et t - UPMC

Réflexion et Réfraction (1)1°) Rappels sur la propagation dans les milieux LHIÉquations de Maxwell dans un milieu sans charges ni courantdiv D = 0div B = 0rot E = " #B#trot H = #D#tavec# D = " E avec " = " 0"%r$% H = 1 µ B avec µ = µ 0µ r&!!

Réflexion et Réfraction (2)Ondes planes progressives :( ) = " (# 0 e i k.rE r,tB r,t&'&'( ) = " (,0 e i k.rdiv D = 0( r $%t)( r $%t))+*)+*k ." 0 = 0"0" 0div B = 0rot E = " #B#tk . #0 = 0!#0 = k $ %" 0!!k

Réflexion et Réfraction (4)Relations de continuité au niveau d’un dioptre : CAS 1 pas de charges à l’interface(S)rnmilieu 2milieu 1E t1 = E t2H t1 = H t2D n1 = D n2B n1 = B n2Rq : Si des courants circulent sur l’interface ces relationsne sont plus valables (voir conducteur parfait)= pas de charges en surface à l’interface.

Réflexion et Réfraction (5)Relations de continuité au niveau d’un dioptre : CAS 2 charges à l’interfacezn12Milieu 1Milieu 2Dn2 " Dn1 = # n12Bn2 " Bn1 = 0E T 2 " E T1 = 0!HT 2 " HT1 = j s$ n12σ : densité surfacique de charge C/m 2j s : densité surfacique de ! courant A/m

Réflexion et Réfraction (6)2°) Réflexion et transmission par un dioptreLes vecteurs d’onde incident, transmis etréfléchi sont dans un même plan : le pland’incidence perpendiculaire à l’interface

Réflexion et Réfraction (7)Champ électromagnétique dans les deux demi-espacesDans le milieu d’indice n 1(y > 0) :( ) =" i0 e i ( k i . r #$t) +" r0 e i k r . r" x, y,z,t( r #$t)!Dans le demi-espace y < 0 d’indice n 2:" x, y,z,t( r #$t)( ) =" t 0 e i k t . r!"( x, y,z,t) = k #( )$ %& t# e i k # . r '$t

Réflexion et Réfraction (8)Les conditions de passage :continuité des composantes tangentielles de E et H en y = 0.Soit pour :r0 = x ex + z ey!(1)!(2)( ) +" r0 T e i ( k r . r 0 #$t) =" t 0 T e i k t . r" i0 T e i k i . r 0 #$t1 %"i0 T e i k i . r'µ 1&( r 0 #$t) + " r0 T e i k r . r 0 #$t( )( r 0 #$t)(* = 1 "t 0 T e i k t . r) µ 2( r 0 #$t)!

Réflexion et Réfraction (9)Relations de Snell-DescartesOn multiplie l’équation (1) par :exp " i( k i.r0 "#t)" i0 T =" t 0 T e i k tx #k ixpour tout (x,z).D’où :[( )x + ( k tz #k iz )z] T #"r0 e i ( k rx #k ix )x + ( k rz #k iz )zSi l’onde incidente est dans le plan (x0y) alors :![ ]k ix= k rx= k txet k iz= k rz= k tzk iz= 0 " k rz= k tz= 0!On a aussi :Avec!k isin" i= k rsin" r= k tsin" tk i = k r = n 1"c = n 1k 0k t = n 2"c = n 2 k 0!

Réflexion et Réfraction (10)Ondes réfléchie : Réflexion spéculairek isin" i= k rsin" retk i = k r = n 1"c = n 1k 0" n 1k 0sin# i= n 1k 0sin# rsoit # i= # r!Ondes transmise :k isin" i= k tsin" t!etk t = n 2"c = n 2 k 0" n 1k 0sin# i= n 2k 0sin# tsoit n 1sin# i= n 2sin# t!!

Réflexion et Réfraction (11)Vecteurs d’ondes réfléchis et transmis :

Réflexion et Réfraction (12)Angles critique et réflexion totale (n 1>n 2):On connaît lk t l et k tx, on peut donc déterminer k tyk 2 ty= k 2 t" k 2 tx= k 2( 0n 2 2" n 2 1sin 2 # ) i!Si n 2> n 1sin θ i, k2tyest positif donc k tyest réelSi n 2< n 1sin θ i, k2tyest négatif donc k tyest imaginaireSi θ i< θ c, k ty2est positif donc k tyest réelsin" c= n 2n 1et l’onde transmise est une onde plane progressive.Si θ i> θ c, k2tyest négatif donc k tyest imaginaireet l’onde transmise est une onde évanescente.pas de propagation dans le milieu 2 ---> réflexion totale.!

