etude theorique et experimentale du transport electronique ... - Ief

REMERCIEMENTSCette étude a été menée en parallèle au Laboratoire d'Electronique et des Technologies del’Information (LETI), à STMicroelectronics au sein de l’alliance Crolles 2 et à l’Institut d’électroniqueFondamentale (IEF) de l’université d’Orsay Paris XI.Mes premiers remerciements vont à Monsieur Philippe Dollfus qui a accepté de me diriger dans cetravail de recherche. Il a su me faire bénéficier de son expérience et de sa compétence. Je le remerciepour son soutien et sa disponibilité constante.Je tiens à exprimer ma profonde gratitude à Monsieur Gilles Lecarval spécialiste de la simulationnumérique pour sa confiance et ses précieux conseils.Je remercie tout particulièrement Monsieur Hervé Jaouen qui m’a accueilli su sein du laboratoireTCAD à ST, dont l’aide technique m’a été très utile.Je ne saurais oublier de remercier Monsieur Sylvain Barraud et Monsieur Etienne Robilliart pourles discussions fructueuses et leurs aides incomparables et quotidiennes.J'exprime ma plus profonde gratitude à Madame Sylvie Retailleau, professeur à l’IEF, qui me faitl'honneur de présider la commission d'examen.Bien entendu, je n'oublie pas Jean Luc Autran, chercheur au L2MP, et Emmanuel Dubois,chercheur à l’ISEN, qui ont bien voulu examiner ce travail et pour leur présence dans le jury.Je remercie aussi Monsieur Alain Poncet pour sa présence dans le jury et pour son intérêt porté àmes travaux.Merci à Monsieur André Juge, responsable de la TCAD dans l’alliance Crolles 2 et lahiérarchie de STMicroelectronics, Monsieur Mortini et Monsieur Labruny de m'avoir accueilli au seinde leur département.Merci à Monsieur François De Crécy et Monsieur Fabien Boulanger, de m'avoir accueilli ausein de leur département au LETI.Au jour le jour, j’ai pu compter sur le soutien sans faille de Monsieur Davy Villanueva etMonsieur Frédéric Salvetti. Par nos discussions riches et variées, ma réflexion fut facilitée. Merci.Bien entendu, je n'oublie pas Monsieur Thomas Skotnicki, qui m’a accordé sa confiance pourmettre en œuvre mes travaux dans le logiciel MASTAR et qui a permis de travailler en lien étroit avecson équipe.Mon travail sur la modélisation compacte ne serait rien sans l’informaticien Laurent Gayet. Il a,grâce à son important travail, donner à mes travaux une interface riche et des bases solides nécessairesaux futures améliorations. Merci encore.

J'exprime ma plus profonde gratitude à Frédéric Bœuf qui m’a aidé à mettre en place la fabricationdes diodes et qui m’a donné certaines de ses plaques pour leurs réalisations.Je remercie tout particulièrement Arnaud Pouydebasque et Fabrice Payet pour nos discussionsfructueuses sur les modèles de résistances d’accès et sur la modélisation compacte.J'exprime ma plus profonde gratitude à Nicolas Planes qui m’a effectué les caractérisationssystématiques des diodes.Je remercie tout particulièrement Cyril Laviron qui a effectué les implantations tiltés au LETI.Bien entendu, je n'oublie pas Denis Mariolles pour les révélations chimiques et Frédéric Laugierpour les mesures SIMS. Ils ont permis de donner un visage à ces diodes.Enfin, dans le cadre de l’étude sur les diodes, je tiens à remercier David Roy et le Olivier pour leurcontribution aux mesures C(V).De même, Alexandre Dray, Alexandre Martin, Jérôme Bonnouvrier, Florian Cacho, ArdéchirPakfar, Raphaël Hude, David Fraboulet, Xavier et Blandine Renard m’ont aidé de temps en temps etont permis que ces trois années à STMicroelectronics se déroulent parfaitement.Dans le même esprit, mais du côté du LETI, je remercie Jean Charles Barbe, François Charles,Olga Cueto, Philippe Blaise, François, Julie et Olivier et les stagiaires et Post Doc rencontrés pour leurbonne humeur et leur aide.Une mention particulière pour Marianne et Cyril et Cyril, mes collègues thésards pour leur soutiende tous les jours.Je remercie aussi tous les membres de l’équipe Module Avancé pour leur bonne humeur.Mes premiers remerciements vont aussi à toute l’équipe de l’IEF, qui m’a beaucoup aidé même sil’on s’est peu vu. Merci à Arnaud, Sylvie, Valérie, Johan, Eric et Jérôme. Merci à Hugues pour sacourbe du transport en dynamique.Mes remerciements ne sauraient oublier Corinne, Myriam et Nicole pour leur aide dans lestâches administratives.J'ai apprécié les discussions interminables avec mes amis pingouins (eux aussi en thèse☺) quim’ont permis de relativiser mes difficultés lorsqu’elles survenaient. Je les remercie pour leur écoute.Enfin, j'ai une pensée toute particulière pour ma famille et ma chérie Magali, dont le soutienne m'a jamais fait défaut. Ils ont su contribuer à leur façon à l'aboutissement de ce travail que je leurdédie aujourd'hui.

Tables des matièresTABLE DES MATIERESTABLE DES MATIERES....................................................................................................... 1INTRODUCTION ................................................................................................................... 5Contexte et motivation de la thèse ..................................................................................................5Présentation du manuscrit................................................................................................................6Références ........................................................................................................................................7CHAPITRE I :INTRODUCTION AU TRANSPORT ELECTRONIQUE .................................................. 91.EVOLUTION DE LA MICROELECTRONIQUE.....................................................................92.LES EFFETS NON STATIONNAIRES ...................................................................................102.1.Transport stationnaire.................................................................................................102.2.Transport non stationnaire..........................................................................................112.3.Les effets quasi-balistiques ........................................................................................132.4.Conclusion ..................................................................................................................143.NOTIONS FONDAMENTALES DU TRANSPORT ELECTRONIQUE..............................143.1.La structure de bande du silicium ..............................................................................153.2.Les interactions dans le silicium à 300K ...................................................................184.L’EQUATION DE TRANSPORT DE BOLTZMANN ...........................................................284.1.La fonction de distribution .........................................................................................284.2.L’équation fondamentale du transport .......................................................................294.3.Intégrale de collision ..................................................................................................304.4.Domaine de validité de l’équation de transport de Boltzmann .................................305.LA NOTION DE MOBILITE....................................................................................................315.1.Introduction.................................................................................................................315.2.L’approximation de la Maxwellienne déplacée.........................................................315.3.L’approximation du temps de relaxation ...................................................................335.4.Calcul de la vitesse et de la mobilité sous un champ E .............................................345.5.Notion de masse effective de conduction ..................................................................355.6.Approximation de la règle de Mathiessen .................................................................355.7.La mobilité dans un gaz 2D........................................................................................375.8.Conclusion ..................................................................................................................376.LES EFFETS NON STATIONNAIRES ET QUASI BALLISTIQUES VUE SOUS L’ANGLEDE LA FONCTION DE DISTRIBUTION ..................................................................................386.1.Transport stationnaire.................................................................................................386.2.Transport non stationnaire..........................................................................................396.3.Transport balistique ....................................................................................................407.CONCLUSION...........................................................................................................................418.REFERENCES ...........................................................................................................................41- 1 -

Tables des matièresCHAPITRE II :LES DIFFERENTS NIVEAUX DE LA MODELISATION............................................... 451. INTRODUCTION .....................................................................................................................452. SIMULATIONS NUMERIQUES CONVENTIONNELLES .................................................462.1. Méthode des moments : modèle de Bløtekjaer.........................................................462.2. Modèle de Stratton ....................................................................................................502.3. Modèle Dérive-Diffusion ..........................................................................................512.4. Critiques des modèles hydrodynamiques. ................................................................522.5. Bilan...........................................................................................................................542.6. Insertion des effets quantiques ..................................................................................552.7. Conclusion .................................................................................................................573. SIMULATION NUMERIQUE POUR LES DISPOSITIFS ULTIMES.................................583.1. Monte Carlo...............................................................................................................583.2. Fonctions de Green....................................................................................................614. MODELES ANALYTIQUES ET COMPACTS......................................................................634.1. Introduction................................................................................................................634.2. Modèles stationnaires................................................................................................634.3. Modèles non stationnaires.........................................................................................644.4. Approche de Landauer ..............................................................................................654.5. Modèle compact SPICE ............................................................................................715. SAVOIR SE SITUER SUR L’EVENTAIL DE LA MODELISATION.................................725.1. Introduction................................................................................................................725.2. Prédictions et précisions............................................................................................725.3. Compromis en TCAD ...............................................................................................725.4. Bilan d’un point de vue transport..............................................................................736. NOTRE CONTRIBUTION.......................................................................................................756.1. Analyse expérimentale des effets non stationnaires.................................................756.2. Réalisation d’un modèle analytique physique pour MOSFET. ...............................757. REFERENCES ..........................................................................................................................76CHAPITRE III :ETUDE EXPERIMENTALE DES EFFETS NON STATIONNAIRES............................ 831. INTRODUCTION .....................................................................................................................832. INTERETS DES DIODES........................................................................................................833. LES DIODES EXPERIMENTALES N+/N/N+ ETUDIEES ..................................................844. LA TECHNIQUE DE FABRICATION...................................................................................864.1. Choix de la technologie de fabrication .....................................................................864.2. Les différentes variantes de diodes ...........................................................................885. MISE EN EVIDENCE DU TRANSPORT NON STATIONNAIRE .....................................895.1. Méthodologies de calibrage ......................................................................................895.2. Vérification des hypothèses de transport 1D sans effet parasite..............................945.3. Etude en dispersion....................................................................................................955.4. Comparaison entre les modèles.................................................................................966. COMPARAISON EXPERIMENTALE ...................................................................................98- 2 -

Tables des matières6.1. Comparaison entre Dérive-Diffusion et les caractérisations....................................986.2. Comparaison entre les modèles hydrodynamiques et les caractérisations...............996.3. Comparaison entre MONTE CARLO et les caractérisations ................................1017. ANALYSE QUALITATIVE DES DIODES..........................................................................1027.1. Analyse des diodes symétriques .............................................................................1027.2. Analyse des diodes asymétriques............................................................................1048. INFLUENCE DE LA TEMPERATURE ...............................................................................1068.1. But de l’expérience..................................................................................................1068.2. Résultats...................................................................................................................1079. BILAN .....................................................................................................................................10810. MISE EN EVIDENCE DU TRANSPORT QUASI-BALISTIQUE ...................................11010.1. Introduction ...........................................................................................................11010.2. Analyse du transport quasi-balistique avec les fonctions de distribution............11010.3. Les différents régimes de transport.......................................................................11310.4. Spectroscopie des interactions ..............................................................................11610.5. Notion de classes de porteurs................................................................................11711. ANALYSE THEORIQUE POUR CHOIX DE MODELE..................................................12111.1. Introduction ...........................................................................................................12111.2. Les effets non stationnaires...................................................................................12111.3. Les effets quasi balistiques....................................................................................12311.4. Relation entre α NSE et α BAL ..................................................................................12411.5. Quels modèles utiliser ? ........................................................................................12412. CONCLUSION......................................................................................................................12613. REFERENCES ......................................................................................................................128CHAPITRE IV :MODELISATION ANALYTIQUE DU TRANSPORT QUASI BALISTIQUE............. 1311. INTRODUCTION ...................................................................................................................1312. L’APPROCHE DE LANDAUER...........................................................................................1312.1. Rappels et cadre de l’étude......................................................................................1312.2. Limitations du modèle compact standard ...............................................................1323. NOUVEAU MODELE DE RETRO-DIFFUSION................................................................1333.1. Introduction..............................................................................................................1333.2. Modèle .....................................................................................................................1343.3. Analyse spectroscopique.........................................................................................1464. MODELISATION ANALYTIQUE DU COURANT............................................................1474.1. Modélisation du courant..........................................................................................1474.2. Mise en conformité avec la mobilité universelle....................................................1484.3. Analyse spectroscopique.........................................................................................1534.4. Calcul de la charge en haut de la barrière...............................................................1545. MODELISATION DES EFFETS DE QUANTIFICATION.................................................1595.1. Introduction..............................................................................................................1595.2. Modélisation de la quantification............................................................................1595.3. Conclusion ...............................................................................................................1616. MODELISATION DE LA VITESSE DANS LE CANAL ...................................................162- 3 -

Tables des matières6.1. Introduction..............................................................................................................1626.2. Principe de modélisation .........................................................................................1626.3. Modélisation de la balisticité...................................................................................1656.4. Modélisation de la fonction de distribution ............................................................1657. MODELISATION DE LA SPECTROSCOPIE DE PORTEURS ........................................1677.1. La fonction SPEC(i): Régime QB Fort et QB faible..............................................1677.2. Calcul de .........................................................................................................1687.3. Calcul de N(1)..........................................................................................................1698. MODELISATION DU TRANSPORT DANS LE SILICUM CONTRAINT ......................1718.1. Introduction..............................................................................................................1718.2. Influence de la contrainte sur les grandeurs physiques ..........................................1728.3. Modélisation de l’effet de la contrainte sur la charge.............................................1758.4. Modélisation de l’effet de la contrainte sur la vitesse d’injection..........................1768.5. Application à la contrainte induite par le Contact Edge Stop Layer......................1798.6. Conclusion ...............................................................................................................1819. FEUILLE DE ROUTE DE L’ITRS ........................................................................................18110. CONCLUSION ET PERSPECTIVES..................................................................................18011. REFERENCES ......................................................................................................................182CONCLUSION .................................................................................................................... 187Le travail effectué ........................................................................................................................187Les perspectives ...........................................................................................................................189- 4 -

IntroductionINTRODUCTIONCONTEXTE ET MOTIVATION DE LA THESEDepuis les années 1960, l’industrie de la micro-électronique connaît une évolution rapide baséeessentiellement sur les progrès technologiques qui ont permis un accroissement considérable de ladensité d'intégration des transistors MOS. Alors que le premier circuit intégré comprenait en 1962 uneporte "inverseur" à deux transistors, les microprocesseurs les plus performants actuellement sontconstitués de plusieurs dizaines de millions de transistors MOS. Décrite par la « loi » empirique deMoore [1], la réduction des dimensions des transistors CMOS sur substrat massif, qui a assuré cetteévolution rapide, devrait permettre de prolonger l’augmentation des performances des circuits intégrésjusqu’en 2015 environ. A cette date, les feuilles de route de l’ITRS 2004 prédisent des transistors MOSde longueur physique de 9nm [2]. De nombreux problèmes tant économiques (coût des usines et desoutils) que techniques (matériaux, procédés, architecture) vont devoir être résolus pour espérer atteindrecet objectif.Ainsi, il est nécessaire que les acteurs de chaque domaine de la microélectronique adaptent leursconnaissances et leur expertise technique. Cette thèse s’inscrit dans cet élan, du point de vue de lasimulation électrique TCAD (« Technological Computer Aided Design »). En effet, la simulation TCADdoit permettre d’effectuer des réductions de coûts de développement de 35% environ [2]. Parconséquent, il est très important pour les ingénieurs en simulation de connaître parfaitement la physiquedu transport (et des procédés) et d'adapter leurs outils d'investigation à la réalité des enjeux.Cependant, cet exercice est difficile. En effet, comme dans d’autres domaines de la nanoélectronique, laréduction de taille amène à se reposer des questions sur les lois macroscopiques de la physiquecommodément utilisées jusqu'à présent. Dans le cadre du transport électronique, c’est la notionmacroscopique de mobilité qui perd petit à petit de son sens et de sa pertinence. En effet, dans les petitsdispositifs, la vitesse moyenne augmente notablement du fait de l’apparition des effets non stationnaireset quasi-balistiques. Pour comprendre ces effets et leur influence sur le fonctionnement du MOSFET, ilest nécessaire de revoir les notions fondamentales du transport électronique. L’objectif de cette thèse estdonc d’apporter un éclairage sur le transport électronique dans les nanotransistors pour aider, à l'avenir,les acteurs de la recherche/développement à choisir les types de simulation les plus pertinents.Notre démarche a d'abord consisté à améliorer notre connaissance du transport, notamment grâce à descomparaisons expérimentales mettant en évidence les effets non stationnaires, et grâce aussi, au moyende simulations Monte Carlo et d’une analyse spectroscopique des interactions. Ces observations nous ontconduit à la mise au point d'un modèle quasi-analytique du courant donnant une description du transportélectronique dans les dispositifs ultimes.- 5 -

IntroductionPRESENTATION DU MANUSCRITLe Chapitre I a pour objet la présentation des phénomènes physiques de transport qui interviennent dansle fonctionnement des transistors. Après une explication phénoménologique des effets non stationnaireset quasi-balistiques, la physique de base nécessaire à la compréhension du transport est détaillée : notionde masse effective, calcul des fréquences d’interaction. Ensuite, la fonction de distribution est introduitepour développer l’équation fondamentale du transport de Boltzmann. Cette équation permet notammentde définir la notion de mobilité dont la validité sera discutée dans ce mémoire. Enfin, le chapitre setermine par l’illustration des effets non stationnaires et quasi-balistiques en terme de fonction dedistribution.Le Chapitre II présente, quant à lui, un état de l’art de la simulation des dispositifs MOSFETS ultimes.Les différents niveaux de modélisation y sont décrits. Cela commencera par le rappel des modèlesDérive-Diffusion et Hydrodynamiques et de leurs limites. Ensuite, la technique de simulation MonteCarlo est détaillée car elle constitue notre référence dans ce travail de thèse avec le logiciel MONACO[3]. Les méthodes de simulation prenant en compte les effets quantiques sont alors détaillées. Puis, lesmodèles analytiques, du transport stationnaire au transport balistique, sont rappelés, notammentl’approche de type "Landauer" utilisée ensuite dans notre travail de modélisation compacte. Enfin, cechapitre se termine par le bilan des avantages et inconvénients de chacune des approches et par uneréflexion sur l’utilisation du modèle adéquat face à un problème donné.Les deux chapitres suivants correspondent spécifiquement au travail de thèse.Dans le Chapitre III, les effets non stationnaires sont étudiés expérimentalement.Par la réalisation et la caractérisation de diodes n+/n/n+, ces effets sont mis en évidence. De plus, parcomparaison entre les modèles Dérive-Diffusion, Hydrodynamiques et Monte Carlo, des analysesoriginales sont effectuées pour mettre en exergue les limites de ces modèles. Ensuite, l'étude de laspectroscopie en vitesse des porteurs et des mesures en température permet d’affiner la compréhensiondu transport. Enfin, deux calculs théoriques tentent de définir de façon appropriée les différents régimesde transport, stationnaire, non stationnaire et quasi-balistique, et de proposer pour chacun d'eux l’emploidu modèle adéquat.Le Chapitre IV présente le développement d’un nouveau modèle de rétro-diffusion pour déterminer lavitesse d’injection dans le canal d'un transistor par l’approche de type "Landauer". Ce modèle, destiné àla modélisation compacte, est validé par des spectroscopies de porteurs résultant de simulation MonteCarlo. De plus, ce modèle est inclus dans un modèle de courant lui-même mis en œuvre dans le logicielMASTAR QUASI BALLISTIC. Il est ensuite étendu à l'évaluation de la vitesse des porteurs le long ducanal et de la contribution des porteurs balistiques au courant. La courbe de spectroscopie en vitesse desporteurs est ensuite modélisée pour donner un nouvel éclairage sur le transport quasi-balistique par lebiais d'une approche quasi-analytique. Enfin, ce modèle est étendu à l’étude de l’influence de lacontrainte induite par les techniques de fabrication.- 6 -

IntroductionREFERENCES[1] “Cramming More Components Onto Integrated Circuits”, Gordon Moore, Electronics, April 19,1965. Disponible sur: http://www.intel.com/technology/mooreslaw/index.htm[2] “International Technology Road Map for Semiconductors”, 2004 Edition, Semiconductor industryAssociation, http://www.itrs.net.[3] “Etudes théoriques de structures pour l’électronique rapide et contribution au développement d’unsimulateur particulaire Monte Carlo”, P. Dollfus, Habilitation à diriger les recherches, n°363, 1999.- 7 -

Introduction- 8 -

Chapitre I : Introduction au transport électroniqueCHAPITRE I :INTRODUCTION AU TRANSPORTELECTRONIQUE1. EVOLUTION DE LA MICROELECTRONIQUEDepuis les années 1970, la course intense à la miniaturisation des transistors n’a pas cessée (FigureI-1). Aujourd’hui les MOSFETs produits ont une longueur de grille quelques dizaines de nanomètres(Figure I-2). Cette réduction d’échelle nécessite d’introduire de nombreux effets correctifs sur lesmodèles usuels de fonctionnement du MOSFET [1]. L’un d’entre eux est l’augmentation de la vitessedes porteurs dans les petits dispositifs due à l’apparition des effets non stationnaires et récemment deseffets quasi-balistiques qui en sont un cas particulier. Pour comprendre ces effets et leur influence surle fonctionnement du MOSFET, il est nécessaire de revoir les notions fondamentales du transportélectronique. En effet, si ces notions sont assez anciennes et solidement fondées, elles restentnéanmoins à l’heure actuelle peu utilisées dans le domaine de l'aide au développement technologiquedes composants MOS. Tant que les grandeurs macroscopiques, comme la mobilité, suffisaient à ladescription et à l’analyse des performances des transistors, l’intérêt pour la physique sous-jacente nes’est pas fait sentir. Mais l’apparition des effets non stationnaires avec le développement desgénérations sub-200nm a dévoilé les premières difficultés liées à la compréhension du transport. Ceseffets ont cependant été maîtrisés d’un point de vue TCAD (Technological Computer Aided Design),avec l’apparition du modèle hydrodynamique [2] et d’un point de vue SPICE (Software ProcessImprovement and Capability dEtermination) par correction de la vitesse de saturation et de lamobilité [3]. Mais aujourd’hui, la génération des transistors MOS à longueur de grille inférieure à45nm et la diversité des architectures imposent de revoir la notion macroscopique de mobilité. Letransport électronique quasi-balistique [4], le confinement des porteurs dans les couches minces [5], etla déformation de la structure de bande du silicium liée aux contraintes induites par les techniques defabrication [6] amènent à réétudier les notions fondamentales du transport pour définir des grandeursplus pertinentes pour l’étude des transistors. Tous ces effets prenant de plus en plus d’importance avecla réduction dimensions des des transistors, il est important, pour chaque ingénieur et chercheur enmicroélectronique de connaître les notions de base et les différentes approximations de la physique dutransport électronique.Dans ce premier chapitre, nous introduirons d'abord phénoménologiquement les effets nonstationnaires et quasi-balistiques. Ensuite, les concepts du transport électronique (masse effective,équation de transport de Boltzmann…) nécessaires pour l’étude du transport seront rappelés. Enfin, cechapitre se terminera par la visualisation des effets non stationnaires et quasi-balistiques avec lafonction de distribution.- 9 -

Chapitre I : Introduction au transport électroniqueFigure I-1 : Evolution du nombre de transistors sur unepuce depuis les années 1970. Le nombre de transistorsdouble tous les 18 mois environ.Figure I-2 : Image d’un transistor STMicroelectronics delongueur de grille 67 nm par photo TEM.2. LES EFFETS NON STATIONNAIRES2.1. Transport stationnaireDans les transistors de longueur de grille supérieure à 1µm environ, le transport est stationnaire et legaz électronique vérifie les lois de mobilité. Le courant est alors décrit comme la somme de deuxcomposantes, une composante de dérive due au champ électrique E et un terme de diffusion dû augradient de la densité de porteurs. C’est le modèle Dérive-Diffusion. Ainsi pour les électrons :( n E + D n)J = q µ ∇0 n I- 1Où µ est la mobilité des porteurs et D n le coefficient de diffusion du gaz électronique. Dans cetteapproche le gaz électronique est supposé à l’équilibre et la température du gaz égale à la températuredu réseau [7]. En régime stationnaire, la vitesse moyenne des porteurs dans le canal est régie par lamobilité µ qui représente la faculté des porteurs de se mouvoir dans le silicium sous un champélectrique E. Pour la définir, il est nécessaire que le transport se fasse à faible champ et que le nombred’interactions soit important. Lorsque c’est le cas, cette grandeur peut être déterminéeexpérimentalement en fonction du dopage, comme illustré sur la Figure I-3 et du champ effectif deconfinement [8]. Dans les années 1970, des chercheurs italiens ont mesuré précisément la vitesse dedérive et observé la saturation de cette vitesse [9] à partir d’un champ critique E c d’environ3×10 4 V/cm à 300K, comme on peut le voir sur la Figure I-4. La vitesse n’est alors plus proportionnelleau champ. Deux configurations sont alors possibles :-Lorsque E

Chapitre I : Introduction au transport électroniquel’hypothèse d’un phonon prédominant d’énergie h ω , la vitesse de saturation est donnée par la relationI- 2 [10]:vsathω≈ I- 2m*coù m c la masse effective de conduction. Dans ces conditions de saturation en vitesse, l’énergie dedérive reste constante et l’énergie supplémentaire induite par le champ électrique apparaît dans lacomposante thermique, 3/2kT C . Dans ce régime de transport, la température du gaz électronique T Caugmente telle que [10] :22 q⎛2⎛ E ⎞ ⎞TC = TL + τwµ0E = TL1+ 3 k⎜⎜ ⎟BE ⎟⎝ ⎝ C ⎠ ⎠où τ w est le temps de relaxation de l’énergie. Sans dopage dans le silicum, la mobilité en fonction de latempérature électronique s’écrit [10]:I- 3( )Tµµ =⎛⎜ ⎛ E1+⎜⎜⎝ ⎝ E CL0µ TC= µ01/ 2T2C⎞⎟⎠⎞⎟⎟⎠I- 4Figure I-3 : Mobilité des électrons en fonction de la densitéde dopants donneurs à différentes températures[11]Figure I-4 : Mobilité des électrons en fonction du champélectrique. A faible champ, la vitesse est proportionnelle auchamp. Ensuite elle sature lorsque le champ dépasse3.10 4 V/cm environ En ligne continue, direction et enligne pointillée [12]2.2. Transport non stationnaireSuite à la réduction d’échelle, pour les transistors de longueurs de grille inférieure à 200nm environ, lechamp varie rapidement dans le canal. Cette variation du champ engendre alors une augmentationconstante de l’énergie transmise au gaz. Dans le même temps, les phonons ne peuvent absorberinstantanément cet excès d’énergie par rapport à l’énergie d’équilibre. Ce phénomène se traduit parl’équation (I- 5) [13]. Elle définit les effets non stationnaires lorsque le gain d’énergie dans le tempsinduit par le champ est plus grand que la puissance que peut dissiper le réseau par l’intermédiaire desphonons inter-vallées.- 11 -

Chapitre I : Introduction au transport électroniquedεω> h I- 5dt τwOù ε est l’énergie du gaz électronique, hωl’énergie moyenne des phonons et τ w le tempscaractéristique qu’il faut aux phonons pour absorber un excès d’énergie du gaz électronique.L’expression I- 5 indique un phénomène temporel. Sur la Figure I-5 est tracée l’évolution dans letemps de la vitesse et de l’énergie moyenne du gaz électronique sous l’effet d’un champ électrique àt=0 (simulation Monte Carlo). Sous l’effet du champ, la vitesse augmente rapidement. Lorsque lesporteurs sont hautement énergétiques, leur probabilité d’interaction avec les phonons inter-valléesaugmente fortement. La vitesse revient alors à l’équilibre et l’excès d’énergie est transféré dans lacomposante thermique de l’énergie. Ainsi, à environ 0.1ps, la vitesse décroît et tend vers la vitesse desaturation. Dans le même temps, l’énergie des porteurs sature à 3/2kT C , où T C vérifie l’équation I- 3.Ces simulations mettent en évidence deux temps de relaxation différents : un temps de relaxation moyen de l’énergie τ w , qui vaut 0.32ps. C’est le temps de réponse dugaz électronique pour ajuster son énergie. un temps de relaxation moyen de la vitesse τ m , qui vaut 0.029ps pour un dopage de10 17 at/cm3. C’est le temps réponse du gaz électronique pour ajuster sa vitesse. Cependant, lavitesse et l’énergie étant corrélées, la mise à l’équilibre complète de la vitesse en stationnaireest liée aussi au temps de relaxation τ w , comme illustré sur la Figure I-5.Expérimentalement, ce temps de relaxation de l’énergie a été déterminé à 1ps, par Hess et Seeger, dansle silicium à 300K. [15]. Cependant, d’un point de vue théorique, les simulations Monte Carlo à fortschamps donnent une valeur d’environ 0.3ps [16]. Ce temps de relaxation de l’énergie est représentatifdes interactions inélastiques qui émettent ou qui absorbent de l’énergie, et qui par là même, fontévoluer les vitesses des porteurs pour tendre vers la saturation.Pars ailleurs, ce phénomène temporel peut se traduire spatialement. En effet, les effets nonstationnaires peuvent apparaître lorsque le champ varie rapidement spatialement et que la distanceentre deux interactions inélastiques est trop grande pour absorber l’excès d’énergie acquise pendantcette distance.vitesse(cm/s)energie(ev)2 10 7 00,25vitesse(cm/s)1,5 10 7110 7510 60,20,150,10,05energie(ev)00 0,5 1 1,5 2temps(ps)Figure I-5 : Evolution de la vitesse et de l’énergiemoyenne des porteurs sous l’effet d’un échelon de champélectrique. Ce comportement est bien analysé dans [14]Figure I-6 : Vitesse moyenne des porteurs dans unnMOSFET de 25nm de longueur électrique à V DS =V GS =0.8V- 12 -

Chapitre I : Introduction au transport électroniqueLorsque l’apparition des effets non stationnaires est due à une augmentation spatiale du champélectrique, les grandeurs les plus pertinentes sont alors les longueurs de relaxation de la vitesse et del’énergie. Elles sont définies via la vitesse thermique v therm par [17] :LLmw= v= vthermthermττmw= 1.105= 32nm( m / s)µ 0m×q*c≈ 3nm à 1017at / cmLorsque le gain d’énergie dû au champ sur la distance L w est plus grand que l’énergie d’absorptionmoyenne des phonons, alors le gaz d’électrons n’est alors plus en équilibre avec le champ et lesporteurs acquièrent une vitesse de dérive supérieure à la vitesse de saturation, comme illustré sur laFigure I-6. Les effets non stationnaires apparaissent alors lorsque les interactions inélastiques sont ennombre insuffisant. Mais que se passe t-il lorsque c’est l’ensemble des interactions qui sont en nombreinsuffisant ? Le transport électronique rentre alors dans le régime quasi-balistique.3I- 62.3. Les effets quasi-balistiquesDans ce régime de transport, les effets temporels ne sont pas seulement liés à l’énergie mais aussi à lavitesse (Figure I-5). Le temps caractéristique le plus pertinent est alors le temps moyen entre deuxinteractions τ. Lorsque ce temps est du même ordre de grandeur que le temps que met un électron pourpasser de source à drain, il n’y a pas assez d’interactions pour définir la notion statistique de mobilité.Ce sont les effets quasi-balistiques. Le transport peut être considéré comme quasi-balistique lorsque lalongueur du canal est du même ordre que le libre parcours moyen lpm qui représente la distancemoyenne que parcours l’électron entre deux interactions successives.v thermτ lpm = I- 7Il y a alors dans ce cas un pourcentage non nul de porteurs qui atteignent le drain sans subird’interaction. Cela sera calculé dans le chapitre IV. Par exemple, pour un MOSFET sur substrat massifde longueur de grille L ch =25nm dopé à 5,7×10 18 at.cm -3 , le lpm est alors d’environ 1.5nm d'après (I-7).Dans cette configuration, un nombre non négligeable de porteurs, 6%, traversent le canal sans subird’interaction ; le transport peut être qualifié de quasi-balistique. La statistique des porteurs en est alorsfortement modifiée et la notion statistique de mobilité perd son sens. Par là même, la notion detempérature, qui est liée à de l’agitation induite par les interactions, est moins pertinente. Il est doncnécessaire de définir des grandeurs plus adéquates pour analyser ce régime de transport. Pour cela,Natori a développé un modèle (décrit dans le chapitre II) permettant de calculer le courant dans uneconfiguration totalement balistique de source à drain [18]. En se plaçant à 77K (peu d’interactionsavec les phonons), Natori a montré que le transport était proche de sa limite balistique [19]. De plus,Lundstrom et ses collaborateurs ont analysé la fonction de distribution en haut de la barrière depotentiel pour caractériser le transport quasi-balistique. En effet en ce point la rétro-diffusion estaisément identifiable et caractérise la nature balistique du transport par l’intermédiaire d’un coefficientde rétro-diffusion R C [20] [22] permettant de calculer la vitesse d’injection et le courant.Expérimentalement, Chen et son équipe [21] ont développé une méthodologie pour mesurer cecoefficient caractéristique du transport quasi-balistique et ont montré que les transistors d’aujourd’huiont déjà atteint ce régime de transport, à environ 50% de leur limite balistique.- 13 -

Chapitre I : Introduction au transport électronique2.4. ConclusionCette première analyse fait apparaître 3 temps caractéristiques utile pour l’analyse du transport : lestemps de relaxation de la vitesse τ m et de l’énergie τ w et le temps entre deux interactions τ.. Le chapitreIII décrira précisément l’apparition des différents régimes de transport, du transport stationnaire autransport quasi-balistique en fonction des paramètres du MOSFET et de ces temps de relaxation. Maisauparavant, il est nécessaire de revenir sur les notions fondamentales du transport.3. NOTIONS FONDAMENTALES DU TRANSPORTELECTRONIQUEThéoriquement, l’analyse parfaite d’un dispositif demande le calcul des états propres et des fonctionsd’onde, solutions de l’équation de Schrödinger (I- 8) pour l’ensemble des électrons et des atomes dudispositif. [10] :ih2∂Ψ h= −∂t2mo∇2Ψ +[ E ( r)+ U ( r ) + U ( r,t)] Ψ(r,t)C0rIl est évident que cette option est impossible pour des raisons de temps de calculs. Il est doncnécessaire de faire des simplifications. Trois énergies potentielles apparaissent dans l’équation I- 8. Lepremier terme E C0 , décrit le potentiel appliqué au composant. Le second est le potentiel du cristal U C ,qui décrit le potentiel électrostatique dû aux atomes. Enfin, U S est le potentiel d’interaction dû auximpuretés dopantes et aux phonons.L’analyse des dispositifs, c'est-à-dire le calcul des grandeurs macroscopiques (densité, vitesse…) estbasée sur un traitement semi-classique de l’équation de transport de Boltzmann, équation décrite dansla partie 4. Cela signifie que :- Les électrons sont considérés comme des particules et que leur mouvement est traité avec leslois de la mécanique classique (Newton) en introduisant le concept de masse effective.- L’influence des interactions (impuretés dopantes, phonons…) est traitée avec la mécaniquequantique à partir du potentiel d’interaction U S permettant de calculer les différentes évolutionspossibles de l’état du gaz électronique résultant des interactions.Ce chapitre expose les notions fondamentales du transport électronique dans le cadre del’approximation semi-classique. Dans un premier temps, le concept de masse effective et seslimitations seront expliqués. Ensuite, les interactions dans le silicium à 300K seront décrites et lestemps de relaxation seront introduits pour l’analyse du transport électronique. Ces rappels permettrontalors d’introduire l’équation de transport de Boltzmann, équation fondamentale du transportélectronique.CrSrrI- 8- 14 -

Chapitre I : Introduction au transport électronique3.1. La structure de bande du silicium3.1.1. La notion de masse effectivePour évaluer l’influence du potentiel du cristal, il faut déterminer les fonctions d’onde du potentielélectrostatique périodique du silicium U C (r) [10], solution de l’équation (I- 9). En 1D sans interactionni force extérieure, I- 8 devient [10] :2 2⎡ h d ⎤⎢− + U ( z)( z) E ( z)2 C ⎥ = Ψ2m0dzΨI- 9⎣⎦Les solutions de cette équation sont les fonctions d’ondes de l’électron dans un réseau périodiqueappelées ondes de Bloch [23]-[24]. Leur spécificité réside dans le fait que leur amplitude a lapériodicité du réseau. Pour déterminer les solutions de l’équation (I- 9), il faut déterminer pour chaquevaleur de k les énergies valeurs propres ε(k) et les vecteurs propres u k des ondes de Bloch. Lessolutions de l’équation (I- 9) montrent que ε(k) est périodique et que toutes les informationsnécessaires à la compréhension du transport peuvent être obtenues dans la zone de Brillouin (ZB,Figure I-7) [23]. La structure de bande du silicium s’obtient alors en calculant pour tous les vecteursd’onde possibles les solutions de l’équation d’onde (I- 9) (Figure I-8). Au minimum de la bande deconduction, ε(k) peut être approché mathématiquement par une série de Taylor (I- 10) [10]:2( k ) 1 ∂ ε ( k )∂ε2ε ( k ) = ε ( 0)+ k +k + ...I- 102∂k∂kk = 02La dérivée première étant nulle, on obtient à l’ordre 2 :22k = 0h kε ( k) = EC+I- 11*2mFigure I-7 : Zone de Brillouin.Figure I-8 : Structure de bande du silicium.Avec m * , la masse effective définie par l’équation (I- 12) :2( k) .1 1 ∂ ε=I- 12m * 2h ∂k2La masse effective contient en quelque sorte l’inertie additionnelle que donne à l’électron le potentielcristallin, c’est à dire l’effet global du potentiel cristallin sur l’électron. Ainsi, l’électron au voisinagedu minimum de la bande de conduction se comporte comme un électron libre de masse m*. Dans la- 15 -

Chapitre I : Introduction au transport électroniquemesure où la courbure de bande de conduction varie peu au voisinage du minimum, cette masseeffective est constante ; ε(k) varie quadratiquement avec le vecteur d’onde k. Cette loi de variationconstitue ce que l’on appelle l’approximation des bandes paraboliques. Les équations précédentes ontété obtenues en 1D. Mais pour le silicium, semi-conducteur à gap indirect, il apparaît 6 minima sur lastructure de bande de conduction. Ces 6 vallées ellipsoïdales sont situées le long des axes ∆ auvoisinage des points X de la Zone de Brillouin. La réponse électronique au champ appliqué dépendalors de l’orientation cristallographique. Les calculs montrent que pour chaque vallée dusilicium [10] :( k − k )22 2h ⎡k ⎤l 0 tε ( k)= ⎢ + ⎥.I- 132 ⎢⎣mlmt⎥⎦Où k 0 correspond au minimum d’une des vallées et k l la composante portée par l’axe de révolution et k tcomposante portée par le plan perpendiculaire à l’ellipse. L’équation (I- 13) décrit les surfacesd’énergie constante du silicium représentées sur la Figure I-9. Le tenseur de masse comprend ainsideux valeurs de masses différentes : la masse effective longitudinale m * l = 0.916m o la masse transverse m * t =0.19m o.Et le tenseur de masse est le suivant pour chacune des 6 vallées, souvent appelées vallées ∆:⎡mt⎢⎢0⎢⎣00m0t0 ⎤0⎥⎥m ⎥l ⎦A partir de ces masses, les grandeurs caractéristiques du transport, telle la masse effective deconduction, seront déterminées.I- 14Figure I-9 : Surfaces iso-énergétiques calculées à partir del’équation I- 13, pour les 6 vallées du silicium.Figure I-10 : Evolution énergétique d’un porteur balistiquedans un potentiel donné.3.1.2. Transport classiqueLa notion de masse effective ayant été introduite, le mouvement de l’électron dans le cadre de lamécanique classique peut être calculé. Ceci est possible car dans les dispositifs conventionnels, lepotentiel appliqué et induit par le dopage varie lentement en comparaison du potentiel cristallin. Parconséquent, les phénomènes ondulatoires tels que les réflexions quantiques et les transferts tunnelssont absents. Les trajectoires électroniques peuvent être alors décrites de manière classique selon les- 16 -

Chapitre I : Introduction au transport électroniqueéquations de Newton. Ainsi, lorsque le potentiel varie lentement, l’énergie du porteur est simplementla somme de l’énergie de la bande de conduction et de son énergie de cinétique (I- 15) [10]. Dans lecas d’une bande parabolique (i.e. la masse est constante) on a :ε( k, z) = E ( z) + ε ( k)C1I- 15* 2ε ( k, z) = EC( z) + m v2Cette équation est illustrée sur la Figure I-10. Lorsque un électron est injecté dans le canal sans subird’interaction, l’énergie totale de l’électron est constante. Le mouvement du porteur dans un champélectrique E dans les espaces réel et réciproque est alors défini en appliquant les lois de la dynamique :∂ k dk 1drdt=1h( )ε∂ket= qEI- 16dt hL’évolution de l’énergie cinétique du porteur correspond alors à la chute du potentiel, c'est-à-dire autravail du champ.La notion de masse effective permet de prendre en compte le déplacement de l’électron dans le cadrede l’approximation de bande parabolique. Analysons maintenant les limites de cette approximation.3.1.3. Limitation de la masse effectiveDans les MOSFET nanométriques, le nombre d’interactions dans le canal est faible. Par conséquent,une proportion non nulle d’électrons (celle-ci sera calculée dans le chapitre IV) traversent le canal dela source vers le drain de manière balistique. Si l’on applique une tension de 1V sur un transistornanométrique où existent des porteurs balistiques, ces derniers possèderont une énergie cinétique audrain d’environ 1eV. Si l’on observe la bande de conduction, on s’aperçoit que l’approximation de labande parabolique est valable jusqu’à 0,5eV environ. Par conséquent, il est clair que cetteapproximation devient fausse pour les porteurs balistiques. De même si l’on considère, l’énergiecinétique moyenne du gaz électronique, celle-ci peut atteindre plusieurs 100meV avec les effets desurvitesse : les électrons s’éloignent du bas de la bande de conduction E C et l’approximation desbandes paraboliques devient inexacte. En d'autres termes, les termes supplémentaires de la série deTaylor (I- 10) ne peuvent alors être ignorés. Pour remédier à cela, un facteur de non parabolicité estintroduit [10] L’énergie s’écrit alors :2 2 2h ⎛ k k ⎞ε I- 17( + t l1 αε ) = ⎜+⎟ *2 ⎝ m*tml⎠Où α=0.5 est le facteur de non parabolicité. Cette approximation est valable lorsque l’on reste à deslongueurs de grille de quelques dizaines de nanomètres. Mais elle ne permet pas de traiter les porteurshautement énergétiques. Dans ce cas, il est nécessaire de prendre en compte toute la structure de bandede manière tabulée. Pour quantifier l’influence de ces approximations sur le courant, considérons troisgénérations de transistors à V DS =1V :• Transistor de 1 micron : Le champ moyen appliqué est de 10kV/cm (Figure I-11). L’énergiedu gaz électronique reste aux alentours d’une dizaine de meV. Et il n’y a aucun porteurbalistique.• Transistor de 100nm : Le champ moyen appliqué est de 100kV/cm (Figure I-11). L’énergiedes porteurs devient importante, il est nécessaire d’utiliser la correction de non parabolicitépour représenter correctement les porteurs très énergétiques.- 17 -

Chapitre I : Introduction au transport électronique• Transistor de 10nm : Le champ moyen est de 1000kV/cm (Figure I-11). Les porteurs nevérifient plus I- 17 et, s'il y en a, les interactions subies par les porteurs peuvent redistribuerceux-ci dans d’autres vallées que les vallées ∆. L’approximation des bandes paraboliquesdevient alors inexacte. Il faut prendre en compte la structure de bande complète pourreprésenter correctement le transport électronique. Pour cela, des tables d’énergie ε (k) et dedensité d’états sont pré-calculées. Pour quantifier l’erreur, Bufler et ses collaborateurs [25] ontcomparé le courant I ON d’un MOSFET massif de 40nm simulé avec un Monte Carlo avec lacorrection de non parabolicité et un Monte Carlo Full-Band. Le Monte Carlo analytique nonparabolique sous-estimant la densité d’état en dessous de 100meV (Figure I-12) la possibilitéqu’un électron subisse une interaction est plus faible (la probabilité d’interaction estproportionnelle à la densité d’état). Par conséquent, le gaz électronique à une vitesse moyenneplus élevée. La simulation donne ainsi un courant I on-NP supérieur d'environ 14%.L’analyse de ces trois dispositifs types a révélé que la validité de l’approximation de la masse effectivedépend fortement des paramètres du MOSFET. En fait, tout dépend de ce que l’on cherche à étudier etdu degré de précision que l’on recherche. Par exemple, dans les MOSFET long, il y a des phénomèneshautement énergétiques (ionisation par impact) qui nécessitent en principe une description Full-Band.Cependant, on peut décrire de façon simplifiée la structure de bande pour le calcul du courant, sanscommettre d’erreur notable. La notion de masse effective ayant été rappelée, étudions l’autrephénomène physique qui permet ensuite de définir la mobilité : les interactions.Figure I-11 : Distribution électronique dans l’espaceréciproque du silicium pour trois champs moyens (10keV/cm100keV/cm et 1000keV/cm) [10]Figure I-12 : Comparaison des densités d’état pour lesbandes de conduction du silicium dans l’approximationbande parabolique, non parabolique et Full-Band [10]3.2. Les interactions dans le silicium à 300KLorsque les électrons se propagent dans le réseau cristallin, ils peuvent subir des interactions avec lesquantum de vibration du réseau appelés phonons, les impuretés dopantes et les défauts de l’interfaceSi-SiO 2 et du réseau. Lorsque l’électron subit une de ces interactions, la direction et l’énergie duporteur peuvent changer (Figure I-13). La connaissance des différentes fréquences d’interactions1/τ(ε) et les conséquences sur la direction du vecteur d’onde et l’énergie de l’électron sont doncnécessaires pour comprendre le transport électronique et déterminer proprement les grandeurs- 18 -

Chapitre I : Introduction au transport électroniqueassociées au transport telles que la mobilité µ, la vitesse de saturation v sat et les temps de relaxation dumoment τ m (vitesse) et de l’énergie τ w . [10]Figure I-13 : Déviation d’un électron sous l’influence d’union Arsenic.Figure I-14 : τ, temps moyen entre 2 interactions.Pour mieux appréhender les fréquences d’interactions, les étapes de calculs seront brièvement décritesainsi que les temps de relaxation nécessaires à la compréhension des effets non stationnaires et quasibalistiques.3.2.1. La règle d’or de FermiPour obtenir les fréquences d’interaction, il est nécessaire de définir un potentiel de perturbation U Sassocié à une interaction. A partir de ce potentiel de perturbation et des fonctions d’ondes ψ del’électron non perturbé, les éléments de la matrice du potentiel d’interaction entre l’état initial p o etl’état final p’ sont calculés : (I- 18) [10]-[14]H1 *( t)= ( z)US( z,t)' dzpopN∫ ψI- 18'ψp0, pVOù N est le nombre de cellules unitaires de Wigner-Seitz et V le volume du cristal [10] [14]. Si l’onsuppose que la perturbation est faible, c'est-à-dire que les fonctions d’onde non perturbées sontvoisines des fonctions d’onde perturbées et que le temps entre deux collisions est grand devant letemps d’interaction, la probabilité par unité de temps (I- 19) qu’un électron passe d’un état initial p o àun état final p’ sous l’influence d’une perturbation U S est donnée par [10] :2' 2π'S( p0, p ) = H ' δ ( E(p ) − E(p ) − ∆E)p , p0I- 190hOù δ exprime simplement la conservation de l’énergie : Le changement d'énergie ∆E est nul pour uneinteraction élastique et égal à l'énergie d'un phonon lors d'une interaction intervallée (émission ouabsorption).Cette expression I-19 est connue sous le nom de règle d’or de Fermi. Pour appliquer la règle d’or deFermi, le potentiel d’interaction U S doit être identifié et les éléments de l’opérateur Hamiltoniendoivent être évalués.- 19 -

Chapitre I : Introduction au transport électronique3.2.2. Définition des temps de relaxationFréquence d’interactionsSi l’on considère un électron à l’état p o , son taux d’interaction est la somme sur tous les états possiblesdes densités de probabilité de transition S pondérés par la probabilité de trouver un état final inoccupé[10] :1rτ( p )0r r= ∑ S(p , p') −rp'0r[ 1 f ( p')]Pour un semi-conducteur non dégénéré, il y a une forte probabilité qu’il y ait peu d’état p’ occupés,par conséquent l’équation précédente devient :1τ= p'r( ) ∑p r0rS ( p0r, p')A partir de la moyenne de ces fréquences d'interaction, on peut obtenir le temps moyen entre deuxcollisions (Figure I-14).Fréquence d’interaction liée à la relaxation en vitesseDe nombreuses interactions ne sont pas isotropes. Certaines trajectoires après interaction ont tendanceà garder en mémoire leur trajectoire initiale (ex : La trajectoire d’un électron légèrement déviée auvoisinage d’une impureté). Sous l’effet d’un champ électrique il est donc intéressant d’estimer letemps que mettent les porteurs pour revenir au moment initial : le temps de relaxation du moment.Pour cela, il faut procéder de la même manière que précédemment en pondérant chaque collision par leratio des moments [10] :τm( p )I- 20I- 211r rr = ∑ S ( p 0 , p ' ) (1 − ( p ' / p 0 ) cos α )rI- 220p 'Fréquence d’interaction liée à la relaxation en énergiePour étudier les effets non stationnaires, il est nécessaire de connaître le temps que mettent les porteursà relaxer leur énergie. Cette mesure se fait de la même manière que précédemment en pondérant lestaux de transitions par le rapport des énergies finale et initiale [10] :τW1r( p )0= ∑rp 'rS ( p0,rp' ) (1r− E ( p' )r/ E ( pLa connaissance de ces trois temps de relaxation permet d’analyser le transport. Par conséquent pourles interactions principales du silicium à 300K, ces temps caractéristiques vont être évalués.0))I- 233.2.3. Les fréquences d’interaction du MOSFET massif silicium à 300KLes principales interactions qui ont lieu dans le silicium à 300K et qui ont un impact direct sur letransport sont :- les échanges de phonons acoustiques intra-vallée.- Les échanges de phonons inter-vallée d’ordre 0 et d’ordre 1.- La diffusion sur les impuretés ionisées.- La diffusion sur la rugosité de la surface Si-SiO 2 .- 20 -

Chapitre I : Introduction au transport électroniquePour calculer les fréquences d’interaction, il convient de déterminer la matrice du potentield’interaction à partir d’un potentiel perturbateur, puis d’intégrer la densité de probabilité d’interactionsur l’ensemble des états d’arrivées possibles.Les phonons acoustiques intra-valléeLa structure de bandes est déterminée par le potentiel cristallin. Or celle-ci évolue sous l’influence desvibrations du réseau, c'est-à-dire des phonons. Etant donné que le niveau énergétique des électrons estlié à leur position sur la bande de conduction, les vibrations du réseau engendrent une variationénergétique des électrons. Le potentiel d’interaction des phonons acoustiques est proportionnel à ladéformation du cristal due aux phonons ∂u ∂xet au potentiel de déformation D ac qui décrit le décalagede la bande de conduction par unité de déformation [10] :∂uU ac = DacI- 24∂xEn reprenant les calculs de la règle d’or de Fermi et en intégrant les taux de transitions sur tous lesétats possibles (ie sur l’énergie) [28] on obtient la fréquence d’interaction des phonons acoustiquespour une bande parabolique I- 25 illustrée sur la Figure I-15 :1 2kTmdDac= εac 2I- 25τ πhρu( ε )3/ 2Ces interactions avec les phonons acoustiques n’échangeant que très peu d’énergie avec le réseau ellessont souvent considérées comme élastiques à 300K. De plus, dans le silicium elles sont isotropes,donc l’intégration du cosinus dans (I- 22) sur tout l’espace est nulle. A final, on a :ττacmacWac( ε) = τ ( ε)( ε) = ∞2I- 26F réq en ce d 'in teractio naco u stiq u e(1/s)1.0E+141.0E+131.0E+121.0E+110 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Energie (eV)Fréqence d'interactionabsorption intervallée(1/s)1.0E+141.0E+131.0E+121.0E+110 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Energie (eV)Figure I-15 : Fréquence d’interaction des phonons intravallée acoustiques dans le silicium à 300K.Figure I-16 : Fréquence d’interaction des absorptions desphonons inter vallée dans le silicium à 300K.Les phonons inter-valléePour le silicium, les 6 vallées ∆ sont énergétiquement équivalentes. Deux types d’interactions intervalléesont possibles : les interactions de types « g », qui font passer l’électron de sa vallée à celleopposée sur le même axe ; et les interactions de type « f » qui font passer les électrons d’une vallée àune autre vallée perpendiculaire. Ces interactions produisent un fort changement du moment. Ellespeuvent être de soit d’ordre 0, soit d’ordre 1. Le potentiel d’interaction des phonons inter-vallée- 21 -

Chapitre I : Introduction au transport électroniqued’ordre 1 est proportionnel au déplacement des atomes u et au potentiel de déformation inter-valléeD if , qui caractérise la force qu’il faut pour faire passer un électron de la vallée i à la vallée f. Pour lesinteractions inter-vallée d’ordre 0, le potentiel de déformation vaut :U= D uI- 27if if −0Où u est le déplacement du cristal dû au phonon. En reprenant les calculs de la règle d’or de Fermi eten intégrant les taux de transitions sur tous les états possibles la fréquence d’interaction inter-valléed’ordre 0 pour une bande parabolique vaut [10] :τ1ifop( ε)q=3 / 2Zifm3 / 2dD22πhρhω2if −0if⎡⎢N⎣p+1 1⎤±2 2⎥⎦ε ± hωOù Z if est le nombre de vallées d’arrivée (1 pour les transitions de type « g » et 4 pour les transitions detype « f »), m d la masse de densité d’états des vallées,ifI- 28hωifl’énergie du phonon mise en jeu, N p ladensité de phonons.De la même manière, pour les interactions inter-vallée d’ordre 1, avec un potentiel perturbateursemblable à I- 24, on obtient les fréquences d’interactions d’ordre 1 [10] avec:5 / 2 5 / 2 21 2qZifmdDif−1⎡ 1 1⎤=Npε ± ωif ifif+τ ( ε)π ρ ω ⎢+ ±⎥h4h h ⎣ 2 2⎦1if[( ε ± hω) ε]Le signe « + » («- ») des équations I- 28 et I- 29 correspond à une absorption de phonon inter-vallée(émission) comme illustré sur la Figure I-16 et Figure I-17. Les interactions sont plus probables à fortetempérature et à forte énergie électronique. A forte énergie, elles sont prédominantes et contribuent àla relaxation de l’énergie du gaz électronique.I- 29Fréqence d'interaction emissionintervallée(1/s)1.0E+141.0E+131.0E+121.0E+111.0E+101.0E+090 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Energie (eV)Figure I-17 : Fréquence d’interaction des émissions desphonons inter vallée dans le silicium à 300K.Fréqence d'interactionphonon(1/s)1.0E+141.0E+131.0E+121.0E+110 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Energie (eV)Figure I-18 : Fréquence totale des interactions phonons dansle silicium à 300K.Il existe au total 3 interactions de types « f » et 3 de types « g ». Les valeurs des potentielsd’interactions D if et les énergies des phonons associées sont récapitulées dans le Tableau I- 1 et leTableau I-2 . La somme de toutes les fréquences d’interactions inter-vallées est tracée sur la FigureI-18.- 22 -

