Géométrie des espaces affines.

On appelle en particulier demi-tour ou retournement toute rotation de l’espace d’angleplat. Un demi-tour est donc simplement une symétrie orthogonale par rapport à unedroite. Les retournements sont les seuls déplacements involutifs. Leur importance vienten particulier du fait qu’ils engendrent le groupe des déplacements, comme le montrel’exercice suivant.Exercice 4.3. Produit de deux retournements.Montrer que le produit de deux retournements s et s ′ d’axes distincts D et D ′ est:– une translation de vecteur orthogonal à D et D ′ si D et D ′ sont parallèles ;– une rotation d’axe la perpendiculaire commune à D et D ′ si D et D ′ sont sécants ;– un vissage d’axe la perpendiculaire commune à D et D ′ si D et D ′ ne sont pas coplanaires.En déduire que les retournements engendrent le groupe des déplacements de l’espace. Plus précisément,tout déplacement de l’espace peut s’écrire comme produit de deux retournements.VissageAntirotationAntidéplacementsLa partie linéaire ⃗ f d’un antidéplacement f est soit une réflexion vectorielle, soit uneantirotation vectorielle (isométrie vectorielle gauche). Si ⃗ f est une réflexion vectorielle, onmontre comme dans le cas des antidéplacements du plan que f est soit une réflexion, soitune symétrie glissée (produit commutatif d’une réflexion et d’une translation de vecteurparallèle au plan de la réflexion). Si ⃗ f est une antirotation, 1 n’est pas valeur propre de⃗f ; il résulte alors de la proposition 2.17 que f admet un point fixe et un seul ; f est doncencore une antirotation (produit commutatif d’une rotation et d’une réflexion de planorthogonal à l’axe de la rotation).4.5 Groupe d’isométries conservant une figureProposition 4.7. Soit E un espace affine euclidien et A une partie non vide de E.L’ensemble G des isométries f de E qui conservent A (i.e. qui vérifient f(A) = A) estun sous-groupe du groupe Is(E) des isométries de E. L’ensemble G + des déplacementsde E qui conservent A est un sous-groupe de G (c’est l’intersection des sous-groupes G44