D -V GS du transistor à NTC à contacts Schottkyen géométrie 2D et 3D, V DS = 0.4 V.1.1.4 Le principe de Pauli dans la simulation Monte CarloLorsqu’on étudie le transport dans des matériaux fortement dégénérés, les particulesne peuvent être considérées indépendamment les unes des autres et l’impact de lacorrélation des porteurs sur la fonction de distribution doit être pris en compte. Lesélectrons sont des fermions et doivent ainsi obéir au principe d’exclusion de Pauli quiinterdit à deux électrons de même spin d’occuper le même état. La technique la pluscouramment utilisée dans les simulateurs particulaires Monte Carlo pour prendre encompte ce phénomène est la méthode de rejection. Elle a été proposée la premièrefois par Bosi et Jacoboni [39] pour un simulateur à une seule particule et a par lasuite été adaptée à la simulation de N particules par Lugli et Ferry [40]. Dans ceparagraphe, je vais présenter l’algorithme que nous avons développé pour intégrer leprincipe de Pauli dans la simulation d’un système 1D, sur la base de la méthode deLugli et Ferry.Le point important de ce traitement concerne la normalisation de la fonction dedistribution f(k). Pour le NTC, on a une dimension dans l’espace des vecteursd’onde (direction k z ) et trois dimensions dans l’espace réel. La densité d’état dansl’espace réciproque est donnée par :DOS = L z2π(1.20)où L z est la longueur du système suivant z. Le nombre d’états dans le volume ∆k z

16 1.1. Simulation Monte Carlo des dispositifsest :N c = 2(pour spin) × L z2π × ∆k z (1.21)Le nombre d’états dans un volume ∆V (∆x, ∆y, ∆z) de l’espace réel et dans unvolume ∆k z de l’espace des vecteurs d’onde est :N max = N c × ∆VV= 2 × Lz2π × ∆k z × ∆x.∆y.∆zL xL yL z= ∆kz.∆zπ× ∆x.∆yL xL y(1.22)avec L x ,L y ,L z les dimensions du système. Dans la simulation Monte Carlo, oncompte le nombre de particules N(r,k z ) dans le volume (r,r+∆r) et (k z ,k z +∆k z ).Finalement, on obtient la fonction de distribution des particules :f(r,k z ) = N(r,k z)N max=∆k z.∆zπN(r,k z )× ∆x.∆yL xL y(1.23)Si l’on calcule la valeur moyenne dans une tranche, on doit considérer ∆x = L x , ∆y =L y . La fonction de distribution est alors la même pour toutes les mailles de la tranche.Si l’on distingue les mailles dans une tranche, on doit garder le terme ∆x.∆yL xL y. Dansle cas d’une symétrie cylindrique, le maillage en x,y disparaît et il faut considérer∆x = L x , ∆y = L y dans l’expression (1.23).Dans la simulation Monte Carlo, le principe d’exclusion de Pauli intervient à deuxniveaux : à l’injection des particules aux contacts ohmiques et dans le traitementd’un processus d’interaction. Dans le cas des contacts ohmiques, la procédure d’injectionconsiste à injecter une particule d’un réservoir métallique idéal à l’équilibrethermique vers un semi conducteur dégénéré. Le nombre de particules injectées àchaque pas sur le temps est choisi par la condition de neutralité de charge dans lapremière maille à côté du contact. La vitesse de la particule (ou le vecteur d’ondeéquivalent) qui est obtenue par tirage au sort ne doit être acceptée que si la fonctionde distribution f(z,k) finale est inférieure à 1. Si non, il faut tirer au sort un nouvelétat.Lors d’un processus d’interaction, on tire au sort pour décider du vecteur d’ondefinal après interaction. A cause du principe d’exclusion de Pauli, la probabilité detransition (1.10) dépend aussi de la fonction de distribution de l’état final f(z,k ′ ).Il faut tenir compte du fait que la probabilité de transition est proportionnelle à la

Chapitre 1. Modélisation des dispositifs 17probabilité (1 − f(z,k ′ )) pour que l’état final soit libre. Dans la simulation MonteCarlo, un nombre aléatoire r est comparé avec f(z,k ′ ). Si r > f(z,k ′ ), l’interactionest acceptée. Si non, elle est rejetée.Après chaque injection ou chaque interaction, les fonctions de distribution sont misesà jour et elles sont remises à jour à chaque itération de simulation.Le principe de Pauli a un effet important dans les régions du dispositif où la concentrationde porteurs est très forte. C’est la raison pour laquelle on ne considère pas lacondition du principe de Pauli pour injecter des particules dans le cas des contactsSchottky parce que la concentration de porteurs est assez faible au niveau du contact.Néanmoins le principe de Pauli est appliqué dans la simulation du transport (traitementdes interactions) dans le CNTFET à contacts Schottky.Les résultats obtenus ont été validés et la fonction de distribution reste bien enmoyenne inférieure à 1 comme on peut le voir sur la figure 1.6, montrant les résultatsde simulations sous champ constant (0.1 kV/cm) d’un simple barreau de matériaunanotube modérément dopé. Nous verrons dans le chapitre 3 que la fonction dedistribution ainsi obtenue reste bien inférieure à 1 dans tout le dispositif CNTFET.Fig. 1.6 – Evolution de la fonction d’occupation en fonction du vecteurd’onde k dans un barreau de matériau nanotube dopé à 1.5 × 10 8 m −1 etsous un champ de 0.1 kV/cm.

18 1.1. Simulation Monte Carlo des dispositifs1.1.5 Le formalisme de Wigner pour les effets quantiquesA ce stade, il est important de rappeler que la diminution de la taille des composantsn’est pas sans conséquence sur le régime de transport. En effet, en réduisantl’espace de propagation des électrons à des dimensions de l’ordre voir inférieures à lalongueur d’onde des électrons (longueur d’onde de de Broglie), les effets quantiqueset le caractère ondulatoire des particules deviennent prédominants, ce qui requiertde traiter le transport de charge par une approche quantique. Il existe un certainnombre de modèles permettant de traiter le transport quantique avec différentsdegrés d’approximation et de complexité.Pour décrire certains effets quantiques (confinement, en particulier), on peut aussiutiliser des modèles hydrodynamiques et Monte-Carlo pour lesquels des correctionsquantiques telles que l’approche de pseudo-potentiel sont ajoutées au modèle classique[41], [42]A ce jour, le formalisme des fonctions de Green est certainement la méthode la plusutilisée dans le traitement quantique du transport [43]. Au début limité à l’étude destructures 1D telles que les diodes à effet tunnel résonnant (RTD), en raison de sonimportante complexité et de sa difficulté de mise en œuvre, elle est depuis largementutilisée pour l’étude de systèmes de dimensions réduites et permet de tenir compte« efficacement », depuis peu, des différents processus dissipatifs (phonons, impuretés,...) d’un système [44]. Le lecteur intéressé trouvera davantage d’informations sur cesdifférentes méthodes, dans cette liste d’ouvrages traitant du sujet [45], [46], [47].Dans ce paragraphe, je vais décrire le formalisme de Wigner-Boltzmann [48] quej’utiliserai dans ce travail pour étudier les effets du transport quantique dans lestransistors à NTC.La matrice densitéUn système quelconque peut être décrit par une matrice densité ρ. Dans une baseorthonormée complète |i〉 elle s’écrit sous la forme (en utilisant les notations deDirac) [49]ρ = ∑ w i |i〉 〈i| (1.24)i

Chapitre 1. Modélisation des dispositifs 19où w i est la probabilité pour que le système soit dans l’état i. Les w i satisfont lesconditions w i ≥ 0 et ∑ w i = 1. La valeur moyenne d’une observable décrite paril’opérateur B est〈B〉 = TrρB = ∑ w i 〈i|B |i〉 (1.25)iSi tous les w i sauf un sont nuls, on dit que le système est dans un état pur, sinon ilest dans un état mélangé. Dans la représentation r, on réécrit (1.24)ρ(r ′ ,r) = 〈r ′ | ρ |r〉= ∑ iw i i(r ′ )i ∗ (r)(1.26)On peut prouver que la probabilité pour que le système se trouve dans l’état |χ〉 estP = ∑ w i |〈i| χ〉| 2i= 〈χ|ρ|χ〉(1.27)La probabilité pour une particule de se trouver dans l’état |r 0 〉 est donc donnée parρ(r 0 ,r 0 ). Pour un état pur |ψ〉 on a donc :ρ(r 0 ,r 0 ) = |ψ(r 0 )| 2 (1.28)Dans un système à l’équilibre, quand |ϕ n 〉 est un ket propre et E n est la valeur proprecorrespondante de l’Hamiltonien H du système, la probabilité pour que le systèmesoit dans l’état |ϕ n 〉 est w n = e −βEn /Q, avec Q une constante de normalisation, etla matrice densité estρ = ∑ w n |φ n 〉 〈φ n | (1.29)nOn considère maintenant l’équation d’évolution de la matrice densité en fonction dutemps, on peut prouver [49] (en supposant que les w i sont constants)˙ρ(t) = − i [Hρ(t) − ρ(t)H] (1.30)En représentation r, l’équation (1.30) peut s’écrire commei ∂ 〈r| ρ ∂t |r′ 〉 = 〈r| Hρ − ρH |r ′ 〉(i ∂ ∂t ρ(r,r′ ) = 〈r| H ∑ w i |i〉 〈i| − ∑ )w i |i〉 〈i|H |r ′ 〉ii∑∑= H r w i i(r)i ∗ (r ′ ) − H r ′ w i i(r)i ∗ (r ′ )ii ∂ ∂t ρ(r,r′ ) = H(∇ r ,r)ρ(r,r ′ ) − H(∇ r ′,r ′ )ρ(r,r ′ )i(1.31)

20 1.1. Simulation Monte Carlo des dispositifsLa fonction de WignerEn mécanique quantique, on peut construire une fonction qui satisfait le même typed’équation que (1.1) pour la fonction de distribution. C’est la fonction de Wignerf W (r,p), définie par∫f W (r,p) =(ρ r + η 2 ,r − η )2e − i pηdη(2π) 3 (1.32)Cette fonction est donc construite en considérant ρ(r,r ′ ) comme une fonction de(r + r ′ )/2 et (r − r ′ )/2, en remplaçant r par (r + r ′ )/2 et en faisant la transforméede Fourier par rapport à (r − r ′ )/2. On peut facilement prouver que la probabilitéde trouver la particule à la position r ou ayant une impulsion p est, comme dans lecas classique :P(p) = ∫ f W (r,p)drP(r) = ∫ (1.33)f W (r,p) dp 3De même, si h(r,p) est soit une fonction de p soit une fonction de r, alors∫〈h(r,p)〉 = f W (r,p)h(r,p)dr dp(1.34) 3Bien que la fonction de Wigner f W (r,p) satisfasse l’équation (1.33), on ne peut pasla considérer comme la probabilité de trouver une particule à la position r avecl’impulsion p, parce que f W (r,p) peut s’avérer négative pour quelques valeurs de pet r. C’est un outil mathématique qui permet de déterminer les différentes grandeurscaractéristiques d’un système.Dans l’équation (1.32), on déduit la fonction de Wigner de la matrice densité. Onpeut faire l’inverse :∫ρ(r,r ′ ) =( ) r + r′f W ,p e i p(r−r′ ) dp(1.35)2 3Donc la fonction de Wigner f W (r,p) et la matrice densité ρ(r,r ′ ) contiennent lamême information.L’équation du transport de Wigner pour des électrons balistiquesLa dynamique des électrons dans la bande de conduction peut être décrite parl’équation de Schrödinger effective en l’absence de champ magnétique (l’énergie est

Chapitre 1. Modélisation des dispositifs 21considérée par rapport au minimum de la bande de conduction E c ) :Dans ce cas, l’équation (1.31) s’écriti ∂ []∂t ψ(r,t) = − 22m ∗ ∇2 r + U(r) ψ(r,t) (1.36)i ∂ ∂t ρ(r 1,r 2 ) = − 22m ∗ (∇2r1− ∇ 2 r 2)ρ(r1 ,r 2 ) + [U(r 1 ) − U(r 2 )] ρ(r 1 ,r 2 ) (1.37)En faisant le changement de variables r 1 = r + r ′ /2, r 2 = r − r ′ /2 et en utilisant laformule suivante∇ r1 · ∇ r1 = ( ∇ r + 1 2 ∇ r ′ )(∇r + 1 2 ∇ r ′ )= ∆r + 1 4 ∆ r ′ + ∇ r · ∇ r ′∇ r2 · ∇ r2 = ( ∇ r − 1 2 ∇ r ′ )(∇r − 1 2 ∇ r ′ )= ∆r + 1 4 ∆ r ′ − ∇ r · ∇ r(1.38)l’équation (1.37) devienti ∂ ∂t ρ ( r + r′2)r′,r −2 = − 2(2∇2m ∗ r · ∇ r ′) ρ ( )r + r′ r′,r −2 2 +) ( )] (− U r −r ′ρ r +r ′+ [ U ( r + r′222,r −r′2) (1.39)On utilise la même définition de la fonction Wigner (1.32) en introduisant le vecteurd’onde k = p/ au lieu de l’impulsion p,f W (r,k) = 1(2π) 3 ∫)dr ′ e −ik.r′ ρ(r + r′ r′,r −2 2On prend la transformée de Fourier différentielle de (1.39) et on obtient∂f W (r,k,t)∂t∫= − 2 1im ∗ (2π) dr ′ e 3 −ik.r′ (∇ r · ∇ r ′)ρ ( )r + r′ r′,r −2 2∫ ( ( ) ( )) (+ 1i(2π) dr ′ e 3 −ik.r′ U r +r ′2 − U r −r ′2 ρ r +r ′2(1.40))r′,r −2(1.41)Traitons séparément les deux termes de droite, on effectue une intégration par partiesur le premier terme en supposant que la densité est nulle à l’infini :∫− 2 1m ∗ i (2π) dr ′ e 3 −ik.r′ (∇ r · ∇ r ′)ρ ( )r + r′ r′,r −2 2= − 2 1∇m ∗ i (2π) 3 r · ∫ dr ′ e −ik.r′ ∇ r ′ρ ( )r + r′ r′,r −2 2= − 2 1∇m ∗ i (2π) 3 r · ∫ dr ′ ike −ik.r′ ρ ( )r + r′ r′,r −2 2= − r · ∇m ∗ r f W (r,k,t)(1.42)

22 1.1. Simulation Monte Carlo des dispositifsEn réintroduisant la transformée inverse de la définition de la fonction de Wigner(1.40) dans le second terme, on obtient∫ ( ( ) ( )) ( )1i(2π) dr ′ e 3 −ik.r′ U r +r ′2 − U r −r ′2 ρ r +r ′ r′,r −2 2∫ ∫= 1i(2π) dr ′ e 3 −ik.r′ dk ′ e ik′ r ′ f W (r,k ′ ) ( U ( ) ( ))r + r′2 − U r −r ′2∫= 1i(2π) dk ′ f 3 W (r,k ′ ) ∫ ( ( ) ( ))dr ′ e ik′ r ′ e −ik.r′ U r +r ′2 − U r −r ′2= ∫ ∫ ( ( ) ( ))dk ′ f W (r,k ′ 1)i(2π) dr ′ e 3 −i(k−k′ )r ′ U r +r ′2 − U r −r ′2= ∫ dk ′ f W (r,k ′ )V W (r,k − k ′ )= Qf W (r,k)(1.43)où l’énergie potentielle de Wigner est∫V W (r,k − k ′ 1) =i(2π) 3 dr ′ e −i(k−k′ )r(U′) (r + r′− U2)) (r − r′2(1.44)Donc l’équation (1.41) se réécrit∂f W (r,k,t)∂t= − m ∗k · ∇ rf W (r,k,t) + Qf W (r,k,t) (1.45)C’est l’équation d’évolution de Wigner. Dans le cas particulier où l’énergie potentielleU est linéaire ou quadratique, l’équation (1.44) devientV W (r,k − k ′ ) = 1i(2π) 3 ∇ r U(r) · ∫ e −i(k−k′ )r ′ r ′ dr ′= 1 ∇ rU(r) · ∇ k δ(k ′ − k)(1.46)On peut facilement montrer que l’équation (1.45) est alors exactement l’équation deBoltzmann (1.7) en réécrivant le terme d’évolution quantique Qf W (r,k,t)Qf W (r,k) = ∫ dk ′ f W (r,k ′ ) ( 1 ∇ rU(r) · ∇ k δ(k ′ − k) )= 1 ∇ rU(r) · ∇ k∫dk ′ f W (r,k ′ )δ(k ′ − k)= 1 ∇ rU(r) · ∇ k f W (r,k)(1.47)Il apparaît donc que l’équation de Boltzmann est une limite classique de l’équationde Wigner qui s’applique dans le cas d’un potentiel lentement variable.L’équation du transport de Wigner pour le système électron - phononMaintenant, on considère un système constitué d’un électron et d’un mode de phononsq. On peut construire un ensemble de base |φ〉 = |i〉 |n〉 où |i〉 est la fonction

Chapitre 1. Modélisation des dispositifs 23d’onde de l’électron et n est le nombre de phonons dans le mode q. La matricedensité est définie commeρ = ∑ φ= ∑ iw φ |φ〉 〈φ|w i,n |i〉 |n〉 〈n| 〈i|(1.48)où en représentation rρ(r,r ′ ,n,n ′ ,t) = 〈r,n| ρ(t) |r ′ ,n ′ 〉 (1.49)et la fonction de Wigner est définie de même façon que dans l’équation (1.40)f W (r,k,n,n ′ ,t) = 1(2π) 3 ∫)dr ′ e −ikr′ ρ(r + r′ r′,r −2 2 ,n,n′ ,tL’Hamiltonien du système s’écrit comme la somme de trois termes(1.50)H = H e + H p + V e−p= − 2 ∇ 2 r2m ∗ + U(r) + ω 0(a+q a q + 1 2)+ iF(q)[e iqr a q − e −iqr a + q] (1.51)où a + q et a q sont les opérateurs création et annihilation d’un phonon de mode q etF(q) dépend du type de couplage électron-phonon. Par des calculs similaires à ceuxde la partie précédente, on peut trouver [36] :[ ∂∂t + m ∗k · ∇ r + iω 0 (n − n ′ ) − Q]f W (r,k,n,n ′ ,t) = Cf W (r,k,n,n ′ ,t) (1.52)où Qf W est similaire à l’équation (1.43) et Cf W s’écritCf W (r,k,n,n ′ ,t)= F(q) [ e (√ ( iqr n + 1.f W r,k −q,n + 2 1,n′ ,t ) − √ (n ′ f W r,k +q2 ,n,n′ − 1,t ))+ e (√ ( −iqr n ′ + 1f W r,k −q2 ,n,n′ + 1,t ) − √ (n.f W r,k +q,n − 2 1,n′ ,t ))](1.53)Si le couplage avec le mode de phonon est faible, on néglige les processus d’interactionsà plusieurs phonons, c’est-à-dire f W (r,k,n,n ′ ,t) = 0 si |n ′ − n| > 1 ;on a donc n ′ = n,n ± 1. De plus, on suppose que l’interaction électron - phononest rapide vis-à-vis des autres phénomènes mis en jeux (la dépendance du tempsde la fonction de Wigner, le transport du porteur le long du dispositif). On peuttrouver l’équation pour la fonction de Wigner diagonale sur le nombre de phonons

24 1.1. Simulation Monte Carlo des dispositifsf W (r,k,n,n ′ ,t) = f W (r,k,n,t)[ ∂∂t + m ∗ k · ∇ r − Q ] f W (r,k,n,t) =+2πF 2 (q)(n + 1).δ [E 0 − E(k) + E(k − q)] [f W (r,k − q,n + 1,t) − f W (r,k,n,t)]+2πF 2 (q)n.δ [E 0 + E(k) − E(k + q)] [f W (r,k + q,n − 1,t) − f W (r,k,n,t)](1.54)Maintenant on considère le mode de phonons à l’équilibre thermique malgré lecouplage avec les électrons, donc dans l’équation (1.48) on a w i,n = w i .w n , etw n = Ae −nω/k BT est la probabilité de trouver n phonons de mode q et satisfaitla condition ∑ w n = 1. Pour satisfaire la condition de normalisation, on anA −1 1= = ¯n + 1 et1−e −ω/k B T∑n.w n = ∑ (n + 1).w n+1 = ¯nn n∑n.w n−1 = ∑ (n + 1).w n = ¯n + 1nn(1.55)où ¯n = ( e ω/k BT − 1 ) −1est la fonction de distribution de Bose-Einstein. On peutréécrire l’équation (1.49) pour le cas n = n ′ρ(r,r ′ ,n) = ∑ w i w n 〈r,n| |i〉 |n〉 〈n| 〈i| |r ′ ,n〉i∑= w n w i i(r)i ∗ (r ′ )(1.56)i= ρ(r,r ′ )w net la fonction de Wigner correspondante estf W (r,k,n,t) = f W (r,k,t).w n (1.57)où f W (r,k,t) = ∑ f W (r,k,n,t). Maintenant, on remplace (1.57) dans (1.54) et onnsomme sur n en utilisant les équations (1.55)[ ∂∂t + m ∗ k · ∇ r − Q ] f W (r,k,t) =+2πF 2 (q)δ [E 0 − E(k) + E(k − q)] [¯nf W (r,k − q,t) − (¯n + 1)f W (r,k,t)]+2πF 2 (q)δ [E 0 + E(k) − E(k + q)] [(¯n + 1)f W (r,k + q,t) − ¯nf W (r,k,t)](1.58)Si l’on prend k ′ = k − q pour s 1 (k,k ′ ) (la probabilité de transition depuis l’état kvers l’état k ′ correspondant à l’émission d’un phonon) et k ′ = k + q pour s 2 (k,k ′ )

Chapitre 1. Modélisation des dispositifs 25(la probabilité correspondant à l’absorption d’un phonon), on a :s 1 (k ′ ,k) = 2πF 2 (q)¯nδ [E(k ′ ) − E(k) + E 0 ]s 1 (k,k ′ ) = 2πF 2 (q) (¯n + 1)δ [E(k ′ ) − E(k) + E 0 ]s 2 (k ′ ,k) = 2πF 2 (q) (¯n + 1)δ [E(k ′ ) − E(k) − E 0 ]s 2 (k,k ′ ) = 2πF 2 (q)¯nδ [E(k ′ ) − E(k) − E 0 ](1.59)On met (1.59) dans (1.58) et la somme sur q est remplacée par la somme sur k ′ ensupposant la présence de plusieurs modes de phonons q[ ∂∂t + m ∗ k · ∇ r − Q ] f W (r,k,n,t) =+ ∑ k ′ [s 1 (k ′ ,k)f W (r,k ′ ,t) − s 1 (k,k ′ )f W (r,k,t)]+ ∑ k ′ [s 2 (k ′ ,k)f W (r,k ′ ,t) − s 2 (k,k ′ )f W (r,k,t)](1.60)Le terme d’interaction dans l’équation (1.60) est similaire à l’équation (1.10) pourl’équation de transport de Boltzmann. On montre ainsi que l’on peut modéliser lescollisions de manière analogue aux modèles semi-classiques. L’équation de transportobtenue est parfois appelée de « Wigner-Boltzmann » [20].Simulation Monte Carlo dans le formalisme de WignerDans cette partie, on va présenter brièvement la technique de simulation MonteCarlo développée par Damien Querlioz [36] dans l’équipe pour simuler le transportquantique. Les détails se trouvent dans la thèse de Querlioz [36]. Le système simuléest un gaz de porteurs unidimensionnel suivant l’axe z du nanotube. Donc les formulespour le formalisme de Wigner se présentent dans une dimension de l’espaceréel et une dimension de l’espace réciproque.La méthode ressemble beaucoup à la méthode Monte Carlo de résolution de l’équationde Boltzmann présentée dans la partie 1.1.2. Mais la fonction de Wigner est échantillonnéeavec une somme d’excitations localisées de type Diracf(z,k,t) = ∑ iA i δ(z − z i (t))δ(k − k i (t)) (1.61)où la somme sur i est la sommation sur toutes les particules, z i et k i sont la positionet le vecteur d’onde de la ième particule dans le système, l’amplitude A i est l’affinité

26 1.1. Simulation Monte Carlo des dispositifsde la ième particule [50]. Cette amplitude, spécifique au formalisme de Wigner, est unnouveau paramètre indispensable pour reconstruire la fonction de Wigner qui peutavoir des valeurs négatives. Elle va contenir toute l’information sur l’état quantiquedu système.On utilise l’approche inspirée de travaux de Shifren pour résoudre l’équation Wigner-Boltzmann. Dans cette approche, le terme d’évolution quantique (1.43) est interprétécomme le terme agissant sur l’affinité des particules à chaque pas de temps. Lerôle du terme de collision reste le même que dans la méthode MC semi-classique.La méthode ressemble donc beaucoup à la méthode Monte Carlo de résolution del’équation de Boltzmann. A la fin de chaque pas de temps, dans chaque maille del’espace des phases M(z,k), l’affinité des particules est mise à jour selon l’équation∑i∈M(z,k)dA idt= Qf W (z,k) (1.62)La technique de base est : durant un pas de temps, toutes les particules sont traitéesde manière classique par l’équation (1.16) concernant le changement de la positionr. A la fin de chaque pas de temps, on résout l’équation de Poisson et on met àjour les affinités des particules avec le terme d’évolution quantique par l’équation(1.62). Il est important de noter que dans cette approche, le potentiel n’agit quesur les affinités des particules, via (1.62), et reste sans effet sur le vecteur d’onde(contrairement au cas classique) qui ne peut changer que lors d’une interaction.

