Géométrie des espaces affines.

Recherche d’un centreLe point Ω, de coordonnées (x 0 ,y 0 ) dans R, est centre de symétrie de Γ si et seulement sil’équation de Γ dans le repère R ′ = (Ω,⃗i,⃗j) ne comporte pas de termes du premier degré.Les coordonnées (x ′ ,y ′ ) dans R ′ du point M de coordonnées (x,y) dans R sont donnéespar x = x ′ + x 0 , y = y ′ + y 0 . L’équation de Γ dans R ′ s’écrit donc :a(x ′ + x 0 ) 2 + 2b(x ′ + x 0 )(y ′ + y 0 ) + c(y ′ + y 0 ) 2 + 2d(x ′ + x 0 ) + 2e(y ′ + y 0 ) + f = 0.Cette équation ne comporte pas de termes du premier degré si et seulement si :{ax 0 + by 0 + d = 0bx 0 + cy 0 + e = 0.Ces équations sont en général celles de deux droites. Trois cas sont alors possibles :1. si b 2 − ac ≠ 0, ces droites sont sécantes, et Γ admet un centre de symétrie et unseul ;2. si ces droites sont parallèles et distinctes, Γ n’admet pas de centre de symétrie ;3. si ces droites sont confondues, tout point de cette droite est centre de symétrie pourΓ.Dans le cas 1, Γ est appelée conique à centre. Dans le cas 2, Γ est une parabole. Dans lecas 3, Γ est réunion de deux droites parallèles (éventuellement confondues).Dans le cas particulier où l’une de ces équations n’est pas celle d’une droite, deux cas sontà distinguer :– si a = b = 0 et d ≠ 0 (ou b = c = 0 et e ≠ 0), Γ est une parabole et n’admet pas decentre de symétrie ;– si a = b = d = 0 (ou b = c = e = 0), Γ est la réunion de deux droites parallèles(éventuellement confondues) et admet une infinité de centres de symétrie.Cas de la paraboleDans le cas 2, b 2 − ac = 0 et ac ≠ 0 (sinon on aurait a = b = 0 ou b = c = 0 et onretomberait dans l’un des cas particuliers étudiés précédemment)). En divisant l’équationpar c, on se ramène à une équation de la forme (y + bx) 2 + 2dx + 2ey + f = 0. Par unetransformation orthogonale, on la met sous la forme y ′2 + 2d ′ x ′ + 2e ′ y ′ + f ′ = 0, puis, parun changement d’origine, Y 2 = 2pX. La courbe est donc bien une parabole.Coniques à centreDans le repère R ′ = (Ω,⃗i,⃗j) dont l’origine Ω est le centre de symétrie de Γ, Γ a commeéquation : ax ′2 + 2bx ′ y ′ + cy ′2 + f = 0. Soient (X,Y ) les coordonnées dans le repèreR = (Ω, ⃗ I, ⃗ J) déduit de R ′ par rotation d’angle θ du point de coordonnées (x ′ ,y ′ ) dans R ′ .On a : { ⃗I = cos θ ⃗i + sinθ⃗j ;⃗J = − sin θ⃗i + cos θ⃗j .et donc : {x ′ = X cos θ − Y sin θ ;y ′ = X sin θ + Y cosθ .60