etude theorique et experimentale du transport electronique ... - Ief

Chapitre II : Les différents niveaux de la modélisation La densité moyenne des porteurs n( r , t) La densité moyenne des moments p( r , t) La densité moyenne de l’énergie W ( r , t)Pour calculer ces équations de conservation, il suffit, moyennant un certain nombre d’approximations,d’intégrer sur la première zone de Brillouin l’équation de transport de Boltzmann :r∂fr F ∂f+ u∇rf + ∇pf =II- 1∂th ∂ten la multipliant par une fonction h(k) [4] [13], où h(k) vaut respectivement : 1 (moment d’ordre 0) pour la conservation des porteurs h k (moment d’ordre 1) pour la conservation de la vitesse ε (k)(moment d’ordre 2) pour la conservation de l’énergie∫∂f r q v∂f( ) + − r = ( )3 3h k .[ u. gradrf E. grad f ] d k h k .[ ] d kk∂t h ∂tBBcollL’intégration sur la zone de Brillouin permet d’obtenir les équations de conservation des grandeursmacroscopiques densité, vitesse et énergie. Le développement de ces calculs est long et fastidieux. Dansce chapitre, seul l’esprit de la méthode et les principales approximations nécessaires à la compréhensiondu transport électronique seront expliqués.coll∫II- 22.1.2. Calcul au moment 0Pour obtenir la conservation de la densité de porteurs, l’ETB est intégrée avec h(k)=1. Dans ce calcul, lepremier terme de l’intégrale représente la variation de la densité de porteurs dans le temps. Commel’objectif est de calculer le courant en statique, f est considérée comme constante dans le temps en toutpoint du dispositif. Ces termes temporels seront donc considérés comme nuls dans la résolution dusystème. Pour le second terme de l’intégrale, en utilisant u.grad r f = div r (fu), on obtient la divergence ducourant div r (nv), où v est la vitesse moyenne. Le troisème terme est nul. Enfin le terme de collisionn’influe pas sur la densité d’électron . On a donc [4] :∂n1 − divr( Jn) = 0∂tqSans génération ni recombinaison, la variation temporelle de la charge est égale à la divergence du flux decourant. Equation bien connue qui peut aussi être obtenue par dérivation de l’équation de MaxwellAmpère [14].Avec h(k)=2.1.3. Calcul au moment 1hkle premier terme de l’intégrale représente la variation du moment P=nmv dans le temps.Le deuxième terme donne ( n ku )On définit pour cela l’énergie par WII- 3div rh qui correspond à la divergence de l’énergie du gaz électronique.= 1/2nhku. Le troisème terme donne –qnE par développementpar partie de l’intégrale. Pour calculer le terme de collision il est nécessaire alors d’introduire la fonctionde distribution à l’équilibre. Sans approximation sur la forme de f, on a [13]:- 47 -