EXTENSIONS DU MODÈLE LINÉAIRE - Cours d'économétrie et d ...

4Disposant d'observations y i et x i , on peut chercher directement la valeur A duvecteur des paramètres qui minimise la somme des carrés des erreurs, ourésidus :SCR = Σ [y i - f(a, x i )] 2On recourt pour cela aux techniques classiques d'optimisation (linéarisationlocale, gradient, résolution itérative…) avec les problèmes habituels deconvergence, d'optima locaux, etc., cette méthode est dite des mco nonlinéaires.Maximum de vraisemblanceUn autre point de vue, qui peut conduire en certains cas au calcul précédent, estcelui du maximum de vraisemblance. Le modèle complet s’écrit à présent :y = f(a, X, ε)incluant la perturbation aléatoire et précisant ses caractéristiques probabilistes.On cherche alors à maximiser par rapport aux paramètres la vraisemblance del’ensemble des observations y i conditionnées par celles x i des explicatives.En cas, par exemple, d'aléa additif : ε i = y i - f(a, x i ) , et sous les hypothèses denormalité traditionnelles, cela conduit à la minimisation précédente, mais cen'est là qu'un cas particulier.Sous des hypothèses très générales, les estimateurs du maximum devraisemblance obtenus sont consistants, asymptotiquement efficaces et laméthode permet également d'estimer leurs variances asymptotiques.Test de la log-vraisemblanceL'estimation du maximum de vraisemblance autorise en outre un test importantqui généralise en quelque sorte le test d'une restriction linéaire déjà présentédans le cas du modèle linéaire.Soit H a le modèle initial (en général non linéaire) et H 0 , le modèle sous unecertaine restriction, alors, si l'hypothèse H 0 est légitime, la quantité :- 2.(LL 0 - LL a ) suit asymptotiquement une loi chi 2 (m)