A. Propagation des ondes électromagnétiques dans le vide

Des calculs identiques conduisent à22Δ E y = K E y et E z = K E zΔ , ce qui permet d’obtenir la relation vectorielle :2Δ E = K EEq.12La seconde partie de l’équation de propagation est plus facile à exprimer :22∂ E∂ E2x 2y 2 ∂ E z 2= −ω E2x , = −ω E2x et = −ω E2x en utilisant j 2 =-1. On obtient aussi une relation vectorielle :∂t∂t∂t∂2E 2∂t2= −ω∂ ELa relation Δ E − μ0 ε0= 0 conduit à :2∂t2EEq.132K002= −μ ε ωEq.14qui est la relation de dispersion pour une onde électromagnétique sinusoïdale qui se propage dans le vide illimité.A2.3. Le vecteur d’ondeL’équation de dispersion permet de trouver les deux composantes du vecteur de propagation.On calcule K 2 2 2 2à partir de K = α + jk, ce qui donne K = α − k + 2jαk2 .En identifiant les parties réelles et imaginaires, on obtient les deux équations :2 22α − k = −μ0ε0ωα k = 0On en déduit :α=0 l’onde se propage sans amortissement.k ε μ ωEq.15= 0 0La norme du vecteur d’onde est une fonction linéaire de la pulsation.L’expression mathématique de l’onde électromagnétique dans le vide est alors :E(r, t)jωt−K.rj( ωt−k.r)0 e = E 0 e= EetA2.4. Vitesse de phase, vitesse de groupe.B(r, t)=j( ωt−k.r)B0 ePar définition, la vitesse de phase est :ωvϕ =Eq.16ket la vitesse de groupe est :∂ωv g = Eq.17∂kA partir de l’ Eq.15, on obtientlumière dans le vide.vϕ= v1g = =ε0μ0c , où c est la vitesse de laDans le vide, les ondes se propagent à la vitesse de la lumière, quelle que soit leurpulsation. On dit que le vide est un milieu non dispersif. Ce qui se traduit aussi parune vitesse de groupe égale à la vitesse de phase. La courbe ω(k) est une droite depente c (Figure 2).Remarque:D’après la définition de la vitesse de groupe, on dit souvent que c’est la vitesse depropagation de l’énergie dans le train d’ondes. Ce n’est qu’à peu près vrai mais unexamen précis sort du cadre de cette étude.Figure 2 : courbe de dispersion pour uneonde plane dans le vide2 Dans un milieu infini, α et K ont la même direction. Dans un milieu semi-infini, quand la distance de propagation est définieà partir de la surface, α est perpendiculaire à cette surface.6

A3 Structure d’une onde monochromatique plane dans le videA3.1. Structure d’une onde monochromatique planeDeux des équations de Maxwell vont permettre de relier les composantes E et B du champ électromagnétique au vecteurd’onde k . Les deux autres équations de Maxwell relient les champs E et B entre eux.j( ωt−k.r)On va utiliser les coordonnées cartésiennes pour rechercher les relations entre E , B et k sachant que E(r, t) = E0 e etj( ωt−k.r)B0 eB(r,t) = .Dans un premier temps, on va étudier le cas d’une onde plane polarisée rectilignement, le champ électrique garde une directionconstante et E 0 est indépendant des coordonnées d’espace. La dépendance spatiale est toute entière contenue dans l’argumentde l’exponentielle, le terme de propagation ( ω t − k.r).div E =0∂E∂Ex y ∂Ezdiv E = + + , kr= k x x + k y y + k zzet E 0x x 0y y 0z z∂x∂y∂z0 = E e + E e + E e∂ EExj( ωt−k.r)yj( ωt−k.r= − jk x E 0x e) ∂Ezj(= − jk y E 0y e= − jk z E 0z e∂x∂y∂zOn peut donc écrire : div E = − jk E et on obtient∂ωt−k.r)k .E = 0Eq.18Le champ électrique est perpendiculaire au vecteur d’onde, donc à la direction de propagation. Il appartient au pland’onde.div B = 0De la même façon, on obtient :k .B = 0Eq.19Le champ magnétique est aussi perpendiculaire à la direction de propagation et appartient au plan d’onde.rot Erot E∂B= −∂t⎧∂Ez⎪⎪ ∂y⎪∂Ex= ⎨⎪ ∂z⎪∂Ey⎪⎩ ∂x∂Ey−∂z∂Ez−∂x∂Ex−∂y= −jk= −jk= −jkyzxEEEzxy+ jk+ jkz+ jkxyEEEyzx⎫= −jωBx⎪⎪⎪= −jωBy ⎬ = −jk∧ E = −jωB⎪⎪= −jωBz⎪⎭k ∧ E = ωBEq.20Le champ magnétique B est perpendiculaire au champ électrique.∂ECe qui est confirmé en utilisant l’équation de Maxwell rot B = μ0ε0, avec laquelle on obtient :∂tωk ∧ B = − EEq.212cPar application du principe de superposition, on peut généraliser les résultats précédents :Dans le vide, une onde électromagnétique plane est une onde transversale, les champs E et B sont perpendiculaires à ladirection de propagation, ils sont aussi perpendiculaires entre eux.L’Eq.20 et l’Eq.21 permettent aussi de trouver une relation entre les amplitudes des champs E et B .7