Chapitre 1. Modélisation des dispositifs 271.2 Modélisation des nanotubes de carboneDans la partie précédente, j’ai exposé les notions de base de la simulation par laméthode Monte Carlo et présenté les équations physiques régissant l’évolution desparticules quelle que soit la nature du transport, classique ou quantique. Les paramètresd’entrée sont au nombre de trois :• la structure de bande du matériau (relation énergie-vecteur d’onde E(k))• le spectre de phonons (relations de dispersion E ph (q) suivant le mode de phononconsidéré)• les fréquences d’interactionsDans cette partie, je détaillerai les modèles utilisés pour déterminer ces trois grandeursdans le cas des nanotubes de carbone zig-zag. Je commencerai par une présentationde la méthode de « zone-folding » permettant d’obtenir la structure de banded’un nanotube de carbone à partir de laquelle sont calculés les paramètres relatifsaux matériaux tels que les masses effectives, les largeurs de bande interdite, les densitésd’états. Cela nous permettra ensuite de valider le modèle retenu. J’effectueraiune étude quasi similaire appliquée aux phonons dans les NTC. Enfin, je présenteraiquelques bases théoriques du calcul des fréquences d’interaction par la théorie desperturbations.1.2.1 La structure de bandeDepuis sa découverte officielle par Iijima [51], une intense activité de recherche s’estdéveloppée autour de cette famille d’objets, caractérisés par de multiples propriétésphysiques remarquables [52], [53]. Idéalement, un nanotube de carbone peut être vucomme un plan de graphène enroulé sur lui-même de manière à former un tube. Lespropriétés physiques des nanotubes dépendent étroitement de la façon dont le plande graphène est « enroulé ».Pour déterminer la structure de bandes des nanotubes, l’approche la plus simpleconsiste à calculer d’abord la structure de bandes d’un plan de graphène [54], quiest infini dans deux dimensions. Celle du nanotube se déduit en appliquant la conditionpériodique convenable. Le calcul de la structure de bandes du graphène par laméthode des liaisons fortes est présenté en annexe B.

28 1.2. Modélisation des nanotubes de carboneDans le cas le plus simple, ce calcul donne la relation de dispersion suivante pour lastructure électronique d’une couche de graphène [54] :√√3kx aE 2D (k x ,k y ) ≈ ±t 1 + 4 cos cos k ya2 2 + 4cos2k ya2(1.63)où t est l’élément de matrice de couplage entre les orbitales π de deux atomes lesplus proches par l’Hamiltonien du système, a est la distance entre ces deux atomeset (k x ,k y ) représente les coordonnées du vecteur d’onde.Soient a 1 et a 2 les vecteurs primitifs du réseau hexagonal du graphène, commeillustré sur la figure 1.7a. Un nanotube est entièrement défini par son vecteur chiralC dont les deux extrémités se rejoignent pour former l’enroulement. Il déterminedonc l’hélicité du nanotube sous la formeC = na 1 + ma 2 (1.64)où n et m sont des nombres entiers. La donnée du couple d’indices (n,m) caractérisedonc entièrement le NTC. Nous ne nous intéresserons ici qu’uniquement aux nanotubesde type (n, 0), dits « zigzag ». En effet, comme nous allons le voir, 2/3 d’entreeux sont semi-conducteurs. Ils nous intéressent donc particulièrement en vue d’applicationstransistor. Au contraire, les nanotubes de type (n,n), dits « armchairs »,sont tous métalliques [54]. Les autres, tel que n ≠ m, sont d’un moindre intérêt.Le vecteur C des nanotubes zigzag (n, 0) est donc de la formeC = na 1 (1.65)a) b)yxk yk xb 12nK 1TCK 2ΓKMa 1b 2a 2Fig. 1.7 – Le réseau réel (a) et le réseau réciproque (b) pour le NTC (n, 0).La longueur du vecteur C et le nombre de traits rouges dans b) sont pourNTC (4, 0).

Chapitre 1. Modélisation des dispositifs 29et la circonférence du cylindre est simplement |C| = |n · a 1 | = n.a.Le vecteur de translation T forme avec le vecteur C une cellule unité du NTC (n, 0).Il est parallèle à l’axe du nanotube et perpendiculaire au vecteur chiral C. Sur lafigure 1.7a, on voit facilement que la longueur de T pour un NTC (n, 0) est toujours3a C C etT = a 1 − 2a 2 (1.66)Chaque cellule unité du NTC (n, 0) contient 2n hexagones, c’est-à-dire 4n atomesde carbone. La densité d’atomes de carbone dans NTC est donc égale à :ρ = 2 × 2n3a C C=4n3 × 1.44 A ◦ (1.67)Par exemple, pour le NTC (19, 0) on a une concentration d’atomes de carbone de17.59 × 10 10 carbone/m ou 3.5 × 10 −15 kg/m. Si l’on dope le NTC avec une concentrationde dopants de 5 × 10 6 cm −1 , on a une espèce dopante pour 350 atomes decarbone.Nous allons maintenant déterminer la zone de Brillouin du NTC (n, 0). Les vecteursdu réseau réciproque K 1 (dans la circonférence) et K 2 (le long de l’axe du NTC)sont obtenus par les relations suivantes :C · K 1 = 2π ; C · K 2 = 0T · K 1 = 0; T · K 2 = 2π(1.68)A partir des équations (1.65), (1.66), (1.68) et des conditions a i · b j = 2πδ ij , ontrouveK 1 = 1 (2b (√ )2n 1 + b 2 ) = 2πa.2n 3, 1( )K 2 = − 1b (1.69)−π2 2 =√3a, π aComme le montre la figure 1.7b, K 1 est orienté suivant la direction ΓK et K 2 a lamême direction que b 2 . La longueur du vecteur 2nK 1 , dont les deux extrémités sontdeux points du réseau réciproque, est fixée et égale à :|2nK 1 | = |2b 1 + b 2 | = 3ΓK = 4π a(1.70)et celle du vecteur K 2 est égale à :|K 2 | = 1 2 |b 2| = 2π √3a= 2π|T|(1.71)

30 1.2. Modélisation des nanotubes de carboneLes conditions aux limites périodiques le long de la circonférence imposentC · k = µ 2π, c’est-à-dire k ⊥ = µ 2πna = µK 1 (1.72)où µ est un nombre entier. Les vecteurs k sont donc quantifiés suivant la directionde la circonférence (la direction du vecteur K 1 ). Le pas des valeurs quantifiées estexactement la longueur du vecteur K 1 . Puisque 2n fois le vecteur K 1 donne un autrepoint du réseau réciproque, on ne va considérer que 2n valeurs de la composante duvecteur d’onde suivant la direction de la circonférence (on compte depuis 0).Les vecteurs d’onde prennent des valeurs continues dans la direction de l’axe dunanotube (K 2 ) pour un nanotube de longueur infinie. Pour un tube de longueur L,la composante du vecteur d’onde le long de l’axe du tube est quantifiée et espacéede 2π/L. Donc pour le NTC (n, 0) le vecteur d’onde s’écrit finalement :k = k K 2|K 2 | + µK 1 (1.73)Le principe de la méthode de « zone-folding » (ZF) est de considérer que la structurede bandes d’un nanotube peut être obtenue à partir d’une série de coupes de lastructure de bande du graphène effectuées selon les différentes valeurs permises duvecteur d’onde k du nanotube. A partir de la relation E(k) du graphène on obtientau final 2n sous-bandes pour le nanotube zigzag tel que :( )Eµ NTC (k) = E 2D k K 2+ µK −π|K 2 | 1 ; µ = 0,.., 2n − 1 ; √3a< k ≤()= E 2D k x = − k + µ2π√ 3,k 2 2na y = k√ 3+ µ2π2 2na√= ±t 3 + 4 cos √ 3kacos µπ 2µπ+ 2 cos2 n nπ √3a(1.74)La figure 1.8 montre la structure de bandes pour NTC (5, 0) calculée par la formule(1.74). Pour le NTC (5, 0) on voit que les bandes correspondant à µ = n+1,..., 2n−1sont dégénérées avec les bandes correspondant à µ = n − 1,..., 1. On a au final 2nsous-bandes de valence et 2n sous-bandes de conduction dont n−1 sont doublementdégénérées pour un NTC (n, 0).Quand le diamètre du NTC est très petit (inférieure à 1 nm), il faut prendre encompte la courbure du NTC car les orbitales p z ne sont pas parallèles. Il faut modifierla méthode de liaison forte utilisée ci-dessus en tenant compte de la courbure [55], [56]ou bien utiliser la méthode ab-initio pour calculer la structure de bandes [57].

Chapitre 1. Modélisation des dispositifs 31Fig. 1.8 – Les bandes de conduction du NTC (5, 0).Si, pour un nanotube donné, une des lignes de la zone de Brillouin du nanotubepasse par un point K de la zone de Brillouin 2D du graphène, la structure de bandeest à gap nul. Le nanotube est métallique. Si aucune ne passe par un point K, on aalors un gap non nul et le NTC est semiconducteur.Le point K est situé à 2n/3K 1 du point Γ (figure 1.7b). A partir de l’équation (1.74)on obtient les minimums des sous-bandes du NTC (k = 0)E µ min = t √3 + 4 cos µπ n2µπ∣ ∣∣1+ 2 cosn = t µπ+ 2 cos ∣ (1.75)nL’indice de la sous-bande la plus basse qui détermine la valeur du band-gap est lenombre entier le plus proche de 2n/3. C’est la condition 3µ − 2n = ±1 (le signedétermine le µ entier). En développant l’équation (1.75) en série de Taylor en fonctionde 1/n, on peut avoir la formule de band-gap (à l’ordre 2).E 1 = t ∣ ∣1 + 2 cos [ π(2n ± 1)]∣ ∣3n ) (1.76)= √ tπ3n(1 ∓ π6 √ 3nLe premier terme (à l’ordre 1) est souvent utilisé pour estimer la largeur de la bande

32 1.2. Modélisation des nanotubes de carboneinterdite :E NTCg= 2tπ √3n= 2ta C Cd t(1.77)où d t = n.a/π est le diamètre du nanotube et a C C = a/ √ 3 est la distance entredeux atomes de carbone voisins. La valeur de t est fixée par la formule (1.77) à partirde résultats expérimentaux à 2.7 ± 0.1 eV dans [58] et 2.45 eV dans [59]. Depuis lecalcul ab-initio, on a t = 2.53 eV [57].Nous allons maintenant déterminer la densité d’états (DOS) du NTC. Pour lesystème 1D, le nombre total d’états N(k) de vecteur d’onde inférieur à une valeurmaximum k est donné parN(k) =2k2π/L = kL π(1.78)En utilisant la relation de dispersion, on peut convertir N(k) en N(E) qui donne lenombre d’états d’énergie inférieure à E. On calcule alors la dérivée de cette fonctionpar rapport à l’énergie, ce qui donne la densité d’états à l’énergie E :DOS(E) = d dN dkN(E) = (1.79)dE dk dEDepuis les équations (1.74) et (1.75) en posant b = t ( ) 2 3 + 2 cos 2µπn , l’expression dela densité d’états de NTC devient :DOS(E µ ) = L πdkdE µ =E µ4Lπ √ √3a ( ) 2 ((E µ min )2 − b − (Eµ ) 2 − b ) 2(1.80)Attention, pour chaque sous-bande, la formule (1.80) est appliquée dans le domained’énergie de cette sous-bande. On voit sur la figure 1.9 les bandes de conduction etla densité d’états du NTC (10, 0). Puisque les énergies des bandes de conductionsont comprises entre 0.176 eV et 3 eV, la densité d’états est nulle en dehors de cedomaine d’énergie.Dans le cas limite des faibles énergies, on retrouve facilement une forme de DOSvariant en 1 /√ E − E min caractéristique des systèmes 1D (où E min est l’énergie dubas de la sous-bande). La densité d’état du NTC a été calculée numériquement àpartir de la relation de dispersion par la méthode des liaisons fortes [54].Dans la simulation Monte Carlo, on ne considère que les 3 premières sous-bandes,et on utilise une relation de dispersion quasi-parabolique pour décrire la structure

Chapitre 1. Modélisation des dispositifs 33Fig. 1.9 – a) Les bandes de conduction ; b) La densité d’états du NTC(10, 0).de bandes du NTC, en incluant un coefficient de non parabolicité pour une bonnedescription des sous-bandes jusqu’à des énergies d’au moins 1 eV :E(1 + αE) = 2 k 2(1.81)2m ∗La masse effective et le coefficient α sont déduits des calculs de la structure de bandesde NTC utilisant les 4 orbitales de l’atome de carbone [60], [34]. Les résultats ainsiobtenus sont très proches des calculs analytiques présentés ci-dessus pour les troispremières sous-bandes. Depuis l’équation (1.74), en procédant à des développementslimités, on a obtenu les minimums, les masses effectives et les coefficients de non parabolicitédes 3 premières sous-bandes pour l’approximation non parabolique (1.81)(tableau 1.1). Les calculs détaillés sont présentés en annexe D.La vitesse de groupe correspondante est :v g = 1 ∂E ∂k = k 1m ∗ (1 + 2αE)(1.82)Si la longueur du NTC est finie, le vecteur d’onde le long l’axe du NTC est quantifié.Mais avec une bonne approximation, la structure de bandes (ou la densité d’états)

34 1.2. Modélisation des nanotubes de carbone(E 1 = E 0|3µ 1 − 2n| = 1α 1 = 1E 0 = √ tπ2E 13n m ∗ 1 = 82 ·3a 2 t 2|3µ 2 − 2n| = 2|3µ 3 − 2n| = 4)1 ∓ π6 √ 3nE 12± √ 2π − π23n)E 2 = 2E 0(1 ∓ π3 √ 3nα 2 = 12E 2m ∗ 2 = 829n 2 ∓ π327 √ 3n 3E 23a 2 t 2 2± √ 4π − 4π23n 9n 2 ∓ 8π327 √ 3n 3)E 3 = 4E 0(1 ∓ 2π3 √ 3nα 3 = 12E 3m ∗ 3 = 82E 33a 2 t 2 2± √ 4π − 16π23n 9n 2 ∓ 64π327 √ 3n 3Tab. 1.1 – L’approximation non-parabolique pour la structure de bande deNTC (n, 0).du nanotube de longueur finie ressemble à celle du nanotube infini quand la longueurest supérieure à quelques nanomètres [61] ou à plus de 10 nm [62]. On peut doncutiliser, pour la détermination de la structure de bandes, les paramètres du NTCinfini dans nos simulations Monte Carlo.La validation de l’approximation de la masse effective est considérée dans l’article[63] où l’on utilise trois modèles de la structure de bandes pour simuler un CNT-FET à contacts ohmiques : méthode de Hückel étendue, méthode de liaison forte,approximation de la masse effective parabolique. Ces auteurs valident égalementl’approximation de la masse effective pour les tensions appliquées en pratique dansle CNTFET.Expérimentalement, le NTC est classifié comme métallique ou semiconducteur suivantla dépendance de la résistance en fonction de la tension de grille [64]. Les tubesmétalliques ont une caractéristique courant-tension linéaire et indépendantes de latension de grille (V GS ). Au contraire, la caractéristique non linéaire à températureambiante et la dépendance asymétrique de la conductance sur la tension de grilleindiquent que le tube est semiconducteur [65].

Chapitre 1. Modélisation des dispositifs 351.2.2 Les phonons dans le NTCDans le paragraphe précédent, on a présenté la structure de bandes du NTC en imposantla condition que les atomes de carbone sont fixés à leur position d’équilibre.En réalité, ils oscillent autour de cette position. Ces vibrations ont une grande importancedans l’étude des propriétés de transport dans les solides car elles modifientle potentiel du réseau cristallin et perturbent en conséquence le mouvement des porteurs.C’est d’ailleurs par ce mécanisme de perturbation que les porteurs échangentde l’énergie avec le réseau.On appelle un mode dans lequel chaque élément d’un réseau vibre à la mêmefréquence un mode normal. Les modes normaux de vibrations permettent de présenterun caractère particulaire à des quasi-particules nommées phonons. Un traitementquantique est nécessaire afin d’évaluer le couplage entre un ensemble de porteurs etle réseau, ou le couplage électron-phonon.On décrit ici succinctement le spectre des phonons du NTC issu de celui du graphèneen utilisant le modèle de forces constantes (présenté en détail en annexe C). La figure1.10 présente le spectre de phonons du graphène.On peut noter que la polarisation des phonons suivant la direction ΓM est pure. Onpeut donc parler des modes longitudinaux (L), transverses (T) et perpendiculairesFig. 1.10 – La dispersion des phonons pour le graphène.

36 1.2. Modélisation des nanotubes de carbone(Z). Les phonons acoustiques correspondent au cas où deux atomes voisins vibrenten phase. Les phonons optiques correspondent au cas où les deux atomes vibrenten opposition de phase. Les modes de phonons dans le plan du graphène (L et T)sont indépendants de ceux hors du plan (Z). Le calcul des vecteurs propres montreque suivant la direction MK ou KΓ, les modes de phonons dans le plan sont lemélange des polarisations fondamentales L et T. Les modes hors du plan Z sontencore indépendants des autres.Pour calculer le spectre de phonons du NTC (n, 0), on utilise la même techniqueque celle pour la détermination la relation de dispersion électronique. On utilise laformule (1.74) pour le spectre de phonons :( )ωµ NTC (k) = ω 2D k K 2+ µK −π|K 2 | 1 ; µ = 0,.., 2n − 1 ; √3a< k ≤ √ π() 3a= ω 2D k x = − k + µ2π√ 3,k (1.83)2 2na y = k√ 3+ µ2π2 2naEn procédant comme pour la relation E(k) , la relation de dispersion d’un tube (n, 0)est obtenue en faisant des coupes de la relation de dispersion 2D du graphène selon2n valeurs dans la direction ΓK. Chacune des six branches de phonon du graphène,3 acoustiques et 3 optiques, est ainsi décomposée en 2n sous-branches dont n − 1sont doublement dégénérées.Dans la figure 1.11 on montre le spectre de phonons du NTC (10, 0) calculé parl’équation (1.83) pour la moitié de la zone de Brillouin. Comme pour la structurede bandes, le spectre de phonons est dégénéré pour µ = n + 1,..., 2n − 1 avecµ = n − 1,..., 1.Il faut remarquer que la méthode de zone folding ne donne pas une relation parfaitementcorrecte de la dispersion des phonons pour un NTC, spécialement dans larégion de basse fréquence [54]. Dans un nanotube, en réalité le mode acoustique horsdu plan du graphène ZA devrait donner une fréquence non nulle au point Γ (k = 0)quand le plan du graphène se roule pour former un nanotube (figure 1.12). On l’appellele mode de respiration radial (RBM, pour « radial breathing mode ») parce quetous les atomes vibrent radialement en même phase. On voit sur la figure 1.13 que laméthode de zone folding ne peut pas décrire ce mode. Pour bien calculer les modesdu NTC, il faut utiliser les coordonnées cylindriques afin de prendre en compte lacourbure du NTC [66].

Chapitre 1. Modélisation des dispositifs 37Fig. 1.11 – Le spectre de phonons pour NTC (10, 0) calculé par l’équation(1.83).zyxFig. 1.12 – Illustration de mode hors du plan Z du graphène (à gauche) etle mode de respiration radial correspondant (RBM) pour le NTC.Pour tous les NTC (n, 0), si l’on considère les modes de phonons pour µ = 0 (onles appelle des modes de zone centrale ou zone-center phonons), on voit que lespolarisations fondamentales sont pures au point Γ (k = 0). On peut donc parler demodes longitudinaux (L), transverses (T) et radiaux (R). Mais l’examen des vecteurspropres montre que, près du point K, les modes sont un mélange des polarisationsfondamentales (on les appelle les modes de bord de zone ou zone-boundary phonons).Normalement, toutes les interactions avec les électrons sont dues aux phonons correspondantaux petites régions près des points Γ et K de la zone de Brillouin 2Ddu graphène [67]. A faible énergie, des électrons ont des interactions avec des phononsacoustiques et des phonons RBM près du point Γ. Les deux interactions lesplus fortes sont dues aux phonons optiques longitudinaux près des points Γ et K à

38 1.2. Modélisation des nanotubes de carboneFig. 1.13 – Le spectre de phonons de NTC (10, 0) pour µ = 0 (traversantle point Γ) calculé par la méthode de zone folding.forte énergie. On les appelle les modes K LO et Γ LO . Nous allons préciser l’énergie desphonons dont l’interaction avec les électrons est importante dans la section suivante.