Chapitre I : Introduction au transport électroniqueDistance inter atomique (A) 5.431Densité r (g/cm3) 2.329Vitesse du son longitudinal u l(cm/s)Vitesse du son transverse u t(cm/s)9.0 10 55.4 10 5Constante diélectrique 11.7Potentiel de DéformationAcoustique (eV)6.6Tableau I- 1 :Tableau des constantes pour le calcul desphonons intravallée accoustiques. Valeurs utilisées dansle simulateur Monte Carlo MONACO.[27]Energie duphononhw (meV)Potentiel dedéformationD0(eV/cm)D1(eV)Moded’interactionType f ou g11.4 3.0 TA (g1)18.8 3.0 LA (g2)63.2 3.4 10 8 LO (g3)21.9 3.0 TA (f1)46.3 3.4 10 8 LA (f2)59.1 3.4 10 8 TO (f3)Tableau I-2 : Tableau des constantes pour le calcul desfréquences d’interaction des phonons inter-vallée. Valeursutilisées dans le simulateur Monte Carlo MONACO.[27]Pour les phonons, le temps de relaxation de la vitesse est toujours égal au temps être deux chocs. Enrevanche pour le calcul du temps de relaxation de l’énergie, le calcul, à partir des équations I- 23 et I-29 pour les porteurs très énergétiques où l’émission excède l’absorption, donne un temps derelaxation de l’énergie fonction du temps de relaxation du moment [10-page 84] :⎛if ε ⎞τw( ε ) = τ ( ε⎜)hω⎟⎝ if ⎠L’équation précédente montre que pour relaxer l’énergie d’un porteur il fauttemps de relaxation de l’énergie étant proportionnel au temps entre deux interactions.I- 30ε h ω interactions. LeLes impuretés ioniséesLorsqu’un électron se propage dans le silicium au voisinage d’un dopant ionisé, il est soumis aupotentiel Coulombien du dopant [10] :UII2q( r)= 4πκε rI- 31Cependant, si l’on se place dans le cas d’une impureté ionisée positive, par exemple A S + , tous lesélectrons au voisinage de l’impureté se regroupent autour d’elle et créent un potentiel d’écrantage.Habituellement, pour un semi-conducteur dopé on considère que la quantité de porteurs pouvantécranter est égale à la densité d’impuretés N B . La longueur caractéristique d’écrantage est alorslongueur de Debye [7] :LSκ ε kT- 23 -0S 0 LD≡2I- 32q NBCependant dans la couche d’inversion d’un canal de MOSFET, l’approximation de la densité deporteur égale à N B est inexacte car la densité de porteurs est gouvernée par la capacité MOS et doncpeut varier en fonction de la polarisation de grille. En prenant en compte l’écrantage, le potentield’interaction devient [10] :

Chapitre I : Introduction au transport électroniqueUIIS( r)2q ⎡ rexp⎢−4πκSε0r⎣ L= DEn reprenant les calculs de la règle d’or de Fermi et en intégrant les taux de transitions sur tous lesétats possibles la fréquence d’interaction avec les impuretés ionisées vaut :2*2L D⎤⎥⎦* 2 2 2−1πκSε⎡02 γ ⎤3/ 2ln(1 )4 ⎢2 ⎥B1+γimp 16 2mτ ( ε ) = + γ − εN q ⎣ ⎦2Avecγ = 8m ε h . Ces fréquences d’interaction sont tracées sur la Figure I-19 pour différentsdopages canal et sur la Figure I-20 pour un dopage de 10 18 at/cm 3 avec un écrantage variable.I- 33I- 34Fréqence d'interactionim pureté(1/s)1.0E+151.0E+141.0E+131.0E+121.0E+111.0E+101e15 at/cm31e17 at/cm31e19 at/cm31e16 at/cm31e18 at/cm3Fréqence d'interactionimpureté(1/s)1.0E+151.0E+141.0E+131.0E+12Nécrant=1e15 at/cm3Nécrant=1e16 at/cm3Nécrant=1e17 at/cm3Nécrant=1e18 at/cm3Nécrant=1e19 at/cm31.0E+090 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Energie (eV)Figure I-19 : Fréquences d’interactions impuretés pourdifférents dopages canal dans le silicium à 300K.1.0E+110 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Energie (eV)Figure I-20 : Fréquence d’interaction impuretés ionisées pourun dopage canal de 10 18 at.cm -3 pour différentes valeurs dedensité électronique d’écrantage dans le silicium à 300K.Plus l’énergie des électrons est importante plus la fréquence d’interaction diminue. En effet, plus lesélectrons ont une vitesse importante moins ils ressentent l’influence du potentiel des impuretésionisées. Par conséquent, l’influence des interactions avec impuretés décroît à fort champ. De plus,lorsque le nombre de porteurs "écrantant" augmente (en augmentant la charge d’inversion parpolarisation de la grille), les fréquences d’interaction diminuent. L’interaction impureté/électron étantélastique cette interaction ne peut dissiper de l’énergie. Par conséquent, le temps de relaxation del’énergie liée à cette interaction sera considéré par la suite comme infini.τ imp( ε) = ∞WI- 35L’interaction impureté/électron n’étant pas isotrope, l’intégration du cosinus dans (I- 22) n’est pasnulle (la probabilité est la plus élevée est en π/2). Le temps de relaxation du moment est n’est donc paségal au temps entre interaction. Ces interactions dissipent fortement la vitesse.impimp( ε ) τ ( ε )τ m ≠ I- 36La rugosité de l’interface Si/SiO2Lorsque les électrons sont confinés dans la zone de forte inversion, ils subissent les interactionsprésentées précédemment, mais aussi des interactions dues à la rugosité de l’interface Si-SiO 2 (FigureI-21). Ces fluctuations géométriques de l’interface engendrent des fluctuations du potentiel àl’interface et crée ainsi un potentiel de perturbation qui se traduit par des interactions. Ces variationssont d’autant plus importantes que le potentiel de la grille augmente. Pour évaluer le taux d’interaction- 24 -

Chapitre I : Introduction au transport électroniquerelatif aux interactions de surface, il faut identifier le potentiel perturbé. Une fluctuation de la couched’oxyde produit une variation du potentiel [10] donnée par :V[ z δ ( ρ )] = V ( z) + δ ( ρ )( z)dV+ I- 37dzoù ρ est le vecteur normal de l’interface Si-SiO 2 et δ( ρ ) l’amplitude des fluctuations de l’interface. Lepotentiel perturbateur vaut :U =SRqEzδ ( ρ )I- 38Figure I-21 : Image de la couche d’oxyde (entre les 2lignes rouges) et des défauts de cette interface (en vert).Figure I-22 : Représentation schématique de la couche d’oxydeet de ses défauts d’interface caractérisés par deux grandeurscaractéristiques : D l’amplitude des défauts et L la distance« moyenne » entre ces défauts.En reprenant les calculs de la règle d’or de Fermi et en intégrant les taux de transitions sur tous lesétats possibles on obtient la fréquence d’interaction de rugosité de surface pour un gaz 2D :* 2 2 2π1 m ( E Lq ∆)1τSRε ε θavg=3 2( ) 2h∫2 2Si 0 ( 1+k L cos( / 2) )Où ε si E avg =Q dep +0.5Q inv. [7] et L la longueur moyenne entre les défauts et D l’amplitude de ces défautscomme décrit en [13] et illustré sur la Figure I-22. La fréquence d'interaction augmente lorsque lapolarisation de la grille du fait de l’augmentation de champ moyen de confinement E avg . Par ailleurs,l’interaction de rugosité de surface étant élastique, on a :3.2.4. Autres interactionsττSRmSRWSR( ε) ≠ τ ( ε)( ε) ≈ ∞Les interactions présentées précédemment sont celles qui sont principalement mises en jeu dans letransport électronique des MOSFETs à 300 K. Cependant il existe de nombreuses autres interactionsqui peuvent devenir non négligeables suivant le problème que l’on souhaite étudier. Des phonons inter-vallée vers la vallée L peuvent apparaître à forte énergie [28] D’autres phonons peuvent entrer en jeu à d’autres températures [28] Des interactions électrons-électrons: Lorsque la densité de porteurs est importante, lescollisions électrons-électrons ne sont plus négligeable. Il y a deux types d’interactions :- 25 -3/ 2dθI- 39I- 40

Chapitre I : Introduction au transport électroniqueSoit le porteur interagit avec un autre porteur, soit l’électron interagit avec le gazélectronique (plasmon). Ces interactions électrons-électrons ne dissipent ni le moment nil’énergie mais influence la forme de la fonction de distribution, en tendant à la maintenirde type Maxwellienne déplacée (Cette notion sera exposée à la fin du chapitre I) Des dopants peuvent diffuser dans l’oxyde de grille ou les espaceurs et peuvent jouer lerôle d’impuretés ionisées distantes [29] Impuretés neutres [28] Défauts du cristal [28]Pour chaque condition de température, de champ et de densité électronique, il convient de s’assurer dela pertinence des mécanismes d'interaction mis en jeu. Pour couvrir une large gamme de températureou de polarisation de MOSFET ou pour étudier d’autres matériaux innovants (Germanium, high k…),il convient de refaire le point sur les interactions prédominantes et sur ce que l’on souhaite observer.3.2.5. Les interactions dans un gaz 2DD’après l’équation I- 20, les fréquences d’interaction s’obtiennent par intégration des densités deprobabilité de transitions S sur tous les états énergétiques possibles. Un calcul théorique à partir d’unpotentiel perturbateur de type Dirac montre que les fréquences d’interaction sont proportionnelles à ladensité d’états 3D [30] :*m 2mEg3D= I- 412πhπhOr dans le canal du MOSFET la forte courbure de potentiel engendre une quantification des niveauxd'énergie. Par conséquent la densité d’états dans le canal du transistor est dans une configuration 2D.Le calcul des fréquences d’interaction doit donc s’effectuer, rigoureusement, en prenant en compte ladensité d’états 2D [30] (Figure I-23) :*mdg2D= I- 422π hEn recalculant les éléments de la matrice d’interaction en avec les fonctions d’onde calculées par unPoisson/Schrödinger ou par la formulation d’Airy et en intégrant sur tous les états possibles en 2D[10], on obtient le taux de transition :S 22 D ' 2'( p 0, p π) = H ' δ ( E ( p //) − E ( p 0//) − ∆ E ) I ( )p// , pfiβI- 430 //hEn ayant la même démarche que dans un système 3D, les fréquences d’interactions avec les phononsacoustiques deviennent [31] :( )*21 kTDac2 2= m3 2 xmy ψacf ( z) ψi ( z)dzτ ε 2π h ρu∫ I- 44fiEt les fréquences d’interactions inter-vallée d’ordre 0 deviennent [32] :1 Z D 1 1= N + ± m m ( z) ψ ( z)dzτ ε 2hρ ω 2 2if0( )2if if _ 0 ⎡ ⎤2 22 2 p x yψf ih ⎢ ⎥ ∫if ⎣ ⎦où l’intégrale est simplement une intégrale de recouvrement des fonctions d’onde. Plus elles se« recouvrent » (2 niveaux voisins par exemple) plus la probabilité de transition augmente. Cesfréquences d’interactions absorption et émission inter-vallée sont tracées sur Figure I-24 pour les trois- 26 -I- 45

Chapitre I : Introduction au transport électroniqueconfigurations possibles 1D, 2D, 3D. On note la discontinuité de la fréquence d’interaction en 2D eten 1D. Ceci est dû à la discontinuité de la densité d’état. Par exemple, lorsque l’électron à une énergiesuffisante pour pouvoir passer sur le niveau supérieur alors la transition est possibleFigure I-23 : Densité électronique fonction de l’énergiepour les 3 degrés de liberté d’un système électronique.Figure I-24 : Fréquences d’interaction des phonons fonction del’énergie à 77K pour les 3 degrés de liberté possibles. [32]L’étude des fréquences d’interactions impuretés est largement développée avec et sans écrantage. Lelecteur pourra les consulter dans [32] et [30]. De plus, des résultats expérimentaux et des discussionssur W fi sont y exposés [32]. Pour l’analyse générale des interactions dans un gaz 2D, Ando donne descalculs complets dans [30].3.2.6. Correction de non parabolicitéDans le paragraphe 3.1.3, l’influence d’une modélisation incorrecte de la structure de bande a ététraitée. Il est important de traiter correctement le calcul de la densité d'états. De même qu’une erreursur la masse engendre une erreur sur le mouvement des électrons, une erreur sur la densité engendreune erreur sur les fréquences d’interactions. De la même manière que l’on recalcule l’énergie enfonction de son vecteur d’onde, la densité peut être déterminée en prenant en compte la nonparabolicité en remplaçant la densité classique I- 41 par une densité d’état corrigée [33] :*m m εg3 _=1 + ε ( 1 + 2αε)I- 46D np 2πhπhMalgré tout, tout comme la masse effective, cela peut ne pas suffire [25]. Ainsi, une autre possibilitéest de tabuler cette densité où de calculer la densité par une série de Taylor en fonction l’énergie.Dans la suite de ce travail, la modélisation sera de type non parabolique et avec des calculs defréquences d’interactions 3D.2 *- 27 -

Chapitre I : Introduction au transport électronique4. L’EQUATION DE TRANSPORT DE BOLTZMANN4.1. La fonction de distributionL’étude du transport classique consiste à déterminer l’évolution temporelle de l’état des porteurs dansle dispositif. On définit la fonction f(r, p, t) qui représente la probabilité de trouver à un instant t, unporteur de moment p positionné en r. Cette fonction est appelée fonction de distribution. Pour unestructure au repos (sans force appliquée), f se résume à la fonction de distribution de Fermi-Dirac [23]comme illustrée sur la Figure I-25; ici pour une bande parabolique :r r1f 0 (, p)=⎡2⎛ r p1 + exp⎢⎜Ec() + − E*⎢⎣⎝ 2mF⎞⎟⎠⎤k BTL⎥⎥⎦Où E F est le niveau de Fermi et T L la température du réseau.Dans le cas d’un gaz de porteurs non dégénéré et faiblement énergétique, un développement limité dela fonction de distribution donne la fonction de distribution de Boltzmann (Figure I-26) ici pour unebande parabolique :r rf (, p ) = e0rC F / k BT2L( E ( r ) −E)2⎡− p / mexp⎢⎣ kBTLLa connaissance de la fonction de distribution permet de déduire toutes les grandeurs électriques etphysiques à travers le dispositif, telles que [10] : La concentration des porteurs n:r 1∑r rn( , t)= f ( , p,t)I- 49Ω rpSomme de tous les états sur la première zone de Brillouin où Ω est le volume de la zone de Brillouin. Le courant J :Somme de tous les états pondérés par leur vitesse. L’énergie des porteurs W :*⎤⎥⎦I- 47I- 48r 1∑ − r r rJ ( , t)= e.v( p) . f ( , p,t)I- 50Ω r(*pp∑2r 1 p rW, t)= . fΩ r 2mSomme de tous les états pondérés par leur énergie.r( r,p,t)I- 51- 28 -

Chapitre I : Introduction au transport électroniqueFigure I-25 : La fonction de distribution Fermi-Dirac àl’équilibre et sa dérivée en fonction de l’énergie (pointillée)pour 0

Chapitre I : Introduction au transport électroniqueEt dans un cas général [10]-[14] :∂f∂f∂f∂f+ v + F =∂t∂r∂p∂tcoll+ s∂fr r ∂fr r+ v∇ rf + F∇ rpf = + s( , p, t)∂t∂tLe premier terme correspond à la variation de f dans le temps. Le second terme prend en compte lesvariations de f dû au gradient de concentration. Le troisième terme correspond à l’effet de la forceappliquée (électrique dans ce cas) au gaz électronique. Enfin le dernier terme correspond, à l’influencedes interactions sur f.collI- 56I- 574.3. Intégrale de collisionPour calculer f dans un cas simple, il est d’abord nécessaire de déterminer le terme de collision. Pourun moment donné p, la variation de f due aux interactions, est la somme des probabilités d’interactionsde l’état p vers l’état p’ moins la somme des probabilités qu’un électron à l’état p’ subisse uneinteraction vers l’état p :∂ftcollr r r r r r= S( p ', p) f ( p ') − S( p, p ') f ( p)∂∑ ∑rp 'La difficulté dans la détermination de la fonction de distribution à travers la résolution déterministe del’équation de transport de Boltzmann réside dans la capacité à exprimer de manière simple les effetsdes interactions sur la variation de f. Une manière simple est d’exprimer le terme de collision estl’approximation du temps de relaxation (RTA) développée le paragraphe « Notion de mobilité ».rp 'I- 584.4. Domaine de validité de l’équation de transport de BoltzmannIl est important de comprendre les limitations de l’équation de transport de Boltzmann appliquée àl’étude du comportement d’un système d’électrons dans un cristal. Cette approche constitue uneapproximation semi-classique du transport de particules individuelles dont on néglige les propriétésondulatoires. La mécanique quantique n’est utilisée que pour décrire la structure de bande et lescollisions. Le potentiel cristallin est supposé variant très rapidement devant le potentiel appliqué. Deplus, les collisions sont supposées « instantanées », c’est-à-dire de durée beaucoup plus courte que letemps entre deux collisions.Pour déterminer l’état et l’évolution d’un ensemble d’électrons en mouvement, l’équation de transportde Boltzmann se place donc sous la double hypothèse suivante [26] : Chaque électron est un corpuscule classique (parfaitement localisé) qui obéit aux lois de ladynamique de Newton : il se déplace à une vitesse égale à la vitesse de groupe du paquetd’ondes constituant sa fonction d’onde réelle. Le système d’électrons libres et entièrement décrit par la fonction de distribution f. Ce conceptest purement classique car il sous-entend notamment que la position et le vecteur d’onde dechaque particule sont parfaitement connus à l’instant t, ce qui est incompatible avec le principed’incertitude de Heisenberg. Dans un système quantique, cette simple fonction ne suffit plus :il faut de plus spécifier la relation de phase entre les différents états possibles.- 30 -

Chapitre I : Introduction au transport électroniqueCes hypothèses semi-classiques ne sont valables que lorsque l’énergie des électrons n’est pasquantifiée dans la direction du transport, ce qui suppose que les dimensions caractéristiques dudispositif soient supérieures à la longueur d’onde typique de l’électron. Celle-ci vaut environ 14nmpour les porteurs à masse transverse et 6,5nm pour ceux à masse longitudinale. De plus, il n’y a pas deréflexion possible sur une barrière d’énergie inférieure à l’énergie cinétique de l’électron. Cetteapproximation est justifiée si le potentiel vu par l’électron ne varie pas trop fortement sur une distanceinférieure à la longueur d’onde, c’est-à-dire si le profil de potentiel peut être assimilé à une successiond’un grand nombre de marches, de telle sorte que les petites réflexions aux interfaces interfèrent defaçon destructive. Il n’y a pas alors de réflexion globale. En corollaire, il n’y a pas de réflexioninstantanée sur une barrière de hauteur supérieure à l’énergie cinétique. Les phénomènesd’interférence deviennent négligeables lorsque le dispositif est plus grand que la longueur derelaxation de la phase à 300K, environ 13nm. La validité de l’approche semi-classique de Boltzmannest donc essentiellement liée aux dimensions du système considéré par rapport à deux longueurscaractéristiques : la longueur d’onde des électrons, qui est liée à leur énergie cinétique, et la longueurde relaxation de phase, qui est la longueur sur laquelle peut se déplacer un électron sans quel’information sur la phase initiale de sa fonction d’onde ne soit détruite. Ces deux grandeurs dépendentdes matériaux considérés et varient fortement avec la température. Dans le cadre de cette étude, cespoints montrent qu’il faut rester prudent lorsque les résultats sont extrapolés aux MOSFETs delongueur inférieure à 15nm [26]5. LA NOTION DE MOBILITE5.1. IntroductionL’équation de transport de Boltzmann permet de déterminer la fonction de distribution f dans unenvironnement quelconque vérifiant les hypothèses semi-classiques. Pour donner une premièreexploitation de l’équation de transport de Boltzmann dans un cas très simple, f est soumise à une petiteperturbation du champ électrique. A partir de la solution de ce problème, les grandeursmacroscopiques sont calculées. De plus, cela permet alors de définir la notion de mobilité qui relie lavitesse moyenne du gaz électronique au champ appliqué. Pour obtenir ce résultat, les approximationsde la maxwellienne déplacée et du temps de relaxation seront introduits. Enfin, ces résultats serontétudiés dans le cadre du fonctionnement du MOSFET (masse effective de conduction, gaz 2D.)5.2. L’approximation de la Maxwellienne déplacéeA l’équilibre, sans champ appliqué, la fonction de distribution est symétrique comme illustré surla Figure I-27. Par contre, lorsque les porteurs sont soumis à un faible champ électrique statique et queles interactions sont nombreuses, la fonction de distribution est supposée translatée de la vitessemoyenne du gaz électronique v d appelée vitesse de dérive (Figure I-28) : c’est l’approximation de laMaxwellienne déplacée [10] (ici pour une bande parabolique) :r rf v e e − −* 2( ( ) F ) B L 1/ 2 m v vd / k BTL, Ec r=− E k Tr r( )- 31 -I- 59

Chapitre I : Introduction au transport électroniqueFigure I-27 : Fonction de distribution à l’équilibre. Larépartition des vitesses provient la statistique de Boltzmann.La vitesse moyenne est nulle, bien que la vitesseindividuelle des porteurs ne soit pas nulle. La moyenne de lavaleur absolue des vitesses est représentative de l’agitationthermique donc de la température.Figure I-28 : Fonction de distribution dans l’approximationde la Maxwellienne déplacée. Le nombre d’interactions esttelle que la fonction est presque à l’équilibre. Elle est justetranslatée de la vitesse de dérive v d. sous l’influence du champE.Avec l’approximation de la Maxwellienne déplacée (I- 59) les grandeurs macroscopiques moyennestelles que la densité, la vitesse et l’énergie sont facilement calculables à partir de I- 49, I- 50 et I- 51dans le cadre de l’approximation parabolique. Elles sont regroupées dans le Tableau I- 3 :Tableau I- 3 : Calcul des principales grandeurs dans l’approximation maxwellienne où T c est la température du porteur.Dans le Tableau I- 3 la notion de température a été introduite dans le calcul de l’énergie moyenne W.Cette grandeur joue un rôle primordial dans les effets non stationnaires. A partir de l’équation I- 51, lavaleur de l’énergie moyenne vaut :- 32 -

Chapitre I : Introduction au transport électronique∞* 2∫1 2m v f ( ε ) dε0*I- 60W = = 1 2m vvf dε( ε )Pour introduire la notion de température, la vitesse des porteurs est décomposée en une partiesymétrique c où < c >= 0 et une partie antisymétrique v où < v >= vdet v = v + dc . La densitéd’énergie cinétique s’écrit, en prenant en compte l’approximation de la masse effective :* rr * r r 2 * r 2 r r r2W = 1/ 2m < vv >= 1/ 2 m < ( v + c) >= 1/ 2 m ( < v > + 2 < v >< c > + < c > )d d dOr =0 par définition d’où [10] :1 * 1 * 2W = nm vd + nm < c >I- 622 2Le premier terme désigne l’énergie de dérive, et le second terme, l’énergie due au mouvementaléatoire des porteurs, c'est-à-dire à l’agitation thermique. A l’équilibre, cette énergie d’agitation estreprésentative de la quantité de phonons et donc de la température du réseau :1 * 2 3Wtherm= nm < c >= nkTcI- 632 2Par contre, à fort champ, l’agitation augmente et la température T C dépasse la température du réseau.La température électronique est alors une grandeur pertinente pour l’étude de la saturation en vitesse etdes effets non stationnaires. Au final, l’énergie totale des porteurs est donc égale à la somme d’unecomposante de dérive liée au champ électrique et d’une composante liée à l’agitation thermique.Les grandeurs macroscopiques ayant été calculées sous l’approximation de la maxwellienne déplacée,la vitesse moyenne v d peut être déterminée en fonction du champ électrique. Pour cela l’approximationdu temps de relaxation RTA va être explicitée ("Relaxation Time Approximation" dans la littérature).Cette approximation permet de calculer de façon simple le terme de collision dans l’ETB.I- 615.3. L’approximation du temps de relaxationSi l’on considère f comme maxwellienne déplacée, f peut se décomposer en 2 composantes, unesymétrique f S égale à f 0 à l’équilibre et une f A antisymétrique telle que [10] :r r r r r rf ( , p, t) = f ( , p, t) + f ( , p, t)I- 64Soù la composante symétrique est supposée grande devant la composante antisymétrique. Il estimportant de souligner que la composante symétrique, bien que la plus importante, n’est pas la sourcedu courant. A l’équilibre, fS= foet fA= 0 . En dehors de l’équilibre, l’hypothèse est de supposer quef S est de la même forme que f 0 . En utilisant (I- 64), le terme de collision donne :∂f∂tcoll∂fS=∂tcoll∂f+∂tPour le premier terme, à l’équilibre ou à faible champ, la variation de la partie symétrique de f estconsidérée comme constante car la température électronique reste constante et égale à la températuredu réseau. Pour le deuxième terme, antisymétrique, une forme possible est [10] :r r∂fAfA(, p,t)= − r rI- 66∂tτ (, p,t)collf- 33 -AAcollI- 65

Chapitre I : Introduction au transport électroniqueOù τ f est la somme des temps caractéristiques qui décrivent le temps nécessaire à f pour revenir versson état d’équilibre. Pour les faibles champs, on a donc :r r∂ffA(, p,t)= − r rI- 67∂tτ (, p,t)collfEt comme la perturbation est faible, f symétrique est approximée par f à l’équilibre,r r r rf ( , p, t) ≈ f ( , p, t), d’où:So∂f∂tcollf −= −τCette approximation RTA est la base des calculs macroscopiques décrits dans les prochains chapitres.ffoI- 685.4. Calcul de la vitesse et de la mobilité sous un champ ELes approximations de la maxwellienne déplacée et de la RTA ayant été introduites, f peut êtrecalculée pour une petite perturbation de champ électrique dans le cas d’un semi-conducteur n uniforme(pour négliger le transport diffusif) et suffisamment long pour pouvoir négliger les effets nonstationnaires. Sous ces conditions, d’après l’équation de transport de Boltzmann et (I- 68) [10] :Si l’on suppose que ∇pf par ∇pf0facilement [10] :ffA− qEr ∇Pf = −I- 69τfet que le champ appliqué est selon la direction (Oz), on a∂fo= fo+ fA= fo+ qτ fEzI- 70∂pzÉquation qui peut être interprétée comme le développement en série de Taylor à l’ordre 1 de f 0 (p x , p y ,p z +qτE z ) lorsque le champ E z est petit. Cela correspond à l’équation de distribution à l’équilibretranslatée de qτE Z dans la direction opposée au champ. Dans ce cas simple, la fonction de distributionest déterminée. Les grandeurs macroscopiques en découlent. Avec I- 50 et I- 70, on peut écrire selon ladirection (Oz) que :Jnz= ( −q)n vCe qui donne après quelques calculs :Et on peut définir la mobilité avec [10] :µ ≡nqvzτf*mzavecvz=∑rp∑v ( frpz( f( ε) E00+ f )AA+ f )I- 71q ε × τ f= −I- 72m* ετf( ε)ε × τ f= I- 73εLa quantité permet d’introduire la dépendance en énergie dans la notion de mobilité et permetde calculer la vitesse de saturation. L’approximation RTA est valide seulement pour des champs- 34 -

Chapitre I : Introduction au transport électroniqueélectriques faibles où la température électronique reste constante et égale à celle du réseau. A partir decette approximation on peut calculer la mobilité pour le silicium. Et le courant devient :qτfJnz= qnµ nEzavec µn≡I- 74*mA faible champ le courant est directement proportionnel au champ électrique. De cette équationdécoule la loi d’Ohm. L'expression bien connue de la mobilité indique bien, conformément àl'intuition, qu’une forte mobilité provient d'un temps de relaxation long et/ou d’une masse faible.5.5. Notion de masse effective de conductionLes calculs précédents ont été effectués avec une seule masse. Cependant le silicium possède 6minima de bande de conduction avec 2 masses différentes. Proche de l’équilibre thermique, lesporteurs sont distribués également dans chaque ellipsoïde. Le courant électronique macroscopiquerésulte alors de la somme des courants transportés par les électrons de chacune des vallées. Si l’onsuppose un champ électrique appliqué suivant X, les électrons des 2 vallées X sont caractérisés par unemasse longitudinale et les porteurs des 4 vallées Z et Y sont caractérisés par une masse transverse. Lecourant global est la somme de chacune des composantes du courant [7] :J = J + J + JI- 75XComme les six fréquences d’interaction sont identiques dans les six vallées == , en utilisant l’équation I- 73, on a:J =n ⎡ q τq ⎢2*6 ⎢⎣mlYq τ+ 2*mtZq τ+ 2*mtE⎥ ⎥ ⎤⎦Et donc finalement la masse effective de conduction est introduite avec :q τ 1 2 / 6 4 / 6J = qn E avec = +m m m m*C*CCe calcul simple développé pour un champ électrique dirigé suivant l’axe principal d’un ellipsoïdepeut être étendu sans difficulté au cas d’un champ de direction quelconque [35]. Par contre lorsque lesilicium est contraint, le temps de relaxation est propre à chaque ellipsoïde et il est nécessaire dedéterminer le courant global en sommant de façon séparée les contributions de chaque vallée.*l*tI- 76I- 775.6. Approximation de la règle de MathiessenDans la plupart des calculs de propriétés de transport, il est nécessaire de considérer plusieursmécanismes d’interaction. Si les mécanismes d’interaction sont indépendants, les éléments de lamatrice d’interactions peuvent s’ajouter et on obtient le taux d’interaction total. Dans l’approximationdu temps de relaxation, cela est équivalent à additionner l’inverse des temps de relaxation de chaqueinteraction i:1τtot= ∑i1τLa mobilité totale s’obtient alors en insérant I- 78 dans I- 73. Cette formulation permet de définirproprement et rigoureusement la mobilité à faible champ. Mais ce calcul est long et ne permet pas dei- 35 -I- 78

Chapitre I : Introduction au transport électroniquediscriminer facilement les contributions de chacune des interactions en terme de mobilité. Afin demanipuler la mobilité plus facilement, il est possible de simplifier les calculs pour obtenir la règle deMathiessen. Cette règle comporte un certains nombres d’approximations, elles vont être détaillées cidessous.Le rappel sur les fréquences d’interaction a montré que les fréquences d’interaction pouvaient semettrent sous la forme suivante :f0[ / k T ] Sτ ( ε ) = τ εI- 79où τ 0 est une constante et s la puissance de l’énergie liée à l’interaction . En utilisant I- 79 avec I- 73,le temps de relaxation moyen devient [10] :Γ( 5 / 2 + s)τ f = τ oI- 80Γ 5 / 2BL( )Où Γ est la fonction Gamma utilisée habituellement en mathématique. En considérant plusieursinteractions (dans le calcul τ 1 et τ 2 ), d’après I- 78 et I- 67 et si l’on suppose que τ 1 et τ 2 peuvent semettre sous la forme I- 80 et qu’ils possèdent la même dépendance en énergie (ie s 1 =s 2 ) alors :( S + 5 / 2)Γ( 5 / 2)q ⎡ τ 01τ02⎤ Γ1µ = ⎢ ⎥et doncm ⎣τ01 + τ 02 ⎦µ1µ11+µ= I- 81D’après les calculs précédents, la loi de Mathiessen est valable lorsque les interactions sontindépendantes les une des autres et que leur dépendance en énergie est identique, ce qui n'estgénéralement pas le cas ! Malgré ces approximations délicates, cette règle est utilisée couramment carelle est très pratique et efficace. Ainsi, à partir de cette loi de Mathiessen, en sommant toutes lescontributions à la mobilité : phonons, impuretés et rugosité de surface, on obtient les courbes demobilité dans le canal du MOSFET en fonction du champ effectif de confinement (Figure I-29) et dela température (Figure I-30). Toutes les composantes sont largement détaillées dans les guidesd’utilisations des simulateurs[36] :2Figure I-29 : Illustration de la dépendance du champnormal sur la mobilité de la couche d’inversion [10]Figure I-30 : Mobilité des électrons en fonctions de ladensité d’impuretés donneuses pour différentes températures.[37]- 36 -

Chapitre I : Introduction au transport électronique5.7. La mobilité dans un gaz 2DDe la même manière que pour le calcul en 3D, le calcul de la mobilité dans un gaz 2D s’effectue parun calcul de mobilité sur chacun des niveaux d'énergie E i∞∫i( E − Ei) τ ( E)f ( E)dEq Eiµi≡I- 82* ∞m( E − E ) f ( E)dE∫EiiCette équation est la même que I- 73, à la différence près que E C est remplacé par E i et que le tempsd’interaction total est remplacé par le temps d’interaction total associée au niveau i. Pour obtenir lamobilité globale dans le gaz 2D, chacune des mobilités associées à un niveau donné est pondérée parla quantité de porteurs sur son niveau respectif.∑iµ Niiµ =NI- 83∑iA partir de ces fréquences d’interactions 2D, Takagi a calculé la mobilité sur chaque niveau commeillustré sur Figure I-32. De plus Gamiz est ses collaborateurs [39] ont montré que la réduction del’épaisseur du film mince (et l’accroissement du champ effectif dans les MOSFET à substrat massif)engendrait une réduction de la mobilité des porteurs. De plus, leur étude a mis en évidence que pourdes épaisseurs supérieures à 50nm la mobilité ne dépend plus de T Si (Figure I-31). Malgré, ladépendance notable de la mobilité en fonction du confinement, les fréquences d’interaction utiliséesdans la suite du travail seront celle du gaz 3D.iFigure I-31 : Mobilité des électrons dans un MOSFETSOI à température ambiante où les interactions phonons etrugosité de surface sont prise en compte. La simulation aété menée pour différentes épaisseurs T Si de film silicium[39]Figure I-32 : Mobilité calculée sur chaque niveau énergétiqueen séparant la mobilité lié aux interactions intra et inter vallée[38]5.8. ConclusionL’utilisation de l’approximation de la maxwellienne déplacée a permis d’introduire la notion demobilité et de donner une analyse du transport à champ faible. Lorsque le champ est fort et non- 37 -

Chapitre I : Introduction au transport électroniqueuniforme, les effets non stationnaires apparaissent et il est nécessaire de résoudre numériquementl’équation de transport de Boltzmann. La résolution la plus répandue est la méthode des moments quipermet d’obtenir le modèle Dérive-Diffusion et les modèles Hydrodynamiques. Celle-ci sera exposéedans le chapitre suivant. Par contre, lorsque le transport à lieu à faible champ, la notion de mobilité estcorrecte. Des calibrages de différents modèles de mobilité avec la règle de Mathiessen sur la mobilitéexpérimentale permettent alors de représenter fidèlement le transport dans le canal. Les effets dequantification, de rugosité de surface sont intégrés avec les termes de calibrage. Mais depuis lesgénérations sub-200nm, et surtout depuis l’apparition des effets quasi-balistiques, le calibrage de lamobilité à faible champ ne permet plus une étude pertinente à fort champ. Il est maintenant nécessaired’introduire de nouvelles grandeurs et de travailler directement avec les fréquences d’interaction pourappréhender correctement la nature balistique ou quasi-balistique du transport.6. LES EFFETS NON STATIONNAIRES ET QUASIBALLISTIQUES VUS SOUS L’ANGLE DE LA FONCTIONDE DISTRIBUTIONLes effets non stationnaires et quasi-balistiques ont été expliqués au premier paragraphe, mais leurinterprétation en terme de fonction de distribution f, très utile pour l’analyse du transport, ne l’a pasété. L’objet de cette partie est donc de décrire la fonction de distribution f du transport stationnaire autransport balistique.6.1. Transport stationnaireA faible champ, le courant, décrit par l’équation I- 1, est la somme d’un courant de dérive et d’uncourant de diffusion. Le courant de dérive permet de définir la notion de mobilité avec I- 73. Si l’onsuppose que le gradient de concentration est nul, la fonction de distribution à la forme d’unemaxwellienne déplacée dont la vitesse moyenne, vitesse de dérive, est reliée à la mobilité par larelation I- 84. Ce transport est illustré par la Figure I-33.J= qnv = qn EI- 84dérive Dérive µDans la barrière de potentiel de l'entrée de canal d’un MOSFET, le courant est uniquement dû à uncourant de diffusion et la fonction de distribution au point x à la forme de la Figure I-34. Le gradientde concentration implique un nombre de porteurs ayant une vitesse positive n + en x-dx supérieur aunombre de porteurs n - ayant une vitesse négative en x-dx. La vitesse moyenne des flux positif etnégatif est égale à la vitesse thermique. On peut ainsi écrire le courant sous les formes suivantes :dn1 − n / nJ diff = qDn= qnvinj= qnvthermI- 85− +dx1 + n / nLorsque le champ est faible et que les interactions sont en nombre suffisant pour maintenir fmaxwellienne déplacée tout le long du dispositif, la formulation du courant Dérive-Diffusion est alorscorrecte.−+- 38 -

Chapitre I : Introduction au transport électroniqueFigure I-33 : Fonction de distribution liée à un courant dedérive pur. Le nombre d’interaction est telle que la fonctionest presque à l’équilibre.Figure I-34 : Fonction de distribution liée à un courant dediffusion dans la barrière de potentiel. La forme de f estasymétrique. Elle est gouvernée par le gradient de porteur.6.2. Transport non stationnaireLorsque le champ est constant spatialement et qu’il dépasse E C la vitesse sature et la température dugaz électronique dépasse 300K, comme illustré sur la Figure I-35 en orange. Cela se traduit par unélargissement de la fonction de distribution et un décalage en vitesse jusqu’à la vitesse de saturation.Lorsque le champ croit spatialement et que les phonons n’arrivent pas à dissiper l’énergie acquise parles porteurs, le gaz n’est plus en équilibre avec le champ, les effets non stationnaires sont présents. Lasurvitesse apparaît. Ce mode de transport est illustré sur la Figure I-35 en rouge. Cette augmentationde la température peut engendrer alors un gradient de température qui crée une nouvelle composanteau courant, une composante de gradient de température décrite par l’équation I- 86. Cette composanteau point x se traduit sous la forme d’un maxwellienne centrée en zéro asymétrique dont la partie lesporteurs venant de x-dx ont une température T + supérieure à celle T - venant x+dx. Cela se traduit pardeux températures différentes au sein de la même fonction de distribution. Le courant est lié au faitqu’il y a deux vitesses thermiques moyennes différentes (I- 86) :− 1 + ⎤( T ) − v ( T ) ⎥⎦dT⎡1J GradTemp = qDT= qnvTemp= qn⎢vthermthermI- 86dx⎣22Cette configuration est illustrée sur la Figure I-36. Elle reste toutefois à confirmer par des simulationsappropriées.Grandeurs caractéristiques :Pour le transport non stationnaire, les grandeurs caractéristiques sont les longueurs de relaxation de lavitesse et de l’énergie à l’équilibre, obtenues à partir des temps de relaxation moyen < τ m > et .Ces temps sont calculés avec la méthode des moments. Ils seront expliqués dans le chapitre suivant.τm=3h k × f ( k) τ ( k)d kε × f ( k) τ ( k)∫ ×B∫ hk×Bm( f − f )0d3k∫ × w d kBτ w =I- 873∫ ε × ( f − f ) d kOn peut ainsi définir les longueurs de relaxation de la vitesse L m et de l’énergie L w par :L ×m = τmvthermL w τ w × vthermB0= I- 883- 39 -

Chapitre I : Introduction au transport électroniqueCes longueurs caractéristiques permettent de préciser l’apparition des différents régimes de transport.Cela sera développé au chapitre III.Figure I-35 : Evolution de la fonction de distribution dansun régime non stationnaire.Figure I-36 : Fonction de distribution liée à un courant dediffusion pur.6.3. Transport balistiqueLorsque le champ varie très rapidement et que les interactions sont peu nombreuses, le transport estquasi-balistique. Une partie de ces porteurs peuvent traverser le canal sans subir d’interaction. Leurtransport est newtonien suivant l’expression I- 16. En considérant théoriquement la partie positived’une fonction de distribution à l’équilibre sans champ, cette fonction de distribution se décompose en2 parties distinctes représentatives de la distribution des porteurs dans la zone de Brillouin (FigureI-37) en une fonction de distribution « transverse » f t (en vert) et une fonction de distribution« longitudinale » f l (en rouge) deux fois plus petite (relié au ratio 66% versus 33%). Dans le cadre d’untransport balistique, sous l’effet d’un champ électrique, (à t=0, f l f t sont au même point), les deux demifonctions de distribution se translatent d’une vitesse v bal(t ;l) calculée à partir de leur masse et suivant lamécanique classique. De plus, cet accroissement de la vitesse « rétrécit » la forme des fonctions dedistributions pour au final former deux pics quasi-monocinétiques de porteurs balistiques, commeillustré sur la Figure I-37. Pour ces porteurs, la notion de température est alors caduque car ils n’ontpas subit d’interactions.Les cas exposés précédemment, du transport stationnaire au transport balistique, sont des casthéoriques. Dans la « réalité » d’un dispositif, toutes ces configurations apparaissent ensemble. Lafonction de distribution est alors une combinaison des cas théoriques. Par exemple, la Figure I-38présente la fonction de distribution au milieu d’un canal de transistor quasi-balistique à l’état passant.On observe les pics de transport balistiques et on « devine » une fonction de distributionmaxwellienne déplacée représentative des porteurs ayant subi de nombreuses interactions.Grandeur caractéristique :Dans ce régime de transport, il est nécessaire d’introduire le libre parcours moyen lpm (ou « mean freepath » en anglais (mfp)) [17] par :lpm = τ ×I- 89v therm- 40 -

Chapitre I : Introduction au transport électroniqueCette longueur représente la distance moyenne à l’équilibre que parcourt un électron entre deuxinteractions.Figure I-37 : Fonction de distribution dans uneconfiguration totalement balistique. En vert : fonction dedistribution des porteurs à masses transverse. En rouge :fonction de distribution des porteurs à masse longitudinale.Figure I-38 : Fonction de distribution au milieu du canald’un transistor de longueur électrique 25nm à V DS =1V(simulation Monte Carlo).7. CONCLUSIONCe chapitre a introduit les effets non stationnaires et quasi-balistiques dans le cadre du fonctionnementdes MOSFETS nanométriques. Le rappel des concepts essentiels du transport électronique,accompagné de l’analyse des différentes approximations donne les clefs d’une bonne compréhensiondu transport électronique. Maintenant, les différents modèles de simulation numérique résolvantl’équation de transport de Boltzmann et les différents modèles analytiques et compacts vont êtreprésentés. Par un tour d’horizon de la modélisation, le chapitre II est un état de l’art général, mais nonexhaustif, pour mettre en lumière le travail effectué durant cette thèse.8. REFERENCES[1] “Transistor MOS et sa technologie de fabrication”, T. Skotnicki, Encyclopédie Techniques del’ingénieur, Traité d’électronique, Cahier E 2340, février 2000.[2] “Influence of Hydrodynamic Models on the Prediction of Sub micrometer DeviceCharacteristics », M. Iong and T. Tang, IEEE Trans. Elec. Dev., vol.44, n° 12, Dec. 1997, pp:2242-2250.[3] “BSIM 4.1.0 MOSFET Model User’s Manual”, C.Hu and al, Department of ElectricalEngineering and computer sciences, University of California, Berkley, 2000.[4] “Essential Physics of Carrier Transport in Nanoscale MOSFETs”, M.S. Lundstrom and Z.Ren, IEEE Trans. Electron Devices, vol. 49, 2002, pp: 131-141.- 41 -

Chapitre I : Introduction au transport électronique[5] “Electron mobility in extremely thin single gate silicon on insulator inversion layer”, F.Gamiz, J. B. Roldan, P. Cartujo-Casseniello, J. E. Carceller, J.A. Lopez-Villanueva and S.Rodriguez, Journal of Applied Physics, vol. 86, n°11, 1999, pp: 6269-6275.[6] “A novel Local Strain Scheme with Strong 45nm CMOS Performance for BroadApplications”, C.T. Huang and al, IEDM 2004.[7] “Physique des semiconducteurs et des composants électronique”, 5 ème édition, H. Mathieu,Edition Dunot, 2001.[8] “On the universality of the inversion layer mobility in Si MOSFET’s : Part I- Effects ofsubstrate impurity concentration”, S. Takagi, A. Toriumi, M. Iwase, H. Tango, IEEE Trans.Electron Dev., vol. 41, 1994, pp: 2357-2362.[9] “A review of Some Charge Transport Properties of silicon”, C. Jacoboni, C. Canali, G.Ottavaniani and A. Quaranta, Solid-State Electronics, vol. 20, 1977, pp: 77-89.[10] “Fundamental of carrier transport”, M.S. Lundstrom, Cambridge University Press, 2001[11] Li, S. S. and W. R. Thurber, Solid State Electron. 20, 7 (1977), pp: 609-616.[12] Jacoboni, C., C. Canali, G. Ottaviani, and A. A. Quaranta, Solid State Electron. 20, 2(1977)77-89[13] “Semiconductor Transport”, D.K. Ferry, New York: Taylor and Francis, 2000.[14] “Semiconductor Physics, an introduction” K. Seeger, Springer Serie, Solids State Sciences n°40, 1982.[15] K. Hess and K. Seeger, Z. Physik, vol. 218, 1968, pp: 431[16] “G. Baccarani, C. Jacoboni and M. Mazzone, Solid-State Electron., vol. 20, 5, 1977.[17] “Ballistic Transport in Silicon MOSFET’s”, L. Chang, Physics 250 Term Paper, 2000.[18] “Ballistic metal oxide semiconductor field effect transistor”, K. Natori, J. App. Phys., vol. 76,n°8, 1994, pp: 4879- 4890.[19] “Ballistic MOSFET Reproduces Current-Voltage Characteristics of an Experimental Device”,K. Natori, IEEE Elec. Dev. Letters, vol. 23, 2002, pp: 655-657.[20] “A Landauer Approach to Nanoscale MOSFETs”, M.S. Lundstrom, Journal of ComputationalElectronics, vol. 1, 2002, pp: 481-489.[21] “Temperature Dependent Channel Backscattering Coefficients in Nanoscale MOSFETs”, M.Chen et al, Electron Devices Meeting, IEDM 2002. Digest. International, pp: 39-42.[22] “On the ballistic transport in nanometer-scaled DG MOSFETs”, J. Martin, A. Bournel, P.Dollfus, Electron Devices, IEEE Trans. Electron Devices, vol. 51, Issue: 7, 2004, pp: 1148-1155.[23] “Physique de l’état solide”, C. Kittel, Edition dunot, 1998, 7 e édition.[24] “Quantum Phénoména », S. Datta, vol. 3 of the Modular Series on solids State Devices,Addison-Weesley, Reading, Mass., 1989.[25] “Monte Carlo Simulation and Measurement of Nanoscale n-MOSFETs”, F.M. Bufler, Y.Asahi, H. Yoshimura, C. Zechner, A. Schenk and W. Fichtner, ETH, Technical Report, April2003.[26] “Electronic Transport in Mesoscopic Systems”, S. Datta, Cambridge University Press, 1995.[27] “Etudes théoriques de structures pour l’électronique rapide et contribution au développementd’un simulateur particulaire Monte Carlo”, Philippe Dollfus, HDR, n°363, Université Paris-Sud, 1999.- 42 -

Chapitre I : Introduction au transport électronique[28] “The Monte Carlo method for the solution of charge transport in semiconductors withapplications to covalent materials, C. Jacoboni, Reviews of modern Physics, vol 55, n° 5,1983.[29] “Monte Carlo simulation of remote Coulomb scattering limited mobility in the metal oxidesemiconductor transistors” F. Gamiz, J.B. Roldan, J.E. Carceller and P. Cartujo, Appl. Phys.Lett., vol 82, 2003, pp: 3251-3253.[30] “Electronic properties of two dimensional systems”, T. Ando, A. Fowler and F. Stern, Reviewof modern Physics, vol.54, n°2, 1982. pp: 437-672.[31] “Electron transport in Si/SiGe modulation doped heterostructures using Monte CarloSimulation”, F. Monsef, P. Dollfus, S. Galdin-Retailleau, H-J. Herzog, T. Hackbarth, JAP,vol.95, n°7, April 2004, pp: 3587-3593.[32] “First order intervalley scattering in low dimensional systems”, Physical Review B, F.Monsef, P.Dollfus, S.Galdin, A.Bournel, vol. 65, 2002, pp: 212304- 04.[33] “Characterization of the hot electron distribution function using six moments”, T. Grasser, H.Kosina, C. Heitzinger and S. Selberherr, Journal of Applied Physics, vol. 91, n°6, 2002,pp:3869-3879.[34] “Physical Properties of Semiconductors”, C. Wolfe, N. Holonyak, G. Stillman, Prentrice Hall,Englewood Cliffs, New Jersey, 1989.[35] “Generalized Effective Mass Approach for Cubic Semiconductor n-MOSFETS on ArbitrarilyOriented Wafers”, A. Rahman, M. Lundstrom and A. Ghosh, Submitted for publicationhttp://falcon.ecn.purdue.edu:8080/publications[36] “DESSIS”, ISE, vol. 4a, 8.0, 2002.[37] www.ioffe.rssi.ru/ SVA/NSM/Semicond/.[38] “Comparative study of phonon limited mobility of two dimensional electrons in strained andunstrained Si metal-oxide-semiconductor field effect transistor”, S. Takagi, J. Hoyt, J. Welserand J. Gibbons, J. Appl. Phys., vol. 80, 1996, pp: 1567-1577.[39] “Electron mobility in extremely thin single-gate silicon on insulator inversion layers”, F.Gamiz, J.B. Roldan, P. Cartujo-Cassinello, J.E. Carceller, J.A. Lopez-Villanueva and S.Rodirguez, Journal of Appl. Phys., vol.86, n°11, 1999, pp:6269-6275.- 43 -

Chapitre I : Introduction au transport électronique- 44 -

Chapitre II : Les différents niveaux de la modélisationCHAPITRE II :LES DIFFERENTS NIVEAUX DE LAMODELISATION1. INTRODUCTIONAfin de situer le travail effectué durant cette thèse, ce chapitre a pour but de décrire l’éventail destechniques de simulation et de modélisation des MOSFETs des plus fondamentales aux plus pragmatiques(Tableau II- 1). Premièrement, une analyse des modèles de simulations numériques conventionnelles seraeffectuée. Dans cette catégorie, le modèle historique le plus répandu est le modèle Dérive-Diffusion (DD)[1]. Celui-ci a permis d’obtenir de très bons résultats sur les transistors longs. Mais ce modèle ne permetplus depuis quelques années de représenter fidèlement les caractéristiques électriques car il ignore leseffets non stationnaires et quasi-balistiques. Le courant à l’état passant et la transconductance sont alorslargement sous-estimés sur les petits dispositifs. Pour continuer à utiliser ce type de modélisation, leschercheurs en simulation ont utilisé les travaux de Bløtekjaer (1970) [2] et de Stratton (1962) [3] pourdévelopper les modèles hydrodynamiques [4] permettant de prendre en compte les effets nonstationnaires. Cependant, l’émergence actuelle des tailles nanométriques impose de prendre en compte leseffets quasi-balistiques et balistiques [5], effets qui ne peuvent être modélisés par les modèleshydrodynamiques classiques. Ainsi, dans le cadre d’une description classique du transport, seules lessimulations particulaires Monte Carlo (MC) [6] y parviennent.Par ailleurs, pour prendre en compte les effets de confinement quantique, une première approche fut dedévelopper des modèles de correction quantique [7] et une seconde d’ajouter un couplage Poisson-Schrödinger [8] dans les simulateurs Dérive-Diffusion et Monte Carlo. Cependant, à l’approche de la taillecritique où le transport semi-classique n’est plus valable, les chercheurs développent actuellement dessimulateurs quantiques basés sur les fonctions de Green [9] ou sur l’équation de transport de Wigner [10]permettant de prendre en compte simultanément les effets de quantification et de transport. Dans cettepremière partie, l’ensemble de ces approches sera décrite en se focalisant davantage sur les modèleshydrodynamiques et Monte Carlo classique.La deuxième partie décrira les modèles analytiques 1 et compacts. Il en existe un grand nombre, chacunayant ses propres approximations et son utilité. Ces principaux modèles, du transport stationnaire [11] autransport balistique [12] y seront analysés. Cela permettra de donner un éclairage au travail de1 Les modèles analytiques sont définit ainsi : système simple d’équations pouvant maintenant inclure une résolution numériquelégère et destinée éventuellement à de la modélisation compacte.- 45 -

