etude theorique et experimentale du transport electronique ... - Ief

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Chapitre I : Introduction au transport électroniqueFigure I-27 : Fonction de distribution à l’équilibre. Larépartition des vitesses provient la statistique de Boltzmann.La vitesse moyenne est nulle, bien que la vitesseindividuelle des porteurs ne soit pas nulle. La moyenne de lavaleur absolue des vitesses est représentative de l’agitationthermique donc de la température.Figure I-28 : Fonction de distribution dans l’approximationde la Maxwellienne déplacée. Le nombre d’interactions esttelle que la fonction est presque à l’équilibre. Elle est justetranslatée de la vitesse de dérive v d. sous l’influence du champE.Avec l’approximation de la Maxwellienne déplacée (I- 59) les grandeurs macroscopiques moyennestelles que la densité, la vitesse et l’énergie sont facilement calculables à partir de I- 49, I- 50 et I- 51dans le cadre de l’approximation parabolique. Elles sont regroupées dans le Tableau I- 3 :Tableau I- 3 : Calcul des principales grandeurs dans l’approximation maxwellienne où T c est la température du porteur.Dans le Tableau I- 3 la notion de température a été introduite dans le calcul de l’énergie moyenne W.Cette grandeur joue un rôle primordial dans les effets non stationnaires. A partir de l’équation I- 51, lavaleur de l’énergie moyenne vaut :- 32 -
Chapitre I : Introduction au transport électronique∞* 2∫1 2m v f ( ε ) dε0*I- 60W = = 1 2m vvf dε( ε )Pour introduire la notion de température, la vitesse des porteurs est décomposée en une partiesymétrique c où < c >= 0 et une partie antisymétrique v où < v >= vdet v = v + dc . La densitéd’énergie cinétique s’écrit, en prenant en compte l’approximation de la masse effective :* rr * r r 2 * r 2 r r r2W = 1/ 2m < vv >= 1/ 2 m < ( v + c) >= 1/ 2 m ( < v > + 2 < v >< c > + < c > )d d dOr =0 par définition d’où [10] :1 * 1 * 2W = nm vd + nm < c >I- 622 2Le premier terme désigne l’énergie de dérive, et le second terme, l’énergie due au mouvementaléatoire des porteurs, c'est-à-dire à l’agitation thermique. A l’équilibre, cette énergie d’agitation estreprésentative de la quantité de phonons et donc de la température du réseau :1 * 2 3Wtherm= nm < c >= nkTcI- 632 2Par contre, à fort champ, l’agitation augmente et la température T C dépasse la température du réseau.La température électronique est alors une grandeur pertinente pour l’étude de la saturation en vitesse etdes effets non stationnaires. Au final, l’énergie totale des porteurs est donc égale à la somme d’unecomposante de dérive liée au champ électrique et d’une composante liée à l’agitation thermique.Les grandeurs macroscopiques ayant été calculées sous l’approximation de la maxwellienne déplacée,la vitesse moyenne v d peut être déterminée en fonction du champ électrique. Pour cela l’approximationdu temps de relaxation RTA va être explicitée ("Relaxation Time Approximation" dans la littérature).Cette approximation permet de calculer de façon simple le terme de collision dans l’ETB.I- 615.3. L’approximation du temps de relaxationSi l’on considère f comme maxwellienne déplacée, f peut se décomposer en 2 composantes, unesymétrique f S égale à f 0 à l’équilibre et une f A antisymétrique telle que [10] :r r r r r rf ( , p, t) = f ( , p, t) + f ( , p, t)I- 64Soù la composante symétrique est supposée grande devant la composante antisymétrique. Il estimportant de souligner que la composante symétrique, bien que la plus importante, n’est pas la sourcedu courant. A l’équilibre, fS= foet fA= 0 . En dehors de l’équilibre, l’hypothèse est de supposer quef S est de la même forme que f 0 . En utilisant (I- 64), le terme de collision donne :∂f∂tcoll∂fS=∂tcoll∂f+∂tPour le premier terme, à l’équilibre ou à faible champ, la variation de la partie symétrique de f estconsidérée comme constante car la température électronique reste constante et égale à la températuredu réseau. Pour le deuxième terme, antisymétrique, une forme possible est [10] :r r∂fAfA(, p,t)= − r rI- 66∂tτ (, p,t)collf- 33 -AAcollI- 65
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