Chapitre 1. Modélisation des dispositifs 391.2.3 Les fréquences d’intéraction électron - phononThéorie de baseDans tout ce qui précède, les électrons étant considérés comme des ondes de Blochse propagent sans interaction dans un réseau cristallin parfait. Mais à cause desvibrations du réseau, le mouvement des porteurs est modifié. L’interaction entreélectrons et atomes du réseau, ou interaction électron - phonon, est traitée commeune perturbation qui ne modifie pas la structure de bande des électrons.Dans la théorie quantique des perturbations du premier ordre, on peut prouver quela densité de probabilité pour qu’un paquet d’ondes d’un électron initialement centréen k avec une énergie E puisse se retrouver centré en k ′ à l’énergie E ′ à cause dupotentiel de perturbation V s’écrit [37], [46] :S(k,k ′ ) = 2π |V k ′ k| 2 δ(E ′ − E) (1.84)où l’élément de matrice de transition V kk ′ entre l’état Bloch k ′ et k s’écrit :V k ′ k =∫L/2ψ ∗ k ′(z)V (z)ψ k(z)dz (1.85)−L/2en supposant que les fonctions de Bloch se normalisent sur la longueur L du système1D suivant la direction z. L’équation (1.84) est connue comme la règle d’or de Fermi.L’état standard de Bloch s’écrit :ψ k (z) = 1 √NΩϕ k (z) exp(ikz) (1.86)où ϕ k (z) est la fonction périodique dans le réseau, N Ω est le nombre de valeurs duvecteur d’onde k dans la première zone de Brillouin. En utilisant la définition de lafonction Bloch et en passant dans l’espace réciproque par transformée de Fourier,on aV k ′ k = 1 ∫L/2N Ω−L/2ϕ ∗ k ′(z)e−ik′ z( ∑qV q e iqz )ϕ k (z)e ikz dz (1.87)Par le changement de variable z ′ = z − R où R est un vecteur du réseau réel, et en

40 1.2. Modélisation des nanotubes de carboneutilisant la condition d’orthogonalité dans l’espace réciproque [27], on aV k ′ k = 1∑N Ωq∑= 1N Ωq= V k ′ −k × ∫L/2∫= 1 L−L/2V q × e −i(k′ −k−q)RV q × ∑ RcellL/2∫−L/2∫e −i(k′ −k−q)R} {{ }N Ω .δ q,k ′ −kϕ ∗ k ′(z)ϕ k(z)dzV (z)e −i(k′ −k)z dz × ∫cellcellϕ ∗ k ′(z′ )ϕ k (z ′ )e −i(k′ −k−q)z ′ dz ′ϕ ∗ k ′(z)ϕ k(z)e −i(k′ −k−q)z dzϕ ∗ k ′(z)ϕ k(z)dz(1.88)En intégrant la densité de probabilité (1.84) sur l’ensemble des états finaux, onobtient la fréquence d’interaction∫λ(k) = S(k,k ′ )[1 − f(k ′ )]ρ k ′dk ′ (1.89)où f(k ′ ) est la fonction de distribution dans l’état k ′ , ρ k ′qui est égale à L/2π pour le cas unidimensionnel.désigne la densité d’étatsL’interaction électron - phonon acoustique pour le NTCPar convention, dans cette partie la composante du vecteur d’onde le long du NTC(n, 0) est placée suivant l’axe z, alors que la direction suivant la circonférence s’appelleθ. L’équation (1.73) pour le vecteur d’onde k se réécrit alors (l’accent circonflexesymbolise le vecteur unité) :k = k z .ẑ + 2µ ˆθ (1.90)d toù d t = n.a/π est la diamètre du NTC. La fonction d’onde des électrons, cohérenteavec les résultats de la méthode zone folding (1.74), est de la forme :|k〉 = √ 1 ∑e i(kzz+µθ/2dt) φ kz,µ(z,θ) (1.91)2πLk z,µoù L est la longueur du NTC, ϕ est la fonction des orbitales du graphène normaliséesur la cellule unité du graphène. De façon similaire, le décalage du réseau à la positiondu tube r = zẑ + θˆθ est [68] :u(r) = ∑ q√ [aq .e iqr + c.c. ] (1.92)2Mω q

Chapitre 1. Modélisation des dispositifs 41La somme est sur les vecteurs d’onde des phonons q = q z .ẑ + 2µqd tˆθ qui présententla même forme que les vecteurs d’onde des électrons (1.90). L’amplitude de chaquevecteur propre dépend de la masse des atomes du réseau M, de la fréquence de sousbrancheω q , des opérateurs de création et d’annihilation des phonons a + ,a. Dans lecas de NTC, la masse du réseau est M = ρ.L où L est la longueur du NTC, ρ est lamasse linéique du NTC déterminée par l’équation (1.67).On va utiliser la théorie du potentiel de déformation qui décrit l’interaction entreélectrons et phonons par le décalage d’énergie dû aux vibrations des atomes. Pourl’interaction avec les phonons acoustiques (vibrations des atomes en phase), le potentield’interaction H AP est proportionnel au déplacement différentiel des atomes [69].On a donc :H e−pAP = D AP ∂u(r)∂r∑√= D APq2ρLω q[iq.a q .e iq·r + c.c.](1.93)Le potentiel de déformation D AP est homogène à une énergie. Pour un nanotubezig-zag, D AP est approximativement égal à 9 eV [70]. Koswatta utilise la valeur dupotentiel déformation D AP = 8.57 eV dans [44] et D AP = 9 eV dans [71].L’élément de matrice de transition associé à cette interaction s’écrit :√〈k ′ |H e−pAP |k〉 = D ∑ AP〈k ′ | [ iq.a q .e i(qz+2µqθ/d) + c.c. ] |k〉 (1.94)2ρLω qqEn considérant la symétrie du NTC, on peut prouver que le terme exponentiel donnela règle de sélection [70]〈k ′ | e i(qz+2µqθ/d) |k〉 = δ kz−k ′ z,q z.δ µ ′ −µ,µ q(1.95)Du fait que l’équation (1.94) contient les deux opérateurs a et a + , il n’y a que deuxtermes non nuls :∣∣〈k ′ ,N p ± 1|H e−pAP |k,N p〉 ∣ 2 = 2 (D AP ) 2 q[N 2p + 1 2ρLE p 2 ± 1 ]2(1.96)où N p est le nombre de phonons dans le système avant l’interaction, donné parla distribution de Bose-Einstein N p = ( e Ep/k BT − 1 ) −1, le signe en haut (+) estpour l’émission de phonon et le signe en bas (-) est pour l’absorption de phonon,E p = ω q est l’énergie du phonon, le vecteur d’onde q du phonon est défini par) 2.q 2 = qz 2 +(2µqd

42 1.2. Modélisation des nanotubes de carboneOn considère maintenant l’interaction intra-vallée avec des phonons acoustiques.Les phonons en jeu étant de faible énergie, les interactions sont considérées commeélastiques, et l’expression de la fonction d’occupation des phonons acoustiques devient:N p = ( e Ep/k BT − 1 ) −1≈k B TE p− 1 2(1.97)où l’énergie de phonon acoustique est E p = ω q = v s .q avec v s la vitesse du sonde ce mode. Sa valeur est 20 km/s dans [70], 21.1 km/s dans [71], 19 km/s dans [72].Dans notre simulation, nous utilisons la valeur 20.35 km/s [54].La densité de probabilité de transition pour la somme de deux processus, émissionet absorption, estS(k ′ ,k) = 2π 2 (D AP ) 2 q 2= 2π 2 (D AP ) 2 q 2 2ρL.v sq= 2π.k BT(D AP ) 2Lρ.vs22ρLE p[2N p + 1] δ(E ′ − E)· 2k BTv δ(E′ sq− E)δ(E ′ − E)(1.98)En prenant en compte la non parabolicité de la structure de bande (1.81) et ensupposant que les états finaux sont peu occupés, c’est-à-dire f(k ′ ) ≪ 1, on peutcalculer la fréquence d’interaction à partir de l’équation (1.89), on a pour chaquesous-bande [34]λ intraAP (k) = ∫ S(k,k ′ )ρ k ′dk ′= L · 2π.k BT(D AP ) 22π Lρ.vs2= k BT(D AP ) 2 +∞ ∫2ρ.vs2+∞ ∫−∞δ(E ′ − E)dk ′ zδ(E ′ − E) √ (1.99)m(1+2αE ′ ) 2E0′ (1+αE ′ ) dE′√E(1+αE)= k BT(D AP ) 2√ 2m(1+2αE)ρ.v 2 sPour l’interaction inter-vallée avec des phonons acoustiques, l’énergie de phonon E pégale à la différence d’énergie entre deux vallées ou deux sous-bandes et on la supposeconstante (voir le tableau des valeurs de E p dans [70]. La densité de probabilité estalorsS(k ′ ,k) = 2π 2 (D AP ) 2 q 2[Np2ρLE p+ 1 ± 1 2 2]δ(E ′ − E ∓ E p )) ] 2· [Np + 1 ± 1 2 2]δ(E ′ − E ∓ E p )= π(D AP) 2ρL.E p[q 2 z +(2µqd(1.100)

Chapitre 1. Modélisation des dispositifs 43et la fréquence d’interaction est (avec la condition de l’équation 1.95) [34]λ interAP (k) = ∫ S(k,k ′ )ρ k ′dk ′= L · π(D AP) 22π ρL.E p· [Np + 1 ± 1 2 2] ∞∫.2= (D AP) 22ρE p[Np + 1 2 ± 1 20] +∞ ∫[q 2 z +−∞[2mE(1+αE)( ) ] 2 2µqδ(E ′ − E ∓ Edp )dk ′ z+ 2m′ E ′ (1+α ′ E ′ ) 2 2√×δ(E ′ − E ∓ E p ) · √ m ′ (1+2α ′ E ′ ) 2E ′ (1+α ′ E ′ ) dE′[= (D √ AP) 2√Np2ρEp+ 1 ± 1 2 2]×m ′ [1+2α ′ (E±E√ p)]×(E±Ep)[1+α ′ (E±E p)]×[2mE(1+αE) 2+ 2m′ (E±E p)[1+α ′ (E±E p)] 2]+ 4µ2 qd 2+ 4µ2 qd 2 ]×(1.101)L’interaction électron - phonon optique et le mode RBM pour le NTCPour les phonons optiques, du fait que les atomes vibrent en opposition de phase,le changement d’énergie est directement lié au déplacement des atomes [69]. Lepotentiel de couplage correspondant s’écrit doncH e−pOP = D OP · u(r)∑√= D OP 2ρLω q[a q .e iq·r + c.c.]q(1.102)Le potentiel de déformation D OP est ici homogène à une énergie par unité de longueur(J/m). Cette formule s’applique également au mode RBM, parce que les atomesvibrent radialement. De façon similaire, on peut calculer la fréquence d’interactionavec la même règle de sélection que dans l’équation (1.95), mais il n’y a pas de termeq 2 dans l’équation. L’énergie des phonons optiques et RBM est considérée commeconstante [44]. La densité de probabilité s’écrit : 2 (D OP/RBM) 2[S(k ′ ,k) = 2π Np 2ρLE p+ 1 ± 1 2 2]δ(E ′ − E ∓ E p )= π(D OP/RBM) 2ρL.E p· [Np + 1 ± 1 2 2]δ(E ′ − E ∓ E p )(1.103)

44 1.2. Modélisation des nanotubes de carboneLa fréquence d’interaction pour des phonons optiques et RBM s’écrit [34] :λ OP/RBM (k) = ∫ S(k,k ′ )ρ k ′dk ′= L · π(D OP/RBM) 22π ρL.E p· [Np + 1 ± ] 1 +∞ ∫δ(E ′ − E ∓ E2 2p )dk ′ z−∞= (D OP/RBM) 2 [Np2ρE p+ 1 ± ] ∞∫1 √2 2 .2 δ(E ′ − E ∓ E p ) · √ m ′ (1+2α ′ E ′ ) 2E0′ (1+α ′ E ′ ) dE′= (D OP/RBM) 2 [ √√ Np 2ρEp+ 1 ± 1 2 2]×m ′ [1+2α ′ (E±E√ p)](E±Ep)[1+α ′ (E±E p)](1.104)Le mode optique intra-vallée met en jeu les phonons du centre de la zone de Brillouin,on l’appelle le mode Γ LO . De plus, le mode K LO correspond à l’interaction inter-valléepar des phonons de bord de zone. Pour les énergies des modes K LO et Γ LO , nousutilisons respectivement 180 meV [44] et 200 meV [73]. Ces valeurs sont proches decelles utilisées par d’autres auteurs [71], [74], [72], [75].Pour le potentiel déformation D OP , on utilise la valeur D K OP = 25 eV/A◦ pour lemode K LO . C’est presque la valeur 24.67 eV/A ◦ utilisée dans [71] et 25.6 eV/A ◦pour le NTC métallique dans [76], mais plus fort que la valeur 15.9 eV/A ◦ dans[72] et 17.86 eV/A ◦ dans [44]. Quant au mode Γ LO du NTC, on utilise la valeurD Γ OP = 12.8 eV/A◦ , comparée avec la valeur 13 eV/A ◦ dans [44] ou 11.75 eV/A ◦dans [72].Lazzeri [75] a confirmé que pour des NTC de diamètre ≥ 0.8 nm, la courbure n’affectepas le couplage électron-phonon.L’énergie du mode RBM a été déterminée par des calculs ab-initio [77], [78] pour leNTC (n, 0) est EpRBM = C 1 /d t , où d t est le diamètre du NTC, C 1 = 27.9 meV.nm.La force de l’interaction électron - mode RBM dépend également de l’indice n. Onutilise la valeur D RBM = 0.65 eV/A ◦ et 1.28 eV/A ◦ pour NTC (19, 0) et (10, 0)respectivement [78], [77].

Chapitre 1. Modélisation des dispositifs 451.3 Modélisation des contacts SchottkyAfin de modéliser ces SB-CNFET à partir du simulateur particulaire Monte Carlodécrit précédemment, j’ai développé un modèle qui permet de décrire les contactsSchottky source et drain de ces transistors. Tout d’abord, je vais présenter la théoriede base de l’approximation Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB) qui est utilisée pourdéterminer le coefficient de transmission dans la simulation Monte Carlo. Pour calculerle courant, c’est-à-dire le nombre de particules injectées aux contacts Schottky,j’utiliserai la formule de Landauer.1.3.1 Approximation WKBOn considère l’équation de Schrödinger indépendante du temps et unidimensionnelle− 2∂ 22m ∂z2Ψ(z) + V (z)Ψ(z) = EΨ(z) (1.105)Quand l’énergie des particules est inférieure à la hauteur de la barrière de potentiel,on peut prouver que la probabilité de transmission est non nulle. C’est l’effettunnel. Pour un profil de potentiel quelconque, on peut utiliser la méthodeWKB (Wentzel-Kramers-Brillouin) pour calculer le coefficient de transmission. Cetteméthode permet d’obtenir des solutions approximatives de l’équation de Schrödingerindépendante du temps à une dimension. Dans notre simulateur elle est utiliséepour calculer le coefficient de transmission à travers les contacts Schottky.L’idée essentielle est d’imaginer qu’une particule d’énergie E se déplace dans unerégion où le potentiel V (z) est constant [79]. Si E > V , la fonction d’onde est de laforme :Ψ(z) = Ae ±ipz/ , p = 2m √ E − V (1.106)La fonction d’onde est sous une forme d’onde plane oscillante, avec une longueurd’onde λ = 2π/p et une amplitude constante A. Maintenant, si l’on considère queV (z) n’est pas constant, mais varie lentement sur la longueur λ, il est raisonnablede supposer que Ψ reste de forme sinusoïdale, avec une longueur d’onde et uneamplitude qui changent lentement avec z. On peut réécrire l’équation de Schrödingerd 2 Ψdz = 2 −p2 2Ψ (1.107)

46 1.3. Modélisation des contacts Schottkyoù p(z) = 2m √ E − V (z) est la formule classique de l’impulsion. En général, Ψ estla fonction complexe que l’on peut exprimer par l’amplitude A(z) et la phase ϕ(z)qui sont tous les deux réels.Ψ(z) = A(z)e iϕ(z) (1.108)En utilisant l’exposant prime pour noter la dérivée par rapport à z, on trouvedΨdz = (A′ + iAϕ ′ )e iϕ (1.109)d 2 Ψdz 2 = (A′′ + 2iA ′ ϕ ′ + iAϕ ′′ − Aϕ ′2 )e iϕ (1.110)En mettant les équations (1.109, 1.110) dans (1.107), on obtientA ′′ + 2iA ′ ϕ ′ + iAϕ ′′ − A(ϕ ′ ) 2 = − p22A (1.111)On obtient alors deux équations réelles en séparant la partie réelle et la partieimaginaire]A ′′ = A[(ϕ ′ ) 2 − p2 2(1.112)(A 2 ϕ ′ ) ′ = 0 (1.113)Jusqu’ici, les deux équations sont entièrement équivalentes à l’équation originale deSchrödinger. La deuxième équation est facilement résolue à partir deA 2 ϕ ′ = K 2 ou A = K √ ϕ′(1.114)où K est une constante réelle. Par contre, on ne peut pas résoudre la premièreéquation sans approximation : on suppose que l’amplitude A varie lentement, tel quele terme A ′′ est négligeable. Plus précisément, on suppose que A ′′ /A est négligeabledevant (φ ′ ) 2 et p 2 / 2 . Dans ce cas, on peut supprimer la partie gauche de l’équation(1.112) et on a :et alorsLa fonction d’onde devient(ϕ ′ ) 2 = p2 dϕou2 dz = ±p ϕ(z) = ± 1 Ψ(z) ∼ =∫(1.115)p(z)dz (1.116)√ K e ± i ∫ p(z)dz (1.117)p(z)

Chapitre 1. Modélisation des dispositifs 47où K est maintenant une constante complexe. Jusqu’à maintenant, on suppose queE > V tel que p(z) est réel. Mais on peut écrire facilement le résultat correspondantà la région non classique (E < V ) avec p(z) imaginaire et la fonction d’onde réelleΨ(z) ∼ =K√ e ± 1 ∫ |p(z)|dz (1.118)|p(z)|Maintenant, on considère le cas où une particule traverse une barrière de potentielpar effet tunnel (figure 1.14). A gauche de la barrière (z < 0)ψ(z) = Ae ikz + Be −ikz (1.119)où A est l’amplitude de l’onde incidente et B est l’amplitude de l’onde réfléchie etk = √ 2mE/ . A droite de la barrière (z > z 0 ),ψ(z) = Fe ikz (1.120)où F est l’amplitude de l’onde transmise. La probabilité tunnel est donnée par :T =|F |2|A| 2 (1.121)Dans la barrière de potentiel (0 < z < z 0 ), l’approximation WKB donneψ(z) ∼ =C√ e|p(z)|z∫ 1|p(z ′ )|dz ′0 +D√|p(z)|e − 1 z∫0|p(z ′ )|dz ′ (1.122)Le coefficient C doit être petit parce que la fonction augmente exponentiellement(il devrait être nul si la barrière était infiniment large). Le rapport des amplitudesV(z)ABEFz0 z 0Fig. 1.14 – L’illustration du cas tunnel où l’énergie de la particule estinférieure à la barrière du potentiel.

48 1.3. Modélisation des contacts Schottkydes ondes incidentes et transmises est déterminé essentiellement par la diminutionde l’exponentielle traversant la région non classique :|F ||A| ≈ e− 1 a∫0|p(z ′ )|dz ′ (1.123)Ce qui donneT ∼ = e −2γ avec γ ≡ 1 ∫ a|p(z)| dz (1.124)Attention, l’approximation WKB est valable pour une barrière de potentiel suffisammentlarge. Au point de retour classique, si la barrière du potentiel est verticale,la fonction d’onde donnée par WKB (l’équation 1.118) n’a pas de sens, parce quep(z) = 0. Une technique spécifique doit alors être appliquée pour traiter le voisinagedu point de retour classique (par exemple dans [79]). Mais l’expression du coefficientde transmission (1.124) reste valable.01.3.2 La formule de LandauerLe courant injecté par un contact dans un système balistique 1D peut être donnépar la formule de Landauer [45], [21]I = 2e ∫T(E)M(E)f(E)dE (1.125)hoù h est la constante de Planck, T(E) est le coefficient de transmission (calculé parexemple par la méthode WKB, voir paragraphe précédent), M(E) est le nombre desous-bandes du conducteur, f(E) = ((E −E F )/k B T +1) −1 est la fonction de Fermi-Dirac correspondant au niveau de Fermi au contact. Cette formule est appliquée pourle cas où il y a un nombre infini de modes d’énergie dans le contact, et quelquesmodes dans le conducteur. Elle ne prend en compte ici que la composante du courantdue aux électrons injectés du contact vers le canal.Dans la simulation Monte Carlo, on ne considère que la première sous-bande pourinjecter les particules, puis M(E) = 2 en prenant en compte la dégénérescence despin. On utilise la formule (1.125) pour calculer le nombre de particules entrant auxcontacts après chaque pas sur le temps (temps au bout duquel on met à jour le

Chapitre 1. Modélisation des dispositifs 49E maxEEE minzFig. 1.15 – Forme de la barrière Schottky.potentiel du système en résolvant l’équation de Poisson.) L’énergie des particulesinjectées est tirée au sort à partir d’un nombre aléatoire r 1 :E∫T(E ′ )f(E ′ )dE ′Er 1 =min(1.126)+∞ ∫T(E ′ )f(E ′ )dE ′E minoù E min est l’énergie de la bande de conduction dans le canal (figure 1.15). Quandune particule dans le canal approche la barrière Schottky, deux cas sont à considérerpour la faire sortir. Si l’énergie de la particule est inférieure à l’énergie E max , onva comparer le coefficient de transmission T(E) avec un nombre aléatoire r 2 : sir 2 < T(E), la particule sort par effet tunnel, si r 2 > T(E) la particule est réfléchiedans le canal. Dans le cas où l’énergie de la particule est supérieure à l’énergie E max ,elle sort normalement comme dans le cas d’un contact ohmique.1.3.3 Premiers résultats obtenus par simulation Monte CarloDans cette partie, nous avons simulé une diode Schottky. La figure 1.16 décrit lagéométrie de la diode à contact Schottky unique simulée avec les électrodes de métalattachées directement au nanotube. On utilise deux métaux différents afin d’obtenirdeux contacts de nature différente : d’un côté, une barrière Schottky avec le nanotubeet de l’autre, un contact ohmique. Quelques expériences montrent que la résistancede contacts est faible comme dans les MOSFET traditionnels [80], [81], [65], [82].De nombreuses équipes ont montré que le transport est dominé par l’injection desporteurs au niveau des barrières Schottky [83], [84], [85], [86].

