Notes de correction - ENS Cachan

Concours commun des écoles normales supérieuresÉpreuve pratique d’algorithmique et de programmationHalmaSujet et éléments de correctionJuillet 2004Note. Lorsque la description d’un algorithme est demandée, celle-ci doitêtre courte et précise. Quand on demande la complexité d’un algorithme enfonction d’un paramètre n, on demande un ordre de grandeur du temps decalcul dans le cas le pire, par exemple O(n 2 ) ou O(n log n).Des indications et des éléments de correctiondu sujet sont ajoutés dans la marge.1 Description du problèmeLe jeu de Halma. Ce problème est consacré à la conception d’algorithmesjouant au jeu de Halma. C’est un jeu de plateau datant de l’époque victorienne,se jouant sur un plateau carré quadrillé.Règle de victoire. Dans ce problème, on s’intéresse au jeu de Halma àun seul joueur, avec un plateau carré de taille arbitraire n et un nombre depions arbitraire p. On appelle configuration du jeu la position des pions.La distance d’un pion se situant sur la case (x, y) est par définition x + y.La mesure de l’insatisfaction d’une configuration des pions sur le plateau dejeu est la somme des distances des pions. Si l’insatisfaction d’une configurationest minimale parmi toutes les configurations ayant le même nombrede pions, on dit que la configuration est rangée. Le but de ce problème estde trouver des algorithmes permettant d’arriver à une configuration rangée,de préférence en minimisant le nombre de coups entre la configuration dedépart et cette configuration d’arrivée.Règles de déplacement des pions. À chaque coup, on déplace un pion.Plusieurs types de déplacements sont possibles.On peut choisir de déplacer un pion vers l’une des quatre cases voisines, sicelle-ci est libre.Un pion peut aussi être déplacé par une succession de petits sauts. On définitun petit saut comme un déplacement de deux cases, dans l’une des quatredirections. Ce déplacement est autorisé si la case d’arrivée est libre, et si lacase intermédiaire est occupée. Contrairement aux dames, le pion par dessuslequel on saute reste sur le plateau de jeu. Une succession de petits sauts,en nombre arbitraire, est considéré comme un unique coup.Une règle optionnelle permet non seulement de faire de petits sauts (définisci-dessus) mais aussi de grands sauts. Un grand saut est un déplacementd’un nombre pair de cases dans l’une des quatre directions, tel que la caseau milieu de ce trajet soit occupée, et toutes les autres soient libres.•◦◦◦◦• ◦ ◦ ◦−→◦ • −→ · ◦Exemple de déplacementExemple de déplacementpar petits sauts ◦ · ◦ ·◦par grands sauts ◦ ◦ ◦Il y a ici une ambiguïté remarquée par unseul candidat. Le sujet aurait dû préciserqu’on n’autorise pas un déplacement dontla case d’arrivée est celle de départ.1

Concours commun des écoles normales supérieuresÉpreuve pratique d’algorithmique et de programmationOrganisation du problème. Dans la section 2 on étudie quelques propriétésdes configurations rangées. Dans la section 3 on définit une configurationde départ. Ces deux sections sont indépendantes. Dans la section4 on étudie comment, à partir d’une configuration donnée, choisir undéplacement de pion qui diminue le plus possible l’insatisfaction. Cette sectionne dépend que partiellement des résultats de la section 2. Dans la section5 on construit des algorithmes de rangement utilisant les techniques de lasection précédente.Rappel sur la représentation de tableaux bidimensionnels. Onpeut représenter les tableaux bidimensionnels dans des tableaux simples.Par exemple, pour un tableau de dimension n, on peut représenter l’élémentde coordonnées (x, y) par T[x+n*y].2 Préliminaires : configurations rangéesDans cette section, la taille du plateau est arbitrairement grande. Autrementdit, les pions peuvent être sur toute case de coordonnées (x, y) avec x ≥ 0 ety ≥ 0. On étudie quelques propriétés élémentaires des configurations rangées.Question 1 Montrez que dans une configuration rangée avec p pions, ladistance du pion le plus loin est min{k| (k+1)(k+2)2≥ p}.Question 2 Décrire comment calculer l’insatisfaction d’une configurationrangée à p pions. Quelle est la complexité de votre algorithme en fonctionde p ? Quelle est l’insatisfaction d’une configuration rangée à 1000 pions ?Question 3 Montrez que si le nombre de pions n’est pas un entier de laforme k(k−1)2alors il y a plusieurs configurations rangées.3 Préliminaires : configuration de départOn utilisera la suite (pseudo-aléatoire) d’entiers positifs (u n ) définie ci-dessous.– u 0 est donné sur votre table. (À reporter en haut de votre copie !)– u n = (16383 × u n−1 ) mod 59047, pour n > 0.Question 4 Que valent u 992 et u 9992 ?L’algorithme qui permet de répondre àla question 2 peut être en O(p 2 ), O(p),O( √ p) ou O(1). Toutes ces solutions ontété proposées par des candidats.Pour la question 3 il n’est pas nécessairede calculer le nombre de configurationsrangées, mais exhiber un exemple ne suffitpas.Dans la suite du problème, on s’intéressera aux cas où le couple (n, p) estpris dans l’ensemble E = {(4, 6), (6, 10), (15, 20), (25, 10)}, et aux deux variantesdu jeu. La configuration de départ est définie en plaçant p pions selonl’algorithme ci-dessous : on pose (x i , y i ) = (u 2i mod n, u 2i+1 mod n) ; les positionsinitiales des p pions sont les p premières valeurs distinctes de la suite(x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), ...On remarque que le premier pion posé sur le plateau a donc pour coordonnées(x 1 , y 1 ), mais que le p-ième pion posé a pour coordonnées (x π , y π ) pour unevaleur π ≥ p.Question 5 Pour chaque choix de paramètres (n, p) ∈ E, quelles sont lavaleur π et les coordonnées (x π , y π ) ?On rappelle que selon les règles du jeu, un pion peut se déplacer vers unecase voisine, ou bien faire une succession de (petits ou grands) sauts. Onpourrait imaginer de n’autoriser que des sauts. La question suivante montreque cela restreindrait beaucoup le déplacement des pions.Il ne faut pas oublier de répondre à laquestion 5 avec π et (x π, y π). Il faut faireattention aux indices : on commence par(x 1, y 1) et non (x 0, y 0).2

