Exercices - Réduction des endomorphismes : énoncé ... - Bibmath

Exercices - Réduction des endomorphismes : énoncéExercice 5 - Trigonalisation - sans indication - L2/Math Spé - ⋆⋆Trigonaliser la matrice suivante :⎛⎞1 4 −2⎜⎟A = ⎝ 0 6 −3 ⎠ .−1 4 0Exercice 6 (- Racine cubique ) - L2/Math Spé - ⋆⋆−5 3Soit A =. Montrer que A est diagonalisable et calculer ses valeurs propres.6 −2En déduire qu’il existe une matrice B telle que B 3 = A.Exercice 7 - Application ⎛ à des ⎞suites récurrentes - L2/Math Spé - ⋆−4 −6 0⎜⎟Soit A la matrice ⎝ 3 5 0 ⎠.3 6 51. Diagonaliser A.2. Calculer A n en fonction de n.3. On considère les suites (u n ), (v n ) et (w n ) définies par leur premier terme u 0 , v 0 et w 0 etles relations suivantes : ⎧⎪⎨⎪ ⎩u n+1 = −4u n − 6v npour n ≥ 0. On pose X n =⎛⎜⎝u n , v n et w n en fonction de n.v n+1 = 3u n + 5v nw n+1 = 3u n + 6v n + 5w n⎞u n⎟v nw n⎠. Exprimer X n+1 en fonction de A et X n . En déduireExercice 8 - Base de matrices diagonalisables... - L2/Math Spé - ⋆⋆Existe-t-il une base de M n (R) constituée de matrices diagonalisables dans R ?Exercice 9 - Déduire du cas 2x2 - L2/Math Spé - ⋆⋆( )0 a1. Soit A = dans Mb 02 (R). Donner une condition nécessaire et suffisante pour queA soit diagonalisable.2. Soient p ≥ 1 et α 1 , . . . , α 2p des réels. Soit A = (a i,j ) ∈ M 2p (R) tel que a i,2p+1−i = α i si1 ≤ i ≤ 2p et a i,j = 0 sinon. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que A soitdiagonalisable sur R.Exercice 10 - Matrice d’ordre n - L2/Math Spé - ⋆⋆Soit, pour n ∈ N, la matrice M n de M n (R) dont les coefficients diagonaux sont égaux à1, 2, . . . , n et les autres coefficients sont tous égaux à 1. Soit P n le polynôme caractéristique deM n .1. Démontrer que P n+1 (X) = (n − X)P n (X) + (−1) n X(X − 1) . . . (X − (n − 1)).http://www.bibmath.net 2