50 1.3. Modélisation des contacts SchottkyFig. 1.16 – Schéma de la structure de la diode Schottky simulée.Le phénomène de « Fermi-level pinning » joue un mineur rôle à l’interface NTCsemiconducteur - métal [87]. Donc le type de métal a une forte influence sur lespropriétés de contacts [88].J’ai utilisé le logiciel MONACO pour simuler cette diode dans lequel j’ai intégréle modèle d’injection aux contacts Schottky métal-NTC (partie 1.3). Le coefficientde transmission tunnel à travers la barrière Schottky formée est donc calculé grâceà l’approximation WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin). La figure 1.17a montre sonévolution suivant l’énergie des porteurs pour différentes tensions de polarisation dela diode. Ce coefficient permet de calculer, d’une part, la probabilité pour qu’uneparticule présente dans le nanotube soit collectée par le métal à travers la barrièreSchottky par effet tunnel, d’autre part, le nombre de particules à injecter depuisFig. 1.17 – a) Evolution du coefficient de transmission par rapport àl’énergie des porteurs calculée par la méthode ; b) WKB allure de la bandede conduction le long du NTC à différentes tensions de polarisation avecune barrière Schottky Φ B = 0.3 eV.

Chapitre 1. Modélisation des dispositifs 51Fig. 1.18 – Caractéristique I-V de la structure à un contact Schottky pourune hauteur de barrière Schottky Φ B = 0.3 eV et un dopage N D = 10 5 m −1 .le métal au cours d’un pas sur le temps entre deux résolutions de l’équation dePoisson dans l’algorithme Monte Carlo qui donne l’évolution du potentiel le longde la structure (figure 1.17b). Le courant lié à l’injection du métal vers le nanotubeest obtenu par la formule de Landauer-Büttiker [45]. Pour le transport des porteursdans le canal, il est tenu compte du principe de Pauli (voir paragraphe 1.1.4).Sur la figure 1.18 on montre les courbes I-V issues de la simulation d’un NTC zigzag(16, 0) dopé N de longueur 400 nm pour une structure mixte avec un contactSchottky et un contact ohmique (figure 1.16). On voit bien qu’en régime inverse eten régime faiblement direct le courant est dominé par le courant tunnel à traversla barrière Schottky. Quand la tension appliquée est forte, le courant thermoïoniquedomine le courant total. De plus, l’allure de la courbe et l’ordre de grandeur ducourant sont satisfaisants par comparaison avec des résultats expérimentaux [89]présentés sur la figure 1.19 qui montre la caractéristique I-V AK d’une diode p-n àNTC avec Pd (5.1 eV) et Ca (2.9 eV). Des résultats expérimentaux similaires ont étéobtenues par [90].J’ai ensuite étudié l’influence de la hauteur de barrière Schottky Φ B . Comme prévu,le courant augmente quand on diminue la hauteur de la barrière Schottky Φ B (figure1.20). Quand on augmente le dopage N D , le courant augmente (figure 1.21). En effet,la barrière Schottky devient de plus en plus fine et donc transparente au fur et àmesure que le dopage augmente.La figure 1.22 présente les résultats obtenus pour des structures à un et deux contacts

52 1.3. Modélisation des contacts SchottkyFig. 1.19 – Courbe expérimentale I-V d’une structure avec un contactSchottky d’après la référence [89].Fig. 1.20 – Caractéristique I-V de la structure à un contact Schottky pourdifférentes hauteurs de barrières Schottky Φ B avec un dopage N D = 10 5 m −1 .Fig. 1.21 – Caractéristique I-V de la structure à un contact Schottky pourune hauteur de barrière Schottky de Φ B = 0.3 eV et différents dopages N D .

Chapitre 1. Modélisation des dispositifs 53Fig. 1.22 – Comparaison des caractéristiques I-V d’une diode Schottky ànanotube de longueur 400 nm contacté avec des contacts ohmiques et/ouSchottky, Φ B = 0.3 eV, N D = 10 5 m −1 .Schottky en comparaison avec une structure à deux contacts ohmiques dans laquellele courant est comme attendu plus grand et la caractéristique est linéaire. Il est clairque les contacts ohmiques favorisent l’obtention de courants plus grands à l’étatpassant du transistor.Dans cette simulation, on considère des jonctions Schottky idéales caractérisées parune hauteur de barrière Schottky Φ B , sans tenir compte de la nature chimique descontacts.Nous avons donc testé la validité de l’approximation WKB utilisée dans nos simulationsprécédentes pour le calcul du coefficient de transmission. Pour cela, nous avonsutilisé dans nos simulations un coefficient de transmission issu d’un calcul exact parfonction de Green dans le cadre de la masse effective, effectué par François Triozon(CEA, résultat non publié).Pour cette première tentative en simulation fonction Green, la barrière Schottky estformée au niveau d’un contact nanotube-nanotube alors que le contact considéréen WKB est de type métal-nanotube. Cette différence, au niveau de la nature ducontact, limite les possibilités de comparaison à faibles tensions de polarisation etexplique la différence de courant à partir de V GS = 0.5 V.Dans la gamme de tension considérée, ces deux modèles donnent des résultats tout àfait comparables, mais afin de pouvoir conclure il faudrait adapter le modèle fonction

54 1.3. Modélisation des contacts SchottkyFig. 1.23 – Comparaison des résultats issus de calculs WKB et fonction deGreen, V DS = 0.2 V.de Green pour pouvoir se placer dans des situations parfaitement comparables.

Chapitre 2Simulation des transistors àcontacts SchottkyLe transistor à nanotube de carbone à effet de champ (CNTFET) a été réalisépour la première fois par le groupe de l’Université Delft [65] puis par le grouped’IBM [82]. Le transport dans les premiers CNTFETs était de type p (les trousétaient les porteurs majoritaires). Depuis la première démonstration expérimentale,de nombreuses études ont porté, d’une part, sur la compréhension des mécanismesde transport dans le canal de CNTFET et, d’autre part, sur les effets des différentsparamètres matériaux et géométriques sur les performances des transistors. Le fortpotentiel des NTC à être utilisés dans des circuits en tant que canal de conductiondans les transistors à effet de champ a déjà été démontré en exploitant, d’une part laforte mobilité intrinsèque des porteurs [91] et, d’autre part, le caractère sensiblementbalistique du transport lié à l’unidimensionnalité de ce matériau [92].Au niveau fabrication, différentes géométries de grille, ont été réalisées : à grilleunique arrière (back gate) [93] ou avant (top gate) [94], à double grille [95], [96].L’utilisation d’oxyde à forte permittivité permet de renforcer le contrôle de la grillesur le canal de CNTFET [97]. Un des points les plus importants est la nature de lajonction métal - nanotube aux contacts de CNTFET. L’observation d’une barrièreénergétique pour l’injection des électrons et des trous à l’interface métal - nanotubeest rapportée pour la première fois par Zhou et al. pour des contacts nickel [98].Les auteurs montrent que la résistance de transistor diminue quand on augmente la

56température, c’est-à-dire que le courant est amélioré par le courant thermoïonique.C’est la signature d’une barrière Schottky.Les caractéristiques de CNTFET avec des métaux de travail de sortie différentpeuvent être expliquées par le modèle de la barrière Schottky aux contacts [99], [84],la contribution du courant tunnel et de courant thermionique dans la caractéristiquede CNTFET [93].C’est pourquoi, en complément de la thèse de Hugues Cazin [34] dans laquelle seulsles CNTFET à contacts ohmiques sont étudiés, je présente, dans ce chapitre, l’étuded’un transistor à grande longueur de grille (Boltzmann) à contacts Schottky parsimulation Monte-Carlo.Dans un premier temps, je présente les résultats de caractéristiques statiques destransistors à contacts Schottky. Nous nous intéressons tout d’abord à l’étude de cescaractéristiques au travers des différents régimes de fonctionnement d’un CNTFET.Nous basons pour cela nos observations sur l’étude des différents résultats microscopiquesaccessibles avec notre simulateur MONACO. Nous nous intéressons ensuite àl’influence sur les performances statiques de la hauteur de barrière Schottky et desparamètres géométriques comme la longueur de grille et le diamètre du nanotube.Puis, je présenterai les performances haute fréquence (HF) des CNTFET simulésau travers de l’évolution de la fréquence de transition f T en fonction des différentsparamètres géométriques du transistor CNTFET à barrière Schottky.Pour finir, une comparaison de l’ensemble des performances statiques et dynamiquessera menée avec un transistor de géométrie similaire à contacts ohmiques.

Chapitre 2. Simulation des transistors à contacts Schottky 572.1 Performances statiques des transistors à contactsSchottkyNTCoxydeMétalEOT =épaisseur d’oxydeéquivalente en SiO 2Fig. 2.1 – Modèle de transistor à contacts Schottky avec la grille cylindrique.La structure (figure 2.1) correspond à deux contacts métalliques reliés à un nanotubesemi-conducteur. Une troisième électrode, la grille (G), est autour du canal etisolée du canal semi-conducteur par un film diélectrique d’épaisseur t ox et de permittivitédiélectrique ε ox . La géométrie coaxiale des dispositifs est considérée commeoptimale pour les dispositifs [100] vis-à-vis du contrôle de la grille. Comme le nomSB-CNTFET l’indique, les deux contacts métal/tube source (S) et drain (D) sontde nature Schottky.Ce type de structure cylindrique a été considérée théoriquement par quelques auteurscomme référence au niveau performances [83], [19]. La première réalisationexpérimentale d’un tel transistor a donné des résultats prometteurs [12].L’électrostatique d’une telle structure est décrite par la résolution de l’équationde Poisson 2D cylindrique (partie 1.1.2). Le transport est simulé par la résolutionparticulaire Monte Carlo de l’équation de Boltzmann (méthode décrite dans la partie1.1) couplée de façon auto cohérente avec l’équation de Poisson cylindrique, ce quinous a permis de simuler un nanotube réellement cylindrique et non rectangulaire,comme dans la thèse précédente d’Hugues Cazin dans laquelle ce modèle de Poisson2D à symétrie cylindrique n’avait pas été développé. Le modèle de contact Schottky(décrit dans la partie 1.3), initialement développé pour des structures unipolaires,est étendu aux cas du transport ambipolaire dans les CNTFET.Sauf mention contraire, nous considérons dans ce travail un nanotube semiconducteurde chiralité zigzag (19, 0), ce qui correspond à la famille de chiralité (3p + 1, 0)offrant les meilleures performances, comme le montre la variation de la mobilité

58 2.1. Performances statiques des transistors à contacts SchottkyFig. 2.2 – Mobilité des électrons et masse effective m ∗ 1 de la première sousbandeen fonction de l’indice n pour les chiralités (3p + 1, 0) et (3p + 2, 0) ;les valeurs de mobilité du silicium et de matériaux III-V sont reportées (à300 K) [34].sur la figure 2.2 directement liée à celle de la masse effective de la première sousbande[34]. Son diamètre est de 1.5 nm et il possède un gap en énergie E G = 0.55 eV,avec comme masse effective dans les trois premières sous-bandes respectivement0.0476m 0 , 0.129m 0 , 0.133m 0 où m 0 est la masse de l’électron libre [34].Nous considérons que le canal intrinsèque (non dopé) d’une longueur de 100 nmest entouré de 3 nm d’oxyde de forte permittivité et d’une épaisseur arbitraire demétal (Pd). En considérant que modifier l’épaisseur d’une couche d’oxyde équivautà changer la valeur de sa permittivité pour une valeur de capacité C ox donnée, nousparlerons dans la suite de ce manuscrit en terme de valeur de capacité d’oxydeC ox ou d’épaisseur d’oxyde SiO 2 équivalente (EOT). Les EOT considérées sont lesépaisseurs d’oxyde équivalentes obtenues à partir de l’expression analytique de lacapacité par unité de longueur de deux conducteurs coaxiaux [101] :C ox =2πε ox 2πε( ) = ( SiO2)rln NTC +t ox rr NTCln NTC +EOTr NTCoù r NTC est le rayon du nanotube, t ox l’épaisseur réelle du diélectrique, EOT l’épaisseuréquivalente en SiO 2 , ε ox et ε SiO2 sont respectivement les permittivités du diélectriqueconsidéré et du SiO 2 (ε SiO2 = 3.9).Dans un premier temps, nous allons considérer un EOT de 5.3 nm, correspondant

Chapitre 2. Simulation des transistors à contacts Schottky 592.144.4254.72.5662.2850.553.165Métal HfO 2 NTC (19,0)Fig. 2.3 – Diagramme de bandes de la structure métal - oxyde - NTC utilisédans la simulation.à une permittivité de 3 et un oxyde d’épaisseur de 3 nm. La hauteur de la barrièreSchottky sera égale à 0.275 eV (mid-gap), avant d’être utilisée comme un paramètrevariable.Ci-dessus sur la figure 2.3 est représenté le diagramme de bandes de la structuremétal - oxyde - NTC du transistor CNTFET. Le travail de sortie du NTC non dopéest défini comme la différence entre l’énergie du vide et le milieu de la bande interditeet ne dépend quasiment pas du type de NT, c’est-à-dire 4.7 eV, valeur déterminéepar la méthode ab-initio [102]. Le travail de sortie du métal de grille est choisi égalà 4.7 eV pour que la bande de conduction dans le canal soit plate pour une tensionde grille nulle.2.1.1 Les caractéristiques I-V des transistors Schottky :conséquences de l’ambipolarité du transportCaractéristique I D -V GSLe transport ambipolaire a été mis en avant au travers de nombreux dispositifsexpérimentaux [86], [84], [103] ou théoriques [104].La figure 2.4 présente les caractéristiques de transfert I D (V GS ) d’un SB-CNTFETavec un EOT de 5.3 nm, une longueur de canal de 100 nm et une hauteur de barrièreSchottky « mid-gap » égale à 0.275 eV, pour V DS positive dans le cas a) et V DS

60 2.1. Performances statiques des transistors à contacts SchottkyFig. 2.4 – Caractéristiques de transfert du SB-CNTFET avec un EOT =5.3 nm et une longueur de canal de 100 nm, Φ B = 0.275 eV : a) transport ppour V DS positive, b) transport n pour V DS négative.négative dans le cas b) variant en valeur absolue de 0.1 V à 0.4 V. Comme on peut levoir en comparant les figures 2.4a) et 2.4b), la symétrie entre les bandes de conductionet les bandes de valence du NTC conduit à des caractéristiques de CNTFETsymétriques pour des tensions de drain négatives et positives. Dans la suite de cettepartie, on ne considère que la gamme de tensions de drain positives. L’analyse ducourant de la figure 2.4a) montre que la branche de courant du côté gauche (respectivementdu côté droit) par rapport au courant minimal I OFF est constituée par uncourant de trous et appelée branche p (respectivement par un courant d’électronset appelée branche n). Au niveau du courant minimal, le courant de trous est égalà celui des électrons.A forte tension de grille V GS , le courant total est essentiellement celui des électronsinjectés de la source vers le drain. Au contraire, à faible tension de grille, des troussont injectés à travers la barrière Schottky de drain et contribuent au courant total.La figure 2.5 présente la structure de bandes le long du nanotube, entre la source et ledrain, dans les deux cas d’un transport majoritairement de trous (V GS = −0.2 V) etmajoritairement d’électrons (V GS = 0.2 V) pour illustrer la contribution des électronset des trous au courant total.A faible tension de grille (la figure 2.5a), la courbure de bande de conduction s’opposeà l’injection des électrons de la source. En revanche, la barrière Schottky de drainest suffisamment basse et fine pour permettre l’injection des trous. Le courant totalest donc essentiellement dû à la contribution des trous du drain vers la source.

Chapitre 2. Simulation des transistors à contacts Schottky 61Fig. 2.5 – Profils de bandes de conduction et de valence, V DS = 0.2 V : a)pour une faible tension de grille V GS = −0.2 V, b) pour une forte tension degrille V GS = 0.2 V.Au contraire, à forte tension de grille (la figure 2.5b)), la bande de conduction estabaissée côté source et la barrière Schottky devient partiellement transparente pourles électrons qui contribuent alors fortement au courant total.La part du courant tunnel dans ces transistors est dominante [93]. Elle l’est d’autantplus que le contrôle électrostatique du canal par la grille est efficace [105] et que lamasse effective des électrons dans le nanotube est faible.Le caractère quasi-balistique du transport sera analysé en détail dans le chapitre 3.Nous pouvons d’ores et déjà signaler le champ quasi nul qui règne dans le canal dutransistor (bande de conduction plate de la figure 2.5) ce qui est associé à un forttransport balistique [92], [106].Nous pouvons définir les paramètres importants qui caractérisent les différents régimesd’utilisation du transistor :• Le courant de drain I ON : il est défini comme le courant débité par le transistorlorsque V GS = V DS = V DD , où V DD correspond à la tension d’alimentation. Il doitêtre le plus élevé possible, notamment pour améliorer la vitesse de commutationdes portes en logique CMOS.• Le courant de drain I OFF : dans un transistor MOSFET classique, il est définicomme le courant à l’état bloqué du transistor lorsque V DS = V DD et V GS = 0 V.Pour un transistor SB-CNTFET, I OFF est le courant minimal correspondant àV DS = V DD . I OFF doit être le plus faible possible afin de limiter la consommationstatique P s = V DD .I OFF dissipée par le transistor. Dans ce travail, on définira un

62 2.1. Performances statiques des transistors à contacts SchottkyI OFF à chaque V DS , correspondant à des tensions d’alimentation différentes. Ondéfinira le régime sous le seuil, par analogie avec le transistor MOSFET conventionnel,comme étant le régime de faible courant proche de I OFF , contrôlé exponentiellementpar la tension de grille.• La pente sous le seuil S : elle définit la pente d’évolution du courant en régimesous le seuil. Elle correspond à la tension V GS à appliquer pour augmenter I D d’unedécade et est définie par : S = (∂ log (I D )/∂V GS ) −1 . Dans le cas des transistorsMOSFET classique, une pente sous le seuil S est supérieure ou égale à la valeurlimite théorique bien connue de 60 mV/dec. Le but est d’atteindre cette limiteafin d’augmenter la rapidité de commutation entre l’état bloqué et l’état passantdu transistor sur une faible plage de tension, ce qui peut s’avérer particulièrementintéressant et nécessaire pour des circuits basse consommation.• La transconductance g m : c’est la réponse en courant du transistor(à l’augmentationde la charge du canal induite par V GS . Elle est définie par : g m = DS ∂I∂V GS.)V DS =c steLe transistor est d’autant « meilleur » que la transconductance g m est élevée.Nous allons maintenant analyser l’effet du transport ambipolaire sur le courant sousle seuil à tension de grille donnée (V GS = 0.1 V) en changeant la tension source-drainpositive (fig. 2.4a). Comme le montre la figure 2.6, dans cette configuration le potentieldans le canal est fixé par la tension de grille ; ainsi la tension de drain ne moduleque la transparence de la barrière Schottky au niveau du drain. A V DS = 0.1 V, labarrière Schottky pour les électrons à la source est plus transparente que celle pourles trous au drain. Comme on le voit sur les zooms des bandes de conduction côtésource et de valence côté drain de la figure 2.6b), à V DS = 0.2 V, les deux barrièressont équivalentes, alors qu’à V DS = 0.3 V, c’est l’injection des trous qui est favorisée.L’abaissement de la barrière Schottky au drain augmente la contribution destrous dans le courant total, comme le montre la caractéristique de la figure 2.4a). Labranche p est donc beaucoup plus dépendante de V DS que la branche n et conduit àun décalage du courant minimal suivant V DS [96].On a donc montré que la condition d’obtention du courant minimal I OFF est que labarrière Schottky à la source et au drain soient identiques (le courant d’électronségale au courant de trous). La condition qui correspond à l’obtention de I OFF estV GS = V DS /2, cas d’une bande de conduction plate pour V GS = 0 [107].Dans le cas d’une configuration à peu près symétrique de potentiel dans la structure

Chapitre 2. Simulation des transistors à contacts Schottky 63Fig. 2.6 – a) Profils de bande de conduction et de valence pour V GS = 0.1 Vet pour différentes tensions de drain appliquées (V DS = 0.1, 0.2, 0.3 V) ; b)zoom sur les bandes de conduction côté source et de valence côté drain.(V GS = 0.1 V, V DS = 0.2 V), les figures 2.7 et 2.8 présentent respectivement les profilsde densité et de vitesse des électrons et des trous le long de l’axe source-drain. Cesprofils présentent la même symétrie et justifient que l’on soit à un point d’équilibredes courants d’électrons et de trous, c’est-à-dire à un minimum du courant total (fig.2.4a).Dans le canal du transistor, le champ est quasi nul conduisant à un transport purementdiffusif caractérisé par des profils de concentration et de vitesse linéaires.Il est clair que la prise en compte du transport ambipolaire avec la contributiondes trous dans le courant conduit à une diminution drastique du rapport I ON /I OFFquand on augmente la tension de drain V DS du fait d’une forte augmentation deI OFF . La présence d’un nombre équivalent d’électrons et de trous dans le canal d’untransistor peut être favorable pour des dispositifs d’émission de lumière [108], [53].

64 2.1. Performances statiques des transistors à contacts SchottkyFig. 2.7 – Densité d’électrons et de trous le long du canal à V GS = 0.1 V,V DS = 0.2 V.Fig. 2.8 – Vitesse des électrons et des trous le long du canal à V GS = 0.1 V,V DS = 0.2 V.Mais dans l’application de MOSFET, particulièrement en électronique numérique, cepoint est très défavorable. Il faut donc choisir V DS suffisamment faible pour obtenirun rapport I ON /I OFF acceptable [107].Les caractéristiques I D − V DSNous proposons à présent de nous intéresser aux caractéristiques de sortie des transistorsCNTFET simulés. Dans un premier temps, nous nous intéressons à la composantedu courant due aux électrons. Sur la figure 2.9 on trace le courant tunnelet le courant total d’électrons à la source. On voit que le comportement tunnel est

Chapitre 2. Simulation des transistors à contacts Schottky 65Fig. 2.9 – Courant tunnel et courant total d’électrons injectés par la source ;L = 100 nm, EOT = 5.3 nm.dominant dans le cas d’un courant d’électrons injectés par la source dans le canal.La composante tunnel du courant à travers la barrière Schottky peut être réduiteou éliminée en dopant les zones de contact pour leur donner un caractère ohmiqueet rendre le dispositif unipolaire [109], [96], [110].Une autre solution serait de jouer sur l’architecture de l’oxyde : un oxyde asymétriquepeut éliminer le courant I OFF [111]. Sur la figure 2.10 l’oxyde de grille est de 2 nmà la source et de 100 nm au drain avec les traits de contours pour le potentielélectrostatique. Une très fine épaisseur d’oxyde à la source induit un champ trèsfort et favorise alors le courant tunnel d’électrons. Au contraire, l’oxyde très épaisau drain conduit à un faible champ qui minimise l’effet tunnel pour les trous. CetteFig. 2.10 – Structure asymétrique de l’oxyde de grille de CNTFET : 2nmcôté source et 100 nm côté drain.

