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Chapitre I : Introduction au transport électroniquemesure où la courbure de bande de conduction varie peu au voisinage du minimum, cette masseeffective est constante ; ε(k) varie quadratiquement avec le vecteur d’onde k. Cette loi de variationconstitue ce que l’on appelle l’approximation des bandes paraboliques. Les équations précédentes ontété obtenues en 1D. Mais pour le silicium, semi-conducteur à gap indirect, il apparaît 6 minima sur lastructure de bande de conduction. Ces 6 vallées ellipsoïdales sont situées le long des axes ∆ auvoisinage des points X de la Zone de Brillouin. La réponse électronique au champ appliqué dépendalors de l’orientation cristallographique. Les calculs montrent que pour chaque vallée dusilicium [10] :( k − k )22 2h ⎡k ⎤l 0 tε ( k)= ⎢ + ⎥.I- 132 ⎢⎣mlmt⎥⎦Où k 0 correspond au minimum d’une des vallées et k l la composante portée par l’axe de révolution et k tcomposante portée par le plan perpendiculaire à l’ellipse. L’équation (I- 13) décrit les surfacesd’énergie constante du silicium représentées sur la Figure I-9. Le tenseur de masse comprend ainsideux valeurs de masses différentes : la masse effective longitudinale m * l = 0.916m o la masse transverse m * t =0.19m o.Et le tenseur de masse est le suivant pour chacune des 6 vallées, souvent appelées vallées ∆:⎡mt⎢⎢0⎢⎣00m0t0 ⎤0⎥⎥m ⎥l ⎦A partir de ces masses, les grandeurs caractéristiques du transport, telle la masse effective deconduction, seront déterminées.I- 14Figure I-9 : Surfaces iso-énergétiques calculées à partir del’équation I- 13, pour les 6 vallées du silicium.Figure I-10 : Evolution énergétique d’un porteur balistiquedans un potentiel donné.3.1.2. Transport classiqueLa notion de masse effective ayant été introduite, le mouvement de l’électron dans le cadre de lamécanique classique peut être calculé. Ceci est possible car dans les dispositifs conventionnels, lepotentiel appliqué et induit par le dopage varie lentement en comparaison du potentiel cristallin. Parconséquent, les phénomènes ondulatoires tels que les réflexions quantiques et les transferts tunnelssont absents. Les trajectoires électroniques peuvent être alors décrites de manière classique selon les- 16 -
Chapitre I : Introduction au transport électroniqueéquations de Newton. Ainsi, lorsque le potentiel varie lentement, l’énergie du porteur est simplementla somme de l’énergie de la bande de conduction et de son énergie de cinétique (I- 15) [10]. Dans lecas d’une bande parabolique (i.e. la masse est constante) on a :ε( k, z) = E ( z) + ε ( k)C1I- 15* 2ε ( k, z) = EC( z) + m v2Cette équation est illustrée sur la Figure I-10. Lorsque un électron est injecté dans le canal sans subird’interaction, l’énergie totale de l’électron est constante. Le mouvement du porteur dans un champélectrique E dans les espaces réel et réciproque est alors défini en appliquant les lois de la dynamique :∂ k dk 1drdt=1h( )ε∂ket= qEI- 16dt hL’évolution de l’énergie cinétique du porteur correspond alors à la chute du potentiel, c'est-à-dire autravail du champ.La notion de masse effective permet de prendre en compte le déplacement de l’électron dans le cadrede l’approximation de bande parabolique. Analysons maintenant les limites de cette approximation.3.1.3. Limitation de la masse effectiveDans les MOSFET nanométriques, le nombre d’interactions dans le canal est faible. Par conséquent,une proportion non nulle d’électrons (celle-ci sera calculée dans le chapitre IV) traversent le canal dela source vers le drain de manière balistique. Si l’on applique une tension de 1V sur un transistornanométrique où existent des porteurs balistiques, ces derniers possèderont une énergie cinétique audrain d’environ 1eV. Si l’on observe la bande de conduction, on s’aperçoit que l’approximation de labande parabolique est valable jusqu’à 0,5eV environ. Par conséquent, il est clair que cetteapproximation devient fausse pour les porteurs balistiques. De même si l’on considère, l’énergiecinétique moyenne du gaz électronique, celle-ci peut atteindre plusieurs 100meV avec les effets desurvitesse : les électrons s’éloignent du bas de la bande de conduction E C et l’approximation desbandes paraboliques devient inexacte. En d'autres termes, les termes supplémentaires de la série deTaylor (I- 10) ne peuvent alors être ignorés. Pour remédier à cela, un facteur de non parabolicité estintroduit [10] L’énergie s’écrit alors :2 2 2h ⎛ k k ⎞ε I- 17( + t l1 αε ) = ⎜+⎟ *2 ⎝ m*tml⎠Où α=0.5 est le facteur de non parabolicité. Cette approximation est valable lorsque l’on reste à deslongueurs de grille de quelques dizaines de nanomètres. Mais elle ne permet pas de traiter les porteurshautement énergétiques. Dans ce cas, il est nécessaire de prendre en compte toute la structure de bandede manière tabulée. Pour quantifier l’influence de ces approximations sur le courant, considérons troisgénérations de transistors à V DS =1V :• Transistor de 1 micron : Le champ moyen appliqué est de 10kV/cm (Figure I-11). L’énergiedu gaz électronique reste aux alentours d’une dizaine de meV. Et il n’y a aucun porteurbalistique.• Transistor de 100nm : Le champ moyen appliqué est de 100kV/cm (Figure I-11). L’énergiedes porteurs devient importante, il est nécessaire d’utiliser la correction de non parabolicitépour représenter correctement les porteurs très énergétiques.- 17 -
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