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Exercices - Extrema des fonctions de plusieurs variables :indicationsExtrema libresExercice 1 - Extrema locaux - L2/Math Spé - ⋆Il s’agit d’une application assez immédiate des résultats du cours. On cherche les pointscritiques, puis on étudie la nature de ces points critiques.Exercice 2 - Extrema globaux - L2/Math Spé - ⋆⋆La recherche des extrema locaux se fait suivant la méthode habituelle. Pour étudier l’existenced’un extremum global, on pourra étudier f(x, y) − f(x 0 , y 0 ) et démontrer que ceci gardeun signe constant, ou bien étudier le comportement de f aux bord de l’ensemble de définition.Exercice 3 - Dégénérés... - L2/Math Spé - ⋆⋆Pour toutes ces fonctions, on a affaire à des points critiques dégénérés. Il faut donc faireun développement limité autour du point pour savoir si on a affaire, ou non, à un extrémum.Pour vérifier que ce ne sont pas des extrema globaux, on pourra s’intéresser au comportementen l’infini de la fonction, suivant certaines directions.Exercice 4 - Beaucoup d’extrema - L2/Math Spé - ⋆⋆⋆Suivre la méthode classique. Il y a beaucoup de points critiques. Il faut distinguer les cas !Extrema sous contrainteExercice 5 - En détails - L3/Math Spé - ⋆1.2. Compacité.3.4. Utiliser la paramétrisation du bord de Γ.5.Exercice 6 - Extrema sur un compact - L3/Math Spé - ⋆⋆Dans chaque cas, l’existence vient du fait que l’on recherche le maximum d’une fonctioncontinue sur un compact. Ce maximum peut être atteint ou bien sur le bord du compact, oubien à l’intérieur. Dans ce cas, cela ne peut être qu’en un point critique...Exercice 7 - Volume et surface d’une boite - L3/Math Spé - ⋆⋆Notons x, y, z les trois dimensions. On doit minimiser une fonction de trois variables en x, yet z, sous la contrainte de xyz = 0, 5. On peut donc remplacer z par son expression en fonctionde x et de y, et rechercher le minimum d’une fonction de deux variables.Exercice 8 - Extrema liés - L3/M1 - ⋆⋆⋆Appliquer le théorème des multiplicateurs de Lagrange, et démontrer que s’il y a un extremumlié, c’est forcément en (1,1). Étudier précisément ce qui se passe en (1,1).Exercice 9 - Inégalité arithmético-géométrique - L3/M1 - ⋆⋆⋆1. Commencer par prouver que Γ est compact, puis appliquer le théorème des extrema liés.http://www.bibmath.net 1

Exercices - Extrema des fonctions de plusieurs variables :indications2.Exercices théoriques sur les extremaExercice 10 - Convexité et minimum - L2/Math Spé/Oral Mines - ⋆⋆Prendre x un point critique et y tel que f(y) < f(x). En étudiant le comportement de f surle segment [x, y], au voisinage de x, trouver une contradiction.Exercice 11 - Le théorème de Rolle en plusieurs variables - L3/Math Spé - ⋆⋆Utiliser l’existence d’un maximum et d’un minimum sur la boule unité fermée.Exercice 12 - La méthode des moindres carrés - L3/Master Enseignement - ⋆⋆⋆Exercice 13 - Sans les théorèmes - L1/Math Sup - ⋆1. Etudier les fonctions d’une variable g(t) = f(a + te 1 ), et h(t) = f(a + te 2 ).2. Calculer les dérivees partielles, chercher le seul point où elles s’annulent simultanément.Puis faire le calcul comme proposé, et repérer une quantité toujours positive.3. (a) Calculer les dérivées partielles et chercher les points où elles s’annulent simultanément.(b) L’indication est déjà dans l’énoncé !http://www.bibmath.net 2