Concours commun des écoles normales supérieuresÉpreuve pratique d’algorithmique et de programmationQuestion 6 Montrez que si un pion ne se déplace que par sauts, il y a troisquarts des cases du damier auxquelles il n’a pas accès, indépendamment dela position des autres pions. Cette propriété définit une partition de l’ensembledes cases du damier en quatre parties. Donnez une définition caractérisantces quatre parties, et donnez (pour la configuration de départdéfinie ci-dessus) le nombre de pions dans chaque partie ainsi définie.Pour la question 6, il suffit de remarquerqu’un saut conserve la parité des coordonnées.Certains candidats n’ont pasvérifié que la somme des nombres de pionsdes quatre parties doit être p.4 Étude d’un coupDans cette section, on étudie la configuration de départ, pour savoir queldéplacement choisir. On étudie donc les coups possibles, et leur effet sur lerangement du plateau (variation de l’insatisfaction). On donnera les résultatspour les deux variantes du jeu (petits sauts ou grands sauts) et toutes lesvaleurs (n, p) ∈ E.Question 7 Quelle est l’insatisfaction de la configuration de départ ? Décrivezl’algorithme que vous avez utilisé et sa complexité en fonction de n et p.Question 8 À partir de la configuration de départ, si on choisit de déplacerle pion de coordonnées (x 1 , y 1 ), combien de cases peut-il atteindre en uncoup ?Décrivez l’algorithme que vous avez utilisé et sa complexité en fonction de n.Question 9 À partir de la configuration de départ, combien y a-t-il de coupspossibles (un coup étant défini par la position de départ et la position d’arrivéedu pion qu’on déplace) ? Décrivez l’algorithme que vous avez utilisé etsa complexité en fonction de n et p.Choix du meilleur coup. On définit deux ordres totaux sur les casesdu plateau : l’ordre ≺ L est l’ordre lexicographique et l’ordre ≺ D celui desdistances. Formellement :– (a, b) ≺ L (c, d) ⇔ a < c ou (a = c et b < d)– (a, b) ≺ D (c, d) ⇔ a + b < c + d ou (a + b = c + d et a < c)Parmi toutes les configurations accessibles en un coup, certaines ont uneinsatisfaction minimale. Le “meilleur coup” est donc l’un de ceux-là. Si plusieursréponses sont possibles, on utilise l’un des ordres définis ci-dessus. Lemeilleur coup selon l’ordre ≺ est celui qui fait bouger le pion dont la caseest la plus grande selon l’ordre ≺, et parmi les déplacements de ce pion celuipour lequel la case d’arrivée est la plus grande selon l’ordre ≺.Question 10 Décrivez un algorithme qui à partir d’une configuration donnée,calcule le meilleur coup selon l’ordre des distances. Quelle est la complexitéde votre algorithme en fonction de n et p. Quel est son résultat pour laconfiguration de départ, pour chaque choix de paramètres (n, p) ∈ E.5 Algorithmes de résolution du problèmeOn se base sur l’algorithme glouton, qui cherche à chaque coup à minimiserl’insatisfaction. Plusieurs variantes de l’algorithme glouton sont possibles,selon la façon dont on choisit le coup parmi ceux qui minimisent l’insatisfactionà l’étape suivante.3La question 7 a permis à certains de penserà un algorithme de calcul d’insatisfactionmeilleur que le parcours en O(n 2 ) duplateau : le parcours en O(p) de la liste despositions des pions. On pouvait en déduirel’intérêt d’utiliser une structure de donnéesredondante, stockant simultanément l’étatdes cases et la position des pions.Pour la question 8, un algorithme naturelrevient à considérer les cases du damiercomme les sommets d’un graphe, quel’on parcourt en marquant les sommets visités.Dans la variante “petits sauts” larecherche des arêtes sortantes se fait entemps constant : il suffit de regarder lescases voisines et, pour celles qui sont occupéesla case d’après. La complexité decet algorithme est O(n 2 ), et on peut exhiberun cas où cette borne est atteinte :toutes les cases de coordonnées impairesoccupées et le pion en (0, 1). La variante“grands sauts” apparaît plus lente carl’énumération des sauts possibles à partird’une position prend un temps O(n), ce quidonnerait un majorant O(n 3 ). On n’attendaitpas de meilleure majoration, même siest possible de montrer que pour cette varianteaussi l’algorithme d’énumération descoups possibles prend un temps O(n 2 ).L’algorithme de la question 9 a donc unecomplexité O(n 2 p).Un algorithme répondant à la question10 trie la liste des pions par ordre ≺ Ddécroissant, puis la parcourt en calculantpour chacun la liste des coups possibles(répertoriés par leur case d’arrivée). Danscette liste on sélectionne parmi les plusproches de l’origine celui dont la premièrecoordonnée est la plus grande. Si la diminutiond’insatisfaction causée par ce coupest strictement meilleure que celle du coupgardé en mémoire, il le remplace. Puis onprend le pion suivant dans la liste.On initialise l’algorithme avec une diminutiond’insatisfaction -2, ce qui permet àl’algorithme de ne pas échouer si tous lescoups augmentent l’insatisfaction.

