etude theorique et experimentale du transport electronique ... - Ief

Chapitre II : Les différents niveaux de la modélisationτm( k) τ ( k)∫ hk× f ×B=∫ hk×Bm( f − f )Il est important de noter que 1/τ m est la fréquence d’interaction du moment pour une énergie donnée tandisque est la fréquence moyenne d’interaction du moment pondérée par la distribution liée à lavitesse. Avec cette notation, aucune approximation sur le calcul de la fréquence d’interaction n’esteffectuée (pour l’instant). L’équation devient [4] :r∂Pt1 r+ 2div( W ) + nqE = − PII- 5∂tτSans génération ni recombinaison et en statique (dP/dt=0), la variation saptialle de l’énergie est égale à laforce appliquée au gaz plus la force de friction due aux interactions. En écrivant l’énergie en terme detempérature électronique et en multipliant par le temps de relaxation du moment, la mobilité et lecoefficient de diffusion apparaîssent pour obtenir l’équation Dérive-Diffusion. Elle permet de calculer lalongueur de relaxation de la vitesse.2.1.4. Calcul au moment 2Avec la même méthode on obtient la conservation de l’énergie en définisssant le flux d’énergie par :F W =n et le temps de relaxation de l’énergie définie par :0d( k) τ ( k )3dkm3kII- 4∫ ε × f × w d kBτ w =II- 63∫ ε × ( f − f ) d kOn obtient alors l’équation de conservation de l’énergie [4] :t∂Wr r 1+ divrFW− JE = − W −W∂tτB0w3( )Sans génération ni recombinaison et en statique (dW/dt=0), la puissance apportée par le champ est égale àla puissance dissipée par les interactions avec les phonons intervallée plus la diffusion du flux d’énergie.0II- 72.1.5. Relation de fermeture et approximationsDe la même manière que précédemment la méthode peut continuer jusqu’aux moments 3 (flux d’énergie),4, 5. La résolution numérique en sera d’autant plus compliquée et longue. Si l’on souhaite s’arrêter aumoment 2, pour résoudre le système des équations de conservation {II- 3, II- 5, II- 7}, il est nécessaire detronquer le système. Celui-ci ayant une inconnue en plus, le flux d’énergie F W , il est nécessaire d’exprimercette grandeur à partir des grandeurs précédentes, densité, vitesse et énergie. Dans un cas général à néquations, la troncature exprime l’inconnue n+1 avec les grandeurs précédentes. Ces troncaturespermettent alors de retrouver les modèles suivants : Lorsque la relation de fermeture du système est à l’ordre 2, le flux de chaleur est exprimé enfonction de l’énergie et de la température. On obtiendra alors le modèle de Bløtekjaer ou appeléaussi « Hydrodynamic Model » (HDM), car similaire dans la forme avec les équations del’analyse des fluides.- 48 -