Chapitre II : Les différents niveaux de la modélisationmodélisation décrit au chapitre IV. De plus, une analyse de ces différents niveaux de modélisation seraeffectuée pour donner au lecteur les clefs d’une utilisation pertinente des modèles. L’analyse portera alorssur le compromis à trouver entre temps de calcul et précision. Enfin, nous situerons nos travaux dans cetéventail de la modélisation.MODELESModeles Compacts de type SPICE (SPICE)Modèles Analytiques (MA)Dérive Diffusion (DD) TCADHydrodynamique (HYD) TCAD : Energy BalanceModel (EBM) ou Hydrodynamic model (HDM)DD ou HYD avec Corrections Quantiques(DD-CQ) (HYD-CQ)Monte Carlo résolvant Boltzmann (MC-B)Monte Carlo avec Corrections Quantiques(MC-B-CQ)Monte Carlo avec Couplage Poisson Schrödinger(MC-B-PS)Monte Carlo résolvant Wigner (MC-W)Fonction de Green sans interactions (FG-B)Fonction de Green avec interactions (FG-S)INTERETModèles utilisés par les concepteurs.Modèles utilisés pour simuler des transistorsspécifiques ou des phénomènes précis.Simulations des dispositifs de longueur de grillesupérieure à environ 500nm.Simulations des dispositifs de longueur de grillesupérieure à environ 200nm et simulation des effetsliés aux porteurs chauds.Simulations du décalage du centre de charge dans laconfiguration DD ou HYD.Simulation des dispositifs de longueur de grillesupérieure à environ 10nm.Simulations du décalage du centre de charge dans laconfiguration MC-B.Simulations du décalage du centre de charge et laquantification dans le sens du confinement dans laconfiguration MC-B.Simulation de tous les dispositifs : prise en comptedes effets de quantification, d’interférence et detransport.Simulation de tous les dispositifs dans uneconfiguration balistique.Simulation de tous les dispositifs : prise en comptedes effets de quantifications, d’interférences et detransport.Tableau II- 1: Les différents niveaux de modélisation: des modèles compacts de type SPICE à la simulation atomistique.Plus l’on descend dans le tableau, plus les résultats sont précis (si l’on raisonne sans calibrage), mais les simulationsrequièrent un temps de simulation plus long.2. SIMULATIONS NUMERIQUES CONVENTIONNELLES2.1. Méthode des moments : modèle de Bløtekjaer2.1.1. PrincipeL’approche de Bløtekjaer [2] est basée sur la méthode des moments. Cette méthode, bien expliquée parRudan dans [4], consiste à calculer, à partir de l’Equation de Transport de Boltzmann (ETB), les équationsde conservation pour:- 46 -

Chapitre II : Les différents niveaux de la modélisation La densité moyenne des porteurs n( r , t) La densité moyenne des moments p( r , t) La densité moyenne de l’énergie W ( r , t)Pour calculer ces équations de conservation, il suffit, moyennant un certain nombre d’approximations,d’intégrer sur la première zone de Brillouin l’équation de transport de Boltzmann :r∂fr F ∂f+ u∇rf + ∇pf =II- 1∂th ∂ten la multipliant par une fonction h(k) [4] [13], où h(k) vaut respectivement : 1 (moment d’ordre 0) pour la conservation des porteurs h k (moment d’ordre 1) pour la conservation de la vitesse ε (k)(moment d’ordre 2) pour la conservation de l’énergie∫∂f r q v∂f( ) + − r = ( )3 3h k .[ u. gradrf E. grad f ] d k h k .[ ] d kk∂t h ∂tBBcollL’intégration sur la zone de Brillouin permet d’obtenir les équations de conservation des grandeursmacroscopiques densité, vitesse et énergie. Le développement de ces calculs est long et fastidieux. Dansce chapitre, seul l’esprit de la méthode et les principales approximations nécessaires à la compréhensiondu transport électronique seront expliqués.coll∫II- 22.1.2. Calcul au moment 0Pour obtenir la conservation de la densité de porteurs, l’ETB est intégrée avec h(k)=1. Dans ce calcul, lepremier terme de l’intégrale représente la variation de la densité de porteurs dans le temps. Commel’objectif est de calculer le courant en statique, f est considérée comme constante dans le temps en toutpoint du dispositif. Ces termes temporels seront donc considérés comme nuls dans la résolution dusystème. Pour le second terme de l’intégrale, en utilisant u.grad r f = div r (fu), on obtient la divergence ducourant div r (nv), où v est la vitesse moyenne. Le troisème terme est nul. Enfin le terme de collisionn’influe pas sur la densité d’électron . On a donc [4] :∂n1 − divr( Jn) = 0∂tqSans génération ni recombinaison, la variation temporelle de la charge est égale à la divergence du flux decourant. Equation bien connue qui peut aussi être obtenue par dérivation de l’équation de MaxwellAmpère [14].Avec h(k)=2.1.3. Calcul au moment 1hkle premier terme de l’intégrale représente la variation du moment P=nmv dans le temps.Le deuxième terme donne ( n ku )On définit pour cela l’énergie par WII- 3div rh qui correspond à la divergence de l’énergie du gaz électronique.= 1/2nhku. Le troisème terme donne –qnE par développementpar partie de l’intégrale. Pour calculer le terme de collision il est nécessaire alors d’introduire la fonctionde distribution à l’équilibre. Sans approximation sur la forme de f, on a [13]:- 47 -

Chapitre II : Les différents niveaux de la modélisationτm( k) τ ( k)∫ hk× f ×B=∫ hk×Bm( f − f )Il est important de noter que 1/τ m est la fréquence d’interaction du moment pour une énergie donnée tandisque est la fréquence moyenne d’interaction du moment pondérée par la distribution liée à lavitesse. Avec cette notation, aucune approximation sur le calcul de la fréquence d’interaction n’esteffectuée (pour l’instant). L’équation devient [4] :r∂Pt1 r+ 2div( W ) + nqE = − PII- 5∂tτSans génération ni recombinaison et en statique (dP/dt=0), la variation saptialle de l’énergie est égale à laforce appliquée au gaz plus la force de friction due aux interactions. En écrivant l’énergie en terme detempérature électronique et en multipliant par le temps de relaxation du moment, la mobilité et lecoefficient de diffusion apparaîssent pour obtenir l’équation Dérive-Diffusion. Elle permet de calculer lalongueur de relaxation de la vitesse.2.1.4. Calcul au moment 2Avec la même méthode on obtient la conservation de l’énergie en définisssant le flux d’énergie par :F W =n et le temps de relaxation de l’énergie définie par :0d( k) τ ( k )3dkm3kII- 4∫ ε × f × w d kBτ w =II- 63∫ ε × ( f − f ) d kOn obtient alors l’équation de conservation de l’énergie [4] :t∂Wr r 1+ divrFW− JE = − W −W∂tτB0w3( )Sans génération ni recombinaison et en statique (dW/dt=0), la puissance apportée par le champ est égale àla puissance dissipée par les interactions avec les phonons intervallée plus la diffusion du flux d’énergie.0II- 72.1.5. Relation de fermeture et approximationsDe la même manière que précédemment la méthode peut continuer jusqu’aux moments 3 (flux d’énergie),4, 5. La résolution numérique en sera d’autant plus compliquée et longue. Si l’on souhaite s’arrêter aumoment 2, pour résoudre le système des équations de conservation {II- 3, II- 5, II- 7}, il est nécessaire detronquer le système. Celui-ci ayant une inconnue en plus, le flux d’énergie F W , il est nécessaire d’exprimercette grandeur à partir des grandeurs précédentes, densité, vitesse et énergie. Dans un cas général à néquations, la troncature exprime l’inconnue n+1 avec les grandeurs précédentes. Ces troncaturespermettent alors de retrouver les modèles suivants : Lorsque la relation de fermeture du système est à l’ordre 2, le flux de chaleur est exprimé enfonction de l’énergie et de la température. On obtiendra alors le modèle de Bløtekjaer ou appeléaussi « Hydrodynamic Model » (HDM), car similaire dans la forme avec les équations del’analyse des fluides.- 48 -

Chapitre II : Les différents niveaux de la modélisation Lorsque l’on tronque le système à l’ordre 1 (II- 5), l’approximation est de considérer l’énergie desporteurs comme constante et égale à l’énergie du réseau W=3/2kT L . On obtiendra alors le modèleDérive-Diffusion, modèle ne permettant pas de prendre en compte les effets non stationnaires.Pour tronquer le système, ici à l’ordre 2, il est nécessaire d’exprimer le flux F W par la vitesse v z etl’énergie W ou par la température électronique T c , ce qui est similaire du fait de l’équation suivantedéveloppée au chapitre I :1 * 2 3W = nm vz+ nkTII- 82 2En procédant de la même manière que pour l’énergie W ; en décomposant le flux d’énergie de l’équationII- 7 en ses différentes composantes [13], on a:r r r t rF W= v W + v nk T + QII- 9Où le flux est égale à la densité d’énergie multipliée par la vitesse de dérive plus la vitesse de dérivemultipliée par la pression du gaz électronique plus la perte d’énergie de ce volume dû au flux de chaleurQ, calculée avec la composante aléatoire de la vitesse. L’équation II- 9 n’est pas encore assez simplifiéecar il faut évaluer Q avec la température. Il est donc nécessaire de mener d’autres approximations. La première est de considérer le tenseur température comme diagonal. Dans ce cas, la divergencedu tenseur température devient:∇T t = ∇T CII- 10 La deuxième approximation est consiste à évaluer phénoménologiquement Q par la loi deFourrier. Q étant lié au gradient de température, on pose [13]:rQ = −κT C∇TII- 11( )Coù κ est la conductivité thermique et déterminée avec de la loi de Wiedermann-Franz [13]:κ5 ⎛ kq⎟ ⎞= ⎜II- 12⎝ ⎠( T C) ( / 2 + s) ⎜ qµnTCOù le facteur s provient d’une hypothèse sur la dépendance en énergie des fréquences d’interaction:2−s⎛ ε ⎞τ ( ε ) = τ 0 ⎜ ⎟II- 13⎝ kT ⎠2.1.6. Le système simplifiéA partir de ces approximations, le système composé des trois premières équations de conservation peutêtre résolu. Lorsque les variations spatiales sont dans une direction donnée {Oz} et qu’il n’y a pas desource de porteurs on obtient le modèle de Bløtekjaer :∂n1− div z( J n) = 0∂tqII- 14∂P∂tz+ 2divz* 21( nm vz+ nkTc) + nqE = − PzτmII- 15- 49 -

Chapitre II : Les différents niveaux de la modélisation∂W∂t+ divr( v W + v nkT − κ∇T) − J E = − ( W −W)zzccnzrz1τw0II- 16Dans ce système, les inconnues sont : La densité de porteurs n La vitesse des porteurs v La température électronique T C Le potentiel dans la structure ψCe système est couplé à l’équation de Poisson II- 17 qui permet de recalculer le potentiel et le champauquel est soumis le gaz d’électrons.∇ Ψ =( − N − n + p )q NDε 0AεSiII- 17Avec cette résolution numérique, les grandeurs macroscopiques peuvent être déterminées dans ledispositif comme illustré sur les Figure II-1 et Figure II- 2 sur une diode n+/n/n+. La vitesse y dépasse lavitesse de saturation et la température électronique y dépasse 300K.Figure II-1: Profile de vitesse et densité des porteurs dansune diode n+/n/n+ de 200nm à 1.5V. [20]Figure II- 2: Tenseur de la température électronique fonctionde la position. T ZZ se réfère à la direction du transport et T XXT YY se réfèrent aux directions perpendiculaires. [20]A partir de cette modélisation globale, plusieurs modèles sont apparus, chacun avec leurs approximations,notamment sur la troncature et sur le calcul de II- 4 et II- 6. Cependant, avant les années 70, Stratton adéveloppé des équations similaires basées sur l’approximation de la RTA. Etudions les.2.2. Modèle de Stratton2.2.1. PrincipeL’approche de Stratton [3]-[13], appelée aussi Energy Balance Model (EBM), est basée surl’approximation du temps de relaxation (RTA). Pour obtenir les équations de conservation, Strattondécompose la fonction de distribution en une composante symétrique et antisymétrique :r r rf ( p)= f ( p)+ f ( p)II- 18SA- 50 -

Chapitre II : Les différents niveaux de la modélisationDans le cas où les interactions sont élastiques ou isotropes et en supposant la maxwellienne déplacée, lepremier terme de collision symétrique est nul et le terme de collision s’écrit:∂f∂tcoll∂fS=∂tcoll∂f+∂tAcoll∂f≈∂tAcollf=τAfII- 19Utilisant l’approximation du temps de relaxation et en approximant f à sa composante symétrique,l’équation de transport de Boltzmann 1D en régime permanent peut s’écrire :∂f∂f− vzτ f+ qEzτf= fAII- 20∂z∂pEn supposant que f est une maxwellienne déplacée, donc en intégrant f A avec la vitesse on obtient [1] :Jnz⎛ k ∂nk ∂TC( ) ⎟ ⎞ TC∂µn ∂ ln µ n= qµ n⎜nE+ TC+ n 1 + ν n où ν n = =II- 21⎝ q ∂zq ∂z⎠ µ n ∂TC∂ ln TCoù le flux est calculé comme précédemment avec le terme asymétrique :FW( nµT )2⎛ k ∂ n C⎞= −( 5 / 2 + s)⎜⎟µ nnEkT+II- 22⎝ q ∂z⎠Où ν n est considéré comme un terme de calibrage.Dans cette approche, les approximations sont les suivantes : Approximation RTA : interactions élastiques et isotropes : équations II- 18 et II- 19. Expression du temps de relaxation dépendant de l’énergie dans II- 21. La partie asymétrique est supposée négligeable devant f 0 dans II- 20. f est une maxwellienne déplacée (pour le calcul des dérivées de f) dans II- 21.La différence principale entre les deux modèles est que dans l’approche de Stratton le terme de mobilitéest basé sur la RTA tandis que dans l’approche de Bløtekjaer, la mobilité est basée sur la méthode dumoment. Le calcul des mobilités est différent Ainsi, dans l’équation de conservation du flux, la mobilitéde Stratton est à l’intérieur du gradient représentatif de la diffusion tandis que la mobilité de Bløtekjaer estdevant le gradient. L’analyse de ces différences est largement expliqués dans [15] [16]. Par ailleurs, lesdeux approches furent comparées dans [17] [18] [19] dans des diodes et des transistors.2.3. Modèle Dérive DiffusionDans l’équation II- 15 le tenseur W contient une composante de dérive due au champ et une composanted’agitation thermique. Pour simplifier l’équation précédente, on suppose que la composante de dérive esttrès faible devant la composante d’agitation thermique et que le tenseur est diagonal. On a donc:nJ n = nqµ n E + 2µ∇ kTcII- 232L’équation précédente paraît similaire à l’équation Dérive-Diffusion, mais cependant elle rappelle que ladiffusion est associée au gradient de densité d’énergie cinétique résultant d’un gradient de porteur et /oud’un gradient d’énergie par porteur. Cependant si l’on explicite davantage le gradient on obtient :Jn= nqµ E + qD ∇n+ qD ∇TII- 24nnTC- 51 -

Chapitre II : Les différents niveaux de la modélisationavec deux nouveaux paramètres, le coefficient de diffusion D n =µkT/q [1] et le coefficient de diffusionthermique D T =nµk/q [1]. Lorsque l’on considère que les gradients de température sont faibles, c'est-à-direqu’il n’y a pas d’effet non stationnaire, on obtient l’équation bien connue du modèle Dérive-Diffusion:Jn= nqµ E + qD ∇nII- 25nn2.4. Critiques des modèles hydrodynamiques.De nombreux modèles hydrodynamiques ont été développés depuis celui de Bløtekjaer en 1970. Tous cesmodèles comportent un certains nombres d’approximations qui sont résumés ci-dessous.2.4.1. Structure de bande et dégénérescenceDans les dispositifs quasi-balistiques, certains porteurs sont dits chauds car très énergétiques. Leur masseeffective n’est plus celle du bas de la bande de conduction. Pour prendre en compte ses effets, Bordelon[24] a reformulé le modèle hydrodynamique avec la correction de non parabolicité. De plus, enintroduisant un facteur « kurtosis » β(Tc) dépendant de l’énergie tabulée sur la structure de bande, Grassera introduit la structure de bande complète [29]. Cependant, l’utilisation d’une structure de bande réalisterajoute de sévères complications dans la résolution. De plus, le modèle de Smith et Brennan [30] intègre lastatistique de Fermi-Dirac pour observer les effets de dégénérescence.2.4.2. Relation de fermetureTypiquement les modèles hydrodynamiques sont tronqués à la conservation de l’énergie ou du fluxd’énergie. Comme il est nécessaire de mener des approximations pour tronquer le système, une troncatureà l’ordre n+1 est plus précise qu’à l’ordre n pour décrire le transport. Les troncatures s’effectuent enfaisant des hypothèses sur la forme de la fonction de distribution. Elle est supposée maxwelliennedéplacée [15] ou peut prendre des formes plus compliquées : combinaisons linéaire de fonctionsexponentielle [29]. Grasser et ses collaborateurs ont étudié les modèles jusqu’au moment 6 et montrent,par comparaison avec Monte Carlo, l’impossibilité de représenter correctement le transport dans lesMOSFETs ultimes où le transport est caractérisé par une forte contribution balistique (L ch

Chapitre II : Les différents niveaux de la modélisationLundstrom et son équipe, dans [20] et [26], ont montré que l’énergie cinétique pouvait être du mêmeordre de grandeur que l’énergie thermique. Plus le dispositif est petit, plus cette approximation estcritique. L’erreur du ratio 1/2mv²/ peut atteindre 30% sur une diode de 50nm au début du canal où letransport est le plus critique. Ce point est illustré sur la Figure II- 3 sur une diode de 400mn.Figure II- 3: Ratio de l’énergie de dérive et de l’énergietotale [20].Figure II- 4: Le flux d’énergie cinétique Q, et le flux d’énergietotale S fonction de la position. Le profil de température T ZZ estaussi visualiser ainsi que la composante T e J S [20].2.4.5. Analyse du flux de chaleurPour modéliser correctement le flux d’énergie illustré sur la Figure II- 4 il est nécessaire d’étudier toutesces composantes (II- 9). Or la modélisation du flux de chaleur par les lois de Fourrier et de Widemann-Franz ne permet pas de représenter correctement les phénomènes observés par les simulations MonteCarlo. La nature du transport n’est pas la même à la source et au drain (Figure II- 5). Pour obtenir lesmêmes résultats que par simulation Monte Carlo, il est nécessaire de calibrer ν n , valeur décrite par II- 21.En améliorant les expressions, décrites dans [20], des résultats sensiblement meilleurs peuvent êtreobtenus comme suggéré sur les Figure II- 5 et Figure II- 6.Figure II- 5: Comparaison du flux de chaleur entre unesimulation Monte Carlo et la loi de Fourrier pour deuxvaleurs de s=0 et s=-2.1 dans la loi de Wiedemann-Franz.[20].Figure II- 6: Comparaison du flux d’énergie entre unesimulation Monte Carlo et l’expression (II- 22) [20]- 53 -

Chapitre II : Les différents niveaux de la modélisation2.4.6. Modélisation des temps de relaxationPour effectuer un calcul le plus précis possible sur un système tronqué à l’ordre n, il est nécessaire deconnaître la valeur des n-1 temps de relaxations avec les expressions II- 4 et II- 6 etc... Classiquement,pour les modèles hydrodynamiques conventionnels, il faut déterminer la mobilité (temps de relaxation dumoment) et le temps de relaxation de l’énergie en tout point du dispositif. Pour cela, plusieurs modèlesτ p (T C ) et τ W (T C ) dépendants de la température T CBaccarani [28] avec :02satont été développés, notamment par Hänsh [38] ou*3 µ k TCTLmcµ 0TC Lτ w = +II- 272 qv( TC+ TL) 2q TLCependant ces modèles ne permettent pas de représenter fidèlement la mobilité issue d’une simulationMonte Carlo [27] car les calculs menés pour obtenir des formes simplifiées de II- 4 sont basés surl’approximation de la Maxwellienne déplacée. Or dans les dispositifs, des « porteurs chauds » (oubalistiques) peuvent coexister avec des « porteurs froids » (injection de porteurs au drain, par exemple).Fort de cette constatation, Tang [25] a modélisé la mobilité en la séparant en deux composantes, unehomogène et une autre dépendant du gradient de l’énergie et en calculant le temps de relaxation dépendantde l’énergie. Les coefficients sont alors déterminés à l’aide des simulations Monte Carlo. De même,Thomas calibre τ p (T C ) et τ W (T C ) dans [23] pour obtenir des résultats très intéressants. De plus, dans lemême esprit, le calcul du flux de chaleur et des temps de relaxation étant lié à la forme de la fonction dedistribution f, de nombreux chercheurs ont développé f suivant différentes formes, polynomiale, produit defonctions. Elles sont résumées et analysés par Grasser dans [29]2.5. BilanPour résumer, il est nécessaire de définir des ordres de grandeurs à partir desquelles les modèles ne sontplus pertinents et peuvent donner des tendances inexactes. Ainsi, la modélisation macroscopique Dérive-Diffusion permet de modéliser tous types de dispositifs dès lors que les distances caractéristiques sont trèsgrandes devant le libre parcours moyen du porteur et que la variation du champ électrique est faible. Pourdonner un ordre de grandeur, le modèle Dérive-Diffusion permet de modéliser les MOSFETs dont lalongueur est supérieure à environ 500nm. Ensuite les effets non stationnaires apparaissent et il estnécessaire d’utiliser les modèles hydrodynamiques. Dans toute la zoologie de la modélisationhydrodynamique, il n’existe pas de longueur caractéristique précise à partir de laquelle la modélisation estinadaptée. Cette grandeur dépend du degré d’approximations effectuées et des paramètres du MOSFET.De nombreuses analyses ont été menées, dans [20], [22] et [21], pour connaître l’influence de chacune deses approximations et leurs domaines de validités respectifs (Tableau II- 2). Cependant, sans calibration, lamodélisation hydrodynamique est inadaptée pour les longueurs inférieures à environ 200nm. Mais, avecun calibrage sur des valeurs Monte Carlo, les résultats peuvent être très corrects jusqu’à des longueursultimes [25]. La modélisation hydrodynamique reste nécessaire dès lors que l’on s’intéresse aux électronschauds et à leur influence sur les caractéristiques du courant de ionisation par impact [32][33][34] ducourant substrat [35][36]et du courant tunnel vers la grille [37]. En conclusion, ces modèles sont trèsintéressants et utiles mais il faut rester prudent quant à leur utilisation lorsque l’on atteint les longueursnanométriques.- 54 -

Chapitre II : Les différents niveaux de la modélisation1. Approximation de la masse effective2. Approximations des bandes paraboliques et sphériques (pour la notion de mobilité)3. Règle d’or de Fermi (des temps de relaxation, et donc pour le calcul de la mobilité)4. Approximation des temps de relaxation (interactions isotropes, porteurs non dégénérés)5. Approximation de la maxwellienne déplacée6. Approximation du flux de chaleur avec la loi de Fourrier de la loi de Wiedmann Franz7. L’énergie de dérive est faible devant l’énergie thermique.8. Le tenseur de température ou d’énergie est diagonal.9. Le gradient de température est constant ou est supposé égale à celle du réseau. 1, 2 et 3 sont les approximations du transport semi-classique & 4, 5 et 6 sont les approximations des modèles Hydrodynamiques & 7, 8 et 9 les approximations spécifiques au modèle Dérive-Diffusion.Tableau II- 2: Liste des approximations les plus utilisées dans le cadre de la modélisation par la méthode des moments. Suivantchaque modèle, certaines approximations peuvent ou non être prise en compte.2.6. Insertion des effets quantiquesLes différents modèles de simulation rapide de la TCAD ayant été décrits, il est nécessaire maintenantd’évoquer les corrections quantiques effectuées pour prendre en compte le décalage de centre de charge etla quantification. Dans un premier temps, nous allons décrire le modèle Density Gradient (DG) puis laméthode du couplage Poisson/Schrödinger.2.6.1. Le modèle Dérive Diffusion Quantique ou Density GradientLe modèle Density Gradient, correction quantique du modèle Dérive Diffusion, permet de prendre encompte l’effet du décalage du centre de charge à l’interface Si-SiO 2 avec les équations du transport semiclassique.Cette méthode est basée sur la même résolution que celle utilisées par le modèle Dérive-Diffusion. La différence tient au fait que l’équation de transport à résoudre n’est plus l’équation detransport de Boltzmann, mais l’équation plus générale de transport de Wigner [39] [40], dérivée del’équation fondamentale de Liouville Von Neumann,( r k,t) hk∂ρ( r,k,t)( r,k t)∂ ρ , ∂ρ++ θ ( ρ( r,k,t)) =,∂tm ∂r∂tcollII- 28où f est remplacée par la matrice de densité ρ [61] dont les éléments diagonaux ρ nn représentent laprobabilité de présence à l’état ψ n et les éléments non diagonaux ρ mn les interférences entre les états ψ n etψ m . L’autre différence avec l’équation de transport de Boltzmann est l’apparition d’un troisième termeappelé potentiel quantique de Wigner:θ( ρ( r, k,t)) −iVW ( r,k − k') ρ( r,k',t) dk'=∫ II- 29avec :V W[ V ( r + 1/ 2z)− V ( r −1/2z)] ( − ikz)dz1=∫exp2πII- 30- 55 -

Chapitre II : Les différents niveaux de la modélisationoù V est l’énergie potentielle. Afin de faire le lien avec l’équation de transport de Boltzmann, undéveloppement possible pour l’équation fondamentale de transport de Wigner est [42]:( r p,t)∂ ∞2ifW, pi ⎛ h ⎞ 1 2i+1+ ∇ r fW( r,p,t) + qE∇p fW( r,p,t) − ∑ ( −1)⎜ ⎟ ∇ r V p∂tmi ⎝ ⎠ ( i + )+ 1= 12 2 1 !2i( r) ∇ f ( r,p,t)W∂f=W( r,p,t)∂tcollII- 31Ainsi que lorsque h tend vers 0, l’équation de Wigner est similaire à l’équation de transport deBoltzmann. Cette équation ne comporte aucune approximation hormis celle de la masse effective. Ellefournit un terme supplémentaire qui caractérise les effets quantiques. En prenant le premier terme de lasérie de Taylor et en effectuant un grand nombre d’approximations décrites dans [44] et en suivant lamême démarche que dans la méthode des moments, le nouveau système est identique à celui du modèleDérive-Diffusion mais le potentiel utilisé est corrigé d’un potentiel quantique:ψ = ψ DD+ ψ QMavecψQM2γh=6m*n⎛ ∇⎜⎝2n ⎞⎟n⎠II- 32Où le paramètre γ permet d’obtenir des résultats proche d’une simulation Poisson/Schrödinger. Ancona estses collaborateurs [44] ont étudié l’influence de ce terme d’ajustement sur des MOSFETs Double Grilles.Ils ont montré que le modèle est moins prédictif lorsque la masse moyenne diminuait, que la températuredécroit et que l’épaisseur du film mince est faible. De nombreux autres auteurs [47] ont étudiés ce modèlesur des diodes double barrières tunnel pour analyser les limites du modèles.Figure II- 7: Comparaison de C(V) entre l’expérience (endiamant) et la courbe calculée avec DD (en pointillée) et avecDensity gradient (en trait plein). [45]Figure II- 8: Expérimental (symbole) et simulations (traits) decaractéristiques IV de courant de grille, pour un nMOSFETs à3 épaisseurs d’oxyde de grille différente. [44]En résumé, le modèle Density Gradient permet de prendre en compte le décalage de charge à l’interfaceSi-SiO 2 et dans une certaine mesure le courant tunnel source drain par abaissement de la barrière du fait dela forte variation de charge en ce point [43]. En aucun cas, ce modèle ne peut modéliser l’influence de laquantification et les phénomènes d’interférence autre que le courant tunnel.2.6.2. Couplage avec une résolution Poisson SchrödingerPour obtenir une description plus rigoureuse des effets quantiques sur le transport, une des alternatives estde procéder à une simulation classique, couplée à une simulation Poisson/Schrödinger 1D dans ladirection du confinement. Cela permet de prendre en compte l’influence de la quantification sur le- 56 -

Chapitre II : Les différents niveaux de la modélisationtransport. Dans le cadre d’une approche Dérive Diffusion, on effectue un calcul de mobilité pour chaquesous bande [48] avec :et le coefficient de diffusion associé [48] avec:**( x, y) × µ ( x, y) Ψi( x, y)**Ψ ( x, y) Ψ ( x, y)∫ Ψi×µ i =II- 33∫ ×Dniii∂EF= µ niniII- 34∂nCette modélisation permet de donner de bons résultats avec un couplage Dérive-Diffusion comme illustrésur la Figure II- 9 et développé dans [49]. En faisant de même avec une modélisation balistique et encomparant avec les résultats expérimentaux (Figure II- 10), on peut observer qu’un transistor massif de25nm fonctionne à 50% de sa limite balistique. [48]iFigure II- 9: Comparaison entre la simulation Dérivediffusion avec couplage Poisson Schrödinger et descaractéristiques expérimentale d’un MOSFET de 64nm à300K [49].Figure II- 10: Comparaison entre une simulation balistique etdes caractéristiques expérimentales pour un MOSFET massifde 25nm à 300K [49].2.7. ConclusionLes modèles les plus utilisés en TCAD sont donc les modèles Dérive-Diffusion et Hydrodynamiques etleurs « cousins » intégrant des corrections quantiques. Cependant, ils existent d’autres types demodélisations très peut utilisés. L’équipe de Purdue a développé en 1D, la méthode de matrice dediffusion qui permet de modéliser « assez correctement » la vitesse dans le canal [50] à [55].Malheureusement, aucun résultat n’est sortit en 2D pour l’instant. Une autre méthode est la modélisationpar Harmoniques Sphériques [13] qui permet d’obtenir elle aussi des résultats intéressants. Cependant,aucune de ces modélisations n’a prouvé son efficacité pour les dispositifs de longueur de grille inférieure à50nm. Or aujourd’hui (2005), les MOSFET en phase de production ont une longueur de canal de 45nmenviron. Il est donc nécessaire de se pencher sur les modélisations avancées telles la modélisation MonteCarlo.- 57 -

Chapitre II : Les différents niveaux de la modélisation3. SIMULATION NUMERIQUE POUR LES DISPOSITIFSULTIMES3.1. Monte Carlo3.1.1. IntroductionDans les précédents chapitres, la méthode des moments a montré ses limites pour les dispositifs où letransport est de nature quasi-balistique. Pour prendre en compte ce type de transport, la simulation MonteCarlo est la meilleure alternative. En effet, elle consiste à résoudre statistiquement l’équation de transportde Boltzmann en simulant le comportement de chacun des porteurs dans le dispositif, sans aucuneapproximation macroscopique. Pour chaque électron, la position et le vecteur d’onde à chaque instant sontcalculés en fonction du potentiel dans le dispositif. Les interactions, considérées comme des événementsinstantanés qui peuvent modifier l’énergie et la vitesse du porteur, sont tirées au sort à la fin de chaque vollibre à partir des fréquences d’interaction. Le nom Monte Carlo vient du fait que chaque temps de vol libre∆t, type d’interaction et nouvelle direction sont tirées au sort. Cette méthode est aujourd’hui la plusprécise des techniques de simulation du transport, mais elle est aussi la plus coûteuse en temps CPU(« Central Processor Unit ») et n’est donc guère utilisée lors d’étude d’optimisation de composant. Nousexposerons brièvement le principe de fonctionnement des simulateurs Monte Carlo [56] et les différentesaméliorations permettant de prendre en compte les effets quantiques.3.1.2. Monte Carlo ClassiqueLe calcul du mouvement sous l’influence du champ électrique, necessite la connaissance de la relation del’énergie ε vecteur d’onde k représentant la structure de bande, soit dans le cadre de l’approximation nonparabolique pour les vallées ∆ du silicium [56] :2 ⎛ 2 2 2h⎞( ) ⎜k kx y k zε 1 + αε = + + ⎟II- 35⎜ * * *2⎟⎝mtmtml⎠Durant un vol libre, le mouvement du porteur dans un champ électrique E dans les espaces réel etréciproque est défini en appliquant les lois de la dynamique, c'est-à-dire [56]:( k )dr 1 ∂εdk 1== qEII- 36dt h ∂kdt hDu point de vue des interactions, les électrons ont une probabilité d’interagir avec des impuretés et lesphonons, probabilité déterminée à partir de la loi de Poisson II- 37, loi qui relie le nombre de porteursdiffusants avec le taux global d’interaction [56]:dn= −Γ( hk)nII- 37dtOù ce taux global d’interaction est calculé en sommant toutes les fréquences d’interaction fonction del’énergie du porteur (y compris l’interaction self-scattering) [56]:Γ( k)1= ∑τ( h )i i kII- 38- 58 -

Chapitre II : Les différents niveaux de la modélisationPour simuler, un vol libre et une interaction, une séquence de 4 nombres r 1 , r 2 , r 3 et r 4 est tirée au sort. Apartir de ces nombres aléatoires, le calcul de vol libre commence en suivant la procédure suivante,illustrée sur la Figure II- 11 :i. La première étape consiste tiré au sort un temps de vol libre ∆t à partir de r 1 avec :ii.iii.iv.1∆t= − ln( r1)II- 39ΓEnsuite, à partir des conditions initiales, on calcule l’énergie et la vitesse du porteur à la fin du vollibre [57]. Le porteur a une trajectoire balistique pendant ce temps ∆t.La troisième étape consiste à déterminer l’interaction à partir de l’énergie de la fin du vol libre.Un nombre r 2 est tiré aléatoirement pour identifier le type d’interaction à partir de la loi desélection suivante :i=l−1i=l11∑ ( ) ∑i=1τ i hki=1τ i( hk)II- 40≤ r2≤l = 1,2,3...p+ 1ΓΓOù l est l’interaction que subit le porteurs et p le nombre d’interaction totaleAprès l’interaction, on détermine la nouvelle vitesse et la nouvelle énergie. Celle-ci a variée(phonons inter vallée) ou est restée constante (impureté) suivant l’interaction tirée. De même, levecteur vitesse a évolué. Par conséquent, deux nouveaux nombres r 3 et r 4 sont générésaléatoirement pour déterminer les angles polaire β et azimutal α du nouveau vecteur vitesse dansle cas d’une interaction isotrope :β = 2π× rcos3( α ) = 1−2×r4II- 41On recommence ceci pour chacun des électrons.La méthode de génération des vols libres plus interactions étant définie, intéressons nous à l’applicationaux dispositifs. Deux approches existent, la première « Ensemble Monte Carlo » [57]-[58] suit lemouvement de chaque porteur en parallèle dans le temps et la seconde, méthode « Flux incident » suit leporteurs jusqu’à ce qui celui-ci soit absorbé par un contact [59]. Nous allons décrire ici la méthodeensemble Monte Carlo, qui est la méthode mise en oeuvre dans le code Monte Carlo MONACO del’Institut d’Electronique Fondamentale (IEF). Il sera notre référence tout au long de la thèse. Pour simulerun MOSFET en 2D, un maillage adapté doit être réalisé afin que chaque maille soit peuplée de particules.Classiquement, 50000 particules sont utilisées, et sont considérées comme des super électrons dont lacharge Q vaut –qN charge /N particules . La simulation commence à l’équilibre thermodynamique où la solutionest connue. Chaque maille ainsi peuplée en porteurs, la vitesse et la position de chacun d’entre eux sontconnues et enregistrées lorsque ceux-ci se déplacent de maille en maille sous l’influence du champ et desinteractions. On peut ainsi effectuer des spectroscopies de porteurs qui permettent de connaîtreprécisément l’historique de chaque porteur, et d’analyser puis de comprendre le transport dans lesdispositifs [60].Lorsque les étapes temps de vol libre et les interactions ont été effectuées sur un temps pas de t 0 les étapessuivantes ont lieu:i. Détermination de toutes les nouvelles positions et énergies de porteurs. A la fin de chaque pas surle temps, on calcule le nombre de porteurs collectés aux contacts et de nouveaux porteurs sontinjectés aux contacts ohmiques pour maintenir la neutralité électronique si nécessaire. Les- 59 -

Chapitre II : Les différents niveaux de la modélisationsurfaces non contactées sont considérées comme des surfaces réfléchissantes, et l’interface Si-SiO 2 a un traitement particulier. Une fraction des porteurs arrivant à l’interface est réfléchie, uneautre diffusée. C’est le levier des simulations Monte Carlo pour obtenir les points de la courbeuniverselle de mobilité.ii. Calcul du nouveau potentiel dans la structure : résolution de l’équation de Poisson avec lanouvelle distribution de porteur dans la structure. On en déduit le nouveau potentiel et le champélectrique.On recommence avec les nouvelles positions et le nouveau potentiel de la structure. A la fin de chaque passur le temps, la vitesse et l’énergie de chaque porteur sont connues. Lorsqu’il y a convergence du courant,la simulation est finie.Figure II- 11: Principe de la modélisation Monte Carlo pourle calcul du temps de vol libre et de l’interaction [13].Figure II- 12: Principe de base de la simulation Monte Carlo[13].3.1.3. Monte Carlo avec corrections QuantiquesLa simulation Monte Carlo permettant de prendre en compte les effets non stationnaires et quasibalistiques,les chercheurs tentent aujourd’hui d’y inclure les effets quantiques pour améliorer laprédiction des simulations. La première voie de travail consiste à résoudre l’équation de transport deWigner. En effet, cette équation ayant les mêmes propriétés mathématiques que l’Equation de Transportde Boltzmann, la résolution est facilement transposable. Les effets d’interférences quantiques y sont inclusdans le terme de potentiel non local de l’équation II- 28 [62]. Pour résoudre cette équation, plusieursméthodes ont été développées. La première, développée par l’équipe de Ferry repose sur la notiond’affinité électronique qui consiste à assigner à la particule une propriété supplémentaire, un poids entre -1et 1 à sa charge pour prendre en compte les probabilités de présences et les interférences [63]. Ladeuxième méthode consiste à considérer le potentiel quantique comme un terme de collision additionnelle[64] en le faisant passer de l’autre coté de l’égalité le terme de potentiel quantique et en l’écrivant enterme de temps de relaxation. Lorsque l’électron subit une interaction quantique, deux nouveaux états sontgénérés entraînant le changement de signe du poids statistique de la particule. Ces deux méthodes ontpermis de traiter correctement le cas de barrière tunnel, mais aucun résultat pour l’instant n’est apparu en2D sur des MOSFETs. Cependant, la voie est prometteuse malgré la difficulté de gérer un grand nombrede porteurs et de tableaux avec ce type de simulation. Pour obtenir des résultats plus rapides, des méthodes- 60 -

Chapitre II : Les différents niveaux de la modélisationplus simples ont été développées. Elles consistent à incorporer dans le simulateur un terme de correctionquantique qui vient corriger le potentiel électrostatique classique vu par les particules. Ces approches nesont pas des résolutions complètes de l’équation de transport de Wigner, mais elles y sont cependant trèsfortement corrélées car les origines du potentiel corrigé proviennent de l’équation de transport de Wigner.Deux expressions du potentiel de correction ont été identifiées, une obtenue à partir du développement aupremier ordre de l’équation de transport de Wigner [65] et l’autre par détermination d’un potentiel effectif[66] décrit par :2⎛ ⎞⎜ r − r'V = ⎟effectif ∫V( r') expII- 42⎜ 22α⎟⎝ ⎠Où α est la « taille de l’électron ». Pour obtenir cette correction, une des principales approximations est desupposer nuls les termes non diagonaux de la matrice ρ. Par conséquent, les interférences et laquantification des porteurs ne peuvent être modélisées. Cette modélisation permet cependant de prendreen compte le décalage du centre de charge due à la quantification et le courant tunnel source drain parabaissement de la barrière de potentiel [43]. Pour simuler les films minces, une approche plus rigoureuseest employée. Elle consiste à découpler l’étude en une résolution Monte Carlo dans le sens du transport oùles effets quantiques et d’interférences jouent peu et une résolution Poisson/Schrödinger dans le sens duconfinement où le transport selon cette direction peut être négligé. La quantification résolue dans chaquetranche du dispositif par une résolution Poisson/Schrödinger; les fréquences d’interactions sontdéterminées pour chaque niveau d’énergie E i dans le cadre d’une configuration gaz 2D, ainsi que lacoexistence entre les gaz 2D/3D [57]. Le point critique est l’injection et la collection des porteurs lors destransitions de gaz 2D à 3D qui nécessite une description rigoureuse des probabilités de passage entre lesgaz 2D et 3D. Cette approche permet de prendre en compte le décalage de centre de charge et l’influencede la quantification des porteurs sur le transport.3.1.4. ConclusionCes approches sont basées sur une résolution Monte Carlo, méthode qui a prouvé son efficacité pourdécrire les effets non stationnaires et quasi-balistiques. De plus, la prise en compte des effets quantiquespar la résolution complète de l’équation de Wigner n’a pas encore atteint un niveau de maturité suffisante.Par ailleurs, les chercheurs ont développé, une autre méthode permettant de résoudre le système en serapprochant de la physique fondamentale. Elle consiste à calculer les fonctions d’ondes en chaque pointdu dispositif pour un système au cristal de NxN atomes de silicium. Pour résoudre, ce problème, on utilisele formalisme des fonctions de Green. C’est l’objet du paragraphe suivant.3.2. Fonctions de GreenDans les modélisations semi-classiques, le lien entre le courant et la fonction de transmission a été établidans le cadre d’un transport où la longueur de la longueur de phase est inférieure à celle du dispositif.Lorsque ce n’est plus le cas, le transport est cohérent et il est nécessaire de résoudre le système endéveloppant les fonctions d’onde des électrons en ses différentes composantes pour calculer la matrice dedensité d’état ρ. Pour les dispositifs de longueur inférieure à 10nm, le décalage du centre de charge, laquantification, les effets tunnels à la barrière source canal [67] ne peuvent plus être considérés comme des- 61 -

Chapitre II : Les différents niveaux de la modélisationeffets correctifs. Une résolution semi-classique n’est plus envisageable. Pour déterminer la matrice sur unpetit cristal de silicium, on utilise le formalisme des fonctions de Green qui permet de calculer la réponsede l’équation fondamentale de Schrödinger, à une impulsion donnée, en tout point du cristal. Ceformalisme est très bien décrit par Datta dans [9] et dans [68], il y développe la méthodologie sur unexemple simple, une diode n+/n/n+. Pour prendre en compte les interactions, on utilise un modèle detemps relaxation de l’énergie. En chaque maille du dispositif, un potentiel d’interaction U est placé quidissipe l’énergie. Une résolution complète en 2D sur des MOSFET double grille [69] a été effectué, ainsique des études sur des multi-grilles [70] [71]. Les résultats du groupe de Purdue sont illustrés sur lesFigure II- 13 et Figure II- 14Figure II- 13: Représentation de la charge locale dans le casd’une résolution avec fonction de Green dans une configurationtotalement balistique. [69]Figure II- 14: Représentation de la charge locale dans le casd’une résolution avec fonction de Green avec le modèled’interaction de relaxation de l’énergie. [69]Dans la configuration balistique (Figure II- 13), les interférences sont visibles au niveau de la barrière depotentiel au drain. De plus, les porteurs sont balistiques. En effet, en provenance de la source ils gardentleur énergie constante. Et enfin, le courant tunnel source drain est caractérisé par l’existence d’une densiténon nulle « dans » la barrière de potentiel source drain. Lorsque les interactions sont incorporées lesinterférences sont atténuées et la chute du potentiel dans les accès est visible (Figure II- 14). Lacomparaison en terme de courant entre les deux configurations, montre que les dispositifs ultimes sont à55% de la limite balistique (Figure II- 15).Figure II- 15: Caractéristiques I DS (V DS ) pour un transportbalistique et un transport prenant en compte les interactions.[69]Figure II- 16: Ecart entre les simulations Green 2D et lasimulation Green avec un couplage avec une résolution dePoisson/Schrödinger. [72]- 62 -

Chapitre II : Les différents niveaux de la modélisationLundstrom ses collaborateurs [69] montrent que c’est au début du canal près de la source que lesinteractions jouent un rôle important pour la détermination du courant en comparant une configuration oules interactions sont dans la première moitié du canal et une autre dans la deuxième moitié. De plus pourgagner en temps de calcul, ils ont comparé une résolution complète 2D (où les phénomènes d’interférencepeuvent avoir lieu dans le sens du confinement et le sens du transport) et une méthode mixte [72] où lesfonctions de Green sont résolues dans le sens du transport et une simulation Poisson/Schrödinger estrésolue pour la quantification de la charge. Le gain CPU est très important (1h30 contre 40s) mais l’écartentre les deux modèles n’est cependant pas négligeable à l’état ON comme illustré sur la Figure II- 16.Le formalisme des fonctions de Green semble prometteur pour la modélisation des dispositifs ultimes etdes dispositifs originaux, comme les transistors moléculaires. Un calcul ab-initio de la structure de bandepuis un calcul du courant par le formalisme des fonctions de Green permet de déterminer le courant den’importe quelle structure. Cependant, il est encore peu utilisé car très coûteux en temps CPU et la priseen compte des interactions n’est pas encore aussi rigoureuse que dans les simulations Monte Carlo.4. MODELES ANALYTIQUES ET COMPACTS4.1. IntroductionDepuis le début de la microélectronique, les chercheurs ont développé, suivant leur besoin, des modèlesanalytiques plus ou moins perfectionnés pour modéliser diverses architectures de MOSFET et/oudifférents phénomènes physiques. L’objet de cette partie est de faire un état de l’art non exhaustif desmodèles analytiques, en commençant par la modélisation classique en transport stationnaire. Ensuite, lescorrections effectuées pour prendre en compte les effets non stationnaires seront explicitées. Enfin, nousterminerons par le modèle balistique de Natori [86] et sa généralisation au transport quasi-balistiquedéveloppée par Lundstrom [93], qui constitue le point de départ du modèle développé dans le chapitre IV.4.2. Modèles stationnairesLes modèles traditionnels macroscopiques sont basés sur la notion de mobilité. Les hypothèses d’unnombre important d’interactions et d’un champ faible sont valables dans les dispositifs de longueursupérieure à environ 500nm. De plus, l’extraction expérimentale rapide de la mobilité a contribué audéveloppement de cette modélisation. Le courant est alors déterminé en régime linéaire [11] par:VDSID= WCox( VG−VTh) µII- 43LEt en régime saturé [11] par:VDSATI Dsat = WCox( VG− VTh) µII- 442LPour obtenir des résultats fiables, chacun des paramètres des équations II- 43 et II- 44 a subi descorrections pour prendre en compte les effets apparaissant suite aux réductions d’échelle. Enumérons cesprincipales corrections:- 63 -

Chapitre II : Les différents niveaux de la modélisation La correction de l’épaisseur d’oxyde due au décalage de la charge sous l’interface et à la polydéplétionpermet de déterminer l’épaisseur d’oxyde équivalente [73]. Correction de la tension de seuil V th pour prendre en compte les effets canaux courts et l’effet despoches. Les tensions correctives sont déterminées par la méthode « Voltage DopingTransformation» [74] ou par une analyse géométrique des longueurs des zones de charge espace[75] Correction de la longueur électrique en calculant la longueur de la zone de pincement λ [74]-[73]. Calcul des résistances d’accès [76] pour déterminer la tension effective aux bornes du canal.Ensuite, de nombreux effets physiques (courant de grille, le courant de fuite du substrat) et effetscorrectifs (effets en largeur de grille W) et les liens entre les différents régimes (accumulation, forteinversion…) peuvent être ajoutés pour tendre vers de la modélisation de type SPICE.Il est important de noter que même si dans le cadre de cette thèse sur le transport électronique, la notionde mobilité est le point central, il est nécessaire de connaître et de comprendre les évolutions de la chargepour en déduire, suite à une possible analyse du courant, les évolutions propres à la vitesse moyenne desporteurs ou à la mobilité. Dans les transistors de grandes longueurs de grilles, les effets correctifs sontnégligeables et le transport en est régime stationnaire. Comme rappelé au chapitre I, la mobilité estmodélisée par:µ oµ =α1 / α⎡ ⎛ µ o VDS⎞ ⎤II- 45⎢1+⎥⎢⎜vsatL⎟⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦où α un terme de calibrage. Lors du passage des MOSFET à longueur de grille inférieure à 500nm, leseffets non stationnaires sont apparus. Il a fallu prendre en compte les effets de survitesse.4.3. Modèles non stationnairesPour prendre en compte cette survitesse, une approche grossière consiste à multiplier la vitesse desaturation par une constante [110] [73]. Cependant, une méthode compacte plus proche de la réalité a étédéveloppée par Baccarani [77] et repris par Sim [78] [79]. Elle consiste à utiliser la théorie des momentspour obtenir des équations de mobilité dépendant de la température électronique. En négligeant lacomposante cinétique et la composante de diffusion thermique, l’équation de conservation de l’énergies’écrit [77] :dTCdxTC+2vth− Tet la mobilité des électrons est définie par [77] :oùτLw= −12qkB( T T )C0E( x)II- 46µ oµ n =II- 471 + β −2k Bµoβ = II- 48q2v τ vthwsat- 64 -

Chapitre II : Les différents niveaux de la modélisationEn intégrant le long du canal pour obtenir la mobilité moyenne, on obtient une mobilité dépendant de latension V DS et du temps de relaxation de l’énergie.µ oµ ENS = II- 491 + γ VOùγENSENSDSµ 0 1= II- 50v Lsat( 1 + 4v τ / L)thLa différence avec II- 45 provient de la pondération par un coefficient dépendant du ratio entre la longueurcaractéristique de la relaxation de l’énergie et la longueur électrique L (II- 50). Ainsi, lorsque L est trèsgrande devant le libre parcours moyen associé au temps de relaxation de l’énergie, on obtient l’équationII- 45. Cette modélisation, assez simple, permet de prendre en compte les effets non stationnaires dans ledomaine où les approximations de la méthode des moments sont valables. D’autres équipes ontdéveloppés des modèles similaires. Gamiz [80],[81] et Chen [82] et Vivek [83] ajoutent une composanteau courant évaluée à partir d’une longueur caractéristique phénoménologique qui caractérise le degré dedépendance de la vitesse de l’électron avec la variation du champ dans le canal. Ces modélisations sontvalidées par des simulations Monte Carlo. Les modèles développés ci-dessus sont basés sur les équationsdes modèles hydrodynamiques et sont donc à ce titre, soumise aux mêmes approximations ; plus cellespropres à la modélisation compacte. Pour preuve, les chercheurs qui ont développé ces modèles ne lesvalident que pour des MOSFETs de longueur supérieure à 50nm. En dessous de cette longueur, letransport rentre dans un régime quasi-balistique. Il est alors nécessaire d’étudier la modélisation dutransport électronique avec de nouvelles grandeurs.w4.4. Approche de Landauer4.4.1. Modèles balistiquesSelon l’ITRS 2004, en 2016 la longueur de grille des transistors est prévue de mesurer 9 nm. A cettedimension le transport sera très fortement balistique. Dans cette configuration, où les interactions jouentun rôle négligeable, il est pertinent de calculer les fonctions d’onde des électrons dans la direction duconfinement et de remplacer la résolution des fonctions d’onde dans le sens du transport par un calcul deflux de porteurs. En effet, dans les dispositifs balistiques, les contacts « injectent » des fonctions d’ondesqui se propagent dans le dispositif. Ce dernier peut alors être représenté par un diagramme énergétiquecomme illustré sur la Figure II- 17 . Les contacts sont très dopés, et E C y est uniforme, ils sont supposésproche de l’équilibre thermodynamique. Ainsi, chacun d’entre eux est décrit par son niveau de Fermi et lecourant peut être évalué à travers le dispositif avec :− q=Ω∑⎧⎨ f⎩⎛ hk⎝ m⎞⎛ hk⎝ mzz( k) ⎜ ⎟T( k ) − f ( k) ⎜ ⎟T( k )JL * LR R *k⎠⎞⎠RL⎫⎬⎭II- 51*Dans cette équation, h k / m est la vitesse des porteurs injectés des contacts, et f L et f R sont les niveaux dezFermi associés aux contacts source(S) et drain (D) respectivement et T LR et T RL sont les coefficients detransmissions du courant SD et DS, égaux à 1 pour le cas balistique.- 65 -

Chapitre II : Les différents niveaux de la modélisationFigure II- 17: Vision schématique de l’approche de Landauer.Dans le cadre d’un Si nMOSFET de longueur électrique L et sans confinement dans le sens de la largeurde grille W, Natori a calculé le courant avec cette approche [5] en sommant les contributions des flux dechaque vallée et de chaque niveau énergétique. Ceci pour le drain et la source. L’expression théorique ducourant est alors :I = W2q( kT )2π h23 / 2∑∑valley nzmz⎡⎢F⎣1/ 2⎛ Φ⎜⎝FS− EkTC max −i⎞⎟ −⎠F1/ 2⎛ Φ⎜⎝FS− EC max −ikT− qVD⎞⎤⎟⎥ ⎠ ⎦II- 52Où F 1/2 est l’intégrale de Fermi-Dirac [13]. En réécrivant la charge en terme de capacité et de tension deseuil et en calculant le décalage du centre de charge et moyennant quelques approximations décrites dans[5], Natori obtient un modèle compact. Dans ce modèle le courant est gouverné par le « bottle neck » à lasource. En ce point, la vitesse est la vitesse thermique. Natori a comparé ce modèle avec des résultatsexpérimentaux à 77K. A cette température les interactions avec les phonons sont peu importantes, le libreparcours moyen est grand et le transport se rapproche de sa limite balistique comme illustré sur les FigureII- 18 et Figure II- 19. [86]Figure II- 18: Caractéristique I(V) d’un MOSFET balistique(ligne pointillée) comparée au modèle de Natori avec lepremier niveau énergétique. (ligne continue) [86]Figure II- 19: Caractéristique I (V) d’un MOSFET balistique(ligne pointillée) comparée au modèle de Natori avec tous lesniveaux énergétiques. (ligne continue) [86]A faible V DS les résultats expérimentaux et la simulation sont différents car les porteurs ne sont pas attirésrapidement vers le drain et subissent un nombre plus important d’interactions. Par contre à fort V DS , les- 66 -