Ils sont en phase et leur norme est telle que :EB =cDans le vide, l’amplitude du champ magnétique est beaucoup faible que l’amplitude du champ électrique.Eq.22La structure d’une onde plane monochromatique polariséerectilignement suivant l’axe Oy est représentée sur la Figure 3:Le vecteur d’onde est dirigé suivant Ox et le champ électrique a uneseule composante E 0Y .k x E y E yA partir de Eq.20, on montre aisément que Bz = = .ω cLe champ magnétique B oscille dans le plan YOZ, en phase avec lechamp E .A3.2. Impédance itérative du videEn électricité, l’impédance a les dimensions d’une tensiondivisée par un courant.Le champ électrique est une tension par unité de longueur.La grandeur magnétique directement reliée à une grandeurcourant est l’excitation magnétique H ( B = μ0 H)dont lesFigure 3 : Structure d’une onde plane polariséerectilignement dans le videdimensions sont celles d’un courant par unité de longueur (mêmes dimensions que l’aimantation M par unité de volume,[ ][ Courant] x [ Surface]M = ).[ Volume]L’impédance est alors le rapport de l’amplitude du champ électrique et de l’amplitude de l’excitation magnétique. On montrequ’elle s’exprime aussi par le rapport de l’amplitude du champ magnétique et de l’excitation électrique.E BZ = =Eq.23H DSi on considère un vide illimité, il existe simplement une onde incidente et l’impédance est égale à l’impédance itérative Z i .EEn utilisant B = et B = μ 0 H , on obtient :cμ0Z i = Eq.24ε0Sachant que μ 0 =4π 10 -7 H.m -1 et ε 0 =(1/36π 10 9 ) F.m -1 , l’impédance du vide est égale à 376 Ω.A4 Energie transportée par l’onde planeA4.1. Energie volumiqueUne onde électromagnétique transporte de l’énergie. La densité d’énergie associée à l’onde est la somme de la densité E Eassociée au champ électrique et la densité E M associée au champ magnétique.1 2 1 E E = ε 0Eet E2M = μ 0B22En utilisant l’Eq.22, on montre aisément que E E =E M . Dans le vide, la densité d’énergie électrique d’une onde électromagnétiqueest égale à sa densité d’énergie magnétique.22 BE = EE+ EM= ε0E=μ0Remarque :Lorsqu’il intervient dans les formules un produit de deux grandeurs, il n’est plus possible d’utiliser la notation complexe. Eneffet, la partie réelle du produit de deux nombres complexes n’est pas égale au produit de leurs parties réelles. Toutefois, on peutcontinuer à utiliser la notation complexe quand on s’intéresse à la valeur moyenne d’un produit, à condition d’utiliser :8

A B * A* BR e (A) Re(B)= = où B * est le conjugué de B .2 2Ainsi, l’énergie volumique moyenne peut s’écrire en utilisant la notation complexe :ε01E = EE+ EM= E E * + BB * .4μ4 0A4.2. Vecteur de PoyntingE ∧ BDans le vide, le flux d’énergie est représenté par le vecteur P = , dit vecteur de Poynting.μE ∧ B *En notation complexe, il faut écrire P = .2μ0Le vecteur de Poynting est perpendiculaire au plan d’ondes et confondu avec la direction de propagation.Le flux du vecteur de Poynting à travers une surface représente la quantité d’énergie électromagnétique traversant cette surfacepar unité de temps.2E ∧ B2 dr d V dV dE∫ P.dS = ∫ ( ).dS = ∫ ( ε0E )cdS = ∫EdS =dt∫ E = E =μdt dt dtS S 0SSSDans le vide, l’énergie électromagnétique se propage à la vitesse c. L’onde électromagnétique permet le transport de l’énergiesans aucun support matériel.L’énergie rayonnée sous forme électromagnétique a une importance considérable dans l’Univers. C’est ce rayonnement qui régitl’équilibre énergétique des étoiles et des planètes, dont la Terre.On verra par la suite qu’on peut aussi guider la propagation de cette énergie en utilisant des milieux matériels, par exemple deslignes électriques ou des guides d’ondes.09