Cours de CALCUL STOCHASTIQUE

Théorème 1.25 (théorème central limite TCL) Si {X n } n∈IN est une suite de variables deL 2 (Ω, F, P ), indépendantes, identiquement distribuées d’espérance nulle et de variance 1,alors1n∑√ X i nconverge en loi vers N (0, 1).Ce théorème explique l’apparition fréquente de la loi normale dans la nature.i=1Définition 1.26 Un vecteur aléatoire Y dans IR d est gaussien si ∀v ∈ IR d , < v, Y > estune v.a gaussienne.Exercice 1.27 Montrez que si Y est un vecteur gaussien tel que E(Y ) = µ et la matricede variance covariance var(Y ) = Σ, alorsϕ Y (v) = exp[i < v, µ > − vt Σ v2 ](les vecteurs v de IR d sont considérés dans cette expression comme des matrices colonnes).Ceci montre que la loi d’un vecteur gaussien est entièrement déterminée par µ et Σ.1.2 Processus aléatoires:Définition 1.28 Un processus aléatoire sur (Ω, F, P ), indicé par un ensemble de tempsT ⊂ IR est une famille {X t } t∈T de v.a aléatoires de (Ω, F, P ).X t représente l’état du processus au temps T .A ω fixé, l’application t → X t (ω) s’appelle trajectoire du processus.On peut définir différentes relations d’équivalence entre deux processus ainsi:Définition 1.29 Les processus X et Y sur (Ω, F, P ) sont des modifications l’un de l’autre(notation Y modif≡ Y ) si:∀t ≥ 0, X t (ω) = Y t (ω) P − pp.Définition 1.30 Les processus X et Y sur (Ω, F, P ) sont indistinguables si et seulementsi:{ω| ∀ 0 ≤ t < ∞, X t (ω) = Y t (ω)}est mesurable et a pour probabilité 1.Définition 1.31 Les processus X et Y sur (Ω, F, P ) ont mêmes lois fini-dimensionnellessi:∀ 0 ≤ t 1 < t 2 < . . . < t n < ∞, (X t1 , . . . , X tn ) et (Y t1 , . . . , Y tn )ont la même loi.6