66 2.1. Performances statiques des transistors à contacts Schottkystructure permettrait donc de supprimer le courant de trous au drain, mais elle n’estmalheureusement pas réaliste à l’heure actuelle.Nous allons maintenant étudier l’allure de la caractéristique de sortie I D (V DS ) du SB-CNTFET et l’influence du transport ambipolaire. On analyse le courant d’électronset de trous séparément dans une large gamme de tension de grille V GS , respectivementsur les figures 2.11a) et 2.11b).Sur la figure 2.11a), on remarque qu’à fort V GS , le courant d’électrons I DS saturesur une gamme de valeurs de V DS limitées, comme dans le MOSFET traditionnel,puis il augmente à fort V DS parce que la contribution des trous modifie la bandede conduction dans le canal. En effet, on peut voir sur la figure 2.12, qui montre leprofil de bandes pour la tension de grille V GS = 0.2 V, avec différentes tensions dedrain V DS de 0.5 V à 0.8 V, qu’à fort V DS , le courant de trous abaisse les bandes dansFig. 2.11 – Caractéristique I D -V DS du SB-CNFET pour différentes tensionsde grille V GS , L = 100 nm, EOT = 5.3 nm : a) courant d’électrons, b) courantde trous, c) courant total.

Chapitre 2. Simulation des transistors à contacts Schottky 67Fig. 2.12 – Le profil de bandes pour V GS = 0.2 V,V DS = 0.5 − 0.8 V pour lalongueur L = 100 nm, EOT = 5.3 nm.le canal, ce qui fait aussi augmenter le courant d’électrons à la source. En revanche,au drain, le décalage du niveau de Fermi en fonction de V DS est plus rapide que ledécalage de la bande de valence et c’est pourquoi le courant de trous augmente trèsvite, presque linéairement en fonction de la tension de drain (figure 2.11b).Le courant total I DS est la somme des courants d’électrons et de trous. La figure2.11c) montre qu’à faible V GS , la caractéristique I DS -V DS est celle des trous (figure2.11b) et à fort V GS , elle est plus proche de celle des électrons (figure 2.11a). Commele montre la figure 2.13, l’allure de cette caractéristique de courant total est cohérenteavec l’expérience [112], [107].Fig. 2.13 – Des résultats expérimentaux sur la caractéristique ambipolairede SB-CNTFET [107] (à gauche) et [112] (à droite.)

68 2.1. Performances statiques des transistors à contacts Schottky2.1.2 Influence des paramètres matériaux Φ B et géométriques(L G , diamètre du tube)Influence de la hauteur de la barrièreBien que les premiers CNTFET montraient préférentiellement un transport de typep, la caractéristique électronique de type p n’est pas une propriété intrinsèque destransistors à nanotube. Il a été montré pour la première fois en 2001 qu’un recuitdans le vide permettait d’obtenir un transport de type n [113]. On a pensé dans unpremier temps que l’oxygène dans l’air conduisait à un dopage de type p dans lecanal de NTC [114] ou [115], mais il a été montré [85] que l’effet de l’oxygène étaiten fait de modifier le travail de sortie du métal et donc de changer la hauteur de labarrière aux contacts en favorisant le transport des trous dans ce cas. Cependant,l’effet de l’oxygène est moins marqué dans le cas de l’utilisation d’électrodes desource et drain en gadolinium Gd [116]. Les mesures effectuées sous vide et aprèsexposition à l’air pendant 2 mois montrent une modification des caractéristiquesélectriques mais celles-ci restent de type n.En général, le travail de sortie du métal d’électrodes, la préparation de surface, lesconditions de recuit sont connus comme les principaux paramètres qui influencentla hauteur de la barrière Schottky [92], [109], [96], [110].Il est montré qu’avec des contacts de palladium (fort travail de sortie), on peutobtenir des hauteurs de barrière Schottky nulles ou légèrement négatives par rapportà la bande de valence du nanotube semi-conducteur (diamètres de NTC d t > 2 nm)[92]. Des contacts de type ohmique entre le NTC et l’or ont été démontrés [117].Alors que les hauteurs de barrière Schottky sur les semiconducteurs usuels sontgénéralement contrôlées par le phénomène de blocage du niveau de Fermi en surface,cet effet s’avère très faible dans le cas des nanotubes de carbone [87]. Ainsi, la hauteurde la barrière Schottky dépend vraiment de la différence de travail de sortie entre leNTC et le métal [90] (en supposant que les autres conditions expérimentales soientparfaites.) Des contacts avec des métaux de travail de sortie élevé (Pd, Ti) donnentlieu à un transport de type p, alors que des contacts avec des métaux de très faibletravail de sortie (Ca) conduisent à un transport de type n. Pour des métaux de

Chapitre 2. Simulation des transistors à contacts Schottky 69travail de sortie moyen, on obtient un régime de transport au caractère fortementambipolaire.Dans ce qui suit, on va étudier l’effet de la hauteur de la barrière Schottky sur lacaractéristique de CNTFET en particulier sur le courant I OFF du transistor et lerapport I ON /I OFF .Sur la figure 2.14, nous montrons la dissymétrie de la caractéristique I D -V GS résultantde la dissymétrie des barrières Schottky pour les électrons et pour les trous. Eneffet, l’abaissement de la barrière vue par les électrons côté source (Φ B = 0.1 eVet Φ B = 0 eV) entraîne une augmentation de l’injection des électrons par la sourceau détriment de l’injection des trous par le drain, comparé à la situation mid-gap(Φ B = 0.275 eV) avec une barrière d’injection identique pour les électrons et lestrous.En conséquence, lorsque la hauteur de barrière vue par les électrons diminue, lecourant minimal se déplace légèrement vers des tensions de grille plus faibles.Le profil de bande de conduction des figures 2.15a) et 2.15b) illustre l’effet de labarrière Schottky sur le transport. On peut voir que la barrière Schottky la plusfaible favorise l’injection des électrons côté source (figure 2.15a) et bloque celle destrous côté drain (figure 2.15b).De façon symétrique, la situation inverse (forte injection de trous côté drain et faibleinjection d’électrons côté source) est observée pour des V GS négatives.Fig. 2.14 – Caractéristiques I D -V GS pour trois valeurs de la hauteur debarrière Schottky aux contacts (Φ B = 0.275, 0.1 et 0 eV) en échelle logarithmique: a) à V DS = 0.1 V, b) à V DS = 0.4 V. L = 100 nm, EOT = 5.3 nm.

70 2.1. Performances statiques des transistors à contacts SchottkyFig. 2.15 – Profil de bande de conduction le long de canal pour trois valeursde hauteur de barrière Schottky (0.275, 0.1 et 0 eV) aux contacts : a)zoom côté source, b) zoom côté drain. L = 100 nm, EOT = 5.3 nm,V GS =0.3 V,V DS = 0.1 V.Ces résultats sont cohérents avec des résultats expérimentaux [99] et des résultatsthéoriques issus d’un modèle simplifié [83]. Dans [99] les auteurs considèrent descontacts entre différents métaux et différents NTC puisque la hauteur de la barrièreSchottky dépend du diamètre du NTC et de la nature du contact. Ils concluent queles meilleures performances de p-CNTFET sont obtenues pour des NTC de diamètresupérieur à 1.4 nm avec des contacts de palladium Pd (Pd a un fort travail de sortieet forme une barrière Schottky faible avec la bande de valence du NTC). Dans [83] lesauteurs montrent que la modification de la concentration d’oxygène absorbé peutêtre répercutée sur la caractéristique I D -V GS d’un SB-CNTFET, obtenue par unmodèle simplifié, par l’ajustement de la hauteur de la barrière Schottky.La compréhension du comportement du courant par rapport à la hauteur de labarrière Schottky est importante pour les applications du CNFET. Nous voyonsainsi que le transport ambipolaire peut être partiellement réduit par ajustementde la hauteur de la barrière Schottky. La dissymétrie des barrières Schottky entreélectrons et trous permet visiblement (voir figure 2.14) de diminuer le courant I OFFtout en augmentant le courant I ON et donc le rapport I ON /I OFF .La transconductance (g m ) et la pente sous le seuil (S), qui caractérisent les performancesstatiques du transistor, sont extraites de la caractéristique I D = f(V GS ) ettracées sur la figure 2.16. Comme prévu, la diminution de la hauteur de barrièreSchottky améliore à la fois g m et S.

Chapitre 2. Simulation des transistors à contacts Schottky 71Au niveau de la caractéristique I D -V DS (figure 2.17), la diminution de la hauteurde barrière Schottky conduit à une nette amélioration de la saturation du courantavec l’existence d’une zone de fonctionnement linéaire nécessaire à une utilisationen analogique. Pour une très faible hauteur de barrière Schottky, le comportementdu SB-CNTFET se rapproche de celui d’un CNTFET à contacts ohmiques avec unefaible influence de V DS sur le courant I DS saturé.Fig. 2.16 – La transconductance en fonction de la tension de grille (a) etla pente sous le seuil en fonction de V GS (b) pour trois hauteurs de barrièreSchottky. L = 100 nm, EOT = 5.3 nm.Fig. 2.17 – Caractéristique I D -V DS pour deux hauteurs de barrière Schottky,L = 100 nm, EOT = 5.3 nm.

72 2.1. Performances statiques des transistors à contacts SchottkyInfluence de EOT sur la barrière SchottkyDans cette partie, on discute l’influence de l’épaisseur d’oxyde de grille et de la permittivitésur la largeur maximale de barrière Schottky aux contacts. La compréhensionde la forme de barrière Schottky est importante si l’on veut l’approximer par uneforme simplifiée, par exemple dans un modèle compact.Il est souvent écrit que la largeur maximale de la barrière Schottky aux contactsne dépend que de l’épaisseur d’oxyde de grille, mais pas de la permittivité de lagrille [118], [119], [120]. Cette assertion est assez largement fausse, comme illustrésur la figure 2.18 qui présente des profils de bande de conduction pour trois valeursde EOT différentes, obtenues en combinant deux valeurs de tox et deux valeurs depermittivité.On voit en effet, sur la figure 2.18b) que l’épaisseur de la barrière ne dépend niuniquement de t ox ni uniquement de ε. Elle dépend en fait essentiellement de ladensité de porteurs dans le canal. On voit par ailleurs, sur la figure 2.18a), que EOTconditionne la position de la bande de conduction dans le canal, via l’efficacité de lacommande électrostatique par la grille. On peut donc bien considérer EOT commele paramètre pertinent qui détermine le contrôle électrostatique du transistor. Il estclair que la barrière Schottky est d’autant plus fine que la permittivité est forte ouque l’épaisseur de l’oxyde est fine.Fig. 2.18 – a) Profil de bandes de conduction pour trois valeurs de EOTdifférentes : EOT = 92 nm (t ox = 30 nm,ε = 3), EOT = 5.3 nm (t ox =3 nm,ε = 3), EOT = 0.4 nm (t ox = 3 nm,ε = 15) à V GS = 0.4 V,V DS =0.1 V ; b) Zoom sur la barrière Schottky côté source.

Chapitre 2. Simulation des transistors à contacts Schottky 73Influence de EOT sur les caractéristiques I-V :Beaucoup de travaux ont tenté d’améliorer les performances de CNTFET en utilisantdes oxydes de forte permittivité et de faible épaisseur : (ZrO 2 = 25) [97], (HfO 2 =11) [84], (Al 2 O 3 = 5) [121], (SrTiO 3 = 175) [122]. L’utilisation d’un isolant deforte permittivité vise à augmenter la transconductance, d’une part par un contrôleélectrostatique plus efficace du potentiel dans le canal et, d’autre part, du fait, àtension de grille constante, d’une barrière tunnel plus fine à énergie donnée (figure2.18b) [122].Pour étudier l’influence de EOT sur les caractéristiques I-V , on utilise la mêmestructure que précédemment pour trois valeurs de EOT obtenues en changeant soitla permittivité de 3 à 15 pour t ox = 3 nm (ce qui correspond à EOT de 5.3 nm à0.4 nm), soit l’épaisseur de l’oxyde de 3 nm à 30 nm avec une permittivité de 3 (cequi donne un EOT de 5.3 nm à 92 nm). Sur les figures 2.19, lorsque EOT diminue,on remarque qu’à forte tension de grille, le courant d’électrons augmente et qu’àfaible tension de grille, le courant de trous augmente. Le courant minimal I OFF esttoujours à V GS = V DS /2, mais sa valeur augmente lorsque EOT diminue.Le courant maximal I ON et la pente sous le seuil S sont visiblement améliorés pourEOT plus faible.Le bon contrôle de la grille est illustré par les variations des bandes de conductionet de valence sur les figures 2.20.Fig. 2.19 – a) Comparaison avec les cas EOT = 0.4 nm, 5.3 nm, 92 nm pourV DS = 0.1 V ; b) Comparaison avec les cas EOT = 0.4 nm, 5.3 nm, 92 nmpour V DS = 0.4 V.

74 2.1. Performances statiques des transistors à contacts SchottkyLes figures 2.20a), b) et c) sont tracées pour V DS = 0.1 V et correspondent aux pointsA, B et C indiqués sur la figure 2.19a). Les figures 2.20d), e) et f) sont tracées pourV DS = 0.4 V et correspondent aux points D, E et F indiqués sur la figure 2.19b).A fort V GS , la bande de conduction est plus basse pour EOT plus faible et donnedonc un courant d’électrons plus fort (figures 2.20a et d). Au contraire, à faible V GS ,la bande de valence est plus haute pour EOT plus faible et favorise donc l’injectiondes trous (figures 2.20b et e). Ceci corrobore l’augmentation du courant au dessusdu seuil constatée sur la figure 2.19 et donc l’amélioration de I ON .Les diagrammes de bandes des figures 2.20c) et 2.20f) correspondent à la tensioncaractéristique V GS = V DS /2 c’est-à-dire au courant minimal I OFF . A faible V DS , onremarque que ces diagrammes de bande sont sensiblement identiques, ce qui conduità l’obtention d’un I OFF très proche. Le potentiel ne change pas beaucoup parce qu’iln’y a pas beaucoup de charge induite sur le nanotube.A fort V DS , les courants I OFF sont plus élevés et correspondent à une densité deporteurs dans le canal plus forte lorsque l’on diminue EOT. La variation de lalargeur de la barrière Schottky en fonction de EOT est donc plus importante et aun impact plus fort sur le courant. Ceci explique la plus forte influence de EOT surI OFF à fort V DS : I OFF est légèrement dégradé par la diminution de EOT.Globalement, comme on le voit sur les figures 2.21 et 2.22, l’amélioration de lacommande via l’épaisseur équivalente d’oxyde EOT permet d’améliorer le rapportI ON /I OFF ainsi que les performances statiques des transistors à NTC : g m et S.Dans le CNTFET, l’effet tunnel bande à bande (band-to-band tunneling, BTBT)doit apparaître à très fort V GS (pour des trous) et à très faible V GS (pour desélectrons) lorsque V DS est très fort. Le BTBT des électrons côté drain intervientalors que le courant de trous est déjà fort. Il en est de même pour les trous côtésource. La contribution de BTBT sur le courant global est donc relativement faibledu fait du caractère naturellement ambipolaire du transport si l’on compare avec destransistors à contacts ohmiques, où BTBT dégrade beaucoup le courant sous le seuilen particulier lorsque l’effet tunnel est assisté par les phonons optiques [123], [74].L’effet de BTBT est surtout important, bien sûr, pour des dispositifs à NTC defaible bande interdite [21].

Chapitre 2. Simulation des transistors à contacts Schottky 75Fig. 2.20 – Le profils de bandes pour trois cas EOT = 92 nm, 5.3 nm et0.4 nm, L = 100 nm, Φ B = 0.275 eV ; a) V GS = 0.4 V,V DS = 0.1 V ; b) V GS =−0.2 V,V DS = 0.1 V ; c) V GS = 0.05 V,V DS = 0.1 V ; d) V GS = 0.6 V,V DS =0.4 V ; e) V GS = −0.2 V,V DS = 0.4 V ; f) V GS = 0.2 V,V DS = 0.4 V.

76 2.1. Performances statiques des transistors à contacts SchottkyFig. 2.21 – Variation de I ON /I OFF à V DS = 0.4 V en fonction de EOT.Fig. 2.22 – Transconductance maximale et pente sous le seuil en fonctionde EOT à V DS = 0.4 V.

Chapitre 2. Simulation des transistors à contacts Schottky 77Influence de la longueur de la grilleMaintenant, on considère l’influence de la longueur de grille L G sur les performancesstatiques. On compare les performances du SB-CNTFET pour deux longueurs degrille : L G = 25 nm et L G = 100 nm toujours avec une hauteur de la barrière Schottkymid-gap Φ B = 0.275 eV. Sur la figure 2.23, on voit que les caractéristiques I D -V GS nesont pas très différentes. Cela est lié à la nature fortement balistique du transportdans les nanotubes, ce qui sera discuté en détail au chapitre 3. Ainsi il est confirméque ce n’est pas la modulation de la conductance du canal qui contrôle le courantmais plutôt la résistance de contact [111], [84], [25].Ainsi, en cas de transport balistique, la caractéristique ne dépend pas de la longueurde canal. Mais quand la longueur de canal est inférieure à 15nm, l’effet tunnelrésonant entre les deux barrières Schottky accroît le courant dans certaines plagesde tension [104]. Dans notre simulateur Monte Carlo, on ne peut pas prendre encompte l’effet tunnel résonant dans le canal.Alors que la longueur de grille modifie peu les performances statiques, nous verronsdans le paragraphe suivant qu’elle a un impact important sur les performancesdynamiques via les variations de la capacité de grille.Fig. 2.23 – Comparaison entre L G = 100 nm (traits continus) et L G =25 nm (traits pointillés) pour V DS = 0.1 V, 0.2 V, 0.3 V (rouge, vert, bleu).EOT = 5.3 nm, Φ B = 0.275 eV.

78 2.1. Performances statiques des transistors à contacts SchottkyInfluence du diamètre du nanotubeOn a déjà vu que la hauteur de barrière des contacts Schottky est réduite pour desNTC de grand diamètre, c’est-à-dire de faible bande interdite [92], [117], [124], [122].Dans cette partie, on étudie l’influence du diamètre du nanotube sur les performancesstatiques du SB-CNFET. On compare les caractéristiques associées à deux indicesde NTC : (19, 0) et (10, 0), avec une longueur de grille de 100 nm, un EOT de 5.3 nmet une barrière Schottky mid-gap (Φ B = 0.275 eV pour (19, 0) et Φ B = 0.55 eV pour(10, 0)). La figure 2.24 montre que l’augmentation de la largeur de la bande interditeentraîne une diminution du courant d’électrons et de trous.Le diagramme de bandes, représenté sur la figure 2.25, montre une bande de conductionpour le NTC (10, 0) plus haute que celle du NTC (19, 0), ce qui correspond àun courant d’électrons plus faible. La bande de valence du NTC (10, 0) est alorsd’autant plus basse que le gap est grand, ce qui conduit à un courant I OFF d’autantplus faible que le gap du NTC est large.L’évolution du rapport I ON /I OFF , figure de mérite pour des circuits digitaux, enfonction du diamètre du nanotube est tracée sur la figure 2.26. L’amélioration dece rapport lorsque le diamètre diminue est d’autant plus remarquable qu’elle restevraie pour des tensions d’alimentation (V DS = 0.8 V) qui permettent une exploitationFig. 2.24 – Comparaison des caractéristiques d’un SB-CNFET pour deuxNTC : (10, 0) (Φ B = 0.55 eV) en bleu et (19, 0) (Φ B = 0.275 eV) en rougepour V DS = 0.1 V, 0.4 V et 0.8 V. L G = 100 nm, EOT = 5.3 nm.

Chapitre 2. Simulation des transistors à contacts Schottky 79Fig. 2.25 – Diagramme des bandes pour deux NTC (19, 0) et (10, 0) pourV GS = 0.4 V,V DS = 0.1 V. L = 100 nm, EOT = 5.3 nm.Fig. 2.26 – Rapport I ON /I OFF en fonction du diamètre de NTC à V DS = 0.4et 0.8 V. L = 100 nm, EOT = 5.3 nm.classique en numérique avec un I ON défini au dessus du seuil. De plus, ce résultatest cohérent avec les résultats de [125] et de [104].

80 2.2. Performances dynamiques2.2 Performances dynamiquesLa fréquence de transition f T est une des figures de mérite qui caractérisent les performancesen haute fréquence d’un transistor. On calcule f T du transistor intrinsèqueà partir de l’expression :f T = 1 ∣g m∣∣∣VDS2π C g =V DDoù g m est la transconductance, C g est la capacité intrinsèque de grille. Comme pourles performances statiques on va étudier l’influence des paramètres géométriques etmatériaux sur f T .2.2.1 Influence de la hauteur de barrière SchottkyOn étudie dans un premier temps l’influence de la hauteur de barrière Schottky surf T .Les variations de la fréquence de transition en fonction de la tension de grille sonttracées sur la figure 2.27 pour deux hauteurs de barrière Schottky Φ B = 0.275 eV et0 eV.La dépendance de f T en fonction de la tension de drain est totalement liée à laqualité de la saturation de la caractéristique I DS -V DS (figure 2.17 du paragrapheFig. 2.27 – Variation de f T en fonction de la tension de grille pour deuxhauteurs de la barrière Schottky 0.275 eV et 0 eV. L = 100 nm, EOT =5.3 nm.

