EXTENSIONS DU MODÈLE LINÉAIRE - Cours d'économétrie et d ...

6Modèles probit et logitUne idée destinée à remédier à l'inconvénient précédent est de passer parl'intermédiaire d'une fonction F dont l’ensemble des valeurs prises estl’intervalle [0, 1], et d'estimer un modèle de la forme :p = F(a + b.x + c.z) ou encore F -1 (p) = a + b.x + c.zdans le cas de deux explicatives.Les fonctions de répartitions associées aux distributions de probabilité (c’est àdire donnant la probabilité d’être plus petit que t pour la loi retenue)conviennent.Si on prend pour F la fonction de répartition associée à la loi normale N(0, 1), lemodèle est le modèle probit. La fonction F, ni son inverse ne s'expriment sousune forme résolue, mais peuvent être calculées numériquement.Si on retient pour F la fonction de répartition logistique (cad la fonctionlogistique standard rencontrée plus haut dans un autre contexte) :p = F(t) = 1/(1 + e -t ) = e t /(1 + e t )on obtient le modèle logit, longtemps apprécié pour la possibilité de calculer F -1explicitement pour linéariser le modèle :t = F -1 (p) = ln[p/(1-p)]quantité appelée logit de p, tandis que le rapport p/(1-p) est parfois appelé oddratio. Et on a donc la relation :odd ratio (p) = p/(1-p) = e a .(e b ) x .(e c ) zOn va présenter ces deux modèles d’une manière quelque peu différente,quoique mathématiquement équivalente, dans le cadre général des modèles àvariable latente, non observable.