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12èmes Journées Internationales de Thermique------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------SIMULATION NUMERIQUE DE LACONVECTION NATURELLE DANS UNECAVITE A FOND SINUSOÏDALMébrouk REBHI*, Abdellah BELKACEM, Abdelhamid TOUHAMIInstitut de Génie Mécanique, C. U. Béchar BECHAR, ALGERIE*e-mail : rebhimebrouk@yahoo.frKhadedja BOUHADEFL.T.P.M.P. Faculté de Génie Mécanique et de Génie des procedés U.S.T.H.B., ALGERIERESUMELe présent travail consiste en l’étude numérique dela convection naturelle laminaire dans une enceintebidimensionnelle à fond non uniforme (sinusoïdal)chauffé par une température constante et uniforme Tp,les parois verticales sont adiabatiques et la paroisupérieure est maintenue à une température constanteTa. Les paramètres dont dépend la structure de laconvection naturelle sont : le nombre de Rayleigh quivarie entre 10 3 et 5.10 5 , le rapport d’aspect de la cavitéAs=8, le facteur de forme A (entre 0.10 et 0.20) et lenombre de Prandtl (celui de l’eau). Les équationsgouvernant l’écoulement et le transfert thermique dansla cavité sont discrétisées en utilisant une méthodeimplicite aux différences finies et la méthode desvolumes de contrôle. L’adéquation entre les champsdes vitesses et de pression est réalisée à l’aide del’algorithme SIMPLE [1].L’influence des paramètres caractéristiques de latopographie de la surface d’échange (fond sinusoïdal),notamment de l’amplitude d’ondulation b et le facteurde forme de la cavité A, sur le transfert de chaleur etsur la structure de l’écoulement, est mise en évidence.La variation du nombre de Rayleigh a permetl’obtention de plusieurs types d’écoulements etplusieurs bifurcations entre ces écoulements. Lesnombres de Nusselt locaux passent par des maximumsaux sommets et aux creux et par des minimums entreeux.Mots clefs : convection naturelle, poussées thermiques,paroi ondulée, cavité sinusoïdale.yu=0v=00∂T = 0aT=Ta, u=v=0vfluideu=0guv=0∂T = 0u=0 v=0Tp2b3a L 5a 7a 8.Figure.1 : Section droite du système étudié.1. INTRODUCTIONEn raison de l’importance qu’ils présentent dans lapratique industrielle (échangeurs de chaleur,refroidissement des composants électroniques …), lestransferts de chaleur par convection naturelle dans lescavités de géométries complexes ont fait l’objet denombreuses investigations [2-5]. Le comportementdynamique complexe du fluide au niveau des paroisondulées a fortement motivé les chercheurs àinvestigué dans se domaine. Ansi Mahmud et al [6] ontmis en évidence l’effet de l’ondulation de la surfacehxd’échange sur l’écoulement du fluide et sur le transfertde chaleur par convection naturelle dans une enceinteverticale a paroi ondulées. Adjlout et al [7] ont étudiésla convection naturelle dans une cavité inclinée dont laparoi chaude est ondulée et fait face à la paroi froideles deux autre sont adiabatiques. Prodip et al [8] ontprésentés une simulation numérique de la convectionnaturelle dans une enceinte constituée de paroisparallèles, ondulées et verticales et planes. Saidi et al[9] ont montrés, à travers une étude numérique etexpérimentale de la convection naturelle dans unecavité sinusoïdale, que l’échange de chaleur total entreles parois ondulées de la cavité et le fluide est réduitpar la présence de vortex.Dans le but d’améliorer les performancesfonctionnelles de la surface d’échange, le présenttravail concerne l’étude numérique de la convectionnaturelle dans une cavité à parois latérales adiabatiqueset à fond sinusoïdal chauffé transversalement par unetempérature constante et uniforme. Le taux de transfertde chaleur est déterminé en calculant les nombres deNusselt locaux et moyen pour des différentes valeursdu nombre de Rayleigh et du facteur de forme A.Le fond sinusoïdal de la cavité est décrit par lafonction suivante :⎡ ⎛ π .x ⎞⎤F( x ) = b. ⎢1+ cos⎜⎟⎥⎣ ⎝ a ⎠⎦(1)2. MODELE MATHEMATIQUELe système physique, considéré, consiste en unecavité à fond sinusoïdal de longueur d’onde 2.a, dehauteur h, de longueur L, de largeur l et de rapportd’aspect As=L/h, remplie d’un fluide Newtonien. Unetempérature constante et uniforme Tp est imposée à laparoi ondulée, la paroi supérieur est maintenue à unetempérature constante Ta alors que les parois latéralessont supposées adiabatiques (figure 1). La largeur l(dans la direction perpendiculaire à la section droite dela cavité) étant choisie suffisamment grande par rapportà la longueur L pour que l’écoulement soitbidimensionnel.En prenant la longueur de la demi période a de lasinusoïdale du fond de la cavité comme longueurcaractéristique, la fonction adimensionnelle F(X)décrivant la surface d’échange est donnée par :f ( x )F ( X ) =a(2)3. EQUATIONS GOUVERNANTESEn adoptant l’approximation de Boussinesq, leséquations gouvernantes adimensionnelles s’écrivent :Tanger, Maroc du 15 au 17 Novembre 2005 343

