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Exercices - Grands théorèmes : principe du maximum -application ouverte ... : énoncéExercice 1 - Module constant - L3/M1 - ⋆Soit Ω un ouvert connexe de C, f une fonction holomorphe dans Ω. On suppose que |f| estconstant dans Ω. Montrer que f est constante.Exercice 2 - Quelques conséquences du principe du maximum - L3/M1 - ⋆Soit f une fonction holomorphe dans D(0, R), le disque de centre 0 et de rayon R. Pour0 ≤ r ≤ R, on poseM f (r) = max|z|=r |f(z)|.1. Montrer que r ↦→ M f (r) est une fonction croissante.2. Montrer que, si f n’est pas constante, r ↦→ M f (r) est strictement croissante.3. On suppose que f est un polynôme de degré n, et on pose g(z) = z n f(1/z). Quel est lelien entre M f (r) et M g (1/r) ? En déduire que la fonction r ↦→ M f (r)/r n est strictementdécroissante, sauf si f est de la forme az n .4. On suppose de plus que f est unitaire. Montrer que, si pour tout z de module 1, |f(z)| ≤ 1,alors f(z) = z n .Exercice 3 - Deux fonctions ayant le même module - L3/M1 - ⋆⋆Soient f et g deux fonctions holomorphes ne s’annulant pas dans un ouvert connexe Ωcontenant le disque unité fermé. On suppose que |f(z)| = |g(z)| pour |z| = 1. Montrer qu’ilexiste λ ∈ C avec |λ| = 1 tel que f = λg sur Ω. La conclusion est-elle encore vraie si on nesuppose plus que f et g ne s’annule pas ?Exercice 4 - A valeurs réelles sur le bord - L3/M1 - ⋆⋆Soit Ω un ouvert connexe de C contenant le disque unité fermé. On suppose que f(z) ∈ Rsi |z| = 1. Montrer que f est constante.Exercice 5 - Convergence uniforme - L3/M1 - ⋆Soit U un ouvert de C contenant a ∈ U. Soit (g n ) une suite de fonctions holomorphes surU. Pour n ≥ 1, z ∈ U, on pose f n (z) = (z − a)g n (z). On suppose que la suite de fonctions (f n )converge uniformément vers 0 sur U. Montrer que la suite (g n ) converge aussi uniformémentsur U.Exercice 6 - Un théorème de Schwarz précisé... - L3/M1 - ⋆⋆Soit f une fonction holomorphe sur le disque unité D. On suppose qu’il existe k ≥ 1 tel quef(0) = f ′ (0) = · · · = f (k−1) (0) = 0 et |f(z)| ≤ M si z ∈ D.1. Montrer que la formule g(z) = z −k f(z) définit une fonction holomorphe sur D vérifiant|g(z)| ≤ M pour tout z ∈ D.2. En déduire que |f(z)| ≤ M|z| k pour tout z ∈ D. Que peut-on dire s’il existe a ∈ D\{0}tel que |f(a)| = M|a| k .Exercice 7 - Théorème de Schwarz-Pick - L3/M1 - ⋆⋆⋆Soit f une fonction holomorphe du disque unité ouvert D dans lui-même. Pour a ∈ D, onconsidère l’homographieφ a : z ↦→ z − a1 − āz .1. Montrer que φ a est une bijection de ¯D dans lui-même. Quelle est son inverse ?2. Calculer φ ′ a(a).http://www.bibmath.net 1

Exercices - Grands théorèmes : principe du maximum -application ouverte ... : énoncé3. Quelle est l’image du point 0 par h = φ f(a) ◦ f ◦ (φ a ) −1 ? En déduire que pour tout z ∈ D,on a∣ ∣∣∣∣ f(z) − f(a)∣ ∣∣∣ 1 − f(a)f(z) ∣ ≤ z − a1 − āz ∣puis|f ′ (a)| ≤ 1 − |f(a)|21 − |a| 2 .Exercice 8 - Théorème des trois cercles d’Hadamard - L3/M1 - ⋆⋆⋆Soit f une fonction holomorphe dans un ouvert U contenant la couronne C = {z ∈ C; r ≤|z| ≤ R}, où r < R sont deux réels strictement positifs. Pour ρ ∈ [r, R], on notePour la suite de l’exercice, on fixe ρ ∈ [r, R].M(ρ) = sup{|f(z)|; |z| = ρ}.1. Montrer qu’il existe θ ∈ [0, 1] tel que ρ = r θ R 1−θ .2. Montrer que, pour tous p, q ∈ Z, q > 0, alors3. En déduire que pour tout α ∈ R, on a4. En déduire que M(ρ) ≤ M(r) θ M(R) 1−θ .5. Interpréter en termes de fonctions convexes.ρ p M(ρ) q ≤ max ( r p M(r) q , R p M(R) q) .ρ α M(ρ) ≤ max ( r α M(r), R α M(R) ) .Exercice 9 - Inégalité de Borel-Carathéodory - L3/M1 - ⋆⋆⋆Soit f une fonction entière vérifiant f(0) = 0. Soit R > 0 et M > sup{Re(f(z)); |z| ≤ 2R}.Pour u ∈ D = D(0, 1), on définit g(u) =f(2Ru)2M−f(2Ru) .1. Montrer que, pour tout w ∈ C avec Re(w) < M, on a |w| < |2M − w|.2. En déduire que g est bien définie sur D et que, pour tout u ∈ D, |g(u)| < |u|.3. Conclure quesup{|f(z)|; |z| ≤ R} ≤ 2 sup{Re(f(z)); |z| ≤ 2R}.Exercice 10 - Produit de Blaschke fini - L3/M1 - ⋆⋆⋆L’objectif de l’exercice est de décrire les fonctions holomorphes sur le disque D(0, 1), continuessur D(0, 1), et de module constant sur le cercle C(0, 1). On fixe f une telle fonction.1. Soit Ω un ouvert connexe borné de C, h une fonction holomorphe dans Ω, continue surΩ, non constante, et telle que |h| est constant sur la frontière de Ω. Montrer que h admetun zéro dans Ω.2. En déduire que f est constante, ou que f admet une factorisation de la formef(z) = (z − α 1 ) m 1. . . (z − α p ) mp g(z)où p ≥ 1, α 1 , . . . , α p ∈ D(0, 1), m i > 0 et g est holomorphe et sans zéros dans D. Onsupposera pour la suite que f n’est pas constante.http://www.bibmath.net 2

Exercices - Grands théorèmes : principe du maximum -application ouverte ... : énoncé3. Soit a ∈ D(0, 1), et φ a = z−a1−āz . Montrer que |φ a(z)| = 1 si |z| = 1.4. Soit h(z) = f(z) ∏ pi=1 φ α i(z) −m i. Montrer que h définit une fonction holomorphe surD(0, 1) satisfaisant |h(z)| = Cste si |z| = 1. En déduire que f(z) = C ∏ pi=1 φ α i(z) pour unC ∈ C.http://www.bibmath.net 3