Chapitre II : Les différents niveaux de la modélisationporteurs injectés traversent rapidement le canal et la rétro-diffusion diminue. La comparaison des FigureII- 18 et Figure II- 19 révèlent aussi l’importance de prendre en compte toutes les bandes d’énergie duesau confinement. Pour étudier l’influence de la quantification, Jiménez et ses collaborateurs [87] ont étudiéla transconductance de ce type de modèle compact à 40K et 300K comme illustrée sur les Figure II- 20 etFigure II- 21. L’apparition de ces pics provient de la succession des flux injectés dans le canal par chaqueniveau énergétique. Cela est expliqué en détails dans [88]. De plus cette modélisation permet facilementl’étude de MOSFET double Grille et à grille enrobante. Il faut pour cela calculer les fonctions d’onde dansle plan perpendiculaire au transport et utiliser ensuite la méthode des flux. Des travaux similaires ont étéeffectués par Likarev est ses collaborateurs [89] [90] [91] avec une simulation complète du dispositif en2D pour étudier les effets canaux courts et DIBL. Ils ont montré que les effets canaux courts sont critiquespour les dispositifs de longueur inférieurs à environ 10nm dus aux fortes fluctuations de tension de seuil.Un autre effet très important à prendre en compte dans l’étude du transport balistique est l’effet tunnel carl’étalement des fonctions d’ondes source et drain peut se recouvrir et engendrer une probabilité non nullede passage source à drain. Le groupe de Purdue [92] a estimé avec un modèle compact (validé par dessimulations avec les fonctions de Green) que sur un MOSFET de 5 nm, 80% du courant I OFF et 20% ducourant I ON est dû au courant tunnel.Figure II- 20: Transconductance à 40K en fonction de V GSsur un double grille totalement balistique [87]Figure II- 21: Transconductance à 300K en fonction de V GSsur un double grille totalement balistique [87]Par ailleurs, Lundstrom a réécrit le modèle de Natori dans une version simplifiée en vue de le généraliserau transport quasi-balistique [93]-[96]. Au dessus de cette tension, la grille impose la charge en haut de labarrière de potentiel par la capacité de l’oxyde. Par ailleurs, cette charge correspond dans le même temps àla contribution du flux positif et du flux négatif, donc:COX+−( V − V ) ≈ n ( E ) + n ( E − qV )GSthFSFSDSII- 53L’équation précédente détermine donc le niveau de Fermi en fonction des polarisations de grille et dedrain. Ayant déterminé le niveau de Fermi, les flux positif et négatif peuvent évalués en intégrant sur toutela population source et drain pour obtenir le courant [9]:ID= I+−( E ) − I ( E − qV )De plus, la densité de porteur en haut de la barrière de potentiel est donné par :SFSFSDS− +( 1 + n n )+ − += 0) = nS+ nS= nSS SII- 54n ( x/II- 55- 67 -

Chapitre II : Les différents niveaux de la modélisationEn ce point, la vitesse à considérer est la vitesse moyenne des porteurs ayant un vecteur d’onde positif,c’est-à-dire la vitesse thermique développée au chapitre I. Par conséquent, le courant balistique est portépar la moitié de la fonction de distribution f et est donné par:I + qWn += S v thermII- 56Avec une équation similaire pour I - , et en utilisant II- 56 et II- 55, on obtient [96]:Or dans le cas non dégénéré,n+SI = W qn[ 0) ]*⎛ mCkT ⎞ ( EFS)/kT= 2⎜⎟e22⎝ πh ⎠S+ −⎡1− n ⎤S/ nS( vtherm⎢ + − ⎥II- 57⎣1+ nS/ nS⎦n−S*⎛ mCkT ⎞ ( EFS−qVDS)/kT= 2⎜⎟e22⎝ πh ⎠II- 58D’où avec II- 53, II- 59, II- 58, II- 57, on obtient l’équation de la caractéristique I(V) pour un transportbalistique à partir du sommet de la barrière [96]:−qV⎡DS / kT1 − e ⎤( V − V ) v⎥⎦I = WCoxGS th therm ⎢II- 59−qVDS/ kT⎣1+ eEn pratique il est plus précis d’utiliser la statistique de Fermi-Dirac pour introduire l’effet de ladégénérescence des porteurs, illustré sur la Figure II- 22. Avec cette statistique, les expressions sontsimilaires [96]:I= WCAvec η ( − ε ) kTF E FS /ox( V − V )GSthvFDtherm⎡1− F1/⎢⎣ 1 + F20( η F − U DS)/F1/2( η F)( η − U )/F ( η )FDS0F⎤⎥⎦II- 60= et U = qV kT et F 0 et F 1/2 sont les intégrales des Fermi-Dirac à l’ordre 0DS DS /et 1. De plus, en prenant toutes les sous bandes, la vitesse est le ratio du flux injecté sur la charge totale[95]. Ce calcul est donne la moyenne des contributions de chaque vitesse thermique associée à son niveauénergétique pondérée par sa population. Cette vitesse est illustrée sur la Figure II- 23.vFDtherm1 ⎡= ∑ ⎢nn i ⎢⎣i*ci*di2kTmπmF1 /F02 (( EF− εi)/kT )(( E − ε )/kT )Fi⎤⎥⎥⎦II- 61Figure II- 22: Fonction de distribution en haut de la barrièrede potentiel pour différentes polarisations de drain. [96]Figure II- 23: Vitesse thermique dans un gaz 2D en prenanten compte l’ensemble des porteurs (trait pointillé) ou juste lapremière bande énergétique (trait plein) [94]- 68 -

Chapitre II : Les différents niveaux de la modélisation4.4.2. Modèles quasi balistiquesEn pratique, les MOSFETs nanométriques ne sont pas purement balistiques et le courant apparaît àenviron 50% de sa limite balistique pour les MOSFETs actuels. En présence d’interactions, le courant estexprimé en fonction d’un coefficient de transmission T=1-R C . Pour le transport quasi-balistique, unedérivation similaire au cas balistique permet de déterminer le courant. Par la méthode des flux on peutdéfinir la densité de porteurs en haut de la barrière de potentiel par [96] :++ − II InS( x = 0) = nS+ nS= + (1 − T ) + TII- 62WqvWqv WqvthermOù le premier terme correspond au flux injecté identique au cas balistique. Le second correspond à lapartie rétro-diffusée et le troisième correspond aux porteurs injectés par le drain. Pour cela, la vitesse estsupposée identique et égale à v therm et la transmission Drain Source est égale à celle Source Drain. Par uncalcul similaire au cas balistique on obtient l’équation II- 63 qui généralise l’équation II- 59 :I= WCox( V − V )GSthvtherm⎛1− R⎜⎝1+ RCC+therm⎡⎢⎞⎢1 − e⎟⎢⎠ ⎛1− R⎢1+⎢⎜⎣ ⎝1+ R−qVDS/ kTCC⎞⎟e⎠−−qVDS/ kTtherm⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦II- 63Pour évaluer le courant I ON (ie V DS >>kT), le terme entre crochets représentant l’injection du drain sesimplifie et le courant est donné par [98]:I= WCox⎛1− RC( V − ) ⎜+ ⎟ GS Vthvtherm1 RC⎠⎝⎞II- 64Cette expression est différente de celle calculées par la méthode des moments où le courant est le produitde la vitesse moyenne dans le canal définie par µE et par la charge moyenne dans le canal. Parconservation du courant, les deux approches illustrées sur la Figure II- 24 sont identiques. L’une calcule lavitesse et la charge moyenne dans le canal, l’autre détermine la vitesse et la charge en un point, au sommetde la barrière de potentiel. Cette dernière approche est plus pertinente pour l’étude du transport quasibalistiquecar elle permet de faire le lien, de façon très aisée, entre le transport purement diffusif et letransport purement balistique comme illustré sur la Figure II- 25.Figure II- 24: Illustration de la zone critique pour le calculdu courant dans l’approche de Landauer.Figure II- 25: Illustration de la fonction de distribution en hautde la barrière de potentiel dans le cadre d’un régime detransport quasi-balistique.- 69 -

Chapitre II : Les différents niveaux de la modélisationDans cette approche, le courant est le produit de la charge de la capacité MOS et de la vitessed’injection [97] définie par:vinj= vtherm⎛1− R⎜⎝1+ RCC⎞⎟⎠II- 65L’expression précédente est le produit de deux termes qu’il est nécessaire de bien maîtriser pour évaluercorrectement la vitesse d’injection. Le premier terme est la vitesse thermique définie au chapitre I. Cettevitesse correspond à l’agitation thermique des porteurs. (Figure II- 26). Lorsqu’une partie de ces porteurssont arrivés en haut de la barrière par diffusion, ils sont injectés dans le canal, et une partie revient parrétro-diffusion. Dans l’expression II- 65, la difficulté est d’estimer correctement ce coefficient de rétrodiffusionR C :+−− fR C = II- 66fDes simulations Monte Carlo ont montré qualitativement [99] que lorsque les porteurs pénètrent dans lecanal sur une distance supérieure à la distance où le potentiel chute de kT/q, les porteurs ont très peu dechance de revenir vers la source. La transmission source à drain peut alors se représenter par latransmission sur la première couche de silicium de longueur l, appelé la « kT layer » définie sur la FigureII- 27. D’après ces travaux et la théorie des matrices d’interactions, on peut donc estimer le coefficient derétro-diffusion R C par [99]:R l≈ C lpm +II- 67lPar ailleurs, un calcul théorique par une dérivation de l’équation de transport de Boltzmann permetd’obtenir une forme analytique de la fonction de distribution sur une diode n+/n/n+ par Sano dans [100] et[101]. De plus, l’approche de Landauer et la version quasi-balistique ont été validées expérimentalementpar plusieurs groupes [102] par la détermination du coefficient de rétro-diffusion R C . En analysant lesévolutions des grandeurs de II- 67 et de la vitesse thermique en fonction de la température, uneexploitation des mesures expérimentales en température permet de déterminer R C . Il a été montré [103]que ce coefficient était de l’ordre de 0.4 à 0.6 pour les dispositifs d’environ 50nm. Ce qui signifie que letransport est à environ 50% de sa limite balistique.Figure II- 26: Illustration de la vitesse thermique, et desfonctions de distribution dans les accès et dans la barrièreFigure II- 27: Illustration de la « kT layer » dans le cadre ducalcul du coefficient de rétro-diffusion R C .- 70 -

Chapitre II : Les différents niveaux de la modélisationCe modèle est très intéressant, mais le chapitre IV mettra en évidence les limites et les approximations dece modèle. Ensuite, un nouveau modèle de rétro-diffusion, basé sur les mêmes principes mais permettantde mieux prendre en compte le transport dans les MOSFET quasi-balistiques y sera développé.4.5. Modèle compact SPICEUn modèle compact regroupe un ensemble d’équations et de paramètres qui décrivent les comportementsstatique et dynamique du transistor. Les équations de courant et les dérivées du premier ordre doivent êtrecontinues sur l’ensemble des plages de polarisation. Un modèle SPICE est utilisé par les technologuespour optimiser le dispositif et par les concepteurs pour commencer l’étude des prototypes dans la phase depré-industrialisation. Aussi les paramètres doivent avoir une signification pour les deux métiers. De plus,le jeu de paramètres doit être unique car il décrit une technologie donnée. Concernant les équations, ellesrésultent du compromis entre une approche semi-empirique pour minimiser le temps de calcul et uneapproche physique pour représenter correctement une génération de transistors et pour pouvoir donneravec précision les tendances en cas de dérive de la technologie. Les modèles les plus utilisés sont BSIM4[110] et MM11 [73]. A l’origine BSIM4 est basé sur des formules analytiques, mais la volonté de suivreau plus près les courbes expérimentales a rendu le modèle fortement empirique avec un grand nombre deparamètres de calibrage. Plus d’une centaine de paramètres accompagnent ces équations en régimecontinu. A cela, il faut ajouter une quinzaine de paramètres technologique en dynamique. L’augmentationconstante du nombre de paramètres de calibrage est délicate. En effet, au-delà de la perte du sens physiquedes formules du modèle, l’acquisition des paramètres devient de plus en plus délicate à conduire car ungrand nombre d’entre eux agit de la même manière sur les caractéristiques électriques. La corrélation desparamètres s’amplifie avec le risque d’obtenir un jeu de paramètres reproduisant un même comportementélectrique mais fournissant des prédictions divergentes. Pour mener à bien le calibrage d’une technologiedonnée, il est nécessaire de faire des choix sur les paramètres les plus influents à conserver et mener uneextraction sur ces paramètres. Afin d’obtenir des paramètres ayant un sens physique, il faut les extrairelocalement c'est-à-dire dans des conditions de polarisation correspondant à un mécanisme dominant. Unefois les paramètres de premier ordre acquis, les suivants sont alors optimisés dans une autre région. Lastratégie s’achève par une dernière optimisation de l’ensemble des paramètres pour prendre en compteleurs interactions et leurs influences éventuelles dans les régions où ils n’ont pas été extraits. Lesparamètres déterminés ont ainsi une signification physique satisfaisante pour la simulation de circuits.Pour mener à bien ce travail, une stratégie ordonnée d’extraction est mise au point. De la même manièrequ’une calibration en TCAD, il est important de commencer l’extraction sur les dispositifs longs et largespour connaître, en autre, l’empilement de la grille et déterminer ainsi l’épaisseur d’oxyde et le dopagecanal et poly-silicium. Ensuite par mesure I DS (V GS ) à faible V DS avec différents V BS , la mobilité et la tensionde seuil peuvent alors être extraites. Après, en s’intéressant aux dispositifs plus petits, les paramètres deseffets canaux courts et de mobilité à forts champs et résistances d’accès sont évalués. A partir de cetteextraction, un jeu de paramètres est défini pour modéliser une technologie. Actuellement, il est nécessaired’augmenter le nombre de paramètres pour pouvoir décrire correctement le comportement du MOSFET.Plusieurs voies de recherches sont à l’étude. L’équipe de Berkeley (BSIM) expose les défis et lespossibilités de modélisations des génération sub-100nm dans [107]. Actuellement, le compact Model- 71 -

Chapitre II : Les différents niveaux de la modélisationCouncil souhaite choisir un seul modèle pour la modélisation des transistors futurs. On s’oriente vers lesmodèles plus physiques, comme PSP, un modèle mixte entre MM11 et le modèle de l’université dePennsylvanie.5. SAVOIR SE SITUER SUR L’EVENTAIL DE LAMODELISATION5.1. IntroductionAprès plusieurs années de recherche et de développement, la TCAD a permis de simuler les procédés defabrication et le comportement électrique des dispositifs avec une précision raisonnable. Aujourd’hui, denouveaux challenges se dressent suite à la diminution des longueurs de grilles. En atteignant l’échellenanométrique, le développement et l’optimisation des MOSFETs sont plus ardus. Les possibilités dechaque modèle doivent être correctement évaluées pour ne pas commettre d’erreur sur l’interprétation desrésultats. L’objet de cette partie est donc de donner des éclairages qui nous semblent pertinents pour lechoix de la modélisation adéquate.5.2. Prédictions et précisionsLa prédiction et la précision de la TCAD sont des problèmes qu’il est nécessaire de soulever. En effet,que penser lorsqu’une simulation d’une caractéristique I(V) représente parfaitement les mesuresexpérimentales ? Est-ce dû à une modélisation excellente, où à un simple calibrage. Il y a alors risqueimportant de se méprendre sur la pertinence de la modélisation si le calibrage n’est pas expliqué ainsi quetoutes les approximations physiques sous-jacentes. Ainsi, la qualité de la réponse dépend de la précisionque vous souhaitez et de la gamme de validité de la solution. Les questions à se poser sont donc [104]:• Quelle est la modélisation appropriée face à mon problème ?• Quelles sont les approximations possibles que je peux effectuer ?• Quelle est la précision souhaitée?• Quelle est la gamme de validité de ma réponse ?Par conséquent, il est nécessaire de connaître les compromis, les avantages et inconvénients de chaquemodélisation.5.3. Compromis en TCADLes outils TCAD possèdent une interface et des outils adaptés à l’exploitation des résultats. L’utilisateurpeut créer son plan d’expérience et obtenir la surface de réponse associée pour optimiser une technologie.Traditionnellement un plan d’expérience est réalisé avec le modèle Dérive-Diffusion sur les implantationssource drain et extensions pour optimiser le I ON /I OFF en gardant un bon contrôle du DIBL (

Chapitre II : Les différents niveaux de la modélisationLe compromis vitesse/précision est le plus important dans la recherche en simulation, spécialement enTCAD où le temps de calcul est fortement lié au maillage. Il faut s’assurer que la précision requise pourun problème donné peut se faire dans un temps raisonnable.Par ailleurs, il est nécessaire lorsque l’on simule un dispositif, de s’assurer qu’il possède les bonnescaractéristiques morphologiques, de dopage, de contraintes etc… La simulation de la technique defabrication doit être aussi précise que la simulation électrique. Les deux versants de la TCAD doiventavancer de pair. C’est pourquoi, il est très important de rester très critique sur l’exploitation et lescomparaisons entre les résultats de simulations les données expérimentales.5.4. Bilan d’un point de vue transport5.4.1. Bilan TCADAfin de mieux cerner les différences entre les modèles de simulation, elles sont récapitulées dans leTableau II- 3. Ce tableau présente les principales approches dans l’étude du transport, ainsi que leurslimites et leurs avantages.Modèles TCAD Transport Limites Avantages CPU REFDérive Diffusion Effet stationnaire Effet non stat.Hydrodynamique Effet non stat. Effet Quasi BalistiqueMonte CarloBalistiqueMonte Carlo WignerFonction de Greenssans interactions Balistique Quasi Balistique Effets non stat. Balistique Quasi-Balistique Effets non stat. Courant tunnel Interférence Balistique Courant tunnel Interférence Courant tunnel Effet quantique Interférence Pas de calibrationpossible sur les mesures Masse effective Mise en oeuvre Cas limite balistique Petits dispositif Peu souple Souple Robuste Souple Robuste Robuste Dynamique1[1]1.5 [4]100 [6] C’est 1 référence 1 [48] Tout est pris encompte Balistique Courant tunnel Interférence100 [63]10 [68]Fonction de Greensavec interactions Quasi Balistique Effets non stat. Courant tunnel Interférence Petit dispositifs Peu souple Masse effective Tout est pris encompte100 [69]Tableau II- 3 : Tableau récapitulatif des modèles de simulations d’un point de vue transport. Les limites, les avantages, letemps CPU caractéristique relatif au modèle Dérive Diffusion est noté. De plus, une publication référence est proposée.Enfin, pour donner une vue d’ensemble, le Tableau II- 4, permet de rappeler les principaux liens entre lesmodèles afin de donner un éclairage d’ensemble sur la modélisation.- 73 -

Chapitre II : Les différents niveaux de la modélisationTableau II- 4 : Tableau récapitulatif des modèles de simulations d’un point de vue physique. Les principales approximations etles grandeurs caractéristiques y sont rappelées.5.4.2. Bilan des modèles compactsLe travail effectué précédemment pour les modèles de simulation peut s’effectuer aussi pour les modèlesanalytiques et compacts. Les avantages et les inconvénients sont listés dans le Tableau II- 5.Modèles compactsTransportLimitesAvantagesREFStationnaire Effet stat. Effet non stat. Cas d’école [74]Non Stationnaire Effet non stat. Effet Quasi Balistique Effet non stat. [78]Approche de Quasi Balistique Continuité entre QuantificationLandauer Effets non stat.le Station. et le Bal[96]Balistique Balistique Pas de calibration C’est 1 référence [86]Compact modelSPICE Quasi Balistique Effets non stat.possible sur les mesures Physique du transportapproximative Tous les régimes RapideTableau II- 5 : Tableau récapitulatif des modèles compacts. Les limites, les avantages De plus, une des publicationsréférences associé au modèle est proposée.[110]Les différents modèles, avec leurs limitations, ayant été rappelés, nous allons situer notre travail dansl’éventail de la modélisation- 74 -

Chapitre II : Les différents niveaux de la modélisation6. NOTRE CONTRIBUTION6.1. Analyse expérimentale des effets non stationnairesLes études du transport électronique sur les MOSFET nanométriques sont délicates en raison du grandnombre d’effets parasites qui apparaissent sur les dispositifs nanométriques. Pour étudier de manièrerigoureuse les effets non stationnaires, des diodes n+/n/n+ seront fabriquées puis analysées parcomparaison des résultats expérimentaux et de simulations. Ce chapitre permettra de cerner, de manièreoriginale, les limitations des modèles Dérive-Diffusion, Hydrodynamique et Monte Carlo en lesconfrontant à l’expérience. A cette étude, s’ajoutera une étude de spectroscopie de porteurs mettant enévidence les limites des modèles Dérive-Diffusion et Hydrodynamique à l’aide des fonctions dedistribution. Enfin, deux calculs théoriques permettront de définir les différents régimes de transport pourl’utilisation du modèle adéquat.6.2. Réalisation d’un modèle analytique physique pour MOSFETDans le chapitre IV, des simulations Monte Carlo permettront de comprendre précisément la nature dutransport dans les dispositifs ultimes. A partir de cette étude, la théorie de Landauer sera utilisée pourdévelopper un nouveau modèle compact basé sur l’analyse fine de la spectroscopie de porteurs.L’architecture du nouveau modèle sera centrée sur le développement d’un nouveau modèle de rétrodiffusionbasé sur la détermination des probabilités de porteurs balistiques et de rétro-diffusion le long ducanal. Ce modèle est implémenté dans le modèle compact MASTAR QUASI BALLISTIC. L’objectif dece modèle analytique est de décrire le plus fidèlement possible la physique des dispositifs. La référencesera le simulateur Monte Carlo MONACO résolvant l’équation de transport de Boltzmann (gaz 3D,Statistique de Boltzmann) [60]. Le but est de se « placer entre la TCAD et les modèles compacts »comme illustrée sur la Figure II- 28 où sont représentés les différents compromis de la modélisation.Suivant la démarche souhaitée dans [105] où la TCAD permet d’améliorer les modèles compacts,l’objectif est de développer un modèle permettant de refléter la physique du transport et assez flexiblepour pouvoir y inclure ensuite les phénomènes absents pour le moment des simulations Monte Carlocomme l’influence de la quantification.M ASTAR QUASI BALLISTICSIMPLE5COM PACTS MODELESSIMPLE5T CADSIMPLE5444EXTENSIBLE3UNIVERSALEXTENSIBLE3UNIVERSALEXTENSIBLE3UNIVERSAL222111000EMPIRICALPHYSICALEMPIRICALPHYSICALEMPIRICALPHYSICALN°PARAMETERSACCURATEN°PARAMETERSACCURATEN°PARAMETERSACCURATEFigure II- 28 : Le compromis difficile des modèles SPICE (rouge) et des simulateurs TCAD (en vert). Le travail se situe entreles deux. Le but étant de faire un modèle (en bleu) qui soit basées sur des simulateurs TCAD et permettant de faire de l’analysede type « SPICE » sur le courant I ON . Remarque : la notation est collégiale.- 75 -

Chapitre II : Les différents niveaux de la modélisation7. REFERENCES[1] “A Review of Hydrodynamic and Energy–Transport Models for Semiconductor DeviceSimulation”, T. Grasser, T.W. Tang, H. Kosina, S. Selberherr, Proceeding of IEEE, vol. 91, 2003,pp: 251-273.[2] “Transport equations for electrons in two valley semiconductors”, Blotekjaer, IEEE Trans. ElectronDevices, vol. 17, 1970, pp: 38-47.[3] “Diffusion of hot and cold electron in semiconductor barriers”, Stratton, Physical Review, 126(6),1962, pp: 2002-2013.[4] “The hydrodynamic Model in Semiconductors; Coefficients calculations for the conduction bandof silicon”, M. Rudan, Pitman Res. Notes, Laugman Edition, 1994.[5] “Ballistic metal oxide semiconductor field effect transistor”, K. Natori, J. App. Phys., vol. 76, n°8,1994, pp: 4879- 4890.[6] “The Monte Carlo method for the solution of charge transport in semiconductors with applicationsto covalent materials”, C. Jacoboni and L. Reggiani, Reviews of Modern Physics, vol. 55, n°3,1983.[7] “Density gradient Analysis of MOS Tunnelling”, M.G. Ancona, Z. Yu, R. Dutton, P.J. VanVoorde, M.Cao and D. Vook, IEEE Trans. Electron Devices, vol. 47, n°12, 2000, pp:2310-2319.[8] “Device simulation requirements for sub-30nm CMOS”, Gilberto Curatola, Seminaire ST Crolles,24/02/2005[9] “Electronic Transport in Mesoscopic Systems”, S. Datta, Cambridge University Press, 1995.[10] “Modeling of Quantum transport”, D.K. Ferry, Solid State Physics, vol. 49, 1995, pp: 283-284.[11] “Physique des semi-conducteurs et des composants électronique”, 5 ème édition, H. Mathieu, EditionDunot, 2001.[12] “The ballistic Nanotransistor: A simulation Study”, R. Ren, R. Venugopal, S. Datta and M.Lundstrom, invited paper IEDM, 2004.[13] “Fundamental of carrier transport”, M.S. Lundstrom, Cambridge University Press, 2001.[14] http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/blanquet/synophys/25emaxw/25emaxw.htm[15] “An Improved Hydrodynamic Transport Model for Silicon”, T-W. Tang, S. Ramaswamy and J.Nam, IEEE Trans. Electron Devices, vol.40, n°8, 1993, pp: 1469-1477[16] “Two Formulation of semiconductor Transport Equation based on spherical Harmonic expansionof the Boltzmann Transport equation”, T-W. Tang, S. and H. Gan, IEEE Trans. Electron Devices,vol.47, n°9, 2000, pp: 1726-1732.[17] “Steady State and Transient Analysis of Submicron Devices using Energy Balance and SimplifiedHydrodynamic Models”, Y. Apanovich, A. Lyumkis, B. polsky, A. Shur and P. Balkey, Trans.Computer Aided Designed of Integrated Circuits and Systems, vol.13, n°6, 1994, pp: 702 -70[18] “Generalized energy Transport Models for Semiconductor Device Simulation”, M.C. Vecchi andL.G. Reyna, Solid State Electronics, vol.37, n°10, 1994, pp: 1705-1716.[19] “Comparison of Semiconductor Transport Models Using a Monte Carlo Consistency Test”, S.Ramaswamy and T. Tang, IEEE Trans. Electron Devices, vol. 41, 1994, pp: 76-83- 76 -

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Chapitre II : Les différents niveaux de la modélisation[95] “Achieving the ballistic limit current in Si MOSFETs”, K.Kim, J.G. Fossum, Solid StateElectronics, vol. 47, 2003, pp: 721-726.[96] “A Landauer Approach to Nanoscale MOSFETs”, M.S. Lundstrom, Journal of ComputationalElectronics, vol. 1, 2002, pp: 481-489.[97] "Elementary scattering theory of the Si MOSFET", M.S. Lundstrom, IEEE Electron DevicesLetters, vol. 18, 1997, pp: 361-363.[98] “A Compact Double Gate MOSFET Model Comprising Quantum Mechanical and NonstaticEffects”, G. Baccarani, S. Reggiani, IEEE Trans. Elec. Devices, vol. 46, n°8, august 1999, pp:1656-1666.[99] “Essential Physics of Carrier Transport in Nanoscale MOSFETs”, M.S. Lundstrom and Z. Ren,IEEE Trans. Electron Devices, vol. 49, 2002, pp: 131-141.[100] “Kinetics of Quasi-Ballistic Transport in Nanoscale Semiconductor Structures: Is theballistic Limit Attainable at Room Temperature?”, N. Sano, Physical Review Letters, vol. 93,246803, 2004, pp:1-4[101] “Kinetic study of velocity distributions in nanoscale semiconductor devices under roomtemperature operation”, N. Sano, Appl. Phys. Let., vol. 85, n°18, 2004, pp: 4208-4210[102] “Temperature Dependent Channel Backscattering Coefficients in Nanoscale MOSFETs”, M.Chen, Electron Devices Meeting, IEDM 2002. Digest. International, pp: 39-42.[103] “Separation of channel Backscattering Coefficients in Nanoscale MOSFET”, M-J.Chen, H- T.Huang, Y-C. Chou, R-T Chen, Y-T. Tseng, P-N Chen, and C. H. Diaz, IEEE Trans. Elec. Dev.,vol.51, n°9, 2004, pp: 1409-1415.[104] “Challenges and solutions for numerical modelling of nanoMOSFETs”, G. Curatola, G. Fiori andG. Iannacone, IEEE Trans. Electron Devices, vol. 3, 2003, pp: 535-538.[105] “The role of TCAD in Compact Modeling”, M. Duane, Applied Materials, Nanotech 2002, vol. 1,2002.[106] “Modelling and simulation challenges for nanoscale MOSFETs in the ballistic limit”, G. Curatola,G. Fiori, G. Iannaccone, Solid-State Electronics 48, pp: 581-587.[107] “Practical compact modelling approaches and options for sub-0.1µm CMOS technologies”, M.Chan, X. Xi, J.He, K.M. Cao, M. V. Dunda, A.M.Niknejad, P.K. KoC. Hu, MicroelectronicsReliability.[108] “International Technology Road Map for Semiconductors”, 2004 Edition, Semiconductor industryAssociation, http://www.itrs.net.[109] “Floops –ISE, DIOS, ISE TCAD Release 10.0, Volume 2.a, Process Simulation, IntegratedSystems Engineering, 2004.[110] “BSIM 4.1.0 MOSFET Model User’s Manual”, C.Hu and al, Department of ElectricalEngineering and computer sciences, University of California, Berkley, 2000.- 81 -

Chapitre II : Les différents niveaux de la modélisation- 82 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnairesCHAPITRE III :ETUDE EXPERIMENTALE DESEFFETS NON STATIONNAIRES.1. INTRODUCTIONPour l’analyse des modèles utilisés pour la simulation du transport électronique, la diode n+/n/n+ est unedes structures de prédilection [1]-[2]. En effet, cette structure s'apparente en bien des points au canald'inversion d'un transistor mais elle est facilement simulable dans un espace réel 1D. De nombreux effetsphysiques qui compliquent l'analyse du transport dans les MOSFETs ne sont plus présents dans les diodes.Ainsi, les diodes ont été à maintes reprises étudiées théoriquement pour comparer les modèles (c.f.chapitre II). Cependant, à notre connaissance, l’étude expérimentale du transport électronique ne s’estjamais portée sur des diodes sur silicium. Habituellement, l’analyse est effectuée sur des transistors [3]-[4]-[5] pour lesquels un important travail de calibrage est nécessaire. Ce travail est d’autant plus difficilequ’il faut tenir compte de multiples effets couplés. L’objectif de ce chapitre est d’étudier le transportélectronique sur des diodes réelles et de montrer les différences qui apparaissent entre les résultatsexpérimentaux et les résultats électriques en fonction des modèles de simulation existants.Après un rappel sur l’intérêt de la diode par rapport au transistor pour l’étude "académique" du transportélectronique, les technologies envisageables pour la réalisation de ces diodes seront évaluées afin dechoisir la plus appropriée. Ensuite, la méthodologie pour la mise en évidence des effets non stationnairessera expliquée. Après un calibrage des modèles sur les diodes longues où le transport est a prioristationnaire, les effets non stationnaires seront mis en évidence sur des diodes de plus en plus courtes etles limites des modèles Dérive-Diffusion et Hydrodynamique seront analysées par comparaison avec lesmesures expérimentales. Ensuite, ce travail sera complété par une analyse spectroscopique par simulationMonte Carlo et des mesures en température. Enfin, un calcul original permettant de déterminer les régimesde transport électronique clôturera ce chapitre.2. INTERETS DES DIODESL’étude du transport dans les MOSFETs est délicate à cause du nombre important de phénomènesphysiques qui rentrent en jeu en même temps et qu’il est difficile de décorréler (effets quantiques, gaz 2D,- 83 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnairesrugosité de surface…). Par conséquent, l'étude et l'identification des effets non stationnaires et quasibalistiquessont plus aisées sur les diodes où les effets propres au transport en couche d’inversion ne sontpas présents.Détaillons ces effets, présents dans les MOSFETs et absent de diodes correctement conçues.La rugosité d’interface dégrade fortement la mobilité dans le canal. Il est donc important de bien connaîtrela qualité de l’interface et son influence sur le transport [6]. Bien qu’il existe différents modèles demobilité [7] et de fréquences d’interactions [8] permettant de décrire le phénomène de rugosité, la qualitéde l’interface n’est pas une grandeur expérimentale précise [9] et il est nécessaire de procéder à uncalibrage des modèles par rapport à des mesures expérimentales pour obtenir un accord satisfaisant. Pourne pas subir l’influence de la rugosité et devoir alors intégrer un degré supplémentaire de calibrage, notreobjectif est d'élaborer des diodes où le transport pourra être considéré comme volumique et non confinésur une interface.De plus, en transport volumique, l'énergie des porteurs n'est pas quantifiée, ce qui est très avantageux. Eneffet, la quantification dans le canal d'un transistor engendre un changement de masse effective deconduction en fonction de la tension de grille. De plus cette quantification évolue le long du canal car lechamp effectif évolue lui aussi [10]. Enfin, dans le cas d'une simulation au niveau microscopique (MonteCarlo), les fréquences d’interaction doivent être déterminées pour un gaz 2D avec la possibilité detransitions vers un continuum 3D [11]. L’analyse du transport électronique sur les diodes est bien plusfacile car la distribution des porteurs est dans une configuration gaz 3D, où la masse effective deconduction et les fréquences d’interaction sont constantes le long du canal et bien connues.De plus, dans un MOSFET à l’état passant, la densité de porteurs est dégénérée [12] à la source et lesétudes doivent prendre en compte cette dégénérescence. Avec les simulations Dérive-Diffusion etHydrodynamique, cette option est possible, mais les simulateurs Monte Carlo employés durant cette thèseévoluent avec la statistique de Boltzmann. Pour que les simulations Monte Carlo soient les pluspertinentes possibles, la densité maximale des diodes fabriquées ne dépassera pas 5x10 19 cm -3 . Les effets dedégénérescence pourront alors être négligés.Par ailleurs, il convient d’évoquer l’intérêt des diodes dans le cadre de la simulation des procédés defabrication. En effet, lors d’une étude sur un dispositif, il faut mener un important et rigoureux travail decalibrage de la simulation des procédés. Une erreur sur les profils de dopants peut engendrer des erreursimportantes sur les caractéristiques simulées. L’intérêt des diodes se manifeste à nouveau car leurélaboration ne nécessite qu'un nombre limité d'implantations et d'espèces de dopants à utiliser. Aussi, uneplus grande confiance peut être accordée aux résultats des simulations de cette étape technologique quedans le cas du MOSFET qui pose encore de sérieux problèmes de ce point de vue [13]. De façon généraleil y a moins d’étapes technologiques à mettre en œuvre pour la réalisation d'une diode que pour celle d'unMOSFET, ce qui doit a priori conduire à moins de dispersions. Par conséquent, les comparaisonssimulation/expérience seront plus pertinentes et l’analyse des résultats permettra d'identifier plusclairement les effets non stationnaires et quasi-balistiques.- 84 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnaires3. LES DIODES EXPERIMENTALES N+/N/N+ ETUDIEESL’objectif de l’étude est de mettre en évidence les effets non stationnaires sur des diodes n+/n/n+expérimentales et de connaître les limites des modèles. Il est donc nécessaire de mener au préalable uneétude par simulation pour connaître l’influence de la géométrie et des dopages des diodes sur les modèles.Cette étude conduira à optimiser les diodes pour mettre en exergue les effets non stationnaires et lesdifférences entre modèles. Le critère à optimiser est le ratio R, rapport des courants Dérive-Diffusion etHydrodynamique à V DS =1V :R =IIDSDS( VDS= 1V)Energy Balance( VDS= 1V)Dérive−DiffusionLa valeur de ce ratio sera considérée comme une mesure de l’importance des effets non stationnaires(sachant toutefois que les effets quasi-balistiques ne peuvent être pris en compte rigoureusement que parles simulations Monte Carlo). Nous chercherons donc à réaliser des structures aptes à présenter une valeurélevée de ce ratio pour mettre en évidence les effets non stationnaires et les limites des modèles. Pour cetteétude d’optimisation, la structure de la Figure III-1, diode dopée à l’arsenic avec des jonctions n+/n plusou moins graduelles est simulée avec les modèle Dérive-Diffusion et Energy Balance décrits dans leTableau III-1.III- 1MODELES PHYSIQUES SOUS DESSIS (ISE)Modèle de recombinaisons : Shockley-Read-Hall +AugerMobilité : modèle de Université de Bologne [8]Saturation du champDensité Intrinsèque Effective : SlotBoom [8]Calcul des densités électroniques : Fermi-DiracPas d’ionisation par impact1-Modèle classique Dérive Diffusion2-Modèle hydrodynamique de Strattonavec temps de relaxation de l’énergie de 0.3psFigure III-1: Schéma des diodes simulées. Dioderéférence : 10 20 /10 15 /10 20 à V DS =1V.Tableau III-1 : Modèle pris en compte dans la modélisationthéorique des diodes n+/n/n+.Les résultats de simulation obtenus (non montrés) sont similaires à ceux de nombreuses publications [14]-[15]. Les principaux paramètres qui influent sur le ratio R (III-1) sont le champ, les dopages et la raideurdes jonctions. Pour résumer, ces études montrent que :- Plus les diodes sont courtes et plus la polarisation est forte, plus les effets non stationnaires sontimportants. Cela est dû au fait que plus le champ augmente, plus le gaz électronique est mis facilementhors équilibre et peut le rester sur une grande partie de la zone active. Pour les grandes longueurs,supérieures au micron, le ratio entre les modèles Dérive-Diffusion et Energy Balance est égal à 1 car il n’ya pas d’effet non stationnaire. L’écart entre les modèles est d’environ 40% sur une diode de 60nm.- Plus le dopage de la zone n est faible, plus R est grand, par simple effet de la réduction du nombred'interactions. La vitesse moyenne du gaz électronique peut plus rapidement augmenter.- 85 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnaires- Plus le dopage des accès n+ est élevé plus la tension aux bornes du canal est grande. Les effets nonstationnaires sont donc plus importants. C’est un corollaire de la dépendance en champ.- Plus la raideur des jonctions est faible, moins les effets non stationnaires sont présents car le gazélectronique subit davantage d’interactions à la source et devient moins facilement hors équilibre. C’est uncorollaire de la dépendance du dopage de la zone n.En conclusion, pour obtenir des effets non stationnaires importants, les diodes n+/n/n+ à fabriquer doiventêtre les plus courtes possibles, avec un dopage n faible et des jonctions les plus abruptes possibles. Deplus, pour évaluer l’influence des extensions sur les effets non stationnaires, des diodes avec desextensions symétriques et asymétriques de différents dopages seront fabriquées. Ensuite, le calibrage desparamètres de fabrication permettra de reproduire les résultats expérimentaux par les simulations Dérive-Diffusion sur les grands dispositifs où le transport est supposé stationnaire. Ensuite, en gardant cecalibrage, les petits dispositifs où le transport devient non stationnaire voire quasi-balistique serontsimulés, ce qui permettra de mettre en évidence les effets non stationnaires et les limites des modèles.4. LA TECHNIQUE DE FABRICATION4.1. Choix de la technologie de fabricationPour réaliser les diodes n+/n/n+, l’évaluation des technologies disponibles à Crolles, BICMOS etCMOS, a été effectuée. En technologie BICMOS, la structure n+/n/n+ est réalisée à la place du transistorbipolaire et connectée par le collecteur, comme illustré sur la Figure III-2. En technologie CMOS, endopant légèrement les caissons (initialement dopés en Bore à 10 15 at/cm 3 ) pour rendre le substrat de type nà 10 16 at/cm 3 , et en implantant les source et drain pour définir les zones n+, on obtient une diode n+/n/n+où la longueur de la zone n est alors la longueur du la grille plus celle des espaceurs. La grille sert juste demasque pour la zone n comme illustré sur la Figure III-3.Figure III-2: Résultats d’une simulation de la technique defabrication avec DIOS d’une diode n+/n/n+ avec latechnologie BICMOS. En rouge, dopage à 10 20 at.cm -3 ,jaune , dopage à 10 16 at.cm -3Figure III-3 : Résultat d’une simulation de la technique defabrication d’une diode n+nn+ avec la technologie CMOS.En rouge, dopage à 10 20 at.cm -3 , jaune , dopage à 10 16 at.cm -3- 86 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnairesCes deux technologies ont été simulées pour évaluer les avantages et les inconvénients de chacune, dans lebut d'obtenir des structures où le transport est essentiellement volumique 1D, non perturbé par lesinterfaces et les effets de confinement quantique, et susceptibles de présenter un ratio R élevé. Le résultatde cette étude montre que la technologie CMOS est la plus pertinente pour l’étude des effets nonstationnaires. En effet, bien que la disposition verticale de la technologie BICMOS permette de connaîtreprécisément le profil de dopants par mesure SIMS, plusieurs points ne plaident pas en faveur de cettetechnologie. Premièrement, le ratio obtenu est faible (1.4 à V DS =2.5V) car les résistances d’accès liées auxlongues régions n+ sont élevées. De plus, le courant prend le chemin où le potentiel chute le plusrapidement possible, c’est à dire à la surface du STI. Dans cette structure, le transport est donc perturbépar des interactions avec la surface du STI. Enfin, le dernier point négatif est la forte diffusion des dopantsde la couche enterrée vers la couche épitaxiée. En effet l’épitaxie se déroulant à température élevée, lajonction n+/n ne possède pas la raideur nécessaire à la mise en évidence des effets non stationnaires. Enrevanche, la technologie CMOS remplit mieux ces critères. A première vue, la connaissance du dopagedans les zones n et n+, élément indispensable aux comparaisons, est plus difficile car les profils de dopagene sont pas 1D. C’est l’inconvénient principal de cette structure. Cependant, à partir des profils desmesures SIMS du dopage vertical dans les zones n+ et par révélation chimique des dopants, laconnaissance du profil 2D de dopants est possible. De plus, le calibrage de la technique de fabrication desgrandes diodes par des caractéristiques I(V) et C(V) permettra de connaître le dopage du canal. Outre cettedifficulté, les autres impératifs de la diode théorique sont respectés. En effet, les effets quantiques et derugosités sont négligeables. Pour ne pas subir les effets électrostatiques de la grille sur le transport, unoxyde épais de 6nm a été fabriqué et la grille poly-silicium n'a pas été pas dopée pour obtenir une tensionde bandes plates nulle. Cela conduit à un champ de confinement presque nul dans le canal et le transportest bien unidimensionnel sur toute la profondeur des jonctions, comme illustré sur la Figure III-4.Figure III-4: Flux de courant dans la diode de 40nm àV DS =1V en simulation Dérive-Diffusion.Figure III-5 : Profil du dopage dans la diode de 40nm.De plus, avec les étapes de siliciurations, les résistances d’accès sont faibles. Enfin, l’implantationverticale des dopants dans les zones n+ donne une jonction n+/n de très bonne qualité. La raideur de4décades/50nm comme illustré sur la Figure III-5 permet d'obtenir des ratios à faible longueur de grilled’environ 1.4 à 1V. De plus, les longueurs de grille à notre disposition, de 10 microns jusqu’à 40nmpermettent une étude complète des différents régimes de transport. La technologie CMOS a donc étéutilisée pour la fabrication des diodes.- 87 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnaires4.2. Les différentes variantes de diodesPour obtenir le maximum d’informations sur les effets non stationnaires et quasi-balistiques, des diodesn+/n/n+ ont été fabriquées, ainsi que des diodes avec des extensions de dopages intermédiaires n lddsymétriques et asymétriques. Afin d’optimiser le courant, certains auteurs ont élaboré avec succès desMOSFETs asymétriques [16]-[17]. Cette configuration permet d’obtenir un profil de potentiel plusabrupte coté source que coté drain, ce qui donne un meilleur courant I ON à I OFF constant. En effet, ensurdopant p+, un N-MOSFET du coté source, le profil de potentiel est plus abrupt et le coefficient derétro-diffusion R C diminue [18]. Le courant augmente alors. Pour obtenir ces mêmes effets, différentsdopages des extensions ont été utilisées pour obtenir des profils de potentiel différents et donc, onl’espère, un courant dissymétrique. De plus, en reprenant le principe des MOSFET asymétriques, desdiodes asymétriques ont été fabriquées pour permettre de visualiser la différence entre le courant source àdrain et drain à source. Afin de faire varier le profil de potentiel, et donc le coefficient de rétro-diffusionR C , plusieurs doses implantées n ldd sont utilisés : 5×10 12 cm -2 ; 1×10 13 cm -2 ; 5×10 13 cm -2 ; 2×10 14 cm -2 . Leprocédé général est rappelé dans le Tableau III-2 :Device Architecture N+/N/N+ P+/P/P+Triple Well none nonecaisson P 1e12/cm2 70 keV noneanti-punchthrough none noneVt adjust 1 none noneVt adjust 2 none noneVt adjust Low-Leak none noneN well activation recuit type STI recuit type STIDouble gate oxide none noneGate oxide GO2 65nm GO2 65nmPoly thickness 120nm poly 120nm polyMOS poly predope none noneGate definition ASM/700 (DST8UV30)+HM ASM/700 (DST8UV30)+HMTEOS 52A 52ANitride 132A 132ANLDD SPLIT SPLITPOCK N GO2 none nonen-MDD none noneNMOS pockets none noneN-HALO none nonePLDD SPLIT SPLITPOCK P GO2 none noneRTP n-MDD none nonep-MDD none nonepMOS pockets none noneP-HALO none noneTEOS 80 A 80 ANitride 200A 200ATEOS none noneS/D1 As 2e15/cm2 15keV BF2 2e15/cm2 3keVS/D2 none noneTEOS 200A ( 650C,9'25'') 200A ( 650C,9'25'')IMP S/D 1 PMOS GO2 none noneIMP S/D 2 PMOS GO2 none noneNitride 200A 200ARTP S/D activation spike 1080 spike 1080Co - TiN depot 80A Co, 100TiN (150C) 80A Co, 100TiN (150C)CoSi2 - RTP flash 1 RTP 530C, 30s RTP 530C, 30sCoSi2 - RTP flash 2 RTP 830C, 20s RTP 830C, 20sTableau III-2: Tableau des différentes étapes du procédé de fabrication- 88 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnaireset les différentes variantes technologique dans le Tableau III-3 :Split NMOS Groups 1 2 3 4 5 6 7 8 9Sans extension NO DOSE x xExtensions As 5e12/cm2 15keV tilt=0As 1e13/cm2 15keV tilt=0As 5e13/cm2 15keV tilt=0As 2e14/cm2 15keV tilt=0As 5e12/cm2 15keV tilt=40As 1e13/cm2 15keV tilt=40As 5e13/cm2 15keV tilt=40As 2e14/cm2 15keV tilt=40Tableau III-3: Tableau des différentes variantes du procédé de fabricationxxxxxxx5. MISE EN EVIDENCE DU TRANSPORT NONSTATIONNAIREDans un premier temps, le profil de dopage 2D va être calibré. Ensuite, la diode de 10µm où le transportest stationnaire sera simulée avec le modèle Dérive-Diffusion pour obtenir exactement les résultatsexpérimentaux, en jouant sur les paramètres des procédés de fabrication. A partir de ce calibrage, lasimulation des autres diodes sera effectuée. Les différences entre les modèles seront analysées pour mettreen évidences les effets non stationnaires et quasi-balistiques.5.1. Méthodologies de calibrageLa méthodologie de calibrage est la suivante. Premièrement, les structures des diodes sont déterminées pardes coupes MEB. Ensuite, l’empilement de grille est déterminé au moyen de caractérisations C(V). Enfin,les caractéristiques I(V) de la diode de 10µm où le transport est stationnaire sont calibrées avec le modèleDérive-Diffusion et le modèle de mobilité de Bologne [8] (Figure III-6). Ce premier calibrage effectué, ilest nécessaire de connaître précisément le profil 2D de dopants dans les structures. En effet, commeexpliqué précédemment, une erreur sur le profil de dopage est source d’erreur très importante. Or, le butde l’étude étant de comparer quantitativement les résultats expérimentaux avec la simulation, le calibragedu profil 2D de dopants est primordial. Pour cela, des coupes MEB permettent de connaître la longueurmoyenne des diodes, la longueur des espaceurs et la profondeur et pénétration des siliciurations. Ensuiteune révélation chimique et une analyse SIMS permettent de calibrer le dopage en 2D (Figure III-7). Cedouble calibrage effectué, le jeu de diodes est connu assez précisément pour ne pas attribuer lesdifférences entre simulations électriques à une erreur de simulation des étapes technologiques defabrication. Il suffira ensuite d’exploiter les différences entre la modélisation et les valeurs expérimentalesdes petits dispositifs pour mettre en évidence les effets non stationnaires.- 89 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnairesFigure III-6: Méthodologie de calibrage des diodes 10microns. La première étape consite à calibrer l’empilementde grille, ensuite on ajuste le dopage du canal et lesparamètres de diffusion pour obtenir le réseau I(V)expérimentalFigure III-7: Méthodologie de calibrage de la cartographie2D du dopage. Par une coupe MEB, les longueurs de grillesont déterminées et la révélation chimique ainsi qu’unemesure SIMS permet de déterminer la cartographie dedopage 2D.5.1.1. CalibrageComme indiqué sur la figure précédente, la première étape de calibrage est la détermination del’empilement de grille pour connaître le dopage du substrat, ainsi que le dopage et l’épaisseur de la grille.1.1.1.1 C (V)La structure des diodes est identique à celle des transistors ; seuls les dopages sont inversés comme décritpar la Figure III-8. Par conséquent, la seule possibilité de mesure de C(V) est la mesure de capacitéSource/Grille ou Drain/Grille. La mesure capacité Grille/Substrat n’est pas possible car la capacitéparasite liée à la zone de charge espace sous la prise substrat empêche de calibrer proprement lacaractéristique C(V) en accumulation. Par conséquent, seule la partie en inversion forte est ajustée.Résistance (Ohm.m) .35500Rinv à 3V30500255002050015500105001,0E+02 1,0E+03 1,0E+04 1,0E+05 1,0E+06Fréquence (Hz)Figure III-8: Description de la structure 2D et de laméthodologie de mesure des C(V).Figure III-9: Capacité maximale sur une capacité de40000µm 2 pour différentes valeurs de fréquences.- 90 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnairesLa structure étant originale par rapport aux technologies standard, des mesures de capacités et derésistances à différentes fréquences ont été effectuées. Sur la Figure III-9 est tracée la résistance del’empilement de grille en fonction de la fréquence et sur la Figure III-10, la valeur de la capacité àV GS =3V. Ces mesures montrent qu’il est pertinent d’effectuer les mesures à 10kHz.Capacité à -3V (pF) .70605040302010Capacité à 3VC (F) .6E-135E-134E-133E-132E-131E-13SILICIUM diode de 10micronsSIMULATION diodede 10 microns01,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06Fréquence ( Hz)0-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4V GS (V)Figure III-10: Résistance maximale sur une capacité de 40000µm 2 pour différentes valeurs de fréquences.Figure III-11: Calibrage de l’empilement de grille des diodes.Simulation en Dérive DiffusionLa caractéristique C(V) est tracée sur la Figure III-11 sur la diode de 10µm. A partir de ces mesures lacaractéristique C(V) a été ajustée en régime statique avec le modèle Dérive-Diffusion. En jouant sur lesparamètres de diffusion et le nombre de charges à l’interface, l’épaisseur de l’oxyde et le dopage du polysilicium,la mesure C(V) est ajustée à moins de 1% près, comme illustré sur la Figure III-11. Le jeu deparamètres obtenu est en accord avec les paramètres technologiques et géométriques du procédé defabrication. t ox = 5.9 nm N poly = 4x10 19 at/cm 3 Dose substrat = 9x10 11 at/cm 2 N interface = 1x10 10 at/cm 2Le profil de dopage 1D, que l’on obtient par le calibrage est tracé sur la Figure III- 12.C o n c . d u d o p a g e (e -/c m 3 )1.E+171.E+161.E+151.E+141.E+130.0 0.5 1.0 1.5Profondeur (microns)I (A) .6,0E-045,0E-044,0E-043,0E-042,0E-041,0E-040,0E+00VG=-0,7VVG=0VVG=1,5VVG=3Vsimulation VGS=3Vsimulation VGS=1.5Vsimulation VGS=0VSimulation VGS=-0.7V0 0,25 0,5 0,75 1V DS (V)Figure III- 12: Profil de dopage en profondeur dans lesdiodes longues.Figure III-13: Réseau I(V) calibré sur la diode de longueurde 10microns- 91 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnaires1.1.1.2 I(V)Sur la diode de 10µm, les études préliminaires ont montré que le transport est stationnaire. Avec le modèleDérive-Diffusion, les courbes I DS –V DS à différents V GS ont été ajustées pour cette diode en jouant sur lesparamètres de diffusion et sur la dose implantée dans le canal. Ce travail effectué (Figure III-13), la courbequi est intéressante pour notre étude, celle à V GS =0, est ajustée plus finement à moins de 1% d’erreur. Eneffet, les mesures de C(V) en forte inversion ne permettant pas de donner précisément (à moins de 10%près) le dopage du canal, celui-ci a été rectifié pour obtenir la caractéristique I(V) à V GS =0V. La premièreétape de calibrage menée, le profil de dopage 1D et la mobilité sur la diode de 10microns sont connus.Maintenant, il faut se pencher sur le calibrage de la cartographie 2D du dopage des petites structures.5.1.2. Cartographie du dopage 2DIl est très important de connaître la cartographie du dopage 2D car, sur les petits dispositifs, une erreur surla morphologie des diodes engendre des erreurs importantes sur le calcul du courant. Pour bien connaîtrela structure, une technique de révélation des oxydes est utilisée, ensuite, une révélation chimique estemployée pour connaître une ligne 2D iso-dopage. Enfin, une analyse SIMS est effectuée pour connaîtrele profil 1D et la valeur du dopage à la frontière iso-dopage. A partir de ces deux études, la cartographie2D complète de la diode peut être obtenue.1.1.1.3 Révélation des oxydesL’importance de connaître précisément toutes les grandeurs des diodes pour tirer des conclusionspertinentes sur le transport a été rappelée précédemment. Le facteur le plus important est la longueur degrille. Pour connaître les longueurs moyennes des grilles, des coupes MEB ont été effectuées sur plusieursdiodes et ont permis de mesurer le décalage entre la longueur nominale et la longueur réelle. Les valeursde longueur de grille des 6 diodes sont les suivantes : L nominale = 10microns : L polysilicium = 9940nm L nominale = 1micron : L polysilicium = 940nm L nominale = 400nm : L polysilicium = 340nm L nominale = 200nm : L polysilicium = 140nm L nominale = 120nm : L polysilicium = 60nm L nominale = 100nm : L polysilicium = 40nmLa gravure du poly-silicium réduit la longueur de la grille de 60nm en moyenne. De plus, pour connaîtrela structure, une révélation des oxydes par FH/FNH4 est employée. Elle permet de connaître lamorphologie des diodes : épaisseur des espaceurs, longueur du poly-silicium, comme illustré sur la FigureIII-14. La profondeur des siliciures est d’environ 15nm avec une résistance de 10Ohm.cm, valeur standardpour cette technologie. Avec le module DIOS d’ISE [13], le procédé de fabrication a été simulé pourobtenir les mêmes spécifications, comme illustré sur la Figure III-15.- 92 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnairesFigure III-14: Diode de 50nm de longueur de canal. CoupeMEB, après révélation chimique des oxydes.Figure III-15: Diode simulée avec DIOS d’ISE.1.1.1.4 SIMS (Secondary Ion Mass Spectrometry)Pour connaître la cartographie 2D du dopage, la première étape consiste à déterminer le dopage vertical1D des jonctions source et drain par mesures SIMS. De telles mesures ont été effectuées sur des structuresappropriées pour déterminer la concentration d’arsenic en fonction de la profondeur. Pour ces mesures, laconversion intensité ionique/concentration d'atomes est réalisée en utilisant un facteur de sensibilité relatifcalculé sur un échantillon de référence de 10 22 atomes/cm3. Enfin, l’échelle en profondeur est déterminéepar la mesure du cratère avec un profilomètre mécanique et un interféromètre optique. En jouant sur lesparamètres de diffusion du module DIOS, le profil de dopants a été reconstitué. Les profils simulé etexpérimental sont tracés sur la Figure III-16.Figure III-16: Profil des jonctions source et drain arsenic. Enrouge, la simulation et en noir la mesure SIMS.Figure III-17: Révélation chimique de la diode pour ladétermination de la profondeur liée au dopage caractéristiquedu procédé de révélation.- 93 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnaires1.1.1.5 Révélation chimique du dopageLe profil 1D des jonctions étant déterminé, il reste à extrapoler ce dopage en 2D. Pour cela, une méthodeoriginale développée au LETI a été employée. Elle consiste à graver le silicium dans un bain d’acide.L’affinité électronique variant avec la concentration, la gravure est différentielle : Si la concentrationd’arsenic en profondeur C(x) est supérieure à une concentration limite C lim , le silicium est gravé trèsfortement ; si C(x)