12èmes Journées Internationales de Thermique------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3.1. EQUATION DE CONTINUITEPremier cas∂U∂V+∂X∂ Y= 0(3)3.2. EQUATIONS DE QUANTITE DEMOUVEMENT22∂U∂U∂U∂P∂ U ∂ U+ U + V = − + +22∂τ ∂X∂Y∂X∂X∂Ya) ψmax= +2. 616 . ψmin= 0. 00(4)22∂V ∂V∂V∂P∂ V ∂ V *+ U + V = − + + + Gr . θ22∂τ ∂X∂Y∂Y∂X∂Y(5)3.3. EQUATION DE L’ENERGIE22∂θ+ ∂θ ∂θ 1 ⎛ ∂ θ ∂ θ ⎞U + V = ⎜ + ⎟2∂τ ∂X∂YPr ⎝ ∂X∂Y2⎠(6)b). ψmax= +2. 617 ψmin= 0. 00Les nombres de Nusselt locaux Nux et le nombre Figure 2 : θ et ψ pour Ra=3800, Pr=5580 et As=1de Nusselt moyen Num au niveau de la paroia) Présent résultats b) Résultats trouvés par [10]sinusoïdale sont calculés respectivement selon :Deuxième casNux =X ⎛ ∂θ⎞⎜ ⎟θ P ⎝ ∂N⎠(7)Nu =8Nux.dx∫ 0(8)4. RESOLUTION NUMERIQUELes équations bidimensionnelles gouvernantes sontrésolues en faisant appel à la méthode de volumes finis,le couplage vitesse–pression est réalisé à l’aide del’algorithme SIMPLE. Le choix de la grille de maillagedépend du rapport d’aspect As ainsi que la nature dela solution. Des essais numériques sont nécessairespour optimiser le temps et la précision des calculs.Ainsi le maillage régulier 321x41 est jugé suffisantpour modéliser avec précision les champsd’écoulements et de température dans une cavité derapport d’aspect As=8 et de facteur de forme A égal à0.1, 0.15 et 0.20.5. VALIDATION DU CODE NUMERIQUELes résultats de notre code de calcul numériquesont validés en considérons le cas particulier où lerapport de forme de la cavité est nul A = 0 (cavitéhorizontale à parois planes). Nos résultats sontcomparés avec ceux existant dans la littérature [10].C. Y. Soong et P. Y. Tzeng [10] ont étudié laconvection naturelle bidimensionnelle dans une cavitérectangulaire inclinée d’angle γ par rapport àl’horizontale et dont la paroi inférieure est chauffée àune température constante T C , la paroi supérieure estmaintenue à une température froide T f et les deuxparois latérales sont adiabatiques. Pour avoir la mêmeconfiguration, il suffit de prendre γ =0 [10].Nous avons trouvé des répartitions des lignes decourant et des isothermes similaires. Sur les figures (2 -4) nous comparons nos résultats avec ceux trouvés parla référence [10]. L’examen des figures permetd’affirmer qu’il existe un bon accord entre les résultats.2.5a) ψ = 224 . ψ = 224max+5.min−5.b) ψmax= +5. 253 . ψmin= −5. 253Figure 3 : θ et ψ pour Ra=5000, Pr=0.71 et As=4a) Présent résultats b) Résultats trouvés par [10]Troisième casa) ψmax= +12. 939 . ψmin= −12. 938Tanger, Maroc du 15 au 17 Novembre 2005 344

12èmes Journées Internationales de Thermique------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------a) Ra = 10 3 : ψ ψ = -0.226/ 0. 215min/max+b) ψmax= +12. 939 . ψmin= −12. 939Figure 4 : θ et ψ pour Ra=20000, Pr=0.71 et As=4a) Présent résultats b) Résultats trouvés par [10]b) Ra = 5.10 3 : ψ ψ = -2.850 / 2. 705min/max+A = 0.10 ψ ψ = -10.815 / 10. 625min/max+c) Ra = 10 4 : ψ ψ = -5.788 / 5. 506min/max+A = 0.15 ψ ψ = -10.115 / 09. 781min/max+d) Ra = 5.10 4 : ψ ψ = -15.843/14. 978min/max+A = 0.20 ψmin/ ψmax= -09.452 / + 08. 996Figure 5 : θ et ψ en fonction du facteur de forme A;As=8, Ra=2.10 4 et Pr=7.02e) Ra = 10 5 : ψmin/ ψmax= -20.564 / + 19. 241Figure 6 : θ et ψ en fonction du nombre deRayleigh;A=0.20, As=8 et Pr=7.02Tanger, Maroc du 15 au 17 Novembre 2005 345