Chapitre 2. Simulation des transistors à contacts Schottky 812.1.2) : dans le cas d’une barrière Schottky élevée (Φ B = 0.275 eV), la mauvaisesaturation du courant conduit à une forte dépendance de f T en fonction de V DS ,contrairement au cas d’une faible barrière Schottky ( Φ B = 0 eV). Ce dernier présenteune fréquence de transition légèrement meilleure et son comportement, proche ducomportement du CNFET à contacts ohmiques, permet d’envisager une utilisationpour des applications analogiques.2.2.2 Influence de l’épaisseur d’oxyde équivalente EOTPour chaque courbe de f T (figure 2.28), en considérant la valeur maximale obtenue,qui se situe entre V GS = 0.3 V et V GS = 0.4 V, on peut extraire la valeur maximalef Tmax que nous avons reportée sur la figure 2.29b) en fonction de EOT. Cette courbepeut être divisée en deux parties. Pour les faibles EOT (EOT est inférieur à quelquesnm), à mesure que l’on augmente EOT, on observe une légère amélioration de f TmaxFig. 2.28 – Variation de la fréquence de transition en fonction de V GS poura) EOT = 0.4 nm, b) EOT = 5.3 nm, c) EOT = 92 nm. L = 100 nm, Φ B =0.275 eV.

82 2.2. Performances dynamiquesFig. 2.29 – a) Variation de la transconductance et de la capacité normaliséescorrespondant à f Tmax ; b) Variation de la fréquence de transition maximaleen fonction de EOT à V DS = 0.4 V.qui tend à saturer pour les plus fortes valeurs de EOT. Ce comportement particulierpeut être expliqué à partir de l’évolution de la transconductance g m et de la capacitéC g , toutes deux également représentées sur la figure 2.29a) en fonction de EOT.En régime de capacité quantique (faible EOT), g m décroît plus lentement que C gen augmentant EOT ce qui induit l’augmentation de f T constatée précédemment.Ainsi, à partir d’une certaine valeur de EOT, diminuer l’épaisseur d’oxyde n’amélioreplus le courant qui sature vers sa limite balistique.Pour les fortes valeurs de EOT, les effets de la capacité quantique sont négligeables,le contrôle de grille est moins efficace et les interactions nombreuses dégradent à lafois g m et C g qui décroissent en parallèle. Cela explique la saturation de la fréquencef Tmax .D’après ces résultats, il ne semble donc pas pertinent de trop fortement réduirel’épaisseur de l’oxyde de grille dans le but d’améliorer les performances en fréquenceet une valeur de capacité de grille de l’ordre de la dizaine d’attofarads semble êtreoptimale. De plus, nous pouvons noter que sur toute la gamme de EOT considérée,l’écart entre les f Tmax demeure inférieur à 10%.2.2.3 Influence de la longueur de la grilleLa figure 2.30a), correspondant à une longueur de grille de 25nm, comparée àla figure 2.30b) correspondant à une longueur de grille de 100nm, montre que la

Chapitre 2. Simulation des transistors à contacts Schottky 83Fig. 2.30 – Variation de la fréquence de transition en fonction de V GS pour :a) L G = 25 nm, EOT = 5.3 nm et Φ B = 0.275 eV ; b) L G = 100 nm, EOT =5.3 nm et Φ B = 0.275 eV.fréquence de transition est nettement améliorée par une diminution de la longueurde grille. Cette dépendance de f T en fonction de L G est principalement due à la variationde la capacité de grille, puisque, comme nous l’avons vu au paragraphe 2.1.2,du fait d’un transport fortement balistique dans le canal (ce qui sera discuté dans lechapitre III), ce n’est pas la modulation de la conductance du canal qui contrôle lecourant. Lorsque la longueur de grille diminue, la capacité de grille diminue ce quiconduit à une augmentation de f T .2.2.4 Influence du diamètre du nanotubeDans ce paragraphe, nous étudions l’influence du diamètre du nanotube sur lafréquence de transition des transistors. Contrairement aux performances statiques,au niveau de la fréquence de transition (f T ), les meilleures performances sont obtenuespour des NTC de forts diamètres (figure 2.31). Comme le montrent les figures2.32, la faible transconductance obtenue avec le NTC de faible diamètre (10, 0) n’estpas compensée par la capacité de grille qui est peu dépendante du diamètre. Mêmeen augmentant la tension d’alimentation à 0.8 V, dans le cas du CNT (10, 0), le f Tmaxn’atteint que 540 GHz contre plus de 800 GHz pour une tension d’alimentation de0.4 V dans le cas du CNT (19, 0).Au niveau du choix du diamètre du NTC un compromis devra être trouvé afind’assurer les meilleures performances statiques et dynamiques. Un fort diamètre

84 2.2. Performances dynamiquessera préféré en analogique favorisant une fréquence de transition élevée et un faiblediamètre sera choisi en numérique afin d’assurer le meilleur rapport I ON /I OFF [126].Fig. 2.31 – Variation de la fréquence de transition en fonction de V GS (L =100 nm, EOT = 5.3 nm) : a) pour NTC (19, 0) ; b) pour NTC (10, 0).Fig. 2.32 – Evolution de la transconductance (en haut) et de la capacité (enbas) en fonction de V GS pour NTC (19, 0) et (10, 0) (L = 100 nm, EOT =5.3 nm.)

Chapitre 2. Simulation des transistors à contacts Schottky 852.3 Comparaison ohmique - SchottkyDans cette partie, nous allons comparer le comportement d’un transistor à contactSchottky à celui d’un transistor à contact ohmique (modèle sur la figure 2.33). Pourobtenir des contacts ohmiques, on utilise des zones d’accès dopées dans les régionssource et drain.oxydeNTClongueur de grille LN-typedopéFig. 2.33 – Modèle de transistor à contacts ohmiques.Un NTC zigzag (19, 0) est toujours considéré avec une largeur de bande interditede 0.55 eV. L’épaisseur de l’oxyde de grille équivalente (EOT) est de 5.3 nm. Lalongueur de la grille est de 100 nm. Dans ce transistor à contact ohmique, les zonesd’accès source et drain ont une longueur de 20 nm et sont dopées N à 0.34 nm −1 avecun dopage supposé de nature électrostatique.Tout d’abord, ces extensions servent de réservoirs à électrons libres comme celaest le cas dans un MOSFET traditionnel. Ensuite, elles permettent de modéliser lasituation expérimentale où le dopage électrostatique est réalisé par l’intermédiaired’une grille supplémentaire ou par adsorption d’espèces dopantes ou de molécules.Dans notre modèle, le dopage n’a donc aucun autre effet que d’augmenter la densitéde porteurs et de décaler en conséquence le niveau de Fermi dans la bande deconduction (car le transistor est de type n) par rapport à sa position d’équilibre quicorrespond au milieu de la bande interdite dans un matériau non dopé. Ici les extensionssont uniformément dopées à 0.34 nm −1 ce qui correspond à la contributiond’environ une espèce dopante pour 517 atomes de carbone. Ce niveau de dopagecorrespond à un niveau de Fermi de 0.06 eV au dessus de la 1ère sous-bande.Expérimentalement, le nombre de dispositifs CNTFET à contacts ohmiques réalisésest de loin inférieur à celui de son « cousin » à barrière Schottky. Cela s’expliqueprincipalement par le fait qu’il n’est en quelque sorte qu’une évolution du SBFET :

86 2.3. Comparaison ohmique - Schottkyil exploite donc la théorie et les techniques de conception et d’optimisation desperformances développées à partir de ce dernier et est également plus difficile àréaliser [127], [109], [128].Nous allons par la suite comparer leurs performances en expliquant leurs différencesde fonctionnement interne.La figure 2.34 compare la caractéristique de transfert d’un CNTFET à contactsSchottky avec celui à contacts ohmiques. Dans ce cas, la hauteur de la barrière estla moitié de la largeur de bande interdite, i.e. Φ B = 0.275 eV, ce qui mène à lacondition symétrique d’injection des électrons et des trous (paragraphe 2.1.1). Afort V GS , le courant est principalement dû aux électrons injectés par la source, alorsqu’à faible tension de grille, les trous injectés au drain contribuent principalementau courant total. En particulier, ce transport ambipolaire dégrade la caractéristiquesous le seuil : pour V DS = 0.3 V, la pente sous le seuil est d’environ 95 mV/dec aulieu de 70 mV/dec dans des transistors à contacts ohmiques, comme on peut le voirsur la figure 2.34a). Les contacts Schottky nuisent également au courant à l’étatON. La transconductance est limitée à environ 20µS dans des dispositifs à contactSchottky au lieu de 32µS dans ceux à contacts ohmiques, comme le montre la figure2.34b).Sur la figure 2.35, on montre les profils de bande de conduction et de vitesse desFig. 2.34 – Caractéristique I D -V GS de CNFET à contacts ohmique etSchottky pour une longueur de canal de 100 nm et un EOT de 5.3 nm.La hauteur de la barrière Schottky source - drain est Φ B = 0.275 eV ; a)en échelle logarithmique : comparaison en dessous du seuil ; b) en échellelinéaire : comparaison au-dessus du seuil.

Chapitre 2. Simulation des transistors à contacts Schottky 87Fig. 2.35 – Bande de conduction et profils de vitesse pour des CNTFET àcontacts Schottky (V GS = 0.4 V) et ohmique (V GS = 0.18 V) à V DS = 0.1 Vet I D = 1µA.électrons à V DS = 0.1 V pour une valeur de courant donnée de I D ≈ 1µA, quicorrespond pour les dispositifs à contacts Schottky et ohmique à V GS = 0.4 V etV GS = 0.18 V respectivement.Pour le transistor à contacts ohmiques, les porteurs sont accélérés par un champélectrique non nul et dont la valeur correspond à de faibles taux d’interactions dansle canal : les porteurs atteignent donc des vitesses relativement élevées. Pour letransistor à contacts Schottky, la très bonne commande électrostatique de la grilleconduit à un champ électrique très faible dans le canal et donc une accélérationpratiquement inexistante.Des courants identiques sont donc atteints pour les 2 types de transistors avecune polarisation de grille plus faible dans le cas des contacts ohmiques, c’est-à-direune concentration de porteurs dans le canal plus faible compensée par une vitessemoyenne des porteurs plus élevées.Sur la figure 2.36, on compare la fréquence de transition maximale pour des transistorsà contacts ohmique et Schottky pour différentes longueurs de grille à V DS =0.4 V, i.e. quand la saturation de courant est obtenue. Malgré les désavantages dutransport ambipolaire dans les SB-FET, la fréquence de transition maximale est,comme le montre la figure 2.36a), similaire à celle obtenue avec les transistors àcontacts ohmiques. En effet, on peut voir sur la figure 2.36b) que la dégradation dela transconductance dans le cas du transistor à contacts Schottky est contrebalancéepar une plus faible capacité de grille.

88 2.3. Comparaison ohmique - SchottkyFig. 2.36 – a) Evolution de la fréquence maximale f Tmax en fonction de lalongueur de grille pour les transistors à contacts ohmique et Schottky (Φ B =0.275 eV), EOT = 5.3 nm,V DS = 0.4 V ; b) Evolution de la transconductanceet de la capacité de grille correspondant au f Tmax en fonction de la longueurde grille pour les transistors à contacts ohmique et Schottky.Mais, comme on l’a vu au paragraphe 2.2.1, la zone d’utilisation en zone source decourant pour des applications analogiques est beaucoup plus limitée dans le cas destransistors à contacts Schottky qui présentent une mauvaise saturation du courant(figure 2.17 du paragraphe 2.1.2).Si l’on considère les performances statiques et dynamiques pour des applicationsclassiques, en électronique numérique et analogique, il est clair que les transistors àcontacts ohmiques présentent des avantages indéniables par rapport aux transistorsà contacts Schottky : ils permettent d’obtenir un meilleur rapport I ON /I OFF pourdes performances dynamiques pratiquement équivalentes. Mais le caractère ambipolairedes transistors à contacts Schottky ouvre des perspectives originales pour laconception d’architectures alternatives [120], [129].Pour tous les types de contacts, nous avons obtenu des valeurs de fréquence de transitionf T très prometteuses de l’ordre du THz dès que l’on descend à des longueursde canal de 50 nm. Ces fréquences sont d’autant plus élevées que la longueur decanal décroît. De plus, nous avons constaté, une fois de plus [34], qu’en raison ducaractère unidimensionnel du transport de charges dans les nanotubes de carbone,les CNTFET ne nécessitent pas d’effort particulier de dimensionnement de l’oxydede grille.

Chapitre 3Analyse de transport - les effetsquantiquesLe transport semi-classique est bien adapté à la description du transport dans lescomposants conventionnels, tels que les transistors avec des longueurs de grille del’ordre de 100 nm ou plus, selon le matériau et la température. Pour ces technologies,la longueur de cohérence de phase dans le silicium (de l’ordre de 10 nm) estbien inférieure aux dimensions caractéristiques du dispositif. Ainsi, il est justifié deconsidérer les électrons comme des particules subissant beaucoup d’interactions.Le régime semiclassique des dispositifs électroniques traditionnels est donc aujourd’huiglobalement bien compris, et on connaît bien les mécanismes de collision (avecles phonons, les défauts, les interfaces ...) qu’y subissent les électrons.A l’autre extrême, on commence également à bien comprendre le régime de transportquantique, dans les situations où les électrons sont balistiques (c’est-à-direne subissent pas de collisions), notamment grâce aux études réalisées en physiquemésoscopique. En effet, à très basse température, la longueur de phase est supérieureau µm et la réalisation de dispositifs de longueur caractéristique très inférieure à cettedistance ne pose aucun problème : c’est le cas, par exemple, d’un anneau d’Ahranov- Bohm (voir figure 3.1) dans lequel le transport est fondamentalement quantiqueet les électrons se comportent comme des ondes [130].Le régime intermédiaire, où le transport est loin d’être balistique, mais où le transportquantique commence pourtant à faire sentir ses effets, est en revanche très mal

90Fig. 3.1 – Anneau d’Ahranov - Bohm.compris. Actuellement à T = 300 K, on se trouve dans des situations intermédiairesoù les phénomènes quantiques ondulatoires apparaissent puisque les dimensions desdispositifs sont du même ordre de grandeur que la cohérence de phase mais avectoujours de nombreuses interactions, notamment avec les phonons, qui détruisent apriori la cohérence de phase.Afin de comprendre comment se comportent les électrons dans ces situations intermédiairesdes modèles physiques doivent être développés afin de tenir compted’un régime de transport qui n’est plus classique mais toujours pas purement quantique.Dans ce chapitre, nous allons donc comparer les résultats de simulation semiclassiquedu transport à ceux issus de simulation quantique du transport pour destransistors à nanotube de carbone à faible longueur de grille (< 25 nm) dans lesquelsnous montrerons dans un premier temps l’importance du transport balistiqueen régime semi-classique et donc la nécessité de s’intéresser aux effets du transportquantique.Dans les deux cas, l’utilisation d’un simulateur physique de type Monte Carlonous permettra de comparer à la fois les résultats macroscopiques, comme les caractéristiquescourant-tension, et les résultats microscopiques comme les profils deconcentration des porteurs, de potentiel le long du dispositif, ainsi que les cartographiesdes fonctions de distribution de Boltzmann ou de Wigner.

Chapitre 3. Analyse de transport - les effets quantiques 913.1 Le transport classique balistiqueJe vais présenter dans un premier temps une étude sur la balisticité dans un NTCintrinsèque. Afin d’étudier les propriétés de transport intrinsèque des nanotubes decarbone, des simulations à champ constant ont été réalisées. Pour ce type d’étude, onse limite à l’espace réciproque en négligeant dans un premier temps la dimension spatiale.Une simulation à champ constant dans notre simulateur MONCAO, consistedonc à suivre l’évolution d’une population d’électrons dans l’espace réciproque, sousla seule influence d’un champ électrique de valeur fixée dans le temps et des processusd’interactions.Lorsque l’on applique un champ électrique constant sur un gaz électronique initialementau repos, le système se place d’abord en régime de déséquilibre pendant lequell’état moyen des porteurs (vitesse, énergie ...) évolue en fonction du temps : c’est lerégime transitoire. Au cours du temps, les phénomènes diffusifs (interactions) compensentprogressivement l’action du champ électrique jusqu’à ce que les grandeursdu système n’évoluent plus avec le temps : c’est le régime stationnaire.3.1.1 Simulation dynamiqueNous nous intéressons à un gaz d’électrons initialement à l’équilibre sous champnul, auquel on applique un échelon de champ de valeur E c au temps et nous regardonscomment évoluent les porteurs en réponse à cette excitation. Nous utilisonségalement la possibilité de suivre l’évolution des porteurs circulant entre une positionz = 0 et z = L et ainsi de compter le nombre de processus d’interactions subies entreces deux positions. Cela nous permettra d’extraire la spectroscopie des interactionsen fonction de différents paramètres tels que le champ, le diamètre, la longueur etainsi obtenir des valeurs de libre parcours moyen suivant le type d’interaction subie.Nous avons la possibilité, en ajoutant la dimension spatiale, de nous intéresser auxlongueurs de relaxation et mettre en avant les différents régimes de transport énoncésauparavant.Sur la figure 3.2, nous avons reporté le nombre de porteurs strictement balistiquesen fonction de la longueur de tube L pour différents diamètres et suite à une per-

92 3.1. Le transport classique balistiqueFig. 3.2 – Pourcentage de porteurs balistiques en fonction la longueur duNTC et pour différents tubes (E = 8 kV/cm.)turbation d’amplitude E = 8 kV/cm. Dans ce régime de champ faible, le processusd’interaction dominant correspond au mode élastique intra vallée. Les courbes diminuentplus lentement pour les tubes larges (n > 22) avec 50% d’électrons encorebalistiques pour une longueur d’environ 250 nm. Pour les tubes étroits, le pourcentagede porteurs balistiques décroît rapidement sur les 100 premiers nanomètres.La probabilité d’avoir des porteurs balistiques est donc d’autant plus grande que letube est large. Cela est une fois de plus étroitement lié à l’évolution inverse de lamasse effective de la 1ère sous-bande, donc de la densité d’états, avec le diamètre.L’influence du champ électrique sur le transport balistique est illustrée sur la figure3.3 où nous avons tracé le pourcentage de porteurs balistiques pour un tube n = 34.Si l’on considère la longueur pour laquelle ce pourcentage est de 50%, on trouveenviron 270 nm pour un champ appliqué de 6 kV/cm et seulement de 90 nm pour unchamp de 30 kV/cm. Pour chaque courbe, on remarque une chute abrupte du pourcentagede balisticité. La longueur L F à laquelle cette chute intervient correspondà la distance nécessaire à un électron balistique pour acquérir l’énergie cinétiquesuffisante pour émettre un phonon de forte énergie inter-vallées (ω = 160 meV etω = 180 meV ). Ainsi, on peut définir L F par l’expression k B ×T/2+E ×L F ≈ ω.Aussitôt que le seuil d’émission de ce phonon est atteint, le taux associé est tellementélevé que la population de porteurs balistiques chute rapidement. Un faible champfavorise donc un transport fortement balistique sur une grande plage de longueur degrille.

Chapitre 3. Analyse de transport - les effets quantiques 93Fig. 3.3 – Pourcentage de porteurs balistiques en fonction de la longueurdu NTC pour n = 34 pour plusieurs valeurs de champ électrique.3.1.2 Libre parcours moyenLe libre parcours moyen (LPM) est une grandeur très importante car elle permet decaractériser les différents régimes de transport d’un système et de donner une gammede longueur pour laquelle le transport des électrons est balistique. Un transportbalistique permet de maximiser les propriétés de transport et ainsi accroître lesperformances du dispositif. De plus, la nature 1D du transport des électrons dansles nanotubes de carbone simplifie la détermination du libre parcours moyen et rendd’autant plus pertinente cette grandeur pour distinguer les différents régimes detransport dans les NTC.Sur la figure 3.4, nous présentons en fonction du champ les LPM obtenus pour 3diamètres (n = 22,n = 34,n = 49) [34], pour les deux processus d’interactions dominantsdans les NTC ainsi que la vitesse des porteurs. Les processus d’interactionsconsidérés sont le mode acoustique élastique et la réunion des modes acoustique(E = 160 meV) et optique (E = 180 meV) inter-vallées de forte énergie. Pour cedernier, le LPM a été obtenu en considérant le nombre d’interactions subies parchaque porteur entre deux interactions inter-vallées quel que soit le phonon mis enjeu.Cette figure prépare à l’étude des transistors en donnant les éléments caractéristiquesd’un transport balistique dans un canal de transistor. On voit qu’à faible champ,c’est-à-dire entre 1 kV/cm et 10 kV/cm, le transport va être majoritairement limité

94 3.1. Le transport classique balistiqueFig. 3.4 – Libre parcours moyen des électrons pour les interactions avec desphonons acoustiques et phonons intervallées et vitesse moyenne des électronsen fonction du champ électrique pour les NTC n = 22, 34, 58 obtenus parsimulation Monte Carlo [34].par les phonons acoustiques élastiques (ou considérés comme tel à 300 K, voir section1.2.3) avec du transport balistique sur quelques centaines de nanomètre suivant lediamètre considéré. Dans des zones où le champ excède la dizaine de kV/cm, letransport va être balistique sur quelques dizaines de nanomètre, en étant limité parles phonons inter-vallées de forte énergie et de forte fréquence d’interaction. Enfin,cette figure montre clairement que la zone de croisement des deux mécanismes dediffusion correspond à la zone de saturation de la vitesse. En effet, la saturation etla valeur maximale de vitesse sont atteintes lorsque les transferts inter-vallées intersous-bandes,par les phonons de forte énergie, deviennent possibles. Ce phénomène apour effet d’accroître la population d’électrons dans la deuxième sous-bande à masseplus forte ainsi que de relaxer la vitesse des porteurs dans la première sous-bande.Au final, ces résultats démontrent clairement l’intérêt d’utiliser les NTC dans lazone de faible champ afin de bénéficier du caractère balistique du transport.3.1.3 Balisticité dans un transistor à nanotube de carboneOn étudie à présent le transport dans le canal d’un CNTFET à contacts ohmiques.Dans un premier temps, nous allons étudier le transport pour ces 2 épaisseursd’oxyde en analysant les grandeurs microscopiques telles que l’évolution de la vitesseet de la bande de conduction le long du dispositif et le spectre en énergie des

Chapitre 3. Analyse de transport - les effets quantiques 95porteurs. Enfin, nous présenterons les résultats sur la balisticité des transistors àNTC suivant la longueur de grille et l’épaisseur de l’oxyde de grille.Faible épaisseur d’oxyde (EOT = 0.4 nm)Les figures 3.5a, b et c représentent respectivement l’évolution de la bande de conductionet de la vitesse le long du dispositif et le spectre en énergie des porteurs pourune tension de drain faible (V DS = 0.2 V). On remarque une bande de conductionquasiment plate dans le canal correspondant à une très bonne commande de la grille(en régime de capacité quantique) et conduisant à un faible champ dans le canal. Laplus grande partie de la chute de potentiel −qV DS est encaissée sur une très courtedistance, essentiellement au-delà de z = L. Ce profil de potentiel caractéristique,Fig. 3.5 – a) Profils de l’énergie potentielle de la 1ère sous-bande ; b) Profilsde la vitesse des porteurs ; c) Spectre en énergie des porteurs le long dudispositif à faible épaisseur d’oxyde ; pour V GS = 0.2 V et V DS = 0.2 V,EOT = 0.4 nm, z est la distance depuis le début du canal.