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnaires Pas d’influence de la rugosité de surface : Le ratio du courant en Dérive Diffusion sans larugosité de surface et le courant avec est proche de 1 : I DD_RUGO / I DD-WO 74.2/75.6=0.98 à V DS =1V.Le calibrage n’est pas soumis aux incertitudes de la fabrication de l’interface oxyde/silicium. Pas de dégénérescence : Le ratio du courant en Dérive Diffusion avec la statistique de FermiDirac et le courant avec la statistique de Boltzmann est proche de 1 : I DD_ FERMI / I DD-BOLTZMANN =74.2/73.6=1.008 à V DS =1V.Cette étude montre que les comparaisons entre les simulations Monte Carlo et les caractérisationsélectriques seront pertinentes. Enfin, les Figure III-20 et Figure III-21 montrent que le transport peut êtreconsidéré en première approximation comme 1D, tel que dans une diode théorique. Les lignes de courantprincipales s’étendant sur la profondeur des jonctions source et drain.Figure III-20: Lignes iso-vitesses sur la diode de 50nm àV DS =1V.Figure III-21: Lignes de courant sur la diode de 50nm àV DS =1V.5.3. Etude en dispersionLa vérification précédente des hypothèses de transport a montré que les différences entre les mesures etles simulations pourront certainement être attribuées aux effets non stationnaires. Cependant, pour en êtrevraiment sûr, il est nécessaire de mener deuxième étude portant sur les dispersions technologiques afin deconnaître les marges d’erreur des simulations. En effet, la longueur de grille et la profondeur des jonctionsfluctuent et une petite variation de ces paramètres peut faire évoluer fortement le courant. En somme, il nefaut pas qu’une erreur de simulation des techniques de fabrication engendre une erreur sur la conclusiondes effets non stationnaires. Pour calculer la dispersion moyenne, l’expression du courant en fonction desparamètres géométriques peut être établie. On considère que le courant est dans un régime ohmique, c’està dire un courant en 1/L et une mobilité constante. De plus, les simulations ont montré que les lignes decourants sur les petites diodes sont réparties en majorité sur la profondeur de jonction X j . Par conséquent,le courant peut être modélisé par :VDSI = JS ∝ qNµXjWIII- 2L- 95 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnairesDispersion (%) .7%6%5%4%3%2%Dispersion expérimentaleDispersion théorique1%0%10 100 1000Longueur de la diode (nm)Figure III-22: Dispersion expérimentale et théorique moyenne enfonction de la longueur de grille.En faisant un développement logarithmique on a donc pour les diodes courtes:∆I∆N∆µ∆VXDS ∆L∆ j∝ + + + +III- 3I N µ V L XDSEn première approximation, la dose implantée et la mobilité et la tension de mesure sont connues assezprécisément. L’incertitude porte essentiellement sur la longueur de la grille et la profondeur de la jonction.Les coupes MEB ont permis d’obtenir les valeurs et les dispersions des paramètres des diodes. Ladispersion moyenne de la longueur est d’environ 2nm. De plus, la mesure SIMS a permis d’obtenir laprofondeur de jonction de la diode. Vu l’incertitude sur la mesure SIMS et sur la détermination de la zonefrontière, la dispersion moyenne est estimée à 1nm près. Au final, l’erreur maximale sur les diodes ultimesest de 6%. Cette étude peut être faite pour chaque diode. La dispersion est tracée sur la Figure III-22. Onobtient des tendances similaires pour les diodes courtes et une divergence pour les diodes de grandeslongueur de grille. En effet, pour ces longueurs, le courant n’est plus lié à la profondeur des jonctions,mais uniquement à la dispersion de la longueur de grille car l’extension en profondeur des lignes decourant n’est plus liée à la profondeur des jonctions. Cette étude sous-entend donc que sur les dispositifsultimes l’erreur de la simulation des procédés de fabrication peut atteindre environ 6%. Par conséquent,les conclusions quant à l’apparition d’effets non stationnaires ne pourront être clairement établies que siles écarts entre mesure et simulations sont supérieurs à 6%.j5.4. Comparaison entre les modèlesAvant d’analyser les mesures expérimentales, il est important de vérifier que les résultats de simulationsont pertinents pour notre étude, c'est-à-dire que le ratio de courant entre modèle hydrodynamique etDérive-Diffusion est supérieur à la limite de dispersion. Les 6 diodes ont été simulées avec le modèleEnergy-Balance et le modèle Dérive-Diffusion de 0 à 1V. Les résultats sont illustrés sur la Figure III-23 etFigure III-24.- 96 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnairesFigure III-23: Courant sur les 6 diodes de l’étude avec lemodèle Energy Balance (en pointillé) et le modèle DériveDiffusion (en trait plein) à V DS =1V.Figure III-24: Ratio des courants entre les modèles Energybalance et Dérive Diffusion en fonction de la tension V DS .On s’aperçoit que les diodes mettent parfaitement en exergue les différences entre modèles puisque sur lesdiodes ultimes, l’écart est d’environ 40% à 1V. Plus la longueur de grille est faible et plus la polarisationdu drain est élevée, plus l’écart entre les modèles Dérive-Diffusion et Energy-Balance est important. Cetécart important permet de mettre en évidence la pertinence ou non des modèles suivant les régimes detransport. Par ailleurs, il est nécessaire de visualiser ces mêmes ratios avec la simulation Monte CarloSPARTA d’ISE [19]. Sur la Figure III-25 sont tracés les rapports entre les courants des modèles Dérive-Diffusion et Hydrodynamique en fonction de la longueur de grille. La Figure III-25 montre que sur lesgrandes longueurs les modèles donnent les mêmes résultats, car il n’y a pas d’effets non stationnaires.Ensuite, ceux-ci deviennent plus importants à faible longueur car le champ électrique est plus intense,comme illustré sur la Figure III-26. Par construction de nos diodes, le courant calculé avec Monte Carlodoit être semblable aux résultats expérimentaux. Il montre un gain par rapport à Dérive Diffusion de 20%au maximum. De plus, on s’aperçoit que le modèle Hydrodynamique donne des résultats surestimés pourles faibles longueurs. Ces résultats sont donc conformes à ceux que l’on attendait et les différencesquantitatives sont assez importantes pour que la comparaison avec l’expérience soit pertinente. On obtientbien pour les petits dispositifs un écart entre les modèles hydrodynamiques et Dérive-Diffusion supérieuraux dispersions sur les résultats expérimentaux. Les comparaisons entre simulations et expériences sontdonc pertinentes.- 97 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnairesRatio entre les modèles .1,61,41,210,80,6I MC/ I HYDI HYD/ I DDI MC/ IDD0,410 100 1000 10000Longueur de la diode (nm)Figure III-25: Rapport des courants entre les modèles Energybalance, Dérive-Diffusion et Monte Carlo en fonction de lalongueur de grille.Figure III-26: Vitesse des porteurs dans la diode de 60nm pourle modèle Dérive diffusion Energy Balance et Monte Carlo.6. COMPARAISON EXPERIMENTALE6.1. Comparaison entre Dérive Diffusion et les caractérisationsThéoriquement, vu la construction des diodes, la seule différence entre les calculs Dérive-Diffusion et lesmesures expérimentales proviennent des effets non stationnaires et quasi-balistiques. On remarque sur laFigure III-27 que plus la longueur de grille est faible plus l’écart entre le modèle et la mesure s’accentue.Par ailleurs, d’après l’étude en dispersion, on peut affirmer avec certitude que les écarts entre la simulationet l’expérience sont dus aux effets non stationnaires et quasi-balistiques. Les limites des modèles enfonction des régimes de transport peuvent être estimées.- 98 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnairesFigure III-27: Courants expérimentaux et simulés avec Dérive-Diffusion en fonction de V DSSur la Figure III-28 est tracé le ratio du courant expérimental sur le courant Dérive-Diffusion. Onremarque que plus la longueur de grille diminue, plus les effets non stationnaires sont importants. De plusla Figure III-29 montre quant à elle un accroissement des effets non stationnaires lorsque la polarisationdu drain augmente. En effet, plus le champ électrique est important, plus rapide est la mise hors équilibre.1,51,4Ratio IEXP/IDD .1,41,31,21,1Ratio IEXP/IDD .1,41,31,31,21,21,11M340nm140nm11,10,910 100 1000 10000Longueur de la diode (nm)1,00 0,2 0,4 0,6 0,8 1V DS (V)Figure III-28: Ratio des courants entre les valeursexpérimentales et les résultats de la simulation Dérive-Diffusionet en fonction de la longueur de grille.Figure III-29: Ratio des courants entre les valeursexpérimentales et les résultats de la simulation Dérive-Diffusion et en fonction de la polarisation du drain V DS .6.2. Comparaison entre les modèles hydrodynamiques et les caractérisationsLes diodes ont été simulées avec le modèle Energy Balance. Le ratio des courant en fonction de lalongueur de grille est tracé sur la Figure III-30. Elle montre en premier lieu que le modèle- 99 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnaireshydrodynamique Energy-Balance ne permet pas d’obtenir les valeurs correctes du courant pour lesdispositifs ultimes. L’erreur commise par le modèle étant d’environ 20%. Cependant, on note que lemodèle donne des résultats très corrects jusqu’aux longueurs de 200nm environ. Sur nos diodes, d’aprèsles simulations hydrodynamiques, les effets non stationnaires apparaissent dès le micron. Par conséquent,le modèle Energy-Balance permet de représenter correctement le transport non stationnaire jusqu’à unecertaine limite, le régime quasi-balistique, qui apparaît à partir des longueurs de 200nm sur les diodes.Ratio IEXP/IHYD(VDS=1V) .1,110,90,80,70,60,510 100 1000 10000Longueur de la diode (nm)Temps de relaxation moyen (ps)0.450.40.350.30.250.20.150.10.05010 100 1000 10000L G (nm)Figure III-30: Ratio des courants entre les valeursexpérimentales et les résultats de la simulation Energy-Balanceet en fonction de la longueur de grille.Figure III-31: Temps de relaxation moyen pour obtenir lamême valeur du courant expérimental, en fonction de lalongueur de grille.Cependant, il est possible de retrouver le courant obtenu expérimentalement sur les diodes ultimes enajustant le temps de relaxation. En effet, sur la Figure III-31 est tracé le temps de relaxation nécessairepour le calibrage en fonction de la longueur de grille. Les résultats montrent qu'un temps de 0.4 ps permetd’obtenir de bon résultats à V DS =1V et pour les tensions inférieures. En revanche, pour les dispositifsultimes il est nécessaire d’ajuster constamment le temps de relaxation en fonction de la longueur et de lapolarisation. Ces résultats montrent que, pour les dispositifs ultimes, il existe un temps de relaxation del’énergie moyen adapté pour obtenir le même courant que les mesures. De nombreuses publications ontsoulevé l’importance d’un temps de relaxation dépendant de l’énergie pour obtenir de bons résultats.Cependant, le temps de relaxation de l’énergie n’est pas le seul paramètre important dans le modèlehydrodynamique. En effet, suivant la valeur des coefficients r n , f n dans l’équation du flux :r 5 ⎡kBTrC⎤Fn= − rn⎢ Jn+ fnκn∇TC⎥(2.16)2 ⎣ q⎦les résultats sont différents. Pour illustrer ce point, les diodes ont été simulées avec le modèle deBoltekjaer où l’influence de la diffusion thermique des porteurs est prise en compte.- 100 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnairesRatio EXP/IBLOT(VDS=1V) I.1,51,41,31,21,110,90,80,70,60,510 100 1000 10000Longueur de la diode (nm)Figure III- 32: Ratio des courants entre les modèles Blotekjaeret les mesures expérimentales fonction de la longueur de grille.Figure III- 33: Profils de vitesse en Dérive-Diffusion, Energy-Balance et Blotekjaer.Sur la Figure III- 32 est tracé le ratio des courants entre le modèle de Blotekjaer et les résultats électriques.On s’aperçoit que le modèle de Blotekjaer surestime le courant dans la configuration non stationnaire etqu’il n’a pas les mêmes tendances que le modèle Energy-Balance. Sur les Figure III- 33 et Figure III- 34les profils des vitesses mettent en exergue les différences entre les deux modèles et montre que le modèleEnergy Balance, s’il donne des moins bons résultats au niveau du courant, donne lieu à des profils devitesse plus proche des profils Monte Carlo.Figure III- 34: Profils de densité de porteurs et detempérature avec le modèle Energy-Balance et lemodèle de Blotekjaer.La différence entre les deux modèles hydrodynamique est liée à leurs différentes approximations. Si l’onanalyse les systèmes d’équation, la différence se portent sur les coefficients des équations du courant et duflux d’énergie [8]. Différentes étude hydrodynamiques [20]-[21], on analysé ces différences entre lesmodèles. Le modèle de Blotekjaer prend en compte la diffusion thermique et donne en conséquence desprofils de concentrations et de vitesse différents notamment près du drain. En effet, en ce point latempérature des porteurs s’élève rapidement (Figure III- 34). Par conséquent la diffusion thermiqueengendre une diminution notable du nombre de porteurs au niveau du drain.De nombreuses publications [21]-[22] ont soulevé l’importance d’un temps de relaxation dépendant del’énergie pour obtenir de bons résultats. De même, il est important de calibrer en parallèle les coefficientsqui figurent devant les composantes du flux d’énergie. Ces composantes doivent elles aussi être calibrées- 101 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnairespour obtenir le résultat souhaité. Au final, cette comparaison illustre les limites des modèleshydrodynamiques. Nous verrons ensuite par une analyse spectroscopique des porteurs qu’aucun calibrageuniversel des temps de relaxation et des coefficients en fonction de l’énergie ne permet de modélisercorrectement les profils de vitesse et les courants.6.3. Comparaison entre MONTE CARLO et les caractérisationsLa fabrication des diodes a été optimisée pour que seuls les effets non stationnaires soient présents. Laméthode Monte Carlo représentant théoriquement correctement ce phénomène, les simulations MonteCarlo doivent donner les mêmes résultats que l’expérience. La Figure III- 35 montre que cela est bien lecas. Bien sur l'accord parfait à 0% près est irréaliste mais la tendance observée prouve que la simulationMonte Carlo permet de représenter correctement le transport non stationnaire et quasi-balistique. Sur laFigure III- 36 est tracé le courant dans la structure.1,4Ratio IEXP/IDD(VDS=1V) .1,31,21,110,90,80,70,610 100 1000 10000Longueur de la diode (nm)Figure III- 35: Ratio des courants entre les valeursexpérimentales et les valeurs des simulations Monte Carlo.Figure III- 36: Courant électronique dans la diode de 60nm àV DS =1V en simulation Monte Carlo.Pour approfondir notre compréhension des limites des modèles, les différences entre les modèles etl’expérience sur les diodes avec les extensions vont être étudiées. Cette étude permet de donner un autreéclairage, qualitatif pour les diodes symétriques et quantitatif pour les diodes asymétriques, sur les limitesdes modèles.7. ANALYSE QUALITATIVE DES DIODES7.1. Analyse des diodes symétriquesPour améliorer notre compréhension du transport, les diodes avec extensions symétriques vont êtreétudiées de manière qualitative. En faisant varier le dopage des extensions (Figure III- 37), les ratiosobtenus entre le courant Energy-Balance et Dérive-Diffusion sont tracés sur la Figure III- 38 pour les 4- 102 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnairesdopages de référence. On remarque les effets non stationnaires sont plus importants à faible longueur. Deplus, on remarque qu’ils sont plus importants pour les doses les plus élevées et les plus faibles. En effet,pour ces deux configurations, la raideur des jonctions est plus importante, comme illustré sur la Figure III-37 .1,6Ratio IEB/IDD1,51,41,31,2100nm120nm200nm400nm1000nm1,11,01,0E+12 1,0E+13 1,0E+14 1,0E+15Dose LDD (at/cm2)Figure III- 37: Illustration du dopage des extensions.Figure III- 38: Comparaison des ratios entre les modèles EnergyBalance et Dérive Diffusion pour les différentes doses etdifférentes longueurs de diodes à V DS =1V.Les simulations ont montré un effet de la raideur des jonctions. Qu’en est il pour les mesuresexpérimentales. Pour mettre en évidence les limites des modèles, nous définissons R ext le ratio descourants par rapport au courant de la diode dont le dopage de l’extension est la plus faible :RModelextModelI DS DoseModelDS Dose=1013at / cm²= III- 4ICe ratio est tracé pour l’ensemble des longueurs pour un dopage des extensions de 5×10 13 at/cm² sur laFigure III- 39. De plus, ce ratio a été tracé pour différents dopages des extensions pour la longueur de60nm de longueur de grille sur la Figure III- 40. L’expérience apparaît donner des ratios plus importants.Mais il est ici difficile de conclure sur les limites des modèles. En effet, à la vue de l’incertitude sur lasimulation du procédé de fabrication, on ne peut pas étudier les limites des modèles.G a in p a r r a p p o r t 1 e 1 3 a t /c m 21,91,81,71,61,51,41,31,21,11DériveDiffusionSiliciumEnergyBalance10 100 1000 10000L G(nm)Gain par rapport 1e13at/cm23,532,521,51HYDEXPDD1,00E+12 1,00E+13 1,00E+14 1,00E+15Dose (at/cm2)Figure III- 39: Comparaison des ratios R ext (5.10 13 at/cm²)en fonction des longueurs de grille pour les modèles DériveDiffusion et Hydrodynamique et l’expérience.Figure III- 40: Comparaison des ratios R ext en fonction des dosespour les modèles Dérive Diffusion et Hydrodynamique etl’expérience pour la longueur de 60nm.- 103 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnairesNe pouvant effectuer la méthode de révélation chimique sur les extensions à cause du dopage trop faible,les résultats de la simulations du procédé de fabrication avec les mêmes paramètres que ceux qui ontdonné de bons résultats pour les diodes simples sont utilisés. Les résultats obtenus sont cependant assezfortement différents de l’expérience pour les petits dispositifs, comme le montre la Figure III-35. En effet,aux incertitudes des diodes simples s’ajoute l’incertitude sur le procédé d’implantation. En reprenant lescalculs de dispersion des diodes simples, l’erreur sur le calcul du courant est d’environ 10%. Or commeles courants à comparer présentent un écart de l’ordre de 20%, les résultats obtenus et les conclusions quipeuvent en être tirées ne peuvent être fiables.7.2. Analyse des diodes asymétriquesL’analyse précédente a montré les limites d'une telle étude lorsqu’il est nécessaire de connaîtreprécisément les doses implantées et la géométrie. Pour limiter dans une certaine mesure l'effet desincertitudes des techniques de fabrication, des diodes asymétriques ont été fabriquées, comme illustré surla Figure III- 41. Pour obtenir cette asymétrie, des implantations d’arsenic avec un angle de 40 degré, pourles doses 5x10 12 , 1x10 13 , 5x10 13 , 2x10 14 at/cm 2 ont été intégrées au procédé, comme illustré sur la FigureIII- 42.Figure III- 41: Illustration des diodes avec dopages desextensions asymétriquesFigure III- 42: Dopage de la structure asymétrique sur la diode de60nm.Pour étudier les diodes asymétriques, les ratios R ASYM entre les courants source vers drain (DS) et drainvers source (SD) sont calculés avec:RModelASYMIIDSDS( V( VDS= 1V)= 1V)Model= III- 5La valeur de ce ratio est moins soumis aux incertitudes du procédé de fabrication. En effet, commeprécédemment, le courant sur les petites diodes peut être modélisé par :SDModelDS- 104 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnairesIIDSDSFORBACK= N= IFORSDXjµ= NFORBACKOr les paramètres susceptibles d’être connus avec une erreur non négligeable, L ch et X j , sont identiquespour le courant SD et le courant DS. Par conséquent, le ratio de ces courants peut être considéré commeplus proche de la réalité physique. Dans ces conditions, la dispersion sur le ratio R ASYM est quasimentnulle :∆RASYM∆IDS/ ISD≈ ≈ 0III- 7R I / IASYMDSLa comparaison, pertinente donc, est reportée sur la Figure III-43 pour une dose de 5x10 13 at/cm². Ons’aperçoit que les ratios de la simulation et de l’expérience sont très similaires. Le courant SD est plusimportant que le courant DS et le ratio des simulations hydrodynamiques est plus proche quantitativementdu ratio expérimental. En revanche, qualitativement, c’est le modèle Dérive-Diffusion qui semble le plusreprésentatif de la différence entre les deux sens de transport. Par ailleurs, la Figure III-44 montre que leratio augmente avec la diminution de la longueur de grille. En effet, plus la longueur diminue, plus lesextensions prennent une large part dans la résistance des accès et contribuent de façon significative aucourant.VLXSDDSchjµBACKVLSDchIII- 6Ratio FOR/IBACK I1,181,161,141,121,11,08SiliciumEnergy BalanceDérive DiffusionRatio FOR/IBACK I1,21,181,161,141,121,11,081,06Dérive DiffusionEnergy BalanceSilicium1,061,041,041,00E+12 1,00E+13 1,00E+14 1,00E+15Dose (at/m2)1,02110 100 1000 10000L G (nm)Figure III-43: Ratio I FOR /I BACK pour les modèle DériveDiffusion, Energy Balance et Expérimental en fonction dudopage des extensions à V DS =1V pour la diode de 40nmFigure III-44: Ratio I FOR /I BACK pour une dose de 10 13 at/cm 2 pourles modèle Dérive Diffusion, Energy Balance et Expérimental enfonction de la longueur des diodes à V DS =1VPour comprendre que I DS >I SD , les profils de vitesse et de densité ont été tracés sur la Figure III- 45.L’analyse de ces courbes montre que le gain en courant est dû la différence de charge. En Dérive-Diffusion, la vitesse moyenne est la vitesse de saturation dans les deux sens de transport. Le courant SDsupérieur vient du fait que l’injection des porteurs dans le canal est favorisée par l’extension lorsqu’elle setrouve coté source. En effet, l’extension abaisse la barrière de potentiel comme illustré sur la Figure III-46. Par conséquent, le courant SD est supérieur au courant DS. Cet effet est purement électrostatique estn’est pas un effet de transport.- 105 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnairesFigure III- 45: Vitesse et densité des porteurs dans ladiode de 60nm à V DS =1V pour une dose d’extension de5x10 13 at/cm 3 . Simulation avec Dérive-DiffusionFigure III- 46: Potentiel dans la diode de 60nm à V DS =1V pourl’ensemble des doses des extensions. Les extensions font varierl’allure du potentiel et abaisse plus ou moins la barrière depotentiel. Simulation avec Dérive-Diffusion.De plus, cet effet explique la courbe en cloche du ratio. Lorsque l’extension est dopée très faiblement à5x10 12 at/cm 2 , ce dopage est « négligeable » par rapport au dopage initial, et la diode est peudissymétrique. De même, à fort dopage, la diode est décalée par rapport à la grille, mais cela revient à uneréduction de la longueur de la diode. La diode redevient symétrique. Par conséquent, c’est pour un dopageintermédiaire entre 1x10 13 at/cm 2 et 5x10 13 at/cm 2 que le ratio est le plus important.Bien que le principal effet soit de nature électrostatique, l’effet du transport n’est pas négligeable commele prouvent les différences entre les modèles. Malheureusement, l’influence de la barrière de potentiel surla vitesse d’injection n’est pas visible expérimentalement. En effet, pour cela il serait nécessaired’effectuer des mesures d’extraction du coefficient de rétro-diffusion R C sur des MOSFET asymétriquespour réellement connaître l’influence du transport décorrélé des phénomènes électrostatiques.8. INFLUENCE DE LA TEMPERATURE8.1. But de l’expérienceLe chapitre II a rappelé l’intérêt des mesures en température pour l’analyse du transport quasi-balistiquepour le calcul du coefficient de rétro-diffusion R C . Cependant dans notre cas, les extractionsexpérimentales du coefficient de rétro-diffusion sont impossibles car la connaissance précise de la chargeen haut de la barrière de potentiel est extrêmement difficile à obtenir, ainsi que sa dépendance en fonctionde la température. Dans l’étude standard sur le MOSFET, la connaissance de la tension de seuil etl’évaluation de sa dépendance en température permet de s’affranchir de la variation de la charge pour lecalcul de R C [23]. Pour les diodes, cela est inenvisageable. Par conséquent, seules les variations du couranten fonction de la température seront étudiées. Ce travail permettra de déduire la dépendance entempérature des effets non stationnaires.- 106 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnaires8.2. RésultatsLes mesures ont été effectuées sur les diodes symétriques sans extension, pour des températures variant de77K à 320K, comme illustré sur la Figure III- 47. Pour connaître, l’influence de la température sur letransport, le lecteur pourra se reporter à [24]-[25]. Les mesures expérimentales sont tracées sur la FigureIII- 48. Pour les analyser et les comparer aux modèles, les diodes ont été simulées de 400K à 77K.0.00300.00250.002030K 77K 100K 200K 320K7.E-036.E-035.E-039401406040I (A)0.00150.0010I (A)4.E-033.E-032.E-030.00051.E-030.00000 0.2 0.4 0.6 0.8 1V DS (Volts)0.E+000 100 200 300 400Température (Kelvin)Figure III- 47: Résultats des mesures en température sur ladiode de 140nm.Figure III- 48: Courbes expérimentales du courant à V DS =1V enfonction de la température pour les diodes 940nm, 140nm, 60nm et40nm.Les points simulés en Dérive-Diffusion et avec lemodèle Energy Balance sont tracés sur la Figure III-49. On remarque que les tendances des modèlesDérive-Diffusion et Hydrodynamiques sont similaires,mais qu’elles ne sont pas parfaitement représentativesdes tendances des mesures expérimentales. Analysonsdonc ces différences.Dans la partie sur les comparaisons quantitatives desmodèles, il est apparu que les effets non stationnairessont bien pris en compte par les modèleshydrodynamiques lorsque le régime quasi-balistiquen’est pas encore atteint. Lorsque l’on réduit latempérature, les interactions sont moins nombreuses, lelibre parcours moyen est plus grand et le transport estplus rapidement quasi-balistique. Par conséquent le modèle hydrodynamique devrait perdre de sa justesselorsque l’on diminue la température. C’est ce que l’on observe sur les courbes de la Figure III- 50. En effetle modèle hydrodynamique, avec le temps de relaxation adéquat définit par Ferry [26]:1τW2 103 kTTT−8L≈ III- 8CI(A)1.E-028.E-036.E-034.E-032.E-030.E+00DD 940 DD 340 DD 140 DD 60DD 40 EBM 940 EBM 340 EBM 140EBM 60 EBM 4050 150 250 350 450Température (K)Figure III- 49: Simulation du courant à V DS =1V enfonction de la température pour les diodes 940nm, 140nm,60nm et 40nm.- 107 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnairesdonne la même valeur que l’expérience à 300K. Mais lorsque la température décroît, le transport estdavantage quasi-balistique et la différence entre la mesure et le modèle s’accentue tout comme si lalongueur du dispositif diminuait. On remarque sur la Figure III- 50, que pour la diode de 1micron lemodèle hydrodynamique donne des résultats très satisfaisants jusqu’à 200K. Le régime quasi-balistiqueapparaît à cette température environ. En revanche, pour la diode de 140nm, le modèle diverge très vite carle régime quasi-balistique est atteint dès la baisse de la température. En effet, la limite des régimes nonstationnaire et quasi-balistique apparaissait vers les 200nm environ à 300K. Par ailleurs, pour analyserplus précisément les tendances en fonction de la température, le ratio des courant expérimentaux à V DS =1Vpar rapport au courant à 300K est tracé sur la Figure III- 51. On remarque que plus la longueur de la diodeaugmente, plus la dépendance en température est grande. Par contre, pour les dispositifs ultimes où letransport quasi-balistique est présent, la notion de température est moins importante. En modélisant le gainavec la notion de mobilité et avec le cas balistique où la vitesse d’injection est la vitesse thermique, lesbornes du gain sont tracées sur la Figure III- 51. L’influence de la température sur la charge d’injectionn'étant pas connue de manière précise (celle-ci diminue avec T), les courbes expérimentales ne sont pasparfaitement entre ces deux cas limites. Cependant, cela illustre le fait que la notion de température joueun rôle plus important pour les grandes longueurs où l’approximation de la maxwellienne déplacée estvalable. Ainsi plus le régime quasi-balistique est proche de sa limite balistique, plus la notion detempérature perd de son sens.0,1480%diode de 140nmIHYD/IEXP -1 (%) .0,120,10,080,060,041 micron200nmI/I(300K)-1 (%) .70%60%50%40%30%20%diode de 1micronmodel diffusifmodel Balistique sur lavitesse d'injection0,0210%0100 150 200 250 300 350Température (K)0%100 150 200 250 300 350Température (K)Figure III- 50: Comparaison entre les mesures expérimentaleset les simulations Dérive Diffusion, Hydrodynamique avec untemps de relaxation constant et égal à 300K sur la diode de140nm à V DS =1VFigure III- 51: Ratio entre les mesures expérimentales à 300K et les autres températures. La courbe noire représente lamodélisation avec l’approche de Landauer.9. BILANLes comparaisons entre les mesures expérimentales et les simulations ont montré les limites des différentsmodèles. Premièrement, le modèle Dérive-Diffusion ne permet pas de modéliser correctement les diodeslorsque les effets non stationnaires sont présents. Cela est tout à fait normal et inhérent à cettemodélisation. Cependant, à partir des comparaisons avec le modèle Dérive-Diffusion, les effets nonstationnaires ont pu clairement être mis en évidence. De plus, ces simulations ont montré que les effets- 108 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnairesnon stationnaires prennent de plus en plus d’importance lorsque la longueur de grille diminue ou lorsquela polarisation de drain augmente. De plus, l’étude théorique des diodes avec les extensions a montré queplus la raideur des jonctions est importante, plus les effets non stationnaires sont forts. C'est-à-dire queplus le dopage dans le canal proche de la source est faible, plus les effets de survitesse sont importants. Parailleurs, l’étude en température a montré que plus la température diminue, plus les effets non stationnairesprennent de l'importance. Ces comparaisons expérimentales ont donc mis en évidence l'influence de troisparamètres : le champ électrique, le dopage et la température. Leurs effets seront analysés théoriquementdans le prochain paragraphe. Par ailleurs, ces comparaisons ont permis de faire la lumière sur les limitesdes modèles hydrodynamiques. En effet, il apparaît qu'en dessous de 200nm (pour les diodes seulement !)les modèles hydrodynamiques ne permettent plus de représenter fidèlement le transport hors équilibre. Ilest alors nécessaire de rectifier le temps de relaxation moyen de l’énergie pour chacune des longueurspour tous les dispositifs afin d'ajuster le courant. Au final, seules les simulations Monte Carlo paraissent,au vu des résultats expérimentaux, à même de simuler le transport jusqu’aux longueurs ultimes où letransport est quasi-balistique. Au final, il existe pour les diodes, deux longueurs critiques : une longueur en deçà de laquelle le modèleDérive Diffusion perd de sa validité (environ 1 micron) et une deuxième longueur (environ 200nm) àpartir de laquelle les modèles hydrodynamiques ne sont plus valables. Ces différents régimes sont illustréssur la Figure III- 52.Figure III- 52: Illustration des différentsrégimes de validité des modèles desimulations sur les diodes expérimentales- 109 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnaires10. MISE EN EVIDENCE DU TRANSPORT QUASI-BALISTIQUE10.1. IntroductionLa partie expérimentale avec comparaison des simulations électriques a mis en évidence l’impossibilitédes modèles hydrodynamiques de Stratton et de Blotekjaer et du modèle Dérive-Diffusion à représenterfidèlement la nature du transport des dispositifs ultimes. De plus, l'étude bibliographique du chapitre II, arappelé qu’il est très difficile d’obtenir un calibrage universel pour obtenir un bon accord entre cesmodèles et les résultats Monte Carlo et expérimentaux. Ce résultat a été confirmé par l’étude des diodes.Malheureusement, l’étude s’est limitée aux effets non stationnaires. L’étude du coefficient de rétrodiffusionen régime quasi-balistique ne peut s’effectuer rigoureusement que sur des transistors. Cependant,les résultats expérimentaux ont révélé que les simulations Monte Carlo représentent correctement letransport. Par conséquent, dans cette partie, la physique du transport électronique va être visualisée avec laspectroscopie Monte Carlo. Elle va permettre de mieux appréhender le transport électronique et decomprendre les limites des modèles Hydrodynamiques et Dérive-Diffusion.10.2. Analyse du quasi balistique avec les fonctions de distributionPour visualiser le transport électronique, une diode de 30nm avec une zone centrale dopée à 10 16 at/cm 3 estsimulée avec Monte Carlo à V DS =1V. Pour cela, l’évolution de la fonction de distribution en 2D est tracéesur les Figure III- 54 à Figure III- 60. Les fonctions distributions sont tracées en différents points le longdu canal comme décrit sur la Figure III- 53.Figure III- 53: Vitesse le long du canal dans la diode de 30nm à V DS =1V, et position des spectres des fonctions de distributionsci-dessous. Les positions sont -10, 0, 3, 7, 12, 19, 27. (Par rapport au sommet de la barrière)- 110 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnairesDans la source, le champ est très faible et lesinteractions nombreuses (dopage élevé). Parconséquent, la fonction de distribution est unemaxwellienne déplacée. La température électroniqueest égale à celle du réseau, ici 300K.En passant de la Figure III- 54 à la Figure III- 55, lamaxwellienne déplacée se déforme en une fonction dedistribution asymétrique du fait de la diminution dunombre d'électrons rétro-diffusés lorsque l'ons'approche du sommet de la barrière.Figure III- 54: Fonction de distribution de Boltzmann dansl’accès source dans la diode de 30nm à V DS =1V (x=-10)Au sommet de la barrière, les électrons qui ont unevitesse positive sont les plus nombreux. Les porteursavec des vitesses négatives sont une fraction desporteurs injectés qui reviennent vers la source. Le champattractif du drain limite la rétro-diffusion. La fonction dedistribution est alors nettement asymétrique et cetteasymétrie caractérise le transport quasi-balistique avec lecoefficient R C , qui vaut ici 22%Figure III- 55: Fonction de distribution de Boltzmann ausommet de la barrière de potentiel dans la diode de 30nm àV DS =1V (x=0)Les porteurs ayant une vitesse positive sont alorsinjectés dans le canal. Dans le silicium en direction, deux masses m t et m l sont mises en jeu. Ainsi,les porteurs ayant une masse transverse « volent » plusvite vers le drain que les porteurs à masse longitudinale.Par conséquent, la partie positive de la fonction dedistribution, composée de 2/3 de porteurs à massetransverse et 1/3 à masse longitudinale commence à seséparer en 2 fonctions de distributions translatées de lavitesse des porteurs balistiques, comme illustré sur laFigure III- 56- 111 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnairesFigure III- 56: Fonction de distribution de Boltzmann autout début du canal dans la diode de 30nm à V DS =1V (x=3)Cette séparation des 2 types de porteurs s’accentue versle milieu du canal. 2 pics de transport balistiqueapparaissent. Les porteurs associés à ces vitesses n’ontpas encore subi d’interaction. (Figure III- 57) Leurnombre, le long du canal, chute rapidement.Figure III- 57: Fonction de distribution de Boltzmann audébut du canal dans la diode de 30nm à V DS =1V (x=7)La vitesse de ces porteurs balistiques augmente le longdu canal et la fonction de distribution associée à cesporteurs se rétrécit car la vitesse initiale ne joue plusbeaucoup sur la vitesse balistique. Les pics de porteursbalistiques deviennent alors presque mono-cinétiques.(Figure III- 58).Lorsque les porteurs subissent des interactions, leurvecteur d'onde est redistribué de manière équiprobabledans le canal et forme la queue de distribution en vitesse.Figure III- 58: Fonction de distribution de Boltzmann aumilieu du canal dans la diode de 30nm à V DS =1V (x=12)- 112 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnairesFigure III- 59: Fonction de distribution de Boltzmann versla fin du canal dans la diode de 30nm à V DS =1V (x=19)Les pics de porteurs balistiques se resserrent et lenombre de porteurs dans la queue de distributionaugmente. Cette partie de la fonction de distributionreprésente en partie les porteurs qui ont subit une ouplusieurs interactions dans le canal. La forme de lafonction de distribution associée à ces porteurs est une« maxwellienne déplacée » dont la températureélectronique est supérieure à 300K. (Figure III- 59)Par ailleurs, on remarque dans l’encart que la vitessemoyenne des porteurs chute. En effet, L’autrecontribution aux vitesses négatives est due aux porteursqui arrivent au drain et qui subissent des interactionsdues au fort dopage qui les revoient vers le canal. Lavitesse moyenne chute.Au drain, seul le pic de porteurs balistiques à massetransverse est visible car les porteurs associés étaientplus rapides. En ce point, les porteurs commencent à sethermaliser : ils étaient hautement énergétiques et au fildes interactions avec les phonons (émission), leurénergie diminue. Ces porteurs sont caractérisés par unefonction de distribution centrée mais pas de formemaxwellienne. Ensuite ils sont collectés au drain. Lathermalisation n’étant pas un processus instantané, ledrain est aussi un point de contrôle du courant, mais dusecond ordre par rapport à la source. (Figure III- 60)Ensuite, la fonction de distribution est à nouveau unemaxwellienne déplacée. Il y a beaucoup plus deporteurs, mais ils se déplacent beaucoup moins vite.Figure III- 60: Fonction de distribution de Boltzmann à lafin du canal dans la diode de 30nm à V DS =1V (x=27)10.3. Les différents régimes de transportCette analyse spectroscopique montre que la fonction de distribution ne satisfait guère à une des plusimportantes hypothèses des modèles hydrodynamiques, à savoir que f est une maxwellienne déplacée.Cependant, la revue de la littérature et l’étude expérimentale des effets non stationnaires a montré que lasimulation hydrodynamique pouvait dans une certaine mesure représenter fidèlement le transport- 113 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnairesélectronique lorsque celui-ci est loin de sa limite balistique. Pour mieux saisir les limites des modèlesbasés sur la méthode des moments, 5 diodes dopées à 10 16 at/cm 3 vont être comparées à V DS =1V. Une diode de 1micron : Caractéristique du transport stationnaire. Une diode de 400nm : Caractéristique du transport stationnaire avec saturation en vitesse. Une diode de 150nm : Caractéristique du transport non stationnaire uniquement. Une diode de 30nm : Caractéristique du transport quasi-balistique. Une diode Balistique de 30nm : Caractéristique du transport balistique.Pour chacune d’entre elle, la fonction de distribution en 1D est tracée en différents points caractéristiquesdu canal (v x , direction du transport) sur les Figure III- 61 à Figure III- 69. Analysons les : La diode de 1micron : Quelle que soit la position, la fonction de distribution s’apparente à unemaxwellienne déplacée dont le décalage en vitesse correspond à la vitesse moyenne des porteurs.Le champ électrique étant faible, la notion de mobilité est valable. La température extraite parcalibrage de la fonction de distribution issue des simulations Monte Carlo donne une températurede 350K. (La température n’est pas exactement de 300K, même en stationnaire ! ☺.) De plus, fn’est pas une gaussienne parfaite, il y a déjà un effet de transport différent pour les porteurs àmasse transverse et pour ceux à masse longitudinale. L’énergie au milieu du canal est d’environ70meV.Fonction de distribution (A.U.) .0,0180,0160,0140,0120,010,0080,0060,0040,0020-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10Vitesse (1e5m/s)Vitesse (1e5m/s) .0,80,70,60,50,40,30,20,100 200 400 600 800 1000Position de le long de la diode (nm)Figure III- 61 : Fonction de distribution à la position x=512nm.f peut s’apparentée à une maxwellienne déplacée. Illustration surla diode de 1micron à V DS =1V.Figure III- 62 : Vitesse des porteurs dans la diode de 1µm àV DS =1V. La vitesse est proportionnelle au champ. La notion demobilité est valable.La diode de 400nm : Quelle que soit la position (excepté au sommet de la barrière), la fonctionde distribution est une maxwellienne déplacée dont la température électronique augmente au fil ducanal. La température extraite au milieu du canal est de 900 K. Le décalage correspond à la vitessemoyenne qui correspond à la vitesse de saturation v sat =9,2 x10 4 m/s. Le transport en régime desaturation car le nombre d’interactions est grand et le champ ne croit pas assez fortement pourfaire apparaître un régime de survitesse.- 114 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnairesFonction de distribution (%) .1,2E-021,0E-028,0E-036,0E-034,0E-032,0E-030,0E+00-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10Vitesse (1e5m/s)Vitesse (1e5m/s) .1,210,80,60,40,200 50 100 150 200 250 300 350 400Position le long de la diode (nm)Figure III- 63 : Fonction de distribution à la position x=301nm. fpeut s’apparentée à une maxwellienne déplacée. Illustration sur ladiode de 400nm à V DS =1V.Figure III- 64 : Vitesse des porteurs dans la diode de 400nmà V DS =1V. La notion de mobilité est valable. Il faut cependantprendre en compte la saturation en vitesse. La diode de 150nm : La diode est caractéristique du transport non stationnaire. La vitessemoyenne des porteurs dépasse la vitesse de saturation, comme l’illustre la Figure III- 66 . Cettesurvitesse est aussi visible sur la fonction de distribution de la Figure III- 65. La courbe, peut êtremodélisée (difficilement☺) par une maxwellienne déplacée dont la température électronique estd’environ 2000K au milieu du canal. L’approximation de f maxwellienne déplacée peut déjà êtreremise en question dans ce cas. Cependant, la modélisation hydrodynamique représenteraisonnablement bien ce régime de transport car le celui-ci n’est pas encore en régime quasibalistique(0,03% de porteurs balistique au drain).Fonction de distribution (%) .9,E-038,E-037,E-036,E-035,E-034,E-033,E-032,E-031,E-030,E+00-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10Vitesse (10e5m/s)Vitesse (1e5m/s ) .1,41,21,00,80,60,40,20,00,0 50,0 100,0 150,0 200,0Distance le long de la diode (%)Figure III- 65 : Fonction de distribution à la position x=151nm. fpeut s’apparentée à une maxwellienne déplacée dont latempérature électronique est de 2000K. Illustration sur la diode de150nm à V DS =1VFigure III- 66 : Vitesse des porteurs dans la diode de 150nmà V DS =1V. La notion de mobilité n’est plus valable. Elle peutcependant être utilisée en y intégrant des corrections de typeshydrodynamiques. La diode de 30nm : Le transport est en régime quasi-balistique comme le prouve les fonctionsde distribution le long du canal sur la Figure III- 67. Les explications ont été détailléesprécédemment. La Figure III- 68 illustre la vitesse. Bien sûr la vitesse est plus élevée que dans lesdiodes précédentes.- 115 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnairesFonction de distribution (%) .3,5E-023,0E-022,5E-022,0E-021,5E-021,0E-025,0E-030,0E+00-10,0 -5,0 0,0 5,0 10,0Vitesse (1e5m/s)Vitesse (1e5 m/s) .2,52,01,51,00,50,00 10 20 30 40 50 60 70Distance le long de la diode (nm)Figure III- 67 : Fonction de distribution en différentespositions. f peut s’apparentée à une maxwellienne déplacée.Illustration sur la diode de 30nm à V DS =1VFigure III- 68 : Vitesse des porteurs dans la diode de 30nm àV DS =1V. La notion de mobilité n’est plus valable. La diode de 30nm Balistique: Pour connaître le cas limite, la même diode que ci-dessus a étésimulée sans effectuer les interactions dans la zone n. On remarque sur la Figure III- 69 uncoefficient de rétro-diffusion quasiment nul, et la présence unique de pics de porteurs balistiques.La Figure III- 70 illustre la vitesse le long de la diode et révèle que la thermalisation des porteursjoue un rôle très important dans le calcul de la vitesse moyenne le long du canal. Lathermalisation est visible sur la courbe noire de la Figure III- 69. C’est une courbe avec deuxplateaux. Le plateau large correspond aux porteurs à masse transverse et l’autre aux porteurs àmasses longitudinales. De plus, on aperçoit l’injection des porteurs venus du drain (la petite bossedu milieu...)Fonction de distribution (%) .6,E-025,E-024,E-023,E-022,E-021,E-02Vitesse (1e5m/s ) .3,53,02,52,01,51,00,50,E+00-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100,00,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0Vitesse (1e5m/s)Distance le long de la diode (nm)Figure III- 69 : Fonction de distribution en différentespositions. f peut s’apparentée à une maxwellienne déplacée.Illustration sur une diode de 30nm à V DS =1VFigure III- 70 : Vitesse des porteurs dans la diode de 30nm àV DS =1V. La notion de mobilité n’est plus valable.- 116 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnaires10.4. Spectroscopie des interactionsPour illustrer davantage les différents régimes de transport, la courbe de spectroscopie du nombred’interactions est extraite. Sur la Figure III- 71 est tracée la probabilité qu’un porteur ait subi i etseulement i interactions avant d’atteindre le drain pour les 4 régimes de transport. On remarque que lesformes des courbes sont très voisines de gaussiennes. Le nombre moyen d’interactions est tracé sur laFigure III-72. Elle montre que l’estimation à L ch /mfp donne un bon ordre de grandeur mais que cela nepermet pas de donner une valeur précise.0,2400nm1000nmProbabilité (%) .0,160,120,08150 nm 30nm0,0400 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Nombre d'interactions jusqu'au drainFigure III- 71 : Courbe de spectroscopie d’interactions pour les 4 diodes principales. Transport stationnaire en rouge, transport enrégime de saturation de vitesse en noir, transport non stationnaire en bleu et transport quasi-balistique en vert. Simulation à V DS =1V.Nombre moyen d'interactions )1009080706050403020100Simulation Monte CarloModele Lch/mfp0 200 400 600 800 1000 1200Longueur de la diode (nm)Fonction de distribution (U.A.) ) .Balistique 1 interaction7,1E+046,1E+042 interactions4 interactions3 interactions5,1E+044,1E+043,1E+042,1E+041,1E+041,0E+030,0 2,0 4,0 6,0 8,0Vitesse (1e5m/s)Figure III-72 : Nombre moyen d’interactions (en noir) etl’évaluation avec L ch /mfp (en rouge).Figure III-73 : Spectroscopie de porteurs pour les porteurs ayantsubi 0, 1, 2, 3 et 4 interaction(s).- 117 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnaires10.5. Notion de classes de porteursLes simulations Monte Carlo et la spectroscopie de porteurs ont mis en évidence la grande variété deformes de fonction de distribution en fonction du régime de transport. Lorsque le transport est quasibalistique,la forme de la fonction de distribution est multiple. En effet, elle peut prendre différentesformes, caractéristique de différentes « classes de porteurs ». Il est important de définir cette nouvellenotion. Le mot « classe de porteurs » défini un groupe de porteurs ayant subi à peu près la même histoiredu point de vue du transport. Par construction, les porteurs peuvent passer d’une classe à l’autre lors dutransport. Ces notions seront très utiles pour le chapitre suivant, pour bien comprendre le modèle de rétrodiffusion.Ces classes sont expliquées ci-dessous et illustrées sur les Figure III-74 et Figure III-75.o Classe des porteurs monocinétique : S’il l’on définit précisément le sommet de labarrière de potentiel comme point de départ, lorsque un porteur est en ce point et que savitesse est positive dans le sens du transport, alors il est définit comme balistique. A t=0,en ce point, la fonction de distribution associée à ces porteurs est une demi fonction dedistribution de Boltzmann à l’équilibre. Ensuite lorsque les porteurs se propagent dans lecanal, la fonction de distribution associée devient un pic pratiquement monocinétiquecaractéristique de la vitesse du porteur balistique.A cela il faut ajouter, les porteurs semi-balistiques. Ces porteurs ont subi uneinteraction ou 2 au début du canal, mais continuent ensuite leur trajectoire dans le canal demanière balistique. Leur fonction de distribution associée est un pic monocinétique un peuplus large dont la vitesse caractéristique est légèrement plus faible comme illustré sur laFigure III-73. Plus le nombre d’interactions est important, plus le pic perd de sa finesse.Par la suite, seuls les porteurs ayant subit 1 et 2 interactions seront définit comme semibalistiques.o Classe des porteurs rétro-diffusés : Ce sont les porteurs qui ont été balistiques à t=0 etqui sont revenus vers la source ensuite de manière balistique ou diffusive. Ces porteurssont visibles uniquement au sommet de la barrière de potentiel. La forme de la fonction dedistribution est une demi fonction de distribution de Boltzmann à l’équilibre.o Classes des porteurs qui ont subi assez d’interactions pour relaxer l’énergie : Cesporteurs forment en première approximation une maxwellienne déplacée à températureélevée. Ces porteurs suivent les lois des équations hydrodynamiques. Ces porteursapparaissent lorsqu’il y a un grand nombre d’interactions.o Classes des porteurs qui thermalisent au drain : Lorsque les porteurs, très énergétiquesarrive au drain, ils « voient un mur de dopants » où il subissent un très grand nombred’interactions. Les porteurs ralentissent fortement et mettent un certain temps pourredescendre en énergie avant d'être absorbés par le drain. Ces porteurs sont caractériséspar deux fonctions de distribution originales en plateau (dont la vitesse maximale est celledes balistiques), une pour les porteurs à masses transverse et une pour ceux à masselongitudinales. La vitesse moyenne de cette classe de porteurs est nulleo Classes des porteurs diffusants à la source: Les porteurs à la source diffusent dans labarrière de potentiel. La fonction passe d’une forme maxwellienne centrée à une- 118 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnairesoomaxwellienne asymétrique. Lorsque ces porteurs arrivent en haut de la barrière, ilspassent dans la classe des porteurs balistiques.Classes des porteurs diffusants au drain: Les porteurs au drain diffusent dans le canal.La fonction de distribution est symétrique.Classes des porteurs vérifiant les lois de mobilité: Dans les accès (ou dans le canal enstationnaire), le champ est faible et les porteurs subissent un grand nombre d’interactions,la fonction de distribution est une maxwellienne déplacée de température électroniqueproche de celle du réseau.Figure III-74: Illustration des classes de porteurs et les transferts d’une classe de porteurs à l’autre.- 119 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnairesFigure III-75: Illustration de l’historique des classes de porteurs.D’après cette première analyse, il apparaît que seuls les dispositifs où la fonction de distribution est unemaxwellienne déplacée peut être modélisé par les équations basées sur la méthode des moments. Pouraméliorer la compréhension des limites des modèles basées sur la méthode des moments, l’impossibilitéd’un calibrage universel des temps de relaxation de l’énergie pour simuler les dispositifs va maintenantêtre mise en évidence.10.5.1. Mise en évidence de l’erreur du calcul du temps de relaxationPour les 5 régimes de transport, la fonction de distribution a été extraite. Par conséquent, il est possible decalculer le temps de relaxation de l’énergie utilisé dans la méthode des moments avec l’équation III- 9. Eneffet, la valeur du temps de relaxation va être déterminée avec les fonctions obtenues par la spectroscopieet la fonction à l’équilibre f 0 . Le calcul de l’équation III- 9 permet de calculer précisément la valeur dutemps de relaxation dans l’approche de Boltekjaer :1τp=∫Bhkf∫Bhk( k ) 1 τ ( hk)( f − f )Le temps de relaxation de l’énergie τ w est tracé en fonction de l’énergie W sur la Figure III-76 .Premièrement pour le transport stationnaire, la fonction de distribution étant quasiment une maxwelliennedéplacée tout le long du canal. Le temps de relaxation est quasiment constant et égal à 0,25ps. Pour letransport stationnaire à régime de saturation de vitesse, a courbe est quasiment identique, sauf qu’elle0dd33kkIII- 9- 120 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnairess’étend à des énergies plus élevées (bien sûr). Pour le transport non stationnaire, en rouge, on s’aperçoitque la courbe forme un cycle et qu’elle s’éloigne de la courbe type du transport stationnaire.Pour le transport quasi-balistique, la courbe s’écarte davantage et tend vers la courbe théorique dutransport balistique qui forme un large cycle d’hystérésis. En régime balistique, une demi maxwelliennetranslatée apparaît au début du canal. En ce point, les porteurs sont encore peu énergétiques et leur tempsde relaxation de l’énergie est donc plus grand. Cela explique la divergence initiale. Ensuite, lorsqu’ils sonttrès énergétiques et que de nombreuses interactions ont eu lieu, la courbe τ w (W) tend vers celle dutransport non stationnaire. Cependant, le processus de thermalisation, qui fait intervenir des porteurs trèsénergétiques, rend le temps de relaxation très faible (0,1ps) et la courbe ne reste pas sur la courbestationnaire.Cette étude reflète la physique du transport. Sur la Figure III-77 sont décrit les différents processus detransport et donne les explications. A la source, le temps de relaxation est donné par la maxwelliennedéplacée. Ensuite, lors d’un transport quasi-balistique, au début du canal, le temps de relaxation croitrapidement, d’autant plus si R C est faible. Ensuite, lors de la progression du gaz électronique dans le canal,le temps de relaxation diminue car la probabilité d’interaction avec les phonons intervallée augmente. Enthermalisant au drain, la fonction tend vers les faibles τ w à forte température. Ensuite, lorsque lathermalisation est complète, les porteurs reviennent dans une configuration classique comme à la source.0,450,400,350,30τ w (ps)1micron400nm150nm30nm30nm BAL0,250,200,150,100,050,000,00 0,04 0,08 0,12 0,16 0,20 0,24W (eV)Figure III-76: Méthodologie de calibrage des diodes 10microns.Figure III-77: Architecture générale des transistors simulés lorsde ce paragraphe introductifOn remarque que les temps de relaxation forment une boucle qui est plus ou moins large en fonction dutransport. On retrouve des courbes similaires avec des hystérésis chez Grasser [27]. Par l’introductiond'une nouvelle équation dans les équations hydrodynamiques et d'une nouvelle formulation polynomiale,Grasser et Tang ont retrouvé dans une certaine mesure ces types de courbes circulaires par la prise encompte de porteurs chaud et porteurs froids. Mais jamais leur modélisation ne permet de retrouver lalimite balistique. Ces travaux confirment donc les résultats suggérés par les mesures expérimentales. Letransport non stationnaire peut être modélisé par les équations hydrodynamiques seulement lorsque lesapproximations de maxwellienne déplacée et celles qui en découle (RTA par exemple) sont valables.Il est donc impossible de modéliser correctement le transport quasi-balistique avec la méthode desmoments. En effet, les courbes précédentes prouvent qu’à une énergie donnée, il existe plusieurs temps de- 121 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnairesrelaxation possibles, liés à plusieurs formes de fonction de distribution. La forme du cycle dépend de lagéométrie, des dopages et des polarisations qui ne peuvent être connues a priori. De plus, le modèlehydrodynamique ne permet pas de prendre en compte la dissymétrie de la fonction de distribution. Cettedernière ne peut être modélisée par aucune forme d’approximation polynomiales utilisée classiquementdans la méthode des moments. De plus, les pics balistiques ne peuvent être considérés ni dans unecomposante de dérive ni dans une composante thermique. Par conséquent, il est impossible de représenteruniversellement le transport quasi-balistique avec les équations hydrodynamiques.Cependant, avec un modèle hydrodynamique perfectionné et calibré, les résultats Monte Carlo peuventêtre retrouvés au niveau macroscopique. Cela signifie, dans ce cas, que le calibrage est représentatif del’historique des porteurs, ou vue d’une autre manière, de la fonction de distribution le long du canal. Maisil faut bien garder à l’esprit que dès que les paramètres du dispositif changent, la statistique dans le canalchange, et donc le calibrage aussi… Dans le transport quasi-balistique, les temps de relaxation du momentet de l’énergie ne sont pas constants car chacune des classes de porteurs possèdent sa « propre physique dutransport » et donc ces propres temps de relaxation. Par conséquent, au lieu de raisonner par la méthodedes moments en recalculant la vitesse et l’énergie moyenne du gaz, il aurait été plus pertinent, de résoudrel’équation de transport de Boltzmann par classe de porteurs. En effet, en résolvant l’Equation de Transportde Boltzmann pour les porteurs monocinétiques, pour les porteurs « mobilité » et les autres classes; et enintroduisant par les termes de générations recombinaisons les transferts de porteurs entre les classes, cetteméthode pourrait peut être permettre de représenter le transport jusqu’à sa limite balistique. Faute detemps, la validité de cette méthode n’a pas été vérifiée.11. ANALYSE THEORIQUE POUR CHOIX DE MODELE11.1. IntroductionLes études précédentes ont révélé de manière quantitative l’influence des longueurs, des dopages et destensions V DS et de la température sur les effets non stationnaires. De plus, l’analyse spectroscopique a misen évidence le transport quasi-balistique et les limites des modèles basés sur la méthode des moments.Afin de pouvoir donner des repères précis pour utiliser le modèle de simulation adéquat, deux grandeurscaractéristiques α NSE et α BAL vont être définies. Elles permettront de déterminer dans quel régime detransport le dispositif fonctionne, et par conséquent quel modèle employer.11.2. Les effets non stationnairesLes effets non stationnaires apparaissent lorsque le gain d’énergie apporté par le champ est trop importantpar rapport à la faculté qu’ont les électrons d’absorber cette énergie. Ce phénomène se traduit parl’expression suivante [28]:∂εgaz hω0>III- 10∂tτPar définition, l’énergie du gaz électronique s’écrit :W- 122 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnaires3ε +2* 2gaz = kT 1 / 2mCvIII- 11En dérivant cette expression et en introduisant la longueur de relaxation énergétique LWW= τ v :Wtherm2 * dv hω0mc> vthermIII- 122 dt LLa longueur de relaxation énergétique est le pendant du libre parcours moyen mais pour les interactionsqui relaxent l’énergie. A 300 K, sa valeur est d’environ 32nm (c.f. chapitre I). Ensuite, en écrivant lavitesse avec la mobilité et le champ et en utilisant les lois de Newton, on obtient :hω 0( µ E) ( qE) > vtherm× III- 13En remplaçant le temps de relaxation par la longueur de relaxation de la vitessela vitesse thermique, on a:⎛ q × L ⎞mhω0q⎜ E × ( qE) > v*thermmcv⎟⎝ ×therm ⎠ LWEt en explicitant cette vitesse thermique, on obtient l’équation III- 15 :2 * hω0q 1 2kT/ qE mc*L L πmWLWmcLm= τ v divisé parmthermIII- 14> III- 15En supposant un potentiel parabolique avec une polarisation drain V DS :2DS /⎛ 2V⎞ hω0⎜ >L⎟⎝ ch ⎠ LWq 1Lm2kTqπIII- 16En réécrivant tout du même coté de l’inégalité, on obtient la grandeur caractéristique α NSE qui caractérisela présence ou non d’effets non stationnaires dans un dispositif.1 hω01 >2πVDSq kTVDSq LLchWLLchm= αNSEIII- 17Cette expression permet de caractériser le transport non stationnaire. En effet lorsque α NSE est inférieur à1, les effets de survitesse apparaissent. Plusieurs grandeurs rentrent dans le calcul de α NSE :La longueur du canal L ch et les longueurs de relaxation de l’énergie et du moment. Plus le ratio deslongueurs du dispositif sur les longueurs caractéristiques est grand, plus il y a d’interactions et moins leseffets non stationnaires sont susceptibles d’apparaître. Par ailleurs, plus la longueur de relaxation del’énergie est faible, c'est-à-dire qu’il y a davantage d’interaction avec les phonons intervallée, plus leseffets non stationnaires s’atténuent.Comparons maintenant les tensions caractéristiques. Bien sûr, plus V DS augmente plus le gaz électroniqueaugmente son énergie et les effets de survitesse apparaissent. Il faut comparer pour cela les l’énergiecaractéristique de la chute de potentiel qV DS à celle du réseau kT et celle liée à la capacité d’absorption desphonons h ω . Ainsi, plus la température du réseau cristallin et le nombre de phonons sont élevés, moins il0y a d’effets non stationnaires.- 123 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnairesL’équation III- 17 permet ainsi de retrouver toutes les tendances obtenues lorsque les résultatsexpérimentaux étaient comparés aux simulations Dérive-Diffusion !Par ailleurs, une petite application numérique s’impose pour quantifier l’apparition des effets nonstationnaire. A V DS = 1V par exemple, les effets non stationnaires apparaissent lorsque la longueur ducanal est plus petite que :L < 4186× L × L2chWL < 69( nm)×2chL mmIII- 18Cette équation et les précédentes sont là pour donner les clefs d'une bonne compréhension, mais ne donnepas de valeurs exactes de l’apparition de la survitesse. En effet, dans la zone de pincement la survitesse estprésente bien qu’elle ne contribue pas toujours (dispositifs long) à augmenter significativement la vitesse.De plus, la polarisation de drain n’est pas celle « vue » à la source, c’est pourquoi il plus pertinent dans lesgrands dispositifs de prendre la tension de saturation. En tout cas, si l’inégalité est largement vérifiée, onpeut en déduire avec certitude l’apparition d’effets non stationnaires et leur influence non négligeable surle courant et la transconductance. Analysons maintenant l’apparition du régime quasi-balistique.11.3. Les effets quasi balistiquesLes effets quasi-balistiques apparaissent lorsque le gain de vitesse apporté par le champ est trop rapide parrapport à la faculté qu’ont les électrons de relaxer cette vitesse par l’intermédiaire des interactions. Jepropose pour traduire ce phénomène une équation analogue à III- 10, avec:v thermdv > III- 19dt τEn multipliant par la masse de chaque coté et en utilisant la loi de Newton, on obtient :* vthermqE > mIII- 20cτEn explicitant la fréquence d’interaction en terme de lpm et en prenant le champ moyen d’un potentielparabolique, on a :VDS* 1 2kTq > mc*III- 21L lpm πmD’oùch2 kT / qLcch1 >= αBALIII- 22π VDSlpmCette expression permet de caractériser le transport quasi-balistique. En effet lorsque α BAL est inférieur à 1alors il existe des porteurs balistiques, mais surtout la fonction de distribution n’est plus de typemaxwellienne déplacée. En effet, les interactions ne sont pas assez nombreuses pour « redistribuer » (ourelaxer) les vitesses. Plusieurs grandeurs rentrent dans le calcul de α BAL : La longueur de canal L ch et le libre parcours moyen du moment. Moins il y a d’interactions, plus letransport est quasi-balistique. Les tensions caractéristiques V DS et kT/q. Plus la polarisation du drain augmente et plus latempérature diminue, plus il y a de porteurs balistiques.- 124 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnairesUne petite application numérique s’impose à nouveau, toujours à V DS = 1V, et en prenant le champmaximal dans le canal ; les effets quasi-balistiques apparaissent lorsque la longueur du canal est pluspetite que :L ch< 30 × lpmIII- 23Pour ne pas être en régime quasi-balistique, (i.e. l’approximation de la maxwellienne déplacée estinexacte) il faut que la longueur du canal soit donc très grande devant le libre parcours moyen (ce quin’est pas un scoop ! ☺) . Il faut qu’il y ait, en somme, plus d’une trentaine d’interactions.11.4. Relation entre α NSE et α BALA partir de III- 17 et III- 22, et avec l’approximation lpm= L m la relation entre α NSE et α BAL peut êtreobtenue :1 hω0/ q LchαNSE=× αBALIII- 244 V LDSCette équation montre bien toute la différence entre effets non stationnaires et quasi-balistiques. Cesderniers sont liés au nombre d’interactions dans le canal tandis que la compréhension des effets nonstationnaires nécessite la prise en compte de grandeurs liées à la capacité du réseau à absorber l’énergie.Les équations théoriques ayant été développées, analysons les pour obtenir les champs critiques à partirdesquels les régimes de transport changent.W11.5. Quels modèles utiliser ?Afin de situer dans quel régime le dispositif fonctionne, on a tracé sur la Figure III-78 α NSE et α BAL enfonction du champ source drain et de la mobilité. La pente de α NSE est en (V DS /L ch ) 2 tandis que la pente deα BAL est en V DS /L ch . Lorsque les droites α NSE et α BAL pour différentes mobilités effectives coupent la droiteNSEα NSE =α BAL =1 on obtient les champs caractéristiques ( µ ) et ( µ ) à partir desquels les effetsEC 0BALEC 0non stationnaires et quasi-balistiques, respectivement, apparaissent. Bien sûr, le champ caractéristiquepour obtenir les effets non stationnaires est plus faible que celui pour obtenir les effets quasi-balistiques :NSECBALCE ( µ 0 ) < E ( µ 0 )III- 25On remarque par ailleurs que, lorsque le canal est peu dopé, la succession entre les deux régimes est plusrapide. En effet, plus les temps de relaxation sont différents, c'est-à-dire à fort dopage, plus la transitiondes effets non stationnaires aux effets quasi-balistiques est lente en V DS /L ch .- 125 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnairesFigure III-78: α NSE et α BAL fonction du champ source drain pour plusieurs valeurs de mobilité. Lorsque les courbes coupe ladroite Y=1, on obtient le champ caractéristique de changement de régime.Pour mieux représenter les changements de régime de transport les courbes ( V L ) α 1( V L ) α 1µ ch BALµ ch NSEDS = etDS = ont été tracées sur la Figure III-79: Ce graphe permet de situer le régime detransport. En effet, en fonction du champ source drain E SD déterminé avec la tension de saturation et de lamobilité µ du dispositif étudié, le point obtenu dans l’aire [E SD ,µ] permet de définir le régime detransport : Si le point est à gauche de la courbe noire ( V L ) α 1µ ch NSEDS = , alors le dispositif fonctionnedans un régime stationnaire. Le modèle le plus pertinent à utiliser est alors le modèle DériveDiffusion.Si le point est entre la courbe noire et la courbe rouge, alors le dispositif fonctionne en régime nonstationnaire, mais pas encore dans le régime quasi-balistique. Dans ce cas, les modèles hydrodynamiquessont pertinents. Cependant, il faut les utiliser avec précaution, en connaissance de cause, notamment surles approximations mises en jeu. Si le point est à droite de la courbe rouge ( V L ) α 1µ ch BALDS = , alors le MOSFET fonctionne enrégime quasi-balistique. Dans ce cas il est nécessaire de modéliser le fonctionnement du transistoravec les simulateurs Monte Carlo.- 126 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnairesFigure III-79: courbes µ ( VDS Lch) αNSE= 1 et ( V L ) α 1l’ITRS.µ DS ch BAL = . Plus positionnement des technologies deDe plus, sur la Figure III-79: les nœuds caractéristiques de l’ITRS ont été affichés. On s’aperçoitmaintenant qu’il est indispensable de mener des simulations Monte Carlo pour l’étude des dispositifsultimes. Seules les technologies anciennes peuvent être simulées en Dérive Diffusion. Cette analysepermet donc à chaque ingénieur de se situer dans l’espace [E SD ,µ] pour utiliser le modèle le plus pertinent.12. CONCLUSIONGrâce à une expérience innovante, ce chapitre a permis de mettre en évidence les effets non stationnaires.Ces effets étaient déjà largement connus, mais c’est la première fois que des comparaisons rigoureusesentre la simulation et l’expérience ont été menées pour quantifier le gain lié à ces effets. En parallèle, cetteétude a permis de mettre en évidence les limites des modèles Dérive-Diffusion, Hydrodynamique etMonte Carlo : Le modèle Dérive Diffusion permet de représenter fidèlement le transport stationnaire définit parα NSE >>1 Les modèles Hydrodynamiques permettent de représenter le transport non stationnaire jusqu’aurégime quasi-balistique c'est-à-dire lorsque α BAL >1. Suivant les approximations des modèles, c'està-direen fonction du niveau de la relation de fermeture, de la modélisation de l’énergie et destemps de relaxation, les modèles hydrodynamiques peuvent aller plus ou moins loin vers le régime- 127 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnairesquasi-balistique. Cependant ils ne peuvent jamais représenter correctement le transport lorsque letransport est très proche de sa limite balistique. Les simulateurs Monte Carlo permettent de bien rendre compte des effets non stationnaires etquasi-balistique. Leur limite, d’un point de vue transport, est lorsque le dispositif atteint les 10nm.Pour des longueurs inférieures, la physique basée sur une résolution semi-classique du transportn’est plus valable. Il est nécessaire de résoudre l’équation de transport de Wigner ou d’utiliser leformalisme des fonctions de Green pour décrire complètement les effets de transport liés à ceslongueurs.Les différents régimes de transport sont récapitulés dans le Tableau III-4.Tableau III-4 : Tableau récapitulatif des effets non stationnaires et quasi-balistiques en fonction des coefficients α NSE etα BAL .Par ailleurs, l’analyse spectroscopie de la fonction de distribution a permis d’étayer théoriquement cesobservations expérimentales. Ce travail spectroscopique a ainsi débouché sur la mise en évidence durégime quasi-balistique et démontré les limites des modèles basés sur la méthode des moments pourdécrire le transport dans les MOSFETs ultimes. En effet, dans le régime quasi-balistique, la fonction dedistribution n’est plus une maxwellienne déplacée, et il apparaît plusieurs classes de porteurs, chacunecorrespondant à un phénomène du transport ultime. Cette analyse a ainsi permis de comprendre letransport électronique en gaz 3D dans les dispositifs ultimes. De plus, un abaque théorique a été développépour connaître en fonction de la mobilité et du champ latéral, le régime de transport. Cela permet ainsid’utiliser le simulateur le plus adéquat. Paradoxalement cet abaque vient un peu tard, car il montre que- 128 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnairesdepuis 5ans environs les dispositifs fonctionnent à l’état passant dans un régime quasi-balistique. C’estpourquoi, je préconise aujourd’hui d’utiliser des simulateurs Monte Carlo dans l’analyse des dispositifspour le calcul du I ON . Par pragmatisme, la simulation Dérive-Diffusion peut être utilisée pourl’optimisation, mais elle doit être accompagnée d’une étude Monte Carlo pour connaître les erreurscommises et apporter des corrections éventuelles.En revanche, dans le cadre de la recherche en TCAD, seuls les simulations résolvant l’équation deTransport de Wigner ou le formalisme des fonctions de Green permettront d’étudier les MOSFETs desprochaines années.13. REFERENCES[1] “A critical Examination of the Assumptions Underlying Macroscopic Transport Equations forSilicon Devices”, M.A. Stettler, M.A. Alam and M.S. Lundstrom, IEEE TED., vol.40, n°4, 1993,pp: 733-740.[2] “Influence of Hydrodynamic Models on the Prediction of Submicrometer Device Characteristics”,M. Ieong and T. Tang, IEEE TED, vol.44, n° 12, 1997, pp: XX-XX[3] “Ballistic transport and properties of submicrometer Silicon MOSFET's from 300 to 4.2 K”P.J. Robertson, D.J Dumin, Electron Devices, IEEE TED, vol. 33, issue 4, 1986, pp: 494- 498.[4] “A discussion on the universality of inversion layer mobility in MOSFET's” Ma Yutao, Liu Litian,Li Zhijian, Electron Devices, IEEE TED, vol. 46, issue 9, 1999, pp:1920–1922.[5] “Universality of mobility-gate field characteristics of electrons in the inversion charge layer and itsapplication in MOSFET modelling”, S.-W. Lee, Computer-Aided Design of Integrated Circuits andSystems, IEEE TED, vol. 8, issue 7, 1989, pp:724–730.[6] “Effect of oxide interface roughness on the threshold voltage fluctuations in decanano MOSFETswith ultrathin gate oxides”, A. Asenov, S. Kaya, SISPAD 2000, pp: 135–138.[7] “Semiconductor Transport”, D.K. Ferry, New York: Taylor and Francis, 2000.[8] “DESSIS”, ISE, vol. 4a, 8.0, 2002.[9] “Determination of Si/SiO 2 interface roughness using weak localization” Anderson, W.R.; Lombardi,D.R.; Wheeler, R.G.; Ma, T.P.; Mitev, P.H.;VLSI Technology, Systems, and Applications, 1993.Proceedings of Technical Papers.1993 International Symposium on12-14 May 1993 pp: 82 - 85[10] “Physique des semi-conducteurs et des composants électronique”, 5 ème édition, H. Mathieu, EditionDunot, 2001.[11] “First order intervalley scattering in low dimensional systems”, Physical Review B, F. Monsef,P.Dollfus, S.Galdin, A.Bournel, vol. 65, 2002, pp: 212304- 04.[12] “Theory of Ballistic Nanotransistors”, IEEE Trans. Elec. Dev., A. Rahman, J. Guo, S. Datta, M. S.Lundstrom, vol.50, n°9, 2003, pp: 153-1864.[13] DIOS, ISE, vol 4a, 8.0,1995-2002.[14] “Transport models for advanced Device Simulation- Truth or Consequences?”, IBM ResearchReport, S.E. Laux and M.V. Fischetti, RC 20130 Engineering and Technology, 1995.[15] “Impact of Non stationary Transport Effects on Realistic 50nm MOS Technology”, D. Munteanu,G. Lecaral, G. Guegan, Modeling and simulation of Microsystems 2001, pp: 462-465.- 129 -