12èmes Journées Internationales de Thermique------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------300 A=0.00et sont plus espacées au dessus des sommets, du fait deA=0.10200A=0.15l’augmentation du transfert par convection dans cesA=0.20régions (figure 5 et 6). L’évolution des nombres de100Nusselt locaux le long de la paroi est notablement00 2 4 6 8affectée par le facteur de forme de la cavité (figure 7).XOn remarque que les transferts par convection naturellea) Ra=1.10 3augmentent au-dessus des sommets et des creux, alorsqu’ils diminuent entre eux. L’impact des ondulationsde la sinusoïde sur les transferts est d’autant plusimportant que l’amplitude est faible (figure 7).NuxNuxNux300 A=0.00A=0.10200A=0.15A=0.2010000 2 4 6 8X300 A=0.00A=0.10200A=0.15A=0.20100b) Ra=1.10 400 2 4 6 8Xc) Ra=1.10 5Figure 7 : Nombres de Nusselt locaux en fonction dufacteur de forme A, As=8, Pr=7.02Num12001000800600400A = 0.00A = 0.10A = 0.15A = 0.2025000 50000 75000 100000RaFigure 8 : Nombre de Nusselt moyen en fonction dunombre de Rayleigh pour déférent facteur de forme A;As=8 et Pr=7.026. RESULTATS ET DISCUSSIONSNous avons effectué l’étude numérique pourdifférents facteur de forme et différentes valeur dunombre de Rayleigh en prenant de l’eau comme fluideremplissant la cavité. Les résultats de notre étude sontprésentés sous forme de graphes représentants lesisothermes et les lignes de courant. Les variations desnombres de Nusselt locaux et moyens sont égalementreprésentées.L’écoulement est caractérisé par un ensemble decellules contrarotatives qui se rencontrent au-dessusdes creux et des sommets de la sinusoïde. Cettestructure de l’écoulement semble être due aux zones derecirculation qui prennent naissance au voisinage dechaque ondulation et qui interagissent entre elles pourengendrer les cellules observées. Une double symétriedes iso-courants est observée, la première estpériodique tandis que l’autre se développe par rapport àl’axe des creux. La largueur des cellules est fonction dufacteur de forme (figure 5). Pour le fluide considéré,l’état de la profilométrie de la surface (facteur de formeA) de la paroi atténue les forces volumiques quidonnent naissance à la convection naturelle ainsi queles transferts thermiques. L’intensité de la convectionnaturelle augmente avec le nombre de Rayleigh (figure8).Les isothermes longent la topographie de la paroi,elles sont serrées dans les creux de la sinusoïde, où lestransferts s’effectuent essentiellement par conduction,7. CONCLUSIONDans cet article nous avons étudié l’influence detopographies non planes du fond de la cavité sur lestransferts, par convection naturelle, au voisinage de laparoi chaude.Les résultats obtenus montrent que la structure del’écoulement est notamment affectée par le facteur deforme de la cavité en même temps que les transferts auvoisinage de la paroi.L’écoulement dans la cavité est caractérisé par deszones de recirculation dans les creux et au-dessus dessommets, où les nombres de Nusselt locaux sont plusélevés.D’une façon générale les transferts développés ausein d’une cavité à fond de topographie non plane sontinférieurs à ceux obtenus dans une cavité à fondhorizontal et uniforme de même longueur (figure 8).8. BIBLIOGRAPHIE[1] PATANKER S. V., «Numerical heat transfer andfluid flow», Innovative Research, (1984).[2] SUBRAT D., «Pressure-velocity formulation tostudy the effect of protuberance on thermal convectionby finite element method», Int. Comm. Heat MassTransfer, Vol. 7, pp. 893-902, (2003)[3] MACADAMS W. H., «Transmission de la chaleur»,Dunod, Paris, (1964).[4] G. WANG G., VANKA S.P., «Convective heattransfer in periodic wavy passages», Internat. J. Heatand Mass Transfer 38 3219-3230, (1995).[5] FAGHRI M., ASAKO Y., «Finite volume solutionfor laminar flow and heat transfer in a corrugatedduet», J. Heat Transfer 109 627-634, (1987).[6] MAHMOUD S., DAS P. K., HYDER N., ISLAMA. K. M. S., «Free convection in an enclosure withvertical wavy walls», Int. J. Thermal Sciences, Vol. 41,pp. 440-460, (2002).[7] ADJLOUT L., IMINE O., AZZI A., BELKADIM., «Laminar natural convection in an inclined cavitywith a wavy wall», International Journal of Heat andMass Transfer 45 2141-2152, (2002).[8] PRODIP K. D., SHOHEL M., «Numericalinvestigation of natural convection inside a wavyenclosure», International Journal of Thermal Sciences,42 397-406, (2003).[9] SAIDI C., LEGAY F., PRUENT B., «Laminarflow past a sinusoidal cavity», Internat. J. Heat MassTransfer 30 649-660, (1987).[10] SOONG C. Y., TZENG P. Y., CHIANG D. C.,SHEU T. S., «Numerical study on mode-transition ofnatural convection in differentially heated inclinedenclosures», Int. J. Heat Mass Transfer Vol. 39, No.14, pp. 2869-3882, (1996).Tanger, Maroc du 15 au 17 Novembre 2005 346