Réflexion et Réfraction (13)L’amplitude réfléchie : les formules de FresnelOn écrit les relations de continuité en (x = y = z = 0 à t =0)[ ( )] =1" exp i k i. r0 #$t( ) +" r0 T e i ( k r . r 0 #$t) =" t 0 T e i k t . r" i0 T e i k i . r 0 #$t1 %"i0 T e i k i . r'! µ 1&(2)(1)!( r 0 #$t)" i0x+" r0x=" t 0xet " i0z+" r0z=" t 0z( r 0 #$t) + " r0 T e i k r . r 0 #$t( )1(" i0x+ " r0x ) = 1 " t 0xetµ 1µ 2(* = 1 "t 0 T e i k t . r) µ 2( r 0 #$t)1(" i0z+ " r0z ) = 1 " t 0zµ 1µ 2

Réflexion et Réfraction (14)I. Cas d’une onde plane polarisée perpendiculairement au plan d’incidence# 0%" =0%$" z&(('#%" =%$ 0" x" y&(('

Réflexion et Réfraction (15)" i0x= #" i0cos$ i, " r0x= " r0cos$ r, " t 0x= #" t 0cos$ tD’où!!!Soit(1)(2)(1)(2)" i0+" r0=" t 0" # i0µ 1cos$ i+ # r0µ 1cos$ r= " # t 0µ 2cos$ t" i0+" r0=" t 0n 1cos" i (# $# i r ) = n 2# tcos" tµ 1µ 2

Réflexion et Réfraction (16)Coefficients de réflexion et de transmission (n 1n 2et µ 1= µ 2) :Les équations (1) et (2) deviennent :On en déduit :r "= # r# iet t "= # t# i1+ r "= t "et n 1cos# i1$ r "!( ) = n 2t "cos# t!r "= n 1 cos# i $ n 2 cos# tn 1cos# i+ n 2cos# tt "=2n 1cos# in 1cos# i+ n 2cos# t

Réflexion et Réfraction (17)II. Cas d’une onde plane polarisée parallèlement au plan d’incidence" x" y#%" =%$ 0&(('# 0%" =0%$" z&(('

Réflexion et Réfraction (18)" i0x=" i0cos# i," r0x= $" r0cos# r," t 0x=" t 0cos# tD’où!!Soit(1)(2)" i0cos# i$" r0cos# r=" t 0cos# t" i0µ 1+ " r0µ 1= " t 0µ 2!(1)cos" i(# $# ) =# i0 r0 t 0cos" t!(2)n 1µ 1" i+" r ( ) = n 2µ 2" t

Réflexion et Réfraction (19)Coefficients de réflexion et de transmission (n 1n 2et µ 1= µ 2) :Les équations (1) et (2) deviennent :r //= " r" iet t //= " t" iOn en déduit : !cos" i1# r //( ) = cos" tt //et n 1 ( 1+ r // ) = n 2t //!r //= n cos" # n cos" 2 i 1 tn 2cos" i+ n 1cos" ti Bt //=2n 1cos" in 2cos" i+ n 1cos" t

Réflexion et Réfraction (20)Incidence normale (n 1n 2et µ 1= µ 2) :A.N: si n 1= 1 et n 2= 1.5 --> r = - 0,2 et R = Ir 2 I = 0.04Incidence oblique (n 2> n 1):!r "= #r //= r = n 1 # n 2n 1+ n 2et t "= t //= t = 2n 1n 1+ n 2r "# r //$ changement de polarisation à la réflexionet r s’approche de 1 à l’incidence rasanteAmplitude :!Puissance :

Réflexion et Réfraction (21)Angle de Brewster (n 1n 2et µ 1= µ 2) :Soit :r //= n 2 cos" i # n 1 cos" tn 2cos" i+ n 1cos" t= 0 si n 2cos" i= n 1cos" t!n 2cos" isin" t= n 1cos" tsin" tsin" icos" i= sin" tcos" tsin2" i= sin2" t2" i= 2" tou # $ 2" i= 2" t" i+ " t= # 2!n 1sin" i= n 2%sin" t= n 2sin # 2 $" (' i* + tan"& )B= n 2!n 1A. N. : si n 1= 1 et n 2= 1.5 --> θ B= arctan (1.5) = 56,3°!

Réflexion et Réfraction (22)

Réflexion et Réfraction (23)Incidence oblique (n 1n 2et n 1> n 2) : si θ i> θ l--> réflexion totalek 2 ty= k 2 t" k 2 tx= k 2( 0n 2 2" n 2 1sin 2 # ) iet k ty= k tcos# t(cos 2 " t= n 2 2# n 2 1sin 2 " ) i< 02n 2$ cos" test imaginairecos" t= ± i( n 2 1sin 2 2" i# n ) 22n 2et r %=1e i& % ,r // =1ei& //La réflexion déphase l’onde