Chapitre III : Etude expérimentale des effets non stationnaires[16] “Potential Design and Transport Property of 0.1micrometre MOSFET with Asymetric ChannelProfile”, Odanaka and Hiroki, IEEE, Transaction on electron Device, Vol 44, n°4, April 1997.[17] “Symmetric Source/Drain Extension Transistor Structure for High Performance sub-50nm GateLength CMOS Devices”, 2001 Symposium VLSI Tech Digest of Technical Papers.[18] “Physics and Simulation of Quasi-Ballistic Transport in Nanoscale Transistors”, J.H. Rhew,Ph.D.thesis,2003.Disponible sur http://falcon.ecn.purdue.edu:8080/publications/PhD_thesis_JHR_2003.[19] “Efficient Monte Carlo Device Modeling”, Bufler, IEEE transactions on Electron Device, vol. 47,n°10, 2000.[20] “Characterization of the hot electron distribution function using six moments”, T. Grasser, H.Gosina, C. Heitzinger and S. Selberherr, Journal of Applied Physics, vol. 91, n°6, 2002, pp: 3869-3879.[21] “Non parabolic hydrodynamic formulations for the simulation of inhomogeneous semiconductordevices”, A.W. Smith and K.F. Brennan, Solid-State Electron., vol.39, n°11, 1996, pp: 1659-1668.[22] “Using six moments of Boltzmann’s transport equation for device simulation”, T. Grasser, H.Gosina, C. Heitzinger and S. Selberherr, Journal of Applied Physics, vol. 90,n°5, 2001, pp: 2389-2396[23] “Temperature Dependent Channel Backscattering Coefficients in Nanoscale MOSFETs”, M. Chen,IEDM 2002, pp: 39-42.[24] “MOSFET electron inversion layer mobilities-a physically based semi-empirical model for a widetemperature range”, Jeon, D.S.; Burk, D.E.; IEEE TED, vol 36, Issue 8, Aug. 1989 pp: 1456 – 1463.[25] “Thermal effects in n-channel enhancement MOSFET's operated at cryogenic temperatures” Foty,D.P.; Titcomb, S.L.; IEEE TED, vol. 34, issue 1, 1987, pp:107-113.[26] “Phenomenological physics of hot carriers in semiconductor”. In physics of Nonlinear Transport inSemiconductors”. Hess, K. Edited by D.K. Ferry, J. Backer and C. Jacoboni, Peplum, New York,1980.[27] “A Review of Hydrodynamic and Energy–Transport Models for Semiconductor DeviceSimulation”, T. Grasser, T.W. Tang, H. Kosina, S. Selberherr, Proceeding of IEEE, vol. 91, 2003,pp: 251-273.[28] “Semiconductor Transport”, D.K. Ferry, New York: Taylor and Francis, 2000.- 130 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiqueCHAPITRE IV :MODELISATION ANALYTIQUE DUTRANSPORT QUASI BALISTIQUE1. INTRODUCTIONLe chapitre précédent nous a permis de présenter une analyse expérimentale du transport nonstationnaire et quasi-balistique grâce à des comparaisons entre mesures expérimentales et résultats desimulations. De plus, la connaissance théorique du transport s’est ainsi grandement améliorée parl’intermédiaire de la spectroscopie des vitesses de porteurs par simulations Monte Carlo à l’aide deMONACO [1]. Dans ce quatrième et dernier chapitre, l’objectif est de capitaliser cette compréhensionen réalisant un modèle analytique qui possède la physique nécessaire et suffisante pour décrire letransport du régime ohmique au régime balistique et pour répondre aux problématiques actuelles, telleque l’augmentation des performances induites par les contraintes dans le silicium. Entrevus au chapitreII, de nombreux modèles compacts existent, chacun avec leurs spécificités, avantages et inconvénients.Pour réaliser ce nouveau modèle, l’approche de Landauer sera utilisée en améliorant la modélisationde la vitesse d’injection [2] par l’introduction d’un nouveau modèle de rétro-diffusion [3]. De plus, lavitesse et la fonction de distribution le long du canal seront modélisées. Ceci passera par unevalidation rigoureuse des probabilités de porteurs balistiques et de rétro-diffusion le long du canal viala spectroscopie d’interactions subies par les porteurs. De cette spectroscopie, la physique du transportélectronique sera extraite, et l’ensemble des phénomènes de transport observés sera modélisé. Ensuite,le modèle sera utilisé pour évaluer l’influence de la quantification dans le canal. Enfin, ce modèle seraadapté pour prendre en compte la contrainte dans les MOSFETs et pour effectuer des comparaisonsexpérimentales [4]. Au final, le modèle, mise en oeuvre dans MASTAR4 [5] en tant que nouvellefenêtre de travail « MASTAR QUASI BALISTIC » [6], apportera un nouvel éclairage sur le transportquasi-balistique.2. L’APPROCHE DE LANDAUER2.1. Rappels et cadre de l’étudeD’après le chapitre II, dans le cadre du modèle de Landauer, le courant ce modélisé avec [2] :I= WCox( V − V )GSthvtherm⎛1− R⎜⎝1+ RCC⎡⎢−qVDS⎞⎢1 − e⎟⎢⎠ ⎛1− RC⎞⎢1+⎢⎜⎟e⎣ ⎝1+ RC⎠/ kT−qVDS/ kT⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦IV- 1- 131 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiqueoù le courant est le produit de la charge en haut de la barrière et de la vitesse d’injection déterminéepar la vitesse thermique v therm et le coefficient de rétro-diffusion R C . Dans le cadre de l’étude avec lesimulateur MONACO, il faut déterminer précisément les paramètres et grandeurs de l’équation IV- 1en les validant par des simulations Monte Carlo. MONACO sera la référence tout au long de cetteétude bien que certains phénomènes physiques ne soient pas pris en compte. Citons les principalesapproximations du code actuel MONACO utilisé pour ce travail : Gaz électronique 3D Absence d’effet quantique [7]o Absence de décalage du centre de chargeo Absence d’influence de la quantification sur le transport Absence de la statistique de Fermi-Dirac [8] Structure de bandes analytiques non paraboliques [9] Description simplifiée du transistor : Absence de simulation du procédé de fabricationLe cadre de l’étude étant fixé, la première étape est d’étudier les limitations de la modélisation avecIV- 1 pour ensuite améliorer ce modèle.2.2. Limitations du modèle compact standardDans l’équation IV- 1, le point délicat est le calcul de la vitesse d’injection et plus précisément lecalcul de R C. Comme expliqué dans le chapitre II, la formulation habituelle est la suivanteR l= C l +IV- 2mfpOù l est la longueur ou le potentiel chute de kT/q et mfp le libre parcours moyen, avec :kT / ql = LchIV- 3VDSOr de nombreuses publications [10] et Lundstrom lui-même [11] avouent la simplicité etl’inexactitude de l’équation IV- 2 permettant de déterminer la valeur R C . En effet, elle ne permet pas,en régime fortement quasi-balistique, de calculer précisément la valeur de la rétro-diffusion commeillustré sur la Figure IV- 1. Cependant, cette expression est très utile car elle permet de comprendrefacilement la nature du transport dans sa continuité du transport diffusif au transport balistique. Pourobtenir les mêmes résultats, certains chercheurs ont rajouté des paramètres de calibrage α et β [12] :α⎛ kT / q ⎞l = L⎜ β⎟IV- 4⎝ VDS⎠30%25%20%Rc (%)15%10%5%0%0 20 40 60 80 100 120Longueur zone N (nm)Figure IV- 1: Comparaison entre la valeur de R C calculéeclassiquement (symboles noir) avec IV- 3 et les valeursissues d’un calcul Monte Carlo (symboles blanc) surFigure IV- 2: Influence du potentiel sur la valeur de R C enfonction de V GS . La tension aux bornes du canal et lacourbure du potentiel varient fortement avec la polarisation- 132 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiquedifférentes diodes n+nn+ dopées à 10 20 et 10 15 at/cm 3de la grille.Ces termes de calibrage cachent beaucoup de physique. Détaillons les points physiques qui sontlimitant dans les équations IV- 2 et IV- 3 [13] : Cette équation est basée sur le calcul de transmission à l’équilibre thermodynamique. Cetéquilibre est sous jacent à l’introduction du libre parcours moyen mfp et de la longueur l. Ordans les dispositifs ultimes, le transport est non stationnaire et ne peut en aucun cas êtreconsidéré proche de l’équilibre, comme une petite perturbation. Par conséquent, le libreparcours moyen et la distance caractéristique liée à kT ne sont pas des grandeurs pertinentespour le calcul de la rétro-diffusion. Cette différence est très visible sur la Figure IV- 1 où lecalcul habituel surestime fortement la rétro-diffusion car il ne prend pas en compte les effetsnon stationnaires. Par ailleurs, il est évident que la valeur de R C est fortement liée au calcul de l. Or l’équationIV- 2 et ses raffinements ne prennent pas en compte l’influence du profil de potentiel dans leMOSFET. L’équation IV- 3 est indépendante de V GS . Or la Figure IV- 2 montre que V GS a uneinfluence très importante sur le transport. Dans cette théorie, c’est le champ à la source qui estprédominant. Par conséquent il est nécessaire de bien calculer ce champ pour obtenir unevaleur de R C pertinente [14] De plus, certains auteurs ont montré que le drain pouvait contribuer légèrement à la rétrodiffusion[15]. Ainsi, tout le canal peut contribuer à la rétro-diffusion et donc à R C . Enfin, cette expression est indépendante des conditions d’injection des porteurs au niveau dela source. Or l’influence des conditions de diffusion dans la barrière de potentiel source/canaljoue un rôle non négligeable.Les limites de la modélisation classique étant expliquées, le nouveau modèle de rétro-diffusion va êtredéveloppé.3. NOUVEAU MODELE DE RETRO-DIFFUSION3.1. IntroductionLa spectroscopie et de multiples publications [1]-[16] ont montré que la région du canal proche de lasource joue le rôle prédominant dans le processus de transport de source à drain. Les autres zones ducanal ont un rôle, mais secondaire, par répercussion de l’influence électrostatique sur le profil dupotentiel. De plus, la première partie a montré les limites intrinsèques à la modélisation classique deLundstrom. L’objectif de ce chapitre est donc de développer un modèle analytique du coefficient derétro-diffusion pour permettre ensuite de construire un modèle analytique du courant performant. Pourdévelopper ce nouveau modèle et le valider ; les transistors du Tableau IV- 1 et décrit sur la Figure IV-3 seront simulés.- 133 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiqueMOSFET L ch (nm) EOT(nm) N canal (at/cm 3 )N°1 15 1 9.9x10 18N°2 25 1.5 5.7x10 18N°3 35 2 4.4x10 18Figure IV- 3: Description du transistor de l’étude. Lesjonctions sont de raideurs infinies.Tableau IV- 1: Tableau des transistors utilisés pour ledéveloppement et la validation du nouveau modèle de rétrodiffusion3.2. Modèle3.2.1. Schéma de basePour modéliser la rétro-diffusion, les simulations Monte-Carlo développées au chapitre III ont permisd’extraire les informations nécessaires à la compréhension du transport : historique des porteurs,probabilités de porteurs balistiques et nombre d’interactions dans le canal. Le coefficient de rétrodiffusionR C est obtenu en extrayant du spectre de vitesse en haut de la barrière de potentiel le ratio desflux négatif sur positif (Figure IV- 4) [17]. L’analyse de l’historique des porteurs montre que lafonction de distribution des porteurs injectés dans le canal tend à se séparer en deux populations, unepopulation d’électrons ayant une masse de conduction transverse et une population d’électrons ayantune masse de conduction longitudinale. De plus, le spectre de vitesse extrait au milieu du canalprésente une partie négative dont une fraction contribue au flux rétro-diffusé. (Figure IV- 4).L’évaluation de cette fraction à chaque position du canal requiert d’étudier séparément les porteursayant une masse transverse et ceux ayant une masse longitudinale. La partie balistique de ces deuxpopulations est mise en évidence par la présence de pics balistiques [18]. De plus, les spectres envitesse suggèrent qu’une estimation correcte de R C doit découler d’une intégration de la rétro-diffusionsur tout le canal.Figure IV- 4: Fonction de distribution le long du canal àV DS =V GS =0.8V pour le MOSFET n°2.Figure IV- 5: Description du modèle de rétro-diffusion- 134 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiquePour résumer, la première étape consiste à déterminer le profil de potentiel pour une large gamme detension V DS et V GS . Ensuite, les probabilités de porteurs balistiques et les probabilités de premièreinteraction doivent être calculées tout le long du canal. Ensuite, les probabilités de rétro-diffusion sontcalculées et sont intégrées le long du canal pour obtenir le taux de rétro-diffusion global. Lesdifférentes étapes sont résumées sur la Figure IV- 5. Bien que le transport ne soit pas parfaitement 1D,notamment dans les zones d’accès et en fin de canal, les porteurs seront supposés bien confinés àl’interface tout le long du canal.3.2.2. Modélisation du potentielAfin de prendre en compte les dépendances en V DS et en V GS du coefficient de rétro-diffusion, le profilde potentiel doit être modélisé le plus précisément possible au dessus et au dessous de la tension desaturation V DS-SAT, comme suggéré dans le paragraphe précédent. En effet, dans un MOSFET, la formedu potentiel dépend du régime : A V DS < V DS-SAT , le champ est presque constant en première approximation A V DS > V DS-SAT , il apparaît une zone à fort champ appelée zone de pincement par analogieavec le modèle de pincement dans les MOSFET à canal long, illustré sur la Figure IV- 6. Elledépend en première approximation de la profondeur de jonction X j , de l’épaisseur de l’oxydede grille T ox et de V DS-SAT . C’est un problème en 2 dimensions traité par [19] et [20].Ces auteurs ont déterminé la longueur de la zone de pincement P en utilisant le théorème de Gaussappliqué à la zone de pincement :où⎛ VDS−VDS−SAT⎞P = P⎜ +⎟Oln 1 IV- 5⎝ VDS−SAT⎠1 / 2⎛ εSI⎞O= ⎜ XjTOX⎟IV- 6εSIO2P⎝⎠Et où V DS-SAT est calculé de manière habituelle avec le modèle de déplétion du canal [21]:1 / 2qN ⎛⎞chεSi ⎜ ⎛ 2Cox⎞V = − φ + −⎟⎜⎜ +⎟DS −SATVG2F1 1 VGIV- 7C⎟ox⎝ ⎝ qNchεSi ⎠ ⎠Cette valeur constitue une valeur initiale pour la détermination du profil du potentiel dans le modèle. Ilest important de modéliser correctement V DS-SAT pour obtenir un potentiel correct et ensuite une valeurprécise de R C . L’hypothèse est que la courbure du potentiel dans le canal est en premier lieu induitepar l’électrostatique, plus que par les phénomènes de transport. Ceux-ci ne jouant que sur la tensioneffective vue par le canal. Cependant aucune modélisation ne peut remplacer une résolution numériquecomplète pour obtenir une tension de saturation correcte dans une configuration 2D. Ce paramètrecritique dépend de la nature du transport et est difficilement identifiable dans les simulations dedispositifs ultimes. Un autre problème est la nature même de la zone de pincement. En effet, dans lesMOSFET long, la zone de pincement est clairement identifiable (Figure IV- 6). Mais dans lesMOSFET nanométriques, les jonctions sont très proches et la charge dans le canal est très influencéepar les contacts source et drain. Les conditions électrostatiques pour l’apparition d’une zone depincement n’existent plus, comme illustrée sur la Figure IV- 7. Cependant, d’un point de vueélectrostatique, il y a un effet similaire, une chute de tension importante au niveau du drain, qui peuts’apparenter à une zone de pincement. En effet, en ce point le champ de confinement est très faible etles lignes de courants s’élargissent. Malgré ses limites, le modèle de pincement sera utilisé car il- 135 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiquedonnera satisfaction.Figure IV- 6: Description de la zone de la zone depincement sur un MOSFET de 500nm de longueur de grilleà V dd =1VFigure IV- 7: Description de la zone de la zone depincement sur un MOSFET de 20nm de longueur de grille àV dd =1V. Cette zone est noyée par les porteurs participant aucourant.Pour l’utilisation du modèle à des fins de simulations compacts, il est nécessaire d’intégrer àl’expression de V DS-SAT des corrections sur les résistances d’accès comme décrits dans les guidesd’utilisation des modèles compacts de type SPICE [22]. Cependant, les différents travaux exposés parla suite seront effectués avec l’expression IV- 7. Dans la zone de pincement, Wong [19] a montré quele potentiel variait de manière exponentielle. Au vu de ces travaux, une formulation nouvelle, IV- 8,est proposée pour modéliser le potentiel. Comme illustré sur la Figure IV- 8, en dessous de la tensionde saturation, le potentiel est modélisé simplement en fonction de V DS et L ch et au dessus de la tensionde saturation le profil de potentiel est multiplié par une fonction prenant en compte la dépendanceexponentielle dans la zone de pincement. Au final, la formulation complète est :V( x)⎧⎪⎪= ⎨⎪ V⎪⎩DS −SATαch( L − P)⎛ ⎛α ⎜V⎜Dx 1+⎜⎝ ⎝ V−VSDS −SATVDS⎛⎜⎝xLch⎞⎟⎠( L − P)chαLchααfor VDS< VDS −SAT⎞ ⎛ − L + ⎞⎞⎟chx−1exp ⎟⎜⎟ + V⎝ ⎠⎟⎠ P0⎠Sfor VDS> VDS −SATIV- 8Où α est la puissance permettant d’ajuster le profil du champ avant saturation. Le groupe de Purdue àcalculer α pour un transport purement balistique, α=4/3, et pour un transport purement diffusif, α=3/,2 [23]. Cette valeur dépend donc de la nature du transport.Figure IV- 8: Illustration de la modélisation dupotentiel.Figure IV- 9: Comparaison entre les différentes coupes dupotentiel suivant la profondeur sur un MOSFET de 65nm delongueur de grille à V dd =1V.- 136 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiqueCependant, pour notre modèle, α sera une valeur intermédiaire considérée comme constante et égaleà 1,4. Cette modélisation du potentiel est 1D, mais il est important de garder en tête que le profilchange de façon importante lorsque l’on se déplace sous la grille, comme illustrée sur la Figure IV- 9.Pour obtenir un potentiel représentatif, le profil est extrait au barycentre des charges environ 0.5nmsous l’interface. Par ailleurs, il faut considérer la chute de potentiel due aux résistances d’accès et leschutes de tension dues au débordement sous la grille. Ces chutes de tensions ne peuvent être négligées,surtout sur les petits transistors. La modélisation des résistances d’accès sera détaillée dans le prochainparagraphe. Ici, les chutes de tensions liées au débordement des extensions sous la grille vont êtrecalculées. A partir de la densité de porteurs dans les extensions N LDD et de la densité de porteurs dansles zones d’accumulation N acc-source , la chute de potentiel due au débordement vaut [24] :OVERLAP kT ⎛ N ⎞acc−source∆ V =⎜⎟SOURCEln+IV- 9q ⎝ NLDD⎠Et de la même manière la hauteur de barrière est déterminée à partir de la densité de porteurs en hautde la barrière N top et de la densité dans la zone d’accumulation N acc-source :kT ⎛ ⎞⎜Nacc−sourceE =⎟BlnIV- 10q ⎝ Ntop ⎠A partir de ces expression et de la détermination des résistances d’accès (voir ce qui suit), les tensionseffectives aux bornes du canal V S_EFF et V D_EFF peuvent être calculées. Ainsi ces nouvelles tensionssont introduites dans l’équation IV- 8. Sur les Figure IV- 10 et Figure IV- 11, la modélisation estvalidée par des comparaisons avec des simulations Monte Carlo.P o te n tia l (V )10,90,80,70,60,50,40,30,20,10Monte Carlo VD=VG=0,8VPotential model VD=VG=0,8V0 10 20 30 40 50 60 70 80x (nm)Figure IV- 10: Validation de la modélisation du potentiel àV dd =0.8V.Figure IV- 11: Validation de la modélisation du potentielpour différentes tension grille à V DS =0.8V.Cette validation a été effectuée sur un transistor dont les jonctions ont été modélisées par des boites dedopants de raideur infinie. Dans les transistors actuels, la raideur de la jonction est un paramètreimportant, jouant tant sur le transport [25] que sur les effets canaux courts. Ainsi, sur les petitsdispositifs où les jonctions ont une raideur donnée, la longueur électrique effective du canal varie enfonction des polarisations. En effet, plus la densité de porteurs dans le canal est élevée, plus lesporteurs masquent les dopants à la jonction source/canal, et la jonction perd de sa « qualité » pourcontrôler la longueur du canal. Dans cette configuration, le sommet de la barrière de potentiel sedécale vers la source sous l’influence du drain. Pour ne pas subir cet effet (qui nécessitera d’être prisen compte ultérieurement), les simulations seront effectuées sur des MOSFETS aux jonctionsabruptes. La modélisation IV- 8 est alors correcte et quelle que soient les polarisations : L elec =L ch .- 137 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistique3.2.3. Modélisation des résistances d’accèsPour les générations de transistor à grande longueur de grille, l’influence des résistances d’accès estnégligeable sur la tension aux bornes du canal. Aujourd’hui, la résistance du canal tend à devenir dumême ordre de grandeur que les résistances d’accès. Par conséquent, lorsqu’une tension drain estappliquée, la tension chute de tension effective dans le canal intrinsèque est plus faible. L’analyse dutransport dans les dispositifs courts doit donc être accompagnée d’une étude précise des résistancesd’accès. Pour la génération du nœud 45 nm la chute de tension aux bornes du canal est d’environ 10%[26]. Les résistances d’accès ont donc une influence directe sur le transport. Pour calculer cesrésistances d’accès, le modèle de Kim [27] [28] est repris. Les principes des calculs vont êtreexpliqués sans les détailles car ceux-ci sont très long. Le lecteur intéressé se reportera auxpublications. Dans ce modèle, Kim, calcul 4 résistances (Figure IV- 12) : Résistance de contact :Rconρc⎡ L= coth⎢LT⎣ LconT⎤⎥⎦IV- 11Où L con est la longueur effective du contact, L T la longueur de contact de transfert et ρ c larésistance contact déterminée par la concentration de dopants à l’interface et la hauteur debarrière du contact Schottky. Résistance des sources et drain : Intégration en 2D de la résistance basée sur l’équation IV-12 qui dépend du profil de dopage et de la profondeur de la jonction et des siliciures. Cetterésistance est composée de 2 résistances, une en profondeur et une autre en surface liée aucontact.Rsource / drain=∫ µ1( source / drain) qN( source / drain)IV- 12 Résistance des extensions : À partir du calcul des lignes de courant, par détermination deszones de charges espaces, Kim intègre, sur la zone où circule le courant, les différentesrésistances en fonction du dopage et des longueurs caractéristiques. Les calculs sont basés surIV- 12. Résistance chevauchement : En considérant séparément les régions en accumulation et lesrégions contenant peu de porteurs, Kim calcule la résistance de chevauchement en intégrantdes petites résistance dr sur la surface des extensions parcourues par le courant.Une fois toutes les composantes calculées, il suffit de les mettre en parallèle et/ou en série suivant leurdisposition. La résistance globale est ainsi obtenue. En reproduisant la méthodologie de Kim, desrésultats identiques sont obtenus, comme illustré sur la Figure IV- 13. Par la suite, il sera supposé queles résistances à la source et au drain sont identiques et que le courant n’influe pas sur les résistancesd’accès.- 138 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiqueFigure IV- 12: Schéma des résistances d'accès : résistancesiliciure, résistance des source et drain, résistance desextensions et résistance sous le recouvrement.Figure IV- 13: Comparaison entre les résultats de Kim et lemodèle de résistance d’accès. [27]3.2.4. Modélisation de la vitesse thermiqueDans ce paragraphe, le modèle de rétro-diffusion est développé étape par étape. Les comparaisonsavec les simulations Monte Carlo permettent de valider chaque étape du calcul. Premièrement, pourprendre en compte le comportement spécifique des porteurs à masse transverse et des porteurs à masselongitudinale, la partie positive de la fonction de distribution en haut de la barrière de potentiel estreprésentée par deux porteurs « virtuels », un transverse et un longitudinal, dont l’énergie et la vitessesont représentatives de f en ce point. Si la chute de potentiel dans les accès n’est pas trop importante etsi la barrière de potentiel est assez large, le transport dans la barrière de potentiel peut être considérécomme totalement à l’équilibre. Le transport y est totalement diffusif. Suivant la théorie de Landauer[2], la vitesse de diffusion des porteurs dans la barrière de potentiel est la vitesse moyenne des porteursayant une vitesse positive. En 1D la vitesse thermique est donnée par :v∞∫ 0therm=∫ ∞0( )v.f v dv( )f v dvIV- 13Cette vitesse est liée au coefficient de diffusion thermique D. La mobilité peut être alors déduite àpartir de la relation d’Einstein [21]. En 3D et avec la statistique de Boltzmann [9] on a :D =kTqµ =D = mfp × vkTqPar identification, la vitesse thermique s’écrit :vthq τm*c/ 2 = τ × v2 th/2IV- 14kT= 2 = 1.0×105 m sIV- 15π*mtherm/cLa vitesse thermique au carré est inversement proportionnelle à la masse effective de conduction. Il estimportant de noter que la vitesse de diffusion n’est pas la pondération des vitesses de diffusion dechaque vallée transverse et longitudinale. En effet le processus de diffusion est un processus lié à lasuccession des interactions avec les phonons pour créer naturellement un courant de diffusion. Lesporteurs passent ainsi de vallée en vallée lors de leur passage dans la barrière de potentiel. Par ailleurs,la partie précédente sur la modélisation du potentiel a suggéré que la raideur des jonctions avait un rôle- 139 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiquesur le transport. Afin de ne pas commettre d’erreur sur la vitesse d’injection, l’influence de la raideurde la jonction source/canal sur la vitesse thermique est modélisée. Pour faciliter l’étude, ce travail esteffectué sur une diode de 40nm de longueur pour la zone n avec une raideur de jonction de 4.5dec/nmà 0.11dec/nm. Le profil de potentiel à la source est alors fortement modifié comme illustré sur laFigure IV- 14. A partir de ces simulations, la vitesse thermique est calculée avec IV- 13. On s’aperçoitque la vitesse thermique est quasiment constante dans la barrière de potentiel et que la valeur de10 5 m/s est bien vérifiée sur la Figure IV- 15. Par ailleurs, pour les jonctions abruptes (en bleu) onts’aperçoit d’un léger refroidissement du gaz électronique dans la barrière de potentiel. En effet lalongueur de la barrière de potentiel, environ 5nm, n’est pas assez grande devant le libre parcoursmoyen dans la source (1nm) pour que le processus de diffusion soit complet.Figure IV- 14: Profil de potentiel à la jonction source/canalde diode n+/n/n+ avec 5 raideurs de jonctions différentesFigure IV- 15: Vitesse thermique à la jonction source/canalde diode n+/n/n+ avec 5 raideurs de jonctions différentesLes simulations précédentes ont été effectuées avec des dopages n’impliquant aucune chute depotentiel dans les accès. L’influence des accès est alors nulle sur la vitesse thermique. Or dans lesdispositifs ultimes, une chute de potentiel apparaît dans les accès. Les porteurs sont alors fortementaccélérés dans les accès d’une vitesse v acces . Le processus de diffusion ne se fait pas sur une distanceassez grande pour que le gaz puisse revenir à l’équilibre. La fonction de distribution en haut de labarrière de potentiel est alors légèrement décalée d’une vitesse de dérive, vitesse inférieure à celledans les accès comme illustrée sur la Figure IV- 16. Lorsque la barrière est large, la thermalisation, (oula diffusion) impose une fonction de distribution centrée.V ite s s e th e rm iq u e a u s o m m e t d e lab a rriè re (m e V )2.0E+051.8E+051.6E+051.4E+051.2E+051.0E+058.0E+046.0E+044.0E+042.0E+04Nacces=1e18 at/cm3Nacces=1e19 at/cm3Nacces=1e20 at/cm30.0E+001.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07Vitesse dans les acces (cm/s)Figure IV- 16: Illustration de la thermalisation incomplètedu gaz électronique dans la barrière de potentiel due à unechute trop importante du potentiel dans les résistancesFigure IV- 17: Evolution de la vitesse thermique en fonctionde la vitesse dans les accès. Cette vitesse dépend de la naturede la barrière (longueur, dopage...), mais cette courbe donne- 140 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiqued’accès.un bon ordre de grandeur de la capacité de thermalisation dela barrière.Pour évaluer l’influence de cet effet, des diodes n+/n/n+ de 40nm de zone centrale ont été simulées enfaisant varier le dopage des accès n+ : 10 18 ; 10 19 ;10 20 at/cm 3 . A partir de ces simulations Monte Carlo,la vitesse dans les accès v acces a été extraite par l’analyse spectroscopique et l’énergie en haut de labarrière a été évaluée. En supposant que l’ensemble de la fonction de distribution en haut de la barrièrede potentiel possède la même température électronique, à partir de l’énergie extraite, la températureélectronique est déduite par l’expression IV- 15 ainsi que la vitesse thermique:32kTtopε ( 0) = kTtopvtherm( 0) =IV- 16*2πmLa vitesse thermique fonction de la vitesse dans les accès est illustrée sur la Figure IV- 17. Malgré ladifficulté de prise en compte de ce phénomène, celui-ci est inclus dans la modélisation parl’intermédiaire de courbe de calibrage :εv314 2-7( 0) = kT × [ 2.10 v +10 v +0.9818]therm2access3-15 2-8( 0) = kT × [ 3.10 v +7.10 v +0.990]accessaccessaccesscIV- 172Où v acces est déterminée avec la chute de potentiel dans les accès et par le dopage de celui-ci. Pourdonner un ordre de grandeur de l’influence de ce phénomène, sur un MOSFET de 35nm avec unechute volontairement importante dans les résistances d’accès de 200mV, le ratio entre les courantsavec et sans prise en compte de la thermalisation incomplète, vaut 15% à V dd =1V. Cela prouve quemême pour des résistances d’accès raisonnables, l’influence de la thermalisation incomplète desporteurs dans la barrière de potentiel joue un rôle non négligeable sur la vitesse d’injection. La vitessethermique en haut de la barrière déterminée, il reste à développer le modèle spécifique de rétrodiffusion.3.2.5. Modélisation de la rétro-diffusionEn considérant le profil de potentiel calculé précédemment et l’énergie moyenne de la fonction dedistribution en haut de la barrière de potentiel, la vitesse des porteurs balistiques est calculée ainsi quel’énergie des porteurs balistiques à masses transverse et longitudinale. Ceci tout le long du canal :( x) kT qV( x )3ε = IV- 182bal top +L’énergie moyenne des porteurs en haut de la barrière est égale à l’énergie thermique car le transportdans la barrière de potentiel est diffusif. Cette approximation est valable dans une configuration de gaz3D. Cependant, le confinement quantique implique théoriquement de considérer le gaz en 2D.L’énergie moyenne globale est alors égale à kT. L’énergie des porteurs balistiques calculée, la vitesseen est déduite dans l’approximation de la masse effective avec la correction de non parabolicité. Larelation entre l’énergie et le vecteur d’onde est donnée par [9] :* * * * *x y z t l2⎡2 2 2h k kx y kzε ( 1+ αε)= ⎢ + +* * *2 ⎢⎣mxmymzavec m , m , m = m , m . La vitesse des électrons le long de l’axe du canal vaut [9] :⎤⎥⎥⎦IV- 19- 141 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiquevxh kx=*m , 1 2t l( + αε )IV- 20En considérant seulement la direction de source à drain (Ox), le profil de potentiel est maillé et lacomposante k x est déterminée maille par maille le long du canal avec l’équation suivante:qExdxkx( x + dx) = kx( x)+ IV- 21h vA partir de l’équation IV- 21 la vitesse des porteurs balistiques est calculée en fonction de x pour lesélectrons à masse transverse et les électrons à masse longitudinale. Un exemple de résultat est donnésur la Figure IV- 18. La vitesse augmente plus rapidement pour les porteurs transverses. En effet, leurmasse est plus faible. De plus, la courbure s’inverse en fin de canal car l’énergie est importante etl’effet de la non parabolicité apparaît.x( x)1.2E+0635B allistic Velocity (m /s)1.0E+068.0E+056.0E+054.0E+052.0E+05TransverseLongitudinalB allistic V elo city (m /s)30252015105TransverseLongitudinal0.0E+000 5 10 15 20 25Distance along the channel (nm )00 5 10 15 20 25Distance along the channel (nm )Figure IV- 18: Vitesse des porteurs balistiques lors de leurparcours de source à drain. MOSFET simulé n°2 à V dd =1VFigure IV- 19: Libre parcours dynamique (Dfp) pour lesporteurs à masse transverse et les porteurs à masselongitudinale. MOSFET simulé n°2 à V dd =1V.L’étape suivante consiste à déterminer le taux d’interaction global pour ces porteurs balistiques1/τbal(x). Pour cela, les fréquences des interactions principales dans le silicium à 300 K sont utilisées :- Interactions avec les phonons acoustiques.- Interactions avec les phonons inter-vallée d’ordre 0- Interactions avec les phonons inter-vallée d’ordre 1- Interactions avec les impuretés ionisées- Rugosité de surface SiSiO 2 .La fréquence globale est la somme des fréquences de chaque interaction :1 1( x) = ∑ ( x)ττTOTI IPour déterminer la probabilité de porteurs balistiques N ( )supposées suivre la distribution de Poisson [29] :dNdtbal1= −τTOTNbalbalIV- 22x le long du canal, les interactions sontIV- 23L’énergie augmentant le long du canal, la fréquence d’interaction du porteur balistique n’est pasconstante. Il est alors nécessaire d’introduire une nouvelle grandeur physique, le libre parcours- 142 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiquedynamique ou balistique : Dfp (« Dynamic free path » en anglais) :Dfp( x) ( x) .v ( x)= IV- 24τ totqui représente la distance moyenne que va parcourir le porteur balistique avant de subir uneinteraction. Comme tracé sur la Figure IV- 19, le Dfp augmente au début du canal dû fait del’accroissement de la vitesse et décroît ensuite car les porteurs gagnant de l’énergie voient leurprobabilité d’avoir une interaction avec un phonon augmenter. La probabilité Nbal(x+dx) pour unélectron d’être balistique en x+dx peut être déduite de la probabilité à la maille précédente Nbal(x) eninsérant IV- 24 dans IV- 23 :⎛ dx( ) ( )( ) ⎟ ⎞Nbalx + dx = Nbalx exp⎜−IV- 25⎝ Dfp x ⎠Où, par définition, N bal (0)=100%. La fonction Nbal(x) est tracée sur la Figure IV- 20 pour différentespolarisations de drain où la rugosité de surface n’est pas prise en compte. L’accord entre lessimulations Monte Carlo et le modèle est correct. Les tendances observées sont les mêmes. LorsqueV DS augmente, les porteurs « volent » plus vite vers le drain et leur probabilité d’être balistiqueaugmente. De plus, lorsque V GS augmente, (Figure IV- 21) à V DS donné, la tension de saturationaugmente, et donc le champ au début du canal également. Il y a alors plus de porteurs balistiques.balBallistic probability (%)100%90%80%70%60%50%40%30%20%10%0%0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24x (nm)MC VD=0.8VMC VD=0.5VMC VD=0.2VModel VD=0.8VModel VD=0.5VModel VD=0.2VFigure IV- 20: Probabilité de porteurs balistique àV GS =0.8V sur le MOSFET standard pour différentespolarisation de drainB allistic probability (% )100%90%80%70%60%50%40%30%20%10%0%MC VG=0,8VMC VG=0,5VModel VG=0,8VModel VG=0,5V0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24x (nm)Figure IV- 21: Probabilité de porteurs balistique àV DS =0.8V sur le MOSFET standard pour différentespolarisation de drainA partir de la probabilité Nbal(x), la probabilité pour le porteur balistique ait sa première interactionNscat(x) en fonction de x est donnée par :N( x + dx ) = N ( x ) − N ( x dx )IV- 26scat balbal+Après validation des probabilités Nbal(x) et Nscat(x) par simulation Monte Carlo, il est nécessaire decalculer la probabilité pour un porteur balistique venant de subir sa première interaction en x derevenir vers la source, et donc de contribuer au flux rétro-diffusé. Le groupe de Purdue a suggéré quele porteur diffusant revenait sans collision en calculant un cône de retour [11]. Ce modèle donne desrésultats corrects lorsque le canal est très peu dopé, mais cela est inexact dans un canal fortement dopécomme les MOSFETs massifs nanométriques. Il est nécessaire de pouvoir considérer des porteursrevenant avec plusieurs interactions. Cela est modélisé avec la théorie des matrices d’interactiondécrite dans [30]. Ainsi pour chaque position x, la transmission vers la source et vers le drain estcalculée suivant cette approche. En considérant que les interactions sont isotropes, la probabilité de larétro-diffusion en x est le rapport entre la probabilité de retour vers la source sur la somme des- 143 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiqueprobabilités source plus drain :PRc( x)TS( x)( x) + T ( x)= IV- 27TSLe coefficient de transmission est calculé classiquement selon [9] sous un champ répulsif E S (x):ξ − ξ'TS( x) =( ξ −ξ') xIV- 28ξe− ξ'Et le coefficient de transmission vers le drain sous un champ attractif moyen E D (x) [9] :( ) = ξ'−ξTDx( ξ'−ξ)( L )ξ− xIV- 29' e − ξOù1 1 ES,D ( x)ξ = and ξ ' = + E ( x) < 0mfp mfp kT q1 1 ES,D ( x)ξ ' = and ξ = + E ( x) > 0mfp mfp kT qDIV- 30Cette approche est illustrée sur la Figure IV- 22. En simulation numérique, la simulation requiert unematrice de diffusion en chaque maille. Dans le modèle, afin d’obtenir des résultats rapides, le champmoyen vers la source et vers le drain que voit le porteur après sont interaction est calculé avec :( x) − V ( )V 0E S( x)= IV- 31xV ( x) − V ( Lch)E D( x)= IV- 32L − xchUne remarque est nécessaire à ce niveau du modèle. Dans l’expression IV- 30, le mfp est employé. Orde la même manière que pour le calcul de R C avec IV- 3, cette grandeur est inadaptée, mais permet toutde même de décrire correctement le transport et de calculer les probabilités de rétro-diffusion. Pouraméliorer le calcul, le mfp peut être remplacé par une combinaison du mfp et du Dfp, avec unedépendance exponentielle empirique semblable à l’équation de Poisson. On obtient alors deux mfp,l’un pour le calcul de la transmission vers la source et un autre pour le calcul de la transmission vers ledrain :mfpmfp*−mfp / x( S ) = Dfp + ( Dfp − mfp) e−mfp / ( L −x)( D) = Dfp + ( Dfp − mfp) e→ IV- 33* ch→ IV- 34Les expressions IV- 33 et IV- 34 signifient simplement que la longueur caractéristique à utiliser dansIV- 30 est plutôt le Dfp lorsqu’il y a très peu d’interaction sur le trajet vers la source ou le drain, et lemfp lorsqu’il y a un grand nombre d’interactions qui relaxent la vitesse. A partir des expressions IV-30, les probabilités de rétro-diffusion peuvent être déterminées le long du canal comme illustré sur laFigure IV- 23. Plus le drain est polarisé fortement, plus les probabilités de retour vers la sourcediminuent et seules les interactions qui ont lieu vers la source sont susceptibles de renvoyer lesporteurs au sommet de la barrière. Sur la Figure IV- 23, à V DS =0, la probabilité est linéaire. En effet, encalculant IV- 30 pour un champ nul, on obtient pour les transmission source et drain :mfpT S( x)= IV- 35x + mfp- 144 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiqueEt de IV- 27 , on déduit :PRcTD( x)( x)= mfpL − x + mfpIV- 36chLch− x + mfp== 0 VIV- 37L + mfpVDS ch2B ackS catterin g p ro b ab ility (% )100%90%80%70%60%50%40%30%20%10%0%VDS=0.8VVDS=0.2VVDS=0V0 5 10 15 20 25X (nm)Figure IV- 22: Illustration de la probabilité de rétrodiffusionaprès une interaction en x.Figure IV- 23: Probabilité de rétro-diffusion en x pourdifférentes polarisation drain à V GS =0.8V sur le MOSFET n°2Le nombre de porteurs subissant leur première interaction en x étant connu, ainsi que leur probabilitéde retour, en intégrant sur tout le canal, le coefficient de rétro-diffusion peut être déterminé. En effet,en multipliant la probabilité de rétro-diffusion par la probabilité de première interaction en x et enintégrant sur une quantité x 0 du canal, on obtient la fraction de rétro-diffusion pour les porteurs àmasse transverse et à masse longitudinale :Ft ,lR Cxt ,l( x) = ∫ PRc( x )Nscat( x ) dx0IV- 38Comme illustré sur la Figure IV- 24, le modèle permet de représenter assez fidèlement, la fraction derétro-diffusion, en accord avec la spectroscopie de porteurs des simulations Monte Carlo. Environ35% (respectivement 50%) de porteurs à masse transverse (resp. à masse longitudinale) injectés dansle canal reviennent vers la source- 145 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiqueFraction of BackScattering (%)60%50%40%30%20%10%0%model Averagemodel Transversemodel LongitudinalSpectroscopy Monte Carlo0 5 10 15 20 25X (nm)Figure IV- 24: Fraction de rétro diffusion à V GS =V DS =0.8Vsur le MOSFET standard.Rc (% )8075VDD MCVGS=0.6 VDS=0.8 MCVDD ModelVGS=0.6 VDS=0.8 Model70VDS=0.3 VGS=0.8 MCVDS=0.3 VGS=0.8 Model656055504540353010 15 20 25 30 35 40Lch (nm)Figure IV- 25: Coefficient de Rétro diffusion pour les 3MOSFETs étudiés et pour différentes tensions de drain etde grille. Il y a environ 3% d’erreur en moyenne.Ensuite en pondérant les fractions de rétro-diffusion par les proportions de porteurs dans les valléesrespectives et en intégrant tout le long du canal, à x = Lch, le coefficient R C est déterminé avec :etF2 1= IV- 39tl( x) F ( x) + F ( x)R C RC3 3R( L )RCc= FRC chIV- 40Sur la Figure IV- 25, le modèle est en accord avec les simulations Monte Carlo des 3 MOSFETs. Lemodèle permet ainsi de représenter correctement la physique du transport hors équilibre et quasibalistique.Au final ce modèle permet de déterminer la vitesse d’injection en haut de la barrière depotentiel. Il reste à utiliser ce nouveau modèle et l’insérer dans l’équation IV-1 pour déterminer lecourant.3.3. Analyse spectroscopiqueComme illustré sur la Figure IV- 25, le MOSFET le plus court a le coefficient R C le plus faible et lavitesse d’injection la plus grande. Les profils de vitesse le long des 3 MOSFET sont tracés sur laFigure IV- 26. Bien que la vitesse maximale soit sensiblement la même sur les 3 MOSFETs, la vitessemoyenne est différente. En effet, sur les dispositifs courts, le champ est plus intense et les porteurssont accélérés plus rapidement. La thermalisation au niveau du drain égalise quant à elle la vitessemaximale. D’un point de vue spectroscopique, il apparaît un nombre plus important de porteursbalistiques au drain sur le dispositif le plus court, et le nombre moyen d’interactions dans le canalaugmente avec L ch comme illustré sur la Figure IV- 27.- 146 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistique14%13%12%Proportion (%)11%10%9%8%7%6%5%4%3%2%1%25nm15nm35nm0%0 5 10 15 20 25 30 35 40Nombre d'interactionFigure IV- 26: Comparaison des profiles de vitesse desporteurs sur les 3 MOSFET à V DD =0.8V.Figure IV- 27: Comparaison de la spectroscopie de porteurssur les 3 MOSFETs à V dd =0.8V. Plus le dispositif est long,moins de porteurs balistiques et le nombre d’interactionmoyen augmente.4. MODELISATION ANALYTIQUE DU COURANT4.1. Modélisation du courantLe modèle de rétro-diffusion va être utilisé dans cette partie pour calculer le courant dans lesMOSFETs. L’expression utilisée est :I= WCox( V − V )GSthvtherm⎛1− R⎜⎝1+ RCC⎡⎢⎞⎢1 − e⎟⎢⎠ ⎛1− R⎢1+⎢⎜⎣ ⎝1+ R−qVDS/ kTCC⎞⎟e⎠−qVDS/ kT⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦IV- 41Le calcul du coefficient de rétro-diffusion R C et l’étude sur v therm permettent de déterminer la vitesse.La difficulté est de déterminer la charge en haut de la barrière. Suivant la modélisation classique avecla tension de seuil, il est nécessaire de déterminer correctement les effets canaux courts en haut de labarrière de potentiel. L’étude de ces effets 2D sur la charge n’ayant été pas menée complètement, onutilise pour la validation de notre modèle deux paramètres de calibrages sur les effets canaux courtspermettant de retrouver la valeur issue de la simulation Monte Carlo pour le point à V dd . Ensuite, àpartir des paramètres du MOSFET et des polarisations de drain V DS et de grille V GS , la charge en hautde la barrière de potentiel est calculée avec le modèle décrit dans [31]. A partir de la charge et de lavitesse à l’injection, le courant est obtenu suivant la procédure de convergence du courant décrite surla Figure IV- 28. Ainsi, à partir d’une valeur de courant I DS , la chute de potentiel dans les accès estévaluée et l’allure du profil de potentiel est déduite. A partir de celui-ci, on calcule à nouveau R C , lavitesse d’injection et le courant ; et ainsi de suite jusqu’à convergence du courant.En utilisant cette structure de modèle, les caractéristiques I(V) sont obtenues. Sur les Figure IV-29, Figure IV- 30 et Figure IV- 31, la comparaison avec les simulations Monte Carlo montre un bonaccord pour les 3 MOSFETs.- 147 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistique16001400VGS=1V VGS=0.8V VGS=0.6VVGS=0.4V model12001000I (A /m )80060040020000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1V DS (Volts)Figure IV- 28: Organigramme du code. A partir desparamètres du MOSFET, la charge d’injection est calculée.Ensuite, par un processus itératif, la vitesse d’injection estobtenue. Et au final, le courant.Figure IV- 29: Caractéristique I(V) du transistor delongueur de canal 25nm. Le modèle en ligne continue, et lessimulations Monte Carlo sont représentées par les symboles.I (A /m )110010009008007006005004003002001000VGS=1V VGS=0.8V VGS=0.6VVGS=0.4Vmodel0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1V DS (Volts)I (A/m)200018001600140012001000800600400200VGS=1V VGS=0.8V VGS=0.6VVGS=0.4V model00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1VDS (Volts)Figure IV- 30: Caractéristique I(V) du transistor delongueur de canal 35nm. Le modèle en ligne continue, et lessimulations Monte Carlo sont représentées par les symboles.Figure IV- 31: Caractéristique I(V) du transistor de longueurde canal 15nm. Le modèle en ligne continue, et lessimulations Monte Carlo sont représentées par les symboles.4.2. Mise en conformité avec la mobilité universelle.4.2.1. Calibrage des fréquences d’interaction sur la mobilité universelleLes simulations précédentes ont été effectuées sans prendre en compte la rugosité d’interface et avecun écrantage fixe des impuretés. Ce qui signifie que pour le calcul des fréquences d’interactions, lalongueur caractéristique d’écrantage était calculée avec la concentration d’impuretés dans le canal etnon avec la concentration locale de porteurs dans le canal. Pour obtenir des simulations qui soient enaccord avec les courbes de mobilité universelle, les corrections pour prendre en compte l’écrantagedynamique et la rugosité de surface vont être incluses. Impuretés avec écrantage « local »La nouvelle fréquence d’interaction est déterminée avec la nouvelle longueur de Debye L D [9] :- 148 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiqueLDε SikT= IV- 4222qNLa difficulté dans le cadre de l’écrantage dynamique est de déterminer proprement N ecr . En effet, surles premiers nanomètres, la densité de porteurs qui écrante est élevée mais elle chute très vite et évoluele long du canal. Ainsi, la prise en compte de l’influence de l’écrantage local est une influence assezdélicate car évoluant le long du canal. Par conséquent, il est préférable d’utiliser une approche pluspragmatique, où N ecr est la charge moyenne dans le canal. Pour cela il est nécessaire de déterminer lacharge moyenne Q ch par unité de surface et de déterminer l’épaisseur moyenne du canal T ch .Qch/ qN ecr = IV- 43TchOù l’on a :1Qch= Cox( VGS−Vth)IV- 442En ce qui concerne la valeur de T ch , il faut analyser le dispositif en 2D. En effet, comme décrit sur laFigure IV- 9, le transport n’est pas parfaitement 1D et l’épaisseur du canal est fortement liée à lacapacité de la source d’injecter les porteurs dans le canal. Sur la Figure IV- 33 sont écrites les valeursde T ch . Pour déterminer cette valeur, on mesure sur les simulations Monte Carlo la distance où ladensité de porteurs est supérieure à la concentration de dopants. Les mesures montrent que plus V GSaugmente plus l’épaisseur du canal augmente, cela est dû au fait que il est nécessaire d’injecter plus deporteur dans le canal et donc une partie plus importante de la jonction source contribue à l’injection.ecr10Distance along the MOSFET (nm)0 20 40 60 80 100 120 140 160 180C ha rge (C /m 2)10.10.01VGS=0.4V Tcanal=3nmVGS=0.8V Tcanal=8.7nmRéférence écrantage classiqueVGS=0.6V Tcanal=6.9nmVGS=1V Tcanal=9.6nm0.0010.0001Figure IV- 32: Comparaison de la vitesse des porteurs sur leMOSFET n°2 à V dd =0.8V avec les différentes options : sansrugosité, ajout de l’écrantage dynamique et l’ajout de larugositéFigure IV- 33: Comparaison de la charge en fonction de V GSet de la référence N canal servant à l’écrantage classique sur leMOSFET n°2 à V DS =0.8V. Plus V GS augmente plus la chargeglobale est proche de la référence et le ratio entre les 2courants avec et sans écrantage dynamique diminueAu centre du canal, en première approximation, l’épaisseur du canal est déterminée classiquement.Pour prendre en compte l’injection des porteurs venant de la source, une approche empirique estchoisie où l’épaisseur moyenne du canal vaut :ch⎡ Lch⎤( X − 2X ) exp − ⎥ ⎦T ch = 2X bar + j bar ⎢IV- 45⎣ ℘- 149 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiqueOù ℘ est une valeur de calibrage égale à 100 pour retrouver les valeurs de T ch des simulations.Où X jla valeur de la jonction qui contribue à l’injection des porteurs dans le canal et X bar la profondeur dubarycentre des charges. Elle est déterminée avec :XchjQtopTch= Xj× IV- 46Next Rugosité de surfaceEt la fréquence d’interaction avec la rugosité de surface est calculée avec l’expression de Ferry [32] :Avec1τSR*m ( EavgLq ∆ )=3 22hεESiavg22 2π∫+012 2( 1 k L cos( θ / 2 ))si3/2dθIV- 47( Qdep+ 0.5Qtop)= IV- 48εPour que le modèle soit continu, du régime balistique au régime diffusif, il est nécessaire qu’à partirdes fréquences d’interactions, un libre parcours moyen soit obtenu, et compatible avec les courbes demobilité expérimentale. La théorie de Lundstrom est continue entre les différents régimes carl’équation IV- 1 peut s’écrire avec la mobilité, comme expliqué dans [33]. L’ensemble desmécanismes d’interaction n’étant pas totalement pris en compte et l’influence des effets deconfinement non plus, il est nécessaire de mener un calibrage pour obtenir la courbe de la mobilitéuniverselle en utilisant une fonction de calibrage CALIB(E eff ) :5( E eff) 2.93×exp[ − E 10 × 0,003] + 1CALIB IV- 49=effCette courbe est égale à 1 pour la majorité des dispositifs que l’on étudie à l’état passant. Pour lesfaibles valeurs de champ effectif, d’autres phénomènes ne sont pas pris en compte. Par conséquent, lafonction CALIB(E eff ) augmente jusqu’à environ une valeur de 3 pour les très faibles champs deconfinement. Ensuite, en insérant le dopage, les autres courbes de mobilité sont retrouvées, commeillustrée sur la Figure IV- 34.La courbe expérimentale de mobilité ayant été retrouvée, il est nécessaire de mener la validation avecdes simulations de transistors. Pour cela, le MOSFET n°2 est simulé dans 3 configurations : MOSFET n°2-A : L ch = 25nm : ECRANTAGE CLASSIQUE et SANS RUGOSITE MOSFET n°2-B : L ch = 25nm : ECRANTAGE LOCAL et SANS RUGOSITE MOSFET n°2-C : L ch = 25nm : ECRANTAGE LOCAL et AVEC RUGOSITEPour analyser l’influence de l’écrantage local et de la rugosité, le coefficient de rétro-diffusion estcomparé en fonction des polarisations V DS et V GS. Sur la Figure IV- 35, on s’aperçoit aisément que R Cest dépendant de V DS et V GS dans le même ordre d’importance. Par comparaisons de ce graphe avecceux avec et sans rugosité et écrantage local, l’influence de ces phénomènes physiques en fonction despolarisations est visible.- 150 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistique1000mueff(cm²/V/s)100universal mobility3,90E+157,20E+163,00E+177,7E+172,40E+183e17 model2.40E+18Series910 100 1000 10000Eeff(kV/cm)RC (%)100%90%80%70%60%50%40%30%20%10%0%0.4VGS (Volts)0.60.80.810.50.30.10VDS (Volts)0.9-10.8-0.90.7-0.80.6-0.70.5-0.60.4-0.50.3-0.40.2-0.30.1-0.20-0.1Figure IV- 34: Validation de la courbe de mobilité universellesur les mesures expérimentales de Takagi [34]Figure IV- 35: Coefficient de rétro diffusion R C enfonction de V DS et V GS. Il apparaît clairement que plus V DSet V GS augmente plus le coefficient de rétro-diffusionaugmente. La vitesse d’injection est dépendante de V DS etV GS . Sur le MOSFET n°2.Les simulations des 3 MOSFETs 2-A, 2-B et 2-C donnent les profils de vitesses, tracés sur la FigureIV- 32. On s’aperçoit que la vitesse en classique est plus importante que celle avec l’écrantage local.Cela s’explique simplement : Dans le cas classique, il y a 5.7 10 18 électrons par cm 3 qui écrantent lesimpuretés. Or dans nos simulations, il y a moins de porteurs dans le canal (c.f. Figure IV- 33). Parconséquent, l’écrantage est moins important, il y a donc plus d’interactions avec les impuretés et lecourant est plus faible de 20% environ sur le MOSFET n°2. Ce courant plus faible est principalementdû à la différence des vitesses et non à la variation de la concentration de porteurs dans le canalcomme le montre la Figure IV- 32. En ce qui concerne la rugosité d’interface, le fait d’avoir inséré unpourcentage de porteurs diffusif de 15% à l’interface Si-SiO 2 engendre une perte de courant de 10%environ. La concentration ne bouge pas entre les différentes options.4.2.2. Calibrage de l’écrantage local et de la rugosité Impuretés avec écrantage localAvec la modélisation précédente pour la concentration N ecran , les valeurs Monte Carlo du courant sontobtenues comme illustré sur Figure IV- 37. De plus, le modèle est évalué en comparant les ratios descourants obtenus avec et sans écrantage local pour le modèle et les simulations Monte Carlo sur laFigure IV- 36. Les résultats sont corrects sans être excellents. Cela est dû notamment à la complexitéde la modélisation 2D de l’écrantage local. Les simulations Monte Carlo montrent que lorsque V GSdiminue, il y a moins de porteurs dans le canal et donc l’écrantage est plus fort et le ratio plus élevé.- 151 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistique1VGS=1V VGS=0.8V VGS=0.6VVGS=0.4V model14001200VGS=1V VGS=0.8V VGS=0.6VVGS=0.4V model0.81000Iclas/Iecr -10.60.4I(A/m)8006004000.220000 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2V DS (Volts)00 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2V DS (Volts)Figure IV- 36: Gain entre le courant avec écrantageclassique et avec écrantage local sur le transistor delongueur de canal 25nm. Le modèle en ligne continue, et lessimulations Monte Carlo sont représentées par les symbolesFigure IV- 37: Caractéristique I(V) du transistor de longueurde canal 25nm avec de l’écrantage local. Le modèle en lignecontinue, et les simulations Monte Carlo sont représentéespar les symboles.Pour évaluer l’influence de l’écrantage sur R C (V DS ,V GS ) la Figure IV- 38 est tracée. Rugosité de surfaceMaintenant, à la simulation avec écrantage local, on rajoute l’interaction de rugosité de surface. Lepourcentage de porteurs subissant une interaction diffusive étant de 15%, (valeur non calibrée sur de lamobilité) le I ON est calé avec la rugosité en jouant sur l’amplitude des défauts dans l’approche deFerry. Avec une amplitude ∆ de 0,1nm dans IV- 47, on obtient la courbe Figure IV- 39 qui est enaccord avec les simulations Monte Carlo. Pour preuve, l’accord du modèle avec les simulations MonteCarlo pour les ratios obtenus entre courant avec et sans rugosité. Ils sont indiqués sur la Figure IV- 40.1400RC (%)100%90%80%70%60%50%40%30%20%10%0%0.4V GS (Volts)0.60.80.810.50.30.10VDS (Volts)0.9-10.8-0.90.7-0.80.6-0.70.5-0.60.4-0.50.3-0.40.2-0.30.1-0.2Figure IV- 38: Coefficient de rétro diffusion R C en fonctionde V DS et V GS. Il apparaît clairement que plus V DS et V GSaugmentent plus le coefficient de rétro-diffusion augmente.La vitesse d’injection est dépendante de V DS et V GS (aumême ordre de grandeur de dépendance)0-0.1I(A/m)120010008006004002000VGS=1V VGS=0.8V VGS=0.6VVGS=0.4Vmodel0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2V DS (Volts)Figure IV- 39: Caractéristique I(V) du transistor de longueurde canal 25nm avec la rugosité et l’écrantage local. Lemodèle en ligne continue, et les simulations Monte Carlo sontreprésentées par les symbolesPlus V GS augmente, plus le champ de confinement est important et les porteurs subissent davantaged’interactions diffusives sur l’interface et les ratios des courants avec et sans rugosité augmentent. Parailleurs, plus V DS augmente, plus les porteurs évolue rapidement vers le drain et ont moins de chancede subir des interactions. Par conséquent, les ratios diminuent. Cet effet est visible de la mêmemanière sur la courbe sur R C (V DS ,V GS ) de la Figure IV- 41.- 152 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistique0.3INoRugo/IRugo -10.250.20.150.10.050VGS=1V VGS=0.8V VGS=0.6VVGS=0.4Vmodel0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2V DS (Volts)R C (%)100%90%80%70%60%50%40%30%20%10%0%0.4V GS (Volts)0.60.80.810.50.30.10V DS (Volts)0.9-10.8-0.90.7-0.80.6-0.70.5-0.60.4-0.50.3-0.40.2-0.30.1-0.20-0.1Figure IV- 40: Gain entre le courant avec rugosité et sansrugosité sur le transistor de longueur de canal 25nm. Lemodèle correspond aux lignes continues, et les simulationsMonte Carlo sont représentées par les symboles.Figure IV- 41: Coefficient de rétro-diffusion R C en fonctionde V DS et V GS. Il apparaît clairement que plus V DS et V GSaugmentent plus le coefficient de rétro-diffusion augmente.La vitesse d’injection est dépendante de V DS et V GS (aumême ordre de grandeur de dépendance). Sur le MOSFETn°2.4.3. Analyse spectroscopiqueCertains résultats et conclusions précédents peuvent être analysés avec la spectroscopie de porteurs.En effet, sur les Figure IV- 42 et Figure IV- 43 sont tracées la spectroscopie des porteurs au drain et laprobabilité de porteurs balistiques respectivement. Ces courbes donnent les mêmes tendances que lecourant ou R C . Par ailleurs, ces probabilités peuvent être corrélées au nombre moyen d’interactions issues de la courbe de la Figure IV- 42 respectivement 5.7, 9.6 et 12.5. Nous verrons par la suiteque les courbes de la Figure IV- 42 peuvent être modélisée..14%120%Proportion (%)12%10%8%6%4%2%écrantage classique =5.7écrantage dynamique =9.6écrantage dynamique + rugosité =12.5P ro b a b ilité d e p o rte u rsb a lis tiq u e s (% )100%80%60%40%20%écrantage classique Nbal=6%écrantage dynamique Nbal=3%écrantage dynamique + rugosité Nbal=1.7%0%0 10 20 30 40 50Nombre(s) d'interactions dans le canalFigure IV- 42: Comparaison de la spectroscopie de porteurssur le MOSFET n°2 à V dd =0.8V avec les différentesoptions : sans rugosité, ajout de l’écrantage local et ajout dela rugosité.0%0 5 10 15 20 25Distance le long du canal (nm)Figure IV- 43: Comparaison de la probabilité de porteursbalistiques sur le MOSFET n°2 à V dd =0.8V avec lesdifférentes options : sans rugosité, ajout de l’écrantage localet ajout de la rugosité.- 153 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistique4.4. Calcul de la charge en haut de la barrière4.4.1. IntroductionDans la modélisation « classique », le courant est le produit de la charge moyenne et de la vitessemoyenne. Dans la théorie de Landauer, le courant est le produit de la charge et de la vitesse en haut dela barrière de potentiel. La vitesse d’injection a été modélisée précédemment, mais la charge en hautde la barrière demande une attention toute particulière également. Un schéma de réflexion va être iciproposé. Faute de temps, une modélisation complète et rigoureuse n’a pas été effectuée. Cependant, cequi suit va permettre d’appréhender les problèmes liés à la détermination de Q top . Pour calculer cettecharge, la théorie sur le calcul des effets canaux courts va être reprise et améliorée.4.4.2. RappelsLorsque la longueur L elec du canal du transistor diminue, plusieurs effets viennent perturber lefonctionnement du transistor MOS dans le régime sous le seuil. Lorsque la longueur de la grilledevient comparable à la longueur l ZCE des zones de charge espace autour de la source et du drain, lepotentiel dans le canal est fortement diminué comme illustré sur la Figure IV- 44. La tension de seuildiminue alors car la barrière de potentiel est abaissée ou, vu d’une autre façon, la déplétion desjonctions à la source et au drain ne peut plus être négligée pour le calcul du dopage moyen dans lecanal. Cet effet est appelé « Short Channel Effect » (SCE). De plus lorsque le drain est polarisé, sonaction se rajoute pour abaisser à nouveau la barrière de potentiel : C’est l’effet DIBL (« Drain InducedBarrier Lowering »). (Figure IV- 45)Figure IV- 44: Comparaison du potentiel dans untransistor où la longueur électrique est grande et petitedevant les longueurs de zone de charge espace.Figure IV- 45: Comparaison du potentiel dans un transistor oùla polarisation du drain est nul ou à l’état ON sur des dispositifoù les longueurs de zone de charge espace sont du même ordrede grandeur que la longueur électrique.La mesure de SCE s’effectue en comparant la tension de seuil d’un grand dispositif et à celle dutransistor que l’on souhaite étudier. Ceci à V DS =0. La mesure du DIBL s’effectue en comparant latension de seuil à V DS =0 et V DS = V dd . Pour déterminer ces valeurs SCE et DIBL, la théorie « DopingVoltage Transformation » est utilisée [35]. Cette méthode est très rapide et très astucieuse. Enreprenant l’équation de Poisson :∂ Ψ∂ ΨqN2 22ch∇ Ψ ( x, y)= + =2 2∂x ∂ y εSiIV- 50- 154 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiqueon peut remarquer que la courbure du potentiel dans le sens longitudinal peut être assimilée à unediminution locale du dopage :∂ Ψ∂q⎛ε∂ Ψ ⎞⎟⎠2 22ySi= ⎜ Nch−εSiq2∂xD’où le dopage effectif peut s’exprimer de la sorte :N*ch⎝ε= Nch−q2Si∂ Ψ2∂ xIV- 51IV- 52On voit dans l’équation précédente que le dopage effectif dépend de la courbure du potentiel dans lesens source drain (Oy) : Plus les jonctions sont proches plus le potentiel se courbe le long du canal etle dopage effectif diminue. A partir de cette équation, les effets SCE peuvent être calculé. A V DS =0, lepotentiel est de la forme suivante :φZCE2Ψ ( x) = − x + φ2SIV- 53LOù Φ ZCE est la chute de tension dans la zone de charge espacekT ⎛ NLDD N ⎞chφZCE= ln ⎜ 2 ⎟q ⎝ ni⎠En reprenant le calcul de la tension de seuil avec IV- 52, on obtient [5] :chdep ox Si1 2LchεoxZCEIV- 54T T εSCE = ξ φIV- 55Avec un paramètre de calibrage ξ 1 , qui permet de retrouver les résultats des simulations ou desmesures. De la même manière, en supposant qu’au seuil, en fonction de la polarisation de drain lepotentiel est de la forme suivante :VDS2Ψ ( x) = − x + φ2SIV- 56LLe DIBL vaut :chT T εDIBL = ξ VIV- 57dep ox Si2 2LchεoxAvec un paramètre de calibrage ξ2, qui permet de retrouver les résultats des simulations ou desmesures. Ces effets sont purement électrostatiques car les mesures se font sous le seuil où le transportélectronique n’est pas d’influence sur les mesures.DS4.4.3. Définition de SCE top et DIBL topMais lorsque le MOSFET est à l’état passant, à V GS = V dd, les effets canaux courts pour le calcul de lacharge en haut de la barrière de potentiel ne sont pas identiques à ceux sous le seuil. Ils évoluent avecles polarisations. Pour quantifier cet effet, le MOSFET référence est simulé en Dérive Diffusion à V DS= 0 pour différents V GS , puis la charge et l’effet SCE en haut de la barrière de potentiel sont évalués. Lavariation de SCE en haut de la barrière de potentiel est reportée sur la Figure IV- 46. A V GS = V th onretrouve la valeur du SCE classique, ensuite les effets canaux courts diminuent car la charge induitepar la grille écrante les zones de déplétions qui sont à l’origine du SCE [35] comme illustré sur laFigure IV- 47. Par conséquent, il est nécessaire de réévaluer la tension Φ ZCE pour calculer SCE.- 155 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistique0.60.50.4SCE (Volts)0.30.20.100 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6VGS (Volt)Figure IV- 46: Evolution des effets canaux courts enfonction de V GS sur un MOSFET de 45nm de longueur degrille dessiné avec MDRAW avec des profile de dopage« réel »Figure IV- 47: Evolution du potentiel dans le canal enfonction de V GS à V DS =0. Plus V GS augmente plus l’effet desjonctions sur le calcul de la tension de seuil perd del’importance.Avant de commencer les calculs il est nécessaire de redéfinir les grandeurs. Il ne s’agit pas de refaireun calcul de SCE et DIBL qui permettent de déterminer le décalage de la tension de seuil, mais définirdeux grandeurs SCE top et DIBL top , qui correspondent aux tensions à rajouter à la tension pour retrouverles valeurs de la charge en haut de la barrière de potentiel.Par définition, on a donc :( −)Q ( V , V ) = C V − V + SCE ( V ) + DIBL ( V , V )top GS DS OX GS th long top GS top GS DSavecSCE = SCE ( V ≈ V )top GS thDIBL = DIBL ( V ≈ V , V )top GS th DSIV- 58Cette subtilité dans le calcul de la charge n’a pas été prise en compte dans les calculs classiques desmodèles compacts. Le courant étant toujours lié à la charge moyenne dans le canal, et la connaissancede la charge en haut de la barrière de potentiel n’est pas critique. Or pour la modélisation utilisée, ellel’est ! Pour preuve, l’effet la fluctuation de SCE n’est pas négligeable, l’erreur peut atteindre plus de100mV comme illustré sur la Figure IV- 46. Par conséquent il est nécessaire de bien prendre encompte ce phénomène dans l’approche de Landauer.4.4.4. Calcul de SCE topMaintenant, SCE top doit être évalué en fonction de V GS . Comme illustré sur la Figure IV- 47, plus V GSaugmente, plus le nombre de porteurs augmente et écrante les zones de charge d’espace des jonctionsresponsables des SCE. Par conséquent, la tension Φ ZCE diminue car la densité de porteurs augmente. AV GS =0, dans le canal, il y a n i ² /N ch électrons à tension de bande plate nulle. Plus on polarise la grille,plus le nombre d’électrons dans la zone du canal déplétée augmente. Avant inversion, il y au plus, n iélectrons. Par conséquent, en supposant que la densité maximale d’électrons dans le canal est n i latension Φ ZCE minimale pour le calcul de SCE top , la tension à utiliser est :kT ⎛ N ⎞LDDφZCE= ln ⎜ ⎟IV- 59q ⎝ ni⎠Pour obtenir les mêmes résultats que les simulations Dérive Diffusion, la fonction de calibrage IV- 60est utilisée :- 156 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiqueφkT ⎛ N ⎞ ⎡ kT ⎛ N N ⎞ kT ⎛ N ⎞⎤= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟−q ⎝ ni ⎠ ⎣ q ⎝ ni ² ⎠ q ⎝ ni⎠⎦LDDLDD ChLDDln ⎢ ln ln ⎥ exp( β ( V V ))ZCE GS thIV- 60Où β un terme de calibrage. Cette formulation est provisoire ; il reste encore beaucoup de travail àmener pour obtenir un calcul des effets canaux courts rigoureux et précis.4.4.5. Calcul de DIBL topPour le calcul du DIBL, on s’aperçoit que la charge en haut de la barrière de potentiel « sature » àV DSAT . En effet, lorsque l’on polarise le drain V D > V DSAT , la tension ajoutée est prise par la zone depincement et ne contribue que très peu au DIBL, comme illustré sur la Figure IV- 48.1,2E+17Densité Top Barrier (at/m2)1E+178E+166E+164E+162E+1600 0,2 0,4 0,6 0,8 1V DS (VOLTS)Figure IV- 48: Evolution de la charge en haut de la barrièrede potentiel en fonction de V DS sur un MOSFET de 45nm delongueur de grille dessiné avec MDRAW avec des profile dedopage « réels »Figure IV- 49: Illustration du calcul du DIBL top en haut dela barrière de potentiel.En reprenant la méthodologie de « Doping Voltage transformation », avec le potentiel utilisé pour lecalcul de rétro-diffusion, mais avec α =2 dans IV- 8, pour avoir la continuité avec les calculsclassiques, et en calculant la valeur de la dérivée au sommet de la barrière de potentiel on a:∂ ψ 2V= pour V < V∂2DS2 2x LchDS DS −SAT( LchP)( ch )22⎡ ⎛⎞ ⎤∂ ψ 2V DS SATV − ⎡−DS−L⎤ch= ⎢1 + ⎜⎟exp⎥22 2 ⎢ ⎥∂x ( Lch− P)⎢ ⎜ VDS−SATL ⎟ ⎣ P ⎥0 ⎦⎣ ⎝⎠ ⎦pour V < VEnsuite, avec les mêmes calculs et approximation, il vient :εSiO2Tox Tdep 2VDSDIBLtop= pour V2DS< VDS −SATε LSich( LchP)( ch )DS DS −SAT2ε T T⎡ ⎛2V V − ⎞ ⎤⎡−L⎤DIBL = ⎢1 + ⎜⎟exp⎥ pour V < V( Lch− P)⎝L⎠⎣ ⎦⎣⎦SiO2ox dep DS −SAT DS chtop 2 2DS DS −SATε⎢ ⎜SiV⎟⎢ ⎥DS −SATP ⎥0IV- 61IV- 62Ces calculs suggèrent que le DIBL top est similaire au DIBL dans sa formulation. Lorsque V DS