Concours commun des écoles normales supérieuresÉpreuve pratique d’algorithmique et de programmationNB : on donnera les résultats pour les deux variantes du jeu et toutes lesvaleurs (n, p).Dans l’algorithme A, si plusieurs coups minimisent autant l’insatisfaction,on choisit le meilleur coup selon l’ordre ≺ D .Question 11 Après combien de coups cette variante de l’algorithme gloutons’arrête-t-elle ? Quelle est l’insatisfaction à la fin ?Dans l’algorithme A, si plusieurs coups minimisent autant l’insatisfaction,on choisit le meilleur coup selon l’ordre ≺ L .Les questions 11 et 12 sont simplesdès que les algorithmes des questionsprécédentes, et en particulier de la question10, ont été programmés de façon modulaire.Question 12 Après combien de coups cette variante de l’algorithme gloutons’arrête-t-elle ? Quelle est l’insatisfaction à la fin ?On remarque que les algorithmes ci-dessus arrivent rarement à une configurationrangée. Il faut donc trouver un algorithme de résolution de fin departie. Pour cela, on commence par définir un déplacement en diagonale :c’est une succession de deux coups, le premier vers une case voisine, et lesecond vers une case voisine et dans une direction orthogonale à la première.On peut remarquer que certains déplacements en diagonale ne changent pasl’insatisfaction.On propose l’algorithme suivant (algorithme C) : à partir d’une configurationoù il existe un coup qui diminue l’insatisfaction, on applique l’algorithme A.À partir d’une configuration X où aucun coup ne diminue l’insatisfaction,on choisit le plus grand des pions (dans l’ordre ≺ D ) tel que, après une successionde déplacements en diagonale ne changeant pas l’insatisfaction, il estpossible en un coup d’obtenir une insatisfaction plus faible que celle de laconfiguration X.Question 13 Montrer que l’algorithme C arrive toujours à une configurationrangée. En combien de coups range-t-il le plateau, à partir des configurationsde départ définies plus haut ?L’algorithme D généralise les algorithmes A et B de la façon suivante : si plusieurscoups minimisent autant l’insatisfaction, on les choisit simultanément,et on élimine dans l’arbre des exécutions possibles les branches pour lesquellesil existe une autre branche qui à la même profondeur (mesurée ennombre de coups) a une insatisfaction strictement plus faible.Question 14 Après combien de coups cette variante de l’algorithme gloutons’arrête-t-elle ? Quelle est l’insatisfaction à la fin ?La preuve de l’algorithme C est simpledès qu’on a prouvé qu’à partir de touteconfiguration non rangée il existe unpion qu’on peut rapprocher de l’originepar des déplacements en diagonale suivisd’un déplacement vers l’origine. La question13 est légèrement ambiguë car ellespécifique quel pion de la configuration Xest déplacé, mais pas quel succession dedéplacements est choisi. Par analogie avecla façon dont les autres algorithmes choisissentla case d’arrivée du pion déplacé, onpouvait choisir la plus grande selon ≺ D decelle qui diminuent le plus l’insatisfaction.On pouvait aussi choisir parmi les successionsde déplacement diminuant l’insatisfactionl’une de celles faisant le moins decoups, et s’il y en a plusieurs celle dont lacase d’arrivée est la plus grande selon ≺ D.L’algorithme D se base sur une variantede l’algorithme de la question 10, qu’onva appeler D0, et qui a pour résultatla liste des coups minimisant l’insatisfaction.L’algorithme D commence avec uneliste l 0 de configurations contenant un seulélément : la configuration de départ. Àchaque étape, il construit une nouvelle listel i+1 qui réunit toutes les configurations obtenuespar l’algorithme D0 à partir deséléments de la liste l i. Il ne garde dans l i+1que les configurations d’insatisfaction minimale.4