96 3.1. Le transport classique balistiqueassez différent de celui d’un MOSFET Si où l’effet de la capacité quantique estbien moindre, se répercute sur le profil de vitesse : malgré un faible champ sousla grille, la vitesse y est tout de même assez élevée en raison d’un transport fortementbalistique avec uniquement quelques interactions élastiques (voir figure 3.4),et elle subit un fort et brutal accroissement dans la zone de fort champ au-delà dela grille. Le spectre en énergie ne fait apparaître qu’un seul pic correspondant à desénergies inférieures au seuil nécessaire pour l’interaction électron - phonon optique(180 meV).Les figures 3.6a, b et c représentent respectivement l’évolution de la bande de conductionet de la vitesse le long du dispositif et le spectre en énergie des porteurs pour unetension de drain élevée (V DS = 0.4 V). La forte tension drain conduit à un champ plusFig. 3.6 – a) Profils de l’énergie potentielle de la 1ère sous-bande ; b) Profilsde la vitesse des porteurs ; c) Spectre en énergie des porteurs le long dudispositif à faible épaisseur d’oxyde ; pour V GS = 0.2 V et V DS = 0.4 V,EOT = 0.4 nm, z est la distance depuis le début du canal.

Chapitre 3. Analyse de transport - les effets quantiques 97fort en bout du canal côté drain avec une forte accélération des porteurs. Comme lemontre le spectre en énergie, les porteurs atteignent une énergie suffisante, supérieureau seuil de 180 meV, pour subir des interactions intervallées avec les phonons optiques.L’effet de ces interactions est visible, d’une part, sur l’évolution des vitessesle long du dispositif avec un ralentissement brutal des porteurs apparaissant en boutde canal, et, d’autre part, sur le spectre en énergie des porteurs avec l’apparitiond’un second pic centré sur une énergie inférieure de 180 meV par rapport au picprincipal centré sur les énergies les plus élevées. Il est à noter que cette émission dephonons n’intervient qu’au-delà de la sortie de grille, c’est-à-dire z > 10 nm pourL = 10 nm (figure 3.6c). Le ralentissement brutal des électrons consécutif à cetteémission massive de phonons vers z = 10.04 nm se manifeste par un creux dans leprofil de vitesse, suivi d’un pic lié à la ré-accélération des électrons ayant émis unphonon dans une zone ou le champ est encore élevé.La figure 3.7 montre la proportion d’électrons en fonction du nombre d’interactionssubies dans le canal. On peut voir que dans le canal du NTC, la proportiond’électrons sans interactions est très élevée, comparé à celle relevée dans le canald’un MOSFET Si. La proportion des électrons balistiques est de 89% pour une longueurde grille L = 25 nm et atteint 95% pour L = 10 nm. En comparaison, elle estseulement de 31% dans un MOSFET silicium double-grille de longueur de grille de25 nm.On constate donc une forte balisticité dans le canal d’un transistor à NTC mais avecFig. 3.7 – Proportion d’électrons en fonction du nombre d’interactions subiesdans le canal pour CNTFET et MOSFET silicium, mesurée à la positionx = L, V GS = 0.2 V et V DS = 0.4 V.

98 3.1. Le transport classique balistiqueFig. 3.8 – Caractéristique de transfert de transistors à NTC pour différenteslongueurs de grille, V DS = 0.4 V, EOT = 0.4 nm.la présence de processus d’interaction électron-phonon dont il faut tenir compte. Eneffet, comme le montre la figure 3.8, l’évolution du courant en fonction de V GS dépendde la longueur de la grille, conséquence de la présence d’interactions subies par lesporteurs, mais ceci d’autant moins que la longueur de grille diminue.Forte épaisseur d’oxyde (EOT = 5.3nm)La forte épaisseur d’oxyde conduit à une dégradation de la commande de la grillesur le potentiel du canal et donc à l’apparition d’un champ le long du canal (figure3.9a) sensiblement plus élevé que dans le cas précédent. La vitesse atteintedans le canal est donc nettement plus élevée (figure 3.9b). Comme le montre la figure3.9c, ils acquièrent dans le canal des valeurs en énergie supérieures à 180 meV(seuil de l’interaction avec les phonons optiques) et peuvent donc y subir des interactionsintervallées. Les deux pics en énergie présents sur le spectre en énergiedes porteurs de la figure 3.9c et séparés de 180 meV mettent en évidence l’existencede cette interaction, qui se produit avant la sortie de grille (dès z = 9.7 nm pourL = 10 nm), contrairement au cas précédent. C’est la conséquence d’une plus fortechute de potentiel dans le canal (la partie du tube couverte par la grille).Sur la figure 3.10, on peut voir que la balisticité est plus faible pour une épaisseurd’oxyde plus élevée (comparé à la figure 3.7) mais reste importante. Cela est cohérentavec les spectres d’énergie qui montre que l’émission de phonons intervallées com-

Chapitre 3. Analyse de transport - les effets quantiques 99Fig. 3.9 – a) Profils de l’énergie potentielle de la 1ère sous-bande ; b) Profilsde la vitesse des porteurs ; c) Spectre en énergie des porteurs le long du dispositifà forte épaisseur d’oxyde ; pour V GS = 0.3 V et V DS = 0.4 V, EOT =5.3 nm, z est la distance depuis le début du canal.Fig. 3.10 – Proportion d’électrons en fonction du nombre d’interactionssubies dans le canal pour CNTFET, mesurée à la position x = L,V GS =0.3 V,V DS = 0.4 V, EOT = 5.3 nm.

100 3.1. Le transport classique balistiquemence à se produire avant la fin de la grille.Ce paragraphe nous a permis de mettre en évidence la forte balisticité des transistorsà NTC quelle que soit sa longueur de grille et son épaisseur d’oxyde. A partirdu moment où les électrons ont peu ou pas d’interactions qui peuvent détruire lacohérence de phase des fonctions d’onde, on peut se poser la question de la validitéde l’approximation semiclassique dans le transport avec beaucoup d’électronsbalistiques. Y a-t-il des effets de transport cohérent important, des possibilités d’effettunnel, de réflexions quantiques ... qui sont associés à la nature ondulatoire desélectrons ?Afin d’étudier les effets du transport quantique et cohérent sur le comportement d’unCNTFET, j’ai adapté la simulation MC Wigner, développé par Damien Querlioz lorsde sa thèse [36] à la modélisation de dispositifs CNTFET à contacts ohmiques.

Chapitre 3. Analyse de transport - les effets quantiques 1013.2 Le transport quantiqueDans cette partie, on étudie le transistor à NTC à grille cylindrique et à contactsohmiques décrit dans le chapitre 2 (figure 2.19) à l’aide des deux modèles présentésdans le chapitre 1 : d’une part, le simulateur Monte Carlo basé sur le formalisme deWigner qui modélise le transport quantique, et, d’autre part, le simulateur MonteCarlo semi-classique basé sur la résolution de l’équation de Boltzman.Les paramètres du dispositif utilisé pour la simulation sont les suivants : la longueurde grille est de 25 nm, 10 nm ou 6 nm avec une épaisseur d’oxyde équivalente de0.4 nm, les régions de zones d’accès source - drain sont de 30 nm avec un dopage N+de 0.34 nm −1 et des contacts ohmiques. Le nanotube zigzag semiconducteur (19, 0)est considéré.3.2.1 Comparaison des grandeurs microscopiquesOn considère, dans un premier temps, l’état ON du transistor, c’est-à-dire un pointde polarisation V GS = 0.2 V,V DS = 0.4 V. Sur les figures 3.11 et 3.12, on a tracé lescartographies dans l’espace des phases la fonction de distribution issues de Boltzmanf B et la fonction de Wigner f W dans la 1ere sous-bande pour les deux longueurs degrille 25 nm et 6 nm respectivement. Pour ces deux longueurs, ces fonctions semblenttrès différentes, beaucoup plus différentes que dans le cas de MOSFET-DG de 6 nm[131].Dans le cas semi-classique, les porteurs sont fortement accélérés par le champ électriquelocalement très élevé en bout de canal côté drain. Par contre, dans le cas du transportquantique, l’accélération est beaucoup plus progressive tout au long du canalce qui est cohérent avec l’idée de la délocalisation des électrons associée à l’extensionfinie de leurs fonctions d’onde et de l’effet non local du potentiel.De plus, les oscillations alternativement positives et négatives de la fonction deWigner en bout de canal côté drain sont la signature d’un transport fortementcohérent. La cohérence quantique entre les électrons incidents et réfléchis apparaîtdans les oscillations autour de k = 0.

102 3.2. Le transport quantiqueFig. 3.11 – Cartographie de la fonction de Boltzmann (a) et de Wigner (b)issues de la simulation MC semiclassique et Wigner de CNTFET, respectivement,à V GS = 0.2 V,V DS = 0.4 V,L = 25 nm, EOT = 0.4 nm.Fig. 3.12 – Cartographie de la fonction de Boltzmann (a) et de Wigner (b)issues de la simulation MC semiclassique et Wigner de CNTFET, respectivement,à V GS = 0.2 V,V DS = 0.4 V,L = 6 nm, EOT = 0.4 nm.Sur la figure 3.13a), on a tracé la bande de conduction pour L = 25 nm et V GS =0.2 V. La différence principale entre les simulations de Wigner et de Boltzmannest l’apparition d’un petit pic côté source dans le cas Wigner. Outre l’effet tunnelpossible à travers ce pic, l’effet principal est l’injection plus faible des électronsdans le canal, comme illustré par le profil de la densité de porteurs sur la figure3.13b). Pour la longueur L = 25 nm, le tunnel direct source - drain est donc toujoursnégligeable et l’effet quantique principal est la réflexion sur la barrière côté drain,comme déjà observé dans les nano-MOSFET [131].La bande de conduction et la densité d’électrons sont tracées également pour L =

Chapitre 3. Analyse de transport - les effets quantiques 103Fig. 3.13 – Bande de conduction (a) et densité d’électrons (b) obtenuesà partir des simulations Wigner et Boltzmann pour L = 25 nm (V GS =0.2 V,V DS = 0.4 V.)Fig. 3.14 – Bande de conduction (a) et densité d’électrons (b) obtenuesà partir des simulations Wigner et Boltzmann pour L = 6 nm (V GS =0.2 V,V DS = 0.4 V).6 nm sur la figure 3.14. Bien que plus petit, le pic est toujours présent dans lecas de Wigner. Du fait d’une barrière de canal plus mince, l’effet tunnel sourcedrainest alors possible. Il tend à augmenter le courant de drain par rapport au cassemiclassique, ce qui conduit à une différence plus faible entre les courants issus deWigner et Boltzmann par rapport au cas du 25 nm.Le comportement global du CNTFET démontre l’importance de l’auto-cohérencedans la simulation de ce type de dispositif, qui diminue la différence entre desrésultats quantique et semi-classique, malgré la différence plus forte au niveau microscopique.

104 3.2. Le transport quantiqueFig. 3.15 – Cartographie des fonctions de Wigner pour la longueur de grillede 25 nm (a) et de 6 nm (b) à V GS = 0.05 V,V DS = 0.4 V.La présence de l’effet tunnel source-drain dans le canal de 6 nm est illustrée sur lafigure 3.15 où est tracée la cartographie des fonctions de Wigner pour deux longueursde grille dans l’état OFF (V GS = 0.05 V). Pendant que la fonction de Wigner prenddes valeurs très faibles dans le canal pour L = 25 nm, des oscillations significativessont visibles pour L = 6 nm aussi bien pour des valeurs positives que négativesdu vecteur d’onde, qui est la manifestation de la persistance de l’effet tunnel et deréflexions quantiques.3.2.2 Comparaison des grandeurs macroscopiquesMalgré ces fortes différentes observées au niveau microscopique, les caractéristiquesélectriques, présentées sur la figure 3.16 et obtenues par les deux approches semiclassique et quantique, sont très proches pour les deux longueurs de grille L = 25 nmet L = 6 nm. Le courant est faiblement dépendant de la longueur de grille ce quicaractérise bien un transport fortement balistique dans le canal.Quelle que soit la tension de grille, le courant de Wigner est systématiquement pluspetit que le courant de Boltzmann. Comme le montre la figure 3.17, la différencerelative du courant de drain entre la simulation Wigner et Boltzmann est toujourstrès faible au dessus du seuil (moins de 10%) et peut atteindre 60% au dessous duseuil.Cette différence est d’autant plus faible que la longueur de grille diminue, alors que

Chapitre 3. Analyse de transport - les effets quantiques 105Fig. 3.16 – Caractéristiques I D -V GS obtenues par simulation de type Boltzmann(en pointillé) et de type Wigner (en ligne continue) pour des longueursde grille de 25 nm et 10 nm à V DS = 0.4 V.Fig. 3.17 – Différence relative du courant entre la simulation de Wigner etde Boltzmann pour trois longueurs de grille différentes (V DS = 0.4 V.)les effets quantiques sont plus importants. Pour 25 nm, l’effet tunnel est toujoursnégligeable et le seul effet quantique possible est la réflexion quantique au bout ducanal, ce qui conduit à un courant plus petit dans le cas de la simulation Wignerque dans la simulation semi classique. Pour L = 6 nm, l’effet tunnel devient possibleet compense en partie les réflexions quantiques. Les courants classique et quantiquesont alors proches.Ainsi, du point de vue de l’évaluation du courant dans le CNTFET, l’approchesemi-classique semble acceptable bien au-delà de son domaine de validité théorique.

106

ConclusionLa microélectronique, puis la nanoélectronique, ne cesse, depuis ses débuts, de surmonterdes obstacles considérés initialement comme infranchissables. En effet, desruptures technologiques et l’apport de nouveaux matériaux ont jusque là permisune progression quasi-continue. Les nanotubes de carbone ont déjà pu démontrerleur fort potentiel à être utilisés comme blocs de base dans des circuits logiques etplus particulièrement en tant que canal de conduction dans les transistors à effet dechamp. Ces nouveaux matériaux pourraient ainsi devenir des briques de base d’unenouvelle profonde évolution dans les technologies de l’électronique.Nous avons précédemment étudié dans l’équipe les transistors à nanotube de carboneà contacts ohmiques [34], ce qui nous a permis de mettre au point les modèles d’interactiondans les nanotubes afin de décrire finement le transport de charges dans lecanal du transistor et d’établir des résultats important au niveau des performancesde ces transistors, notamment sur l’influence de l’épaisseur de l’oxyde de grille surles performances en fréquence de ces transistors. Dans une optique d’intégration dece type de transistors dans des dispositifs du futur, il semble nécessaire de comprendrele fonctionnement de transistors à contacts Schottky qui par leur caractèreambipolaire autorisent un degré de liberté supplémentaire pour les concepteurs decircuits qui peut être mis à profit dans le développement d’architectures innovantes.De plus, l’évaluation des conséquences réelles de la nature quantique du transportsur les caractéristiques électriques est un aspect important et jusque là peu étudiéde la compréhension du fonctionnement de ce transistor. Une telle évaluation peutnotamment fournir des informations utiles au développement de modèles compactsde ce type de transistors qui doivent reposer sur des bases physiques solides.C’est dans ce contexte que s’est situé ce travail de thèse qui est basé sur un ensemble

108de simulations physiques de type Monte Carlo de transistors à nanotube de carbone.Le premier chapitre est essentiellement axé sur la présentation des modèles de transportainsi que ceux utilisés pour la structure des nanotubes de carbone (électrons etphonons).La principale innovation apportée au niveau de la modélisation du transport a étél’adaptation du formalisme de Wigner pour l’étude du transport quantique dans desNTC à courte longueur de grille.Il existe un certain nombre de modèles permettant de traiter le transport quantiqueavec différents degrés d’approximation et de complexité. Le formalisme des fonctionsde Green est certainement la méthode la plus utilisée dans le traitement quantique dutransport [43], mais elle reste limitée aux composants semi-conducteurs de faiblesdimensions en raison de son importante complexité et de sa difficulté de mise enœuvre. L’atout majeur du formalisme de Wigner est sa forte analogie avec le formalismesemi-classique de Boltzmann, lui permettant d’être traité par une méthodeMonte Carlo prenant en compte les mécanismes d’interaction sans plus de difficultéque dans le cas classique. L’équation de Boltzmann correspond en fait au cas limiteclassique de l’équation de Wigner.Le second point important au niveau de la modélisation est l’introduction du modèlepermettant de prendre en compte la nature Schottky des contacts métal-nanotube decarbone. Le coefficient de transmission tunnel à travers la barrière formée dans le nanotubeà l’interface avec le métal est calculé grâce à l’approximation WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin). Une première perspective est l’amélioration de ce modèle. Afinde tester l’approximation WKB utilisée dans nos simulations, nous avons utilisé uncoefficient de transmission issu d’un calcul exact par fonction de Green dans le cadrede la masse effective, effectué par François Triozon du CEA .Pour cette première tentative en simulation fonction Green, la barrière Schottky estformée au niveau d’un contact nanotube-nanotube alors que le contact considéréen WKB est de type métal/nanotube. Cette différence, au niveau de la nature ducontact, limite les possibilités de comparaison à de faibles tensions de polarisationet explique la différence de courant à partir de V GS = 0.5 V, comme on l’a vu dansla figure 1.23 du chapitre 1.

109Dans la gamme de tension considérée, ces deux modèles donnent des résultats toutà fait comparables. Ce travail pourrait se poursuivre en adaptant le modèle fonctionde Green afin de pouvoir se placer dans des situations parfaitement comparables.Le deuxième chapitre présente les résultats de simulation des CNTFET à contactsSchottky en considérant un transport classique dans le canal avec, d’une part, lescaractéristiques électriques et les paramètres clés associés à ce régime (I ON , I OFF , S,g m , g d ) et, d’autre part, l’évolution des grandeurs microscopiques (vitesse, potentiel,champ, concentration, énergie ...) caractérisant le transport de charges dans le canalde conduction.Les performances dynamiques du transistor à nanotube sont aussi évaluées à partirde facteurs de mérite pertinents définis, d’une part, pour des applications numériqueset, d’autre part, pour des applications analogiques haute fréquence. L’influence desdifférents paramètres matériaux et géométriques de la structure comme la hauteur dela barrière Schottky à l’interface métal-nanotube, la longueur de la grille, l’épaisseurde l’oxyde de grille, le diamètre du nanotube, montre que, le plus souvent, un compromisdoit être trouvé afin d’assurer les meilleures performances statiques et dynamiques.Une comparaison des performances entre transistors à contacts ohmiques etceux à contacts Schottky montre que les transistors à contacts ohmiques présententdes avantages indéniables par rapport aux transistors à contacts Schottky : ilspermettent d’obtenir un meilleur rapport I ON /I OFF pour des performances dynamiquespratiquement équivalentes. Mais il ne faut pas négliger l’intérêt particulierdes transistors à contacts Schottky pour de nouvelles architectures exploitant le caractèreambipolaire du transport de charge et les caractéristiques électriques qui endécoulent.Le troisième chapitre est une étude détaillée du transport dans le canal des CNT-FET. Après avoir montré l’importance du transport balistique par une analyse finedu transport classique dans le canal des transistors à nanotube de carbone, j’ai introduitle formalisme de Wigner afin d’étudier l’influence du transport quantique surle comportement microscopique et macroscopique du transistor. La comparaison desrésultats issus du transport classique par le formalisme de Boltzmann et du transportquantique par le formalisme de Wigner montre qu’au niveau microscopique, leformalisme de Wigner met en évidence l’existence dans le CNTFET de phénomènesde cohérence très marqués qui, de façon assez surprenante a priori, ne se répercutent

110qu’assez faiblement au niveau du courant de drain.Nous disposons maintenant de l’ensemble des modèles qui peuvent permettre d’étudiertous types de transistors à nanotube de carbone, voir même des circuits élémentairesconstituées en particulier de transistors à contacts Schottky afin de mieuxcomprendre leur potentialité.

Annexe ARésolution de l’équation dePoisson en 2D cylindriqueDans cette annexe, je présente la méthode des différences finies utilisée pour résoudrel’équation de Poisson en 2D cylindrique. Sur la figure A.1, on peut voir que chaqueanneau est représenté par un carré, et on divise la direction le long du nanotube entranche.L’équation de Poisson s’écrit :∇(ε∇V ) = −ρ(A.1)On peut utiliser le théorème Gauss sous la forme intégrale de l’équation ou l’onk+1k123k-14l-1 l l+1Fig. A.1 – Le maillage cylindrique et son équivalent 2D.