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiquel’augmentation de la tension de drain continue à faire augmenter le DIBL top comme illustré sur laFigure IV- 50 pour différentes valeurs initiale de la zone de pincement P O .0,05DIBLtop (Volts)0,0450,040,0350,030,0250,020,0150,010,00500 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2V DS (Volts)Po=10nmPo=5nmPo=1nm0,100,090,080,07SCE0,06 top +0,05DIBL top 0,040,030,020,010,00V DS (volts)0,90,60,3000,30,60,9V GS -V TH (volts)Figure IV- 50: Evolution du DIBL top en fonction de V DS . Pourdifférente longueur de zone de pincement P O .Figure IV- 51: Illustration du calcul du DIBL top en haut dela barrière de potentiel.En ajoutant le DIBL top et le SCE top , les effets canaux courts sont évalués en fonction des polarisations.Comme illustré sur la Figure IV- 53, ces effets doivent être pris en compte car les effets canaux courtspeuvent faire varier la tension de seuil de 100mV en fonction des polarisations. Ces travauxpréliminaires nécessitent une étude ultérieure plus précise. Ils doivent être poursuivis pour améliorer lecalcul global du courant. Pour cela, il est nécessaire de mener des calculs prenant en compte lagéométrie des jonctions et le dopage canal. En reprenant la méthodologie de Kim pour les résistancesd’accès, les valeurs de la charge en haut de la barrière et de la longueur électrique (qui est liée) doiventpouvoir être modélisée sans terme de calibrage pour retrouver les résultats des simulations.4.4.6. QUID de la saturation ?Ces travaux sur la charge et la vitesse d’injection mettent en exergue un point important dans lacompréhension du fonctionnement du transistor. Quel phénomène physique fait saturer le MOSFET etquelle est la tension de saturation pertinente. La modélisation du potentiel a montré que la zone depincement n’existe pas au sens classique du terme mais qu’il existe tout de même un régime desaturation dû à l’électrostatique. Classiquement, dans l’approche du courant basé sur la mobilité,l’augmentation du courant dans les dispositifs ultimes est liée au DIBL et à l’augmentation de la zonede pincement.En revanche, dans notre approche et dans les simulateurs Monte Carlo, l’augmentation du courantaprès saturation est du à deux phénomènes simultanés : Augmentation de la vitesse d’injection (R C diminue) Augmentation de la charge par effet DIBL top . Cet effet est d’autant plus fort que la zone depincement s’étend profondément dans le canal.Cela n’explique pas la saturation, mais montre la difficulté de bien comprendre les mécanismes quigouvernent l’électrostatique et leur corrélation avec le transport.- 158 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistique5. MODELISATION DES EFFETS DE QUANTIFICATION5.1. IntroductionL’introduction des différents modèles compacts dans le chapitre II a mis en lumière le grand nombred’approximations effectuées lors du calcul du courant. Dans le travail précédent, la validation dumodèle de rétro-diffusion et du courant a été réalisée à partir de la référence Monte Carlo. Or lesimulateur Monte Carlo utilisé [36] ne permet pas de prendre en compte les effets quantiques. L’objetde cette partie est donc d’incorporer ces effets dans le modèle et d’en évaluer leurs influences sur lescaractéristiques des MOSFETs.5.2. Modélisation de la quantification5.2.1. Calcul approché des niveaux d’énergie et du décalage du centre de chargePour obtenir avec précision les niveaux d’énergie et les densités de porteurs associées, il est nécessairede mener une simulation Poisson-Schrödinger. Cependant, avec un objectif de calcul compact, Ando[7] a développé un modèle simple basé sur les équations d’Airy pour calculer l’état du gazélectronique dans un puits triangulaire. En supposant que la courbure du potentiel a pour forme un puittriangulaire en forte inversion, comme illustré sur la Figure IV- 52, le potentiel est donné par [7] :etV ( z) = qFzIV- 63( + )4πqN depfN sF = IV- 64ε εSI0où F est le champ électrique et f un coefficient numérique. Avec f=1, le champ est celui de l’interface;et avec f=0, on obtient le champ dans la région deplétée. En choisissant f=1/2, le champ moyen vu parles porteurs dans la couche d’inversion peut être obtenu. L’équation de Schrödinger est résolue aveccomme condition que la fonction enveloppe tende vers 0 à l’infini. Dans ce cas, les solutions sont lesfonctions d’Airy [7] :⎡2m⎤z⎛ Ei⎞( z) = Ai ⎜ z − ⎟⎥ ⎦ξi ⎢IV- 652⎣ h ⎝ qF ⎠Où les valeurs propres E i sont donnée par :Ei2⎛ h≈⎜⎝ 2mz⎞⎟⎠1/ 3⎡3πqF⎢⎣ 2⎤⎥⎦2 / 3( i + 3/ 4) , i = 0,1, 2,3...IV- 66Les valeurs exactes des premiers niveaux d’énergie ne sont pas calculées avec i+3/4, mais peuventêtre remplacé par 0.7587, 1.7540 et 2.7575 pour les trois premières sous bande. De plus, il est possibled’incorporer pour une table de facteur de calibrage f i pour prendre en compte que le puits n’est pasparfaitement triangulaire et que les fonctions d’ondes puissent pénétrées dans l’oxyde. Cependant pourl’étude, l’expression IV- 66 sera utilisée. Cette quantification engendre un décalage du centre de lacharge qui décale les porteurs d’une distance d, comme illustrée sur la Figure IV- 53. A partir desniveaux d’énergie, la quantité de porteurs sur chacun de ses niveaux peut être évaluée avec [7] :nimd= kT ln 1 +2πh( exp( E − E ))FiIV- 67- 159 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiqueEt la quantité totale de porteurs [7] :nS= ∑ g kT ln 1 expi2 D( + ( E − E ))FiIV- 68Figure IV- 52: Illustration de la quantification des niveauxd’énergie dans le canal d’un nMOSFET. Illustration sur unedes fenêtres de MASTAR QUASI BALLISTICFigure IV- 53: Illustration du décalage du maximum deprésence des électrons. En vert concentration dans lesilicium et en rouge pénétration de la fonction d’onde dansl’oxydeAprès ces rappels, il est intéressant d’étudier l’influence de la prise en compte de ces effets dequantification sur le transport à travers la modélisation. Dans un premier temps, en introduisantl’épaisseur d’oxyde équivalente puis la quantification 2D des niveaux d’énergie dans le calcul de lavitesse d’injection, il sera possible d’étudier l’influence de la quantification sur le transport.5.2.2. Influence de la quantification sur le transportPour cette étude, seul le transistor de référence de 25 nm de longueur électrique sera étudié. Avec unoxyde physique de 1.2nm d’épaisseur, l’évaluation du barycentre des charges dû à la quantificationdonne d=0,242nm (Calcul décrit dans [7]). Dans cette configuration, l’épaisseur d’oxyde électriqueéquivalente est 1.442. La tension de seuil passe alors de 282mV à 307mV. Avec cette nouvelleépaisseur d’oxyde équivalente, le réseau d’I(V) est tracé sur la Figure IV- 54. On s’aperçoit dudécalage notable vers le bas des courbes du à l’augmentation de l’épaisseur d’oxyde.I (A/m)14001200100080060040020000,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0V DS (Volts)Figure IV- 54: Caractéristique I(V) du transistor du nœud45nm pour le modèle avec l’épaisseur d’oxyde physique etl’épaisseur d’oxyde électrique.I (A/m)160014001200100080060040020000,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0V DS (Volts)Figure IV- 55: Caractéristique I(V) du transistor du nœud45nm avec l’épaisseur d’oxyde équivalente avec et sansinfluence de la quantification sur le transport.- 160 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiqueAprès l’introduction de l’influence de la quantification sur l’électrostatique, on introduit son influencesur le transport. La quantification des porteurs engendre une nouvelle vitesse thermique v therm et unnouveau coefficient de rétro diffusion R C . Théoriquement, il est nécessaire de faire tous les calculs enconsidérant le gaz 2D [7]. Sans comparaison possible, l’objectif est juste de montrer les tendancesprincipales de la quantification à travers la redistribution des porteurs dans les vallées. Pour une étudecomplète, il faudra, en plus, mettre en oeuvre les interactions 2D et modifier le calcul de la rétrodiffusion pour prendre en compte la quantification. Le tout devant être validés sur les simulateursMonte Carlo couplé à un Poisson Schrödinger lorsque ceux ci seront développés [37]. Pour cetteétude, seuls l’impact de la quantification est étudiée. Cela est possible car le modèle de rétro diffusioncalcule le calcul de rétro-diffusion associé à chaque type de porteur.Ratio entre avec et sans effet dans quantification1,291,271,251,231,211,191,171,150,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0V DS (Volts)Figure IV- 56: Gain entre le courant avec un gaz 2D et ungaz 3D sur le MOSFET n°2Figure IV- 57: Distribution des porteurs en fonction deV GS -V th pour le MOSFET n°2La nouvelle distribution de porteurs P X , P Y , P Z est déterminée par IV- 67 et IV- 68. Elle est illustrée surla Figure IV- 57. A partir de là, le modèle de rétro-diffusion est utilisé en remplaçant dans l’expressionIV- 39 les valeurs 2/3 et 1/3 :FEt la vitesse thermique par :RCvXYZ( x) P F ( x) + P F ( x) + P F ( x)therm= IV- 69=XR2kT*cπmC=YR2kT⎛ P⎜π ⎝ mXCXPY+mYZP+mZZRC⎞⎟⎠IV- 70Dans cette configuration, on obtient les résultats de la Figure IV- 55. Une nette augmentation ducourant est observée du fait qu’il y a une majorité de porteurs à masse transverse dans la première sousbande. C’est une bande énergétique longitudinale dans le confinement mais transverse dans le sens duconfinement. En visualisant sur la Figure IV- 56 le ratio du courants avec et sans quantification, ons’aperçoit que plus la grille est polarisée plus le ratio est important car plus les 2 premiers niveauxénergétiques se séparent et la majorité des porteurs possèdent alors une masse transverse. La mobilitéeffective dans le sens du transport [38] augmente alors.5.3. ConclusionCette partie a permis de mettre en évidence l’intérêt du modèle pour l’analyse du transport parl’intermédiaire de la prise en compte d’effets quantiques non présents dans les simulateurs MonteCarlo. Un travail complet s’emploiera alors à insérer dans le modèle les fréquences d’interaction 2D etde calibrer proprement la mobilité comme précédemment.- 161 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistique6. MODELISATION DE LA VITESSE DANS LE CANAL6.1. IntroductionL’analyse de la spectroscopie a permis de visualiser la quantité de porteurs balistiques le long ducanal. Mais, en réalité la quantité de porteurs balistiques importe peu. Ce qui compte c’est leurcontribution au courant. C’est l’objectif de cette partie ; modéliser la vitesse le long du canal et donnerla contribution des porteurs balistiques le long du canal au courant total. Pour cela, nous proposons unnouveau critère B1(x) qui calcul le long du canal la contribution des porteurs balistiques au courant.( − ) ( + )% %I ( ) ( ) 1 / 1 ( )balx qPbal x ntop RC RC vbalx Pbal ( x) vbal( x)B1( x)= = = IV- 71I qn v vtot top inj thermGrandeur à ne pas confondre avec le facteur de balisticité classique B2 [39], qui permet d’estimer decombien le dispositif est proche de sa limite balistique1 − RCB2 = IV- 721 + R6.2. Principe de modélisationCPour déterminer la vitesse le long du canal, on distingue la vitesse des porteurs balistiques et celles desporteurs qui ont déjà subit des interactions. La vitesse des porteurs balistiques est calculée à partir dumodèle de rétro-diffusion et la vitesse des porteurs diffusifs est déterminée avec les équationssimplifiées des modèles hydrodynamiques [41]. Il existe au total 5 classes de porteurs, qu’il fautprendre en compte pour déterminer rapidement la vitesse des porteurs dans le canal :1) les porteurs balistiques (Figure IV- 58)2) les porteurs rétro-diffusés en haut de la barrière de potentiel3) Les porteurs qui ont relaxés après plusieurs interactions. (Figure IV- 59)4) Les porteurs injectés dans le canal venant du drain5) Les porteurs qui se thermalisent dans le drain.Une fois les composantes de vitesses calculées pour ces différentes populations, il est nécessaire de lesassembler suivant les pondérations adéquates.F (A.U.)2.0E+031.8E+031.6E+031.4E+031.2E+031.0E+038.0E+026.0E+024.0E+022.0E+020.0E+00-3.0E+07 2.0E+07 7.0E+07 1.2E+08 1.7E+08Vitesse (cm/s)beggin middle endFigure IV- 58: Evolution de la quantité et de la vitesse desporteurs balistiques au début (en bleu), au milieu (en rouge)et à la fin (en vert) du canal. Plus, les porteurs balistiquesavancent dans le canal, plus ils sont rapides, se séparentsuivant leur masse et leur nombre diminue. SimulationMonte Carlo à V dd =0.8V sur le MOSFET n°2.F (A.U)7.0E+026.0E+025.0E+024.0E+023.0E+022.0E+021.0E+020.0E+000 interaction1 interaction2 interactions3 interactions-6.0E+07 -4.0E+07 -2.0E+07 0.0E+00 2.0E+07 4.0E+07 6.0E+07 8.0E+07vitesse (cm/s)Figure IV- 59: Fonction de distribution associée aux porteursbalistiques, ceux qui ont subis 1, 2, 3 interaction(s). Plus lenombre d’interaction augmente, plus la fonction dedistribution est une maxwellienne déplacée. SimulationsMonte Carlo à V dd =0.8V sur le MOSFET n°2.- 162 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiquePour déterminer l’ensemble des vitesses, on utilise le profil de potentiel calculé pour le modèle derétro-diffusion. Le modèle a pour but de calculer la vitesse de la vitesse le long du canal, lacontribution des porteurs balistiques et de modéliser le plus fidèlement possible les tendancesobservées. Par ailleurs, le chapitre II a rappelé que le modèle hydrodynamique ne pouvait calculeravec précision la vitesse le long du canal pour les dispositifs ultimes, même en prenant en compte lesmoments d’ordre 6 [42]. La raison principale est que la fonction de distribution considérée est unemaxwellienne déplacée, qui est donc très loin de la réalité du transport quasi-balistique. En se basantsur la spectroscopie, la méthode, originale, consiste à calculer séparément la vitesse de chacune desclasses de porteurs. Cela est ainsi conforme à la forme de la fonction de distribution comme le prouvela Figure IV- 60. Ensuite en pondérant par les probabilités de présences pour chacune de 5 classes deporteurs, on calcule la vitesse moyenne.Figure IV- 60: Fonction de distribution associée aux porteursbalistiques et ceux qui ont subis plus d’une interaction. Lafonction de distribution associée aux porteurs non balistiquesest une Maxwellienne déplacée.6% des porteurs balistiques contribuent à 25% du courant.Simulations Monte Carlo à V dd =0.8V sur le MOSFET n°2.Les vitesses des porteurs balistiques sont déterminées à partir des équations de IV- 19 à IV- 21 ; et lemodèle hydrodynamique est simplifié en négligeant l’énergie de dérive des porteurs et le flux dechaleur, c’est à dire que l’on considère que W=3/2kT c et κ =0. Le temps de relaxation de l’énergiesera le terme de calibrage pour obtenir les mêmes résultats que les simulations Monte Carlo. Lesystème utilisé est donc [42] :∂n1 ∂J=∂tq ∂x∂P∂(nmvhyd+ nkTc)1=+ n( −q )E − P∂t∂xτ∂W∂t∂(= −2( W + nkT )vhyd∂x− κ ∂Tc∂x ) 1+ JE −τ- 163 -mW(W − WAvec ce système et les conditions limites suivantes basées sur l’étude de la rétro-diffusion :n( xv( xW( x= 0 ) = C (V −V) / q1−Rc= 0 ) = v1+R= 0 ) = 3 / 2kT= 39meVT ( x = 0 ) = 300KCoxcGthCT= vinjo)IV- 73IV- 74La vitesse, l’énergie et la densité de porteurs de le système sont alors obtenus. Le calcul est rapide caril n’est pas auto-cohérent avec une résolution de l’équation dePoisson ; le potentiel calculé avec IV- 8est supposé correct. Ensuite en pondérant les vitesses par la probabilité de porteurs balistiques et par la

