Initiation à Mathematica (Tp n°5) - ENS Cachan

Initiation à Mathematica (Tp n o 5) : Algorithme deGramm-Schmidt et IntégrationPierre Bourhis ∗ et Kévin Huguenin †6 Janvier 2006IntroductionCette séance se décompose en deux parties indépendantes. La première consiste à implémente laméthode d’orthogonalisation de Gramm-Schmidt sur l’espace vectoriel des polynômes muni d’un produitscalaire défini à l’aide d’une intégrale. Le but de la seconde est d’implémenter avec Mathematica desméthodes numériques d’approximation d’intégrales. On en profitera pour mettre en œuvre le calcul despolynôme de Lagrange.1 Méthode d’orthogonalisation de Gramm-Schmidt (45min)La méthode d’orthonormalisation de Gramm-Schmidt permet de construire, à partir d’une base quelconqued’un espace vectoriel et d’un produit scalaire sur cet espace, un base du même espace orthonormalepour ce produit scalaire. La méthode est itérative se décompose en deux étapes. A l’itération i on traitele i-ème vecteur de la base d’origine :– Annulation du projeté orthogonal du vecteur de la base originale. Les i − 1 premièresitérations on permis de construire une famille de i − 1 vecteurs orthonormés, l’espace vectorielengendré étant le même que celui engendré par les i − 1 premiers vecteurs de la base originale. Lei-ème vecteur de la base originale peut être décomposé comme la somme de son projeté orthogonalsur cet espace vectoriel puis une composante orthogonale à cet ensemble. Cette composante seranon nulle et orthogonale aux vecteurs déjà construits. Le projeté orthogonal se calcule à l’aide duproduit scalaire (en supposant que les vecteurs déjà construits forment une famille orthonormée) :∑i−1e ′ i = e ⊥ (i = e i − ei |e ′ )j e′j– Normalisation on normalise le vecteur e ′ i en le divisant par sa norme √ (e ′ i |e′ i )Durant cette séance, on travaillera sur l’espace vectoriel des polynômes qui seront représentés comme desfonctions. Par exemple P[x_] :=xˆ2-1. Dans un programme, pour affecter dans la variable R la sommedes polynômes P et Q on utilisera la syntaxe : R = P[#1] + Q[#1]& ou R = Function[P[x] + Q[x],x].Question 1.a Définir une fonctionComposanteOrtho qui étant donné un produit scalaire, une familleorthonormée et un vecteur renvoie la composante de ce vecteur orthogonale à l’espace engendré par lafamille orthonormée. On rappelle qu’un programme s’écrit à l’aide de la commande Module[variables,instruction1; instruction2; ...] et que les éléments d’une liste peuvent être extrait à l’aide de lafonction Extract[liste,{indice}].Question 1.b En déduire la fonction GS qui applique la méthode d’orthonormalisation de Gramm-Schmidt. Le résultat renvoyé étant une liste, on prendra soin de se renseigner sur les fonctions de constructionde listes dans l’aide de Mathematica.∗ pierre.bourhis@eleves.bretagne.ens-cachan.fr† kevin.huguenin@eleves.bretagne.ens-cachan.frj=11

Question 1.c Appliquer la méthode à R 3 [X] muni du produit scalaire suivant :(P |Q) =∫ 10P(x)Q(x)dx2 Intégration - Méthodes numériques (1h15)2.1 Approximation d’intégralesQuestion 2.d Définir une fonction Riemann qui calcule la somme de Riemann d’une fonction surun segment subdivisé en n segments (Sum). Tester cette fonction.Question 2.e Tester la fonction Riemann sur une fonction dont l’intégrale est connue et observer lavitesse de convergence (Table, N, Map et Integrate).Question 2.f Calculer à l’aide de Mathematica (pour des fonctions simples) la limite de la sommede Riemann associée (Limit)(Facultatif) Implémenter la méthode des trapèzes et comparer la vitesse de conver-Question 2.ggence.2.2 Polynômes de LagrangeQuestion 2.h Définir une fonction LagrangeElement qui associe à un réel x 0 et une liste de réels(x 1 ,...,x n ) associe le polynôme P de degré n tel que P(x 0 ) = 1 et P(x i ) = 0, ∀i ∈ {1,...,n} (Product,Extract, /._->_).Question 2.i Écrire une fonction Lagrange pour calculer le polynôme d’interpolation de LagrangeP tel que P (x i ) = y i .Question 2.j Superposer sur un même graphique les graphes d’une fonction et de son polynôme deLagrange pour une subdivision régulière d’un segment (Plot, Table).Question 2.k (Facultatif) Implémenter la méthode de Simpson (utilisée par les calculatrices) : soitune fonction f donnée et un segment S donnés. On calcule le polynôme de Lagrange de degré deuxassocié à f sur chaque segment d’une subdivision régulière de S (c-à-d l’unique polynome passant pasles extrémités et le milieu du segment). On approxime l’intégrale de f sur chacun des segments par celledu polynôme (Integrate). Comparer la vitesse de convergence.2