112calcule l’intégrale directement comme cela est fait ci-dessous∇(ε∇V ) = −ρ∫ ∫∇.(−εE)rdrdzdφ = − ρrdrdzdφ∫ ( )1r drdz = ∫ ρrdrdz∂(rεE r)r ∂r∫ ∂(εEz)+ ∂(εEz)∂zdz r dr + ∫ ∂(rεE r)drdz = ∫ ρrdrdz∂z ∂r∫ ∣(εzk E z | 2− ε zk−1 E ∣4 z )rdr + ∫ (rε rl E r | 3− rε rl−1 E r | 1)dz = ∫ ρrdrdz( )(ε l−1,k E z | 2− ε l−1,k−1 E z | 4) r l−1 + DR l−1 DRl−1+ (ε2 2 l,k E z | 2− ε l,k−1 E z | 4) (r l ) DR l∫(rε l,k−1 E r | 3− rε l−1,k−1 E r | 1) DZ k−1+ (rε2 l,k E r | 3− rε l−1,k E r | 1) DZ k=22 +ρrdrdz} {{ }charge(A.2)Attention, r = ∑ ir i DR i()E z | 2ε l−1,k(r l−1 + DR l−1)DR2 l−1 + ε l,k (r l )DR l −() )E z | 4ε l−1,k−1(r l−1 + DR l−1DR l−1 + ε l,k−1 (r l )DR l +2rE r | 3(ε l,k−1 DZ k−1 + ε l,k DZ k ) − rE r | 1(ε l−1,k−1 DZ k−1 + ε l−1,k DZ k ) = 2 ∫ ρrdrdz(A.3)Si l’on calcule la charge dans le terme à droite, où CN(r) est la concentration desporteurs dans une maille, on a()E z | 2 ·(ε l−1,k r l−1 + DR l−1)DR2 l−1 + ε l,k (r l )DR l −( ) )E z | 4 ·(ε l−1,k−1 r l−1 + DR l−1DR2 l−1 + ε l,k−1 (r l )DR l +( )E r | 3 rl + DR l (εl,k−1 DZ2k−1 + ε l,k DZ k ) −)E r | 1(r l−1 + DR l−1(ε2 l−1,k−1 DZ k−1 + ε l−1,k DZ k ) =( )2(CN l−1,k−1 r l−1 + DR l−1 DRl−1 DZ k−1+ CN2 2 2 l,k−1 (r l DR l2) )CN l−1,k(r l−1 + DR l−1 DRl−1 DZ k+ CN2 2 2 l,k (r l ) DR l DZ k2 2DZ k−12+(A.4)Le champ dans une maille suivant chaque direction (z et r) est calculé à partir du

113potentiel aux deux points de la maille.( ) )2 V l,k+1−V l,kDZ k·(ε l−1,k r l−1 + DR l−1DR2 l−1 + ε l,k (r l ) DR l −( ) )2 V l,k−V l,k−1DZ k−1·(ε l−1,k−1 r l−1 + DR l−1DR2 l−1 + ε l,k−1 (r l ) DR l +2 V l+1,k−V l,kDR l· (r )l + DR l (εl,k−1 DZ2k−1 + ε l,k DZ k ) −( )2 V l,k−V l−1,kDR l−1· r l−1 + DR l−1(ε2 l−1,k−1 DZ k−1 + ε l−1,k DZ k ) =( )−(CN l−1,k−1 r l−1 + DR l−1DR2 l−1 DZ k−1 + CN l,k−1 (r l )DR l DZ k−1 +)CN l−1,k(r l−1 + DR l−1)DR2 l−1 DZ k + CN l,k (r l )DR l DZ k(A.5)Attention, r| 3 est la distance de l’origine au milieu de la maille. Puis si on utiliser l = RFM(l) comme la longueur jusqu’à l’interface entre la maille l−1 et la maille l,il faut ajouter DR l /2 à r l pour avoir r| 3 . Similaire à r| 1 . Puis on calcule le coefficientpour chaque terme du potentiel :() )V l,k−1 → 2DZ k−1ε l−1,k−1(r l−1 + DR l−1DR2 l−1 + ε l,k−1 (r l ) DR l( )V l−1,k → 2DR l−1r l−1 + DR l−1(ε2 l−1,k−1 DZ k−1 + ε l−1,k DZ k )V l,k → − ∑ coefficients de tous les autres potentiels( )V l+1,k → 2 rlDR l+ DR l (εl,k−1 DZ2k−1 + ε l,k DZ k )() )V l,k+1 → 2DZ kε l−1,k(r l−1 + DR l−1DR2 l−1 + ε l,k (r l ) DR l(A.6)On a maintenant la matrice avec 5 diagonaux [132]. On peut mettre m = l + (k −1)LM pour changer la matrice V l,k en vecteur U m afin d’économiser la mémoire.V l,k−1 → U m−LMV l−1,kV l,k→ U m→ U m−1(A.7)V l+1,k → U m+1V l,k+1 → U m+LMLa résolution de l’équation de Poisson est la valeur propre de la matrice V , qui estrésolue par la méthode LU. Pour la condition aux limites aux contacts, on fixe lavaleur du potentiel (la condition Dirichlet), et au bord du dispositif, on fixe le champperpendiculaire égal à zéro (la condition Neunman).

114

Annexe BLa structure de bande dugraphèneDans la figure B.1a), on montre la cellule unité où a 1 et a 2 sont les vecteurs unitédans l’espace réela 1 =(√ ) (√ )3a2 , a 3a, a 2 =2 2 , −a 2(B.1)On a |a 1 | = |a 2 | = a = a C C√3 = 1.42√3 = 2.46 A ◦ . Les vecteurs b 1 et b 2 formentle réseau réciproque et satisfont la condition a i b j = 2πδ ij( 2πb 1 = √ , 2π ) ( 2π, b 2 = √ , − 2π 3a a 3a a)(B.2)et |b 1 | = |b 2 | = 4π √3a. La zone de Brillouin est l’aire formée par les médiatrices desvecteurs du réseau réciproque comme on voit l’hexagone en couleur dans la figureB.1b).a)yxb)ABΓb 1KMa 1a 2k yk xb 2Fig. B.1 – a) La cellule unité dans l’espace réel et b) la zone Brillouin d’uncouche de graphite.

116Pour chaque atome carbone, on a quatre orbitaux (s,p x ,p y ,p z ). L’orbital p z estsuffisant parce que la bande d’énergie concernant l’orbital p z (on l’appelle la bandeπ) est covalente et largement séparée des bandes concernant les autres orbitaux. Lesbandes dues aux orbitaux s,p x ,p y (on les appelle les bandes σ) sont soit bien en bassoit bien en haut par rapport au niveau de Fermi et donc ne sont pas importantespour le transport des porteurs.On ne considère que les bandes d’énergie π pour le graphite 2D. Chaque cellule unitécontient 2 atomes A et B et chaque atome a un électron π. Dans la théorie de laliaison forte, les fonctions de Bloch, construites depuis les orbitaux atomiques pourles atomes dans la cellule unité, font les fonctions de base pour le réseau.Φ j (k,r) = √ 1 ∑ Ne ikR φ j (r − R) (j = 1,...,n)NR(B.3)Où φ j signifie la fonction d’onde atomique dans l’état j dans la cellule unité, n estle nombre des fonctions d’onde atomique dans la cellule d’unité. R est le vecteur duréseau réel de l’atome ayant l’état j. N est le nombre de cellules unité. La sommeest prise sur tous les vecteurs du réseau R équivalents à l’atome de l’état j d’unsystème entier. C’est clair que les fonctions de l’équation (B.3) satisfont le théorèmede Bloch.T ai Φ j (k,r) = Φ j (k,r + a i )N∑= √ 1NRe ikR φ j (r + a i − R)N∑= e ika i √1Ne ik(R−ai) φ j (r + a i − R)R−a i= e ika iΦ j (k,r)(B.4)où a i est un vecteur du réseau. Les fonctions propres du système sont la combinaisonlinéaire des fonctions Bloch comme ci-dessous :n∑Ψ(k,r) = C j Φ j (k,r)j(B.5)Pour calculer les fonctions propres (c’est-à-dire les coefficients C j dans l’équationB.5) et les valeurs propres de l’Hamiltonien H, depuis l’équation de Schrödinger, onfait en utilisant la représentation de bra-ket de Dirac :H |Ψ〉 = E |Ψ〉n∑ ∑C j H |Φ j 〉 = E n C j |Φ j 〉jj(B.6)

117Maintenant, on multiplie deux membres de l’équation (B.6) par chaque fonction deBlochn∑∑C j 〈Φ j ′|H |Φ j 〉 − E n C j 〈Φ j ′ |Φ j 〉 = 0jn∑(H j ′ j − ES j ′ j) C j = 0 ;j ′ = 1..nj=1j(B.7)H j ′ j = 〈Φ j ′| H |Φ j 〉 sont appelés les matrices d’interaction, S j ′ j = 〈Φ j ′ |Φ j 〉 sont lesmatrices de recouvrement. Pour une valeur du vecteur d’onde donnée k, on a uneéquation de matrice n × n(H − ES) · C = 0 (B.8)Les fonctions propres du système ne existent qu’avec la conditiondet[H − ES] = 0(B.9)où (B.9) est appelé l’équation séculaire. La solution de l’équation (B.9) donne nvaleurs propres de E pour un vecteur d’onde k donné.Dans le cas de graphène, n est égal à 2 correspondant à deux atomes de carbone Aet B dans la cellule unité, φ j est la fonction d’onde de l’orbitale p z de chaque atome.Maintenant, on calcule la matrice H jj ′ pour le cas de graphène.∑H AA = 1 e ik(R−R′) 〈φNA (r − R ′ )| H |φ A (r − R)〉R,R∑′= 1 〈φN A (r − R)|H |φ A (r − R)〉R=R∑′ e ±ika 〈φ A (r − R ∓ a)|H |φ A (r − R)〉+ 1 NR=R ′ ±a(B.10)+Termes égaux ou plus loin que R = R ′ ± 2a∑= 1 εN 2p + Termes égaux ou plus loin que R = R ′ ± aR=R ′≈ ε 2pDans l’équation (B.10) la contribution maximale à l’élément de la matrice H AA vientde R = R ′ et cela donne l’énergie orbitale du niveau 2p,ε 2p . De façon similaire,H BB = ε 2p(B.11)On va calculer l’élément de matrice H AB . La contribution la plus large vient quanddes atomes A et B sont des voisins les plus proches. On va considérer, par exemple,

118B 2R1a,03k yA B 1R2= −aa, 2k xB 3R2 3a a= − , −2 3 2¡ =¢ £¥ ¡3£¥¡ ¢ £ ¤ ¥Fig. B.2 – Les atomes les plus proches de l’atome A dans graphène.trois atomes B les plus proches par rapport à un atome A, qui se signifient par lesvecteurs R 1 ,R 2 ,R 3 (figure B.2).∑H AB = 1 e ik·(R−R′) 〈φNA (r − R ′ )|H |φ B (r − R)〉R,R∑′= 1 e ik·R 1〈φNA (r − R ′ )| H |φ B (r − R ′ + R 1 )〉R=R ′ +R∑1+ 1 e ik·R 2〈φNA (r − R ′ )| H |φ B (r − R ′ + R 2 )〉R=R ′ +R∑2+ 1 e ik·R 3〈φNA (r − R ′ )|H |φ B (r − R ′ + R 3 )〉R=R ′ +R 3= t ( )e ik·R 1+ e ik·R 2+ e ik·R 3= t · g(k)où t est défini comme(B.12)t = 〈φ A (r − R)|H |φ B (r − R + R i )〉(B.13)On constate que t ne dépend pas de la direction de vecteur R i . g(k) est la fonctionde la somme des facteurs de phase. Par utiliser les coordonnées r et k dans la figureB.2, on a(g(k) = e ikx √ a i 3 + e−k xa √3 +k ya2)+ e i ()a−k x √3a−k y 2( )= e ikx √ a a−ik 3 + 2ex2 √ 3 cos kya(B.14)Parce que g(k) est une fonction complexe et l’Hamiltonien forme une matrice Hermitien,on aH BA = H ∗ AB = t.g ∗ (k)Utiliser l’équation (B.14) la matrice de recouvrement est donnés par2(B.15)S AA = S BB = 1S AB = S ∗ BA = s.g(k)(B.16)

119où s est déterminé pars = 〈φ A (r − R) |φ B (r − R + R i )〉 , i = 1, 2, 3La forme explicit pour H et S peut être écrite comme( ) (ε2p t.g(k)1 s.g(k)H =; S =t.g ∗ (k) ε 2p s.g ∗ (k) 1)(B.17)(B.18)Résoudre l’équation séculaire det[H − ES] = 0, la valeur propre E(k) est obtenuecomme une fonction de k x ,k y :E(k) = ε 2p±t.ω(k)√1±s.ω(k)ω(k) = |g(k)| 2 =√1 + 4 cos √ 3k xacos kya kya+ 4cos22 2 2(B.19)Des paramètres sont dans [54] : ε 2p = 0,t = −3.033 eV,s = 0.129 pour reproduire lastructure de bande du graphène (figure B.3). On a quelques directions importantesde la zone Brillouin sur la figure B.1b) :Γ → M : k x = 0.. 2π √3a,k y = 0M → K : k x = √ 2π3a,k y = 0.. 2π3aΓ → K : k x = 0.. √ 2π3a,k y = √ kx3(B.20)La relation de dispersion dans le cas s = 0 est utilisée comme une approximationsimple pour la structure électronique d’une couche de graphène.√√3kx aE 2D (k x ,k y ) ≈ ±t 1 + 4 cos cos k ya2 2 + 4cos2k ya2(B.21)Fig. B.3 – La structure de bande de graphène dans la zone de Brillouin.

120La méthode peut être développée par utilisant les orbitaux atomiques s,p x ,p y entenant compte des trois liaisons σ en plus des liaisons π [133], [54].

Annexe CLe spectre de phonons dugraphèneDans l’annexe B, on a calculé la structure de bande du graphène avec la conditionque les atomes carbones soient fixés à la position équilibre. En fait, ils oscillentautour de cette position et ils effectuent aussi le mouvement des particules dans lesystème. Les particules quantiques des oscillations des atomes du réseau s’appellentphonons. On commence par considérer le modèle de forces constantes, où les forcesinter-atomes sont présentées par une constante d’élasticité. On ne considère queN atomes dans la cellule unité (N = 2 pour le graphène), dont la coordonnée dedéplacement de l’atome ième (par rapport à sa position équilibre R i ) soitM i ü i = ∑ K ij′′ (u j ′′ − u i ) , i = 1..N (C.1)j ′′où K ij ′′représente le tenseur de forces constantes 3 × 3 entre l’atome i et l’atomej ′′ . La somme sur j ′′ dans l’équation (C.1) est normalement prise sur des voisins lesplus proches de l’atome i. On prend le transforme Fourier de u iu i = √ 1 ∑e −i(k·Ri−ωt) u i kNΩk(C.2)où la somme est sur N Ω valeurs du vecteur d’onde k dans la première zone deBrillouin (N Ω est égal au nombre de cellules unité N dans le réseau réel [134] etR i signifie le position équilibre de l’atome ième . Quand on assume que N atomes

122oscillent avec la même fréquence ω, c’est-à-dire ü i = −ω 2 u i , en utilisant la conditiond’orthogonalité dans l’espace réciproque ∑ R ie i(k−k′ )·R i= N Ω δ k,k ′, on a( ∑j ′′ K ij′′ − M i ω 2 I)u i k − ∑ j ′′K ij′′ e ik·∆R ij ′′ u j′′k = 0(C.3)Noter encore un fois que les valeurs de i et de j ′′ sont différentes. i est l’indice pourN atomes dans la cellule unité, cependant j ′′ est l’indice pour des atomes les plusproches autour de l’atome i, (qui égale à 18 jusqu’aux 4ème voisins les plus prochesdans le graphène). Mais dans l’équation (C.3) pour l’atome j ′′ qui ne sont pas dansla cellule unité, on a u j′′k= u j′k où j′ est un site dans la cellule unité et équivalentà j ′′ (R j ′′ et R j ′ sont différents par un vecteur du réseau réel), grâce à la propriétéde la transforme de Fourier (C.2). Puis dans l’équation (C.3) on n’a que N vecteursinconnus u i k pour une valeur de k donnée, et l’effet des voisins est pris dans le terme∆R ij ′′. On réécrit (C.3) dans la forme de matriceD(k) · u k = 0u k = ( u 1 k ,u2 k ,...,uN k) tD ij (k) =(∑j ′′ K ij′′ − M i ω 2 I)δ ij − ∑ j ′ K ij′ e ik·∆R ij ′ (C.4)D est décomposé par les matrices 3 × 3D ij . Dans l’équation (C.4) i,j est l’indicepour N atomes dans la cellule unité ; j ′′ est l’indice pour des atomes les plus prochesde l’atome i ; j ′ est l’indice pour des atomes les plus proches de l’atome i qui sontéquivalents à l’atome j. Pour obtenir les valeur propres ω 2 (k) et les vecteurs propresu k ≠ 0, on résout l’équation séculairedetD(k) = 0(C.5)Dans le graphène, on a deux atomes dans une cellule unité (figure B.1), puis lamatrice D a la formeD =( )D AA D ABD BA D BB(C.6)La résolution de l’équation (C.5) donne 6 valeurs propres de ω à un vecteur d’ondedonné. Dans la cellule unité, pour l’atome A (figure C.1), on considère ses 4ème voisinsles plus proches dans lesquels il y a 6 atomes équivalents à l’atome A, 12 atomes

123Fig. C.1 – Les voisins les plus proches de l’atome A dans le graphène.équivalents à l’atome B. On présente aussi des distances entre des atomes dans lafigure C.1. C’est pareil pour l’atome B dans la cellule unité. Par utiliser l’équation(C.4) avec des paramètres comme dans [54] on peut tracer le spectre des phononspour le graphène (figure C.2), suivant quelques directions symétriques présentéesdans (B.20).Fig. C.2 – La dispersion des phonons pour le graphène.

124

Annexe DL’approximation non paraboliquepour le NTC zig-zagA partir du calcul de liaison forte, on obtient la formule de la structure de bande deNTC zig-zagE µ NTC√3 = ±t + 4 cos √ 3kacos µπ 2 n−πµ = 0,.., 2n − 1 ; √3< ka ≤ √ π 3+ 2 cos2µπn(D.1)Le minimum des sous-bandes se trouve à k = 0 et égale√E µ min = t 3 + 4 cos µπ 2µπ∣ ∣∣1+ 2 cosn n = t µπ+ 2 cos ∣n(D.2)La première sous-bande correspond au µ qui est le plus proche de la valeur 2n/3,donc 3µ − 2n = ±1 (on choisit le signe pour que µ soit entier). On peut trouver leminimum de la première sous-bande E 1 en développant l’équation (D.2) en série deTaylor à l’ordre 2 en fonction de 1/n en remplaçant µ = 2n/3 ± 1/3 :E 1 = t ∣ ∣1 + 2 cos [ π(2n ± 1)]∣ ∣3n= t ∣ ∣1 − cos π ∓ √ 3 sin π ∣( 3n ) 3n∣= t∣1 − 1 − 1 π 2∓ √ 3 π 2 9n 2 3n∣∣ = t∣ π2 ∓π18n 2 √ ∣∣3n)= √ tπ3n(1 ∓ π6 √ 3n)= E 0(1 ∓ π6 √ 3n(D.3)

126où E 0 = tπ √3n. Pour la deuxième sous-bande, on voit bien que cela correspond aucas où |3µ − 2n| = 2. En replaçant µ = 2(n ± 1)/3 dans (D.2), on obtient :E 2 = t ∣ ∣1 + 2 cos [ 2π(n ± 1)]∣ ∣3n= t ∣ 1 − cos2π∓ √ 3 sin 2π ∣( 3n 3n∣= t∣1 − 1 − 2( 1 2π) ) 2∓ √ 3 2π3n 3n∣)= t √ 2π3n(1 ∓ π3 √ 3n)= 2E 0(1 ∓ π3 √ 3n(D.4)Pour le minimum de la troisième sous-bande, on a |3µ−2n| = 4 (attention, |3µ−2n|n’est pas égale à 3 quand n n’est pas un multiple de 3). En remplaçant µ = (2n±4)/3dans (D.2), on obtient :E 3 = t ∣ ∣1 + 2 cos [ π(2n ± 4)]∣ ∣3n= t ∣ ∣1 − cos 4π ∓ √ 3 sin 4π ∣( 3n ) 3n∣= t∣1 − 1 − 1 × 16π2 ∓ √ 3 4π2 9n 2 3n∣)= 4 √ tπ3n(1 ∓ 2π3 √ 3n)= 4E 0(1 ∓ 2π3 √ 3n(D.5)Pour déterminer la masse effective et le coefficient α par l’approximation nonparabolique,on considère d’abord la formule(E − E 1 )[1 + α 1 (E − E 1 )] = 2 k 22m ∗ 1α 1 E 2 + (1 − 2α 1 E 1 )E + α 1 E 2 1 − E 1 = 2 k 22m ∗ 1(D.6)Comme dans (D.2), il n’y a pas de terme E, on pose1 − 2α 1 E 1 = 0α 1 = 112E 1= ( )2E 0 1∓π6 √ 3n(D.7)En réinjectant (D.7) dans l’équation (D.6), on a :12E 1E 2 + 12E 1E1 2 − E 1 = 2 k 22m ∗ 1E 2 + E1 2 − 2E1 2 = 2 k 22E2m ∗ 11E 2 = E1 2 + 2 E 1k 2m ∗ 1(D.8)

127Maintenant, on considère la structure de bande (D.1) pour la première sous-bandeavec 3µ − 2n = ±1 et on développe en série de Taylor en fonction de 1/n :E 2 = t[3 2 + 4 cos √ (3kacos π 2n±1) (2 n 3 + 2 cos2π 2n±1) ]n 3= t[3 2 + 4 cos √ (3ka −1cos π ∓ √ ) (3sin π −1 2π+ 2 cos ∓ −√ 32 2 3n 2 3n 2 3n= t[3 2 + 4 cos √ ( ()3ka −11 − 1 · π2 + 1 · π 4∓ √ (3 · π− 1 · π 32 2 2 9n 2 24 81n 4 2 3n 6( () ( ))]−1+2 1 − 1 · 4π2 + 1 · 16π4 ∓ −√ 3 2π· − 1 · 8π32 2 9n 2 24 81n 4 2 3n 6 27n 3= t[3 2 + cos √ (3ka−2 + π2 −π4 ∓ 2π2 9n 2 12×81n 4 √3n±−1 + 2π29n 2 −8π4 ± 2π12×81n 4 √3n∓]4π327 √ 3n 3On fait ensuite une série de Taylor pour k, on a[( ) (E 2 = t 2 1 − 1 · 3a22 4 k2 −2 + π2 −9n 2= t 2 (+2 + 2π29n 2 −π 2−3n(2= t2 π 23n 2≈ E 2 1 +8π4 ± 2π12×81n 4 √3n∓)9 √ +3n 3π4 ∓ π312×9n 4)1 ∓ π3 √ − π2 +3n 36n(2 2 ± √ 2π3n− π2 ∓9n 2 2 E 1m ∗ 1π4 ∓ 2π12×81n 4 √3n±]4π327 √ 3n 3(2 − π29n 2 +)π327 √ 3n 3)π327 √ 3n 3π4 ± 2π12×81n 4 √3n∓)]sin 2π2 3n))27n 3)π327 √ · 3a2 t 2k 23n 3 8(D.9)()2 ± √ 2π3n− π2 ∓π39n 2 27 √ + π4 · 3a2 t 2k 23n 3 12×81n 4 8)π327 √ + π4 · 3a2 t 2k 2 3n 3 12×81n 4 8(D.10)En comparant l’équation (D.10) avec l’équation (D.8), on a(= 2 ± √ 2π3n− π2 ∓9n 2m ∗ 1 = 823a 2 t 2 ·2± 2π √3n− π2)π327 √ + π4 3a 2 t 23n 3 12×81n 4 89n 2 ∓ π327 √ 3n 3 + π412×81n 4E 1(D.11)De la même façon, on a pour la deuxième sous-bande (avec 3µ − 2n = ±2)α 2 = 1m ∗ 2 = 8212E 2= ( )4E 0 1∓π3 √ 3net la troisième sous-bande (3µ − 2n = ±4)α 3 = 1m ∗ 3 = 82(D.12)E 23a 2 t 2 2± √ 4π − 4π23n 9n 2 ∓ 8π327 √ 3n 3 + 4π43×3 4 n 412E 3= ( )8E 0 1∓2π3 √ 3n(D.13)E 33a 2 t 2 2± √ 4π − 16π23n 9n 2 ∓ 64π327 √ 3n 3 + 64π43×3 4 n 4Comparé aux résultats de Pennington [70], nos résultats sont meilleurs.

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