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiqueprobabilité de porteurs diffusifs, la vitesse moyenne (sans considéré l’injection au drain) le long ducanal est donnée par :vsource1( x ) =1 + RRC1 + RvhydCCvvbaltherm( x )P( x )( 1 − P( x )P%bal%bal%bal( x ) +( x ))( x ) +IV- 75Le premier terme représente la vitesse des porteurs balistiques le long du canal. Le second termereprésente la vitesse de rétro-diffusion, c'est-à-dire la vitesse moyenne négative des porteurs quidiffusent. Enfin le dernier terme représente la vitesse moyenne des porteurs qui ne sont plusbalistiques et qui contribuent au courant par l’intermédiaire d’une composante de vitessehydrodynamique. Chacun de ces termes est pondéré par la quantité de porteurs associés.A cette vitesse induite par les porteurs injectés à la source, il faut ajouter la composante liée àl’injection des porteurs au drain, le tout pondéré une fois encore par la population associée. Pour lacomposante source, la charge associée est la charge induite par la grille. La charge du drain est leproduit de la densité de porteurs dans les extensions multipliée par la transmission du drain vers lasource. Par cette pondération, la vitesse le long du canal est obtenue avec :v( x )[ vsource( x) N ( x)+ vthermTD→S( x ) NDrain]N ( x) + TD→S( x ) NDrain= IV- 76Où la transmission drain vers la source en x est évaluée avec les équations IV- 29 et IV- 30 avec unchamp répulsif moyen E D calculé entre la position x et la fin du drain :TDE/ kTD→S=IV- 77(( 1/mfp + E / kT ) exp( E / kT( L − x)−1 / mfp)DsourceDAvec cette modélisation de la vitesse, par continuité du courant, la charge et la densité peuvent en êtredéduites avec :NinjN ( x ) = IV- 78v / VLes profils de vitesse obtenus avec ce modèle sont comparés avec les simulations Monte Carlo ettracés sur les Figure IV- 61 et Figure IV- 62.injchV e lo c it y ( m /s )2.5E+052.0E+051.5E+051.0E+05VG=0.8V VD=0.8VVG=0.8V VD=0.3VVG=0.8V VD=0.5VMODELVelocity (m /s)3.0E+052.5E+052.0E+051.5E+051.0E+05VG=1V VD=0.8VVG=0.6V VD=0.8VVG=0.8V VD=0.8VMODEL5.0E+045.0E+040.0E+0020 25 30 35 40 45 50 55 60Distance along the MOSFET (nm)Figure IV- 61: Profil de la vitesse moyenne à V GS =0.8Vsur le MOSFET standard pour différents V DS. Les symbolessont les simulations Monte Carlo et les lignes continuesreprésentent le modèle.0.0E+0020 25 30 35 40 45 50 55 60Distance along the MOSFET (nm)Figure IV- 62: Profil de la vitesse moyenne à V DS =0.8V surle MOSFET standard pour différents V GS .Les symboles sontles simulations Monte Carlo et les lignes continuesreprésentent le modèle.- 164 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiqueLe modèle donne d’assez bons résultats et permet de calculer la vitesse dans le canal du régimediffusif au régime balistique. La thermalisation au niveau du drain est mal prise en compte. En effet lesporteurs étant très énergétiques, il faut un certain temps pour que ces porteurs se thermalisent à la findu canal et au début du drain. Ils ne sont pas directement absorbés par le drain. Ce phénomène n’estpas considéré dans ce modèle.6.3. Modélisation de la balisticitéLa modélisation précédente permet de déterminer le long du canal la grandeur la contribution encourant des porteurs balistiques, noté B1(x). Cette grandeur augmente lorsque la longueur électriquediminue. Avec B1(x), il est possible de tracer la contribution le long du canal des porteurs balistiques.Cette contribution est tracée sur la Figure IV- 63. On trouve que 32% du courant total est lié aucourant de porteurs balistiques, ce qui est conforme aux résultats de la spectroscopie de la Figure IV-60 (25%). De plus, au niveau du drain, il est pertinent de définir la balisticité d’un dispositif : B1(L ch ).Cela représente la contribution au courant des porteurs balistiques. Cette grandeur est tracée sur leTableau IV- 2.C u r r e n t c o m p o n e n ts (% )100%90%Diffusive current component80%Ballistic current component70%60%50%40%30%20%10%0%0 5 10 15 20Distance along the channel (nm)MOSFET L ch (nm) B1(L ch ) B2 P bal R CN°1 15 67% 33% 9.5% 30%N°2 25 32% 42% 6% 40%N°3 35 13% 53% 1.7% 50%Figure IV- 63: Contribution des porteurs balistiques le longdu canal du MOSFET de référence.Tableau IV- 2 : Valeurs caractéristiques du transportbalistiques.6.4. Modélisation de la fonction de distributionA partir de la modélisation précédente, il est relativement aisé de tracer la fonction de distribution lelong du canal du transistor afin de visualiser le « film du transport ». Pour mener cette modélisation, ilfaut déterminer chacune des composantes de la fonction de distribution : les porteurs balistiques, larétro-diffusion le long du canal, la maxwellienne déplacée correspondant au porteurs ayant relaxésaprès avoir subis plusieurs interactions et enfin l’injection des porteurs venant du drain. Une fois cescomposantes calculées il est nécessaire de les assembler suivant les pondérations adéquatesdéveloppées dans le paragraphe précédent.Pour chacune des composantes, la vitesse et la quantité de porteur sont connues. Par exemple, lemodèle de rétro-diffusion calcule la vitesse et la probabilité de porteurs balistiques le long du canal. Enutilisant l’équation de normalisation suivante :- 165 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistique∞1 πe − αx2∫ dx = = Vnorm( α)IV- 792 α0la fonction de distribution peut être tracée. Par exemple pour la composante représentative des porteursayant subis une ou plusieurs interactions la fonction de distribution associée est :( v − v ( x))⎛*21⎞( ) ( ( ))⎜0.5mcx sourcef = −⎟HYD vx,x 1 Pbalx expIV- 80Vnorm⎝kTC⎠Chaque composante de la fonction de distribution une fois normalisée, il suffit de les additionner lesunes aux autres. On a donc :f( v ,x) f ( v ,x) + f ( v ,x) + f ( v ,x) + f ( v ,x) f ( v ,x)x = bal− t x bal−lx RC x HYD x + drain x IV- 81Pour obtenir une compréhension accrue, la modélisation de la fonction de distribution peut se meneren 2D en multipliant f par une composante f(v Y ), maxwellienne centrée en 0 avec une températureégale à 300K. Cependant pour la thermalisation cette modélisation f(v Y ) est inadaptée comme lamontré la spectroscopie dans le chapitre III sur la diode de 30nm. Cependant pour les ¾ du canal lamodélisation est correcte et permet de représenter le transport du régime diffusif au régime balistique.Les différentes fonctions de distributions sont illustrées pour le MOSFET de référence n°2 sur lesFigure IV- 64 à Figure IV- 67.Figure IV- 64: Fonction de distribution au sommet de labarrière de potentiel pour le MOSFET n°2 à V dd =0.8VFigure IV- 65: Fonction de distribution à 15% dans le canalpour le MOSFET n°2 à V dd =0.8VFigure IV- 66: Fonction de distribution au milieu du canalpour le MOSFET n°2 à V dd =0.8VFigure IV- 67: Fonction de distribution vers la fin du canal(80%) pour le MOSFET n°2 à V dd =0.8V- 166 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistique7. MODELISATION DE LA SPECTROSCOPIE DEPORTEURS7.1. La fonction SPEC(i): Régime QB Fort et QB faibleLa modélisation de R C a amené à modéliser les probabilités de porteurs balistiques. Cependant, il resteà modéliser, la courbe SPEC(i) et N(i) définies par : SPEC(i) = Nombre de porteurs au drain ayant subit i et seulement i interaction(s) dans le canal N(i) = Probabilité pour qu’un porteur injecté à la source arrive au drain ayant subi i etseulement i interaction(s). Cette probabilité est calculé à partir de SPEC(i) et de la quantité deporteurs au sommet de la barrière. On a donc :SPEC( i )N ( i ) = IV- 82De plus, il faut définir les nombres moyens d’interactions et défini par :∞n top∑ i × SPEC( i )i=0< n >=IV- 83∞∑ SPEC( i )i=0Qui correspond au nombre moyen d’interactions subies par les porteurs qui sont arrivés au drain et∞∑ i × SPEC( i )n< N >==< n >nni= 0drainIV- 84topQui correspond au nombre moyen d’interactions des porteurs arrivés au drain, pondéré par laprobabilité pour que les porteurs injectés à la source arrivent au drain. Dans les parties précédentes, lescourbes de spectroscopie pouvaient avoir deux formes possibles.Définissons les : Régime Quasi Balistique Fort : N(0) > N(1).Il y a plus de porteurs balistiques que de porteurs ayant subit une interaction. La courbe est deforme exponentielle comme pour la spectroscopie des MOSFETs n°1 et n°2 à V DS =0.8V. (FigureIV- 27) Régime Quasi Balistique Faible : N(0) < N(1).Il y a moins de porteurs balistiques que de porteurs ayant subit une interaction. La courbe est enforme de cloche comme illustrée sur la spectroscopie du MOSFET n°3 à V DS =0.8V. (Figure IV-27)Le modèle de rétro-diffusion à permis de calculer le nombre de porteurs balistiques en fonction destensions grille et drain. Ce modèle a été validé par de la spectroscopie Monte Carlo. Pour le MOSFETn°2, les résultats sont regroupés sur la Figure IV- 68. Comme développé précédemment, N(0)augmente avec V GS et V DS. Pour calculer la fonction N(i) la forme empirique suivante est supposée:⎡ − ( i + B )N( i ) = Aexp⎢⎣ C2⎤⎥⎦topIV- 85- 167 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiqueIl faut donc déterminer 3 équations pour calculer A, B et C. Ces trois équations seront celles établiespour N(0), N(1), et le nombre d’interaction moyen .7.2. Calcul de D’après la loi de Poisson, en absence de champ, le nombre de porteurs balistiques est donné par :N(0 )V DS[ − L mfp]= exp chIV- 86=0Or avec le modèle de rétro-diffusion, on connaît la probabilité réelle de porteurs balistiques sous unchamp donné. Par conséquent, en réécrivant l’équation précédente, il apparaît un nouveau libreparcours moyen appelé libre parcours moyen dynamique. (ou Dynamic Mean Free Path Dmfp) définitpar :On a donc :Et doncN(0 ) = exp[ − L Dmfp] où Dmfp mfpch = V DS 0[ N(0 )]= IV- 87LchDmfp = IV- 88− lnLch< N >= = −ln[ N(0 )]IV- 89DmfpOn obtient une équation très intéressante permettant de calculer à partir de N(0). Avec l’équationIV- 84, le nombre moyen d’interactions au drain peut être calculé. Ce calcul est illustré sur la FigureIV- 69, en prenant le N(0) du modèle, c'est-à-dire P bal (L ch ) ; les résultats sont corrects. Il faut insistersur le fait qu’il est illusoire de retrouver précisemment les résultats de la spectroscopie Monte Carlo.L’intérêt étant d’obtenir des résultats qui donnent les mêmes tendances et qui des renseignements surla nature du transport.109VGS=0.4V VGS=1V VGS=0.8V VGS=0.6V14VGS=0.4V VGS=1V VGS=0.8V VGS=0.6VProbabilité de porteurs balistiques (%)8765432100 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9Vds (Volts)Nombre d'interaction moyenne desporteurs arrivant au drain1210864200 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9Vds (Volts)Figure IV- 68: Probabilités de porteurs balistiques pourdifférentes polarisations de grille V GS et de drain V DS sur leMOSFET n°2.Figure IV- 69: Nombre moyen d’interaction dans le canalpour différentes polarisations de grille V GS et de drain V DS surle MOSFET n°2. En noir : modélisation. Les symboles :simulation Monte Carlo- 168 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistique7.3. Calcul de N(1)L’historique des porteurs de la classe N(1) est facile à étudier. En effet, ceux-ci sont balistiquesjusqu’à une certaine distance x du canal, ils subissent une interaction, qui les renvoie soit vers lasource soit vers le drain, et ensuite ils ont une trajectoire balistique vers le drain sur la distance (L-x)comme illustrée sur la Figure IV- 70. Calculons les probabilités associées à cet événement en x etintégrons sur l’ensemble du canal pour obtenir la probabilité globale N(1):N(1)Lch d 1= ∫ [ Pbal( x )] [ Pbal( Lch− x )]dxIV- 90dx 20Comme précédemment, en utilisant le Dmfp pour déterminer les probabilités.Ce qui donne :L ch d ⎛ ⎡ − x ⎤⎞1 ⎡−( Lch− x ) ⎤N(1) = ∫ ⎜exp⎟ expdx0 dx⎢Dmfp⎥2⎢Dmfp⎥IV- 91⎝ ⎣ ⎦⎠⎣ ⎦Lch⎡ − Lch⎤ 1N(1) = expDmfp⎢Dmfp⎥IV- 92⎣ ⎦ 2Et donc1N (1) = < N > N(0 )IV- 932Où1N(1)= − ln( N(0 ))N(0 )IV- 942En 3D l’interaction que subit le porteur ne le renvoie pas seulement à droite ou à gauche mais danstoutes les directions. Par conséquent il est nécessaire de recalculer le facteur ½ de l’équationprécédente. Un petit calcul avec Matcad donne :1−π / 2 ⎡ − Lch⎤∫ expdθ2π⎢Dmfp cos( θ )⎥−π / 2β⎣ ×=⎦≈ 0.31 pour < N >≥ 2IV- 95⎡ − Lch⎤exp⎢Dmfp⎥⎣ ⎦Sachant que le nombre d’interactions moyen est souvent supérieur à 2 il faut remplacer le facteur½ par 0.318 pour obtenir des valeurs plus proche des simulations. On a :N (1) = −0.318× ln( N(0 )) × N( 0 )IV- 96- 169 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistique10Probabilité d'avoir une interaction (%)9VGS=0.4V VGS=1V VGS=0.8V VGS=0.6V8765432100 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9Vds (Volts)Figure IV- 70: Illustration du calcul de la probabilité ded’obtenir des porteurs ayant subit une interaction etseulement une seule dans le canal.Figure IV- 71: Probabilité d’avoir des porteurs ayant subitune et seulement une interaction pour différentespolarisations de grille V GS et de drain V DS sur le MOSFETn°2.Cette modélisation permet de représenter assez fidèlement la valeur de N(1), en prenant les N(0) de lasimulation Monte Carlo, comme illustrée sur la Figure IV- 71. A partir de N(0) on obtient donc et N(1). Cela peut paraître surprenant car plusieurs configurations peuvent donner le même N(0) sansles mêmes et N(1). Cependant ceux-ci seront assez proches. Ces calculs donnent un bon ordred’idée sur les valeurs N(0), N(1) et . Ils n’ont pas vocation à donner des résultats précis mais plusdes tendances et une aide à la compréhension.Par ailleurs, à partir de l’équation IV- 96, il apparaît une probabilité de porteurs balistiques limite oùl’on passe d’un régime quasi-balistiques, fort à un régime quasi-balistique faible.Si l’on calcul N(1)/N(0) on a:N(1)= −0.318× ln( N(0 ))IV- 97N(0 )Cette courbe est illustrée sur la Figure IV- 72. Pour N(0) supérieur à 4.3 % environ, le transport estdans le régime quasi-balistique fort et pour les N(0)= − ln NLes résultats sont illustrés sur la Figure IV- 73.chbal= L) × ln N( Lchch))bal( Lch)IV- 98- 170 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiqueFigure IV- 72: Ratio de la probabilité d’avoir uneinteraction N(1) sur la probabilité d’avoir 0 interaction N(0)en fonction de N(0). Il apparaît un seuil à environ 4% deporteurs balistiques. Si il y en a plus, alors le régime est dansun régime fortement quasi balistique.Figure IV- 73: Modélisation de la spectroscopie de porteurset comparaison avec les simulations Monte Carlo à V dd =0.8Vsur le MOSFET n°2.A partir de simples calculs, la fonction SPEC(i) à été déterminée à partir de la probabilité de porteursbalistiques. De plus, l’étude a mis en évidence 2 régimes de transport quasi-balistique, le fort et lefaible. Cette étude s’inscrit donc la démarche de description des régimes de transport, du régimestationnaire au régime balistique en passant par le non stationnaire, quasi-balistique faible, quasibalistiquefort.8. MODELISATION DU TRANSPORT DANS LE SILICUMCONTRAINT8.1. IntroductionDe nombreux travaux [43] [44] ont montré l’intérêt d’utiliser les contraintes dans le silicium pouraméliorer notamment le compromis I ON /I OFF . Par différentes méthodes, de la croissance pseudomorphiquesur substrat SiGe [45] à la génération de contrainte par les procédés de fabrication [46], lesgains de performance sont notables. Afin d’améliorer la compréhension du transport électronique dansles MOSFETs sous contrainte, le modèle analytique est utilisé pour étudier l’influence des contraintes.Les entrées du modèle étant la structure de bande (position et masse des vallées) et les fréquencesd’interaction, il est aisé de l’appliquer à la contrainte. En effet, il suffira de recalculer ces paramètresde structure de bandes en fonction des composantes de contrainte et d’utiliser ensuite le modèle. C’estce qui sera développé dans la première partie. Ensuite, l’influence de la contrainte sur la charge et lavitesse d’injection seront évaluées. Ces études seront validées par de la simulation Monte Carlo surMOSFET avec un substrat silicium en tension bi-axiale sur du Si 70 Ge 30 . Enfin, le modèle sera appliquéau cas pratique de la contrainte locale induite par le Contact Edge Stop Layer (CESL).- 171 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiqueFigure IV- 74 : Empilement de grille pour la fabrication deMOSFET sur un substrat en tension bi-axiale [45]Figure IV- 75 : Mobilité universelle des électrons dans unMOSFET SOI sur silicium et sur silicium contraint. [45]8.2. Influence de la contrainte sur les grandeurs physiquesL’objectif étant de calculer l’influence des contraintes locales, les calculs doivent être effectués pourdes composantes de contraintes quelconques du type {S XX , S YY , S ZZ }. Pour obtenir la nouvelle structurede bande, on utilise les lois de Bir et Pikus [47]. Dans cette approche les masses effectives sontconsidérées comme constantes, seul le décalage des bandes est déterminé à partir de la contrainte. Apartir de cette dernière la déformation du cristal peut être obtenue à partir des lois de la mécaniqueavec le module d’Young E et le ratio de Poisson ν [48]:S XX νε XX = − ( S YY + S ZZ)E ESYYνεYY= − ( SXX+ SZZ)IV- 99E ES XX νε ZZ = − ( S YY + S XX)E EEnsuite, à partir de ces déplacements et des potentiels de déformations (Ξ d , Ξ u ), les décalages enénergie des bandes de conductions ∆E C-X , ∆E C-Y , ∆E C-Z sont obtenus [47]:∆E∆E∆EC − XC −YC −Z= Ξ= Ξ= Ξddd( ε XX + εYY+ ε ZZ ) + Ξ uε( ε XX + εYY+ ε ZZ) + Ξ uεYY( ε XX + εYY+ ε ZZ) + Ξ uεZZXXIV- 100Ainsi que le décalage en énergie de la bande de valence comme illustré sur la Figure IV- 76 et FigureIV- 77 pour le cas de silicium sur Si 0.7 Ge 0.3- 172 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiqueFigure IV- 76 : Illustration des 6 ellipses siliciumFigure IV- 77 : Illustration des 6 ellipses du siliciumcontraint sur Si 0.7 Ge 0.3.A partir de cette nouvelle structure de bande, de nouvelles valeurs pour les grandeurs physiquesnécessaire au modèle doivent être déterminées : La nouvelle concentration intrinsèque n i La nouvelle distribution de porteurs dans les vallées, et la masse effective de conduction Les nouvelles fréquences d’interactions avec les phonons La nouvelle concentration intrinsèque n iClassiquement, en fonction d’une contrainte bi-axiale ou uni-axiale générant un décalage importantdes bandes de conduction, des simplifications sont possibles pour déterminer le décalage de la tensionde bande plate V FB et par déduction celui de la tension de seuil. Cependant, ces approximations nepermettent pas de traiter un cas général où les contraintes suivant les 3 axes sont comparables. Il estalors nécessaire de déterminer précisément la concentration intrinsèque n i pour calculer la nouvelletension de seuil. Sans contrainte, la densité de porteurs intrinsèques s’écrit :Avecn2i=( N N )CVe−Eg/ kT3 / 2*⎛ 2πmkT ⎞N C = 6⎜ 2 ⎟dC =⎝ h ⎠dC* 2( ) 2( ) 1 /dégénerscence × ⎜ ⎟ avec m m m3ltIV- 101IV- 102Où la masse de densité d’état définie ici est celle d’une seule vallée et non la masse de densité d’étatglobale.3 / 23 / 2 2 / 3( m m )*⎛ 2πmdVkT ⎞*N V = 2⎜⎟avec m2dV = hh +⎝ h ⎠lhIV- 103En reprenant les calculs habituels de calcul de la densité intrinsèque dans le silicium, sans prendre encompte le facteur de dégénérescence des vallées, mais en faisant le même calcul pour chacun descouples de bande de conduction i et de bande de valence j (cf. Figure IV- 78), on obtient en sommanttoutes ces contributions :Où( ) 2 ⎡− EG + ∆EC −i − ∆EV − j ⎤ni = ∑ NC−iNV − jexp ⎢i=X , Y , Z2kT⎥⎣⎦j=hh,lhIV- 104- 173 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiqueN*3 / 2⎛ 2πmdC ikT⎞−*C− i= 2⎜⎟ avec m2dC−i=x−iy−iz−i⎜⎝h⎟⎠3 / 2*⎛ 2πmdV j kT ⎞⎜−⎟*V − j = 2avec m2dV − jN = m⎜ ⎟⎝h⎠( m m m ) 1/ 3hhou mlhIV- 105Dans ces équations le niveau intrinsèque varie assez fortement en fonction de la contrainte, commeillustré sur la Figure IV- 79. Sans contrainte n i =1.5x10 16 m -3 tandis qu’à {S xx , S yy ,S zz }= {1200MPa,1200 MPa,-1200 MPa} n i =32 10 16 m -3 , comme illustré sur la Figure IV- 79.ni(1e16xat/m2)351200S XX =S YY(MPa)400-400-1200-1200-4004001200302520151050S ZZ (MPa)30-3525-3020-2515-2010-155-100-5Figure IV- 78 : Schéma illustratif pour le calcul de ladensité intrinsèque dans le cas d’une contraintequelconque.Figure IV- 79 : Variation de la concentration intrinsèque pourdifférentes composantes de contrainte. La nouvelle distribution de porteursA partir des décalages énergétiques des bandes de conduction et de la statistique de Boltzmann, lanouvelle distribution des porteurs à faible champ s’écrit évidemment :Pi=e∑−∆Eei=X ,Y ,ZC−i−∆E/ kTC−i/ kTIV- 106Ensuite, la nouvelle masse effective de conduction peut être déterminée avec :* PXPYPZm c = + +* * *IV- 107m m mXYOù {m x , m Y ,m Z } sont les masses effectives des vallées X, Y, Z dans la direction du transport.Ces nouvelles distributions de porteurs, considérant un gaz 3D, révèlent que la majorité des porteurs àfaible champ sont dans la vallée la plus basse énergétiquement. Par conséquent pour obtenir un gainpositif, il est nécessaire que la contrainte abaisse la bande de conduction de la vallée dont la masseeffective dans le sens du transport est la plus faible (i.e. transverse). Les nouvelles fréquences d’interaction phonons.Les fréquences d’interaction dans le silicium ont été rappelées dans le chapitre I. Dans le cas aveccontrainte, les équations sont très similaires. La différence correspond au fait que les possibilitésZ- 174 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiqued’interaction entre deux vallées doivent prendre en compte le décalage entre vallées. Les fréquencesd’interactions qui évoluent en fonction de la contrainte sont [49] : les 6 interactions phonons inter-valléeso gTA, gLA, gLO,o fTA, fLA, f TO. Pour chacune d’entre elles, il faut recalculer les probabilités de passage de vallée à vallée :o X →Y ; X →Zo Y →X ; Y →Zo Z →Y ; Z →X Pour chacune d’entre elles, il faut déterminer les fréquences d’interaction absorption etémission.Soit 72 nouvelles fréquences d’interactions !En prenant en compte le décalage des bandes, on a calcule les fréquences d’interactions inter valléesd’ordre 0 et d’ordre 1 [49]. Par exemple, pour l’ordre 0, on a :τ0( D )3 / 2 21 2mdint ⎡ 1 1 ⎤=N pint EC−iEC−jint ( )[ ViV j ]⎢ + ±→⎥ εh± hω+ ∆ − ∆IV- 1080 2ε2πρhωint⎣ 2 2⎦Avec ces nouvelles fréquences d’interactions la mobilité devient :q τ X q τ Y q τ Zµ = PX+ PY+ PZIV- 109m m mXOù les taux moyens d’interaction liés à chaque vallée sont déterminés séparément.YZ8.3. Modélisation de l’effet de la contrainte sur la chargeA partir de la nouvelle concentration intrinsèque, la tension de Bande Plate V FB peut être recalculéeavec [50] :V∆EVhh/ kT∆EVlh/ kT[( N e + N e )/N ]FB= −Eg+ kT lnVhhVlhchIV- 110Ainsi que niveau de Fermi φ f avec [50] :⎛ Nch⎞Φ =⎜⎟f kT lnIV- 111⎝ ni⎠La nouvelle tension de seuil devient alors :Vth2ε0εSiqNch2Φf= VFB+ 2Φf +IV- 112CLa variation expérimentale de la tension de seuil est tracée sur la Figure IV- 80 pour différentspourcentages de Germanium. Avec le modèle, les résultats habituels des nMOSFET bi-axial entension sont retrouvés et sur la Figure IV- 81, la variation de tension de seuil est tracée pour un jeu decontrainte. On remarque une forte variation de la tension de seuil en fonction de la contrainte :∆V th =170mv à {S xx , S yy ,S zz }= {1200 MPa,1200 MPa,-1200 MPa }.ox- 175 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistique-DVth (mV)200150S XX=S YY(MPa)1200400-400-1200-1200-4004001200S ZZ (MPa)100500150-200100-15050-1000-50Figure IV- 80 : Dépendance de la tension de seuil dans unnMOSFET sur substrat contraint avec différentes compositionsde Si/SiGe. [51]Figure IV- 81 : Décalage de la tension de seuil pour leMOSFET n°2 pour différentes composantes de contraintes8.4. Modélisation de l’effet de la contrainte sur la vitesse d’injectionDans l’approche de Landauer, la vitesse d’injection est le produit de la vitesse thermique par le facteurde balisticité calculé à partir du coefficient de rétro-diffusion R C. Pour étudier l’influence de lacontrainte sur le transport, il est donc nécessaire d’évaluer l’évolution de chacune de ses grandeurs.8.4.1. Modélisation de l’effet de la contrainte sur la vitesse thermiqueLa vitesse thermique est définie à partir de la masse effective de conduction. Par conséquent à partir deIV- 107, on a :vtherm=2kT*cπm=2kT⎛ P⎜π ⎝ mXXPY+mYP+m8.4.2. Modélisation de l’effet de la contrainte sur la rétro-diffusionZZ⎞⎟⎠IV- 113A partir du modèle précédemment, le seul changement est la prise en compte de la nouvelledistribution en haut de la barrière de potentiel pour calculer la nouvelle probabilité de porteursbalistique et la probabilité de retour avec les nouvelles distributions de porteurs. La probabilité deporteurs balistiques vaut donc :Bal( x) P Bal ( x) + P Bal ( x) P Bal ( x)= IV- 114X X Y Y +Ces probabilités sont illustrées sur les courbes des Figure IV- 82 et Figure IV- 83 où l’on peutcomparer les probabilités de porteurs balistiques dans le silicium et le silicium contraint sur Si 70 Ge 30.On s’aperçoit sur la Figure IV- 82 que la quantité totale de porteurs balistiques est liée à la pondérationdu cas classique 2/3 et 1/3. Sur la Figure IV- 83 plus de 99% des porteurs sont dans la vallée la plusbasse dont la masse dans le sens du transport est transverse, donc la probabilité totale de porteurbalistique est quasiment égale à Bal(Z). De plus sur la Figure IV- 83, on visualise la différence deprobabilité de porteurs balistiques pour les deux populations à masse transverse Y et Z. Comme laprobabilité d’interaction avec les phonons intervallée est plus faible pour les porteurs en Z (vallée laplus basse), la probabilité de porteurs balistique est plus importante : Bal(Z) = 11% > Bal(Y) = 5%.ZZ- 176 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiqueFigure IV- 82 : Probabilité de porteurs balistiques pour le SinMOSFET n°2 à V DS =V GS =0.8VFigure IV- 83 : Probabilité de porteurs balistiques pour leSi sur Si 70 Ge 30 nMOSFET n°2 à V DS =V GS =0.8V.Avec ces nouvelles probabilités de porteurs balistiques, et la nouvelle distribution, le modèle de rétrodiffusionest utilisé de façon similaire en prenant pour les distributions de porteurs celles aprèsinteraction. La fraction de rétro diffusion vaut donc :FRCXYZ( x) = P F ( x) + P F ( x) + P F ( x)XRCYRCZRCIV- 115Ces fractions de rétro-diffusion sont reportées sur les courbes des Figure IV- 84 et Figure IV- 85 oùl’on peut les comparer dans le silicium et le silicium sur Si 70 Ge 30. Ces courbes sont purement liées à ladistribution des porteurs et à la mobilité des porteurs pour le calcul de la probabilité de transmissionvers la source et vers le drain.Figure IV- 84 : Fraction de rétro-diffusion pour le SinMOSFET n°2 à V DS =V GS =0.8VFigure IV- 85 : Fraction de rétro-diffusion pour le Si surSi 70 Ge 30 nMOSFET n°2 à V DS =V GS =0.8V.A partir de ces calculs la nouvelle vitesse d’injection peut être évaluée en fonction de contraintesquelconques.8.4.3. Validation Monte CarloLes différentes modifications nécessaires pour la prise en compte de la contrainte ont été énumérées. Ilest nécessaire maintenant de valider le modèle en comparant les résultats des simulations Monte Carlo- 177 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiqueavec et sans contraintes pour différentes longueurs de canal. Pour commencer, le MOSFET n°2 estsimulé en remplaçant le silicium par le silicium sur Si 70 Ge 30 . Le modèle donne un très bon résultatcomme illustré sur la Figure IV- 86 pour différentes polarisations V DS et V GS. De plus, le gain pour unjeu habituel de contraintes a été tracé sur la Figure IV- 87. On visualise plusieurs régimes, gain deperformance avec une saturation du gain à forte contrainte et une perte de performance à {S xx , S yy ,S zz }={-1200 Mpa,-1200 MPa,1200Mpa}. Le gain apparaît lorsque les porteurs sont davantage dans lesvallées transverses, et les pertes de performance apparaissent lorsque les porteurs à masselongitudinale dans la direction du transport sont privilégiés.IDS (A/m)2000150010005000VGS=0.4VVGS=0.6VVGS=0.8VVGS=1V0 0.2 0.4 0.6 0.8V DS (V)Gain(%)I OFF=cte80%70%60%50%40%30%20%10%0%-10%-20%-1200-800-4000400S ZZ (MPa)80012001200400-400-1200S XX=S YY (MPa)70,0%-80,0%60,0%-70,0%50,0%-60,0%40,0%-50,0%30,0%-40,0%20,0%-30,0%10,0%-20,0%0,0%-10,0%-10,0%-0,0%-20,0%--10,0%Figure IV- 86 : Validation avec le modèle des courbesexpérimentales de mobilité pour différentes contraintes biaxiale SiGe.Figure IV- 87 : Ratio entre le courant avec et sanscontraintes sur le MOSFET n°2 à V DS =V GS = 0.8V.Pour valider la dépendance en fonction du champ, révélée sur la Figure IV- 86, le MOSFET n°2 estsimulé en faisant évoluer la longueur électrique de 5 nm à 500nm en passant par 10nm, 25nm (laréférence), 50nm, 100nm, 200nm et donc 500nm. Pour chaque cas une simulation au dessus du seuil àV DS =0.8V a été menée avec le silicium et le silicium sur Si 70 Ge 30 . Les résultats du gain en courantinduite par à la contrainte avec simulations Monte Carlo et le modèle sont visualisés sur la Figure IV-88. La courbe obtenu est une courbe en forme de « S », que l’on appellera « courbe de gain en S » ouS-curve en anglais. Comme son nom l’indique, cette courbe se compose de deux plateaux et d’unerégion intermédiaire. Expliquons cette courbe par les cas limites : En régime stationnaire, c’est à dire à faible champ, la notion de mobilité est valable et le gainà V GT constant est lié au gain en mobilité. A partir de l’équation du courant classique basée surla notion de mobilité, un développement logarithmique permet de déterminer le gain global enfonction du gain dû à l’amélioration de la masse effective de conduction et la diminution dunombre d’interaction.∆IDiffusion⇒IDSDSIOFF= cte∆µ ∆ τ ∆m= = +µ τ m*c*cIV- 116 Lorsque le transport est dans un régime balistique, le courant est limité par la vitesse limitethermique. Par conséquent, le gain à V GT constant est lié au gain en vitesse thermique. A partirde l’équation du courant IV-1, un développement logarithmique de la vitesse thermiquepermet de montrer que le gain est lié à la moitié du gain de l’amélioration de la masseeffective de conduction.Ballistic∆IIDStherm( RC= 0) ⇒= =*DSIOFF = cte∆vvtherm*c1 ∆m2 mcIV- 117- 178 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiqueCe qui correspond à un gain maximal de environ 17% lorsque tous les porteurs ont une massetransverse. Lorsque le transport est entre ces deux régimes, en régime quasi-balistique, la diminutionde la longueur de grille entraîne l’augmentation du champ électrique et l’augmentation de l’énergiemoyenne du gaz électronique comme illustrée sur la Figure IV- 89. Cette courbe ainsi que la FigureIV- 90 permettent de montrer qu’à fort champ les porteurs sont redistribués comme dans le siliciumnon contraint proche de l’équilibre : P X =P Y =P Z =1/3. Par conséquent, pour ces porteurs énergétiquesproche de la configuration dans le silicium, les fréquences d’interaction et les masses mises en jeusont les mêmes que celle du silicium. Ainsi, le gain décroît. Les différents régimes sont récapituléssur la Figure IV- 91.Gain (V GT=cte)120%100%80%60%40%20%0%ModelMonte Carlo1 10 100 1000 10000L G (nm)Figure IV- 88 : Comparaison entre le gain obtenu avec lemodèle (en noir) et les simulations Monte Carlo (symboles) àV DS =V GS = 0.8V.Energie (eV)0.600.500.400.300.200.100.00Vallée kZVallée kXVallée kYdécalage entre vallée Z et X,Y-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60Position le long du MOSFET (nm)Figure IV- 89 : Distribution à fort champ dans les ellipsesdu nMOSFET n°2 silicium sur Si 70 Ge 30 à V DS =V GS = 0.8VProportion (%)100%90%80%70%60%50%40%30%20%10%Vallée kXVallée kZVallée kY0%-30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60Distance le long du canal (nm)Figure IV- 90 : Distribution des porteurs le long du canal dansle nMOSFET n°2 silicium sur Si 70 Ge 30 à V DS =V GS = 0.8V.Figure IV- 91 : Comparaison entre le gain obtenu avec lemodèle et les simulations Monte Carlo à V DS =V GS = 0.8V.8.5. Application à la contrainte induite par le Contact Edge Stop Layer8.5.1. Modélisation de la contrainte mécaniquePour améliorer les performances, les ingénieurs filières ont intégré une couche de nitrure dont lacontrainte interne est ajustée par modification des paramètres de dépôt du plasma [46]. Ainsi dans le- 179 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiquecas des transistors nMOS, il a été montré qu’une couche de nitrure déposé sur le MOSFET en tensionpermet de contraindre le canal en tension de telle sorte qu’un gain significatif de 6% sur le courantpeut être obtenu sans trop changer le V th. A partir des donnés des techniques de fabrication, dessimulations mécaniques avec ANSYS sont effectuées pour déterminer la contrainte moyenne dans lecanal.Stress (M pa)200150100500-50-100-150-2000,01 0,1 1 10Lgate (microns)SxxSyySzzFigure IV- 92 : Illustration des valeurs de contraintesinduite par le CESL dans le canal. Simulations avecANSYS.Figure IV- 93 : Valeurs des composantes de contrainte enfonction de la longueur de grille. Résultats pour un CESL entension de 50nm. X: direction du transport, Z: direction del’empilement de grille.Sur la technologie C65, les composantes de contrainte en fonction de la longueur de grille sont tracéessur la Figure IV- 93.8.5.2. Résultats et validationVth variation (mV)50-5-10-15-20-25-30EXP T50nmEXP T30nmModel T50nmModel T30nm0,01 0,1 1 10Lgate (microns)Figure IV- 94 : Décalage de la tension de seuil en fonctionde la longueur de grille. Comparaison entre le modèle et lesmesures expérimentales.Ion Gain (%)2520151050-50,01 0,1 1 10Lgate (microns)EXP T30nmEXP T50nmMODEL T50nmMODEL T30nmFigure IV- 95 : Gain en I ON fonction de L G . Comparaisonentre le modèle et les mesures expérimentalesAvec ces composantes et en utilisant les équations du modèle, le décalage de la tension de seuil estobtenu et est en assez bon accord avec les résultats expérimentaux comme l’indique la Figure IV- 94pour deux épaisseurs de CESL. Avec cette nouvelle tension de seuil et les nouvelles grandeurs liées autransport, le gain en courant est calculé pour différentes longueur de grille. Le résultat est reporté sur laFigure IV- 95. L’accord est obtenu malgré le nombre important d’approximations effectuées utilisédans le modèle. En effet des approximations mécaniques aux approximations de procédés defabrication en passant par celles des simulations électriques, il est très difficile de modéliser aveccertitude le comportement des MOSFET sous contrainte présentant une certaine non uniformité. En ce- 180 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiquequi concerne la comparaison avec l’expérience, on peut émettre l’hypothèse d’une contrainte initialerésiduelle existant dans les dispositifs, non incluse dans les simulations pouvant expliquer le légerdécalage entre la simulation et l’expérience.8.6. ConclusionL’intérêt du modèle est de pouvoir facilement modéliser les contraintes et n’importe quels matériauxdu moment que sa structure de bande et les fréquences d’interactions associées sont connues. Lesrésultats proposés montrent que la contrainte est un booster efficace pour les grandes longueurs degrille, mais qu’il sera difficile de gagner sur les petits dispositifs car le gain est limité à 1/2∆m c /m c .9. FEUILLE DE ROUTE DE L’ITRSUn des objectifs de la thèse était d’apporter une contribution à la définition de la feuille de route. Pourdiffuser le modèle à un large public, au logiciel MASTAR [5] (Figure IV- 96) a été ajoutée unenouvelle fonctionnalité MASTAR QUASI BALLISTIC [6] (Figure IV- 97) qui regroupe toutes lescourbes et modélisations présentées précédemment. Ce programme écrit en VISUAL C++ [53] permetde visualiser les courbes associées au transport quasi-balistique pour l’architecture MOSFET à substratmassif. Pour contribuer à la définition des feuilles de route, les courants I ON pour les 20 prochainesannées et les grandeurs caractéristiques du transport quasi-balistique sont tracés sur le Tableau IV- 3pour la technologie Low STand by Power (LSTP) [26].Figure IV- 96 : Fenêtre de MASTARFigure IV- 97 : Fenêtre de MASTAR QUASI BALLISTIC- 181 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistiqueMOSFET MASSIF Low Stand By PowerMOSFET HP65 HP45 HP32 HP22 HP16Année 2007 2010 2013 2016 2019t ox (nm) 1.8 1.7 1.5 1.4 1.3N ch (at/cm 3 ) 2.56 10 18 2.8 10 18 5.5 10 18 7.6 10 18 9.7 10 18Xj (nm) 25 15 10 7 5L elec (nm) 40 33 22 16.4 12R acces (Ohm/microns) 130 130 100 80 60I ON (A/m) 466 418 405 434 378R C (%) 42.5 41.5 41 35 32B1 (%) 5.3 12.2 23.6 45 67B2 (%) 40 41 42 48 51N Bal (L ch ) (%) 0.6 1.5 3.0 6.0 9.0Mfp (nm) 1.81 1.75 1.29 1.19 1.05Dmfp (nm) 7.8 8.2 6.3 5.7 4.9 5.1 4.0 3.5 2.8 2.4Tableau IV- 3: Suivant l’ITRS 2004, feuille de route pour le «MOSFET massif Low Stand By Power jusqu’au nœud16nm. Pour chacun des nœuds, les grandeurs caractéristiques du transport quasi balistique sont affichées.10. CONCLUSION ET PERSPECTIVESPour contribuer à la compréhension du transistor MOS, un modèle physique analytique permettant dedécrire rigoureusement le transport électronique de la limite diffusive à la limite balistique a étédéveloppé. Les simulations Monte Carlo et la spectroscopie de porteurs ont validé chaque étape de cemodèle. De plus, la vitesse et la spectroscopie de porteurs ont été modélisées pour affiner lacompréhension du transport électronique. Par ailleurs, le modèle peut prendre en compte l’influencedes contraintes sur le compromis I ON /I OFF par l’emploi en entrée du code des nouvelles propriétésmatériaux. Enfin, grâce à l’interface MASTAR QUASI BALISTIC, il permet de décrire le transport etde visualiser les courbes caractéristiques du transport quasi-balistique.Au niveau des perspectives, la souplesse de ce modèle doit permettre de l’améliorer de multiplesfaçons. Deux voies d’études différentes peuvent être envisagées : Vers une modélisation compacte de type SPICE pour décrire l’ensemble des régimes. Vers une modélisation physique avec en options les différentes approches de la simulationsTCAD (Statistique de Fermi Dirac ou de Boltzmann, gaz 2D ou gaz 3D….)Par conséquent, s’il l’on s’engage sur la voie de la modélisation compacte, les travaux possibles sont :- 182 -

Chapitre IV : Modélisation analytique du transport quasi balistique Développer une méthodologie d’extraction de paramètres Améliorer le modèle pour être en accord avec les impératifs du modèle Compact(continuité, rapidité….) Développer l’ensemble des régimes du MOSFET. Insérer les effets annexes, comme les courants de fuite de grille, de substrat…. Valider les projections du modèle sur des valeurs expérimentalesL’ensemble du travail présenté précédemment se situe dans la seconde voie. Il reste cependantbeaucoup de travail si l’on désire continuer dans la modélisation physique : Faire un travail similaire pour les transistors à canal P Modéliser le transport pour les autres types de MOSFET (DG, SOI…) Modéliser le profil de potentiel 2D en fonction de la raideur des jonctions Modéliser en 2D les effets canaux courts Modéliser les interactions gaz 2D et calibrer sur la mobilité universelle. Modéliser le transport en gaz 2D avec validation sur un code Monte Carlo incluant leseffets de quantification.Ces deux voies de travail semblent à priori différentes, mais je pense qu’il serait pertinent de les menerensemble. Le bénéfice en sera beaucoup plus grand. En effet, une meilleur compréhension physiqueenrichit la modélisation compacte tandis que la modélisation compacte oblige à se raccrocher toujoursaux valeurs expérimentales et de vérifier les compatibilités sur de large gamme de paramètresgéométriques, de dopage et de polarisation.11. REFERENCES[1] “On the ballistic transport in nanometer-scaled DG MOSFETs”, J. Martin, A. Bournel, P.Dollfus, Electron Devices, IEEE Trans. Electron Devices, vol. 51, issue 7, 2004, pp: 1148-1155.[2] “A Landauer Approach to Nanoscale MOSFETs”, M.S. Lundstrom, Journal of ComputationalElectronics, vol. 1, 2002, pp: 481-489.[3] “A New Backscattering Model giving a Description of the Quasi Ballistic Transport”, E.Fuchs, P. Dollfus, G. Le Carval, S. Barraud, D. Villanueva, , H. Jaouen, T. Skotnicki., IEEETrans. Electron Devices, vol. 52, n° 10, 2005, pp: 2280-2289.[4] “A New Quasi Ballistic Model for Strained MOSFET”, E.Fuchs, S. Orain, C. Ortolland, P.Dollfus, G. Le Carval, D. Villanueva, A. Dray, H. Jaouen, T. Skotnicki, SISPAD 2005.[5] “MASTAR user guide”, STMicroelectronics research, 2003, Disponible sur:http://public.itrs.net[6] “MASTAR QUASI BALLISTIC user guide”, ST Microelectronics research, 2005.[7] “Electronic properties of two dimensional systems”, T. Ando, A. Fowler and F. Stern, Reviewof modern Physics, vol. 54, n°2, 1982. pp: 437-672.[8] “Physique de l’état solide”, C. Kittel, Edition Dunot, 1998, 7 e édition.[9] “Fundamental of carrier transport”, M.S. Lundstrom, Cambridge University Press, 2001.[10] “Decoupling Channel Backscattering Coefficients in Nanoscale MOSFETs to Establish Near-Source Channel Conduction-Band Profiles”, M.-J. Chen, R.-T. Chen, and Y.-S. Lin,Nanoscale WorkShop VLSI 2005 pp: 50-51.- 183 -

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ConclusionCONCLUSIONLE TRAVAIL EFFECTUELe Chapitre I a rappelé les bases du transport électronique et de ses spécificités liées aux petitesdimensions. Dans le chapitre II, nous avons détaillé l’état de l’art actuel dans le domaine de la simulationde transistors. Ceci a permis de situer notre travail, centré sur l'étude à la fois théorique et expérimentaledu transport électronique dans les petits dispositifs silicium.Le chapitre III a présenté une nouvelle étude expérimentale et théorique basée sur la comparaison demesures électriques et de simulations. Pour étudier les effets non stationnaires et quasi-balistiques, nousavons fabriqué des diodes n+/n/n+. La première étape fut de calibrer proprement le procédé defabrication, puis le transport sur les diodes stationnaires. A partir de ce calibrage, les comparaisons entremesures expérimentales et simulations furent possibles. Elles ont montré que sur nos diodes, dopéesentre 10 15 at/cm 3 et 10 16 at/cm 3 , le régime stationnaire, où la simulation Dérive-Diffusion donne desrésultats corrects, valable jusqu’à une longueur minimale de 1 micron. Ensuite, il est nécessaire d’utiliserles modèles hydrodynamiques pour prendre en compte les effets non stationnaires. En revanche, sur lesdiodes expérimentales de longueur de grille inférieure à 200nm, nous avons montré que cettemodélisation basée sur des approximations macroscopiques du gaz électronique n’est plus valable.L’apparition du transport quasi-balistique affecte fortement la nature du transport. Dans ce régime detransport, seules les simulations Monte Carlo parviennent à représenter fidèlement le transport car ellessimulent séparément chaque porteurs, sans approximation macroscopique. La simulation Monte Carloétant la plus pertinente pour notre étude, nous avons effectué une analyse spectroscopique pour améliorernotre connaissance du transport. A partir de cette étude, nous avons mis en évidence l’impossibilité d’uncalibrage universel car la connaissance de la forme de la fonction de distribution ne peut être obtenue àpriori. Cette étude a permis aussi de définir une nouvelle notion, les classes de porteurs. Contrairement àla notion de mobilité qui cache la physique en régime quasi-balistique, les classes permettent d’analyserle transport plus en adéquation avec la réalité. Pour preuve ce cadre a servit à modéliser la vitesse et lafonction de distribution dans le chapitre IV. Par ailleurs, des mesures en température ont permisd’améliorer notre connaissance du transport en montrant que plus la température est élevée moins leseffets non stationnaires et quasi-balistiques sont importants.L’étude expérimentale a révélé la succession des différents régimes de transport. Cette étude a étéréalisée pour un dopage et une polarisation donnés. Or les ingénieurs ont besoin de connaître, dans quelrégime leur dispositif fonctionne. Avec cette volonté d’éclaircir la physique du transport, deux calculsthéoriques en fonction des longueurs de relaxation de la vitesse L m et de l’énergie L w et du libre parcoursmoyen lpm ont été développé pour obtenir des critères pour le passage des régimes stationnaire àbalistique. Avec cette étude, un abaque théorique a été développé pour connaître le régime de transportpour une technologie donnée en fonction de la mobilité et du champ latéral. Ainsi, chaque ingénieur enmicroélectronique peut utiliser le simulateur le plus adéquat.- 187 -

ConclusionLes figures suivantes résument le travail effectué. La Figure A met en évidence les limites des modèleshydrodynamiques et la Figure B permet de déterminer en fonction de la mobilité et du champ latéral lesdifférents régimes de transport : stationnaire, non stationnaire et quasi-balistique.Figure A: Ratio entre le courant calculé avec le modèleEnergy Balance et les mesures expériementales à V DS =1VFigure B : Courbes permettant de déterminer les régimes detransport adéquat pour l’étude de dispositfCe travail expérimental fut mené en parallèle avec un travail théorique de développement d’un modèlede rétro-diffusion présenté dans le chapitre IV. Il est le fruit d’une étude précise de la spectroscopie deporteurs par simulation Monte Carlo avec le logiciel MONACO. Il permet de décrire rigoureusement letransport électronique, de la limite diffusive à la limite balistique, par l’étude de la probabilité desporteurs balistiques et de la rétro-diffusion. Après validation Monte Carlo, le modèle de rétro-diffusion aété introduit dans un modèle compact de courant pour simuler les transistors ultimes. De plus, pourquantifier le transport balistique, un nouveau modèle de vitesse a été développé pour déterminer lacontribution au courant des porteurs balistiques. Par exemple, dans un MOSFET sur substrat massif de25nm, 6% de porteurs balistiques contribuent à environ 25% du courant. Par ailleurs, une étude sur laspectroscopie de porteurs et la détermination de la fonction de distribution de porteurs le long du canalnous a donné une compréhension qualitative du transport. Ainsi, en calculant les probabilités N(0), N(1)et , la courbe de spectroscopie d’interaction a été modélisée. De plus, la souplesse du modèle, nousa permis de connaître l’influence de la contrainte sur le transport. Ainsi, après une validation sur unecontrainte standard, nous avons pus retrouver les résultats expérimentaux liés à la contrainte par CESL.De plus, l’influence de la quantification sur le transport a été mise en exergue car le modèle de rétrodiffusiondifférencie les porteurs à masse transverse et les porteurs à masse longitudinale.Cette approche a été mise en œuvre dans le logiciel MASTAR en tant que nouvelle fenêtre de travailMASTAR QUASI BALLISTIC. Dans ce logiciel, les courbes de porteurs balistiques, le profil depotentiel et la vitesse le long du canal sont décrits. Cela permet de donner une bonne compréhension dutransport, comme illustrée sur les Figures C et D. En nous plaçant entre l'approche numérique "TCAD"et la "modélisation compacte", nous avons pu innover au niveau de la description du transport dans lecanal d'un MOSFET. Ce programme propose un cadre qui pourrait à l'avenir servir de plate-formecommune pour l’amélioration continue de la modélisation. Cela permettra ainsi aux technologues et auxingénieurs d’obtenir des éclairages pertinents sur le transport électronique et de les aider dans ladéfinition des futures feuilles de route.- 188 -

ConclusionFigure C: Interface MASTAR QUASI BALLISTICFigure D : Modélisation de la fonction de distribution dansle canal.LES PERSPECTIVESDans le cadre de notre étude expérimentale, il reste à effectuer un travail similaire pour l’étude dutransport des trous. De plus, il serait opportun de réfléchir à des structures et des expériences permettantde mettre en évidence et de quantifier directement les effets balistiques sur silicium. Bien que les travauxactuels sur l’extraction de R C soient très intéressants, ils ne permettent pas de quantifier l’impact réel deseffets balistiques sur le transport.Quant aux perspectives de la modélisation compacte, sa souplesse lui permet d’être améliorée demultiples façons. Les 2 voies d’études s’ouvrent à nous. La première consiste en une modélisationcompacte de type SPICE pour décrire l’ensemble des régimes. Pour cela, il sera nécessaire de reprendreles travaux sur le potentiel de surface pour calculer la charge de manière continue du régimed’accumulation à celui d’inversion forte. Ensuite, il faudra reprendre les calculs spécifiques desproblématiques SPICE et les adapter à notre philosophie pour développer une méthodologie d’extractionet insérer les effets annexes. La deuxième voie est de tendre vers une modélisation physique, en insérantles différentes approches des simulations TCAD. Par exemple, la modélisation complète des effetsquantiques et des effets d’interférences sur le transport pourra être effectuée. Par ailleurs, il seraintéressant de développer le modèle pour l’étude des différentes architectures MOSFET. En effet, sur lesdispositifs SOI ou Double Grille, le canal est peu ou pas dopé et la contribution balistique au courant estimportante.Si ces deux voies de travail sont menées ensemble, je pense que le gain en compréhension et en utilitésera indéniable. En effet, une meilleur description physique et microscopique basée sur la TCADenrichira la modélisation compacte. En retour, les impératifs de la modélisation compacte et saconfrontation aux mesures électriques obligera à traduire l’ensemble des tendances physiques et devérifier les compatibilités du modèle sur de large gamme de paramètres géométriques et de polarisations.- 189 -